Presentacion

1. CHAPTER 1
UNI
POLINOMIO, PRODUCTOS
NOTABLES, DIVISIÓN DE
POLINOMIOS

2. 𝑬𝑳 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶
𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒓𝒆𝒗𝒊𝒂
𝑴𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒂𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄𝒂 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒂, 𝒆𝒔
𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒖 𝒐 𝒔𝒖𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒓 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔
𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒓𝒐 .
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑺𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: 𝑴 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝟗 . 𝒙𝟒
𝒚𝟑
𝒛
𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒏𝒐 𝒐 𝒎á𝒔 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐𝒔
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑺𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟗𝒙𝟒
𝒚𝟑
− 𝟓𝒙𝒚𝟐
+ 𝟕𝒙𝟓
− 𝟔𝐲
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒍𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

3. 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑺𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒈𝒕𝒆. 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏:
𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟗𝒙𝟏𝟐−𝒏
𝒚𝟑
− 𝟓𝒙𝒚𝒏−𝟒
+ 𝟕𝒙
𝒏
𝟑
𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 "𝒏"
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝟏𝟐 − 𝒏 ≥ 𝟎 → 𝒏 − 𝟏𝟐 ≤ 𝟎 → 𝒏 ≤ 𝟏𝟐
𝒏 − 𝟒 ≥ 𝟎 → 𝒏 ≥ 𝟒
𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆:
𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏:
𝒏
𝟑
∈ ℤ+ 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒆𝒍𝒍𝒐 𝒏 = 𝟔; 𝟗; 𝟏𝟐
𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏: ∑ 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 "𝒏" = 𝟔 + 𝟗 + 𝟏𝟐 = 𝟐𝟕
𝟒 ≤ 𝒏 ≤ 𝟏𝟐

4. 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑫𝑬 𝑼𝑵𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑨 𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑩𝑳𝑬
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒐𝒙𝒏
+ 𝒂𝟏𝒙𝒏−𝟏
+ 𝒂𝟐𝒙𝒏−𝟐
+ 𝒂𝟑𝒙𝒏−𝟑
+ ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏
"𝒏
𝑺𝒆𝒂 𝑷 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 "𝒙"
: 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 (𝒏 ∈ ℤ+
)
𝒂𝒐 : 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝒐 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 (𝒂𝒐 ≠ 𝟎)
𝒂𝒏 : 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
𝒂𝒐 ; 𝒂𝟏;𝒂𝟐; 𝒂𝟑; … 𝒂𝒏−𝟏; 𝒂𝒏 : 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑷.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝑷 𝒙 = 𝟖 𝒙𝟒
− 𝟓 𝒙𝟑
+ 𝟕𝒙𝟐
− 𝟔 𝒙 + 𝟗
"
∑ 𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝑷 = 8 – 5 + 7 – 6 + 9 = 𝟏𝟑

5. 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑴Ó𝑵𝑰𝑪𝑶
𝑬𝒔 𝒂𝒒𝒖𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒚𝒐 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝑪. 𝑷. 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟑
𝑭 𝒚 = 𝒚𝟓
− 𝟕𝒚𝟐
+ 𝟑𝒚 + 𝟐
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝑺𝒊 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐:
𝑷 𝒙 = (𝒎 − 𝟓)𝒙𝟑
+ 𝒏 − 𝟕 𝒙𝟐
− 𝟑𝒎𝒙 + 𝟐𝒏
𝒆𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒚 𝒎ó𝒏𝒊𝒄𝒐. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒎𝒏
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝒎 − 𝟓 = 𝟎 → 𝒎 = 𝟓
𝒂𝒅𝒆𝒎á𝒔: 𝒏 − 𝟕 = 𝟏 → 𝒏 = 𝟖
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐
− 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟔 𝒎. 𝒏 = 𝟒𝟎

6. 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒚 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐
𝑫𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑷 𝒙 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆:
𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝑷 = 𝑷(𝟏)
𝑻. 𝑰. 𝑷 = 𝑷(𝟎)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒚 𝒆𝒍
𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑷.
𝑷 𝒙 − 𝟑 = 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝑷 𝟏 𝒚 𝑷(𝟎)
𝑺𝒆𝒂 𝒙 = 𝟒 → 𝑷 𝟒 − 𝟑 = 𝟒𝟐
+ 𝟕 𝟒 − 𝟓
𝑺𝒆𝒂 𝒙 = 𝟑 → 𝑷 𝟑 − 𝟑 = 𝟑𝟐
+ 𝟕 𝟑 − 𝟓
𝑷 𝟏 = 𝟏𝟔 + 𝟐𝟖 − 𝟓
𝑷 𝟎 = 𝟗 + 𝟐𝟏 − 𝟓
𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝑷 = 𝑷(𝟏) = 𝟑𝟗
𝑻. 𝑰. 𝑷 = 𝑷(𝟎) = 𝟐𝟓

7. 𝑪𝑨𝑴𝑩𝑰𝑶 𝑫𝑬 𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑩𝑳𝑬
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒓á𝒄𝒕𝒊𝒄𝒐
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑺𝒆𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏: 𝑷 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟔𝒙 − 𝟏
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆: 𝑷 𝟒𝒙 − 𝟑
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒅𝒂𝒕𝒐 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐:
𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝒚 → 𝒙 =
𝒚 − 𝟓
𝟐
𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 ∶
𝑷 𝒚 = 𝟔(
𝒚 − 𝟓
𝟐
) − 𝟏
𝑷 𝒚 = 𝟑 𝒚 − 𝟓 − 𝟏
𝑷 𝒚 = 𝟑𝒚 − 𝟏𝟔
𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐:
𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟑
𝑷 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟑 𝟒𝒙 − 𝟑 − 𝟏
𝑷 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟗 − 𝟏
𝑷 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟎

8. 𝑺𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐:
𝑷 𝑷 𝒙 = 𝒂𝟐
𝒙 + (𝒂𝒃 + 𝒃)
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃
𝑺𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆:
𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏: 𝑷 𝑷(𝑷( 𝒙) = 𝒂𝟑
𝒙 + (𝒂𝟐
𝒃 + 𝒂𝒃 + 𝒃)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟒
𝑷 𝑷(𝑷( 𝒙) = 𝟑𝟑
. 𝒙 + 𝟑𝟐
. 𝟒 + 𝟑. 𝟒 + 𝟒
𝑷 𝑷(𝑷( 𝒙) = 𝟐𝟕𝒙 + 𝟓𝟐

9. 𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶 𝑫𝑬 𝑬𝑿𝑷𝑹𝑬𝑺𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺 𝑨𝑳𝑮𝑬𝑩𝑹𝑨𝑰𝑪𝑨𝑺
𝐺. 𝐴. = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒.
𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜: 𝑴 𝒙; 𝒚 = 𝒌. 𝒙𝒂
. 𝒚𝒃
𝑮. 𝑨. 𝑴 = 𝒂 + 𝒃
𝐺. 𝐴. = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜.
𝑮. 𝑹. 𝒙 = 𝒂 𝑮. 𝑹. 𝒚 = 𝒃
𝑺𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟕𝒙𝟓
𝒚𝟔
+ 𝟗𝒙𝟕
𝒚𝟐
− 𝟔𝒙𝟔
𝒚𝟒
𝑮. 𝑨. 𝑷 = 𝟏𝟏 (𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒐 𝒎𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐𝒔)
𝑮. 𝑹. 𝒙 = 𝟕 (𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 "𝒙" 𝒆𝒏 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔)
𝑮. 𝑹. 𝒚 = 𝟔 (𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 "𝒚" 𝒆𝒏 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔)

10. POLINOMIOS ESPECIALES
𝑨) 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑯𝑶𝑴𝑶𝑮É𝑵𝑬𝑶.
𝑒𝑠 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜.
𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟕𝒙𝟓
𝒚𝟔
+ 𝟗𝒙𝟕
𝒚𝟒
− 𝟔𝒙𝟖
𝒚𝟑
+ 𝒙𝟏𝟏
𝑩) 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑪𝑶𝑴𝑷𝑳𝑬𝑻𝑶 𝒀 𝑶𝑹𝑫𝑬𝑵𝑨𝑫𝑶.
𝑒𝑠 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 −
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝑷 𝒙 = 𝟕𝒙𝟓
+ 𝟗𝒙𝟒
− 𝟔𝒙𝟑
+ 𝒙𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟒
𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒: ⋕ 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 = ⋕ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 + 𝟏
𝑪) 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑪𝑶𝑵𝑺𝑻𝑨𝑵𝑻𝑬. 𝑷 𝒙 = 𝒌
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝑷 𝟒 = 𝒌 𝑷 −𝟕 = 𝒌 𝑷 𝒙 + 𝟑 = 𝒌 𝑷 𝒏𝟐
= 𝒌
(𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂)

11. 𝑫) 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶𝑺 𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑰𝑪𝑶𝑺 .
𝑷(𝒙) ≡ 𝑸(𝒙)
𝑺𝒊: 𝒙 = 𝜶 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) → 𝑷(𝜶) = 𝑸(𝜶)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝑺𝒐𝒏 𝒂𝒒𝒖𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂𝒙𝟕
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄 ≡ 𝒎𝒙𝟕
+ 𝒏𝒙𝟐
+ 𝒑
𝒂 = 𝒎
𝒃 = 𝒏
𝒄 = 𝒑
𝑺𝒆𝒂:
𝑬) 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑰𝑪𝑨𝑴𝑬𝑵𝑻𝑬 𝑵𝑼𝑳𝑶 .
𝑺𝒐𝒏 𝒂𝒒𝒖𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒚𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝒄𝒆𝒓𝒐.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝒂𝒙𝟕
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄 ≡ 𝟎
𝒂 = 𝟎
𝒃 = 𝟎
𝒄 = 𝟎

12. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(a±b)
2
= a2±2ab+b2
=( )
2
−2( )( )+( )
2 −28x2
7x2 7x2
2 2 +4
(7x2−2)
2
=49x4
coeficiente principal=
termino independiente=
49
4
PRODUCTOS NOTABLES
Resultados de efectuar multiplicaciones, sin necesidad
de realizar la Ley Distributiva. También usarenos
equivalencias entre expresiones, para reducir.
m≠0;(m4−m−3)
2
= m8−2m+m−6

13. IDENTIDADES DE LEGENDRE
(a+b)
2
+ a−b 2≡2 a2+b2
(a+b)
2
− a−b 2≡4ab
( 6+2)
2
+ 6−2
2
=2 2+ 2
6 2
suma
diferencia
= 20
m≠0; (m3+m−2)
2
− m3−m−2
2
=4( )( ) =4m
m−2
m3
DIFERENCIA DE CUADRADOS
a+b a−b = a2−b2

14. 10+2 3 10−2 3 =( )
2
−( )
2
10 2 3 =10−12=−2
5+ 2+ 3 ( 5− 2− 3)= 5+( 2+ 3 ) 5−( 2+ 3 )
IDENTIDAD DE STEVEN
=( )
2
−( )
2
5 2+ 3 = 5− 2+2 6+3 = −2 6
x+a (x+b)= x2+ a+b x+ab
=x2 + (−9+3)x+(−9)(3) =x2 −6x−27
x−y+3 (x−y+4)=(x−y)
2
+7(x−y)+12
x−9)(x+3

15. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO
a±b 3=a3±3a2b+3ab2±b3
2−1
3
= ( 2)
3
−3 2
2
1 +3 2 1 2− 1 3=5 2−7
IDENTIDADES DE CAUCHY
(a±b)
3
≡a3±b3±3ab a±b
Si: a
3
+b3= a+b = 4. Halle el valor de "ab"
(a+b)3 ≡ a3+b3 +3 ab a+b ⇒
4
4
4 x
64 = 4+12x ⇒ x=ab=5

16. 3
13+2
3
169−2
3
13+4 =(
3
13+2)
3
13
2
−
3
13(2)+22 =
3
13
3
+23=21
3
7−3
3
49+3
3
7+9 =(
3
7−3)
3
7
2
+
3
7(3)+32 =
3
7
3
−33=−20
IDENTIDAD TRINÓMICA ( DE ARGAND)
(a2 +ab+b2 )(a2−ab+b2)=a4+a2b2+b4
(x
2
+x+1)(x2−x+1)=x4 + x2+1
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a±b)(a2∓ab+b2) ≡a3 ± b3

17. IDENTIDADES DE LAGRANGE
(ax+by)2+(ay−bx)
2
=(a
2
+b
2
)(x
2
+y
2
)
a= 5;b= 7; x= 2; y= 3
( 𝟏𝟎 + 𝟐𝟏)𝟐+( 𝟏𝟓 − 𝟏𝟒)𝟐:
( 5 2+ 7 3)2+( 5 3− 7 2)2=( 5
2
+ 7
2
)( 2
2
+ 3
2
)=60
DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)
(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛)𝟐+(𝒂𝒚 − 𝒃𝒙)𝟐+(𝒃𝒛 − 𝒄𝒚)𝟐 + (𝒄𝒙 − 𝒂𝒛)𝟐 = (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐)(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+𝒛𝟐)

18. (a−b−c)
2
=a
2
+(−b)
2
+(−c)
2
+2 a(−b)+(−b)(−c)+a(−c)
=a2 +b2+c2+2(−ab+bc−ac)
1+
3
2+
3
4
2
= 1 2+(
3
2)
2
+(
3
4)
2
+2 (1)(
3
2)+(
3
2)(
3
4)+(1)(
3
4)
=1+
3
4+2
3
2+2
3
2+2+
3
4 =5+4
3
2+3
3
4
EQUIVALENTE DE UN TRINOMIO AL CUBO
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
IDENTIDAD AUXILIAR
a+b+c ab+bc+ca −abc=(a+b)(b+c)(a+c)

19. IDENTIDAD DE GAUSS
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)
A partir de esta última, se tiene:
(a+b+c)3=a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b+c)(ab+bc+ac)−abc
(a+b+c)3=3(a+b+c)(a2+b2+c2)−2 a3+b3+c3 +6abc
𝑪𝒐𝒏 é𝒔𝒕𝒂 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒂:
x3−3xy+y3+1=
x3+y3+13−3(x)(y)(1)=(x+y+1)(x2+y2+1−xy−y−x)

20. IGUALDADES
CONDICIONADAS:
Cuando "a+b+c=0"
n"∈Z;""
"n>2"" (a3+b3+c3)(an−3+bn−3+cn−3)
3
+
(a2+b2+c2)(an−2+bn−2+cn−2)
2
=an+bn+cn
a4+b4+c4=2(a2b2+b2c2+a2c2)
a2+b2+c2=−2(ab+bc+ac)
a3+b3+c3=3abc
a2+b2+c2
2
a3+b3+c3
3
=
a5+b5+c5
5
(ab+bc+ac)2=a2b2+b2c2+a2c2
a2+b2+c2
2
a5+b5+c5
5
=
a7+b7+c7
7

21. Teorema:
Siendo:a,b∈R: a2+b2=0⇒a=b=0
Ejemplo:
Con a,b,c∈R: a2+2b2+2c2+5=2ab+a+6c. Halle abc
por 2 y trasladamos:
2a2+4b2+4c2+10−4ab−2a−12c=0
Descomponemos y agrupamos convenientemente:
(a2−2a+1)+(a2−4ab+4b2)+(4c2−12c+9)=0
Son Trinomios Cuadrados Perfectos:
(a−1)2+(a−2b)2+(2c−3)2=0
=0 =0 =0
a=1;b=
1
2
;c=
3
2
⇒ abc= 1
1
2
3
2
=
3
4

22. Observación:
Siendo:a,b,c∈R: a2+b2 +c2 =ab+bc+ac⇒a=b=c
Demostración: Por 2 y trasladamos:
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0
Descomponemos y agrupamos convenientemente:
(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+2c2)=0
Son Trinomios Cuadrados Perfectos:
(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0
=0 =0 =0
a=b=c

23. D I V I S I Ó N
P O L I N Ó M I C A
I) División de Polinomios
𝑫(𝒙)
𝒅(𝒙)
Genera
Pol. Residuo (Resto): 𝑹(𝒙)
Pol. Cociente: 𝒒(𝒙)
Pol. divisor
Identidad Fundamental de la División :
𝐷 𝑥 ≡ 𝑑(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Pol. Dividendo
Sea la división de polinomios:

24. Propiedades
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑄 ° = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ; 𝐷 ° = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 ;
𝑅 °
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 ; 𝑑 °
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
1. − 𝑄 ° = 𝐷 ° − 𝑑 °
2. − 𝑅 𝑚𝑎𝑠
°
= 𝑑 °
− 1
TIPOS DE DIVISIÓN
1.- División Exacta
2.- División Inexacta
𝑹 𝒙 = 𝟎
𝑹 𝒙 ≠ 𝟎

25. Condición General
• Para efectuar la operación los polinomios a dividir se deben presentar
completos y ordenados en forma decreciente.
• En el caso de la división exacta los polinomios a dividir se
pueden ordenar también en forma creciente.
Métodos para Dividir
1. Método de Horner
2.- Método de Ruffini

26. A) MÉTODO DE HORNER
Para éste método los polinomios a dividir deben estar completos y
ordenados en forma descendente; además, si
faltase un término se le completa con ceros.
Esquema :
Depende del grado
del divisor
Cociente Residuo
coeficientes
con signo
cambiado.
Coeficientes del Dividendo
Coeficientes
del
divisor

27. Ejemplo:
Calcule el cociente y
residuo de dividir:
𝟒𝒙𝟒
+ 𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟕
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟏
4 12 5 -2 -7
2
-3
1
÷
2
x
-6 2
6
3
-9 3
-2
-1
3 -1
4 -8
q(x)= 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟏
r(x)= 𝟒𝒙 − 𝟖

28. B) MÉTODO DE RUFFINI
Se utiliza para calcular divisiones de la forma:
𝑃(𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
Esquema :
Cociente Residuo
Coeficientes del Dividendo
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
𝒙 = −
𝒃
𝒂

29. 1er Caso: (a=1)
𝟓𝒙𝟑
− 𝟕𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝟐
Calcule cociente y residuo
5 -7 2 -1
𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝒙 = 𝟐
5
x
10
3
6
8
16
15
q(x)= 𝟓𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟖
r(x)= 𝟏𝟓
2do Caso: (a≠1) Calcule el cociente de dividir:
6 -1 7 3
𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝒙 =
𝟏
𝟐
6
x
3
2
1
8
4
7
÷2
3 1 4
q(x)= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟒
𝟔𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟏

30. C) TEOREMA DEL RESTO
𝐷(𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑅 = 𝐷 −
𝑏
𝑎
Forma práctica:
1. El divisor se igual a cero (𝑎𝑥 + 𝑏 = 0)
2. Se despeja la variable (𝑥 = −
𝑏
𝑎
)
3. Se reemplaza en el dividendo
Obteniendo el resto (𝑅 = 𝐷(−
𝑏
𝑎
)
)

31. EJEMPLO
Calcule el resto de la siguiente división:
𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 + 6
𝑥 − 2
1) 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
2)
Resolución
3) Reemplazando en el numerador
𝑅 = (𝟐)4
−2 𝟐 3
+ 2(𝟐) + 6
𝑅 = 10

32. Consideremos :
𝑃(𝑥)
𝑑(𝑥)
; donde 𝑑 °
≥ 2
Para calcular el residuo hacemos 𝒅(𝒙) = 𝟎 y despejamos equivalencias
que nos permita reducir el grado del dividendo hasta lograr o bien cero o
bien un polinomio de grado menor a la del divisor
Ejemplo
Hallar el residuo en :
𝑥2+𝑥−3
3
+𝑥2+3𝑥+1
𝑥2+𝑥−4
Hacemos : 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 = 𝟎 → 𝒙𝟐 = −𝒙 + 𝟒
Reemplazando en el dividendo : 𝑅(𝑥) = 4 − 3 2 − 𝑥 + 4 + 3𝑥 + 1
𝑅(𝑥) = 2𝑥 + 6

33. COCIENTES NOTABLES (C.N.)
DEFINICIÓN
Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa, sin la
necesidad de efectuar la operación de división.
Proviene de una División Notable de la forma:
𝒙𝒂
± 𝒚𝒃
𝒙𝒄 ± 𝒚𝒅
EJEMPLOS
𝒙𝟏𝟐
− 𝒚𝟏𝟔
𝒙𝟑 − 𝒚𝟒
𝒑𝟑𝟎
− 𝒒𝟐𝟒
𝒑𝟓 + 𝒒𝟒
𝒘𝟗𝟗
+ 𝒛𝟕𝟕
𝒘𝟗 + 𝒛𝟕
; ;

34. Se cumple que:
𝑵 =
𝒂
𝒄
=
𝒃
𝒅
Sea la División: 𝒙𝒂
± 𝒚𝒃
𝒙𝒄 ± 𝒚𝒅
𝑵 = # 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
TEOREMA
Donde:
EJEMPLO
Halle la cantidad de términos del C.N. que
genera la siguiente división:
𝒙𝟐𝟎 − 𝒚𝟑𝟎
𝒙𝟒 − 𝒚𝟔
Resolución:
𝑵 =
𝟐𝟎
𝟒
=
𝟑𝟎
𝟔
𝑵 = 𝟓
El C.N. tiene 5 términos

35. PROBLEMA
Halle la cantidad de términos del C.N. que genera la siguiente división:
𝒙𝟔𝒑−𝟐 − 𝒚𝟑𝒑+𝟏𝟏
𝒙𝟓 − 𝒚𝟒
Resolución:
Se cumple que:
𝑵 =
𝟔𝒑 − 𝟐
𝟓
=
𝟑𝒑 + 𝟏𝟏
𝟒
El C.N. tiene 8 términos
𝟒(𝟔𝒑 − 𝟐) = 𝟓(𝟑𝒑 + 𝟏𝟏)
𝟗𝒑 = 𝟔𝟑 𝒑 = 𝟕
𝑵 =
𝟒𝟎
𝟓
= 𝟖
𝒙𝟒𝟎 − 𝒚𝟑𝟐
𝒙𝟓 − 𝒚𝟒

36. CASOS Son 3 casos:
𝒙𝒂
− 𝒚𝒃
𝒙𝒄 − 𝒚𝒅
CASO 1:
𝒙𝒂
− 𝒚𝒃
𝒙𝒄 + 𝒚𝒅
𝒙𝒂
+ 𝒚𝒃
𝒙𝒄 + 𝒚𝒅
CASO 2:
CASO 3:
+ + + + … +
+ − + − … −
𝑻𝟏, 𝑻𝟑, 𝑻𝟓, … 𝒔𝒐𝒏 + ∶ 𝑳𝒖𝒈𝒂𝒓 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
𝑻𝟐, 𝑻𝟒, 𝑻𝟔, … 𝒔𝒐𝒏 − ∶ 𝑳𝒖𝒈𝒂𝒓 𝒑𝒂𝒓
𝑻𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 (+)
N debe ser
par
N debe ser
impar
+ − + − … +

37. 𝒙𝟏𝟓
− 𝒚𝟏𝟎
𝒙𝟑 − 𝒚𝟐
CASO 1:
𝒙𝟏𝟖
− 𝒚𝟏𝟐
𝒙𝟑 + 𝒚𝟐
𝒙𝟏𝟓
+ 𝒚𝟏𝟎
𝒙𝟑 + 𝒚𝟐
CASO 2:
CASO 3:
𝒙𝟏𝟐
+ 𝒙𝟗
𝒚𝟐
+ 𝒙𝟔
𝒚𝟒
+ 𝒙𝟑
𝒚𝟔
+ 𝒚𝟖
𝒙𝟏𝟓 − 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝟗𝒚𝟒 − 𝒙𝟔𝒚𝟔 + 𝒙𝟑𝒚𝟖 − 𝒚𝟏𝟎
𝑻𝟏, 𝑻𝟑, 𝑻𝟓, … 𝒔𝒐𝒏 + ∶ 𝑳𝒖𝒈𝒂𝒓 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
𝑻𝟐, 𝑻𝟒, 𝑻𝟔, … 𝒔𝒐𝒏 − ∶ 𝑳𝒖𝒈𝒂𝒓 𝒑𝒂𝒓
𝑻𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 (+)
𝒙𝟏𝟐 − 𝒙𝟗𝒚𝟐 + 𝒙𝟔𝒚𝟒 − 𝒙𝟑𝒚𝟔 + 𝒚𝟖
EJEMPLOS
N debe ser
par
N debe ser
impar

38. FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
𝒙𝒂
± 𝒚𝒃
𝒙𝒄 ± 𝒚𝒅
Sea la división:
El término de lugar k se halla
con la siguiente fórmula:
𝑻𝒌 = (𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐)(𝒙𝒄
)𝑵−𝒌
(𝒚𝒅
)𝒌−𝟏
EJEMPLO
Halle el término de lugar 7 en:
Resolución:
𝒙𝟑𝟎 − 𝒚𝟐𝟎
𝒙𝟑 − 𝒚𝟐
𝑵 =
𝟑𝟎
𝟑
=
𝟐𝟎
𝟐
𝑵 = 𝟏𝟎
𝒌 = 𝟕
Séptimo término
𝑻𝟕 = (+)(𝒙𝟑
)𝟏𝟎−𝟕
(𝒚𝟐
)𝟕−𝟏
𝑻𝟕 = (𝒙𝟑)𝟑(𝒚𝟐)𝟔
𝑻𝟕 = 𝒙𝟗
𝒚𝟏𝟐

39. TÉRMINO CENTRAL (𝑻𝒄)
𝑻𝒄 = 𝑻𝑵+𝟏
𝟐
Está dado por:
(N debe ser impar)
EJEMPLO
𝒙𝟒𝟒 + 𝒚𝟑𝟑
𝒙𝟒 + 𝒚𝟑 𝑵 =
𝟒𝟒
𝟒
= 𝟏𝟏
𝑻𝒄 = 𝑻𝟏𝟏+𝟏
𝟐
𝑻𝒄 = 𝑻𝟔
𝑻𝟔 = (−)(𝒙𝟒
)𝟏𝟏−𝟔
(𝒚𝟑
)𝟔−𝟏
𝑻𝟔 = −(𝒙𝟒
)𝟓
(𝒚𝟑
)𝟓
𝑻𝟔 = −𝒙𝟐𝟎
𝒚𝟏𝟓
El 𝑻𝒄 ocupa el lugar 6.
Calculamos el 𝑻𝟔:
Halle el término central 𝐞𝐧:
𝒙𝟒𝟒 + 𝒚𝟑𝟑
𝒙𝟒 + 𝒚𝟑
Resolución: