El documento explica dos teoremas geométricos importantes para obras civiles: el Teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo, y el Teorema de Tales, que establece que dos triángulos son semejantes si uno de los lados de uno es paralelo a uno del otro. También incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos teoremas al cálculo de lados y ángulos desconocidos en triángulos.

1. GEOMETRÍA EN
OBRAS CIVILES
Construcción

2. Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.

3. Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para
triángulos rectángulos.
BC = cateto = a
CA = cateto = b
AB = hipotenusa = c
Teorema de Pitágoras

4. La expresión matemática que representa este Teorema es:
hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2
h2 = c2 + c2
Teorema de Pitágoras

5. Ejercicios
Determinar el valor de la Hipotenusa en el triangulo
BAC. El cateto CA =5 y cateto BA= 12
12
5
h2 = c2 + c2
ℎ2 = 122 + 52
ℎ2 = 144 + 25
ℎ2 = 169 / √
ℎ2 = 169
ℎ = 169
ℎ = 13
 hipotenusa BC = 13

6. Ejercicios
Determinar el valor de la Hipotenusa en el
triangulo ACB. El cateto AC=5 y cateto BC= 9

7. Ejercicios
Determinar el valor del cateto BA en el triangulo
BAC. El cateto CA =5 Hipotenusa= 13

8. Ejercicios
Determinar el valor del Cateto AC en el triangulo
ACB. El cateto BC=7 y la Hipotenusa= 10

9. Ejercicios
En una competencia, con una rampa inclinada, un ciclista avanza una
distancia real de 85 metros mientras avanza una distancia horizontal
de tan solo 77 metros. ¿Cuál es la altura de esa rampa?

10. 20 m
20 m
2,5 m
16 m 20 m
Ejercicios

11. Teorema de Tales
Teorema de Tales: es una ley de la geometría que nos indica
que si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de
un triángulo tendremos como resultado un triángulo
semejante el triángulo original.
Por el teorema de Tales se
puede concluir que α=δ y β=ε
Primero

12. Teorema de Tales
Los lados son
proporcionales, por lo que
se cumple que:
Primero
𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
𝐵𝐶
𝐷𝐸

13. Teorema de Tales
Tales de Mileto, en uno de sus viajes, hizo uso de este teorema para conocer
la altura de las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino) en
Egipto. Así, decidió poner una vara en vertical contra el suelo, esperando a
que la longitud del objeto sea igual a la sombra que proyectaba. En ese
momento, la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de esta. En
este caso, los triángulos semejantes son:
• El que tiene como dos de sus lados la vara y su sombra.
• El triángulo que tiene como uno de sus lados la altura de la pirámide y,
como otro lado, la sombra de esta.

14. Para entenderlo mejor, imaginemos en la figura de arriba que la pirámide es aquella
formada por los vértices D, E y F, su altura es el segmento HE y su sombra, IE. En tanto,
la vara es el segmento AB y su sombra, CB. Por tanto, AB/CB=HE/IE. Esto, tomando en
cuenta que los rayos del sol son paralelos (no se cruzan ni en su prolongación), por lo
que formarán el mismo ángulo con la vara que con la pirámide (ángulos α y β son
iguales).
Teorema de Tales

15. Si BC mide 7,3 metros, DE mide
3,6 metros y AB mide 6,2
metros. ¿Cuál es la longitud de
AD?
Despejamos en la fórmula
mostrada previamente y
tenemos que:
7,3
3,6
=
6,2
𝐴𝐷 (𝑥)
7,3𝑥 = 6,2 × 3,6
𝑥 =
22,32
7,3
𝑥 = 3,0575
Teorema de Tales

16. Teorema de Tales
Extensión
El teorema de Tales puede extenderse al análisis de dos líneas
cualquiera que son cortadas por otras líneas paralelas entre sí,
como vemos en la siguiente imagen:

17. Teorema de Tales
Lo anterior se cumple
porque debemos pensar
en esas líneas como parte
de un triángulo o, viéndolo
de otro modo, si
extendemos las líneas AB y
CD, estas se cruzarán.
Mejor lo vemos en la
siguiente imagen:

18. Teorema de Tales
¿Cuánto mide el segmento x en este dibujo?

19. Teorema de Tales
Calcular los lados x e y de los siguientes triángulos: