asdasdasdasd

1. Prof. Dr. Gerardo Ramírez
Universidad Nacional de Quilmes
Instituto de Nanociencia y Nanotecnología
Centro Atómico Constituyentes
Comisión Nacional de Energía Atómica
Argentina
gerardramirezc@gmail.com
Física I

2. Programa analítico
1. Introducción: Física clásica y moderna. Datos, leyes y teorías. Medición de magnitudes. Sistemas
de unidades. Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores. Operaciones con vectores: suma
analítica y gráfica, producto por escalares, producto escalar, producto vectorial. Sistemas de
coordenadas.
2. Cinemática del cuerpo puntual: Modelo del cuerpo puntual. Sistemas de referencia.
Trayectoria. Vectores posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Movimiento en una
dimensión. Integración de las ecuaciones de movimiento. Movimiento rectilíneo uniforme,
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aceleración de la gravedad, movimiento
rectilíneo con aceleración variable. Análisis de gráficos. Movimiento en más dimensiones.
Movimiento de proyectiles, movimiento circular, componentes de la aceleración, movimiento
curvilíneo. Movimiento relativo. Composición de movimientos.
3. Dinámica del cuerpo puntual: Leyes de Newton. Primera ley o ley de inercia. Masa inercial.
Impulso lineal o cantidad de movimiento. Fuerza. Segunda ley. Fuerza resultante sobre un cuerpo
puntual. Relación con la cinemática. Tercera ley. Pares de interacción. Interacciones en la
naturaleza. Interacción gravitatoria. La ley de gravitación universal. Masa inercial y masa
gravitatoria. La fuerza peso y la aceleración de la gravedad. Interacciones de vínculo. Fuerzas de
contacto. Fricción entre superficies. Fuerzas de rozamiento estático y dinámico. Fuerzas elásticas.
Cuerpos vinculados. Dinámica en el movimiento circular. Componentes de las fuerzas. Fuerzas
centrales. Momento de una fuerza o torque. Impulso angular o momento angular. Sistemas
inerciales y no inerciales. Fuerzas ficticias.

3. 4. Teoremas de conservación: Constantes de movimiento. Trabajo de una fuerza. Energía cinética
de una partícula y de un sistema de partículas. Potencia. Teorema del trabajo y la energía. Energía
potencial y fuerzas conservativas. Energía potencial gravitatoria y elástica. Energía mecánica.
Conservación de la energía mecánica. Fuerzas no conservativas y disipación de la energía
mecánica. Gráficos de energía. Otras formas de energía. Calor. Primer principio de la
termodinámica. Impulso lineal de una partícula y de un sistema de partículas. Centro de masa.
Velocidad y aceleración del centro de masa. Sistema de referencia de centro de masa.
Conservación del impulso lineal. Colisiones elásticas e inelásticas. Colisiones en una y dos
dimensiones. Impulso angular de un sistema de partículas. Impulso angular y velocidad angular.
Impulso angular interno y orbital. Conservación del impulso angular. Leyes de Kepler.
5. Mecánica del cuerpo rígido: Definición. Cinemática del cuerpo rígido. Centro de masa.
Movimientos de traslación y rotación. Variables rotacionales. Velocidad angular. Aceleración
angular. Ecuaciones dinámicas del cuerpo rígido. Momento de las fuerzas. Momento de inercia
respecto de un eje. Impulso lineal y velocidad del centro de masa. Impulso angular y velocidad
angular. Conservación del impulso angular. Dinámica del cuerpo rígido libre y vinculado. Rodadura.
Condiciones de equilibrio estático. Energía cinética del cuerpo rígido.
6. Movimiento oscilatorio: Movimiento armónico simple. Cinemática y dinámica. Ecuación del
movimiento oscilatorio armónico. Energía en el movimiento armónico simple. Relación entre
movimiento armónico simple y movimiento circular. Péndulos. Superposición de movimientos
armónicos simples. Movimiento oscilatorio anarmónico. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.
7. Mecánica de fluidos: Estática de fluidos. Densidad. Presión. Principios de Pascal y de
Arquímedes. Tensión superficial. Capilaridad. Dinámica de fluidos. Flujo de un fluido. Líneas de
flujo. Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Viscosidad. Movimiento de cuerpos en
fluidos.

4. Bibliografía
• Resnick R., Halliday D. Física – Tomo 1. Compañía Editorial Continental S.A., México.
• Tipler P. Física – Tomo 1. Editorial Reverté, España.
• Sears F., Zemansky M., Young H. Física Universitaria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana,
Estados Unidos.
• Gettys E., Keller F., Skove M. Física Clásica y Moderna. Editorial Mc. Graw-Hill, España.
• Serway R. Física – Tomo 1. Editorial Mc. Graw-Hill, España.
Un poco más complejos:
• Alonso M., Finn E. Física – Volumen 1: Mecánica. Editorial Addison Wesley Iberoamericana,
Estados Unidos.
• Roederer, J. Mecánica Elemental. Editorial EUDEBA, Buenos Aires.
• Feynman, Leighton, Sands. Física – Volumen 1. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.

5. Modalidad de evaluación
• Dos exámenes parciales que evalúan resolución de problemas: jueves 26 de mayo y
martes 12 de julio;
• Informes de Trabajos Prácticos de Laboratorio aprobados;
• Un examen integrador teórico-conceptual: miércoles 26 de julio.
• Asistencia a clases 75%
La materia se aprueba con nota 4 (cuatro) en cada uno de los informes de Laboratorio, en
cada uno de los parciales y en el integrador.
Recuperación: Cada examen parcial puede recuperarse una vez, en las fechas miércoles
19 de julio y lunes 21 de julio, respectivamente. El examen integrador puede recuperarse
una vez en fecha a determinar, durante el segundo cuatrimestre de 2022.

6. Capítulo 1
Introducción

7. Descripción de sistemas físicos e interacciones
Al estudiar un fenómeno en la naturaleza es posible encontrar
que se puede descomponer en el estudio de uno o más de las
siguientes especialidades de la Física:
• Mecánica Clásica.
• Relatividad General o Teoría General de la Gravitación.
• Mecánica Relativista.
• Mecánica Estadística (Termodinámica).
• Electrodinámica (Electromagnetismo).
• Mecánica Cuántica.

8. Al efectuar una medición para determinar el valor de alguna
magnitud física, en general, se requiere entre una interacción
entre el instrumento (observador) y el objeto físico (observable).
Actualmente las interacciones fundamentales de la naturaleza se
clasifican en:
• Interacciones Fuertes.
• Interacciones Electromagnéticas.
• Interacciones Débiles.
• Interacciones Gravitacionales.

9. • Mecánica Clásica
v Mecánica: Movimiento de los cuerpos: cómo y por qué
v Clásica:
Ø No tan rápido 𝜐 ≪ 𝑐
Ø No tan pequeño 𝑑 ≫ á𝑡𝑜𝑚𝑜
Ø 𝑐 = 2.99792458×10!
m/s : Exacto
• La mayoría de los fenómenos cotidianos pueden ser descritos
por la mecánica clásica
• Por ejemplo:
v Trayectoria de proyectiles (pelotas, misiles, etc.)
v Órbitas de planetas y satélites

10. Físico y Matemático británico. Antes de cumplir los 30 años,
formuló los conceptos y leyes fundamentales del movimiento,
descubrió la ley de gravitación, inventó el cálculo e hizo
importantes contribuciones a la óptica
Isaac
Newton
1642-1727

11. Las magnitudes físicas son los elementos de construcción de la física.
Las leyes físicas se expresan en términos de magnitudes físicas como
la fuerza, energía, tiempo, torque, etc y se dividen en dos grupos:
Las magnitudes físicas fundamentales: No se definen en función de
otras magnitudes. Por ejemplo en el sistema internacional las
unidades fundamentales son:
Longitud, Masa, Tiempo, Temperatura, Corriente eléctrica, Intensidad luminosa y Cantidad de sustancia.
Las magnitudes físicas derivadas: Se definen en función de otras
magnitudes
• [velocidad]=[longitud/tiempo]=m/s
• [aceleración]=[(longitud/tiempo)/tiempo]=m/s2
Magnitudes físicas

12. • El número de magnitudes físicas consideradas como
fundamentales, es el número mínimo que se necesita para definir
coherentemente y sin ambigüedades, todas las magnitudes físicas
restantes.
• Para definir operacionalmente una magnitud física fundamental,
primero se escoge un patrón y después se establecen métodos para
obtener múltiplos o submúltiplos de éste patrón, es decir, para
obtener unidades de medida de la magnitud física fundamental
considerada.
• Un patrón ideal tiene dos características principales: Accesible e
invariable.
• Se puede escoger arbitrariamente un conjunto mínimo de
magnitudes físicas fundamentales que le permitirán expresar el
resto de las magnitudes físicas en función de aquellas. Por ejemplo
las magnitudes usadas en mecánica son:
• Longitud (L)
• Masa (M)
• Tiempo (T)

13. Si a cada magnitud física fundamental anterior, se le asigna una unidad
de medida, se obtendrá un sistema de unidades. Este sistema de
unidades permitirá tener las unidades de medida correspondientes a
las magnitudes físicas derivadas. Algunos ejemplos de sistemas de
unidades son:
• El sistema cgs considera las magnitudes físicas fundamentales
expresadas como: Longitud (centímetros, cm), Masa (gramos, g) y
Tiempo (segundos, s).
• El sistema fps (sistema inglés) se usa principalmente en E.E.U.U. y Gran
Bretaña, y se basa en las unidades: Longitud (pie, ft), Masa (libra, lb) y
Tiempo (segundo, s).
• El sistema MKS ó Sistema Internacional (SI) está compuesto por:
Longitud (metro, m), Masa (kilogramo, kg) y Tiempo (segundo, s).

14. Unidades fundamentales (SI)
Magnitud Unidad (SI) Definición
Longitud metro Distancia recorrida por la luz
en el vacío en 1/299.792.458
de segundo.
Masa kilogramo Masa de un cilindro de
aleación de platino-iridio
mantenida por la Oficina de
Pesas y Medidas en Sèvres,
París, Francia.
Tiempo segundo 9.192.632.770 oscilaciones
de la radiación emitida por la
transición de los dos niveles
hiper-finos del estado basal
de un átomo de cesio 133, no
perturbado.

15. metro (m)
1791 la diezmillonésima parte del cuadrante del
meridiano terrestre.
1879 se fabricó una barra patrón de aluminio que
medía un metro en condiciones controladas.
Como dicha barra medía 1.8×10-4 m menos que
la diezmillonésima parte del cuadrante del
meridiano.
1889 se decide adoptar la longitud de la barra
como metro patrón, sin hacer mención al
meridiano terrestre.
1960 se escogió la longitud de onda de la línea
roja del 86Kr.
1983 es igual a la distancia recorrida por la luz en
el vacío en un tiempo de 1/299.792.458 de
segundo.

16. kilogramo (kg)
1795, durante la Revolución Francesa, se
estableció como mil gramos, siendo un
gramo la cantidad de masa que hay en un
centímetro cúbico de agua pura en su punto
de fusión del hielo (alrededor de los 4 °C).
1889 se definido por la masa que tiene el
cilindro patrón, compuesto de una aleación
de platino e iridio (Pt0.9Ir0.1), que se guarda en
la Oficina Internacional de Pesos y Medidas
en Sèvres, París, Francia.
2019, a partir de la constante de Planck (h),
una relación natural empleada para describir
la transmisión de energía en la radiación,
equivalente a 6.62607015 x 10-34 julios por
segundo
Variación de 50 microgramos

17. segundo (s)
Los antiguos romanos fueron los
primeros en dividir cada hora en 60
porciones más chicas que llamaban pars
minuta prima o “primera parte
pequeña”, de donde se impuso el
término minuto.
A su vez, dividieron los minutos en 60
nuevamente, que lógicamente se
llamaban pars minuta secunda o
“segunda parte pequeña”, la cual
terminó llamándose “segundo”.
1967, el segundo se definió
9.192.631.770 veces el periodo de
vibración de radiación del átomo de
cesio.

18. Algunos prefijos del SI
Nombre Símbolo Valor
nano n 10-9
micro 𝜇 10-6
mili m 10-3
centi c 10-2
deci d 10-1
Unidad
fundamental
100 = 1
deca D 101
hecto H 102
kilo k 103
mega M 106
giga G 109
Ejemplos:
1 cm = 1 centímetro. = 1×10!" m
1 nm = 1 nanometro = 1×10!# m
1 km = 1 kilometro . = 1×10$ m
1 dm = 1 decimetro = 1×10!% m
1 𝜇m = 1 micrómetro = 1×10!& m
1 Gm = 1 gigametro . = 1×10# m
1 Dm = 1 decametro = 10 m
1 Mm = 1 megametro = 1×10& m

19. Longitud
5.8 𝑘𝑚 → ? 𝑚
1 𝑘𝑚 = 105 𝑚 |×5.8
5.8 𝑘𝑚 = 5.8×105 𝑚
= 5800 𝑚
Ejemplo cambio de unidades

20. Longitud
4350.74 𝑚 → ? 𝑘𝑚
105 𝑚 = 1 𝑘𝑚 |×1065
1 𝑚 = 1065 𝑘𝑚 |×4350.74
4350.74 𝑚
= 4350.74×1065 𝑘𝑚
= 4.35074 𝑘𝑚
Ejemplo cambio de unidades

21. Masa
50.8 𝑔 → ? 𝑘𝑔
105 𝑔 = 1 𝑘𝑔 |×1065
1 𝑔 = 1065 𝑘𝑔 |×50.8
50.8 𝑔 = 50.8×1065 𝑘𝑔
= 5.08×1067𝑘𝑔

22. Tiempo
2.5 ℎ → ? 𝑠
1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠
1 ℎ = 60×60 𝑠
= 3600 𝑠 |×2.5
2.5 ℎ = 9000 𝑠

23. Área
322 𝑐𝑚7 → ? 𝑚7
107 𝑐𝑚 = 1 𝑚 |×1067
1 𝑐𝑚 = 1067 𝑚 |( )7
1 𝑐𝑚7 = 1068 𝑚7 |×322
322 𝑐𝑚7 = 3.22×1067 𝑚7

24. Volumen
1.8 𝑚5 → ? 𝑘𝑚5
105 𝑚 = 1 𝑘𝑚 |×1065
1 𝑚 = 1065 𝑘𝑚 |( )5
1 𝑚5 = 1069 𝑘𝑚5 |×1.8
1.8 𝑚5 = 1.8×1069 𝑘𝑚5

25. Volumen
3.5 𝐻𝑚5 → ? 𝑚𝑚5
1 𝐻𝑚 = 107 𝑚
1 𝑚 = 105 𝑚𝑚
1 𝐻𝑚 = 107×105 𝑚𝑚
= 10: 𝑚𝑚
1 𝐻𝑚 = 10: 𝑚𝑚 |×( )5
1 𝐻𝑚5 = 10;: 𝑚𝑚5 |×3.5
3.5 𝐻𝑚5 = 3.5×10;: 𝑚𝑚5

26. Unidades derivadas
25.7 𝑘𝑚/ℎ7 → ? 𝑚/𝑠7
1 𝑘𝑚 = 105 𝑚 |×25.7
𝑎 25.7 𝑘𝑚 = 25.7×105 𝑚
1 ℎ = 3600𝑠 |×( )7
𝑏 1ℎ7 = 12.96×10< 𝑠7
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑜𝑟 (𝑏)
25.7
𝑘𝑚
ℎ7 =
25.7×105
12.96×10<
𝑚
𝑠7
= 1.98×1065 𝑚/𝑠7

27. Unidades derivadas
32.6 𝑘𝑚/ℎ → ? 𝑚/𝑠
1 𝑘𝑚 = 105 𝑚 |×32.6
𝑎 32.6 𝑘𝑚 = 32.6×105 𝑚
𝑏 1 ℎ = 3600𝑠
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑜𝑟 (𝑏)
32.6
𝑘𝑚
ℎ
=
32.6×105
3600
𝑚
𝑠
≅ 9.1 𝑚/𝑠

28. Análisis Dimensional
Una ecuación física es una relación matemática entre las cantidades físicas. Por ejemplo:
⃑
𝐹 = 𝑚 ⃑
𝑎
𝑥 𝑡 = 𝑥' + 𝑣'(∆𝑡 +
1
2
𝑎(∆𝑡"
𝐸 = 𝑚𝑐"
El análisis dimensional hace uso de las ecuaciones dimensionales en el cual las dimensiones
pueden ser tratadas como cantidades algebraicas y estudia como se relacionan las magnitudes
derivadas con las fundamentales.
En el sistema LMT cualquier cantidad física derivada se representa por un monomio de la forma:
𝐿(𝑀)𝑇*
Los exponentes: 𝑥, 𝑦, 𝑧 constituyen las dimensiones de la cantidad física considerada, con
respecto a la longitud (𝐿), la masa (𝑀) y al tiempo (𝑇). Dichos exponentes pueden tomar valores
positivos, cero, negativos.
Si A es una magnitud física derivada, entonces podrá expresarse simbólicamente con la ecuación
dimensional:
𝐴 = 𝐿(𝑀)𝑇*
Notación: A: se lee magnitud “A”; [A]: se lee ecuación dimensional de “A”

29. 1. Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier
Toda ecuación física será dimensionalmente correcta si:
• Las dimensiones en ambos miembros son exactamente las mismas.
• Cada sumando de ambos miembros debe tener exactamente las mismas dimensiones.
• Ambos miembros y cada sumando de ambos miembros de una ecuación física deben tener
exactamente las mismas unidades de medida, para un sistema de unidades dado.
𝑥 𝑡 = 𝑥' + 𝑣'(∆𝑡 +
%
"
𝑎(∆𝑡"
En caso contrario, la ecuación no es válida.
2. Términos Adimensionales
Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como 𝜋), y las funciones
trigonométricas se consideran términos adimensionales porque no tienen dimensiones y se le
otorga un valor unitario.
3 = 1; 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 1; sin 45° = 1; log 19 = 1
3. No se cumple la suma y la resta aritmética.
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ; 𝑀 − 𝑀 = 𝑀
4. Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como
cocientes.

30. La cantidad física superficie A es el producto entre una
longitud y otra longitud:
𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
---------------------------------------------
⟹ 𝐴 = 𝐿 × 𝐿 = 𝐿𝑀=𝑇= × 𝐿𝑀=𝑇=
⟹ 𝐴 = 𝐿7𝑀=𝑇=
Ejemplo análisis dimensional

31. La rapidez es definida como:
𝑣 = 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 =
𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
⟹ 𝑣 =
>
?
---------------------------------------------
En el sistema LMT temenos:
𝐿 = 𝐿 𝑀=𝑇=
𝑇 = 𝐿=𝑀=𝑇
⟹ 𝑣 =
𝐿 𝑀=𝑇=
𝐿=𝑀=𝑇
= 𝐿𝑀=𝑇6;
⟹ 𝑣 = 𝐿𝑀=𝑇6;
Ejemplo análisis dimensional

32. Verificar si la ecuación física
𝑥 = 𝑣'𝑡 +
1
2
𝑎𝑡"
es dimensionalmente homogénea
𝑥 =longitud; 𝑣'=rapidez; 𝑡=tiempo; 𝑎 =aceleración
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⟹ 𝑥 = 𝐿𝑀'𝑇'
𝑡 = 𝐿'𝑀'𝑇 ⟹ 𝑡" = 𝐿'𝑀'𝑇"
𝑣' =
(
,
=
-.!/!
-!.!/
= 𝐿𝑀'𝑇!%
𝑎 =
0
,
=
-.!/!
-!.!/" = 𝐿𝑀'𝑇!"
Ejemplo análisis dimensional
Si la ecuación 𝑥 = 𝑣'𝑡 +
%
"
𝑎𝑡" es
homogénea entonces ambos lados deben
tener la misma ecuación dimensional, en
efecto:
𝑣'𝑡 = 𝐿𝑀'𝑇!% 𝐿'𝑀'𝑇 = 𝐿𝑀'𝑇'
𝑎𝑡" = 𝐿𝑀'𝑇!" 𝐿'𝑀'𝑇" = 𝐿𝑀'𝑇'
La fracción 1/2 es solo un coeficiente numérico
⟹ No es una cantidad Xísica
⟹ No tiene ecuación dimensional
De esta manera:
𝑥 = 𝑣'𝑡 +
1
2
𝑎𝑡"
𝐿𝑀'𝑇' = 𝐿𝑀'𝑇' + 𝐿𝑀'𝑇'
La ecuación es dimensionalmente correcta

33. Obtener las dimensiones, en el sistema LMT, de la cantidad 𝐺 llamada “constante de
gravitación universal” y definida a través de la siguiente ecuación física
𝑔 = 𝐺
𝑀
𝑅"
Donde 𝑔 es la aceleración de gravedad, 𝑀 es la masa de la tierra y 𝑅 el radio medio de
la tierra.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Si 𝑔 = 𝐺
#
$! ⟹ 𝐺 =
%$!
#
⟹ 𝐺 =
𝑔 𝑅"
𝑀
-La gravedad es una aceleración:
𝑔 =
&'()*+,-,
.+'/0)
=
1#"2"
1"#"2! = 𝐿𝑀3𝑇4"
-El radio de la tierra es una longitud:
𝑅 = 𝐿𝑀3𝑇3 ⟹ 𝑅" = 𝐿"𝑀3𝑇3
-La masa de la tierra:
𝑀 = 𝐿3𝑀𝑇3
Ejemplo análisis dimensional
De esta manera:
𝐺 =
𝐿𝑀3
𝑇4"
𝐿"
𝑀3
𝑇3
𝐿3𝑀𝑇3
𝐺 = 𝐿5𝑀46𝑇4"

34. Vectores
Las magnitudes físicas fundamentales que estudiamos
anteriormente son tales que están determinadas por
medio de un único número. Llamaremos a este tipo
de magnitudes escalares.
Existe otro tipo de magnitudes físicas que están
determinadas por más de un único número. Ellas son
las magnitudes que denominaremos vectores.

35. Vectores
Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:
Temperatura
Resistencia eléctrica
Diferencia de potencial
Presión

36. Vectores
Algunos ejemplos de vectores son:
Fuerza: coloquialmente hablamos de cuánta fuerza
ejercemos y de hacia dónde y dónde la ejercemos.
Velocidad: acostumbramos hablar de qué tan rápido nos
movemos y hacia dónde.
Desplazamiento: decimos cuánto nos hemos movido y
hacia dónde.

37. Vectores
Podemos indicar un punto
por un par de
coordenadas (x,y) en un
sistema de coordenadas
cartesiano, como en la
figura:
Comenzaremos considerando el concepto de posición

38. Vectores
Ahora, podemos imaginar
que en el punto P(4,2) se
encuentra un objeto.
Decimos entonces, que la
posición de dicho objeto está
descrita por el punto P cuyas
coordenadas son x = 4 m e y =
2 m

39. Vectores
Como vemos, se requieren dos
números, x = 4 m e y = 2 m,
para determinar e informar la
posición de un objeto.
Notemos que, en el ejemplo, el
objeto está sobre un plano.
En general, se requieren más de
dos números para establecer la
posición de un objeto. Por
ejemplo, en el espacio.
𝑃(4,2)

40. Vectores
Matemáticamente, de dónde proviene nuestra noción de la
vida diaria en la que se indica la posición de un objeto por medio
de qué tan lejos se encuentra y en qué dirección?
Distancia desde el origen 0
hasta el punto P:
𝑟 = 𝑥!
"
+ 𝑦!
"
Ángulo formado por la flecha,
con respecto al eje x:
𝜃 = tan#$
(𝑦!/𝑥!)

41. Definición de vector
Podemos indicar la posición de cualquier punto por medio de
los valores de 𝑟 y del ángulo 𝜃
Decimos que la flecha que comienza en el origen 0 y termina en
el punto P representa gráficamente a un vector.
El largo de la flecha se
llama módulo del vector.
El ángulo que el vector
forma con respecto al eje
x es su dirección.

42. Equivalencia de vectores
Consideraremos dos vectores como equivalentes cuando sus
módulos y direcciones sean iguales
Los vectores ⃑
𝐴 y 𝐵 son equivalentes,
tienen igual módulo y dirección.
Los vectores ⃑
𝐴 y ⃑
𝐶 no son equivalentes,
tienen la misma dirección, pero su
módulo es distinto.
Los vectores ⃑
𝐴 y 𝐷 no son equivalentes,
tienen el mismo módulo, pero sus
direcciones son distintas.
Los vectores ⃑
𝐴 y 𝐸 no son equivalentes,
difieren tanto en módulo, como en
dirección.

43. Equivalencia de vectores
Ejemplo:
El transporte de ⃑
𝐴 paralelo al eje 𝑥
produce un nuevo vector equivalente 𝐵
El transporte de ⃑
𝐴 paralelo al eje 𝑦
produce un nuevo vector equivalente 𝐵

44. Suma de vectores
𝑅 = ⃑
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + ⃑
𝐴 La suma de vectores es
conmutativa

45. Substracción de vectores

46. Multiplicación por un escalar
Al multiplicar un vector por un número (un escalar) obtenemos
un nuevo vector, con la misma dirección que el inicial, pero con
una longitud distinta.
Con la elección: 𝛼 = 1
hemos invertido el
vector

47. Producto escalar entre vectores
Representa la multiplicación del
largo de la proyección de un vector
sobre el otro por el largo del primero

48. Producto vectorial
Representa el área del
paralelogramo formado por los
vectores
Magnitud:

49. Vectores unitarios
Definiremos los vectores ̂
𝚤, ̂
𝚥 y $
𝑘,
los cuales tienen las siguientes tres
propiedades:
Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre los vectores. Sin
embargo, para nuestros estudios posteriores necesitaremos una
descripción analítica de los mismos.
• Tienen la dirección positiva del eje
• Son perpendiculares (ortogonales)
̂
𝚤 & ̂
𝚥 = ̂
𝚥 & $
𝑘 = $
𝑘 & ̂
𝚤 = 0
• Tienen módulo uno (adimensionales)
̂
𝚤 & ̂
𝚤 = ̂
𝚥 & ̂
𝚥 = $
𝑘 & $
𝑘 = 1

50. Vectores unitarios
Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre los
vectores. Sin embargo, para nuestros estudios posteriores
necesitaremos una descripción analítica de los mismos.
• Son perpendiculares (ortogonales)
̂
𝚤× ̂
𝚤 = ̂
𝚥× ̂
𝚥 = $
𝑘×$
𝑘 = 0
̂
𝚤× ̂
𝚥 = $
𝑘 ̂
𝚥× ̂
𝚤 = −$
𝑘
$
𝑘× ̂
𝚤 = ̂
𝚥 ̂
𝚤×$
𝑘 = − ̂
𝚥
̂
𝚥×$
𝑘 = ̂
𝚤 $
𝑘× ̂
𝚥 = − ̂
𝚤

51. Descomposición de vectores
De la suma de vectores sabemos que:
De la multiplicación por un
escalar sabemos que
Luego:
⃑
𝐴 = 𝐴& + 𝐴'+ 𝐴(
𝐴& = 𝑎& ̂
𝚤
𝐴' = 𝑎' ̂
𝚥
𝐴( = 𝑎(
'
𝑘
⃑
𝐴 = 𝑎& ̂
𝚤 + 𝑎' ̂
𝚥+𝑎(
'
𝑘

52. Descomposición de vectores
Por ejemplo en la figura:
Todo vector puede ser descompuesto
como una suma de los vectores unitarios
multiplicados por la componente escalar
de cada eje.
⃑
𝐴 = 𝑎) ̂
𝚤 + 𝑎* ̂
𝚥+𝑎+
)
𝑘
⃑
𝐴 = 6 ̂
𝚤 + 4 ̂
𝚥+2)
𝑘

53. Operaciones con vectores
Consideremos los vectores:
Suma de vectores:
⃑
𝐴 = 𝑎) ̂
𝚤 + 𝑎* ̂
𝚥+𝑎+
)
𝑘 𝐵 = 𝑏) ̂
𝚤 + 𝑏* ̂
𝚥+𝑏)
𝑘
⃑
𝐶 = ⃑
𝐴 + 𝐵 = (𝑎) ̂
𝚤 + 𝑎* ̂
𝚥+𝑎+
)
𝑘) + 𝑏) ̂
𝚤 + 𝑏* ̂
𝚥+𝑏)
𝑘
⃑
𝐶 = (𝑎)+𝑏)) ̂
𝚤 + (𝑎*+𝑏*) ̂
𝚥 + (𝑎++𝑏+))
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑐) ̂
𝚤 + 𝑐* ̂
𝚥 + 𝑐+
)
𝑘

54. Operaciones con vectores
Resta de vectores:
O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene:
⃑
𝐶 = ⃑
𝐴 − 𝐵 = (𝑎) ̂
𝚤 + 𝑎* ̂
𝚥+𝑎+
)
𝑘) − 𝑏) ̂
𝚤 + 𝑏* ̂
𝚥+𝑏)
𝑘
⃑
𝐶 = (𝑎)−𝑏)) ̂
𝚤 + (𝑎*−𝑏*) ̂
𝚥 + (𝑎+−𝑏+))
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑐) ̂
𝚤 + 𝑐* ̂
𝚥 + 𝑐+
)
𝑘
𝑐) = 𝑎) ± 𝑏) 𝑐* = 𝑎* ± 𝑏* 𝑐+ = 𝑎+ ± 𝑏+

55. Operaciones con vectores
Multiplicación de un vector por un escalar:
O sea, que para este caso, se tiene:
⃑
𝐶 = 𝛼 ⃑
𝐴 = 𝛼(𝑎) ̂
𝚤 + 𝑎* ̂
𝚥+𝑎+
)
𝑘)
⃑
𝐶 = (𝛼𝑎)) ̂
𝚤 + (𝛼𝑎*) ̂
𝚥 + (𝛼𝑎+))
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑐) ̂
𝚤 + 𝑐* ̂
𝚥 + 𝑐+
)
𝑘
𝑐) = 𝛼𝑎) 𝑐* = 𝛼𝑎* 𝑐+ = 𝛼𝑎+

56. Operaciones con vectores
Producto escalar entre vectores:
⃑
𝐶 = ⃑
𝐴 0 𝐵 = 𝑎% ̂
𝚤 + 𝑎& ̂
𝚥 + 𝑎'
6
𝑘 0 𝑏% ̂
𝚤 + 𝑏& ̂
𝚥 + 𝑏'
6
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑎% ̂
𝚤 0 𝑏% ̂
𝚤 + 𝑎% ̂
𝚤 0 𝑏& ̂
𝚥 + 𝑎% ̂
𝚤 0 𝑏'
6
𝑘 + 𝑎& ̂
𝚥 0 𝑏% ̂
𝚤 + 𝑎& ̂
𝚥 0 𝑏& ̂
𝚥 + 𝑎& ̂
𝚥 0 𝑏'
6
𝑘 +
𝑎'
6
𝑘 0 𝑏% ̂
𝚤 + 𝑎'
6
𝑘 0 𝑏& ̂
𝚥 + 𝑎'
6
𝑘 0 𝑏'
6
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑎% 0 𝑏% + 𝑎& 0 𝑏& + 𝑎' 0 𝑏'
Notar que el resultado es un escalar en lugar de un vector

57. Operaciones con vectores
Producto vectorial entre vectores:
⃑
𝐶 = ⃑
𝐴×𝐵 = 𝑎% ̂
𝚤 + 𝑎& ̂
𝚥 + 𝑎'
6
𝑘 × 𝑏% ̂
𝚤 + 𝑏& ̂
𝚥 + 𝑏'
6
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑎%𝑏% ̂
𝚤× ̂
𝚤 + 𝑎%𝑏& ̂
𝚤× ̂
𝚥 + 𝑎%𝑏' ̂
𝚤×6
𝑘 + 𝑎&𝑏% ̂
𝚥× ̂
𝚤 + 𝑎&𝑏& ̂
𝚥× ̂
𝚥 + 𝑎&𝑏' ̂
𝚥×6
𝑘 +
𝑎'𝑏%
6
𝑘× ̂
𝚤 + 𝑎'𝑏&
6
𝑘× ̂
𝚥 + 𝑎'𝑏'
6
𝑘𝑥6
𝑘
⃑
𝐶 = 𝑎% 0 𝑏&
6
𝑘 − 𝑎% 0 𝑏' ̂
𝚥 − 𝑎& 0 𝑏%
6
𝑘 + 𝑎& 0 𝑏' ̂
𝚤 + 𝑎' 0 𝑏% ̂
𝚥 − 𝑎' 0 𝑏& ̂
𝚤
⃑
𝐶 = ̂
𝚤(𝑎& 0 𝑏' − 𝑎' 0 𝑏& ) − ̂
𝚥(𝑎% 0 𝑏' + 𝑎' 0 𝑏%) + 6
𝑘(𝑎% 0 𝑏& − 𝑎& 0 𝑏%)

58. Operaciones con vectores
Otra forma de evaluar el producto vectorial es:
̂
𝚤(𝑎# * 𝑏$ − 𝑎$ * 𝑏# ) − ̂
𝚥(𝑎% * 𝑏$ − 𝑎$ * 𝑏%) + /
𝑘(𝑎% * 𝑏# − 𝑎# * 𝑏%)
𝑎% 𝑎# 𝑎$
𝑏% 𝑏# 𝑏$

59. Caso bidimensional
Si conocemos la magnitud de un
vector, A, y su dirección, el ángulo
teta, entonces podemos calcular sus
componentes de la siguiente forma:
Inversamente, si conocemos sus
componentes podemos calcular su
módulo y su dirección, de la siguiente
forma: