Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Similar a MATEMATICA Expresiones algebraicas.pptx
Similar a MATEMATICA Expresiones algebraicas.pptx (20)
Último
Último (20)
MATEMATICA Expresiones algebraicas.pptx
- 1. Expresiones algebraicas y polinomios Términos algebraicos Son expresiones algebraicas que no involucran sumas y restas entre las variables y las constantes, pero si multiplicaciones. −𝟓𝒙𝟐 𝒚 𝟏𝟐𝒂𝒃𝟑
- 2. Elementos en los términos algebraicos Signo: símbolo que indica si el termino es positivo o negativo. − 𝟑 𝟓𝒙𝟐 y 𝟏𝟐𝒂𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃. Coeficientes: símbolo que indica si el termino es positivo o negativo. − 𝟑 𝟓𝒙𝒚,el coeficientes es 𝟑 𝟓.
- 3. Exponente: es el numero que indica el numero de veces que se multiplica una variable 5𝒙𝟐, el exponentes es 2. 𝒙𝟐 → 𝒙 ∙ 𝒙. Parte literal: es el producto de las variables de un termino con sus respectivos exponentes. 5𝒙𝒚𝟐, la parte literal es 𝒙𝒚𝟐.
- 4. Ejemplos: 1. Representar algebraicamente cada enunciado a. Un tercio del cubo de un numero aumentado en uno . 𝒙 va a representar el número desconocido. Por tanto, la expresión algebraica que representa la expresión es: 1 3 𝒙𝟑 + 𝟏
- 5. b. La suma de los cuadrados de dos números. 𝒂 y 𝒃 van a representar los números desconocidos. Por tanto, la expresión algebraica que representa la expresión es: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
- 6. c. La diferencia entre un numero y su cuadrado. 𝒎 va a representar el número desconocidos. Por tanto, la expresión algebraica que representa la expresión es: 𝒎 − 𝒎𝟐
- 7. 2. Determinar el signo, el coeficiente, los exponentes y la parte literal de cada termino. a. −𝟕𝒙𝟐 𝒎𝟒 . Signo: Coeficiente : Exponentes : Parte literal : Negativo: (-) (-7) 2 y 4 𝒙𝟐 𝒎𝟒 . b. 𝟑𝒎𝟑 𝒚𝟐 . Signo: Coeficiente : Exponentes : Parte literal : Positivo 𝟑. 3 y 2 𝒎𝟑 𝒚𝟐 .
- 8. Monomios Expresión algebraica que consta de un solo termino En donde el coeficientes es un numero real y los exponentes números enteros, mayores o iguales a cero. Los elementos de un monomio son signo, coeficiente, exponente y parte literal.
- 9. Características de un monomio Grado Absoluto de un monomio Es la suma de los exponentes de las variables. Según el grado absoluto los monomios se clasifican en: Homogéneos: si dos o mas monomios tienen el mismo grado absoluto. Heterogéneos: si dos o mas monomios tienen diferente grado absoluto.
- 10. Grado Relativo de un monomio con respecto a una variable. Es el exponente de la variable. −𝟏𝟎𝒂𝒃𝟑: el grado relativo con respecto a b es 3.
- 11. Valor numérico de un monomio Es el valor que se obtiene al reemplazar las variables por números y efectuar las operaciones. −𝟏𝟎𝒂𝒃𝟑 : si 𝒂 = 𝟐 , 𝒃 = 𝟒 , entonces,−𝟏𝟎(𝟐)(𝟒𝟑 ), = −𝟏𝟐𝟖𝟎
- 12. Ejemplos: 1. Establecer si los monomios que representan las medidas del triangulo son homogéneos o heterogéneos. 𝟑𝒂𝒃𝟑 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟐 Primero, se halla el grado absoluto de cada monomio. Para esto, se suman los exponentes de las variables. Así, el grado absoluto de 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟐 es 4 y el de 𝟑𝒂𝒃𝟑 es 4. Luego, se comparan los grados absolutos en ambos monomios, que en este caso son iguales. Finalmente, se tiene que los monomios son homogéneos.
- 13. 2. Determinar el grado relativo del monomio − 𝟏 𝟕 𝒙𝟒 𝒚𝟓 con respecto a cada una de sus variables. El grado relativo del monomio corresponde al exponente de cada una de sus variables. Así, el grado relativo con respecto a 𝒙 es 4 y con respecto a 𝒚 es 5.
- 14. 3. Calcular el valor numero del siguiente monomio. − 𝟏 𝟖 𝒙𝟒𝒚𝟓, si 𝒙 = 𝟒 y 𝒚 = 𝟑 4. Calcular el área de un circulo cuyo diámetro es 18cm. 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐. 5. Se deja caer un valor desde la terraza de un edificio a 108 m de altura (H), si considerar la fricción del aire. ¿a que altura con respecto el suelo se encontrara el balón después de 4 segundos? 𝒉 = 𝒈𝒕𝟐 𝟐 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒈 = 𝟗, 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 .
- 15. Expresiones algebraicas y polinomios Llamamos Expresión Algebraica a toda combinación de letras y/o números vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de exponente racional.
- 16. Ejemplos: 𝒂) 𝟑𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 +2𝒚 - 1 𝒃) 𝟐𝒙𝟑 𝒚 +𝒙−𝟏 - 5𝒚 𝒄) 𝟐 − 𝒂 𝟓 + 𝒂 𝒅) 𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒚 + 𝒛 𝟑 Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:
- 17. Clasificación de las Expresiones algebraicas. Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:
- 18. Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no negativo. Ejemplos: 𝒂) −𝒚𝟑 − 𝟏 𝟑 𝒂𝒚 +2𝒂 𝒃) 𝟐𝒙𝟑 𝒚 +𝒙−𝟏 - 5𝒚 𝒄) 𝟑 − 𝟒𝒛
- 19. Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador. Ejemplos: 𝒂) 𝒙+𝒙−𝟐 + 1 𝒄) 𝟐𝒙𝒂 − 𝟑 𝟒𝒙 − 𝟓𝒂 b) 𝟏 𝒙 +𝒚𝒙𝟑 − 𝟐𝒙−𝟏
- 20. Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. Ejemplos: 𝐚) 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟐 𝐛) 𝒂 𝟏 𝟐 + 𝟓𝒃 + 𝒂𝟐
- 21. TEORIA DE POLINOMIOS Monomios Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.
- 22. Grado de un Monomios Es la suma de los exponentes de las letras ( o variables) que contiene. Ejemplos: Monomios Grado 𝟑𝒙 𝟏 − 𝟏 𝟕 𝒙𝟒 𝒚𝟓 𝟗 𝟐𝒎𝒏𝟒 𝟓
- 23. Monomios semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: 𝒂) 𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟐 𝒚 𝟔 𝟓 𝒎𝟑 𝒏𝟐 𝒃) 𝟐𝒙 𝒚 − 𝟑𝒙
- 24. Polinomios Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que participa en él. Casos particulares Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios. Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios
- 25. Ejemplos: Polinomio Clasificación Grado 𝒙 − 𝟐. Binomio 1 𝒙𝟐 − 𝟒. 2 −𝒚𝒙𝟐 + 𝟐𝒚. 3 𝒂𝟐 + 𝟐 + 𝒃. Trinomio 2 −𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏. 3 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 2 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 − 𝟏 Cuatrinomio 4 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙+1. 3
- 26. Polinomios Homogéneo Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. Ejemplos: 𝒂)𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 Polinomios Homogéneo de 2º grado b)𝟕𝒖𝟑 𝒗 + 𝟏 𝟐 𝒑𝟐 𝒒𝒛 − 𝒛𝟒 Polinomios Homogéneo de 4º grado
- 27. Polinomios en un variable Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como: 𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 𝒂𝟏 ∙ 𝒙 + 𝒂𝟎 Donde: 𝒏 ∈ ℤ, 𝒏 ≥ 𝟎 se llama grado del polinomio P y se escribe 𝒏 = 𝒈𝒓𝑷 𝒙 𝒂𝒊 ∈ ℝ se denominan coeficientes del polinomio 𝒂𝒏 ≠ 𝟎 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente
- 28. Polinomio Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟒 4 3, 5, 0, -7, 4 3 4 𝑸 𝒙 = − 𝟐𝒙 1 − 𝟐, 𝟎 − 𝟐 0 𝑹 𝒙 = 𝟖 0 8 8 8
- 29. Valor Numérico de un polinomio Sea 𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 𝒂𝟏 ∙ 𝒙 + 𝒂𝟎 y sea 𝒙 = 𝒄 Entonces 𝑷 𝒄 = 𝒂𝒏 𝒄𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒄𝒏−𝟏 𝒂𝟏 ∙ 𝒄 + 𝒂𝟎 AL valor que se obtiene al reemplazar x por c, lo llamaremos valor numérico de 𝑷 𝒙 para 𝒙 = 𝒄
- 30. Ejemplos: 𝒂) 𝑺𝒊 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 −𝟕𝒙 + 𝟒 Entonces 𝑷 𝟎 = 𝟒 y 𝑷 𝟏 = 𝟑(𝟏)𝟒 +𝟓(𝟏)𝟑 − 𝟕(𝟏) + 𝟒 = 𝟓 𝒃) 𝑺𝒊 𝑸 𝒙 = − 𝟐𝒙 Entonces 𝑷 𝟎 = 𝟎 y 𝑷 𝟐 = − 𝟐 𝟐 = −𝟐
- 31. Cero de un polinomio Sea 𝑷 𝒙 . Se dice que 𝒃 es cero de 𝑷 𝒙 ⇔ 𝑷 𝒃 = 𝟎 Ejemplos: 𝒂) 𝟐 es cero de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒 pues 𝑷 𝟐 = 𝟐( 𝟐)𝟐 − 𝟒 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝒃) 𝟎 es cero de 𝑸 𝒙 = −𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 pues 𝑸 𝟎 = −𝟑(𝟎)𝟑 + 𝟐(𝟎)𝟐 = 𝟎
- 32. Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. Ejemplos: 𝒂) 𝟏 − 𝟐𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟓 + 𝟓𝒚𝟕 esta ordenado en forma creciente 𝒂) 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 esta ordenado en forma decreciente
- 33. Polinomio Completo Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. Ejemplos: 𝒂) 𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 + 𝟐𝒚𝟒 − 𝟗 + 𝟓𝒚𝟑 𝒃) 𝟏 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟏 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐
- 34. quiz 𝒂) 𝑺𝒊 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 𝒚 + 𝟓𝒙𝟑 −𝟕𝒙𝒚𝟑 + 𝟒 Halla el valor numérico del sgte polinomio. 𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏 y 𝒚 = 𝟐
- 35. Operaciones con Polinomios Adición y sustracción de monomios Ejemplos: Sumar cada grupo de monomios. Primero, se verifica que los monomios sean semejantes para poder reducir los términos mediante la adición. 𝒂) 𝟑𝒙𝟒 𝒚𝟑 y 𝟕𝒙𝟒 𝒚𝟑 Luego, se suman los coeficientes de cada monomio y la parte literal se deja igual, así: 𝟑𝒙𝟒 𝒚𝟑 + 𝟕𝒙𝟒 𝒚𝟑 = (𝟑 + 𝟕)𝒙𝟒 𝒚𝟑 = 𝟏𝟎𝒙𝟒 𝒚𝟑
- 36. b) 𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟐 , −𝟒𝒎𝟑 𝒏𝟐 y −𝟓𝒎𝟑 𝒏𝟐 𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟐 + (−𝟒𝒎𝟑 𝒏𝟐 ) + (−𝟓𝒎𝟑 𝒏𝟐 ) = 𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟐 + ( −𝟒 + −𝟓 ) 𝒎𝟑 𝒏𝟐 ) = 𝟑𝒎𝟑 𝒏𝟐 + (−𝟗𝒎𝟑 𝒏𝟐 ) = (−𝟔𝒎𝟑 𝒏𝟐 )
- 37. Destrucción de paréntesis La suma, la resta, el producto y la división de polinomios gozan de las mismas propiedades. − 𝒂 + 𝒃 − −𝒂 + 𝒃 + 𝒂 − 𝒃 + −𝒂 − 𝒃 +𝒂 − 𝒃 −𝒂 − 𝒃 −𝒂 − 𝒃 = = = = +𝒂 − 𝒃
- 38. Operaciones con Polinomios La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. Ejemplos: 1) Sumar 𝒂) (𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟖𝒚𝟑 + 𝟓𝒙𝒚𝟐) 𝒚 (𝟕𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 ) 1ro : Se ordenan. (𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 ) 𝒚 (𝟕𝒙𝟐 𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑 ) 2do : Se suman. (𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑) + (𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑) 3ro : Se eliminan los paréntesis. 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 + 𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑
- 39. 4to : Se agrupan en términos semejantes. 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 − 𝟑𝒚𝟑 4to : Se reducen los términos semejantes operando los coeficientes. 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝟓𝒚𝟑 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝟓𝒚𝟑
- 40. 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 𝟕𝒙𝟐 𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚 +𝟔𝒙𝒚𝟐 +𝟓𝒚𝟑
- 41. Operaciones con Polinomios La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. Ejemplos: 1) Restar 𝒂) (𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟖𝒚𝟑 + 𝟓𝒙𝒚𝟐) 𝒚 (𝟕𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 ) 1ro : Se ordenan. (𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 ) 𝒚 (𝟕𝒙𝟐 𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑 ) 2do : Se restan. (𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑) − (𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒚𝟑) 3ro : Se eliminan los paréntesis. 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 − 𝟕𝒙𝟐𝒚 − 𝒙𝒚𝟐 + 𝟑𝒚𝟑
- 43. 4to : Se agrupan en términos semejantes. 𝟑𝒙𝟐𝒚 − 𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 − 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟑 4to : Se reducen los términos semejantes operando los coeficientes. −𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒙𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑 −𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟒𝒙𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑
- 44. 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝟑 −𝟕𝒙𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚𝟐 + 𝟑𝒚𝟑 −𝟒𝒙𝟐 𝒚 +𝟒𝒙𝒚𝟐 +𝟏𝟏𝒚𝟑
- 45. Operaciones con Polinomios La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. Ejemplos: 1) Calcular 𝒂) (𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒙𝟐𝒚) + (𝟏 − 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚 − 𝒙) − (𝒙 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟓) 𝒃) (𝒙 − 𝒚𝟐)(𝒙 − 𝒚𝟐) + (𝒙 + 𝒚)𝟐 2) Sean 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖 𝒚 𝑸 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 Calcular 𝒂) 𝟐𝑷 𝒙 − 𝒙𝑸 𝒙 𝒃) 𝑷 𝒙 + 𝑸 𝒙 ∙ 𝒙𝑸 𝒙 R//𝒂) −𝟓𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟔 R//b) − 𝒚𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 R//a) 𝟐𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟔 R//b)𝟐𝒙𝟕 + 𝟒𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟕
- 46. División de Polinomios entre si Sean 𝑷(𝒙) y 𝑸(𝒙) dos polinomios con 𝑸(𝒙) ≠ 𝟎, tal que Entonces existen dos polinomios únicos 𝑪(𝒙) y 𝑹(𝒙) tales que: 𝑷 𝒙 = 𝑸 𝒙 ∙ 𝑪 𝒙 + 𝑹(𝒙) con 𝒈𝒓𝑹(𝒙) < 𝒈𝒓𝑸(𝒙) Llamaremos a 𝑷(𝒙) dividendo, 𝑸(𝒙) divisor, 𝑪(𝒙) cociente y a 𝑹(𝒙) resto.
- 48. También puede expresarse: 𝑷 𝒙 𝑸 𝒙 = 𝑪 𝒙 + 𝑹 𝒙 𝑸 𝒙 Cuando 𝑹 𝒙 = 𝟎, la división es exacta. Entonces, 𝑷 𝒙 = 𝑸 𝒙 ∙ 𝑪 𝒙 y se dice que 𝑸 𝒙 es un factor de 𝑷 𝒙 o que 𝑷 𝒙 es divisible por 𝑸 𝒙 . 𝑷 𝒙 = 𝑸 𝒙 ∙ 𝑪 𝒙 De ese modo se tendrá que: 𝑷 𝒙 𝑸 𝒙 = 𝑪 𝒙
- 49. Ejemplos: Sea 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑸 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 Calcular el coeficiente y el resto que se obtienen al dividir 𝑷 𝒙 en 𝑸 𝒙 . 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 −𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 + 𝟐 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒 −𝒙 − 𝟓
- 50. Entonces 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐 y 𝑹 𝒙 = −𝒙 − 𝟓 Se puede escribir 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 + (−𝒙 − 𝟓) O también 𝟐𝒙𝟑+𝒙−𝟏 𝒙𝟐−𝒙+𝟐 = 𝟐𝒙 + 𝟐 + −𝒙−𝟓 𝒙𝟐−𝒙+𝟐
- 51. Regla de Ruffini 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐 ÷ (𝐱 − 𝟏) En primer lugar colocamos los coeficientes del dividendo en una fila. En este caso el polinomio es completo, si no fuera así completaría con ceros, 0. 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐 ÷ 𝐱 − 𝟏 = 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐
- 52. Posteriormente, colocamos el opuesto (le cambiamos el signo) del termino independiente del divisor 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐 ÷ 𝐱 − 𝟏 = 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 Para empezar, bajamos el primer coeficiente.
- 53. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 +𝟑 Sumamos los dos coeficientes 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 +𝟑 +𝟏𝟔
- 54. Repetimos el proceso anterior y vamos completando paso a paso la tabla. 𝟑 𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 +𝟑 +𝟏𝟔 +𝟏𝟔 +𝟑 +𝟑 +𝟓 Aquí, debemos tener en cuenta que: El grado del cociente es una unidad inferior al grado del dividendo. El resto es siempre un número. 𝑪 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟑 y 𝑹 𝒙 = 𝟓
- 55. PRODUCTOS NOTABLES Son expresiones algebraicas que resultan de generalizar ciertos casos de multiplicación de polinomios. Cuadrado de un binomio Hay que tener en cuanta dos casos: el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencias. (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃) = 𝒂 𝒂 + 𝒃 + 𝒃(𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒂 − 𝒃)𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 𝒂 − 𝒃 − 𝒃(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
- 56. Ejemplos: Hallar el área de que se ilustra en el cuadrado de la figura. 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟑𝒙 + 𝟓 𝑨 = 𝒍𝒙𝒍 = 𝒍𝟐 𝑨 = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝑨 = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 = = (𝟑𝒙)𝟐 +𝟐 𝟑𝒙 𝟓 + (𝟓)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 +𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟓
- 57. Cuadrado de un Trinomio (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐= 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐= (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 𝒂 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒄(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄
- 58. Otra manera: Cuadrado de un Trinomio (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐= 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 +𝟐 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒄𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 + 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃 𝒄 + 𝒄𝟐 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 +𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄
- 59. Ejemplos: Desarrollar el siguiente cuadrado de un trinomio. (𝟐𝒑 + 𝟑𝒒 + 𝟒𝒓)𝟐 (𝟐𝒑 + 𝟑𝒒 + 𝟒𝒓)𝟐= 𝟐𝒑 + 𝟑𝒒 + 𝟒𝒓 𝟐 = (𝟐𝒑 + 𝟑𝒒)𝟐 +𝟐 𝟐𝒑 + 𝟑𝒒 𝟒𝒓 + (𝟒𝒓)𝟐 = (𝟒𝒑)𝟐 +𝟐 𝟐𝒑 𝟑𝒒 + (𝟑𝒒)𝟐 + 𝟒𝒑 + 𝟔𝒒 𝟒𝒓 + (𝟒𝒓)𝟐 = 𝟒𝒑𝟐 + 𝟏𝟐𝒑𝒒 + 𝟗𝒒𝟐 + 𝟏𝟔𝒑𝒓 + 𝟐𝟒𝒒𝒓 + 𝟏𝟔𝒓𝟐 = 𝟒𝒑𝟐 + 𝟗𝒒𝟐 + 𝟏𝟔𝒓𝟐 + 𝟏𝟔𝒑𝒓 + 𝟐𝟒𝒒𝒓
- 60. Producto de la suma por diferencia 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 𝒂 − 𝒃 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
- 61. a) b) c) d) e)
- 62. Producto de dos binomios con un termino común. 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒂𝒃 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙 𝒙 + 𝒃 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒂𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒂𝒃
- 63. 𝒙𝟑 + 𝟒𝒚 𝒙𝟑 − 𝟐𝒚 𝒙𝟑 + 𝟒𝒚 𝒙𝟑 − 𝟐𝒚 = 𝒙𝟑 𝒙𝟑 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒚 𝒙𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟒𝒙𝟑 𝒚 + 𝟖𝒚𝟐 = 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟑 𝒚 + 𝟖𝒚𝟐
- 64. Cubo de un Binomios (𝒂 + 𝒃)𝟑= 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 (𝒂 + 𝒃)𝟑= (𝒂 + 𝒃)𝟐(𝒂 + 𝒃) = (𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)(𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 𝒂 + 𝒃 + 𝟐𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 + 𝒃𝟐(𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟑 +𝒂𝟐𝒃 + 𝟐𝒂𝟐𝒃 + 𝟐𝒂𝒃𝟐 + 𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 Hay que tener en cuanta dos casos: el cubo de la suma y el cubo de la diferencias.
- 65. Cubo de un Binomios (𝒂 − 𝒃)𝟑= 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂 − 𝒃 𝟐 (𝒂 − 𝒃) = (𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 𝒂 − 𝒃 − 𝟐𝒂𝒃 𝒂 − 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 𝒃 − 𝟐𝒂𝟐 𝒃 + 𝟐𝒂𝒃𝟐 + 𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
- 66. Cocientes Notables 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒂 = 𝒙 − 𝒂 Cociente de la forma 𝒙𝟐−𝒂𝟐 𝒙+𝒂 (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) (𝒙 + 𝒂) = 𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒙 − 𝒂 = 𝒙 − 𝒂 Cociente de la forma 𝒙𝟐−𝒂𝟐 𝒙−𝒂 (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) (𝒙 − 𝒂) = 𝒙 + 𝒂
- 67. 𝒙𝟑 + 𝒂𝟑 𝒙 + 𝒂 = 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 Cociente de la forma 𝒙𝟑+𝒂𝟑 𝒙+𝒂 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 Cociente de la forma 𝒙𝟑−𝒂𝟑 𝒙−𝒂 Se comprueban haciendo la división.
- 68. 𝒙𝒏 − 𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒂𝒏−𝟐 + 𝒂𝒏−𝟏, 𝒏 ∈ ℤ Cociente de la forma 𝒙𝒏−𝒂𝒏 𝒙−𝒂 𝒎𝟓 − 𝒚𝟓 𝒎 − 𝒚 = 𝒎𝟒 + 𝒎𝟑𝒚 + 𝒎𝟐𝒚𝟐 + 𝒎𝒚𝟑 + 𝒚𝟒
- 69. 𝒙𝒏−𝒂𝒏 𝒙+𝒂 = 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂𝟐 − ⋯ + 𝒙𝒂𝒏−𝟐 − 𝒂𝒏−𝟏, 𝒏 ∈ ℤ+ n es par. Cociente de la forma 𝒙𝒏−𝒂𝒏 𝒙+𝒂 𝒎𝟒 − 𝒚𝟒 𝒎 + 𝒚 = 𝒎𝟑 − 𝒎𝟐𝒚 + 𝒎𝒚𝟐 − 𝒚𝟑
- 70. 𝒙𝒏−𝒂𝒏 𝒙+𝒂 = 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂𝟐 − ⋯ + 𝒙𝒂𝒏−𝟐 − 𝒂𝒏−𝟏, 𝒏 ∈ ℤ+ n es impar. Cociente de la forma 𝒙𝒏−𝒂𝒏 𝒙+𝒂 𝒎𝟓 − 𝒚𝟓 𝒎 + 𝒚 = 𝒎𝟒 − 𝒎𝟑𝒚 + 𝒎𝟑 𝒚𝟐 − 𝒎𝟐𝒚𝟑 + 𝒎𝒚𝟒 − 𝒚𝟒
- 71. 𝒙𝒏+ 𝒂𝒏 𝒙+𝒂 = 𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐𝒂 + 𝒙𝒏−𝟑𝒂𝟐 − ⋯ − 𝒙𝒂𝒏−𝟐 + 𝒂𝒏−𝟏, 𝒏 ∈ ℤ+ n es impar. Cociente de la forma 𝒙𝒏+𝒂𝒏 𝒙+𝒂 𝒎𝟓 + 𝒚𝟓 𝒎 + 𝒚 = 𝒎𝟒 − 𝒎𝟑𝒚 + 𝒎𝟐 𝒚𝟐 − 𝒎𝒚𝟑 + 𝒚𝟒
- 72. FACTORIZACIÓN Factorizar un numero es expresarlo como producto de dos o mas factores. Factorizar un polinomio, significa descomponerlo en factores primos que son polinomios, diferentes a él. Ejemplos: 𝒛𝟐 + 𝟓𝒛 + 𝟔 Se factoriza como (𝒛 + 𝟑)(𝒛 + 𝟐) Ya que al realizar el producto (𝒛 + 𝟑) ∙ (𝒛 + 𝟐) Se obtiene 𝒛𝟐 + 𝟓𝒛 + 𝟔
- 73. Factorización de monomios Ejemplos: 𝟕𝒎𝟒 Se factoriza como (𝟕𝒎) ∙ (𝒎𝟑 ) Consiste en expresarlo como el producto de dos o mas monomios.
- 74. Factorización por Factor común Factor común Monomio Primero, se halla el factor común, considerando sus características. segundo, se divide cada termino del polinomio dado entre el factor común extraído. Por ultimo, se escribe el factor común y, dentro de un paréntesis, se escriben los resultados de cada división. Ejemplos: 𝟔𝒂 − 𝟏𝟓𝒃 El factor común es 3 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: Ya que 3 es el mcd de 6 y 15. 𝟔𝒂 − 𝟏𝟓𝒃 = 𝟑(𝟐𝒂 − 𝟓𝒃)
- 75. Ejemplos: 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒚 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟒𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟒 El factor común es 𝟔𝒙𝟐 𝒚 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: Ya que 6 es el mcd de 12, 30 y 42 y 𝟔𝒙𝟐 𝒚 correspondientes a las variables 𝒙 y 𝒚 con su menor exponente. 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒚 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟒𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟒 = 𝟔𝒙𝟐 𝒚(𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟕𝒙𝒚𝟑 )
- 76. Factor común Polinomio Primero, se extrae el factor común de las expresiones del polinomio, teniendo en cuenta que el factor esta compuesto por mas de un monomio. segundo, se divide cada expresión del polinomio dado entre el factor común extraído. Por ultimo, se escribe la factorización del polinomio propuesto. Ejemplos: 𝒎 𝒎 + 𝒏 − 𝒏𝟐 (𝒎 + 𝒏) El factor común es (𝒎 + 𝒏) 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒎 𝒎 + 𝒏 − 𝒏𝟐 𝒎 + 𝒏 = (𝒎 + 𝒏)(𝒎 − 𝒏𝟐 )
- 77. Factor común por Agrupación de Términos Ejemplos: 𝒂𝒎 + 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 (𝒂𝒎 + 𝒃𝒎) + (𝒂𝒏 + 𝒃𝒏) 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒎 𝒂 + 𝒃 + 𝒏 𝒂 + 𝒃 = (𝒎 + 𝒏)(𝒂 + 𝒃) 𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒂𝒎 + 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 = (𝒎 + 𝒏)(𝒂 + 𝒃) (𝒂𝒎 + 𝒂𝒏) + (𝒏𝒏 + 𝒃𝒏) 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂 𝒎 + 𝒏 + 𝒃 𝒎 + 𝒏 = (𝒎 + 𝒏)(𝒂 + 𝒃) 𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒂𝒎 + 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 = (𝒎 + 𝒏)(𝒂 + 𝒃)
- 78. Factorización de Binomios Se aplican los productos y cocientes notables estudiados anteriormente. Ejemplos: 𝟏𝟎𝟎𝒎𝟐 − 𝟖𝟏𝒏𝟐 𝟏𝟎𝟎𝒎𝟐 = 𝟏𝟎𝒎 y 𝟖𝟏𝒏𝟐 = 𝟗𝒏 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: Factorización de la Diferencia de Cuadrados Se factoriza como la suma de raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de las raíces cuadradas de los dos términos. 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝟏𝟎𝟎𝒎𝟐 − 𝟖𝟏𝒏𝟐 = (𝟏𝟎𝒎 + 𝟗𝒏)(𝟏𝟎𝒎 − 𝟗𝒏)
- 79. Factorización de la Suma y la Diferencia de Cubos A partir del estudio de los cocientes notables se tiene que: 𝒂𝟑+𝒃𝟑 𝒂+𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝟑−𝒃𝟑 𝒂−𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Además, como las expresiones anteriores son cocientes exactos en cada una de ellas se verifica: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) Es decir, la suma o la diferencia de cubos perfectos, se puede expresar como el producto de dos factores.
- 80. Ejemplos: 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖𝒏𝟔 𝒛𝟗 𝟑 𝟐𝟕𝒙𝟑 = 𝟑𝒙 y 𝟑 𝟖𝒏𝟔𝒛𝟗 = 𝟐𝒏𝟐 𝒛𝟑 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: Factorización de la Suma de Cubos La expresión de la forma 𝒙𝟑 + 𝒂𝟑 se denomina suma de cubos y en ella se identifican las siguientes características. 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖𝒏𝟔 𝒛𝟗 = 𝟑𝒙 + 𝟐𝒏𝟐 𝒛𝟑 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒏𝟐 𝒛𝟑 + 𝟒𝒏𝟒 𝒛𝟔 Sus términos tienen igual signo. Cada uno de sus términos tiene raíz cubica exacta
- 81. Ejemplos: 𝟓𝟏𝟐𝒂𝟏𝟐 − 𝟖𝒃𝟏𝟓 𝟑 𝟓𝟏𝟐𝒂𝟏𝟐 = 𝟖𝒂𝟒 y 𝟑 𝟖𝒃𝟏𝟓 = 𝟐𝒃𝟓 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: Factorización de la Diferencia de Cubos La expresión de la forma 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 se denomina diferencia de cubos y en ella se identifican las siguientes características. 𝟓𝟏𝟐𝒂𝟏𝟐 − 𝟖𝒃𝟏𝟓 = 𝟖𝒂𝟒 − 𝟐𝒃𝟓 𝟔𝟒𝒂𝟖 + 𝟏𝟔𝒂𝟒 𝒃𝟓 + 𝟒𝒃𝟏𝟎 Sus términos tienen diferentes signo. Cada uno de sus términos tiene raíz cubica exacta
- 82. Factorización de Trinomios Cuando tienen tres términos, se factorizan según sus características. Por tal razón hay tres clases de trinomios. Los cuadrados perfectos, los trinomios de la forma 𝒙𝟐𝒏 − 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 y los trinomios de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 − 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄.
- 83. Factorización de Trinomios Cuadrados perfectos 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)𝟐 La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es: 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 Ejemplos: 𝟗𝒎𝟐 + 𝟏𝟔𝒏𝟐 + 𝟐𝟒𝒎𝒏 𝟗𝒎𝟐 = 𝟑𝒎 𝟏𝟔𝒏𝟐 = 𝟒𝒏 𝟗𝒎𝟐 + 𝟏𝟔𝒏𝟐 + 𝟐𝟒𝒎𝒏 = (𝟑𝒎 + 𝟒𝒏 )𝟐 𝟖𝟏𝒉𝟐 − 𝟓𝟒𝒉𝒌 + 𝟑𝟔𝒌𝟐 𝟖𝟏𝒉𝟐 = 𝟗𝒉 𝟑𝟔𝒌𝟐 = 𝟔𝒌 𝟖𝟏𝒉𝟐 − 𝟓𝟒𝒉𝒌 + 𝟑𝟔𝒌𝟐 = (𝟗𝒉 − 𝟔𝒌 )𝟐
- 84. Factorización de Trinomios Cuadrados perfectos por adición y sustracción. 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 𝟒 = 𝟐 𝟐 ∙ (𝒙𝟐 ) 𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer termino. Se halla el doble producto de las raíces. 𝟒𝒙𝟐 − (𝟑𝒙𝟐 ) = 𝒙𝟐 Se calcula el termino que se va a sumar y restar.
- 85. 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒 − 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 −𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐 + 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝒙 Se suma y se resta x2. Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto. Se factoriza por diferencia de cuadrados Se eliminan los signos de agrupación y se ordena. (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐)
- 86. Factorización de trinomios de la forma 𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 Expresiones como: 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔, 𝒂𝟒 − 𝟖𝒂𝟐 − 𝟐𝟎, son trinomios de la forma 𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄. Factorizar 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏𝟒 𝒙𝟐 = 𝒙 Primero, se halla la raíz cuadrada del primer termino. 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏𝟒 = (𝒙 )(𝒙 ) Segundo, se escribe la raíz, en dos paréntesis, así:
- 87. 𝑳𝒐𝒔 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝟕 𝒚 𝟐. 𝑷𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆: 𝟕 + 𝟐 = 𝟗 𝟕 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟒 Luego, se buscan dos números cuya suma sea 9 y su producto 14. Por ultimo, se ubican los números y las variables en cada factor, así: 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟕 )(𝒙 + 𝟐) 𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟕 )(𝒙 + 𝟐)
- 88. Factorización de trinomios de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 Expresiones como: 𝟖𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝟐 , 𝟑𝒚𝟒 − 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏 , son trinomios de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄. Factorizar 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 𝟏𝟓 ∙ 𝟒 = 𝟔𝟎 Primero, se multiplica 𝟏𝟓 𝒙 𝟒 = 𝟔𝟎 𝒓𝒙𝟐 + 𝒔𝒙𝟐 = −𝟐𝟑𝒙𝟐 Luego, se descompone 𝟔𝟎 en dos factores, 𝒓 y 𝒔, tales que: 𝒓 = 𝟐𝟎 𝒚 𝒔 = −𝟑 En este caso −𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 = −𝟐𝟑𝒙𝟐 Ya que
- 89. (−𝟐𝟎) ∙ (−𝟑) = 𝟔𝟎 Y Ahora, se escribe 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 como: 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 Después, se factoriza 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 por factor común por agrupación de términos, así: 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = (𝟏𝟓𝒙𝟒 −𝟐𝟎𝒙𝟐 ) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟒) = (𝟑𝒙𝟐 −𝟒)(𝟓𝒙𝟐 −𝟏)
- 90. Por tanto, la factorización es: 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = = (𝟑𝒙𝟐 −𝟒)(𝟓𝒙𝟐 −𝟏) Se comprueba la factorización así: (𝟑𝒙𝟐 −𝟒)(𝟓𝒙𝟐 −𝟏) = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟒 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟑𝒙𝟐 + 𝟒
- 91. Factorización de un cubo perfecto. Un cubo perfecto es el resultado de los productos notables: (𝒙 + 𝒚)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 (𝒙 − 𝒚)𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 Indicar si el polinomio 𝟔𝟒𝒎𝟑 + 𝟒𝟖𝒎𝟐𝒏𝒚 + 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝒏𝟑 corresponde a un cubo perfecto, Luego factoriza. 𝟔𝟒𝒎𝟑 + 𝟒𝟖𝒎𝟐 𝒏 + 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝒏𝟑 Se ordena el polinomio. 𝟑 𝟔𝟒𝒎𝟑 = 𝟒𝒎 𝒚 𝟑 𝒏𝟑 = 𝒏 Se extrae la raíz cubica del primer y cuarto termino.
- 92. 𝟑 𝟒𝒎 𝟐 ∙ 𝒏 = 𝟒𝟖𝒎𝟐 𝒏 Se verifica que el triple del cuadrado de 𝟒𝒎 por 𝒏 sea igual al segundo termino. 𝟑 𝟒𝒎 ∙ 𝒏 𝟐 = 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 Se verifica que el triple 𝟒𝒎 por del cuadrado de 𝒏 sea igual al tercer termino. Como todos los términos son positivos, se tiene que: El polinomio 𝟔𝟒𝒎𝟑 + 𝟒𝟖𝒎𝟐𝒏 + 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝒏𝟑 corresponde a un cubo perfecto de la suma. Por tanto, la factorización de 𝟔𝟒𝒎𝟑 + 𝟒𝟖𝒎𝟐𝒏 + 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝒏𝟑 es: 𝟔𝟒𝒎𝟑 + 𝟒𝟖𝒎𝟐 𝒏 + 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝒏𝟑 = (𝟒𝒎 + 𝒏)𝟑