1 - Geometría - Primeros axiomas.pptx

1. Geometría
Clase 1
Axiomática de la
Geometría

2. Agenda Axiomas de existencia y enlace.
Axiomas de ordenación.
Primeras definiciones: segmento,
semirrecta, semiplano, ángulo, triángulo,
polígono.
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3. Introducción
Sara: - En el cuadrilátero ABCD, la suma de los
ángulos es 360 –
María: - ¿Por qué?
M a y o 2 0 2 3 C L A S E 1 3

4. Introducción
Sara: - En el cuadrilátero ABCD, la suma de los
ángulos es 360 –
María: - ¿Por qué?
Sara: - Se debe a que en el triángulo, la suma de los
ángulos es 180.
María: - ¿Y por qué en el triángulo es 180?
M a y o 2 0 2 3 C L A S E 1 4

5. Introducción
Sara: - En el cuadrilátero ABCD, la suma de los
ángulos es 360 –
María: - ¿Por qué?
Sara: - Se debe a que en el triángulo, la suma de los
ángulos es 180.
María: - ¿Y por qué en el triángulo es 180?
Sara: Porque si en un triángulo, trazo una recta
paralela a un lado, por la propiedad de ángulos
alternos internos podemos formar un ángulo llano.
M a y o 2 0 2 3 C L A S E 1 5

6. Introducción
Sara: - En el cuadrilátero ABCD, la suma de los
ángulos es 360 –
María: - ¿Por qué?
Sara: - Se debe a que en el triángulo, la suma de los
ángulos es 180.
María: - ¿Y por qué en el triángulo es 180?
Sara: -Porque si en un triángulo, trazo una recta
paralela a un lado, por la propiedad de ángulos
alternos internos podemos formar un ángulo llano -
María: - ¿Cómo sabemos qué es válida la propiedad
de ángulo alternos internos? ¿Qué es un ángulo? -
M a y o 2 0 2 3 C L A S E 1 6

7. Propiedades
Definiciones
Teoremas
Axiomas
Demostraciones

8. Axiomas: enunciados que se
consideran verdaderos sin necesidad
de demostración.
Conceptos primitivos: conjuntos,
puntos, espacio, recta, plano.
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9. I. Axiomas de existencia y enlace
1. Existe un conjunto E, llamado espacio, que contiene infinitos elementos llamados puntos.
2. Existen en E ciertos subconjuntos estrictos llamados planos, de infinitos puntos cada uno. Existen
en cada plano ciertos subconjuntos estrictos llamados rectas, de infinitos puntos cada una.
3. Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una.
Los puntos de una misma recta se dice que están alineados.
4. Por tres puntos no alineados pasa un plano y sólo uno.
5. Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los demás puntos de la recta también
pertenecen a ese plano.
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10. Ejercicio
De acuerdo con los axiomas de existencia y
enlace:
Si tenemos 4 puntos y se desea contar el número
de rectas que pasan por 2 o más de esos puntos,
¿cuántas rectas serán?
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11. Ejercicio
A partir de los axiomas de existencia y enlace,
demostrar que:
Una recta y un punto exterior a ella determinan un
plano que pasa por ellos.
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12. Ejercicio
Demostrar que:
Dos rectas distintas que tienen un punto en común
determinan un plano que las contiene.
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13. 1 3

14. 1 4

15. 1 5

16. II. Axiomas de ordenación
1. AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA: Toda recta es un conjunto de puntos, abierto, denso y
en el cual se puede definir una relación de orden total estricto llamada preceder.
¿abierto? ¿denso? ¿relación de orden total?
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17. 1 7
El conjunto definido por un punto de una recta y todos los que le
preceden (o siguen) se llama semirrecta.
Cada punto de una recta determinará dos semirrectas según se
consideren los que le preceden o los que le siguen. Esas
semirrectas se llaman opuestas.

18. 1 8
Dados dos puntos A y B de una recta r, en la que A precede a B,
definimos el segmento 𝐴𝐵 al conjunto formado por A, B y los puntos
que siguen a A y preceden a B.
A y B son llamados extremos del segmento. Los demás, puntos
interiores.

19. II. Axiomas de ordenación
1. AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA: Toda recta es un conjunto de puntos, abierto, denso y
en el cual se puede definir una relación de orden total estricto llamada preceder.
2. AXIOMA DE PARTICIÓN DEL PLANO: Para toda recta 𝑟 incluida en un plano 𝜋, existen dos únicos
conjuntos 𝛼1, 𝛼2 (que llamaremos regiones) y que cumplen las siguientes condiciones:
* {𝑟, 𝛼1, 𝛼2} es una partición del plano 𝜋
* El segmento determinado por dos puntos de una misma región está contenido en esa misma
región.
* Para todo par de puntos de regiones distintas, el segmento que determinan corta a la recta 𝑟
en uno y sólo un punto.
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20. Teorema de Pasch
Consideremos una recta y tres puntos exteriores,
todos contenidos en un mismo plano. Si la recta
corta a uno de los tres segmentos determinados
por los puntos, entonces cortará a otro de los
segmentos pero no a los tres.
2 0

21. 2 1
Llamamos semiplano de borde 𝑟 a la unión de la recta 𝑟 con una de
las regiones 𝛼1 o 𝛼2 que la recta determina.
Toda recta determina dos semiplanos que llamaremos opuestos.
Es común referirse a un semiplano nombrando la recta borde y un
punto de la región que lo define: el semiplano (𝑟, 𝐴).

22. 2 2
Consideremos tres puntos no alineados A, B y O. Definimos el
ángulo convexo 𝐴𝑂𝐵 como la intersección de los semiplanos
𝑂𝐴, 𝐵 y 𝑂𝐵, 𝐴 .
Dentro de un plano, podemos extender el concepto de ángulo
convexo para abarcar dos casos más:
Ángulo llano: un ángulo es llano si las semirrectas son opuestas.
Ángulo nulo: si las semirrectas son las mismas.

23. 2 3
Consideremos tres puntos no alineados A, B y C.
Definimos el triángulo 𝐴𝐵𝐶 como la intersección de los semiplanos
𝐴𝐵, 𝐶 , 𝐵𝐶, 𝐴 y 𝐶𝐴, 𝐵 .

24. Cuadriláteros
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25. 2 5
Consideremos 𝑛 puntos 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉
𝑛 ordenados que cumplen lo
siguiente:
• son más de tres y pertenecen a un mismo plano,
• no existen tres puntos alineados,
• la recta que pasa por dos consecutivos deja los demás puntos
en un mismo semiplano. Se considera que el último es
consecutivo del primero.
La intersección de todos los semiplanos mencionados en el último
punto definen el polígono convexo de vértices 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉
𝑛.

26. Figura convexa
¿Qué es una figura convexa?
¿Por qué un ángulo cóncavo no es convexo?
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27. Resumen
La Geometría se construye tomando como punto de
partida una cierta cantidad de conceptos primitivos y
axiomas que tienen la particularidad de que se
consideran verdaderos sin demostración. Vimos algunos
que nos permiten demostrar nuestros primeros teoremas
y realizar nuestras primeras definiciones.
Sin embargo, no hemos abarcado lo suficiente para
describir la Geometría del plano y del espacio como la
conocemos. Es claro que los axiomas que vimos hasta el
momento son insuficientes para describir la Geometría tal
como la conocemos.
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