FISICA LIBRO

1. Facultad de Ingeniería de Sistemas, Cómputo y Telecomunicaciones
Física I
Teoría y Práctica
Oscar Santiago Monroy Cárdenas
Derechos Reservados
Lima – Perú
2016

2. ÍNDICE
Pág.
UNIDAD 1: CANTIDADES FÍSICAS 1
1.1. Introducción 1
1.1.1 ¿Qué es la Física? 1
1.1.2 ¿Por qué medimos en la Física? 1
1.1.3 El Sistema Internacional de Unidades (S.I) 2
1.2. Análisis dimensional 3
1.2.1 Ecuación dimensional 3
1.2.2 Propiedades básicas 3
1.2.3 Principio de homogeneidad dimensional 4
1.2.4 Dimensiones de algunas cantidades físicas derivadas 4
1.3. Clasificación de las cantidades físicas 15
1.3.1 Cantidades escalares 15
1.3.2 Cantidades vectoriales 15
1.4 Representación geométrica de un vector 16
1.5 Adición de vectores por métodos geométricos 16
1.5.1 Regla del triángulo 16
1.5.2 Regla del polígono 17
1.5.3 Regla del paralelogramo 18
1.6 Conceptos básicos 19
1.6.1 Diferencia de vectores 19
1.6.2 Traslación de vectores 19
1.6.3 Vectores iguales 19
1.6.4 Vectores opuestos 20
1.6.5 Vectores paralelos 20
1.7
Descomposición rectangular de un vector en dos
dimensiones
29
1.8 Representación analítica de un vector en dos dimensiones 29
1.9
Suma de vectores por el método analítico de la
descomposición rectangular
30
1.10 Vector unitario 39
1.11 Descomposición de un vector en tres dimensiones 39
Problemas propuestos 47
UNIDAD 2: CINEMÁTICA 57
2.1 Conceptos básicos de la cinemática 57
2.1.1 Sistema de referencia 57
2.1.2 Vector de posición 58
2.1.3 Desplazamiento 58
2.1.4 Velocidad media 59
2.1.5 Distancia 59
2.1.6 Rapidez media 60
2.2 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 60
2.2.1 Ecuación del MRU 60
2.2.2 Gráficas del MRU 61
2.3 Aceleración media 72
2.4 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) 73
2.4.1 Ecuaciones del MRUV 73
2.4.2 Gráficas del MRUV 74

3. 2.5 MRUV vertical 88
2.6 Movimiento parabólico 95
2.6.1 Descripción geométrica 95
2.6.2 Descripción analítica 95
2.7 Movimiento circular 105
2.7.1 Desplazamiento angular 105
2.7.2 Velocidad angular media 106
2.7.3 Periodo y frecuencia 107
2.8 Movimiento circular uniforme (MCU) 108
2.8.1 Ecuación del MCU 108
2.8.2 Gráficas del MCU 109
2.9 Velocidad tangencial 109
2.10
Relación general entre la rapidez tangencial y la rapidez
angular
109
2.11 Aceleración angular media 114
2.12 Movimiento circular uniformemente variado (MCUV) 114
2.12.1 Ecuaciones del MCUV 114
2.12.2 Gráficas del MCUV 115
2.13 Aceleración centrípeta y aceleración tangencial 116
Problemas propuestos 121
UNIDAD 3: ESTÁTICA Y DINÁMICA 141
3.1 Conceptos básicos 141
3.1.1 Sistema 141
3.1.2 Fuerza 141
3.1.3 Inercia 142
3.1.4 Masa 142
3.2 Leyes de Newton de la mecánica 142
3.2.1 Primera ley. (Principio de inercia) 142
3.2.2 Segunda ley. (Principio de masa) 143
3.2.3 Tercera ley. (Principio de acción y reacción) 143
3.3 Equilibrio de fuerzas concurrentes 144
3.4 Fuerza de rozamiento o fricción en superficies sólidas 150
3.5 Ley de la fricción 151
3.6 Fuerza elástica 152
3.7 Torque (o momento de fuerza) 160
3.8 Condiciones de equilibrio 163
3.8.1 Primera condición de equilibrio 163
3.8.2 Segunda condición de equilibrio 163
3.9
Procedimiento general para la resolución de problemas de
estática
172
3.10 Dinámica del movimiento rectilíneo 172
3.11 Dinámica del movimiento circular 185
3.11.1 Fuerza centrípeta 186
3.11.2 Fuerza tangencial 186
3.12
Procedimiento general para la resolución de problemas de
dinámica
192
3.13 Gravitación universal 193
3.13.1 Ley de Newton de la gravitación universal 193
3.13.2 Variación de la aceleración de la gravedad 193
3.14 Leyes de Kepler 195

4. 3.14.1 Primera ley: ley de las órbitas 195
3.14.2 Segunda ley: ley de las áreas 196
3.14.3 Tercera ley: ley de los períodos 196
Problemas propuestos 200
UNIDAD 4: TRABAJO Y ENERGÍA 221
4.1 Trabajo de una fuerza constante 221
4.2 Trabajo de una fuerza variable 226
4.3 Potencia media 228
4.4 Concepto de energía 231
4.5 Energía cinética 231
4.6 Teorema del trabajo y la energía 231
4.7 Energía potencial 236
4.7.1 Energía potencial gravitatoria 236
4.7.2 Energía potencial elástica 237
4.8 Fuerzas conservativas y no conservativas 238
4.9 Principio de conservación de la energía 239
4.9.1 Sistema conservativo: no hay fricción 239
4.9.2 Sistema no conservativo: hay fricción 239
Problemas propuestos 249
APÉNDICES 261
Apéndice A: Unidades SI 261
Apéndice B: Relaciones algebraicas 263
Apéndice C: Fórmulas de figuras geométricas 265
Apéndice D: Relaciones trigonométricas 268
Apéndice E: Cálculo diferencial 270
Apéndice F: Cálculo integral 271
Apéndice G: Serie de potencias e identidades 272
Bibliografía 274

5. INTRODUCCIÓN
El propósito de este libro es contribuir con la comprensión de los temas
esenciales de la Mecánica newtoniana a través de un primer curso de Física,
describiéndolos de la manera más simple posible de acuerdo con los
conocimientos matemáticos elementales que tienen generalmente los
estudiantes cuando cursan el primer o segundo año en la universidad.
Por razones de programación curricular, el libro trata de las leyes de
Newton de la Mecánica clásica. Las características del libro son consistentes
con la programación didáctica desarrollada por el docente, donde los logros de
aprendizaje son específicos para cada Unidad de la asignatura. Cada Unidad
temática está constituida por secciones de teoría, un conjunto de problemas
resueltos en cada una de las secciones, y un conjunto selecto de problemas
propuestos que le permitan al estudiante obtener un aprendizaje óptimo.
La principal motivación que tuve en la elaboración de este libro fueron las
necesidades que percibí en los estudiantes cuando afrontan un primer curso de
Física en la universidad. La experiencia adquirida a través de los años como
profesor me ha obligado a tener en mente las posibles dificultades de
comprensión y aplicación de las leyes básicas de la Mecánica newtoniana en
los estudiantes, preocupándome por presentar una redacción simple de la
teoría y las habilidades que se requieren en la resolución de los problemas.
O.S.M.C.

6. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
Unidad I
Esta Unidad trata del análisis dimensional de las ecuaciones de la Física y
del análisis vectorial para comprender las reglas de la adición de vectores.
Se explicará cómo Identificar los diferentes sistemas de unidades existentes
en la actualidad. Se Utilizará el álgebra de las ecuaciones dimensionales.
Se aplicarán las reglas de la adición y multiplicación de vectores en la
resolución de problemas.
Unidad II
En esta Unidad, se estudian dos tipos especiales de movimiento rectilíneo: el
movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el movimiento rectilíneo uniformemente
variado (MRUV). También, se estudian dos tipos especiales de movimiento
curvilíneo en dos dimensiones: el movimiento parabólico y el movimiento
circular.
Se describen y aplican los conceptos de la cinemática en el movimiento
rectilíneo en régimen de velocidad constante y aceleración constante con
resolución de problemas.
Se describen y aplican los conceptos de la cinemática en el movimiento
curvilíneo en dos dimensiones con resolución de problemas.
Unidad III
En esta Unidad, se estudia el equilibrio de fuerzas concurrentes para un
sistema en reposo o con movimiento de traslación uniforme y el equilibrio de
fuerzas paralelas para un sistema en reposo. También se estudia la dinámica
del movimiento rectilíneo y del movimiento circular.
Se describen y analizan las condiciones de equilibrio de traslación y rotación
mediante la resolución de problemas de interés práctico. También se describe y
analiza la dinámica del movimiento rectilíneo y del movimiento circular.
Unidad IV
Esta Unidad comienza con la definición cuantitativa de trabajo, para luego
comprender las definiciones cuantitativas de energía cinética y energía
potencial.
Se describen y desarrollan los conceptos de trabajo, energía y potencia con
resolución de problemas.
Se aplican el teorema del trabajo y la energía, así como la ley de
conservación de la energía en la solución de problemas de dinámica.

7. UNIDAD 1
CANTIDADES FÍSICAS
Una cantidad física es un lenguaje que utilizamos para describir y cuantificar
una propiedad de un sistema natural. Las cantidades físicas se clasifican en
escalares y vectoriales. En las ecuaciones de la Física se relacionan
cantidades escalares y vectoriales. Esta Unidad trata del análisis dimensional
de las ecuaciones de la Física y del análisis vectorial para comprender las
reglas de la adición de vectores.
1.1. Introducción
1.1.1 ¿Qué es la Física?
Es la ciencia más fundamental que se ocupa de la comprensión y descripción
de los fenómenos naturales mediante principios físicos que son concordantes
con las observaciones experimentales.
Un principio físico es una proposición que indica una propiedad general de un
fenómeno natural. Se expresa con exactitud en la forma de una ecuación
matemática llamada ley física o ecuación física. Una ecuación física constituye
la receta para diseñar instrumentos de medida que permitan comprobar
mediante experimentos la ley física.
1.1.2 ¿Por qué medimos en la Física?
La medición es el acto de comparar directamente o indirectamente el número
en la escala del instrumento con la propiedad física. Por consiguiente, medir
significa cuantificar propiedades físicas. A cada propiedad física medible se le
asigna un nombre, llamada en general cantidad física. Por ejemplo, una
propiedad física primordial que percibimos es el tamaño o dimensión de las
cosas que nos rodean. La cantidad física fundamental asociada para medirla se
llama longitud. El instrumento que se inventó para medir longitudes fue la regla
rígida. Otra propiedad física de los objetos materiales es la inercia. La cantidad
física fundamental asociada para medirla se llama masa. El instrumento que se
diseñó para medir la inercia es la balanza. Otra propiedad física universal que
percibimos son las vibraciones. Una vibración u oscilación significa un
movimiento repetitivo y se manifiesta en un intervalo o periodo de tiempo. El
instrumento que se inventó para medir intervalos de tiempo es el reloj. Por
ejemplo, el reloj humano se inventó de acuerdo a los latidos del corazón. La
división más pequeña en un reloj tradicional (el segundo) es comparable con el
intervalo que hay entre un latido del corazón y el siguiente latido consecutivo.

8. En general, cuando se tiene una propiedad física medible se cumple la
correspondencia:
propiedad física cantidad física
tamaño longitud
inercia masa
vibración tiempo
Las mediciones se expresan en unidades convencionales. A un conjunto de
unidades estándar se les llama sistema de unidades. En la actualidad el
sistema de unidades predominante en el mundo es el sistema métrico. La
nueva versión del sistema métrico (MKS) se denomina Sistema Internacional
de Unidades (SI).
Se puede plantear una tercera pregunta fundamental: ¿cuál es el propósito de
la Física? Esta pregunta no puede ser contestada en nuestro estado actual de
conocimientos. Sin embargo, parece estar íntimamente relacionada con el
propósito del cosmos, donde está implícito el lenguaje intrínseco de la
naturaleza. La búsqueda de este lenguaje debe ser en realidad el objetivo
primordial de la Física contemporánea.
1.1.3 El Sistema Internacional de Unidades (S.I)
El 31 de diciembre de 1982, Perú adoptó el S.I. (ley No
23560) como sistema
legal de unidades para las medidas.
El S.I. consta de siete cantidades fundamentales, las cuales se describen en la
tabla adjunta.
Cantidad fundamental Dimensión Unidad Símbolo
Longitud L metro M
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo S
Intensidad de corriente eléctrica I ampere A
Temperatura termodinámica Θ kelvin K
Cantidad de sustancia N mol Mol
Intensidad luminosa J candela cd
Cuando los números que expresan las mediciones son muy grandes o muy
pequeños se utilizan prefijos como unidades en el S.I. (véase la tabla adjunta).

9. Prefijo Símbolo Orden Equivalencia
Tera- T 1012
1 Terámetro (Tm) ≡ 1012
m
Giga- G 109
1 Gigámetro (Gm) ≡ 109
m
Mega- M 106
1 Megámetro (Mm) ≡ 106
m
Kilo- k 103
1 kilómetro (km) ≡ 103
m
Deci- d 10-1
1 decímetro (dm) ≡ 10-1
m
Centi- c 10-2
1 centímetro (cm) ≡ 10-2
m
Mili- m 10-3
1 milímetro (mm) ≡ 10-3
m
Micro- µ 10-6
1 micrómetro (µm) ≡ 10-6
m
Nano- n 10-9
1 nanómetro (nm) ≡ 10-9
m
Pico- p 10-12
1 picómetro (pm) ≡ 10-12
m
(*) OBSERVACIÓN
Una cantidad física se considera fundamental cuando se define, de modo
independiente, a partir de una propiedad física universal. Por el contrario, se
llama cantidad física derivada cuando se define en términos de una o más
cantidades físicas fundamentales.
1.2. Análisis dimensional
Las ecuaciones de la Física tienen la propiedad de que los términos
independientes que la conforman son homogéneos. El procedimiento que se
utiliza para comprobar si una ecuación física es dimensionalmente homogénea
se llama análisis dimensional.
1.2.1 Ecuación dimensional
Cuando se examina la homogeneidad de una ecuación surge la llamada
ecuación dimensional, la cual es una igualdad que exhibe las dimensiones
fundamentales de un sistema de unidades. Es de la forma:
[ ] Kcba
TMLX =
donde:
[ ]X : se lee dimensión de X
a, b, c, ...: números enteros o fracciones de enteros
1.2.2 Propiedades básicas

10. Cinco propiedades de las ecuaciones dimensionales son necesarias y
suficientes para examinar la homogeneidad de una ecuación. Son las
siguientes:
[ ]número real , [ ] [ ][ ]xy x y= ,
[ ]
[ ]y
x
y
x
=





[ ] [ ]cx x ,= (número real), [ ]nn
x x  = 
1.2.3 Principio de homogeneidad dimensional
Este principio establece una condición para que una ecuación sea
dimensionalmente homogénea. Dice lo siguiente:
Todos los términos de una ecuación física tienen igual dimensión.
Por ejemplo, considérese la ecuación de la Física:
0v v at= +
donde v0, v: velocidades, a: aceleración y t: tiempo. Entonces el principio de
homogeneidad exige que:
[ ] [ ] [ ]0v v at= =
Esta condición también implica que las unidades de los términos de la ecuación
sean homogéneas.
1.2.4 Dimensiones de algunas cantidades físicas derivadas
Frecuentemente al examinar la homogeneidad de una ecuación física aparecen
las siguientes cantidades derivadas:
[ ] [ ][ ] 2
LLLanchooarglárea =⋅==
[ ] [ ][ ][ ] 3
LLLLalturaanchooarglvolumen =⋅⋅==
[ ] [ ]
[ ]
1
LT
T
L
tiempo
entodesplazami
velocidad −
===
[ ] [ ]
[ ]
2
1
LT
T
LT
tiempo
velocidad
naceleració −
−
===

11. [ ] [ ][ ] 2
MLTnaceleraciómasafuerza −
==
[ ] [ ]
[ ]
21
2
2
TML
L
MLT
área
fuerza
presión −−
−
===
[ ] [ ][ ] 222
TMLLMLTciatandisfuerzatrabajo −−
===
[ ] [ ]
[ ]
3
3
ML
L
M
volumen
masa
densidad −
===
Se puede seguir incrementando la lista de cantidades derivadas según
convenga.
Ejemplo 1.1: Dadas las siguientes ecuaciones:
(I) v/E2Ft = (II)
( )2
0
c/v1
m
m
−
= , (III)








+=
2
at
1mgE
2
donde m0, m: masas, F: fuerza, t: tiempo, E: energía, v, c: velocidades y a, g:
aceleraciones.
a) Examinar si las ecuaciones dadas son dimensionalmente correctas.
b) Indicar las ecuaciones incorrectas y explicar por qué.
c) Reformule las ecuaciones incorrectas de modo que sean dimensionalmente
correctas.
Solución:
a) (I) Escribiendo las dimensiones de los términos, luego aplicando el principio
de homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales se tiene:
[ ] [ ][ ] ( ) 12
MLTTMLTtFFt −−
===
[ ]
[ ]
1
1
22
MLT
LT
TML
v
E
v
E2 −
−
−
===



[ ] 1
MLT
v
E2
Ft −
=



=
Por tanto, la ecuación (I) es dimensionalmente correcta.
(II) Escribiendo las dimensiones de los términos, luego aplicando el principio de
homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales se tiene:
[ ] Mm =

12. ( )
[ ]
M
1
M
c
v
1
m
c/v1
m
2
0
2
0
==














−
=








−
[ ]
( )
M
c/v1
m
m
2
0
=








−
=
Por tanto, la ecuación (II) es dimensionalmente correcta.
(III) Escribiendo las dimensiones de los términos, luego aplicando el principio
de homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales se tiene:
2
at
mgmg
2
at
1mgE
22
+=







+=
[ ] 22
TMLE −
=
[ ] 2
MLTmg −
=
[ ][ ][ ] ( )( ) 222222
2
TMLTLTMLTtamg
2
at
mg −−−
===





Vemos que la ecuación (III) no satisface el principio de homogeneidad, y por
consiguiente no es dimensionalmente correcta.
b) La Ec.(III) es incorrecta, porque no satisface el principio de homogeneidad
dimensional. Es decir:
[ ] [ ]mg
2
at
mgE
2
≠





=
c) Para que la Ec.(III) sea dimensionalmente correcta, se reescribe:








+=
2
at
bmgE
2
donde:
[ ] [ ][ ] ( ) LTLTta
2
at
b 222
2
===





= −

13. Ejemplo 1.2: Un cuerpo se mueve en una trayectoria rectilínea de acuerdo a
la ley:
2
ctbtav ++= , donde v: velocidad y t: tiempo.
a) Determine las dimensiones de los coeficientes a, b y c.
b) ¿Cuáles son las unidades de a, b y c en el SI?
c) ¿Cuál es el significado físico de los coeficientes a, b y c?
Solución:
a) Aplicando el principio de homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones
dimensionales, se escriben:
[ ] [ ] 1
LTva −
==
[ ][ ] [ ]vtb =
[ ]
[ ]
[ ]
1
2v LT
b LT
t T
−
−
= = =
También:
[ ][ ] [ ]vtc 2
=
[ ]
[ ]
[ ]
3
2
1
2
LT
T
TL
t
v
c −
−
===
b) Unidad de la cantidad a : ms – 1
o m/s
Unidad de la cantidad b : ms – 2
o m/s2
Unidad de la cantidad c : ms – 3
o m/s3
c) Examinado las dimensiones se deducen:
[ ] [ ]a v := velocidad
[ ]
[ ]
[ ]
velocidad
b :
tiempo
= aceleración
[ ]
[ ]
[ ]
aceleración
c :
tiempo
= no tiene significado
Ejemplo 1.3: Hallar las dimensiones de cada una de las cantidades
desconocidas en las ecuaciones dimensionalmente homogéneas:
a) a = kdc2
, donde a: aceleración, d: distancia y c: velocidad.

14. b) P = P0
Rλ
mg
T
λZ
1 





, donde: P, P0: presiones, Z: distancia, T: temperatura
termodinámica, m: masa y g: aceleración.
c) x2
=
K
E
+
K
KA--E2
cos


t
m
K
2 + 

π
4
, donde: x: distancia, m: masa y t:
tiempo.
Solución:
a) La cantidad desconocida es k. Aplicando el principio de homogeneidad y las
propiedades de las ecuaciones dimensionales:
[ ] [ ][ ][ ]2
a k d c=
[ ]
[ ]
[ ] [ ]2
a
k
d c
=
[ ]k =
2
2
1 2 3
L T L
L
(L)(LT ) L
−
−
−
= =
b) Las cantidades desconocidas son λ y R. Aplicando el principio de
homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales:



 λ
T
z
= 1
[λ ] =
]z[
]T[
=
L
Θ
[ λ ] = L–1
Θ
Determinando la dimensión de R:




λR
mg
= 1
[ R ] =
][
]g[]m[
λ

15. [ R ] =
2
1
(M)(LT )
L
−
−
Θ
[ R ] = ML2
T –2 1−
Θ
c) Las cantidades desconocidas son K, E y A. Aplicando el principio de
homogeneidad y las propiedades de las ecuaciones dimensionales:






t
m
K
2 = 1
[ ]1/2
1/2
[K ] t
1
[m]
=
[ K ] = 2
]t[
]m[
= 2
2
M
MT
T
−
=
Determinando la dimensión de E :
[ ]2E
x
K
 
= 
 
[ ] [ ] [ ]2 2 2
E x K L MT−
= =
Determinando la dimensión de A :
[ ] [ ]2
KA E=
[ ]
2
[E]
A
[K ]
= =
( )
2
2 2
2
L MT
MT
−
−
=
4 2 4
4 2
2
L M T
L MT
MT
−
−
−
=
Ejemplo 1.4: La ecuación F = tx
ρy
vz
es dimensionalmente homogénea,
donde F: fuerza, t: tiempo,ρ: densidad y v: velocidad. Halle la ecuación física
correcta.
Solución:
El principio de homogeneidad requiere:
[ F ] = [ t ]x
[ρ ]y
[ v ]z
M LT –2
= (Tx
) (ML–3
)y
(LT –1
)z
M LT –2
= My
L–3y + z
Tx – z

16. Comparando términos:
M = My
y = 1
L = L–3y + z
–3y + z = 1
z = 4
T –2
= Tx – z
x – z = –2
x = 2
Por tanto, la ecuación física correcta es de la forma:
2 4
F t v= ρ
Ejemplo 1.5: La frecuencia de vibración (f) de una cuerda depende de la fuerza
F aplicada, de la masa por unidad de longitud µ y de su longitud l.
a) Utilizando el análisis dimensional, halle la ecuación respectiva.
b) Interprete la ecuación obtenida.
c) Si las cantidades µ y l permanecen constantes, ¿cómo debe cambiar el valor
de la fuerza aplicada a la cuerda para que la frecuencia se duplique?
Solución:
a) Según el enunciado se plantea la ecuación en la forma:
x y z
f kF l= µ (1)
donde k es una constante adimensional.
Aplicando el principio de homogeneidad:
[ ] [ ] [ ] []zyx
lFf µ=
( ) ( )
x y
1 2 1 z
T MLT ML L− − −
=
( )( )1 x x 2x y y z
T M L T M L L− − −
=

17. Reescribiendo:
x2zyxyx100
TLMTLM −+−+−
=
Comparando:
yx0
MM +
=
0yx =+ (2)
zyx0
LL +−
=
0zyx =+− (3)
x21
TT −−
=
1x2 −=−
2
1
x =
Insertando en (2):
0y
2
1
=+
2
1
y −=
Reemplazando los valores de x e y en la ecuación (3):
0z
2
1
2
1
=+





−−
1z −=
Finalmente, reemplazando en la ecuación (1):
12/12/1
lkFf −−
µ=
O también:
µ
=
F
l
k
f (4)

18. b) Para una longitud l fija; a mayor fuerza, mayor será la frecuencia de
vibración y viceversa. Es decir:
f ∝ F1/2
Para una fuerza F constante; a mayor longitud de la cuerda, menor será la
frecuencia de vibración y viceversa. Es decir:
f ∝
l
1
c) Considérese que la frecuencia inicial es:
f =
µ
F
l
k
Por dato, la frecuencia final es:
f´ =
µ
´F
l
k
= 2f
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
´F = 2 F
De donde:
F´ = 4F
Por tanto, la fuerza aplicada en la cuerda se cuadruplica.
Ejemplo 1.6: La presión dentro de una burbuja de jabón depende del trabajo
por unidad de área (γ) que realiza el aire en su interior y del radio (r) de la
burbuja. Utilizando el análisis dimensional:
a) Halle la forma de la ecuación física correcta.
b) ¿Cuál es la dimensión de γ?
c) ¿Cuál es el significado de la cantidad γ?
Solución:
a) Según el enunciado:
P = k γx
ry
(1)
donde k es una constante adimensional.

19. Aplicando el principio de homogeneidad, se tiene:
[ P ] = [ γ ]x
[ r ]y
ML-1
T –2
=







 −
2
22
L
TML
Ly
ML-1
T –2
= Mx
Ly
T –2x
Identificando exponentes:
M = Mx
x = 1
L–1
= Ly
y = -1
Reemplazando los valores de x e y en la Ec.(1), la ecuación física correcta es:
P =
r
kγ
(2)
b) Despejando γ de la Ec.(2):
Pr
k
γ =
Por consiguiente, la dimensión de γ es:
[ ] 1 2 2
ML T L MT− − −
γ = =
c) Reescribiendo la ecuación anterior, se tiene:
[ γ ] =
L
MLT 2−
=
[ ]
[ ]longitud
fuerza
O también:
[ γ ] = 2
22
L
TML −
=
[ ]
[ ]área
trabajo

20. La ecuación dimensional anterior sugiere que γ se puede interpretar como la
fuerza que actúa en la unidad de longitud, o equivalentemente como el trabajo
realizado sobre la unidad de área.
Ejemplo 1.7: La distancia (d) recorrida por un bloque que resbala desde el
reposo sobre un plano inclinado depende de la aceleración (a) que adquiere y
del tiempo (t) empleado desde la posición inicial.
a) Utilizando el análisis dimensional, halle la forma de la ecuación física
correcta.
b) Interprete la ecuación obtenida.
c) Usando la tabla adjunta, haga una gráfica de la distancia d en función de t2
.
¿Es concordante la gráfica con su resultado anterior?
t(s) 0 1 2 3 4 5
d(cm) 0 5 20 45 80 125
Solución:
a) Según el enunciado se escribe la ecuación en la forma:
x y
d ka t= (1)
donde k es una constante adimensional.
Aplicando el principio de homogeneidad:
[ ] [ ] [ ]x y
d a t=
2 x y
L (LT ) T−
=
x 2x y
L L T− +
=
Comparando ambos lados se tiene:
x
L L=
x = 1
0 2x y
T T− +
=
–2x + y = 0
y = 2
Sustituyendo estos valores en la Ec.(1), la ecuación física correcta es de la
forma:

21. 2
d kat= (2)
b) Suponiendo que la inclinación del plano no cambia, entonces es razonable
suponer que se aceleración (a) es constante. Por tanto, la distancia recorrida
aumentará con el cuadrado del tiempo: d ∝ t2
.
c) Utilicemos los datos de la tabla adjunta. Entonces la gráfica de la distancia d
en función de t2
es una línea recta, como muestra la figura 1.1. Obsérvese
que la constante de proporcionalidad es:
ka = 2
t
d
=
1
5
=
4
20
=
9
45
=
16
80
=
5
125
= 5 cm/s2
= 5 x 10–2
m/s2
Figura 1.1
Por tanto, la Ec.(2) queda completamente determinada:
( ) 2
t05,0d =
1.3. Clasificación de las cantidades físicas
Las cantidades físicas se clasifican en dos categorías: cantidades escalares y
cantidades vectoriales.
1.3.1 Cantidades escalares
Las cantidades que se describen completamente indicando solamente su
magnitud se llaman escalares. Por ejemplo, la temperatura de un cuerpo se
describe con solo leer el número en la escala del termómetro. Otros ejemplos
de escalares son: masa, presión, densidad, etc.
1.3.2 Cantidades vectoriales
Las cantidades que se describen completamente indicando su magnitud y su
dirección se llaman vectores. Por ejemplo, la velocidad de un cuerpo se
t2
d(10–2
m)
0 0
1 5
4 20
9 45
16 80
25 125

22. describe indicando qué tan rápido y en qué dirección se mueve el cuerpo. Otros
ejemplos de vectores son: fuerza, aceleración, desplazamiento, etc.
1.4. Representación geométrica de un vector
El segmento orientado
→
OP (flecha) que se muestra en la figura 1.2 es la
representación geométrica de un vector. Se pueden indicar tres elementos para
describir un vector en forma gráfica: magnitud, dirección y sentido. La longitud
de la flecha representa la magnitud del vector, el ángulo que forma la flecha
con una recta de referencia arbitraria representa la dirección, y la cabeza de la
flecha representa el sentido del vector.
Figura 1.2
Para describir un vector en forma analítica solo se requieren dos elementos: su
magnitud y su dirección. La mayoría de autores de texto de Física no hacen
distinción entre la representación geométrica y la representación analítica de un
vector, por lo que consideran que el sentido de un vector es solo un elemento
complementario para describir su dirección.
1.5. Adición de vectores por métodos geométricos
1.5.1 Regla del triángulo
Consiste en dibujar dos vectores, uno a continuación del otro. El vector que se
dibuja desde el origen del primer vector y termina en el extremo del segundo
representa la suma de los vectores y se llama resultante. En la figura 1.3 se
muestra esta regla para dos vectores A
r
y B
r
.
Figura 1.3

23. (*) OBSERVACIÓN
Dibujando un vector C R= −
r r
a continuación del vector B
r
se obtiene el triángulo
vectorial que se muestra en la figura 1.4. Por consiguiente, de la regla del
triángulo se deduce:
A B ( R) 0+ + − =
r r r r
A B C 0+ + =
rr r r
Este resultado se puede denominar propiedad cíclica del triángulo vectorial.
Figura 1.4
1.5.2 Regla del polígono
Consiste en dibujar dos o más vectores, uno a continuación del otro. El vector
que se dibuja desde el origen del primer vector y termina en el extremo del
último vector representa la suma de los vectores y se llama resultante. En la
figura 1.5 se muestra esta regla para cuatro vectores A
r
, B
r
, C
r
y D
r
.
Figura 1.5
(*) OBSERVACIÓN
Dibujando un vector E R= −
r r
a continuación del vector D
r
se obtiene el polígono
vectorial que se muestra en la figura 1.6. Por consiguiente, de la regla del
polígono se deduce:
A B C D ( R) 0+ + + + − =
rr r r r r
A B C D E 0+ + + + =
rr r r r r
Este resultado se puede denominar propiedad cíclica del polígono vectorial.

24. Figura 1.6
1.5.3 Regla del paralelogramo
Considérese dos vectores A
r
y B
r
con origen común y que forman entre sí un
ángulo θ , tal que 0 < θ < π, como muestra la figura 1.7. Es claro que
trazando líneas paralelas a estos vectores se forma un paralelogramo.
Entonces el vector que ocupa la diagonal mayor del paralelogramo representa
la suma de los vectores A
r
y B
r
. La magnitud de la resultante R A B= +
r r r
se
determina por la fórmula:
2 2
R A B R A B 2ABcos= + = = + + θ
r r r
(1.1)
Figura 1.7
(*) OBSERVACIONES
1º La magnitud del vector A B−
r r
que ocupa la otra diagonal del paralelogramo
(véase la figura 1.8) se determina por la ley del coseno:
2 2
A B A B 2ABcos− = + − θ
r r
(1.2)
Figura 1.8
2º Si A
r
y B
r
son perpendiculares entre sí:θ = 90°, entonces de las Ec.(1.1) y
(1.2) se obtiene:

25. 2 2
A B A B A B+ = − = +
r r r r
(1.3)
La interpretación geométrica de este resultado se muestra en las figuras 1.9(a)
y 1.9(b).
(a) (b)
Figura 1.9
1.6. Conceptos básicos
1.6.1 Diferencia de vectores
Consiste en sumar un vector con el opuesto de otro vector, tal como se
muestra en la figura 1.10(a) y en la figura 1.10(b).
(a) (b)
Figura 1.10
1.6.2 Traslación de vectores
Los vectores graficados se pueden trasladar a cualquier lugar sin alterarse,
siempre que se conserven sus tres elementos: magnitud, dirección y sentido.
En caso contrario, el vector que se traslada ya no es el mismo y por
consiguiente, la operación no es válida.
1.6.3 Vectores iguales
Dos vectores A
r
y B
r
son iguales si tienen sus elementos iguales (véase la
figura 1.11). Entonces, se escribe:
BA
rr
=
Figura 1.11

26. 1.6.4 Vectores opuestos
Dos vectores A
r
y B
r
son opuestos, si al sumarse da el vector nulo (véase la
figura 1.12). Entonces se escribe:
A B 0+ =
r r r
B A= −
r r
Figura 1.12
1.6.5 Vectores paralelos
Dos vectores A
r
y B
r
son paralelos si están relacionados por:
A B= λ
r r
(1.4)
dondeλ es un número real. En la figura 1.13 se muestra un ejemplo de
vectores paralelos.
Figura 1.13
(*) OBSERVACIONES
1°Si 1=λ , los vectores son iguales, y si 1−=λ , los vectores son opuestos.
2º Si A
r
y B
r
son vectores paralelos en el mismo sentido (véase la figura 1.14):
θ = 0°. Reemplazando en la Ec.(1.1), se obtiene una resultante de magnitud
máxima:
máxA B R A B+ = = +
r r
(1.5)
Figura 1.14

27. 2u
1u
M
2u
2u
120°
120°
60°
1u
120°
2 + 2 = 4u
3º Si A
r
y B
r
son vectores paralelos en sentidos opuestos (véase la figura 1.15):
θ = 180°. Reemplazando en la Ec.(1.1), se obtiene una resultante de magnitud
mínima:
mínA B R A B+ = = −
r r
(1.6)
Figura 1.15
Ejemplo 1.8: En la figura 1.16, determine la magnitud de la resultante de los
vectores mostrados en el rombo de lado 2u, siendo M punto medio del lado.
Figura 1.16
Solución:
Aplicando la regla del triángulo, el vector A
r
se puede descomponer en dos
vectores de 2u (la flecha de la parte inferior y la flecha inclinada del lado
derecho), como se muestra en la figura 1.17. Análogamente, el vector B
r
se
puede descomponer en un vector de 2u (flecha de la parte superior) y otro
vector de 1u (flecha inclinada del lado izquierdo). Luego quedan dos pares de
vectores paralelos.
Figura 1.17 Figura 1.18
120°
M
A
B

28. La magnitud de la resultante de los dos vectores paralelos iguales es 4u y la
magnitud de la resultante de los dos vectores paralelos opuestos es 1u, como
se muestra la figura 1.18. Además, es claro que el ángulo entre estos vectores
es 60°.
Aplicando la regla del paralelogramo, la magnitud del vector resultante se
determina por:
( )( )2 2
R 1 4 2 1 4 cos60= + + °
( )( )( )R 1 16 2 1 4 1/ 2= + +
R 21= u
Ejemplo 1.9: Determine el vector resultante para el sistema de vectores
mostrado en la figura 1.19.
Figura 1.19
Solución:
El vector resultante está dado por:
R A B C D E F= + + + + +
rr r r r r r
(1)
En la figura 1.19, usando la regla del polígono, es claro que:
E F A D C B+ + = − +
rr r r r r
(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
( ) ( )R D C B B C D= − + + + +
r rr r r r r
( )R 2B 2D 2 B D= + = +
r r r r r

29. Ejemplo 1.10: La figura 1.20 muestra un cuadrado PQRS de lado 4u donde M
es punto medio de PQ. Determine el valor del ángulo θ , tal que la magnitud de
la resultante sea 221 u.
Figura 1.20
Solución:
Usando la regla del triángulo el vector B
r
se descompone en un vector sobre el
segmento SP y otro vector sobre el segmento PM . Análogamente, el vector C
r
se descompone en un vector sobre el segmento SR y otro vector sobre el
segmento RN (véase la figura 1.21).
Figura 1.21
Sumando todos los vectores paralelos, el sistema se reduce a dos vectores: un
vector horizontal de magnitud 10u y un vector vertical de magnitud (8 + y),
como se muestra en la figura 1.22.
Figura 1.22
Usando la regla del triángulo y el teorema de Pitágoras:
102
+ (8 + y)2
= 221
(8 + y)2
= 121

30. De donde:
y = 3 u
Por consiguiente, de la figura 1.21 se escribe:
tanθ =
4
3
θ = 37º
Ejemplo 1.11: Dos personas A y B jalan horizontalmente las cuerdas atadas a
un poste las cuales forman entre si un ángulo de 45º. La persona A ejerce una
fuerza de magnitud 1500 N y la persona B una fuerza de magnitud 1000 2 N.
Utilizando la escala 1 cm ≡ 500 N, halle la magnitud de la fuerza resultante,
resolviendo:
a) Geométricamente por la regla del triángulo.
b) Geométricamente por la regla del paralelogramo.
Solución:
a) Sean los vectores A
r
y B
r
las fuerzas que ejercen las personas A y B
respectivamente. Entonces según el enunciado escribimos las equivalencias
A A 1500 N 3 cm≡ = ≡
r
, B B 1000 2 N 2 2 cm≡ = ≡
r
Dibujando los vectores A
r
y B
r
a escala (véase la figura 1.23), y luego usando
la regla del triángulo, se obtiene la resultante R
r
, siendo su magnitud:
R =
22
25 + = 29 cm ≡ 500 29 N
Figura 1.23
b) Dibujando los vectores A
r
y B
r
a escala (véase la figura 1.24), y luego
usando la regla del paralelogramo, se obtiene la resultante R
r
, siendo su
magnitud:
B
A
R = A + B
1 cm
1 cm

31. R = 2 2
A B 2ABcos45º+ +
R= 2 2 1
3 (2 2) 2(3)(2 2)
2
 
+ +  
 
R = 29 cm ≡ 500 29 N
Figura 1.24
Ejemplo 1.12: En el conjunto de vectores mostrado en la figura 1.25,
aCBA ===
rrr
. Determine la magnitud de la resultante.
Figura 1.25
Solución:
El vector resultante se expresa por:
R A B C D E F= + + + + +
rr r r r r r
(1)
Usando la regla del triángulo, de la figura 1.25 es claro que:
A E C+ =
rr r
(2)
B F C+ =
rr r
(3)
Por consiguiente, reemplazando (2) y (3) en (1) el vector resultante se escribe:
R 3C D= +
rr r
(4)
B
A
R
45º

32. El vector 3C
r
es perpendicular al plano xy, y por consiguiente al vector D
r
,
como se muestra en la figura 1.26. Por tanto, la magnitud de la resultante R
r
(véase la figura 1.27) es:
R =
22
)a3()a2( + = 11 a
z
x
y
3 C
D
z
x
y
D
3 C
R
a 2
3a
Figura 1.26 Figura 1.27
Ejemplo 1.13. Considere los vectores que se muestran en la figura 1.28.
a) Dibuje un triángulo en términos de los vectores A
r
, B
r
y X
r
.
b) Expresar el vector X
r
en función de los vectores A
r
y B
r
.
c) ¿Cuál es el factor de escala que relaciona la semejanza de los triángulos
formados con los vectores A
r
, B
r
y X
r
?
Figura 1.28
Solución:
a) En la figura 1.28 se muestran tres triángulos semejantes en términos de los
vectores A
r
, B
r
y X
r
.
1 cm
1 cm
A
B
X

33. Figura 1.29
b) Considerando cualesquiera de los triángulos mostrados en la figura 1.29 se
puede expresar el vector X
r
en función de los vectores A
r
y B
r
. Por ejemplo, en
el triángulo más grande se cumple
AX2B
3
1
B
rrrr
=+





+
B
3
4
AX2
rrr
−=
B
3
2
A
2
1
X
rrr
−=
Puede repetirse el mismo procedimiento para los otros triángulos obteniéndose
el mismo resultado.
c) Las áreas de los triángulos mostrados en la figura 1.29 son:
A1 =
( )( )
2
12
= 1 cm2
, A2 =
( )( )
2
24
= 4 cm2
, A3 =
( )( )
2
48
= 16 cm2
y así sucesivamente.
El triángulo vectorial más pequeño compatible con la escala dada es el de área
A1 = 1cm2
. Además, obsérvese que las áreas de los triángulos están en
progresión geométrica, cuya razón nos proporciona el factor de escala para
construir triángulos de áreas mayores. Por tanto, el factor de escala está
determinado por la razón de dos áreas consecutivas, como sigue:
1
4
A
A
1
2
= = 4,
4
16
A
A
2
3
= = 4
y así sucesivamente.
Ejemplo 1.14: En un cuadrado de lado 2 m están inscritas una circunferencia y
un cuarto de circunferencia, como muestra la figura 1.30. Exprese el vector x
r
en función de los vectores A
r
y B
r
.

34. Figura 1.30
Solución:
Figura 1.31
Introduciendo el vector C
r
ocupando la mitad de la diagonal del cuadrado
(véase la figura 1.31), es claro que:
( )1
C A B
2
= +
r r r
(1)
Puesto que los vectores x
r
y C
r
son paralelos, se escribe:
x C= λ
rr
(2)
donde λ es un número real.
De la figura 1.31, es claro que la cantidad λ es la fracción:
( )2 2 1
2
−
λ = (3)

35. Reemplazando (1) y (3) en (2):
( )2 1
x A B
2
 −
= +  
 
r rr
O también:
( )2 2
x A B
2
 −
= +  
 
r rr
1.7. Descomposición rectangular de un vector en dos dimensiones
Consiste en proyectar perpendicularmente un vector sobre los ejes de un
sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la figura 1.32 se muestra la
descomposición de un vector A
r
sobre los ejes x e y de un sistema de
coordenadas cartesiano rectangular. . Los vectores proyectados xA
r
y yA
r
se
llaman componentes del vector A
r
.
Figura 1.32
Los componentes de un vector sobre los ejes coordenados se describen
analíticamente por un número que indica su magnitud y un signo que indica su
dirección respecto a un eje coordenado. Por ejemplo, los componentes del
vector A
r
en la figura 1.32 se leen como sigue:
Ax = + Acosθ : componente de A
r
en la dirección del eje + x
Ay = + Asenθ : componente de A
r
en la dirección del eje + y
1.8. Representación analítica de un vector en dos dimensiones
Un vector se puede expresar analíticamente de varias formas. Por ejemplo, en
la figura 1.32 el vector A
r
en dos dimensiones se puede representar como
sigue:
En la forma de un par ordenado:
( )x yA A ,A=
r
(1.7)

36. En la forma magnitud – dirección, la magnitud de expresa por:
2
y
2
x BAAA +=≡
r
(1.8)
La dirección respecto al eje x se puede expresar a partir de la función tangente,
por:
tanθ
y
x
A
A
=
O también:
−
 
 θ =
 
 
y1
x
A
tan
A
(1.9)
donde la expresión tan-1
denota la función tangente inversa.
1.9. Suma de vectores por el método analítico de la descomposición
rectangular
Considérense dos vectores A
r
y B
r
en dos dimensiones representados en un
sistema de coordenadas cartesiano xy los cuales forman ángulos θ α
respectivamente con respecto al eje x, como muestra la figura 1.33. El
procedimiento puede describirse en tres pasos:
1°) Descomponer los vectores dados y describir sus componentes con respecto
a los ejes coordenados.
En la figura 1.33, se muestra la proyección perpendicular de los vectores A
r
y
B
r
sobre los ejes coordenados x e y. La descripción matemática de los
componentes del vector A
r
es:
Ax = + Acosθ , Ay = + Asenθ
Análogamente, la descripción matemática de los componentes del vector B
r
es:
xB Bcos= − α , yB Bsen= − α
2°) Sumar los componentes de los vectores a lo largo de los ejes coordenados.
En la figura 1.33, los componentes del vector resultante a lo largo de los ejes x
e y son respectivamente:
Rx = Ax + Bx = Acosθ - Bcosα
Ry = Ay + By = Asenθ - Bsenα

37. Figura 1.33
3°) Describir el vector resultante.
En la forma del par ordenado, el vector resultante se expresa:
( )x yR R ,R=
r
O en la forma magnitud – dirección por:






=γ
+=
x
y
2
y
2
x
R
R
arctan
RRR
En la figura 1.34 se muestran los componentes Rx y Ry del vector resultante.
Obsérvese que el vector resultante R
r
coincide con el obtenido por la regla del
paralelogramo (véanse las flechas discontinuas en el paralelogramo de la figura
1.33).
Figura 1.34
(*) OBSERVACIONES
1º Si los vectores A
r
y B
r
se representan por pares ordenados, la suma
analítica es como sigue:
R A B= +
r r r

38. (Rx, Ry) = (Ax, Ay) + (Bx, By)
(Rx, Ry) = (Ax + Bx, Ay + By).
donde: Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By.
2º Se puede adoptar el convenio de orientar los ejes x e y del sistema de
coordenadas cartesiano en dos dimensiones, como se muestra en la figura
1.35.
Figura 1.35
Ejemplo 1.15: En la figura 1.36 se muestran cuatro vectores fuerza que actúan
sobre un cuerpo situado en el origen de coordenadas. Considere: F1 = 20 N, F2
= 30 N, F3 = 25 2 N y F4 = 20 2 N.
Figura 1.36
a) Determine las componentes x e y de cada una de las fuerzas.
b) Halle las componentes de la fuerza resultante.
c) Determine la magnitud de la fuerza resultante.
d) Halle una quinta fuerza 5F
r
que debe añadirse para conseguir que la fuerza
resultante sea nula. Represente este quinto vector fuerza en un diagrama.
Solución:
F1
F2
F3 F4
53º 37º
45º 45º
y
x

39. a) En la figura 1.37 se muestra la descomposición de las fuerzas.
+y
+x
F
37º
2
F1F1y
45º45º
F3 F4
F4yF3y
F3x
F2y
F4x
F1x
F2x 53º
Figura 1.37
Las componentes de las fuerzas 1F
r
, 2F
r
, 3F
r
y 4F
r
sobre los ejes x e y son
respectivamente:
F1x = F1 cos 37º = (20) 





5
4
= + 16 N
F1y = F1 sen37º = (20) 





5
3
= +12 N
F2x = – F2 cos 53º = – (30) 





5
3
= – 18 N
F2y = F2 sen 53º = (30) 





5
4
= +24 N
F3x = – F3 cos 45º = – (25 2 ) 





2
1
= – 25N
F3y = – F3 sen 45º = – (25 2 ) 





2
1
= – 25N

40. F4x = F4 cos 45º = (20 2 ) 





2
1
= + 20 N
F4y = – F4 sen45º = – (20 2 ) 





2
1
= – 20 N
b) La componente de la fuerza resultante en el eje x, es:
Fx = F1x + F2x + F3x + F4x
Fx = 16 –18 – 25 + 20 = – 7 N
La componente de la fuerza resultante en el eje y, es:
Fy = F1y + F2y + F3y + F4y
FY = 12 + 24 – 25 – 20 = – 9 N
c) La fuerza resultante es:
( )F 7, 9 N= − −
r
La magnitud de la fuerza resultante es:
2 2 2 2
x yF F F ( 7) ( 9)= + = − + −
F 130 N=
d) Para que la fuerza resultante sea nula:
5F F 0+ =
r r r
De donde:
( )5F F 7, 9= − = − − −
r r
5F (7,9) N=
r
En la figura 1.38 se representa la fuerza 5F
r
con sus componentes sobre los
ejes x e y.

41. +y
+x
F5
F5x = + 7 N
F5y = + 9 N
Figura 1.38
Ejemplo 1.16: Dados los vectores A
r
, B
r
y C
r
mostrados en la figura 1.39,
determine la magnitud de los vectores A
r
y B
r
, sabiendo que la resultante es
nula. Considere: C = 35 u.
Figura 1.39
Solución:
En la figura 1.40, se muestra la descomposición rectangular de los vectores A
r
y B
r
. También se describen los componentes de los vectores.
Por dato, los componentes del vector resultante a lo largo de los ejes x e y son:
Rx = Acos37°– Bsen45°= 0
4 2
A B 0
5 2
− =
4 2
A B
5 2
= (1)
Ry = Asen37°+ Bcos45°– 35 = 0

42. 3 2
A B 35 0
5 2
+ − =
3 2
A B 35
5 2
+ = (2)
Figura 1.40
Reemplazando (1) en (2):
3 4
A A 35
5 5
+ =
De donde:
A = 25 u
Finalmente sustituyendo en (1) se obtiene:
4 2
(25) B
5 2
=
De donde:
B 20 2 u=
Ejemplo 1.17: Un ciclista se desplaza sobre una superficie horizontal del modo
siguiente: 10 km hacia el norte, luego 15 km hacia el oeste 37º respecto al
norte y finalmente 31 km hacia el sur.
a) Hágase un diagrama de los desplazamientos sucesivos del ciclista.
b) Determine la magnitud y dirección del desplazamiento total del ciclista con
respecto al oeste.

43. +y
+x
d2
d1
15km
37º
10 km
31 km
α
d3 d
N
S
EO
c) ¿Cuál es el desplazamiento adicional que debe realizar el ciclista para
retornar al punto de partida?
Solución:
a) En la figura 1.41 se muestran los desplazamientos sucesivos del ciclista.
Figura 1.41
b) El desplazamiento hacia el norte se escribe:
1d (0,10) km=
v
El desplazamiento hacia el oeste, 37°respecto al n orte se escribe:
2
3 4
d ( 15sen37 ,15cos37 ) ( 15 ,12 )
5 5
= − ° ° = − × ×
v
2d ( 9,12) km= −
v
El desplazamiento hacia el sur se escribe:
3d (0, 31) km= −
v
El desplazamiento total será:
d (0,10) ( 9,12) (0, 31) ( 9, 9) km= + − + − = − −
v
La magnitud del desplazamiento es:
2 2
d ( 9) ( 9) 9 2 km= − + − =
v
La dirección con respecto al oeste se determina por:

44. tan α =
9
9
−
−
= 1
de donde:
α = 45º
c) Sea d′
v
el desplazamiento adicional. Entonces para retornar al punto de partida:
d d 0′ + =
r rv
de donde:
d d ( 9, 9) km (9,9) km′ = − = − − − =
rv
Ejemplo 1.18: Determine la magnitud y la dirección de la resultante de los
vectores que se muestran en la figura 1.42.
Figura 1.42
Solución:
Girando el sistema de coordenadas xy de la figura 1.42 un ángulo de 9º en
sentido antihorario, los vectores A
r
, B
r
y C
r
quedarán orientados con los ángulos
que se indican en la figura 1.43.
Figura 1.43
A
C
44º 46º
9º
y
x
20 u 40 u
25 u
O
B

45. Teniendo en cuenta los componentes de los vectores A
r
, B
r
y C
r
respecto a los
ejes girados x´ e y´ (véase la figura 1.43), se tienen.
Rx´ = 32 – 12 = + 20 u
Ry´ = 16 + 24 – 25 = + 15 u
La magnitud de la resultante del conjunto de vectores es:
R = 2 2
(20) (15)+ = 25 u
La dirección respecto al eje x´ se calcula por:
tanα =
20
15
=
4
3
De donde:
α = 37º
1.10. Vector unitario
Se dice que un vector es unitario si su magnitud es igual a la unidad. Por
ejemplo, un vector unitario asociado a un vector A
r
se representa como se
indica en la figura 1.44, y se define por:
A
A
aˆ r
r
= o aˆAA
rr
= (1.10)
Figura 1.44
Aquí A
r
representa la magnitud del vector A
r
, y se cumple que 1aˆ = .
1.11. Descomposición de un vector en tres dimensiones
Sean iˆ , jˆ , kˆ vectores unitarios asociados a los ejes coordenados x, y, z
respectivamente. Cuando el vector A
r
se proyecta perpendicularmente sobre
los ejes coordenados se obtienen los componentes xA
r
, yA
r
, zA
r
, como muestra
la figura 1.45. Entonces el vector A
r
se representa analíticamente mediante los
vectores unitarios por:

46. kˆAjˆAiˆAA zyx ++=
r
(1.11)
Figura 1.45
(*) OBSERVACIONES
1º De la geometría de la figura 1.45 se deducen:
α= cosAAx , β= cosAAy , γ= cosAAz ,(1.12)
donde α , β , γ, se llaman ángulos directores de A
r
respecto a los ejes x, y, z
respectivamente.
2º La magnitud de A
r
está dada por:
2
z
2
y
2
x AAAA ++= (1.13)
Ejemplo 1.19: Hallar el vector B
r
que está en el plano xy tal que sea
perpendicular al vector jˆ3iˆ2A +=
r
y cuya magnitud sea B = 4 u. Hágase un
diagrama para interpretar el resultado.
Resolución:
Sea jˆBiˆBB yx +=
r
un vector en el plano xy. Como B
r
es perpendicular al vector
A
r
, entonces:
0BA =⋅
rr
ó ( ) ( ) 0jˆBiˆBjˆ3iˆ2 yx =+⋅+ ,
de donde se obtiene:
x y2B 3B 0+ = (1)

47. Además, por dato: B = 2
y
2
x BB + = 4, de donde se obtiene:
Bx
2
+ By
2
= 42
= 16 (2)
De la Ec.(1), se tiene la relación:
By =
3
2
− Bx (3)
Sustituyendo (3) en (2):
Bx
2
+
2
xB
3
2






− = 16,⇒ Bx
2
+
9
4
Bx
2
= 16,
Se obtienen las soluciones: Bx =
13
12
± ,
Si Bx = +
13
12
, sustituyendo en (3) da: By = 





−
13
12
3
2
=
13
8
−
Por tanto, la solución para el vector B
r
es:
jˆ
13
8
iˆ
13
12
B −=
r
Si Bx =
13
12
− , sustituyendo en (3) da: By = 





13
12
3
2
=
13
8
,
Por tanto, la otra solución para el vector B
r
es:
jˆ
13
8
iˆ
13
12
BB +−=−=′
rr
La interpretación geométrica de las soluciones para el vector B
r
se muestra en
la figura 1.46
Figura 1.46

48. Ejemplo 1.20: Dados los vectores: kˆjˆiˆ2A −−=
r
, kˆ2jˆiˆB ++=
r
y kˆ4jˆ2iˆ3C +−=
r
, hallar ( )CBA
rrr
+× .
Resolución:
Sumando los vectores B
r
y C
r
se obtiene:
kˆ6jˆiˆ4CB +−=+
rr
,
Desarrollando el producto vectorial:
( ) kˆ
14
12
jˆ
64
12
iˆ
61
11
614
112
kˆjˆiˆ
CBA
−
−
+
−
−
−
−−
=
−
−−=+×
rrr
.
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]kˆ1412jˆ1462iˆ1161CBA −−−+−−−−−−−=+×
rrr
( ) kˆ2jˆ16iˆ7CBA +−−=+×
rrr
.
Ejemplo 1.21: Dados los vectores: jˆ3iˆA +=
r
, jˆ4iˆ3B −=
r
y jˆ10iˆ12C +=
r
, hallar:
a) ( )CBA
rrr
×× .
b) ( ) CBA
rrr
×× .
c) ¿Coinciden los resultados de las partes a y b?
Resolución:
a) El producto vectorial de B
r
y C
r
es:
CB
rr
× = (3 – 4 jˆ ) × (12 + 10 jˆ )
CB
rr
× = 36 ( × ) + 30 ( × jˆ ) – 48 ( jˆ × ) – 40 ( jˆ × jˆ )
Teniendo en cuenta que ( × ) = 0, ( × jˆ ) = kˆ , ( jˆ × ) = kˆ , ( jˆ × jˆ ) = 0, se
obtiene
CB
rr
× = 78 kˆ
Por tanto:
( )CBA
rrr
×× = ( + 3 jˆ ) × 78 kˆ = – 78 jˆ + 234 = 234 – 78 jˆ
b) Análogamente, el producto vectorial de A
r
y B
r
es:

49. BA
rr
× = ( + 3 jˆ ) × (3 – 4 jˆ ) =
BA
rr
× = 3 ( × ) – 4 ( × jˆ ) + 9 ( jˆ × ) – 12 ( jˆ × jˆ ) = – 13 kˆ
Por tanto:
( ) CBA
rrr
×× = – 13 kˆ × (12 + 10 jˆ ) = – 156 jˆ + 130 = 130 – 156 jˆ
c) Comparando los resultados de las partes a y b es evidente que:
( ) ( ) CBACBA
rrrrrr
××≠××
Ejemplo 1.22: Demostrar la identidad:
( ) ( ) 2222
BABABA =×+⋅
rrrr
Resolución:
Por definición de producto escalar:
θ=⋅ cosABBA
rr
(1)
Elevando al cuadrado se tiene:
( ) θ=⋅ 2222
cosBABA
rr
(2)
Por definición de producto vectorial:
θ=× ABsenBA
rr
(3)
Elevando al cuadrado se tiene:
θ=× 222
2
senBABA
rr
(4)
Sumando las Ecs.(2) y (4):
( ) ( )θ+θ=×+⋅ 2222
22
sencosBABABA
rrrr
( ) 22
22
BABABA =×+⋅
rrrr
Ejemplo 1.23: Dado un triángulo con lados en los vectores A
r
, B
r
y C
r
donde
BAC
rrr
−= , demostrar la ley del coseno.

50. Resolución:
Considérese el triángulo de la figura 2.50:
Figura 1.47
Póngase el producto escalar:
( ) ( )BABACC
rrrrrr
−⋅−=⋅
BBABBAAAC2
rrrrrrrr
⋅+⋅−⋅−⋅=
Puesto que ABBA
rrrr
⋅=⋅ , entonces
θ−+=⋅−+= cosAB2BABA2BAC 22222 rr
Este resultado se llama “ley del coseno”.
Ejemplo 1.24: Dado un triángulo con lados A
r
, B
r
y C
r
donde 0CBA
rrrr
=++ ,
demostrar la ley del seno.
Resolución:
Considérese el triángulo de la figura 1.48:
Figura 1.48
En el triángulo vectorial se cumple:

51. 0CBA
rrrr
=++ (1)
Multiplicando vectorialmente la Ec.(1) por el vector A
r
se tiene:
( ) 0ACBAA
rrrrrr
×=++×
0CABAAA
0
rrrrr
321
rr
r
=×+×+×
ACCABA
rrrrrr
×=×−=×
Por consiguiente: ACBA
rrrr
×=×
( ) ( )β−°=γ−° 180CAsen180ABsen
β=γ CsenBsen
γ
=
β sen
C
sen
B
(2)
Análogamente, multiplicando vectorialmente la Ec.(1) por el vector B
r
:
( ) 0BCBAB
rrrrrr
×=++×
0CBBBAB
0
rrr
321
rrrr
r
=×+×+×
CBAB
rrrr
×−=×
BCAB
rrrr
×=×
Por consiguiente: BCAB
rrrr
×=×
( ) ( )α−°=γ−° 180CBsen180BAsen
α=γ CsenAsen
γ
=
α sen
C
sen
A
(3)
De las Ec.(2) y (3) se deduce:
γ
=
β
=
α sen
C
sen
B
sen
A
(4)

52. Este resultado se llama “ley del seno”.
Ejemplo 1.25: Hallar el área del triángulo determinado por los vectores:
kˆjˆ3iˆ2A −+=
r
y kˆ2jˆiˆB ++−=
r
.
Resolución:
El área del triángulo de lados A
r
y B
r
está dado por
2
1
BA
2
1
S =×=
rr
(área del paralelogramo) (1)
Desarrollando el producto vectorial se tiene:
kˆ
11
32
jˆ
21
12
iˆ
21
13
211
132
kˆjˆiˆ
BA
−
+
−
−
−
−
=
−
−=×
rr
,
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]kˆ1312jˆ1122iˆ1123BA −−+−−−−−−=×
rr
kˆ5jˆ3iˆ7BA +−=×
rr
.
La magnitud de BA
rr
× es:
( ) ( ) ( ) 2222
u8325949537BA =++=+−+=×
rr
Por tanto, reemplazando en (1) se obtiene:
2
u
2
83
S =

53. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1. Considere las ecuaciones siguientes:
I) 21
Fd mv
2
= , II)
2
αv sen
d
a
= , III) 21
P v a
2
= ρ + ρ
donde F: fuerza, d: distancia, m: masa, v: velocidad, a: aceleración, p: presión,
y ρ: densidad. Comprobar si las ecuaciones dadas son dimensionalmente
correctas e indicar las ecuaciones incorrectas.
Rpta: correctas: I y II, incorrectas: III
1.2. La ecuación
c
F av b c
v
 
= + + 
 
es dimensionalmente correcta. Si F: fuerza,
v: velocidad, determine las dimensiones de a, b y c.
Rpta: 1, MT-1
, MLT-2
1.3. Dada la ecuación dimensionalmente homogénea:
0
0
V V AP
V B P
−
=
+
donde V, V0: volúmenes, P: presión. Halle las dimensiones de A y B
respectivamente.
Rpta: 1, ML-1
T-2
1.4. Considere la ecuación dimensionalmente correcta:
bt
2mx Ae cos t
−
= ω
donde A: longitud, m: masa, t: tiempo y e = 2,72. Dtermine la dimensión de
xb/ω.
Rpta: LM
1.5. Dada la ecuación dimensionalmente homogénea:
( )
2
3 3/2
0x x t 9mG / 2= +
donde 0x , x: distancias, m: masa, t: tiempo. ¿Cuál es la unidad de la cantidad
física G en el S.I?
Rpta: m3
kg–1
s–2

54. 1.6. En la ecuación dimensionalmente homogénea:
x = –
2
1
ak2
+
6
1 ba
m
k3
donde x: longitud, a: aceleración y m: masa. Determine la dimensión de b.
Rpta: MT-1
1.7. En la ecuación dimensionalmente homogénea: yx
Fv µ= , donde v:
velocidad, F: fuerza, µ: masa/longitud. Determine los valores de x e y.
Rpta: 1/2, - 1/2
1.8. La ecuación: x y z
P D a t= es dimensionalmente correcta. Halle los valores
de x, y, z respectivamente, sabiendo que P: presión, D: densidad, a:
aceleración y t: tiempo.
Rpta: 1,2,2
1.9. Si la ecuación: x y
a w R= es dimensionalmente correcta, halle los valores de
x e y, siendo w: velocidad angular, R: distancia, a: aceleración.
Rpta: 2, 1
1.10. Considere la ecuación dimensionalmente homogénea:
x 2x
3 2
1 1
E p p
2 8 C
= −
µ µ
donde E: energía, p = masa × velocidad, y µ: masa. Determine el valor de x, y
la dimensión de la cantidad C.
Rpta: 2, LT-1
1.11. Dada la ecuación dimensionalmente homogénea:
P =
1
2
ρvx
+ ρgh
donde P: presión, v: velocidad, g: aceleración, h: distancia.
a) ¿Cuál es la dimensión de ρ?
b) ¿Cuál es el valor de x?
Rpta: ML-3
, 2
1.12. La altura máxima (h) que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente hacia
arriba depende de la rapidez (v) con que fue lanzado y de la aceleración de la

55. gravedad (g) del lugar. Utilizando el análisis dimensional, halle la ecuación que
relaciona h con v y g.
Rpta: h = v2
/2g
1.13. La velocidad (v) de salida de un líquido por un orificio en el lado de un
tanque depende de la presión (P) del líquido en el orificio y de la densidad del
líquido (ρ). ¿Cuál es la forma de la ecuación física correcta?
Rpta:
P
v =
ρ
1.14. La figura 1.49 muestra un paralelogramo MNPQ. Halle el vector resultante
del conjunto de vectores mostrado.
Figura 1.49
Rpta:
r
3E
1.15. En el cubo de la figura 1.50, determine la magnitud del vector resultante.
Figura 1.50
Rpta: 0
1.16. La magnitud de la resultante de los vectores mostrados en la figura
1.51 es 103 u. Si la magnitud del vector B
r
es 3 u, determine la medida del
ángulo θ.
a
a
a

56. Figura 1.51
Rpta: 60°
1.17. En el cuadrado de lado 6 u mostrado en la figura 1.52, determine la
magnitud del vector A B 2C− +
rr r
.
Figura 1.52
Rpta: 10 u
1.18. Tres vectores A
r
, B
r
y C
r
cuyas magnitudes son: A = 3 u, B = 4 u y C =
5u, cumplen la relación: A B C+ =
rr r
. Calcule la magnitud del vector:
5
x A 3B
3
= +
r rr
.
Rpta: 13 u
1.19. Dados los vectores mostrados en la figura 1.53, halle la magnitud del
vector 2A B C− +
rr r
.
Figura 1.53
Rpta: 5 cm

57. 1.20. Considere los vectores mostrados en la figura 1.54. Determine:
a) La magnitud del vector A B C D− + −
rr r r
.
b) La magnitud del vector 2A B C 3D+ − −
rr r r
.
Figura 1.54
Rpta: a) 3 2 u; b)4 2 u
1.21. En la figura 1.55 se muestran tres vectores A
r
, B
r
y C
r
inscritos en un
cubo de lado a. Si O y O´ son puntos medios de las caras superior e inferior del
cubo respectivamente, halle la magnitud del vector A B C+ +
rr r
.
Figura 1.55
Rpta: a 5
1.22. En el sistema de vectores de la figura 1.56 se cumple: x y mA nB+ = +
r rr r
,
siendo G baricentro del triángulo y M punto medio. Halle m + n.
Figura 1.56
Rpta: 2/3
A
B
C
D
1 u
1 u
O
A
B
C
O
´

58. AP
Q
N
B
M R
x
1.23. En la figura 1.57, el triángulo mostrado es equilátero. Expresar el vector x
r
en función de los vectores A
r
y B
r
.
Figura 1.57
Rpta: ( )1
x B 2A
12
= −
r rr
1.24. En la figura 1.58, exprese el vector resultante en términos de los vectores
A
r
y B
r
, siendo M y N puntos medios y PQRS un paralelogramo.
Figura 1.58
Rpta:
2
(2A B)
3
+
r r
1.25. Considere los vectores mostrados en el paralelogramo de la figura 1.59.
Halle la resultante en función de los vectores A
r
y B
r
, siendo M punto medio
del lado.
Figura 1.59
Rpta:
1
(5A 4B)
6
+
r r
A
x
M
B

59. S
Q
R
P
B
X
A
1.26. La figura muestra 1.60 muestra tres vectores A
r
, B
r
y X
r
inscritos sobre
porciones de circunferencias. Escríbase X
r
en función de A
r
y B
r
, si PQRS es
un cuadrado.
Figura 1.60
Rpta:
2
X (2B A)
5
= −
r r r
1.27. Determine la manitud y dirección respecto al eje x de la resultante del
siguiente conjunto de fuerzas: 70 N, en la dirección del eje + x; 100 N y 37º por
encima del eje + x; 50 2 N y 45º por encima del eje – x; 210 N en la dirección
del eje – y.
Rpta: °100 2 N, 45
1.28. En el sistema de vectores fuerza mostrado en la figura 1.61, determine la
dirección del vector resultante con respecto al eje x.
Figura 1.61
Rpta: 90°
1.29. Un automóvil se desplaza sobre una superficie horizontal del modo
siguiente: 10 km hacia el este, luego 25 km hacia el norte 60º respecto al este y
finalmente 5 km hacia el norte. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del
desplazamiento total del automóvil con respecto al este?
Rpta: °25 2 km, 45

60. 1.30. La fuerza F
r
se suma a otra fuerza cuyas componentes respecto a los
ejes x e y son + 3 N y – 5 N respectivamente. Si la resultante de las dos
fuerzas se encuentra en la dirección del eje – x, teniendo una magnitud de 4 N,
¿cuáles son las componentes de F
r
?
Rpta: (– 7,5) N
1.31. Las tres fuerzas que se indican en la figura 1.62 actúan sobre un cuerpo
situado en el origen de coordenadas. Si F1 = 20 N, F2 = 25 2 N y F3 = 30 N,
halle una cuarta fuerza 4F
r
que debe agregarse para que la fuerza resultante
sea nula.
Figura 1.62
Rpta: (27, -13) N
1.32. Si la dirección de la resultante de los vectores mostrados en la figura 1.63
es de 45º con respecto al eje x, determine:
a) La magnitud del vector A
r
.
b) La magnitud de la resultante.
Figura 1.63
Rpta: 16 2 u
1.33. Tres fuerzas actúan en un plano horizontal: 1F
r
tiene una magnitud de 6 N
y está dirigida hacia el norte; 2F
r
tiene una magnitud de 10 N y está dirigida

61. hacia el oeste; y 3F
r
tiene una magnitud de 8 2 N y está dirigida hacia el
sureste. Halle la magnitud de 1 2 3F F F+ +
r r r
y su dirección respecto al oeste.
Rpta: 2 2 N, suroeste
1.34. Si la resultante de los vectores mostrados en la figura 1.64 es nula,
determine la medida del ángulo θ y la magnitud del vector A
r
.
Figura 1.64
Rpta: 10°; 30 3 u
1.35. Dados los vectores: A kˆ3jˆ2iˆ ++= ; B kˆjˆiˆ2 +−= , hallar:
a) 2 A + 3B
b)( ) ( )A B A B+ • −
r r r r
c) ( A +B ) x ( A –B )
d) Un vector unitario perpendicular a ( A +B ):
Rptas: a) kˆ9jˆiˆ8 ++ ; b) 8; c) kˆ10jˆ10iˆ10 +−− ; d) ˆ ˆ ˆ(i j k) / 3+ −
1.36. Dados los vectores ˆ ˆ ˆA i j 2k= − +
r
y ˆ ˆ ˆB 2i j k= + −
r
, determine:
a) A B×
r r
.
b) Un vector unitario en la dirección de A B×
r r
.
c) (A B) (A B)+ • −
r r r r
Rptas: a) ˆ ˆ ˆi 5j 3k− + + ; b) ˆ ˆ ˆ( i 5j 3k) / 35− + + ; c)0

62. 1.37. Hallar un vector unitario en la dirección de la resultante de los vectores:
kˆjˆiˆ2A +−=
r
, kˆ2jˆiˆB ++=
r
y kˆ4jˆ2iˆ3C +−=
r
.
1.38. Hállense dos vectores A
r
y B
r
tales que kˆjˆ14iˆ8BA +−=×
rr
y
kˆ2jˆ3iˆ5BA ++=+
rr
.
Rpta: ˆ ˆ7i 4j+ ; ˆ ˆ ˆ2i j 2k− − +
1.39. Considere los vectores ˆ ˆ ˆA i 2j 3k= + +
r
, ˆ ˆ ˆB 2i j k= − +
r
, ˆ ˆ ˆC i j k= + +
r
. Hallar:
a) El área del triángulo formado por los vectores A
r
y B
r
.
b) El volumen del paralelepípedo formado con los vectores A
r
, B
r
y C
r
.
Rptas: a) 2,5 3 ; b) 5
1.40. Dados los vectores jˆ3iˆA +=
r
, jˆ4iˆ3B −=
r
y jˆ10iˆ12C +=
r
, demuestre que
( ) ( )[ ]ABA6CBA
rrrrrr
××=××

63. UNIDAD 2
CINEMÁTICA
Se llama Cinemática al estudio del movimiento sin considerar las fuerzas que lo
determinan. El movimiento es un cambio de posición. Se describe mediante el
concepto de razón de cambio, que se expresa por el cambio de una cantidad
física dividida entre un intervalo de tiempo. El movimiento es relativo, porque
cuando describimos el movimiento de un objeto lo hacemos respecto a otro
objeto, llamado sistema de referencia. Por ejemplo, cuando decimos que una
persona camina con cierta rapidez, está implícito que el sistema de referencia
es la superficie terrestre.
En esta Unidad se estudiarán, primeramente, dos tipos especiales de
movimiento rectilíneo: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el movimiento
rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Por último, se estudiarán, también,
dos tipos especiales de movimiento curvilíneo en dos dimensiones: el
movimiento parabólico y el movimiento circular.
I. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
2.1. Conceptos básicos de la cinemática
2.1.1 Sistema de referencia
Es un sistema de coordenadas asociado a un observador o a cualquier objeto.
El sistema de coordenadas que más se usa es el cartesiano rectangular, como
el mostrado en la figura 2.1.
Figura 2.1
En el espacio físico que percibimos la posición y el movimiento de un objeto se
describe con respecto a otros objetos. No existe ningún sistema de referencia
absoluto respecto al cual se pueda describir objetivamente el movimiento, y en
general cualquier fenómeno físico o acontecimiento. Por consiguiente, sólo

64. tiene sentido describir el movimiento de un objeto con respecto a otro objeto,
considerado como sistema de referencia. Por ejemplo, tiene sentido describir el
movimiento de los planetas con respecto Sol, considerado como sistema de
referencia. Un cuerpo se llama sistema de referencia inercial cuando se
considera que está en reposo o que tiene movimiento rectilíneo uniforme. Por
el contrario, se llama sistema de referencia no inercial cuando tiene
aceleración. En la Física se utilizan generalmente sistemas de referencia
inerciales.
2.1.2 Vector de posición
La posición de un objeto se describe por un vector que indica las coordenadas
del punto donde se localiza el objeto. Se representa geométricamente por un
vector dibujado desde el origen de coordenadas hasta el punto donde se
localiza el objeto, como muestra la figura 2.1. Por ejemplo, si r
r
es el vector de
posición de un objeto situado en un espacio de dos dimensiones, indicará las
coordenadas del punto representativo del objeto:
( )r x,y=
r
2.1.3 Desplazamiento
Es una cantidad vectorial que indica el cambio de posición de un cuerpo.
Supóngase que un cuerpo se mueve en el plano XY desde una posición inicial
indicada por el vector 0r
r
hasta otra posición final indicada por el vector r
r
, como
se muestra en la figura 2.2. Entonces el desplazamiento se expresa por el
vector::
0d r r= −
r r r
(2.1)
Figura 2.2
Mostremos el concepto de desplazamiento para el caso del movimiento
rectilíneo. Supóngase que deseamos describir el movimiento de un auto en una
pista recta. Entonces usamos como sistema de referencia el eje coordenado x,
de modo que indicamos la posición inicial del auto por la coordenada x0 del

65. vector de posición 0x
r
en el instante t0, como se muestra en la figura 2.3.
Puesto que el auto está desplazándose hacia la derecha, en un instante
posterior t la posición (final) del auto estará indicada por la coordenada x del
vector de posición x
r
. Por consiguiente, el desplazamiento del auto en el
intervalo de tiempo t – t0 se define por:
0d x x= − (2.2)
Figura 2.3
2.1.4 Velocidad media
Es una cantidad vectorial que indica la rapidez del cambio de la posición de
cuerpo. Se expresa por la razón de cambio:
( )nedia
cambio de posición
velocidad
intervalo de tiempo
=
Por ejemplo, en la figura 2.3, si el auto se encuentra en la posición x0 en el
instante t0 y en un instante posterior t se encuentra en la posición x, entonces
su velocidad media se expresa por:
0
0
x x
v
t t
−
=
−
m
Unidad S.I:
s
 
 
 
(2.3)
donde:
x0: posición (inicial) en el instante t0
x : posición (final) en el instante t
(*) OBSERVACIÓN
Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las correspondientes posiciones
sucesivas del móvil están muy próximas, se define la velocidad instantánea
como sigue:

66. ( ) t
x
limv
0ttáneatanins ∆
∆
=
→Λ
=
dt
dx
(2.4)
donde la cantidad dx/dt se denomina derivada de la posición de la partícula
respecto al tiempo, en la dirección del eje x, (ver definición de derivada en el
apéndice E).
2.1.5 Distancia
Es una cantidad escalar que indica la longitud de la trayectoria recorrida por un
objeto entre dos posiciones. En general, la distancia entre dos posiciones
depende de la trayectoria. Por consiguiente:
distancia = longitud de la trayectoria
Para el caso particular del movimiento rectilíneo en una sola dirección, la
distancia es igual la magnitud del desplazamiento. Por ejemplo, si el
movimiento del auto en la figura 2.3 es solamente hacia la derecha, se cumple:
distancia = d
2.1.6 Rapidez media
Es una cantidad escalar que indica simplemente qué tan rápido cambia la
posición de un objeto en un intervalo de tiempo. Esto se expresa por:
( )nedia
distancia
rapidez
intervalo de tiempo
=
(2.5)
En general, la rapidez se define como la magnitud de la velocidad del objeto:
rapidez = v
2.2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
El MRU se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza desplazamientos
iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la condición
necesaria para que un cuerpo tenga MRU es que la razón de cambio definida
en la Ec.(2.1), es decir la velocidad, permanezca constante:
0
0
x x
v
t t
−
=
−
= constante
2.2.1 Ecuación del MRU

67. Despejando x de la Ec.(2.5) se obtiene la ecuación que describe la posición (x)
en función del tiempo (t) de un cuerpo con MRU:
0 0x x v(t t )= + − (2.6)
donde:
x0 : posición inicial en el instante t0
x : posición en el instante t
(*) OBSERVACIONES
1°Conocida la posición inicial x 0 en el instante t0 y la velocidad v del móvil, se
conocerá la posición x del móvil en cualquier instante t, mediante la Ec.(2.6).
2°Si se asume: t 0 = 0, la Ec.(2.6) del MRU se escribe:
0x x vt= + (2.7)
2.2.2 Gráficas del MRU
La Ec.(2.6) predice que la gráfica de la posición en función del tiempo de un
cuerpo con MRU es una línea recta inclinada. Por ejemplo, la gráfica posición -
tiempo mostrada en la figura 2.4 corresponde al MRU de un cuerpo. En el
instante t0 = 0 le corresponde al cuerpo la posición x0, y en un instante posterior
t le corresponde la posición x, siendo la gráfica una línea recta inclinada.
Según la Ec.(2.5), la velocidad de un cuerpo con MRU es constante. Por
consiguiente, la gráfica de la velocidad en función del tiempo debe ser una
línea recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica velocidad – tiempo mostrada en la
figura 2.5 corresponde al MRU de un cuerpo. Cualquiera que sea el intervalo
de tiempo o el instante del movimiento, la velocidad del cuerpo será la misma,
siendo la gráfica una línea recta horizontal.
Figura 2.4 Figura 2.5

68. (*) OBSERVACIONES:
1°En la gráfica posición – tiempo (véase la figura 2.4) la pendiente de la recta
representa la velocidad del móvil. Es decir:
tan vθ =
2°En la gráfica velocidad – tiempo (véase la figur a 2.5) el área sombreada bajo
la recta horizontal representa el desplazamiento del móvil en el intervalo de
tiempo de 0 a t. Es decir:
área sombreada = vt = d
Ejemplo 2.1: Un cuerpo se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x
según la ecuación: x = – 10 + 2t, t ≥ 0, donde x se mide en metros y t en
segundos.
a) ¿Cuál es la posición inicial y la velocidad del cuerpo?
b) ¿Al cabo de qué tiempo, el cuerpo se encontrará a una distancia de 20 m
respecto a la posición inicial? Interprete el movimiento del cuerpo a lo largo del
eje x.
Solución:
a) Comparando con la ecuación general del MRU, se tiene:
x = x0 + vt = – 10 + 2t
De donde:
x0 = – 10 m (posición inicial)
v = – 2 m/s (velocidad)
b) En la figura 2.6, es claro que cuando el cuerpo se encuentre a 20 m de la
posición inicial x0 = – 10 m, la posición del cuerpo respecto al eje x será: x = +
10 m. Entonces se escribe:
x = – 10 + 2t = 10
De donde:
t = 10 s

69. Figura 2.6
Ejemplo 2.2: Dos automóviles A y B se desplazan rectilíneamente en la
dirección del eje x de acuerdo a las ecuaciones: xA = 8 – 3t; xB = 4 + t, t ≥ 0,
donde x se mide en metros y t en segundos.
a) Indique la posición inicial y la velocidad de cada automóvil.
b) ¿Al cabo de qué tiempo los automóviles se encontrarán en la misma
posición?
c) ¿Cuál es la posición de encuentro de los automóviles?
d) ¿Al cabo de qué tiempo la distancia que separa a los automóviles será de 15
m?
Solución:
a) Para el móvil A:
A 0A Ax 8 3t x v t= − = + (1)
Comparando:
x0A = + 8 m (posición inicial)
vA = - 3 m/s (velocidad)
Para el móvil B:
B 0B Bx 4 t x v t= + = + (2)
Comparando:
x0B = + 4 m (posición inicial)
vB = + 1 m/s (velocidad)
En la figura 2.7 (parte superior) se indican las posiciones iniciales de los
móviles A y B en el instante t0 = 0. También se indica la velocidad de cada
móvil.

70. Figura 2.7
b) Cuando los móviles se cruzan se cumple:
xA = xB
8 – 3t = 4 + t
t = 1 s
c) La posición de encuentro se determina reemplazando t = 1 s en la Ec. (1) o
en la Ec.(2):
xA = 8 – 3(1) = + 5 m
xB = 4 + 1 = + 5 m
En la figura 2.7 (parte central) se muestra el instante en que los móviles A y B
se cruzan.
d) De la figura 2.7 (parte inferior), es claro que:
│xA│ + │xB│ = 15
– (8 – 3t) + 4 + t = 15
t = 19/4 s = 4,75 s
Ejemplo 2.3: La figura 2.8 muestra las gráficas posición (x) – tiempo (t) de dos
móviles A y B que se desplazan rectilíneamente en la dirección del eje x.
a) Escríbanse las ecuaciones posición – tiempo para ambos móviles.

71. b) ¿Qué distancia los separará al cabo de 20 segundos? Interprete los
movimientos a lo largo del eje x.
Figura 2.8
Solución:
a) La ecuación posición – tiempo para el móvil A se escribe:
xA = x0A + vAt (1)
De la gráfica del móvil A, en t = 0 la posición inicial es:
x0A = + 10 m
Su velocidad es:
vA =
50 10
5 0
−
−
= + 8 m/s
Reemplazando estos datos en la Ec.(1) se obtiene:
xA = 10 + 8t (2)
Análogamente, la ecuación posición – tiempo para el móvil B se escribe:
xB = x0B + v0Bt (3)
De la gráfica del móvil B, en t = 0 la posición inicial es:
x0B = +10 m
Su velocidad es:
vB =
30 10
10 0
−
−
= + 2 m/s

72. Reemplazando estos datos en la Ec.(3) se obtiene:
xB = 10 + 2t (4)
b) Evaluando las Ecs.(2) y (4) para t = 20 s, se obtiene:
xA = 10 + 8(20) = + 170 m (5)
xB = 10 + 2(20) = + 50 m (6)
Por tanto, la distancia que los separa es:
d = 170 – 50 = 120 m
En la figura 2.9, se indican las posiciones iniciales de los móviles en t0 = 0 y la
distancia que los separa en t = 20 s.
Figura 2.9
Ejemplo 2.4: Dos automóviles A y B se desplazan en la dirección del eje x de
acuerdo a las ecuaciones: xA = 10 + 40t; xB = 50 + 20t, t ≥ 0 respectivamente,
donde x se mide en metros y t en segundos.
a) ¿Al cabo de qué tiempo el automóvil A alcanzará al automóvil B?
b) ¿Al cabo de qué tiempo la distancia que separa a los automóviles será
de 40m? Interprete esta situación mediante un diagrama en el eje x,
indicando las posiciones y velocidades.
c) Haga la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t) para ambos
automóviles.
Solución:
a) Cuando el auto A alcanza al auto B se cumple:
xA = xB
10 + 40t = 50 + 20t
De donde:
t = 2 s
b) Cuando el auto A está 40 m delante del auto B se cumple:

73. xA – xB = 40
10 + 40t – (50 + 20t) = 40
De donde:
t = 4 s
En t = 4 s, los autos A y B se encontrarán en las posiciones:
xA = 10 + 40(4) = + 170 m
xB = 50 + 20(4) = + 130 m
En la figura 2.10, se interpreta el movimiento de los móviles A y B.
Figura 2.10
c) Evaluando las ecuaciones posición – tiempo de los autos A y B se obtienen los
datos de las tablas siguientes:
Auto “A” Auto “B”
t (s) xA (m) t (s) xB (m)
0 10 0 50
1 50 1 70
2 90 2 90
3 130 3 110
4 170 4 130
Las gráficas posición-tiempo de los autos A y B se muestran en la figura 2.11.

74. Figura 2.11
Ejemplo 2.5: La figura 2.12 muestra las gráficas posición en función del tiempo
de dos móviles A y B que se desplazan rectilíneamente en la dirección del eje
x.
a) ¿Cuáles son la posición inicial y la velocidad de cada móvil?
b) Escríbase la ecuación de la posición en función del tiempo para cada
móvil.
c) ¿Al cabo de qué tiempo y en qué posición se cruzarán los móviles?
Interprete los movimientos en un diagrama en el eje x.
Figura 2.12
Solución:
a) De la gráfica del móvil A, en t = 0 se lee:
x0A = + 40 m (posición inicial)
En t = 8 s se lee xA = 0, entonces de 0 a 8 s la velocidad del móvil A es:

75. vA = A 0A
0
x x 0 40
t t 8 0
− −
=
− −
= – 5 m/s
De la gráfica del móvil B, en t = 0 se lee:
x0B = – 60 m (posición inicial)
En t = 4 s se lee xB = 0, entonces de 0 a 4 s la velocidad del móvil B es:
vB =
( )B 0B
0
0 60x x
t t 4 0
− −−
=
− −
= + 15 m/s
b) La ecuación posición – tiempo para el móvil A se escribe:
xA = x0A + vAt
Sustituyendo valores:
xA = 40 – 5t (1)
Análogamente, la ecuación posición – tiempo para el móvil B se escribe:
xB = x0B + v0Bt
Sustituyendo valores:
xB = – 60 + 15t (2)
c) Cuando los móviles se cruzan se cumple:
xA = xB
Reemplazando las Ec. (1) y (2):
40 – 5t = – 60 + 15t
De donde:
t = 5 s
La posición en la que se cruzan se obtiene sustituyendo t = 5 s, en las Ecs. (1)
ó (2):
xA = 40 – 5(5) = + 15 m
xB = – 60 + 15(5) = + 15 m
En la figura 2.13, se indican las posiciones iniciales en t = 0, y la posición de
encuentro de los móviles en t = 5 s.

76. 2 4 6 8 10 12 t(s)
x(m)
4
2
0
2
4
Figura 2.13
Ejemplo 2.6: La figura 2.14 muestra la gráfica de la posición (x) en función del
tiempo (t) de un cuerpo que se mueve rectilíneamente en la dirección del eje x.
Figura 2.14
a) Describa el movimiento que realiza el cuerpo durante todo su recorrido
indicando sus velocidades.
b) Escriba la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo para
cada tramo de su recorrido.
c) ¿Cuál fue su desplazamiento y su velocidad media entre t = 1 s y t =
11 s?
d) Hágase la conversión de la gráfica posición (x) - tiempo (t) a una gráfica
velocidad (v) - tiempo (t).
Solución:
a) En 0 < t < 2 s, el cuerpo tiene MRU, en la dirección del eje + x.
Su velocidad es:
v =
4 0
2 0
−
−
= + 2 m/s
En 2 s < t < 4 s, el cuerpo está en reposo (v = 0) en la posición x = + 4m.
En 4 s < t < 6 s, el cuerpo tiene MRU en la dirección del eje – x.
Su velocidad es:

77. v =
4 4
6 4
− −
−
= – 4 m/s
En 6 s < t < 8 s, el cuerpo está en reposo (v = 0) en la posición x = – 4m.
En 8 s < t < 12 s, el cuerpo tiene MRU en la dirección del eje + x
Su velocidad es:
v =
0 ( 4)
12 8
− −
−
= + 1 m/s
b) Utilizando la ecuación:
x = x0 + v(t – t0) (1)
Para 0 < t < 2 s: x0 = 0 y t0 = 0, la velocidad del cuerpo es v = + 2 m/s. Por
consiguiente, en la Ec.(1):
x = 2t (2)
Para 2 s < t < 4 s, el cuerpo está en reposo en la posición x = + 4 m.
Para 4 s < t < 6 s: x0 = + 4 m, t0 = 4 s, v = – 4 m/s. Por consiguiente, en la
Ec.(1):
x = 4 – 4(t – 4) = 20 – 4t (3)
Para 6 s < t < 8 s: el cuerpo está en reposo (v = 0) en la posición x = – 4 m.
Para 8 s < t < 12 s: x0 = – 4 m, t0 = 8 s, v = + 1 m/s. Por consiguiente, en la
Ec.(1):
x = – 4 + (t – 8) = – 12 + t (4)
c) Para t1 = 1 s, en la Ec.(2) se obtiene: x1 = 2t = 2(1) = + 2 m
Para t2 = 11 s, en la Ec.(4) se obtiene: x2 = – 12 + 11 = – 1 m
El desplazamiento es: x2 – x1 = – 1 – 2 = – 3 m
Por tanto, la velocidad media es:
v = 2 1
2 1
x x
t t
−
−
=
3
11 1
−
−
= – 0,3 m/s.
d) La conversión a la gráfica velocidad (v) - tiempo (t) es la que se muestra en
la figura 2.15.

78. Figura 2.15
2.3. Aceleración media
Es una cantidad vectorial que indica la rapidez del cambio de la velocidad de
un objeto. Esto se expresa mediante la razón de cambio:
( )media
cambio de velocidad
aceleración
intervalo de tiempo
=
Como ejemplo, considérese el movimiento rectilíneo de un auto a lo largo del
eje x, como se muestra en la figura 2.16. Si en el instante t0 se encuentra en la
posición (inicial) x0 con velocidad v0 y en el instante t se encuentra en la
posición (final) x con velocidad diferente v, entonces su aceleración media se
expresa por:
0
0
v v
a
t t
−
=
− 2
m
Unidad S.I:
s
 
 
 
(2.8)
Figura 2.16
(*) OBSERVACIONES:
1° Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las corres pondientes
velocidades sucesivas del móvil están muy próximas, se define la aceleración
instantánea como sigue:
( ) t
v
lima
0ttáneatanins ∆
∆
=
→Λ
=
dt
dv
(2.9)
donde la cantidad dv/dt se denomina derivada de la velocidad de la partícula
respecto al tiempo, en la dirección del eje x (ver definición de derivada en el
apéndice E).

79. 2° Por movimiento acelerado se entiende: aumento de la rapidez. La
aceleración del móvil tiene la dirección del movimiento (véase la figura 2.17a).
3° Por movimiento desacelerado se entiende: disminu ción de la rapidez. La
aceleración del móvil tiene dirección opuesta al movimiento (véase la figura
2.17b).
(a) (b)
Figura 2.17
2.4. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
El MRUV se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza cambios de
velocidad iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la
condición necesaria para que un cuerpo tenga MRUV es que su aceleración,
definida por la Ec.(2.8), permanezca constante. Por ejemplo, en la figura 2.18
se muestra el MRUV de un auto a lo largo del eje x. Obsérvese que en cada
intervalo de tiempo de 1 s el auto experimenta igual cambio de velocidad: + 1
m/s y en consecuencia la aceleración del auto siempre será: + 1 m/s2
.
Figura 2.18
2.4.1 Ecuaciones del MRUV
Despejando v de la Ec.(2.8) se obtiene la ecuación de la velocidad (v) en
función del tiempo (t):
0 0v v a(t t )= + −
(2.10)
donde:
v0 : velocidad (inicial) en el instante t0
v : velocidad (final) en el instante t
Se demuestra que la ecuación de la posición (x) en función del tiempo (t) es:

80. 2
0 0 0 0
1
x x v (t t ) a(t t )
2
= + − + − (2.11)
donde:
x0 : posición (inicial) en el instante t0
x : posición (final) en el instante t
(*) OBSERVACIONES:
1°Conocidas las cantidades (x 0,v0,a) se conocerán (x,v) en cualquier instante t
mediante las ecuaciones (2.10) y (2.11).
2°Si t 0 = 0, las ecuaciones (2.10) y (2.11) se escriben:
0v v at= + (2.12)
2
0 0
1
x x v t at
2
= + + (2.13)
3° Despejando t de la Ec.(2.12) y reemplazando en l a Ec.(2.13) se obtiene la
fórmula velocidad (v) – posición (x):
2 2
0 0v v 2a(x x )= + − (2.14)
donde:
v0 : velocidad en la posición x0
v : velocidad en la posición x
2.4.2 Gráficas del MRUV
La Ec.(2.13) predice que la gráfica posición – tiempo de un cuerpo con MRUV
es una parábola. Por ejemplo, la figura 2.19(a) muestra una gráfica típica
posición – tiempo de un cuerpo con movimiento acelerado. Cuando se traza
una recta tangente a la parábola en el punto t = 0, x = 0 ésta será horizontal, lo
cual significa que v0 = 0; y cuando se traza una recta tangente en el punto (t,x)
ésta tendrá pendiente positiva, lo cual significa que v > 0. Por el contrario, la
figura 2.19(b) muestra una gráfica típica posición – tiempo de un cuerpo con
movimiento desacelerado. En este caso cuando se traza una recta tangente a
la parábola en el punto t = 0, x = 0 ésta tendrá pendiente positiva, lo cual
significa que v0 > 0; y cuando se traza una recta tangente en el punto (t,x) ésta
será horizontal, lo cual significa que v = 0.

81. (a) (b)
Figura 2.19
La Ec.(2.11) predice que la gráfica velocidad – tiempo es una línea recta
inclinada. Por ejemplo, la figura 2.20(a) muestra una gráfica típica velocidad –
tiempo de un cuerpo con movimiento acelerado. En el instante t = 0 el cuerpo
tiene velocidad inicial v0 y en el instante t el cuerpo tiene velocidad v > v0. Por
el contrario, la figura 2.20(b) muestra una gráfica típica velocidad – tiempo con
movimiento desacelerado. En este caso en el instante t el cuerpo tiene
velocidad v < v0.
(a) (b)
Figura 2.20
(*) OBSERVACIONES:
1° El área sombreada bajo la recta representa el de splazamiento del cuerpo.
Es decir:
área sombreada = d = x – x0
2°La pendiente de la recta representa la aceleraci ón del cuerpo.
3°La mediana del trapecio representa la velocidad media entre v0 y v. es decir:
mediana = 0v v
v
2
+
= (2.15)
Puesto que la aceleración de un cuerpo con MRUV es constante, la gráfica
aceleración – tiempo debe ser una línea recta horizontal, como se muestra en
la figura 2.21. El área sombreada bajo la recta representa el cambio de la
velocidad del cuerpo. Es decir:

82. área sombreada = at = v – v0
Figura 2.21
Ejemplo 2.7:Un auto se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x
según la ecuación: x = 4 + 12t – 3t2
, t ≥ 0, donde x se mide en metros y t en
segundos.
a) ¿Cuál es la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración del auto?
b) Escríbase la ecuación de la velocidad en función del tiempo.
c) ¿Al cabo de qué tiempo se detiene el auto y en qué posición?
d) ¿Cuál es la posición y la velocidad del auto en el instante t = 4 s? Interprete
el movimiento con un diagrama en el eje x.
Solución:
a) Comparando la ecuación dada con la fórmula general:
2 2
0 0
1
x 4 12t 3t x v t at
2
= + − = + + (1)
se obtienen:
x0 = + 4 m (posición inicial)
v0 = + 12 m/s (velocidad inicial)
1
a
2
= – 3
a = – 6 m/s2
(aceleración)
Obsérvese que v0 > 0 y a < 0. Esto significa que inicialmente el auto tiene
movimiento desacelerado.

83. b) Escribiendo la ecuación general:
v = v0 + at
Sustituyendo datos, la ecuación velocidad – tiempo es:
v = 12 – 6t, t ≥ 0 (2)
c) Cuando el auto se detiene, en la Ec.(2) se cumple:
v = 12 – 6 t = 0
De donde:
t = 2 s
La posición donde se detiene el auto se determina reemplazando t = 2 s, en la
Ec.(1):
x = 4 + 12(2) – 3(2)2
= + 16 m
d) En t = 4 s la posición del auto es:
x = 4 + 12(4) – 3(4)2
= + 4 m
La velocidad del auto se determina reemplazando t = 4 s en la Ec.(2):
v = 12 – 6(4) = – 12 m/s
En la figura 2.22 se muestra el movimiento del auto desde la posición inicial x0
= + 4 m en t = 0 hasta la posición x = + 4 m en t = 4 s. Obsérvese que cuando
el auto se mueve en la dirección del eje + x, el movimiento es desacelerado,
deteniéndose en la posición x = + 16 m en el instante t = 2 s, y cuando se
mueve en la dirección del eje – x, el movimiento es acelerado. La aceleración
del auto se conserva constante, siendo su magnitud 6 m/s2
y siempre tendrá la
dirección del eje – x.
Figura 2.22

84. Ejemplo 2.8: Un automóvil se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje
+ x con rapidez de 20 m/s. Si al cabo de 10 segundos se aplican los frenos, se
observa que en los siguientes 10 segundos su rapidez disminuye
uniformemente hasta detenerse. Suponga que la posición inicial del automóvil
es x0 = 0 en t0 = 0.
a) ¿Qué tipos de movimientos realiza el automóvil?
b) Escriba las ecuaciones de la posición (x) en función del tiempo (t).
c) ¿En qué posición se detiene el automóvil?
d) Hágase un diagrama en el eje x para interpretar el movimiento del
automóvil indicando las posiciones y velocidades.
e) Hágase la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t) para todo el
recorrido. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el automóvil?
Solución:
a) Para 0 < t < 10 s, el auto tiene MRU, con velocidad constante v = + 20 m/s.
Para 10 s < t < 20 s, el auto tiene MRUV (desacelerado) con aceleración:
20 20
a 2 m / s
20 10
−
= = −
−
b) Para 0 < t < 10 s, usamos la ecuación general:
x = x0 + v(t –t0) (1)
donde: x0 = 0, v = + 20m/s.
Reemplazando en (1):
x = 20t (2)
Para 10 s < t < 20 s, usamos la ecuación general:
x = x0 + v0t +
2
1
a (t –t0)2
(3)
donde: t0 = 10 s, v0 = + 20 m/s.
La posición x0 se determina reemplazando t = 10 s en la Ec.(2):
x0 = 20(10) = + 200 m
Finalmente, reemplazando en la Ec.(3) se obtiene:
x = 200 + 20(t – 10) – (t – 10)2
(4)

85. c) Usando la ecuación velocidad - tiempo:
v = v0 + a(t – t0)
Entonces, para 10 s < t < 20 s se escribe:
v = 20 - 2(t – 10) (5)
Cuando el auto se detiene:
v = 20 - 2(t – 10) = 0
De donde:
t = 20 s
Reemplazando t = 20 s en la Ec.(4), el auto se detiene en la posición:
x = 200 + 20(20 – 10) – (20 – 10)2
= + 300 m
d) En la figura 2.23, se indican las posiciones del automóvil en los instantes: t0
= 0, t = 10 s, t = 20 s y las correspondientes velocidades.
Figura 2.23
e) La figura 2.24 muestra la gráfica velocidad (v) - tiempo (t) del automóvil
Figura 2.24
La distancia total recorrida (D) se determina por el área bajo la gráfica:
D = ( )
10 20
20 300 m
2
+ 
= 
 

86. V(m/s)
4
0
-2
6 8 t(s)42
Ejemplo 2.9: La figura 2.25 muestra la gráfica velocidad (v) - tiempo (t) de un
móvil que se desplaza en la dirección del eje x.
a) Determine la aceleración del móvil de 0 a 6 s y de 6 s a 8 s. Discutir el
movimiento.
b) Escríbanse las ecuaciones velocidad en función del tiempo de 0 a 6 s y de
6 s a 8 s.
c) ¿Cuál es la aceleración media de 2 s a 7 s?
Figura 2.25
Solución:
a) Para 0 < t < 6 s la aceleración es:
20
0
v v 2 4
a 1 m / s
t t 6 0
− − −
= = = −
− −
De 0 a 4 s el cuerpo tiene movimiento desacelerado, porque su rapidez
disminuye de 4 m/s hasta cero en t = 4 s. De de 4 s a 6 s el cuerpo tiene
movimiento acelerado, porque su rapidez aumenta de cero en t = 4 s hasta – 2
m/s en t = 6 s.
Para 6 s < t < 8 s la aceleración es:
20 ( 2)
a 1 m / s
8 6
− −
= = +
−
De 6 s a 8 s el cuerpo tiene movimiento desacelerado, porque su rapidez
disminuye de – 2 m/s en t = 6 s hasta cero en t = 8 s.
b) Utilizando la ecuación velocidad – tiempo:
0 0v v a(t t )= + − (1)
Para 0 < t < 6 s: t0 = 0; v0 = + 4 m/s. Reemplazando datos en la Ec.(1) se
obtiene:
v 4 t= − (2)

87. Para 6 s < t < 8 s: t0 = 6 s; v0 = - 2 m/s. Reemplazando en la Ec.(1) se obtiene:
v 2 (t 6)= − + −
v 8 t= − + (3)
c) En t1 = 2 s, de la Ec.(2) se obtiene:
1v 2 m / s= +
En t2 = 7 s, de la Ec.(3) se obtiene:
2v 1 m / s= −
Por tanto, la aceleración media de 2 s a 7 s es:
22 1
2 1
v v 1 2
a 0,5 m / s
t t 7 1
− − −
= = = −
− −
Ejemplo 2.10: La figura 2.26 muestra la gráfica velocidad en función del tiempo
de dos móviles A y B. Los móviles se encuentran inicialmente en la posición x0
= 0 en el instante t0 = 0.
a) ¿Cuál es la velocidad inicial y la aceleración de cada móvil?
b) Escríbanse las ecuaciones de la velocidad y de la posición en función
del tiempo para cada móvil.
c) ¿Al cabo de qué tiempo el móvil A alcanzará al móvil B y en qué
posición? ¿Qué velocidades tienen los móviles en dicho instante?
Figura 2.26
Solución:
a) De la gráfica del móvil A, se lee que en t0 = 0 la velocidad inicial es:
v0A = + 40 m/s
Además, en t = 40 s la velocidad es: vA = + 80 m/s.

88. La aceleración del móvil A es:
2A 0A
A
0
v v 80 40
a 1 m / s
t t 40 0
− −
= = = +
− −
De la gráfica del móvil B, se lee que en t0 = 0 la velocidad inicial es:
v0B = + 80 m/s
Además, en t = 40 s la velocidad es: vB = + 40 m/s.
La aceleración del móvil B es:
2B 0B
B
0
v v 40 80
a 1 m / s
t t 40 0
− −
= = = −
− −
b) Para el móvil A, la ecuación velocidad – tiempo se escribe:
vA = v0A + aAt
Sustituyendo datos:
vA = 40 + t (1)
La ecuación posición – tiempo se escribe:
2
A 0A A
1
x v t a t
2
= +
Sustituyendo datos:
2
A
1
x 40t t
2
= + (2)
Para el móvil B, la ecuación velocidad – tiempo se escribe:
vB = v0B + aBt
Sustituyendo datos:
vB = 80 – t (3)
La ecuación posición – tiempo se escribe:
2
B 0B B
1
x v t a t
2
= +

89. Sustituyendo datos:
2
B
1
x 80t t
2
= − (4)
c) Cuando el móvil A alcanza al móvil B se cumple:
A Bx x=
Igualando las Ec (2) y (4):
2 21 1
40t t 80t t
2 2
+ = −
t(t 40) 0− =
De donde:
t = 40 s
La posición en que el móvil A alcanza al móvil B se determina sustituyendo t =
40 s en las Ec (2) o (4):
2
A
1
x (40)(40) (40) 2 400 m
2
= + = +
2
B
1
x (80)(40) (40) 2 400 m
2
= − = +
Las velocidades de los móviles A y B se determinan reemplazando t = 40 s en
las Ec (1) y (3):
vA = 40 + 40 = + 80 m/s
vB = 80 – 40 = + 40 m/s
Ejemplo 2.11: La figura 2.27 muestra la gráfica posición (x) – tiempo (t) de una
partícula que se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x.
a) Escríbanse las ecuaciones que describen el MRU de la partícula en el
intervalo 0 < t < 2 s y el MRUV de la partícula en el intervalo 2 s < t < 4 s.
b) ¿Cuál es el desplazamiento y la velocidad media de la partícula en el
intervalo 1 s < t < 3 s?
c) Interprete el movimiento de la partícula con un diagrama a lo largo del
eje x.

90. Figura 2.27
Solución:
a) Para 0 < t < 2 s, la partícula tiene MRU, y se escribe la ecuación:
0 0x x v(t t )= + − (1)
De la gráfica, en t0 = 0, la posición de la partícula es x0 = 0.
Además, en t = 2 s la posición de la partícula es x = + 12 m. Por consiguiente,
su velocidad es:
0
0
x x 12 0
v
t t 2 0
− −
= =
− −
= + 6 m/s
Reemplazando datos en la Ec.(1) se obtiene:
x = 6t (2)
Para 2 s < t < 4 s, la partícula tiene MRUV, y se escribe la ecuación:
2
0 0 0 0
1
x x v (t t ) a(t t )
2
= + − + − (3)
De la gráfica, en t0 = 2 s la posición inicial de la partícula es x0 = + 12 m y su
vlocidad inicial es: v0 = + 6 m/s.
Insertando valores en la Ec.(3) se tiene:
21
x 12 6(t 2) a(t 2)
2
= + − + − (4)

91. Además, de la gráfica, en t = 4 s:
21
x 26 12 6(4 2) a(4 2)
2
= = + − + −
De donde:
2
a 1 m / s= +
Reemplazando en la Ec.(4) se obtiene:
21
x 12 6(t 2) (t 2)
2
= + − + − (5)
La ecuación velocidad – tiempo en el MRUV se escribe:
0 0v v a(t t )= + − (6)
Reemplazando datos se obtiene:
v 6 (t 2)= + −
v 4 t= + (7)
b) De la Ec.(2), es claro que en t1 = 1 s:
1x 6(1) 6 m= = +
En t2 = 3 s, de la Ec.(5) se obtiene:
2
2
1
x 12 6(3 2) (3 2) 18,5 m
2
= + − + − = +
Por consiguiente, el desplazamiento es:
2 1d x x 18,5 6 12,5 m= − = − = +
La velocidad media es:
2 1
2 1
x x 12,5
v 6,25 m
t t 3 1
−
= = = +
− −
c) De la Ec.(7), la velocidad de la partícula en t2 = 3 s es v2 = 7 m/s. En la
figura 2.28 se muestran las posiciones, velocidades y el desplazamiento de la
partícula en el intervalo 1 s < t < 3 s a lo largo del eje x.

92. Figura 2.28
Ejemplo 2.12: Un cuerpo parte del reposo y se mueve rectilíneamente en la
dirección del eje x. Durante los primeros 6 segundos acelera a razón de 1 m/s2
,
luego continúa con velocidad constante durante los 5 segundos siguientes y
finalmente vuelve al reposo desacelerando a razón de 1,5 m/s2
. (Considérese
que la posición inicial del cuerpo es x0 = 0 en t0 = 0).
a) Hágase una gráfica de la aceleración del cuerpo en función del tiempo.
b) Escríbanse las ecuaciones de la velocidad del cuerpo en función del
tiempo para cada tramo de su recorrido.
c) ¿Cuánto tiempo permaneció el cuerpo en movimiento?
d) Hágase una gráfica de su velocidad en función del tiempo.
e) Escríbase la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo
para cada tramo de su recorrido.
f) ¿Cuál fue su desplazamiento entre t = 4 s y t = 13 s? Interprete el
movimiento del cuerpo mediante un diagrama.
Solución:
a) La figura 2.29 muestra la gráfica aceleración (a) - tiempo (t). De 0 a 6 s: a =
+ 1 m/s2
; de 6 s a 11 s: a = 0, y para t > 11 s: a = - 1,5 m/s2
.
b) Usando la ecuación general:
v = v0 + a(t – t0) (1)
Para 0 < t < 6 s: t0 = 0; v0 = 0; a = + 1 m/s2
.
Reemplazando en la Ec.(1) se obtiene:
v = t (2)
Para 6 s < t < 11 s: v = + 6 m/s; a = 0. El cuerpo tiene MRU.
Para 11 s < t < tF: t0 = 11 s; v0 = + 6 m/s; a – 1,5 m/s2
.
Reemplazando en la Ec (1) se obtiene:
v = 6 – 1,5(t – 11) (3)

93. Figura 2.29
c) Sea t = tF el instante en que el cuerpo se detiene. Entonces en la Ec.(3) se
tiene:
v = 6 – 1,5 (tF -11) = 0
De donde:
tF = 15 s
d) La figura 2.30 muestra la gráfica velocidad (v) – tiempo (t) del cuerpo. De 0 a
6 s: MRUV; de 6 s a 11 s: MRU; y de 11 s a 15 s: MRUV.
Figura 2.30
e) Usando la ecuación posición – tiempo para el MRUV del cuerpo:
x = x0 + v0(t –t0) +
1
2
a(t –t0)2
(4)
Para 0 < t < 6 s: x0 = 0, v0 = 0, a = + 1 m/s2
Reemplazando datos en la Ec.(4) se obtiene :
x =
1
2
t2
(5)
Usando la ecuación posición – tiempo para el MRU del cuerpo:
x = x0 + v(t – t0) (6)
Para 6 s < t < 11 s: t0 = 6 s; x0 = + 18 m; v = + 6 m/s.

94. Reemplazando datos en la Ec.(6) se obtiene:
x = 18 + 6(t – 6) (7)
Para 11 s < t < 15 s: t0 = 11 s; v0 = + 6 m/s; a = + 1,5 m/s2
.
Reemplazando en la Ec.(4) se obtiene:
x = 48 + 6(t – 11) – 0,75(t – 11)2
(8)
f) Sustituyendo t = 4 s en la Ec.(5), la posición es:
x1 =
1
2
(4)2
= + 8 m
Análogamente, sustituyendo t = 13 s en la Ec.(8), la posición es:
x2 = 48 + 6(13 - 11) – 0,75(13 - 11)2
= 48 + 12 – 3 = + 57 m
Por tanto, el desplazamiento entre t = 4 s y t = 13 s es:
x2 – x1 = 57 – 8 = + 49 m
En la figura 2.31, se indican las posiciones y velocidades del cuerpo (un auto)
desde t0 = 0 hasta t = 15 s.
Figura 2.31
2.5. MRUV vertical
Es un caso aproximado de MRUV el cual se verifica cerca de la superficie
terrestre, siempre que se desprecie la resistencia del aire. La única aceleración
que experimenta el móvil se llama aceleración de la gravedad la cual se asume
aproximadamente constante. Se puede expresar vectorialmente por: g (0, g)= −
r
, donde el signo negativo indica que la aceleración de la gravedad tiene la
dirección del eje – y. Por razones de simplicidad, la magnitud de la aceleración
de la gravedad se aproxima al valor entero: g = 10 m/s2
.
La descripción del MRUV vertical es análoga a la descripción del MRUV
general que se estudió en la sección 2.4. Supóngase que el instante t0 = 0 un
cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba (en la dirección del eje + y) desde
la posición 0y
r
con velocidad 0v
r
respecto a la superficie terrestre, donde y = 0,

95. tal como se muestra en la figura 2.32. En un instante posterior t el cuerpo se
encontrará en otra posición y
r
con velocidad v
r
. Por consiguiente, las
ecuaciones que describen la velocidad y la posición del cuerpo en cualquier
instante t son:
0v v gt= − (2.15)
2
0 0
1
y y v t gt
2
= + − (2.16)
Figura 2.32
Despejando t de la Ec.(2.15) y reemplazando en la Ec.(2.16) se obtiene la
ecuación auxiliar velocidad – posición:
2 2
0 0v v 2g(y y )= − − (2.17)
Ejemplo 2.13: Un objeto en caída libre pasa por una ventana que tiene una
longitud de 1,35 m durante 0,3 s. ¿Desde qué altura sobre la ventana se soltó
el objeto? (g = 10 m/s2
)
Solución:
Poniendo el origen de coordenadas (y = 0) en el borde inferior de la ventana, la
posición inicial del objeto se lee: y0 = h + 1,35 siendo su velocidad inicial v0 = 0,
como se indica en la figura 2.33.
Utilizando la ecuación:

96. y = y0 + v0t –
1
2
gt2
(1)
Figura 2.33
En el instante t, cuando llega al borde superior de la ventana, la posición del
cuerpo es (véase la figura 2.33):
y = 1,35 = h + 1,35 –
1
2
(10)t2
De donde:
h = 5t2
(2)
En el instante (t + 0,3) s, la posición del cuerpo es (véase la figura 2.33):
y = 0 = (h + 1,35) –
1
2
(10)(t + 0,3)2
De donde:
h + 1,35 = 5 (t + 0,3)2
(3)
Reemplazando (2) en (3):
5t2
+ 1,35 = 5(t2
+ 0,6 t + 0,09)
De donde se obtiene:
t = 0,3 s
Finalmente, sustituyendo este resultado en la Ec.(2) se obtiene la altura:
h = 5(0,3)2
= 0,45 m

97. Ejemplo 2.14: Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con rapidez
de 5 m/s desde una altura de 10 m con respecto al suelo terrestre. (g = 10
m/s2
)
a) Poniendo el origen de coordenadas (y = 0) en el suelo terrestre,
escríbanse las ecuaciones posición – tiempo y velocidad – tiempo
correspondientes al movimiento del proyectil.
b) Calcúlese el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo.
c) ¿Con qué rapidez llegará el proyectil al suelo?
d) Hágase una gráfica de la posición del proyectil en función del tiempo.
¿Qué puede deducir de su gráfica?
Solución:
a) La ecuación posición – tiempo está dada por:
2
0 0
1
y y v t gt
2
= + − (1)
donde (véase la figura 2.34): y0 = + 10 m; v0 = + 5 m/s en t0 = 0.
Reemplazando datos en la Ec.(1):
2
y 10 5t 5t= + − (2)
La ecuación velocidad – tiempo está dada por:
0v v gt= − (3)
Figura 2.34
Reemplazando datos en la Ec.(3):
v 5 10t= − (4)
b) Cuando el proyectil llega al suelo se lee:
2
y 10 5t 5t= + − = 0
+10 m
+ 5 m/s
y+
10 m
0 SUELO

98. O también:
2
t t 2 0− − =
Factorizando:
(t + 1)(t – 2) = 0
t + 1 = 0 → t = – 1 s
Esta raíz se descarta, porque t ≥ 0.
t – 2 = 0 → t = 2 s
c) La velocidad con que llega al suelo se determina sustituyendo t = 2 s en la
Ec. (4):
v = 5 – 10(2) = - 15 m/s
El signo negativo indica que la dirección del movimiento es hacia abajo (en la
dirección del eje – y). Por tanto, la rapidez del proyectil es:
v 15 15 m / s= − =
Figura 2.35
d) La figura 2.35 muestra la gráfica posición (y) en función del tiempo (t)
correspondiente a la Ec.(2). Obsérvese que en t = 1/2 s el proyectil alcanza la
altura máxima: y = 10 + 5(1/2) – 5(1/2)2
= 11,25 m. Como era de esperar, la
gráfica posición (y) – tiempo (t) del proyectil es una parábola.
Ejemplo 2.15: Un cuerpo A es soltado desde el borde del techo de un edificio
de 50 m de altura. Simultáneamente otro cuerpo B es lanzado verticalmente
hacia arriba con una velocidad de + 5 m/s desde una ventana exterior del
edificio situada a 10 m por debajo del punto de caída del cuerpo A. (g = 10
m/s2
)
a) ¿Al cabo de qué tiempo el cuerpo A y el cuerpo B se encontrarán en la
misma posición?

99. b) ¿Cuál es la posición de encuentro de ambos cuerpos respecto al punto
de lanzamiento del cuerpo B?
c) Hágase una gráfica de la velocidad en función del tiempo para ambos
cuerpos.
d) ¿Cuál de los cuerpos recorrió la mayor distancia hasta el instante del
encuentro? Explique por qué.
Solución:
a) Pongamos el origen de coordenadas (y = 0) en el punto de lanzamiento del
cuerpo B (en la ventana), tal como se indica en la figura 2.36. Utilizando la
ecuación posición – tiempo:
2
0 0
1
y y v t gt
2
= + − (1)
Para el cuerpo A (véase la figura 2.36): y0 = + 10 m; v0 = 0. Entonces
sustituyendo en la Ec.(1) se escribe:
yA = 10 – 5t2
(2)
Para el cuerpo B (véase la figura 2.36): y0 = 0; v0 = + 5 m/s. Entonces
sustituyendo en la Ec.(1) se escribe:
yB = 5 – 5t2
(3)
Figura 2.36
Cuando los cuerpos A y B se localizan en la misma posición se cumple:
yA = yB
10 – 5t2
= 5t – 5t2
De donde se obtiene:
0
yA
yB
A B
B
A +
10 m
10 m
10 m
+5 m/s
v = 00
y+
0
yA
yB
A B
B
A +
10 m
10 m
10 m
v = 00
y+

100. t = 2 s
b) La posición de encuentro se determina evaluando la Ec.(2) o la Ec.(3) en el
instante t = 2 s:
yA = 10 – 5(2)2
= – 10 m
yB = 5(2) – 5(2)2
= – 10 m
Este resultado indica que, en t = 2 s, los cuerpos se encontrarán a 10 m por
debajo de la ventana, como se indica en la figura 2.36.
c) Utilizando la ecuación velocidad – tiempo:
0v v gt= − (4)
Para el cuerpo A:
vA = – 10t (5)
Evaluando:
t(s) 0 1 2 3
vA (m/s) 0 – 10 – 20 – 30
Para el cuerpo B:
vB = 5 – 10t (6)
Evaluando:
t(s) 0 1 2 3
vB(m/s) 5 – 5 – 15 – 25
Usando los datos de las tablas anteriores se obtienen las gráficas velocidad –
tiempo para los cuerpos A y B que se muestran en la figura 2.37.
t(s)
v(m/s)
0 1 2 3
5
10
15
20
5
B
A
Figura 2.37