1. EUCLIDES

2. TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A UN
CATETO
 “En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media
proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y
su proyección sobre ella.”
Demostración
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera,
rectángulo en C, y se proyectan los catetos
sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente
figura (derecha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB)
sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre
la hipotenusa)
c = p + q
A
C
Bc
b a
pq D

3. TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A UN
CATETO
 Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
Luego;
𝐴𝐵
𝐶𝐵
=
𝐶𝐵
𝐷𝐵
Que es lo mismo que:
𝑐
𝑎
=
𝑎
𝑝
→ 𝑎2
= 𝑐 ∗ 𝑝 C
D
B
p
a
De forma análoga se tiene que
ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) , entonces:
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶
𝐴𝐷
Que es lo mismo que:
𝑐
𝑏
=
𝑏
𝑞
→ 𝑏2
= 𝑐 ∗ 𝑞
D
A
C
b
q

4. TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A UN
CATETO
 “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es
igual al producto de la hipotenusa por la proyección del
mismo cateto sobre la hipotenusa”
 Por lo tanto:
𝒂 𝟐
= 𝒄 ∗ 𝒒 → 𝒂 = 𝒄 ∗ 𝒒
𝒃 𝟐 = 𝒄 ∗ 𝒑 → 𝒃 = 𝒄 ∗ 𝒑

5. TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A LA
ALTURA
 “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional geométrica entre los
segmentos que dicha altura determina en ella.”
A
C
ab
cq BD p
h
c
Se sabe que ΔADC ~ΔCDB (semejantes,
en la figura a la derecha); por lo tanto, sus
lados homólogos (correspondientes) son
proporcionales.
Sea hc (CD) la altura de la
hipotenusa (AB = c)
Entonces:
𝐴𝐷
𝐶𝐷
=
𝐶𝐷
𝐷𝐵
, luego al reemplazar, tenemos:
𝑞
ℎ𝑐
=
ℎ𝑐
𝑝
→ ℎ𝑐2
= 𝑝 ∗ 𝑞, por lo tanto este
teorema lo podemos expresar de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es
equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.