Este documento presenta una introducción a la geoestadística aplicada a la estimación de yacimientos mineros. Explica que el análisis exploratorio de datos (EDA) es fundamental para entender el fenómeno regionalizado antes de realizar la estimación. Detalla algunas de las herramientas del EDA como visualizaciones, estadísticas básicas e identificación de posibles controles. Concluye enfatizando la importancia del EDA para interpretar el comportamiento de las variables, definir unidades de estimación y sustentar decisiones.

1. GEOESTADÍSTICAAPLICADAA LA
ESTIMACIÓN DE YACIMIENTOS MINEROS
Expositor:
Análisis Exploratorio de Datos (EDA)
Ingeniero
Yerko Martínez
Fernández
ymartine00@gmail.com

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Agenda
Contenidos del curso:
01 INTRODUCCION
02 ANALISIS EXPLORATORIO DE DATOS (EDA)
03 EL MODELO GEOSTADISTICO
04 ANALISIS VARIOGRAFICO
05 ESTIMACION DE RECURSOS
06 TALLER

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¿Qué es el EDA?
• Sobre los datos que se dispone el proceso estimación, es necesario previamente realizar un análisis
exploratorio de datos (EDA por sus siglas en ingles)
• El EDA tiene por finalidad el entendimiento del fenómeno regionalizado. Nunca perder de vista que los
yacimientos tienen su génesis a través de un proceso mineralizador que y por ende las herramientas
geostadísticas deben ser utilizadas para explicar este fenómeno de la manera más exacta y precisa.
• Un mal EDA y entendimiento del fenómenos puede llevar a resultados sesgados respecto a la realidad:

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Previo al análisis exploratorio de datos

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Generalidades
• La geostadística tiene por objetivo el estudio de variables regionalizadas a través de datos con ubicación
espacial.
• En el contexto minero, estos datos corresponden usualmente a variables medidas en sondajes y/o
muestras, como por ejemplo:
• Leyes de variables de interés económico (cobre total, cobre soluble, oro, plata, molibdeno), de interés para el
proceso (arcillas, arsénico)
• Mapeo de atributos geológicos (litología, alteración, zona mineral, mineralogía)
• Variables geotécnicas/geomecánicas (PLT, UCS, FF, RQD, estructuras)
• Variables geometalúrgicas (SPI, BWI, CI, recuperación)
• Etc.

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Previo al análisis exploratorio de datos
Revisar información disponible:
Recomendaciones al revisar la información:
• Chequear coordenadas y consistencia por tipos de información
• Mapas de información
• Despliegue de los datos
• Distribución de largos
• Representatividad de la información
Análisis
Exploratorio de
Datos (EDA)
Definición de
Unidades de
Estimación
Modelo de
Continuidad
Espacial
Estimación Validación
Revisión de
información
disponible

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Algunos tipos de información usuales
• Bases de datos
• Sondajes
• Muestras
• Triangulaciones
• Topografía
• Estructuras
• Sólidos
• Modelos de bloques

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Errores en coordenadas
Ubicación según
coordenadas
Ubicación según
from – to
Inconsistencia de coordenadas y from-to Inconsistencia en desurvey

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Mapas de información
Permite tener claridad de todas las fuentes de información y variables disponibles
Partir por un mapeo
de todas las fuentes de
información
Mapear variables contenidas en cada
fuente de información
Buena práctica: Agregar el número de
registros para cada variable o grupo de
variables

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Visualización
Esto no es exclusivo de la etapa de revisión de información, si no que es una práctica
fundamental a lo largo de todo el proceso de estimación
Visualización de atributos por sección Despliegue de sondajes
Sondajes
alejados del
resto
Ubicaciones, dimensión del
volumen de interés, etc

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Distribución de largos
Largos truncados por categoría
Largo
Truncado
N N [%]
0 33 0.02
1 121 0.07
2 51,906 30.45
3 114,119 66.95
4 969 0.57
5 51 0.03
6 266 0.16
7 6 0.00
8 422 0.25
9 12 0.01
10 114 0.07
11-406 2,432 1.43
Total 170,452 100.00
97.4% de los tramos entre 2 a 4 metros de largo (30.4% de 2 a 3 metros y 67.0% de 3 a 4 metros)

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Representatividad
Revisar si la información disponible es representativa del volumen de interés. Se puede
chequear (aunque no exclusivamente) los siguientes tipos de representatividad:
• Espacial
• Geológica
• De leyes (cuando la variable en estudio no es la ley de interés del yacimiento)

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Representatividad espacial
1-25 bloques 26-100 bloques
101-200 bloques 201-500 bloques
501-1000 bloques 1001-1500 bloques

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Representatividad espacial
• Que el volumen de interés esté
representado por las muestras en
términos espaciales
• ¿Qué define este volumen?
 Plan de producción
 Leyes de corte
 Geología
 Etc
• La representatividad se puede
medir por el tonelaje soportado
por muestra
 Sectores más o menos representados
 Quebrar por categorías

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Representatividad geológica
Que la proporción por atributo geológico del volumen de interés se encuentre bien
representada por las muestras

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Representatividad de leyes
Cuando se trata de una información menos muestreada que la ley del elemento de interés,
por ejemplo, muestras geometalúrgicas
 Gráfico de probabilidad de muestras
geometalúrgicas versus sondajes
 Contorneo de 50 m a las muestras
geometalúrgicas

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Sobre la revisión de la información disponible
Definir datos aceptables para etapa siguiente
y rechazar datos inaceptables

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Análisis exploratorio de datos

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Análisis exploratorio de datos
Busca entender el comportamiento de las variables de interés. No existe un camino
único, depende de los objetivos del proyecto.
1. Comprender las variables de interés
2. Identificar y explicar relaciones/controles
3. Revisar consistencia

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Objetivos del análisis exploratorio
• Entendimiento del fenómeno regionalizado a través del entendimiento de los datos
• Definición de unidades geológicas / de estimación
• Chequear estacionaridad / revisar presencia de deriva
• Analizar la calidad y representatividad de los datos (duplicados, datos anómalos, inconsistencias,
muestreos preferenciales)

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Importancia del EDA
• Interpreta/explica el comportamiento de la variable
• Identifica controles
• Define unidades de estimación
• Facilita y da sustento a la toma de decisiones

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Visualización
Modelo 3D corresponde a una interpretación
600 m
700 m 660 m
Unidades
geológicas
Sondajes
Extensión
del dominio
Desplegar los datos y visualizar de
manera integral: sólidos, muestras,
modelos de bloques

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Visualización
Visualizaciones por tipo de información y por categoría/rango dentro de los tipos de
información

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Visualización
Despliegue en plantas y secciones, codificados por color y tipo de información

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Visualización
¡Realizar visualización de plantas y secciones a lo largo de todo el yacimiento!

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Visualización
Indicador muestras nuevas vs
muestras viejas
Orientación preferencial de unidad
de alta ley

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Visualización
Perfiles de atributos geológicos: alteración, litología y zona mineral

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Visualización
Geología en muestras Distancia de muestras a estructura

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Herramientas EDA
No existen límite ni receta para las herramientas a usar en el EDA, se debe apuntar a
entender el fenómeno. Dentro de las herramientas del EDA es recomendable realizar al
menos un análisis de:
• Estadísticas
• Análisis multi variable
• Comportamiento espacial
• Otros análisis

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Conceptos básicos en probabilidad y estadística
La estadística es la una rama de la matemática cuyo foco de estudio es la recolección, presentación y análisis
de los datos. Abarca un conjunto de procedimientos y herramientas que permiten tomar decisiones en
situaciones de incertidumbre o información incompleta.
Se deben tener claros los siguientes conceptos básicos:
• Población / muestra
• Distribución de frecuencia
• Espacio muestral (Ω, A, µ)
• Variable aleatoria
• Distribución de probabilidad
• Momentos (parámetros sintéticos dé la distribución de probabilidad)
• Estimadores de los momentos

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Estadísticas

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32
Estadísticas
Permiten caracterizar una variable en estudio
• Histogramas
• Gráfico de probabilidad
• Estadísticas básicas
• Gráfico de caja
• Desagrupamiento
• Curvas tonelaje-ley

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Histograma
 Histograma: Gráfico de la frecuencia de ocurrencia de
un valor de la variable.
 Existen variadas representaciones del histograma
(aunque todas guardan la misma información):
 De frecuencias absolutas, de frecuencias
relativas, acumulado, acumulado inverso (curva
tonelaje-ley)
 Permite:
 Tener una idea de la distribución de la variable
 Identificar posible existencia de más de una
población
 Detectar valores anómalos
HISTOGRAMA DE COBRE
0.0100
0.2218
0.4336
0.6454
0.8572
1.0690
1.2808
1.4926
1.7044
1.9162
2.1280
2.3398
2.5516
2.7634
2.9752
cut
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
No
of
obs
 Límite de detección
 Outliers
 Tipo de distribución: ¿lognormal?
¿Más de una población?

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Diagrama de caja
 Se pueden resumir las características de la distribución
en un diagrama de caja (Box plot) que representa en un
solo eje 5 cuantiles
 Cuantil 2.5%
 Cuantil 25% (primer cuartil)
 Cuantil 50% (mediana)
 Cuantil 75% (tercer cuartil)
 Cuantil 97.5%
 Se puede agregar el valor de la media que al evaluar con
la mediana indica la asimetría de la distribución
Media > Mediana:
Asimetría con valores hacia la derecha
de la distribución (ej: lognormal)

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Estadísticas básicas
Es importante calcular las estadísticas básicas de las variables de interés. Entre estas se
cuenta con:
• Medidas de posición
• Media, moda, mediana
• Cuantiles o percentiles
• Mínimo, máximo
• Medidas de dispersión
• Varianza, desviación estándar
• Rango intercuartil
• Coeficiente de variación
• Medidas de forma
• Coeficiente de asimetría (Skewness)
• Coeficiente de aplanamiento (Curtosis)

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Estadísticas básicas
Es importante calcular las estadísticas básicas de las variables de interés. Entre estas se
cuenta con:
• Medidas de posición
• Media, moda, mediana
• Cuantiles o percentiles
• Mínimo, máximo
• Medidas de dispersión
• Varianza, desviación estándar
• Rango intercuartil
• Coeficiente de variación
• Medidas de forma
• Coeficiente de asimetría (Skewness)
• Coeficiente de aplanamiento (Curtosis)
No confundir los estadísticos de la muestra con las
estadísticas de la población
Los estadísticos de la muestra estiman el valor del
estadístico de la población (que se desconoce) y la
diferencia entre estos valores es lo que se conoce como
error de muestreo

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Medidas de posición
Media: Promedio aritmético
Mediana: Valor que divide la población en dos
partes con igual cantidad de datos
Moda: Valor con mayor frecuencia
Cuantil: Valor que divide la población en partes de
igual número de datos.
• Percentil divide en 100 partes
• Cuartil divide en 4 partes
• Mediana divide en 2 partes
Si n par Si n impar

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Medidas de dispersión
Varianza: Promedio aritmético de la desviación
cuadrática entre cada valor y la media
Desviación estándar: Valor que divide la población
en dos partes con igual cantidad de datos
Coeficiente de variación: Razón entre la
desviación estándar y la media aritmérica
Rango intercuartil: Diferencia entre el tercer
cuartil y el primer cuartil

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Medidas de dispersión
Varianza: Promedio aritmético de la desviación
cuadrática entre cada valor y la media
Desviación estándar: Valor que divide la población
en dos partes con igual cantidad de datos
Coeficiente de variación: Razón entre la
desviación estándar y la media aritmérica
Rango intercuartil: Diferencia entre el tercer
cuartil y el primer cuartil
La media y la varianza son medidas
poco robustas, es decir, tienen grandes
variaciones cuando existen outliers en
las muestras

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Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es una medida sencilla
de obtener y da un primer indicio de la “facilidad
de estimación” que tienen la variable en estudio
• Pórfido cuprífero con CV = 1.5
• Yacimiento de oro con CV = 4.5
Pórfido cuprífero
Yacimiento de oro

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Coeficiente de variación
• Aplicar también a quiebres de la variable
de interés por variables categóricas para
evaluar diferencias entre estas categorías
• Útil usar un gráfico de media versus
desviación estándar para representarlo
visualmente
• Sobre la recta : CV > 1
• En la recta : CV = 1
• Bajo la recta : CV < 1
MEDIA VS DESVIACION ESTANDAR
zmin 2
zmin 3
zmin 5
zmin 6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Means
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Standard
Deviations
CV > 1
CV < 1
CV = 1

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Medidas de forma
Coeficiente de asimetría: estimador del
momento centrado de orden 3
Coeficiente aplanamiento: estimador del
momento centrado de orden 4
En la práctica estos estadísticos son poco utilizados

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Distribución normal y lognormal
exp(x)
ln(x)
• La distribución normal queda
completamente definida por su media y
varianza
• Se puede pasar de la distribución de
lognormal a normal aplicando el logaritmo
a las muestras
• En casos prácticos se pueden encontrar
muestras de leyes que siguen
distribuciones relativamente lognomales

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Gráfico de probabilidad
Permite comparar la distribución de la variable en estudio con una distribución conocida
Cambio de eje por el de
una distribución
conocida
Escala aritmética Escala logarítmica

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Gráfico de probabilidad
• Es altamente útil en la medida que con este
gráfico se puede:
1. Revisar valores outliers
2. Revisar opción de unir unidades
geológicas en la definición de unidades
de estimación
3. Chequear posible presencia de más de
una población
4. Comparar varias distribuciones en un
mismo gráfico

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46
Respecto de la definición de unidades geológicas
• El quiebre del gráfico de probabilidad por atributo
geológico permite identificar aquellos atributos que
tienen distribuciones semejantes y son candidatas a
unirse en la definición de unidades geológicas
• Si bien las leyes en dos geologías pueden tener similar
distribución, la unión de ellas tiene tener sentido físico y
geológico (cercanía, génesis)

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Respecto de múltiples poblaciones
Una práctica común es revisar los “quiebres” de la curva del gráfico de probabilidad

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Respecto de múltiples poblaciones
Estos quiebres podrían ser indicativos de la presencia de más de una población

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Respecto de múltiples poblaciones
Se debe ser cuidado en emplear tal metodología ya que la inexistencia de quiebres no
implica que no exista más de una población
Depósito completo
Lixiviado, óxidos,
sulfuros, etc

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Respecto de la identificación de outliers
• Los valores extremos NO DEBEN ser eliminados a menos
que se compruebe que es un valor errado, ya que proveen
información de la distribución que se perderá al eliminarlo
• Tratamiento de Outliers:
• Capping
• Revisar si corresponden a otra población
• Eliminarlos (sólo si se demuestra que es errona)
• Transformalos
• Usar estadísticas robustas
• Restringir la influencia en la estimación (High
Yield)

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Respecto de la identificación de outliers
Pasos a seguir en presencia de un outlier:
1. Revisar certificado de las muestras, asegurarse que no haya
un error en el muestreo ¿Cómo está el QAQC de las
muestras?
2. Visualizar espacialmente los datos outliers ¿Se encuentran
agrupados? ¿Pertenecen a otra población?
3. Visualizar el tramo de sondaje al que corresponde el dato
¿Existe alguna explicación para el valor? Por ejemplo una
estructura.
4. Si no hay información que respalde eliminar el dato, se
puede restringir la influencia en la estimación.

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Desagrupamiento
• En el contexto geoestadístico, existen redundancia
entre los datos lo cual suele verse reflejado en minería
en una sobre representación de las zonas de altas leyes
• Esto implica que se deben ponderar los datos según su
aporte a la información en el espacio, en caso
contrario, se obtienen estadísticas sesgadas
En minería, lo usual es que las zonas de altas
leyes estén más densamente muestreadas

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Desagrupamiento
Como funciona el desagrupamiento:
• En estadística, los 20 datos tienen el mismo peso wi = 1/20
• En geostadística, cada dato tendrá un peso wi en función del
espacio al cual representa (representatividad)
• No se cambian los valores de las muestras, sólo su peso en
los estadísticos y gráficos
¿Cómo se asignan estos pesos?
Datos redundantes
espacialmente

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Métodos de desagrupamiento
Se pueden emplear alguno de los siguientes métodos
• Método de los polígonos
• Métodos de las celdas
• Por pesos de Kriging (requiere modelar la continuidad espacial)

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Método de los polígonos
Pondera cada muestra por el volumen de influencia
• Requiere conocer los límites del dominio (bordes)
• Poco usado en la práctica
• Método geométrico

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Método de las celdas
Pondera cada muestra por el peso dentro de una celda
• Requiere definir un inicio y un tamaño de celda
• Método geométrico (no toma en cuenta la
correlación espacial de los datos)
El peso de cada dato será:
Donde:
wi = peso del dato i
wc = peso de una celda
ni = numero de datos en la celda donde se encuentra el dato i
𝑤𝑖 =
𝑤𝑐
𝑛𝑖
wc = 1/20 = 0.050
ni = 3
wi = 0.016

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57
Método de las celdas
Elección del tamaño de celda
𝑚𝑤1 𝑚𝑤2 𝑚𝑤3
Criterio para la elección de tamaño:
• Valor máximo / mínimo del gráfico
• Tamaño de la grilla subyacente
• Espaciamiento promedio de los datos
Se prueban distintos tamaños de celda y se
calcula media desagrupada

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Ejercicios
Histograma: A partir de los datos de cobre de la tabla:
• Construir histograma de frecuencia considerando rangos de 0.25 en ley de cobre
• Construir la versión de histograma acumulado y acumulado inverso
• Calcular media, varianza, mediana, moda
N CuT N CuT
1 0.8 11 0.8
2 0.7 12 0.2
3 0.6 13 0.3
4 0.2 14 0.1
5 0.4 15 0.3
6 0.3 16 0.4
7 0.7 17 0.5
8 1.2 18 0.9
9 1.1 19 2.1
10 1.4 20 0.6
SET DE DATOS

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Ejercicios
Construcción de un histograma:
Rango N f Umbral N Acum f Acum
N Acum
Inv
f Acum
Inv
[0-0.25[ 3 0.15 0.00 0 0.00 20 1.00
[0.25-0.5[ 5 0.25 0.25 3 0.15 17 0.85
[0.5-0.75[ 5 0.25 0.50 8 0.40 12 0.60
[0.75-1[ 3 0.15 0.75 13 0.65 7 0.35
[1-1.25[ 2 0.10 1.00 16 0.80 4 0.20
[1.25-1.5[ 1 0.05 1.25 18 0.90 2 0.10
[1.5-1.75[ 0 0.00 1.50 19 0.95 1 0.05
[1.75-2[ 0 0.00 1.75 19 0.95 1 0.05
[2-2.25[ 1 0.05 2.00 19 0.95 1 0.05
[2.25-2.5[ 0 0.00 2.25 20 1.00 0 0.00
Total 20 1.00

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Ejercicios
Construcción de un histograma:
Rango N f Umbral N Acum f Acum
N Acum
Inv
f Acum
Inv
[0-0.25[ 3 0.15 0.00 0 0.00 20 1.00
[0.25-0.5[ 5 0.25 0.25 3 0.15 17 0.85
[0.5-0.75[ 5 0.25 0.50 8 0.40 12 0.60
[0.75-1[ 3 0.15 0.75 13 0.65 7 0.35
[1-1.25[ 2 0.10 1.00 16 0.80 4 0.20
[1.25-1.5[ 1 0.05 1.25 18 0.90 2 0.10
[1.5-1.75[ 0 0.00 1.50 19 0.95 1 0.05
[1.75-2[ 0 0.00 1.75 19 0.95 1 0.05
[2-2.25[ 1 0.05 2.00 19 0.95 1 0.05
[2.25-2.5[ 0 0.00 2.25 20 1.00 0 0.00
Total 20 1.00

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Ejercicios
• Desagrupamiento: Calcular los pesos de desagrupamiento por celdas de 50 x 50 m. Calcular media y
varianza, y varianza y media desagrupadas
0.1 0.2 0.2
0.3 0.4 0.3 0.1
0.1
0.7 0.8
0.8
0.5 0.4
0.8
0.9
0.8
0.4
0.2
50 m
50 m
0.9
0.2

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62
Ejercicios
• Desagrupamiento: Calcular los pesos de desagrupamiento por celdas de 50 x 50 m. Calcular media y media
desagrupada. ¿Qué se deduce del resultado?
0.1 0.2 0.2
0.3 0.4
0.9
0.3 0.1
0.1
0.7
0.2
0.8
0.8
0.5 0.4
0.8
0.9
0.8
0.4
0.2
50 m
50 m
• Peso de cada celda (𝑤𝑐) = 1/25 = 0.040
• Todas celdas con sólo una muestra tienen peso
𝑤𝑖=0.040/1=0.040
• Peso para cada muestra en la celda 12 es 𝑤𝑖=0.040/2=0.020
• Peso para cada muestra en la celda 17 es 𝑤𝑖=0.040/5=0.008

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63
Ejercicios
• Desagrupamiento: Calcular los pesos de desagrupamiento por celdas de 50 x 50 m. Calcular media y media
desagrupada. ¿Qué se deduce del resultado?
0.1 0.2 0.2
0.3 0.4
0.9
0.3 0.1
0.1
0.7
0.2
0.8
0.8
0.5 0.4
0.8
0.9
0.8
0.4
0.2
50 m
50 m
• Para el cálculo de la media se usa 𝑚𝑤(𝑥) = 𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
𝑁 𝑤𝑖
• Media = 0.46
• Media desagrupada = 0.36

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Análisis multi variable

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65
Análisis multi variable
Permite ver las relaciones entre variables. Fundamental para entender el comportamiento
conjunto de variables.
• Nube de dispersión
• Media condicional
• Matriz de correlación
• Análisis de componentes principales
• Gráfico cuantil-Cuantil
• Migrado
• Multi regresiones

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Nube de dispersión (scatter plot)
• Posible de realizar cuando se tiene más de una
variable muestraeda en el mismo soporte. Si no
se tienen en el mismo soporte, se deben llevar al
mismo para el análisis.
• Corresponde a graficar para un mismo punto el
valor de una variable X en un eje vs el valor que
tomar otra variable Y en el otro eje
• Indica la relación entre dos variables (puede o no
ser lineal)
• Es posible identificar valores outliers y rango de
valores que toma una variable en función de otra
SCATTERPLOT: GT1_ff_m vs dwi_la - LITO: ALL
Include condition: TAG = 1 and lito_m>0
dwi_la = 7.32-0.1034*x
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
GT1_ff_m
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
dwi_la
GT1_ff_m:dwi_la: r2
= 0.0552; r = -0.2349, p = 0.0000

67. 67
67
Coeficiente de correlación
• El coeficiente correlación (𝜌𝑋𝑌) es una medida de la
relación lineal entre dos variables
𝜌𝑋𝑌 =
𝜎𝑋𝑌
𝜎𝑋𝜎𝑌
• Donde 𝜎𝑋𝑌 es la covarianza entre las variables X e Y
𝜎𝑋𝑌 =
1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑚 𝑦
• Toma valores entre -1 y 1. Una correlación 1 o -1
indica que X e Y están perfectamente correlacionadas

68. 68
68
Coeficiente de correlación
• Muy sensible a outliers
• Una correlación coeficiente de
correlación igual a 0 no implica que
no exista una relación entre las
variables
r = 0.9 r = - 0.1
Con
outlier
Sin
outlier
r = 0.0
Existe una relación
cuadrática entre las
variables

69. 69
69
Ejemplo nube de dispersión
Menor dispersión
para un valor X
dado
r = - 0.3
Menor dispersión
para un valor X
dado
Variable de dureza
Elemento
1

70. 70
70
Ejemplo nube de dispersión
Variable de dureza
Elemento
2
r = 0.1
Aparente no correlación (r = -0.1)
¿Otro tipo de relación?

71. 71
71
Ejemplo nube de dispersión
Variable de dureza
Elemento
3
r = 0.6
Concentración de valores.
Explorar algún sentido
físico/geológico

72. 72
72
Media condicional
• Se entiende por condicional, al cálculo de un
estadístico de una variable X dada una condición,
que en el contexto multi variable corresponde a
fijar un valor otra variable Y
• Para su calculo se definen ‘bins’ sobre una
variable X, lo cual corresponde a intervalos de
valores
• Para cada intervalo de X se calcula la media de
los valores de la variable Y
Cálculo del valor medio de Y

73. 73
73
Media condicional
• Permite detectar relaciones no necesariamente
lineales entre variables
• En el ejemplo, se observa un comportamiento
lineal por tramos
o Y relativamente constante entre 13.5 y 14 para
valores de 0 a 5 de X
o Relación lineal decreciente de Y con respecto a
X para valores de 5 a 10 de X
o Y relativamente constante en 12 para valores
mayores a 10 de X
A tener en cuenta!
El número de datos para el
cálculo de cada media
condicional indica el grado de
confianza que se tiene sobre el
valor obtenido y por ende ell
resultado del análisis

74. 74
74
Matriz de correlación
• Se puede construir cuando existen más de dos
variables muestreadas en la misma ubicación
• Resumen la relación entre todas las variables
estudiadas a través de los coeficientes de
correlación entre cada par X, Y
• En la diagonal todos los valores son igual a 1.0
ya que es la relación de X con X.
• Para visualizarlo se borra la diagonal ya que no
aporta y se agrega una escala de color del valor
absoluto de del coeficiente de correlación

75. 75
75
Análisis de componentes principales
• Representación gráfica de la mayor o menor
correlación entre variables
• Proyección de la nube de variables en el primer
plano factorial. En términos prácticos se usa de la
siguiente manera:
 La proximidad/lejanía entre variables
indica la mayor/menor correlación
 Esta regla se aplica si sólo si las variables
se encuentran en los borden del círculo

76. 76
76
Gráfico cuantil – cuantil ( qq plot)
• Se utiliza para comparar las distribuciones entre de dos
variables, lo cual da un indicio de si los datos vienen de la
misma población
• No compara correlación entre las variables, sólo forma de
la distribución
• Construcción
1. Determinar el gráfico de frecuencia acumulada
de cada variable
2. Definir k umbrales 𝑝𝑘
3. Calcular el valor Q1(𝑝𝑘) y Q2(𝑝𝑘) equivalentes al
valor de cada variable bajo el cual se encuentra el 𝑝𝑘
de la distribución
4. Graficar Q1(𝑝𝑘) vs Q2(𝑝𝑘)
Var 1 Var 2

77. 77
77
Gráfico cuantil – cuantil ( qq plot)
• Se utiliza para comparar las distribuciones entre de dos
variables, lo cual da un indicio de si los datos vienen de la
misma población
• No compara correlación entre las variables, sólo forma de
la distribución
• Construcción
1. Determinar el gráfico de frecuencia acumulada de
cada variable
2. Definir k umbrales 𝒑𝒌
3. Calcular el valor Q1(𝒑𝒌) y Q2(𝒑𝒌) equivalentes al
valor de cada variable bajo el cual se encuentra
el 𝒑𝒌 de la distribución
4. Graficar Q1(𝑝𝑘) vs Q2(𝑝𝑘)
El valor de Var 1 bajo el cual está el
60% de la distribución equivale a 0.308
Var 1 Var 2
pk=0.6
0.308 0.279

78. 78
78
Gráfico cuantil – cuantil (qq plot)
• Se utiliza para comparar las distribuciones entre de dos
variables, lo cual da un indicio de si los datos vienen de la
misma población
• No compara correlación entre las variables, sólo forma de
la distribución
• Construcción
1. Determinar el gráfico de frecuencia acumulada de
cada variable
2. Definir k umbrales 𝑝𝑘
3. Calcular el valor Q1(𝑝𝑘) y Q2(𝑝𝑘) equivalentes al
valor de cada variable bajo el cual se encuentra el 𝑝𝑘
de la distribución
4. Graficar Q1(𝒑𝒌) vs Q2(𝒑𝒌)
Var 1 Var 2
pk=0.6
0.308
0.279

79. 79
79
Gráfico cuantil – cuantil (qq plot)
La lectura del gráfico cuantil – cuantil es la siguiente:
• Si el gráfico dibuja una recta, entonces ambas variables tienen una distribución de
igual forma (no necesariamente misma media ni dispersión)
• Media: Si la recta tiene pendiente 1, entonces tienen la misma dispersión
• Dispersión: Si la recta está desplazada del origen, entonces tienen distinta media
• Si hay un carácter no lineal, entonces las distribuciones son diferentes

80. 80
Comportamiento espacial

81. 81
81
Comportamiento espacial
Algunas herramientas:
• Derivas
• Por coordenada
• Respecto a sólidos de geología
• Respecto a estructuras
• DTH (a través del sondajes)
• Análisis de contacto
• Distancia respecto a atributos
• Nube de correlación diferida
• Contorneos de distancia

82. 82
82
Derivas
• Permite apreciar tendencias sistemáticas en el
espacio, ya sea en el valor medio o en el nivel de
dispersión
• Se construyen calculando la media condicional
de la variable de interés, respecto de las
coordenadas
MEDIA LOCAL DE COBRE - Z50
2625 2725 2825 2925 3025 3125 3225 3325 3425 3525 3625 3725 3825
z50
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
CUT
Tendencia de ley de cobre a lo
largo de la elevación

83. 83
83
Derivas
Despliegue de muestras en todas las coordenadas y media condicional (deriva)

84. 84
84
Graficar más de una derivas
• Quebrar por atributos geológicos para un mayor
entendimiento de las tendencias sistemáticas (esto
se aplica para todas los estadísticos)
• Se pueden graficar distintas variables y distintos
quiebres en el mismo gráfico en busca de
relaciones (mismas tendencias en media o
varianza)
• No se necesita coexistencia para realizar el gráfico
de más de una variable
• En el caso de graficar más de dos variables con
distintas escalas, se recomienda estandarizarlas:
𝑌𝑒𝑠𝑡 =
𝑌 − 𝑌
𝑠
MEDIA LOCAL DE COBRE POR ZONA MINERAL - Z50
2625 2725 2825 2925 3025 3125 3225 3325 3425 3525 3625 3725 3825
z50
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
CUT
zonmin 2
zonmin 3
zonmin 5
zonmin 6

85. 85
85
Plot of Means and Conf. Intervals (95.00%) - HYP
9
29
35
40
58
56
55
64
70
94
29
725
775
975
1025
1075
1125
1175
1225
1275
1325
1375
1425
1475
1525
1575
z50
3800
4000
4200
4400
4600
4800
5000
Values
MV-AG/SAG tph
MV-BM_tph
MV-Circuit_tph
1100 1400
Graficar más de una derivas
1,100 1,400
idz3 idz2 idz
• Derivas permiten definir zonas donde
existen comportamientos homogéneos
• Complementar con otras herramientas
de EDA para dar sentido geológico a
zonas identificadas

86. 86
86
Derivas con respecto a un sólido
Var 1
Var 2
Dentro de
sólido
Fuera de
sólido
• En particular es de especial interés lo que sucede
dentro o fuera de ciertas geologías
• Se puede tomar calcular la deriva respecto de la
distancia a un sólido, para esto:
1. Flaguear los datos con un -1 y un 1
dependiendo de si están dentro o fuera del
sólido (𝐼𝑔𝑒𝑜)
2. Calcular la distancia de la muestra al sólido y
multiplicar por 𝐼𝑔𝑒𝑜 para obtener 𝑑𝑔𝑒𝑜
3. Armar intervalos de 𝑑𝑔𝑒𝑜 y calcular media
condicional

87. 87
87
Derivas respecto a estructuras
Al igual que los sólidos, se pueden utilizar estructuras como objeto geológico de interés
NW de la
estructura
SE de la
estructura
SE de la
estructura
NW de la
estructura

88. 88
88
Derivas respecto a estructuras
Al igual que los sólidos, se pueden utilizar estructuras como objeto geológico de interés
Estructuras
Distancia a la
estructura
más cercana

89. 89
89
Deriva a través de sondajes
• Deriva a través de sondajes DTH (Down The Hole), permite identificar datos outliers y su relación con el
entorno
• Una buena práctica es visualizar estos tramos y (si se dispone del sondaje) revisarlo en búsqueda de
causas que expliquen los valores

90. 90
90
Ejemplos de derivas
Derivas de dos variables respecto de coordenadas x, y, z usando todas las muestras
• Se observa que ambas variables siguen misma tendencia espacial
• Las variaciones son más erráticas en los extremos de las curvas (cantidad de datos)
Eje x Eje y Eje z
Especie de interés (E)
Dureza (D)

91. 91
91
Ejemplos de derivas
Derivas de dos variables respecto de coordenadas x, y, z usando sólo muestras donde las
variables coexisten
Eje x Eje y Eje z
• Mejor correlación entre la dureza y la variable de interés en datos coexistentes
• Tendencias al alza y baja
Especie de interés (E)
Dureza (D)

92. 92
92
Ejemplos de derivas
Derivas de dos variables respecto la distancia a un sólido (pórfido)
• Al usar un sólido para calcular la deriva se observa (además de la correlación entre las variables) una clara
tendencia la aumentar o disminuir la distancia
Dentro de
pórfido
Fuera de
pórfido
Especie de interés (E)
Dureza (D)
Baja cantidad de
datos para concluir

93. 93
93
Ejemplos de derivas
Cuidado con obtener conclusiones de tan sólo un gráfico:
Especie
de
interés
(E)
Dureza (D)
• Al mirar sólo la correlación se obtiene la conclusión errada que las variables D y E no están correlacionadas
r=0.3

94. 94
94
Comentarios respecto del ejercicio
• Los análisis deben ser integrales, es decir, mirar más de uno (estadísticas,
correlaciones, derivas, scatter plot, etc). En el ejemplo haber utilizado sólo la
correlación hubiera hecho pasar por alto la correlación entre la dureza y la especie de
interés
• Buscar un sentido a los resultados. En este caso, el pórfido explica las tendencias de las
variables y le da un sentido geológico
• Visualizar los datos siempre que se hace un análisis permite dar sentido al resultado
(en este caso, a encontrar que el pórfido explicaba las tendencias)

95. 95
95
Análisis de contacto
• Se construye de la misma forma que se construye la deriva
con respecto a un sólido/estructura
• Se usan los contactos entre todas las geologías para evaluar
como cambia la ley de interés entre ellos
• Los contactos pueden ser
• Blando: no hay cambio abrupto entre las fronteras
• Duro: hay un cambio abrupto entre las fronteras
• Transicionales (blando o duro): Hay una tendencia
entre una frontera y otra
• Importante considerar: el número de muestras de cada
paso, la media a cada lado del contacto, el tamaño del paso
Fuera
Dentro
Fuera
Dentro

96. 96
96
Análisis de contacto
Ejemplos de tipos de contacto:
Tamaño del paso influye en la visualización hacia el contacto
Contacto Duro Contacto Blando
Transicional

97. 97
97
Análisis de contacto
Calcular no sólo la media en los bordes del contacto si no que también la correlación entre los datos. Que
exista un contacto duro no implica que no hay correlación en los bordes.

98. 98
98
Análisis de contacto
Diferentes resultados en la estimación según el tipo de contacto modelado
Contacto Duro
Contacto Blando

99. 99
99
Nube de correlación diferida
• Indica la relación de pares de puntos de la misma
variable separados por un vector h, graficándolos
en una nube de dispersión
• Su metodología de cálculo es análoga al cálculo
del variograma
• En la práctica, dado que los datos están
agrupados, se deben introducir tolerancias para
su calculo

100. 100
100
Contorneos de distancia
• Corresponden a superficies generadas en torno a
los datos
• Útiles para encontrar rápidamente relaciones
• Permiten definir un volumen de estudio en torno
a información menos muestreada
• ¿Sobre que volumen de interés calcular
estadísticas de las muestras geometalúrgicas?
Muestras geomet

101. 101
101
Contorneos de distancia
• Corresponden a superficies generadas en torno a
los datos
• Útiles para encontrar rápidamente relaciones
• Permiten definir un volumen de estudio en torno
a información menos muestreada
• ¿Sobre que volumen de interés calcular
estadísticas de las muestras geometalúrgicas?
Muestras geomet
Contorneo de 100
metros en torno a
las muestras geome

102. 102
102
Contorneos de distancia
BWI SPI CI
cao>=10 12.9 64.9 19.7 36.0
cao<10 14.2 87.3 16.8 64.0
All Grps 13.7 79.2 17.9 100.0
cao<10
Media muestras geomet
N [%]
• Control de dureza por umbral de
arcilla y contorneo del umbral
arc
arc
arc
dur1 dur2 dur3

103. 103
103
Ejercicios
Nube de correlación diferida: Obtener la nube de correlación diferida para los pasos 10, 20, 30 y 40 metros en la
coordenada EW y en la coordenada NS. Luego calcular el coeficiente de correlación para cada una y graficar.
0.7
10 m
10 m
0.9
NS
EW
0.9
0.1 0.2 0.1
0.1
0.1 0.2
1.1 0.9
1.2 0.7
0.8
0.8 0.7 0.1
0.9

104. 104
104
Ejercicios
Nube de correlación diferida: Obtener la nube de correlación diferida para los pasos 10, 20, 30 y 40 metros en la
coordenada EW y en la coordenada NS. Luego calcular el coeficiente de correlación para cada una y graficar.
0.7
10 m
10 m
0.9
NS
EW
0.9
0.1 0.2 0.1
0.1
0.1 0.2
1.1 0.9
1.2 0.7
0.8
0.8 0.7 0.1
Nube de correlación diferida EW para el
paso h=10
EW h=10
Z(x) Z(x+h)
0.2 0.1
0.1 0.1
0.9 0.7
0.7 0.9
0.9 0.9
1.1 1.2
1.2 0.9
0.9 0.8
0.8 0.7
0.8 0.7
sXY 0.11
sX 0.35
sY 0.35
rXY 0.92
r
2
XY 0.84
0.9

105. 105
105
Ejercicios
Nube de correlación diferida: Obtener la nube de correlación diferida para los pasos 10, 20, 30 y 40 metros en la
coordenada EW y en la coordenada NS. Luego calcular el coeficiente de correlación para cada una y graficar.
0.7
10 m
10 m
0.9
NS
EW
0.9
0.1 0.2 0.1
0.1
0.1 0.2
1.1 0.9
1.2 0.7
0.8
0.8 0.7 0.1
Alta correlación para paso 10, bajando
constantemente a medida que aumenta el paso
EW h=10 EW h=20 EW h=30 EW h=40
Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h)
0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1
0.1 0.1 0.2 0.1 0.9 0.9 1.1 0.7
0.9 0.7 0.9 0.9 1.1 0.8 0.8 0.1
0.7 0.9 0.7 0.9 1.2 0.7
0.9 0.9 1.1 0.9 0.1 0.2
1.1 1.2 1.2 0.8 0.7 0.1
1.2 0.9 0.9 0.7
0.9 0.8
0.8 0.7
0.8 0.7
sXY 0.11 sXY 0.13 sXY 0.14 sXY 0.13
sX 0.35 sX 0.43 sX 0.48 sX 0.51
sY 0.35 sY 0.35 sY 0.37 sY 0.35
rXY 0.92 rXY 0.88 rXY 0.80 rXY 0.73
r
2
XY 0.84 r
2
XY 0.78 r
2
XY 0.63 r
2
XY 0.53
0.9

106. 106
106
Ejercicios
Nube de correlación diferida: Obtener la nube de correlación diferida para los pasos 10, 20, 30 y 40 metros en la
coordenada EW y en la coordenada NS. Luego calcular el coeficiente de correlación para cada una y graficar.
0.7
10 m
10 m
0.9
NS
EW
0.9
0.1 0.2 0.1
0.1
0.1 0.2
1.1 0.9
1.2 0.7
0.8
0.8 0.7 0.1
NS h=10 NS h=20 NS h=30 NS h=40
Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h) Z(x) Z(x+h)
0.9 1.2 0.1 1.1 0.9 0.7 0.1 0.8
1.2 0.1 1.1 0.8 0.1 0.2 0.1 0.1
0.1 0.7 0.9 0.1 0.9 0.1
0.2 0.7 1.2 0.7
0.7 0.9 0.2 0.9
0.1 0.9 0.1 0.8
0.9 0.8 0.1 0.7
0.1 0.9 0.9 0.1
0.9 0.7 0.7 0.1
0.7 0.2
0.2 0.1
sXY -0.02 sXY -0.09 sXY 0.05 sXY 0.00
sX 0.41 sX 0.46 sX 0.46 sX 0.00
sY 0.36 sY 0.39 sY 0.32 sY 0.49
rXY -0.13 rXY -0.50 rXY 0.36 rXY NA
r
2
XY 0.02 r
2
XY 0.25 r
2
XY 0.13 r
2
XY NA
Correlación errática con el paso. En paso h=40 no se
encuentra definida la correlación.
0.9

107. 107
107
Ejercicios
Nube de correlación diferida: Obtener la nube de correlación diferida para los pasos 10, 20, 30 y 40 metros en la
coordenada EW y en la coordenada NS. Luego calcular el coeficiente de correlación para cada una y graficar.
0.7
10 m
10 m
0.9
NS
EW
0.9
0.1 0.2 0.1
0.1
0.1 0.2
1.1 0.9
1.2 0.7
0.8
0.8 0.7 0.1
PASO EW NS
10 0.92 -0.13
20 0.88 -0.50
30 0.80 0.36
40 0.73 NA
Correlación
Continuidad en la coordenada EW, disminuyendo
gradualmente con la distancia
0.9

108. 108
Definición de unidades geológicas

109. 109
109
Definición de unidades geológicas
• El formalismo del proceso de estimación define el concepto de estacionaridad, bajo el
cual se asume que los datos dentro de un volumen de interés tienen un comportamiento
homogéneo
• Para esto se definen unidades geológicas UG (o unidades de estimación UE), en las
cuales los datos tienen este comportamiento homogéneo ya que pertenecen a una misma
población
• Estas unidades corresponden a uniones / intersecciones de atributos geológicos de
interés en la explicación de la mineralización

110. 110
110
Definición de unidades geológicas
• Los atributos geológicos relevantes para la definición de UG dependerán del tipo de yacimiento y del
evento mineralizador. La clave es el entendimiento de que atributos controlan esta mineralización,
para lo cual se requiere un buen EDA.
• Uso de modelos genéticos, validados con el EDA
• Ejemplo de atributos relevantes:
 Alteración
 Mineralogía
 Zona mineral
 Litología
 Indicadores (por ejemplo, un indicador de
umbral de arcilla)
Modelo de pórfido cuprífero
LOWELL & GUILBERT

111. 111
111
Definición de unidades geológicas
Entender el modelo geológico antes de realizar agrupaciones / intersecciones para la definición de UG

112. 112
112
Definición de unidades geológicas
Entender el modelo geológico antes de realizar agrupaciones / intersecciones para la definición de UG

113. 113
113
Definición de unidades geológicas
A tener en cuenta en la definición de UG:
• Entendimiento de que controla la mineralización
• Tener claro el contexto y modelo geológico
• Modelos genéticos
• Número razonable en cada UG para realizar estimaciones
• Validar con herramientas del EDA (probplot, media vs desviación estándar,
análisis de contacto, derivas, etc)

114. 114
114
Definición de unidades geológicas
• Agrupar unidades con características estadísticas similares (homogeneidad)
• Mirar más de un gráfico para el análisis
MEDIA DE CUT POR ZMIN
LIX_TOTAL LIX_PARCIAL SEC PRI ANH
zonmin
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
CUT

115. 115
115
Definición de unidades geológicas
• Visualizar resultado (debe tener sentido físico)
• Revisar estadísticas de agrupación resultante y corroborar que tienen comportamientos
estadísticos diferentes
MEDIA DE CUT POR MACRO ZMIN
LIX_TOTAL, LIX_PARCIAL SEC PRI, ANH
MZMI
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
CUT

116. 116
116
Ejemplo práctico de EDA
Con el archivo “Datos_Sin_Compositar.txt” realizar un EDA con las herramientas que
tiene disponibles aplicando los conocimientos adquiridos durante el curso
Herramientas:
• Excel
• GSLib (http://www.gslib.com/)
• Sgems (http://sgems.sourceforge.net/)
• STATISTICA (https://www.tibco.com/products/tibco-statistica)

117. 117
117
Resumen
Gráficos son sólo herramientas para entender el fenómeno
+
La interpretación y análisis agregan valor y mejoran la toma de
decisión!

118. 118
118
Resumen
Utilizar EDA de manera integral: más de un análisis para
sustentar una hipótesis y buscar sentido geológico
Recuerde: más importante que la obtención de mucho gráficos,
es la conclusión del análisis

119. 119
119
Información presentada
Este curso toma información de fuentes académicas y de experiencia de la industria con
proyectos reales ejecutados en consultoría.
Fuente académica:
• Cátedras de Evaluación de Yacimientos, Profesor Julián Ortiz
• Cátedras de Evaluación de Yacimientos, Profesor Alejandro Cáceres
• Cátedras Análisis Estadístico y Geostadístico de Datos, Profesor Xavier Emery
• Cátedras diploma EGY, Modelos de Yacimientos, Profesor Brian Townley
• Bibliografía relevante
Fuente laboral
• Proyectos de consultoría realizados en la empresa GeoInnova Consultores Ltda