Este documento presenta los conceptos básicos de geometría euclidiana. Introduce los elementos fundamentales como puntos, rectas, planos y sus propiedades. Define figuras geométricas como segmentos de recta, ángulos y sus medidas. Explica las relaciones de congruencia, desigualdad y suma entre segmentos. También cubre la posición relativa entre rectas, entre una recta y un plano, y entre planos. Incluye demostraciones de teoremas clave sobre coincidencia de rectas, planos y determinación de planos.

2. INDICE
01 ELEMENTOS BÁSICOS 3
02 SEGMENTOS Y ÁNGULOS 7
03 TRIÁNGULOS 11
04 PARALELISMO 19
05 CUADRILÁTEROS 26
06 CIRCUNFERENCIA 31
07 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES
MÉTRICAS
37
08 EJERCICIOS ELEMENTOS BÁSICOS, SEGMENTOS Y
ÁNGULOS
43
09 EJERCICIOS TRIÁNGULOS 46
10 EJERCICIOS PARALELISMO 49
11 EJERCICIOS CUADRILÁTEROS 52
12 EJERCICIOS CIRCUNFERENCIA 55
13 EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y
RELACIONES MÉTRICAS
58
14 ANEXO EJERCICIOS AREAS 62

3. UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS
INTRODUCCIÓN
Geometría es la ciencia que tiene por objeto el
estudio de la extensión, considerada bajo sus
tres formas: línea, superficie y volumen.
Para su estudio se admite la existencia de
algunos objetos primitivos, dotados de ciertas
propiedades, y se aceptan unas reglas de
trabajo para manipularlos y obtener nuevas
propiedades de ellos.
Las propiedades admitidas como válidas son
los axiomas y las que deben justificarse son
los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser
universales y se utilizan las de la lógica
matemática.
AXIOMAS Y DEFINICIONES
AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO:
Existe un conjunto llamado el espacio que
tiene subconjuntos propios llamados planos,
quienes a su vez tienen subconjuntos propios
llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos
está formado por infinitos elementos llamados
puntos.
Realmente el axioma de existencia no define ni
el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un
punto. El conjunto de todos los axiomas
permitirá que estos objetos alcancen las
propiedades que intuimos de ellos.
FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier
subconjunto propio del espacio.
PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un
punto pertenece a una figura entonces es
interior a ella, (está sobre la figura, o la
figura pasa por el punto). En caso contrario
es exterior a la figura.
PUNTOS COLINEALES (ALINEADOS): Dos
o más puntos son colineales (alineados) si
están en la misma recta. En caso contrario
son no colineales o no alineados.
PUNTOS COPLANARES: Dos o más puntos
son coplanares si están en el mismo plano. En
caso contrario son no coplanares.
AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean
A y B dos puntos distintos, entonces existe
una y sólo una recta a la cual ambos
pertenecen, llamada “la recta AB”, ( AB ).
AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean
A, B y C, puntos no colineales, entonces existe
uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen,
llamado “el plano ABC”, (ABC).
AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA
EN EL PLANO: Si una recta L y un plano 
tienen dos puntos distintos en común,
entonces la recta L está contenida en el plano
.
AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS:
Si dos planos distintos tienen algún punto en
común entonces su intersección es una recta.
3

4. ORDEN EN LA RECTA
Para establecer el axioma de ordenación de la
recta es necesario definir primero que es un
conjunto linealmente ordenado y la relación
“estar entre”:
CONJUNTO LINEALMENTE ORDENADO:
Es un conjunto entre cuyos elementos se
puede establecer la relación “preceder a”, con
las siguientes propiedades:
1. Dados dos elementos P y Q se cumple que
“P precede a Q” ó “Q precede a P”.
2. Si “P precede a Q” y “Q precede a R”
entonces “P precede a R”.
NOTA: La relación “preceder a” se puede
cambiar por “seguir de”, “estar delante de” ,
“estar detrás de”, “estar antes de” “estar
después de”.
RELACIÓN “ESTAR ENTRE”: Si P, Q y R
son puntos alineados tales que “P precede a Q”
y “Q precede a R”, entonces se dice que “Q
está entre P y R” y se denota por “PQR”
o “RQP”.
AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:
Una recta es un conjunto linealmente
ordenado, que no tiene ni primero ni último
punto y no tiene puntos consecutivos.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA:
Todo punto de una recta separa a los demás
puntos de la recta en dos conjuntos: el
conjunto de los que le preceden y el conjunto
de los que le siguen y tales que:
1. Todo punto de la recta, distinto de él,
pertenece a uno y sólo a uno de dichos
conjuntos.
2. El punto dado está entre dos puntos de
conjuntos distintos y no está entre dos
puntos del mismo conjunto.
SEMIRRECTA: Si O es un punto de una
recta L entonces se llama semirrecta de
origen O al conjunto formado por el punto O y
cada una de los conjuntos en que él divide a la
recta, es decir:
1. O y todos los puntos de L que le preceden.
2. O y todos los puntos de L que le siguen.
Si O está entre A y B entonces las
semirrectas obtenidas OA y OB se llaman
semirrectas opuestas.
SEGMENTO DE RECTA: El conjunto formado
por los puntos A, B y todos los puntos P entre
A y B se llama segmento de recta AB y se
denota por AB .
Los puntos A y B se llaman extremos. Las
semirrectas determinadas por los extremos
de un segmento y que no tienen más puntos
comunes con el segmento, son las
prolongaciones del segmento.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO:
Toda recta de un plano separa a los demás
puntos del plano en dos regiones tales que:
1. Todo punto del plano, exterior a la recta,
pertenece a una y sólo a una de las
regiones.
2. El segmento que une dos puntos de
regiones distintas corta a la recta y de la
misma región no la corta.
SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en él,
un semiplano es el conjunto formado por la
recta y cada una de las regiones en que ella
divide al plano. La recta es el borde de cada
semiplano y los semiplanos son semiplanos
opuestos.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO:
Todo plano separa a los demás puntos del
espacio, en dos regiones tales que:
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5. 1. Todo punto del espacio, exterior al plano,
pertenece a una y sólo a una de las
regiones.
2. El segmento que une dos puntos de
distintas regiones corta al plano y de la
misma región no lo corta.
SEMIESPACIO: Es el conjunto formado por
un plano dado y cada uno de los dos conjuntos
en que él divide a los demás puntos del
espacio. El plano se llama borde o cara de
cada semiespacio y ellos son semiespacios
opuestos.
AXIOMA DE DISTANCIA: Dados dos puntos
P y Q existe un único número real llamado “La
distancia entre P y Q”, denotado por
“d(P,Q)” o “PQ”, el cual cumple las siguientes
propiedades:
1. d(P,Q)  0
2. d(P,Q) = 0 sii P coincide con Q
3. d(P,Q) = d(Q,P)
4. Si P, Q y R son puntos del espacio,
entonces d(P,R)  d(P,Q) + d(Q,R)
5. Si Q está entre P y R entonces
d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R)
OBSERVACIONES:
Podemos citar como ejemplos de figuras
geométricas: un plano, una recta, un semiplano,
una semirrecta, un semiespacio, un conjunto
formado por un punto.
Por el axioma de existencia cada recta es un
subconjunto propio del espacio y entonces
existen puntos exteriores a ella, es decir en el
espacio existen puntos no colineales.
Según el axioma de existencia los puntos del
espacio no son todos coplanares.
El axioma de enlace de la recta garantiza que
dos puntos siempre son colineales.
Los puntos de un plano no son todos colineales
porque dos puntos de él determinan una recta
y si ella es un subconjunto propio del plano
entonces existen puntos del plano exteriores a
ella.
Los puntos de una recta son coplanares.
Tres puntos siempre son coplanares, pero
cuatro no necesariamente lo son.
Por un punto pasa más de una recta.
Entre dos puntos distintos existen infinitos
puntos.
COINCIDENCIA DE RECTAS
TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos
distintos en común, entonces ellas coinciden .
Dm: Supongamos que dos rectas tienen dos
puntos distintos en común. Por el axioma de
enlace de la recta por dos puntos distintos
pasa sólo una recta, entonces las dos rectas
son la misma recta.
** En consecuencia, para probar que dos
rectas coinciden, será suficiente probar que
tienen dos puntos distintos en común.
COINCIDENCIA DE PLANOS:
TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos
no colineales en común, entonces los planos
coinciden.
Dm: Ejercicio
** Para probar que dos planos coinciden,
será suficiente probar que tienen tres puntos
no colineales en común.
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6. NOTA: La no colinealidad de los tres puntos
es fundamental porque por tres colineales
pasa más de un plano porque una recta está
contenida en más de un plano.
En efecto, si se toman D exterior a la recta
AB y E exterior al plano ABD entonces la
recta AB está contenida en los planos ABD y
ABE que son distintos. En definitiva por tres
puntos colineales pasa más de un plano.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
RECTAS
Por el axioma de enlace dos rectas distintas
máximo pueden tener un punto en común, es
decir tienen solamente un punto en común o
ninguno.
RECTAS SECANTES: Son las que tienen
solamente un punto en común. Se dice que
ellas concurren en dicho punto.
RECTAS PARALELAS: Son rectas coplanares
que no tienen puntos en común.
RECTAS CRUZADAS: Son rectas no
coplanares.
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
TEOREMA: (PLANO RECTA Y PUNTO
EXTERIOR) Por una recta y un punto
exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les
contiene.
Dm: Ejercicio.
TEOREMA: (PLANO RECTAS SECANTES)
Dos rectas secantes determinan uno y sólo un
plano que les contiene.
Dm: El punto en común y otros dos puntos, uno
en cada una de las rectas, son tres puntos no
colineales, que determinan un único plano en el
cual estarán contenidas ambas rectas.
COROLARIO: Dos rectas cruzadas no
tienen ningún punto en común.
Dm: En efecto, si tuviesen sólo un punto en
común serían secantes y por lo tanto
coplanares; si tuviesen dos o más puntos en
común serían la misma recta y también
resultarían coplanares.
TEOREMA:(PLANO RECTAS PARALELAS)
Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un
plano que les contiene.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA
Y UN PLANO
Un plano y una recta no contenida en él,
máximo tienen un punto en común, es decir
tienen sólo uno o ningún punto en común.
RECTA Y PLANO SECANTES: Una recta y un
plano son secantes si tienen sólo un punto en
común. Se dice que la recta y el plano son
secantes en dicho punto.
RECTA Y PLANO PARALELOS: Una recta y
un plano son paralelos si no tienen ningún punto
en común.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
PLANOS
PLANOS SECANTES: Son planos distintos
con algún punto común.
TEOREMA: La intersección entre dos planos
secantes es una recta.
PLANOS PARALELOS:
Son planos que no tienen ningún punto en
común
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7. UNIDAD 2. SEGMENTOS Y ÁNGULOS
SEGMENTOS
Recordemos que dados los puntos A y B, se
llama segmento de recta AB ( AB ) al conjunto
formado por los puntos A, B y todos los puntos
P entre A y B
Los puntos A y B se llaman extremos. Las
semirrectas determinadas por los extremos
de un segmento y que no tienen más puntos
comunes con el segmento, se llaman las
prolongaciones del segmento.
MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de un
segmento AB, denotada por m( AB ) o AB, es
la distancia entre sus puntos extremos:
m( AB )=d(A,B)=AB
SEGMENTOS CONGRUENTES: Son
segmentos que tienen igual medida:
AB CD m(AB)=m(CD) AB=CD  
CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a
confusión en lugar de AB usaremos AB y en
lugar de AB CD usaremos AB=CD.
TEOREMA: La congruencia de segmentos es
una relación de equivalencia, es decir, cumple
las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: AB AB
2. Simétrica: AB CD CD AB  
3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF    
SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos
no congruentes. Entre dos segmentos
desiguales será menor el que tenga menor
medida:
AB CD m(AB)<m(CD) AB<CD  
AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE
SEGMENTOS: En toda semirrecta OA, para
cada real positivo “x”, existe un único punto B
sobre OA, distinto de O, tal que m( OB ) = x.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el
punto entre los extremos del segmento que lo
divide en dos segmentos congruentes.
1
M es punto medio de AB AM MB AB
2
  
SEGMENTOS ADYACENTES: Son dos
segmentos de extremos colineales y que
tienen un extremo común situado entre los
extremos no comunes.
SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y BC son
segmentos adyacentes entonces el segmento
AC es la suma de los segmentos AB y BC :
AC AB BC 
Además AB AC BC y BC AC AB   
Para sumar dos segmentos no adyacentes se
construyen dos segmentos adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.
7

8. ÁNGULOS
ÁNGULO: Es la figura formada por dos
semirrectas que tienen el mismo origen. Si
ellas son OA y OB , se denota por AOB. El
origen O es el vértice del ángulo y las
semirrectas OA y OB son los lados del ángulo.
INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto
formado por los puntos que están en la
intersección de dos semiplanos, (cada uno de
ellos con un lado sobre su borde y conteniendo
al lado restante), excepto los que están sobre
los lados del ángulo.
EXTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el
subconjunto del plano del ángulo formado por
los puntos que no están sobre los lados del
ángulo ni en el interior del ángulo.
ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda
semirrecta consigo misma.
ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por
dos semirrectas opuestas.
AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado
un semiplano con una semirrecta OA, fija en
su borde, entonces a cada semirrecta OB de
dicho semiplano, se le asigna un único número
real “a” en el intervalo 0,180. Para la
semirrecta OA se asigna el 0 y para su
semirrecta opuesta el 180.
MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:
La “medida” (sexagesimal) de un AOB es
igual a “a” grados sexagesimales, tomando el
número real “a” en el intervalo 0,180, que le
asigna el axioma anterior y lo denotaremos
por: mAOB=a o simplemente AOB=a
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:
Según su medida los ángulos se clasifican así:
 es NULO: si m=0°
 es AGUDO:si 0° < m < 90°
 es RECTO: si m=90°
 es OBTUSO: si 90° < m < 180°
 es LLANO: si m =180°
ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que
tienen igual medida:
ABCDEF  mABC=mDEF
CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a
confusión en lugar ABCDEF o de
mABC=mDEF usaremos ABC=DEF.
TEOREMA: La congruencia de ángulos es una
relación de equivalencia, es decir, cumple las
siguientes propiedades:
1. Reflexiva: ABCABC
2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC
3. Transitiva:
ABCDEFDEFPQRABCPQR
ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no
congruentes. Entre dos ángulos desiguales
será menor el que tenga menor medida.
AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE
ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una
semirrecta OA sobre su borde, entonces para
cada real “x” en el intervalo 0,180, existe
solamente una semirrecta OB en dicho
semiplano, tal que mAOB = x°.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es la
semirrecta interior que lo divide en dos
ángulos congruentes. Si BX
uur
es una semirrecta
interior al ABC entonces:
BX es bisectriz del ABCABXXBCABC/2
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9. ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos
coplanares que tienen el mismo vértice, un lado
común y cada uno de los lados no comunes está
en el exterior del otro ángulo.
SUMA DE ÁNGULOS: Si ABC y CBD son
adyacentes, entonces el ABD es la suma de
los ángulos ABC y CBD:
ABDABC+CBD
Además ABCABD–CBD y
CBDABDABC.
Para sumar dos ángulos no adyacentes se
construyen dos ángulos adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos
ángulos cuyas medidas suman 90°. De cada
uno de ellos se dice que es el complemento del
otro:
A + B = 90°
B = 90°  A = AC
y A = 90°  B = BC
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos
ángulos cuyas medidas suman 180°. Cada uno
de ellos es el suplemento del otro:
 A + B = 180°
B = 180°A = AS
Y A = 180°B = BS
PAR LINEAL: Son dos ángulos adyacentes
cuyos lados no comunes son semirrectas
opuestas.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
Son dos ángulos tales que los lados de uno de
ellos son las semirrectas opuestas de los lados
del otro.
TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y
sólo si sus complementos son congruentes si y
sólo si sus suplementos son congruentes.
Dm:
=90°–=90°– 180°–=180°–
Luego  =   C
= C
 S
= S
TEOREMA: Si dos ángulos forman un par
lineal entonces son suplementarios.
Dm: ABX + XBC = 1llano = 180°, luego
ABX y XBC son suplementarios
TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC
y CBD son suplementarios entonces forman
un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D
son colineales.
** Este teorema se utilizará para probar
que tres puntos son colineales.
TEOREMA: Dos ángulos opuestos por el
vértice son congruentes.
Dm:
Los ángulos opuestos por el vértice tienen
igual suplemento, luego son congruentes.
TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos
opuestos por el vértice son semirrectas
opuestas. (Ejercicio)
RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas
secantes L y M son perpendiculares, L  M, si
forman por lo menos un ángulo recto. En caso
contrario son oblicuas.
Dos segmentos (semirrectas) son
perpendiculares si están contenidos en rectas
perpendiculares.
TEOREMA: Dos rectas perpendiculares
forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)
TEOREMA: Las bisectrices de un par
lineal son perpendiculares. (Ejercicio)
9

10. TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa
una y solamente una recta perpendicular a ella.
Dm: Por el axioma de construcción de
ángulos para x=90 existe una y sólo una
semirrecta que determina la recta pedida.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la
recta que pasa por el punto medio de un
segmento y es perpendicular al segmento.
Si M es el punto medio de AB entonces:
L mediatriz de AB  L pasa por M y L AB
LÍNEA POLIGONAL: Sea nZ
y n  3. Si A1
, A2 , ... , An son puntos coplanares, tales que
ninguna tripleta de consecutivos son colineales
entonces a la unión de los segmentos 1 2A A ,
2 3A A , ..., n 1 nA A . Se le llama poligonal
A1A2...An
Los extremos de cada segmento son los
vértices de la poligonal, los segmentos son los
lados y la suma de las medidas de sus lados es
el perímetro.
Si el extremo final del último segmento
coincide con el inicial del primero entonces la
poligonal es cerrada, en caso contrario la
poligonal es abierta.
POLÍGONO: Es la región del plano limitada
por una poligonal cerrada.
Según el número de lados se llaman:
Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5),
Hexágono (6), Heptágono (7), Octágono (8),
Eneágono (9), Decágono (10), Dodecágono (12),
Pentedecágono (15), polígono de n lados (n).
POLÍGONO CONVEXO: Un polígono es
convexo si al unir dos puntos cualesquiera
situados sobre dos lados distintos, el
segmento está contenido en el polígono. En
caso contrario es no convexo.
Ángulo interior de un polígono convexo es el
formado por dos lados consecutivos y ángulo
exterior es el que forma un par lineal con un
ángulo interior.
POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con
todos sus lados congruentes y todos sus
ángulos interiores congruentes.
CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un
punto O en dicho plano, y un número real
positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de
centro O y radio r en el plano ” y se
denota por: “C(O;r)”, al conjunto formado por
todos los puntos P del plano  tales que su
distancia al centro es igual a r, es decir tales
que OP = r.
10

11. UNIDAD 3. TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
Un triángulo es un polígono de tres vértices.
Tiene tres lados, tres ángulos interiores y
tres ángulos exteriores. Si los vértices son A,
B y C lo denotamos ABC .
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS
Un triángulo es:
ESCALENO: Si tiene sus tres lados
desiguales.
ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de
lados congruentes. Si ACAB  entonces se
dice que el ABC es isósceles de base BC .
EQUILÁTERO: Si tiene sus tres lados
congruentes.
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Un triángulo es:
ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos
agudos.
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El
lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa
y los lados que lo forman son los catetos.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.
EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos
congruentes.
TEOREMA: Todo triángulo equilátero es
isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
MEDIANA: Es el segmento que une un
vértice con el punto medio M de su lado
opuesto, por ejemplo AM .
ALTURA: Es la perpendicular trazada desde
un vértice a su lado opuesto o a su
prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es
la base relativa a dicha altura.
BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un
ángulo interior, por ejemploAD .
BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de un
ángulo exterior, por ejemplo AE .
MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa
por el punto medio M de un lado, por ejemplo
MN
suur
.
Todo triángulo tiene tres medianas, tres
alturas, tres bisectrices interiores, tres
bisectrices exteriores y tres mediatrices.
11

12. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN: Dos triángulos son
congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente congruentes y sus tres
ángulos respectivamente congruentes:
AB DE A D
ABC DEF BC EF B E
C FAC DF
     
    
           
         
Dos elementos respectivamente congruentes
son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados
Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).
TEOREMA: La congruencia de triángulos es
una relación de equivalencia:
1. Reflexiva: ABCABC
2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC
3. Transitiva:
ABCDEF DEFGHIABCGHI
NOTA:La transitividad será muy útil para
probar que dos triángulos son congruentes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S
CRITERIO L.A.L.
AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen un ángulo congruente formado por lados
respectivamente congruentes.
COROLARIOS:
1. En todo triángulo isósceles los ángulos
opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
2. Todo triángulo equilátero es equiángulo.
(Ejercicio)
3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz
del ángulo opuesto a la base también es
mediana, altura y mediatriz con respecto
a la base.
4. Por un punto exterior a una recta pasa
una y sólo una perpendicular a ella.
5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es
mayor que cualquiera de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
6. Todo triángulo tiene por lo menos dos
ángulos agudos. (Ejercicio)
Dm:
1. Supongamos que el
ABC es isósceles de
base y tracemos
la bisectriz del
BAC, con B-D-C.
Tenemos:
L : AB AC hip.
A : BAD CAD const.
L : AD AD reflex.
 
 
   
  
, luego
por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos
homólogos resulta B = C.
3. También por lados homólogos BD=DC
entonces AD es mediana. Además por sHs
ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C),
entonces ADC=90º, luego AD es altura y
como pasa por el punto medio de BC , también
es su mediatriz.
BC
AD
12

13. 4. Debemos probar tanto la existencia
como la unicidad de dicha perpendicular.
Existencia: Sea
A un punto exterior a
la recta L. Tomemos
dos puntos B y C
sobre L y tracemos
.
Construyamos el
CBD tal que BD=BA
y CBDCBA, con D
en el semiplano
opuesto de A con
respecto a L .
Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por
construcción el ABD es isósceles y BE es
bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre
AD y en definitiva AD L.
Unicidad:
Supongamos que
existe otro punto F
sobre la recta L tal
que  L, luego
AFB =90º.
Tracemos . Por
LAL, ABFDBF,
luego AFBDFB,
(sHs) y entonces
también DFB = 90º.
Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto
A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden
porque las rectas AD y L sólo tienen un punto
en común.
5. En el ABC consideremos el ángulo
exterior DAC y veamos que BCADAC  .
Tracemos la mediana
y prolonguémosla
hasta F de modo que
BM=MF. Tracemos
. Por LAL resulta
AMFCMB, luego
FACBCA, (sHs).
Pero AF es interior al CAD, luego
FACDAC  y por lo tanto BCADAC  .
CRITERIO A.L.A.
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen respectivamente congruentes dos
ángulos y el lado común a ellos.
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
BE, BC=EF y CF.
En la semirrecta BA tomemos el punto G tal
que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL
se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD
(sHs) y como EFDBCA entonces por
transitividad BCGBCA. Por lo tanto G
está sobre la semirrecta CA y debe coincidir
con A y resulta BG=BA. Por transitividad
BA=ED y por el axioma LAL se obtiene
ABCDEF.
AB
AF
FD
BM
AF
13

14. COROLARIOS:
1. Si un triángulo tiene dos ángulos
congruentes entonces es isósceles.
2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.
(Ejercicio)
Dm:1. Consideremos el
ABC tal que BC.
Tracemos las bisectrices
y , tales que A-D-C
y A-E-B. Por el teorema
ALA resulta BCDCBE
luego BD=CE (LsHs), y
BDCCEB (sHs), y por
suplementos BDACEA.
Por el teorema ALA se obtiene BDACEA
luego AB=AC (LsHs).
CRITERIO L.L.L.
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen sus tres lados respectivamente
congruentes.
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos
FEGCBA con G en el semiplano opuesto de
D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL
se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y
BACEGF (sHs).
En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se
forman los triángulos isósceles EDG y FDG,
entonces EDGEGD y FDGFGD.
Sumando EDFEGF y por transitividad
BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL
se obtiene ABCDEF.
CRITERIO A1 A2 L1
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen dos ángulos respectivamente
congruentes y el lado opuesto a uno de ellos
congruente.
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la
semirrecta BC el punto G con BG=EF y
tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene
ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero
DFEACB entonces AGBACB (*).
Debemos probar que G coincide con C. Si no
coinciden entonces G precede a C ó C precede
a G. Si G precede a C entonces en el AGC se
tiene ACBAGB  (exterior), lo que
contradice (*). En forma similar se obtiene
una contradicción cuando C precede a G. En
definitiva G y C tienen que coincidir, luego
BC=EF y por el axioma LAL se obtiene
ABCDEF.
CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS
TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son
congruentes si satisfacen alguna de las
siguientes condiciones:
1. RCC: Si tienen respectivamente
congruentes los dos catetos.
2. RCAady: Si tienen respectivamente
congruentes un cateto y el ángulo agudo
adyacente a dicho cateto.
BD CE
14

15. 3. RCAop: Si tienen respectivamente
congruentes un cateto y el ángulo agudo
opuesto a dicho cateto.
4. RHA: Si tienen respectivamente
congruentes la hipotenusa y un ángulo
agudo.
5. RHC: Si tienen respectivamente
congruentes la hipotenusa y un cateto.
(Ejercicio)
Dm:
1. Por el axioma LAL
2. Por el teorema ALA
3. Por el teorema A1 A2 L1
4. Por el teorema A1 A2 L1
CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS
NOTABLES HOMÓLOGAS
TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes
entonces las medianas, las alturas y las
bisectrices respectivamente homólogas son
congruentes. (Ejercicio)
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
ISÓSCELES
TEOREMA:
1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene
dos ángulos congruentes.
2. En todo triángulo isósceles la mediana, la
altura, la mediatriz (con respecto a su
base) y la bisectriz del ángulo opuesto,
coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)
3. Todo triángulo isósceles tiene
respectivamente congruentes dos alturas,
dos medianas y dos bisectrices.
(Ejercicio)
DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no
congruentes entonces al mayor de dichos lados
se opone un ángulo mayor y recíprocamente.
Dm:
[] Supongamos que
en el ABC .
Tomemos D sobre
con AD=AB y
tracemos .
Resulta el ABD isósceles y ABDADB.
Como BD es interior al ABC entonces
ABC ABD   luego ABC ADB   .
Además ADB DCB   (por exterior en el
DBC), y por transitividad ABC DCB   , es
decir, en el ABC se obtiene que CB  .
[] Supongamos que en el ABC CB  (*)
y probemos que ABAC  . Supongamos que
ABAC  ó AC=AB. Si ABAC  entonces por
la primera implicación se obtiene CB  lo
que contradice (*). Si AC=AB entonces el
ABC es isósceles y resulta B=C que
también contradice (*). En definitiva se debe
cumplir que ABAC  .
COROLARIOS:
1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa
es mayor que cada uno de los catetos.
(Ejercicio)
2. En todo triángulo obtusángulo el lado
mayor es el que se opone al ángulo obtuso.
(Ejercicio)
ABAC 
AC
BD
15

16. DESIGUALDAD TRIANGULAR
TEOREMA: En todo triángulo cada lado es
menor que la suma de los otros dos y mayor
que el valor absoluto la diferencia entre ellos.
Dm: En el ABC tomemos D
sobre la prolongación de
tal que AD=AC y tracemos
y obtenemos el ADC
isósceles con ADC=ACD y
como es interior al BCD
resulta luego
y en el DBC
se obtiene
CD  , luego ACBABDBC  , es decir
BCABBC  . De un modo similar se prueba
que BCABAC  y que BCACAB  .
De las dos últimas desigualdades se obtiene
ABACBC  y ACABBC  entonces
ACABBC  .
COROLARIOS:
1. El camino más “corto” entre dos puntos es
el segmento que los tiene por extremos.
(Ejercicio)
2. Toda poligonal abierta convexa es menor
que cualesquiera otra poligonal abierta
envolvente que tenga sus mismos
extremos. (Ejercicio)
3. Para que un triángulo exista dados sus
tres lados, es suficiente que el lado mayor
sea menor que la suma de los otros dos.
(Ejercicio)
TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos
triángulos tienen dos lados respectivamente
congruentes y el ángulo comprendido desigual
entonces al mayor ángulo comprendido se
opone un mayor tercer lado y recíprocamente.
Dm:
[] Consideremos ABC y DEF tales que
AB=DE, AC=DF y   A D y probemos que
EFBC  .
Tracemos AG en el interior del BAC tal que
BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento
BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF,
luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz
del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el
axioma LAL se obtiene GARCAR, luego
RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene
RGBRBG  , luego RGBREF  , por lo
tanto BCEF  .
[] (Ejercicio)
BA
DC
CA
BCDACD 
BCDADC 
16

17. PERPENDICULARES Y OBLICUAS
TEOREMA: Si desde un punto exterior a una
recta se trazan el segmento perpendicular a la
recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro
extremo sobre la recta, entonces:
1. El segmento perpendicular es menor que
cualesquiera de los segmentos oblicuos.
(Ejercicio)
2. Dos segmentos oblicuos son congruentes
sii sus pies equidistan del pie de la
perpendicular. (Ejercicio)
3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que
tenga su pie más cercano del pie de la
perpendicular es menor y recíprocamente.
Dm:
4. [] Sean AH  L, AB y AC oblicuas
tales que HCHB  y probemos que
ACAB 
Si entonces
existe un punto D, tal
que D-H-C y .
Tracemos y
entonces los pies de las
oblicuas y
equidistan del pie de la
perpendicular y por lo
tanto AB=AD, luego el
ABD es isósceles con
ABD=ADB.
Además el ACDADB  (ext. al ADC),
luego ACDADB  , es decir, en el ABC se
tiene que CB  , luego ABAC  .
[] (Ejercicio)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
RECTA
Se llama “Distancia de un punto P a una
recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la
medida del segmento PQ  L, Q L.
Si el punto P es interior a la recta L entonces
la distancia es cero.
La distancia de un punto a una semirrecta o a
un segmento es la distancia del punto a la
recta que contiene a la semirrecta o al
segmento.
LUGAR GEOMÉTRICO (LG)
Una figura F es el lugar geométrico de una
propiedad P si está formada por todos los
puntos que cumplen la propiedad P y solamente
por ellos, es decir, F es el lugar geométrico
de P si se cumple que:
1. (X) ( X  F  X cumple P)
2. (X) ( X cumple P  X  F)
LA MEDIATRIZ COMO LG
TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un
segmento es el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que equidistan de los
extremos del segmento.
Dm: [] Sea M la mediatriz de AB , entonces
M es perpendicular a AB en su punto medio C.
Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas
XA y XB equidistan del pie de la
perpendicular entonces XA=XB.
[] (Ejercicio)
HCHB 
HBHD 
AD
AB AD
17

18. COROLARIO: En un plano, si dos puntos
equidistan de los extremos de un segmento
entonces la recta que ellos determinan es la
mediatriz del segmento. (Ejercicio)
** Este corolario será muy útil para
realizar la construcción de perpendiculares.
LA BISECTRIZ COMO LG
TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un
ángulo es el lugar geométrico de los puntos del
interior del ángulo que equidistan de los lados
del ángulo.
Dm: [] Ejercicio
[] Supongamos que un punto P en el interior
del AOB equidista de los lados OA
uuur
y OB
uuur
, es
decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .
Luego por RHC resulta QOPROP y
entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto
OP
uur
es la bisectriz del AOB.
COROLARIO: Si un punto del interior de un
ángulo, equidista de los lados del ángulo,
entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
1. Trazar la mediatriz de un segmento.
2. Trazar la perpendicular a una recta por
un punto interior a ella.
3. Trazar la perpendicular a una recta por
un punto exterior a ella.
4. Construir un ángulo congruente con un
ángulo dado.
5. Trazar la bisectriz de un ángulo con
vértice dado.
6. Construir un triángulo dado dos lados y el
ángulo formado por ellos.
7. Construir un triángulo dado dos ángulos y
el lado adyacente a ambos.
8. Construir un triángulo dados sus tres
lados.
9. Construir un triángulo rectángulo dados la
hipotenusa y un ángulo agudo.
10. Construir un triángulo rectángulo dados la
hipotenusa y un cateto.
11. Construir un triángulo dados dos de sus
lados y la mediana relativa al tercer lado.
12. Construir un triángulo dados dos de sus
lados y la altura relativa al tercer lado.
Analizar todas las posibles soluciones.
18

19. UNIDAD 4. PARALELISMO
RECTAS PARALELAS
Se dice que dos rectas L1 y L2 son paralelas si
son coplanares y no tienen ningún punto en
común. Se denota por L1  L2 o L2  L1 . Dos
segmentos (semirrectas) son paralelos si
pertenecen a rectas paralelas.
TEOREMA: (1er
Criterio de paralelismo) Si en
un mismo plano, dos rectas son
perpendiculares a una tercera entonces ellas
son paralelas.
Dm: Sean L1, L2 y L3 rectas coplanares tales
que L1  L3 y L2  L3. Si L1 y L2 no fueran
paralelas entonces tendrían un punto común A,
por el cual pasarían dos perpendiculares a L3, y
esto contradice que por un punto exterior a
una recta pasa solamente una perpendicular a
ella. Luego L1  L2 .
NOTA: Si las tres
rectas no son
coplanares, entonces
dos perpendiculares a
una tercera en lugar de
ser paralelas son
secantes o cruzadas.
Por ejemplo en el
espacio se tiene, DC BC y EC BC 
sursur sur sur
, sin
embargo DC y EC
sursur
son secantes, también
AB BC y EC BC 
sursur sursuur
pero AB y EC
sursuur
son
cruzadas.
EXISTENCIA DE UNA PARALELA
TEOREMA: Por un punto exterior a una recta,
pasa por lo menos una paralela a dicha recta.
Dm: Consideremos el plano determinado por
una recta L1 y un punto A exterior a L1. Por A
tracemos la recta L2  L1 y después por A
tracemos la recta L3  L2, resulta L3  L1 (s a
3a
). Por lo tanto por A pasa por lo menos una
recta paralela a L1.
POSTULADO DE EUCLIDES
AXIOMA: Por un punto exterior a una recta
solamente pasa una paralela a dicha recta.
Este postulado garantiza la unicidad de la
paralela a una recta por un punto exterior a
ella, es decir, si por un punto A exterior a una
recta L, pasan las rectas L1 y L2 , con L1  L y
L2  L, entonces L1 y L2 deben coincidir.
TEOREMA: En un plano, si dos rectas son
paralelas entonces toda secante a una de ellas
también es secante a la otra.
Dm: Ejercicio
TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En
un plano, si dos rectas son paralelas entonces
toda perpendicular a una de ellas es
perpendicular a la otra.
L3
L1
L2
A
B C
A
E
D
19

20. Dm: Sean L1  L2 y L3  L1, entonces L3
también será secante a L2. Sea A el punto
común entre L3 y L2. Tracemos por A la recta
L4  L3 y como L1  L3 entonces L4  L1 (s a
3ª). En suma, por A se tienen L2  L1 y L4  L1
entonces por el postulado de Euclides L2 y L4
deben coincidir y en definitiva L3  L2 .
TEOREMA: En un plano, dos rectas
respectivamente perpendiculares a dos rectas
secantes, son secantes. (Ejercicio)
TRANSITIVIDAD
TEOREMA: (2o
Criterio de paralelismo) Dos
rectas paralelas a una tercera son paralelas,
es decir, la relación de paralelismo es
transitiva.
Dm: Sean L1  L2 y L2  L3 . Si L1 y L3 no fueran
paralelas, entonces tendrían un punto en
común A, y por él estarían pasando dos
paralelas a L2 , lo cual contradice el postulado
de Euclides, luego L1  L3.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
Y UNA TRANSVERSAL A ELLAS
TRANSVERSAL: Es una recta secante a dos
rectas coplanares, pero en puntos distintos.
Si T es una transversal a L1 y L2 (secante a L1
en A y a L2 en B), entonces se forman cuatro
ángulos internos: (1, 2, 3 y 4), y cuatro
ángulos externos: (5, 6, 7 y 8), que se
clasifican en:
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son
dos ángulos internos de distinto vértice
situados en distinto semiplano con respecto a
la transversal: 1 y 4 ; 2 y 3.
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos
ángulos externos de distinto vértice situados
en distinto semiplano con respecto a la
transversal: 5 y 8 ; 6 y 7.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son dos
ángulos de distinto vértice, uno interno y otro
externo y situados en un mismo semiplano con
respecto a la transversal: 5 y 3 ; 1 y 7;
6 y 4 ; 2 y 8.
ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: Son
dos ángulos internos de distinto vértice y
situados en un mismo semiplano con respecto a
la transversal: 1 y 3 ; 2 y 4.
ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: Son
dos ángulos externos de distinto vértice y
situados en un mismo semiplano con respecto a
la transversal: 5 y 7 ; 6 y 8.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ENTRE
DOS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL
TEOREMA: Entre dos paralelas y una
transversal se forman ángulos alternos
internos congruentes.
Dm: Sean L1  L2 y T una transversal, secante
a L1 en A, a L2 en B. Tracemos por el punto
medio C de AB la recta L3  L1 en D y si L1L2
entonces L3  L2 en un punto E.
L1
L2
T
A
B
1
2
6
5
4
3
7 8
20

21. B
L
A
C D
Por RHA, se tiene DACEBC, luego
DACEBC (sHs) y por lo tanto los ángulos
alternos internos entre paralelas resultan
congruentes.
COROLARIO: Entre dos paralelas y una
transversal se forman pares de ángulos:
1. Alternos internos congruentes.
2. Alternos externos congruentes.
3. Correspondientes congruentes.
4. Colaterales internos suplementarios.
5. Colaterales externos suplementarios.
Dm: Ejercicio.
TEOREMA: (3er
Criterio de paralelismo) Si
entre dos rectas y una transversal, se forma
algún par de ángulos alternos internos
congruentes entonces las dos rectas son
paralelas.
Dm: Sea T una transversal a las rectas L1 y L2,
secante a L1 en A, a L2 en B. Supongamos que
los ángulos alternos internos CAB y DBA,
(CL1 y DL2) son congruentes,
Tracemos por A la recta L3  L2 entonces para
E sobre L3 en el semiplano opuesto de D
respecto a T, resulta EABDBA, (por ser
Alt.Int. entre L3  L2) . Luego CABEAB,
y por lo tanto AC coincide con AE y las
rectas L1 y L3 coinciden. En definitiva L1  L2 .
COROLARIO: Si entre dos rectas y una
transversal se forma algún par de ángulos
alternos externos congruentes, o
correspondientes congruentes, o colaterales
internos (externos) suplementarios entonces
las dos rectas son paralelas. (Ejercicio)
TEOREMA: Dos ángulos agudos (obtusos) con
sus lados respectivamente paralelos son
congruentes. (Ejercicio)
COROLARIO: Dos ángulos, uno agudo y otro
obtuso, con sus lados respectivamente
paralelos son suplementarios. (Ejercicio)
TEOREMA: En un plano, dos ángulos agudos
(obtusos) con sus lados respectivamente
perpendiculares son congruentes. (Ejercicio)
COROLARIO: En un plano, dos ángulos, uno
agudo y otro obtuso, con sus lados
respectivamente perpendiculares son
suplementarios. (Ejercicio).
DISTANCIA ENTRE PARALELAS
TEOREMA: Dadas dos rectas paralelas
entonces la distancia de cualquier punto, (de
una de ellas), a la otra es una constante.
Dm: Supongamos que L1  L2. Tomemos
A,BL1. Tracemos 2AC L , 2BD L y AD ,
(C,DL2 ). Luego CDABAD (Alt.Int.
L1L2) y como AC BD (s a 3a
) resulta
CADBDA (Alt.Int. ACBD). Entonces
por ALA, ACDDBA y por lo tanto AC=BD
(LsHs).
TEOREMA: (4o
Criterio de paralelismo) Si
dos puntos A y B, en el mismo semiplano con
respecto a una recta L, equidistan de ella
entonces la recta AB es paralela a L.
Dm: Sean A y B puntos
en el mismo semiplano con
respecto a una recta L,
C
A
B E
D
L1
L2
TL3
21

22. B C
EAD
tales que AC=BD, AC L , BD L , con C,
DL.
Como AC BD (s a 3a
), entonces
CADBDA (Alt.Int. AC BD ) y por LAL,
CADBDA, luego ACDDBA (sHs) y
como ACD es recto entonces DBA también
lo es y por lo tanto BD AB
suur
, y como BD L ,
luego AB  L (s a 3a
).
SUMA DE ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA: La suma de los ángulos interiores
de un triángulo mide 180°.
Dm: En un ABC, por
A tracemos DE
sur
BC y
resultan
DABABC y
EACACB, (Alt.
Int. entre DE
sur
BC ) .
Como DAB+BAC+CAE=180°, reemplazando
se obtiene que: A +B +C = 180°.
COROLARIOS:
1. En todo triángulo equilátero cada ángulo
interior mide 60°.
2. En todo triángulo rectángulo los ángulos
agudos son complementarios.
3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es
congruente con la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos
exteriores mide 360°.
5. En todo polígono convexo de n lados, los n
ángulos interiores suman 180°(n2).
6. En todo polígono convexo de n lados, los n
ángulos exteriores suman 360°.
7. En todo triángulo rectángulo 60º-30º la
hipotenusa es el doble del cateto menor.
Dm: Ejercicio
BASE MEDIA EN UN TRIÁNGULO
BASE MEDIA: En un triángulo se llama base
media al segmento que une los puntos medios
de dos lados. Cada triángulo tiene tres bases
medias.
TEOREMA: (5o
Criterio de paralelismo) La
base media de un triángulo es paralela al
tercer lado y mide la mitad de dicho lado.
Dm:
En un ABC, sea
DE la base media
prolongada hasta F
tal que DE=EF y
tracemosFC .
Por LAL, se obtiene
que AED  CEF, luego AD = CF (LsHs) y
también DAE  FCE (sHs) y como son
alternos internos entre AB y FC , resulta
AB FC
sursuur
P . Además, como AD=DB entonces DB =
FC.
Tracemos DC y se obtiene que BDCFCD,
(Alt.Int. AB FC
sursuur
P ) y por LAL, BDCFCD
luego BCD  FDC (sHs) y DF = BC (LsHs).
Como BCD  FDC y son alternos internos
entoncesDE BC
sur sur
P . Además DE = ½DF = ½BC.
TEOREMA: Si por el punto medio de un lado
de un triángulo se traza una paralela a un
C
E
A
D F
B
22

23. segundo lado, entonces se obtiene la base
media con respecto a dicho lado.
Dm: (Ejercicio)
MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la
mediana relativa a la hipotenusa es congruente
con la mitad de la hipotenusa.
Dm: En el ABC rectángulo en A, sea AM la
mediana sobre la hipotenusaBC , (BM=MC).
Tracemos MH AB , HAB ,
luego MH CAP , (s a 3a
), y H
punto medio de AB, ( por el
punto medio M). Entonces en
el MAB se tiene que MH es
altura y mediana y por lo
tanto el MAB es isósceles
con MA=MB. En definitiva
AM=½BC.
TEOREMA: Si en un triángulo un lado es el
doble de su respectiva mediana, entonces el
triángulo es rectángulo. (Ejercicio)
PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
BARICENTRO
TEOREMA: Las tres medianas de un triángulo
concurren en un punto que se llama
BARICENTRO, el cual está, sobre cada
mediana, a dos terceras partes de mediana
desde el vértice o a una tercera parte de
mediana desde su pie.
Dm: En el ABC tracemos
las medianas BE y CD que
se cortan en G, (D y E
puntos medios de
AB y AC ). Tracemos DE y resulta DE BC y
DE=½BC.
Sean P y Q los puntos medios de BG y CG
respectivamente. Tracemos PQ , entonces en
el GBC resulta PQ BC y PQ=½BC, luego DE 
PQ y DE=PQ. También GPQGED y
GQPGDE (Alt.Int.DE PQ ), y por ALA,
GPQGED, luego GP=GE y GQ=GD. En
definitiva GE=BE/3 y GD=CD/3.
De un modo similar se demuestra que las
medianas AM y BE se cortan en un punto G’
tal que G’M=AM/3 y G’E=BE/3, entonces los
puntos G y G’ coinciden y por lo tanto las tres
medianas concurren en el punto G, el cual está
sobre cada mediana, situado a una tercera
parte de mediana desde el pie o a dos
terceras partes de mediana desde el vértice.
CIRCUNCENTRO
TEOREMA: Las tres mediatrices de un
triángulo concurren en un punto que se llama
CIRCUNCENTRO, el cual equidista de los tres
vértices y es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo:
Dm: En el ABC sea J el punto de intersección
de las mediatrices de los lados AB y BC ,
M
A H B
C
E
B C
D
G
P Q
A
A
B CN
M J
23

24. luego JA=JB y JB=JC (mediatriz es LG),
entonces JA=JC y por lo tanto J también está
sobre la mediatriz de AC . En definitiva las
tres mediatrices concurren en el punto J, el
cual equidista de los tres vértices del
triángulo.
ORTOCENTRO
LEMA: Si por cada vértice de un triángulo se
traza la paralela al lado opuesto, entonces se
forma un triángulo cuyos lados tienen por
puntos medios los vértices del triángulo dado.
(Ejercicio)
TEOREMA: Las tres alturas de un triángulo
concurren en un punto que se llama
ORTOCENTRO.
Dm: En el ABC, tracemos por los vértices A,
B y C las paralelas a sus lados opuestos, y se
obtiene el DEF en el cual A, B y C son los
puntos medios de sus lados.
Las mediatrices del DEF son las alturas del
ABC y como dichas mediatrices concurren
entonces las alturas del ABC concurren.
INCENTRO
TEOREMA: Las tres bisectrices interiores de
un triángulo concurren en un punto que se
llama INCENTRO, el cual equidista de los
lados del triángulo y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Dm: En el ABC sea I el punto de corte de las
bisectrices de los A y B interiores.
Tracemos ID AB , IE BC , IF AC , (D, E
y F sobre AB , BC y CA ). Luego IF=ID e
ID=IE (bisectriz es LG), entonces IF=IE y por
lo tanto I también está sobre la bisectriz del
C interior. En definitiva las tres bisectrices
interiores concurren en el punto I, el cual
equidista de los tres lados del triángulo.
EXINCENTRO
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de
un ángulo interior y las bisectrices de los dos
ángulos exteriores no adyacentes a él,
concurren en un punto que se llama
EXINCENTRO, el cual equidista de los lados
del triángulo y es el centro de una
circunferencia exinscrita al triángulo. El
triángulo tiene tres exincentros. (Ejercicio).
AD F
C
E
B R
P
Q
H
E CB
D
F
I
A
24

25. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
1. Trazar la paralela a una recta dada, por un
punto exterior dado, por medio de:
a. Perpendiculares a una tercera.
b. Alternos internos congruentes.
c. Correspondientes congruentes.
d. Puntos equidistantes.
2. Trazar la bisectriz de un ángulo con
vértice inaccesible.
3. Construir un triángulo rectángulo
conocidos un cateto y su ángulo opuesto.
4. Construir un triángulo conocidos un lado,
su ángulo opuesto y la altura relativa a
otro de los lados.
5. Construir un triángulo conocidos dos de
sus ángulos y la altura relativa al lado
común de dichos ángulos.
6. Construir un triángulo conocidos un lado,
la mediana relativa a otro lado y el ángulo
desde el que parte dicha mediana.
7. Construir un triángulo conocidos dos de
sus ángulos y la bisectriz de uno de ellos.
8. Construir un triángulo conocidos un lado,
un ángulo no opuesto a él y la bisectriz de
dicho ángulo.
9. Encontrar el circuncentro de un triángulo
dado y trazar la circunferencia
circunscrita.
10. Encontrar el ortocentro de un triángulo
dado.
11. Encontrar el incentro de un triángulo dado
y trazar la circunferencia inscrita.
12. Encontrar los exincentros de un triángulo
dado y trazar las circunferencias
exinscritas.
13. Encontrar el baricentro de un triángulo
dado.
14. Construir un triángulo conocidas las tres
medianas.
A
B C
25

26. UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos
lados opuestos son paralelos.
RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes.
ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro
lados congruentes.
CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus
cuatro ángulos interiores congruentes y sus
cuatro lados congruentes, es decir, es
rectángulo y rombo a la vez.
TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con un
par de lados paralelos y el otro par no paralelos.
TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio cuyos
lados no paralelos son congruentes.
TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio con
algún ángulo recto.
ABCD es un trapecio
AB ll DC AD ll
c
BC
D
A B
llss
C
ABCD es un cuadrado
A B C D
AB BC CD DA
      

  
c
CD
BA
26
ABCD es un rectángulo
A B C D      
c
C
BA
D
  
ABCD es un rombo
AB BC CD DA
cB
A
C
D
D
A
C
B
s
s

ABCD es un paralelogramo
AB DC AD BC
c
P P
ABCD es un trapecio rectángulo
ABCD es un trapecio A 90º  
c
D
A B
C
D
A B
C
ABCD es un trapecio isósceles
ABCD es un trapecio AD BC 
c

27. TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no
tiene lados paralelos.
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen
las siguientes propiedades:
1. Los lados opuestos son respectivamente
paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
3. Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
4. Las diagonales se cortan en su punto
medio.
Dm: Tomemos un paralelogramo ABCD, con
AB DC y AD BCP P .
1. Trazamos DB , luego ABDCDB por:
A: ABDCDB, (sAlt.Int. AB DCP ),
L: BD=DB, (común),
A: ADBCBD, (sAlt.Int. AD BCP ).
Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).
2. Como A+B=180, (sCol.Int.AD BCP ) y
B+C=180, (sCol.Int. AB DCP )
entonces A=180–B=C. Similarmente
se prueba que B=D.
3. Sea O el punto de corte de AC y DB ,
luego OABOCD por:
A: OABOCD, sAlt.Int. AB DCP ,
L: AB=CD, por (1),
A: OBAODC, Alt.Int. AB DCP .
Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).
CRITERIOS DE PARALELOGRAMO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
paralelogramo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
1. Los lados opuestos son paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente
congruentes.
3. Un par de lados opuestos son paralelos y
congruentes.
4. Los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
5. Las diagonales se cortan en su punto
medio.
Dm: (Ejercicio)
PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS
TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.
2. El rectángulo es paralelogramo.
3. Las diagonales son congruentes.
Dm: Sea ABCD un rectángulo:
1. A=B=C=D, por definición y
A+B+C+D=360, por ser convexo,
entonces A=B=C=D=90.
2. Como los ángulos opuestos son
respectivamente congruentes entonces es
un paralelogramo.
D
A
C
B
27
ABCD es un trapezoide
AB ll
c
DC AD ll BC
D
A
B
C

28. 3. Por (2) es paralelogramo, luego
AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además
en el triángulo rectángulo ABD, AO es la
mediana relativa a la hipotenusa DB ,
entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se
obtiene DB=AC.
CRITERIOS DE RECTÁNGULO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rectángulo sii cumple cualquiera de las
siguientes propiedades:
1. Tiene tres ángulos rectos.
2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.
3. Las diagonales son congruentes y se cortan
en su punto medio.
Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
3. Si AC=BD y se cortan en su punto medio
O entonces es paralelogramo y además en
el DAB resulta la mediana AO=DB/2,
luego el ángulo A es recto. En definitiva,
por (2), ABCD es un rectángulo.
PROPIEDADES DEL ROMBO
TEOREMA: En todo rombo se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es paralelogramo.
3. Las diagonales son perpendiculares.
4. Cada diagonal es bisectriz.
Dm: (Ejercicio)
CRITERIOS DE ROMBO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
rombo sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es un paralelogramo con dos lados
consecutivos congruentes.
3. Las diagonales son perpendiculares y se
cortan en su punto medio.
4. Cada diagonal es bisectriz.
Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
4. Supongamos que las diagonales AC y BD
son bisectrices de los ángulos, entonces
ABDCBD (ALA), luego AB=CB y AD=CD
(LsHs). En el ABC, se tiene
A/2+B+C/2=180 y en el ADC se
tiene A/2+D+C/2=180, luego B=D
y por lo tanto el ABD resulta isósceles
con AB=AD. En definitiva AB=BC=CD=DA,
es decir ABCD es un rombo.
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS
TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo,
rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas
las propiedades de éstos.
Dm: (Ejercicio)
CRITERIOS DE CUADRADO
TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un
cuadrado sii cumple cualquiera de las siguientes
propiedades:
1. Es rectángulo y rombo.
2. Es un rectángulo con dos lados
consecutivos congruentes.
3. Es un rombo con un ángulo recto.
4. Las diagonales son perpendiculares,
congruentes y se cortan en su punto medio.
Dm: (Ejercicio)
28

29. A B
M P N
C
A BE F
C
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
TEOREMA: En todo trapecio los lados
paralelos son desiguales.
Dm: En efecto, si los lados paralelos fuesen
congruentes se obtendría un
paralelogramo y entonces el otro par de
lados serían paralelos.
En un trapecio, los lados paralelos se llaman
BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento
que une los puntos medios de los lados no
paralelos se llama la BASE MEDIA; la
distancia entre las bases es la ALTURA.
TEOREMA: En todo trapecio, los ángulos
adyacentes a cada uno de los lados no paralelos
son suplementarios.
Dm: (Ejercicio)
TEOREMA: La base media del trapecio es
paralela a las bases y es congruente con la
semisuma de las bases mayor y menor, es decir:
Base mayor Base menor
Base media
2


Dm: Sea ABCD un trapecio con ABllDC y
ADllBC (no paralelos).
Tracemos DB , MP
y PN con M, P y N
los puntos medios
de DA, DB y CB .
En el DAB,
MP AB y MP AB/2P (base media) y en el
BCD, PN DC y PN DC/2P (base media),
luego por el Postulado de Euclides las rectas
MP y PN
suur sur
coinciden y resulta AB MN DCP P y
MN=(AB+DC)/2.
TEOREMA: El segmento que une los puntos
medios de las diagonales de un trapecio está
contenido en la base media y es congruente con
la semidiferencia entre las bases mayor y
menor.
Dm:(Ejercicio)
PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES
TEOREMA: En todo trapecio isósceles se
cumplen las siguientes propiedades:
1. Los lados no paralelos son congruentes.
2. Los ángulos adyacentes a cada una de sus
bases son congruentes.
3. Los ángulos opuestos son suplementarios.
4. Las diagonales son congruentes.
5. Las mediatrices de las bases coinciden, y
las mediatrices de los cuatro lados
concurren.
Dm: Sea ABCD un trapecio isósceles con
AB DCP y AD ║BC (no paralelos) y
AD=BC.
1. Tracemos las alturas DE y CF , entonces
DE=CF (AB DCP ) y por RHC,
AEDBFC, luego A=B (sHs).
Además A+D=180 y B+C=180,
entonces D=C.
4. Tracemos las diagonales AC y BD ,
entonces ABCBAD por
L: BC = AD, (hipótesis)
A: B = A, (por 1)
L: AB=BA, (común)
Luego AC BD .
29

30. A BE F
C
CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES
TEOREMA: Un trapecio es isósceles sii cumple
cualquiera de las siguientes propiedades:
1. Los lados no paralelos son congruentes.
2. Los ángulos adyacentes a una de las bases
son congruentes.
3. Un par de ángulos opuestos son
suplementarios.
4. Las diagonales son congruentes.
5. Las mediatrices de las bases coinciden.
Dm:
2. Sea ABCD un trapecio tal que ABllDC y
ADllBC con A=B.
Tracemos las alturasDE y CF , entonces
DE=CF (AB DCP ) y por el teorema RCAop,
AEDBFC, luego AD=BC (LsHs) y el
trapecio es isósceles.
5. Supongamos que MN
suur
es la mediatriz de
AB y CD , con M y N puntos medios de
AB y CD respectivamente. Si trazamos
las alturas DE y CF , resultan los
rectángulos DEMN y NMFC (3s rectos) y
entonces EM=MF y por lo tanto AE=BF.
Ahora, por RCC AEDBFC, luego AD=BC
y el trapecio es isósceles.
CONSTRUCCIONES
1. Construir un paralelogramo si se conocen:
a. Sus lados y uno de los ángulos que
ellos forman.
b. Sus lados y una de sus diagonales.
c. Sus diagonales y uno de los ángulos
que ellas forman.
d. Sus diagonales y uno de sus lados.
2. Construir un rectángulo si se conocen:
a. Un lado y su diagonal.
b. Sus diagonales y uno de los ángulos
que ellas forman.
3. Construir un rombo si se conocen:
a. Su lado y una sus diagonales.
b. Sus diagonales.
4. Construir un cuadrado si se conoce su
diagonal.
5. Construir un trapecio si se conocen:
a. Sus bases, su altura y una de sus
diagonales.
b. Sus lados no paralelos, su altura y una
de sus diagonales.
6. Construir un trapecio isósceles, si se
conocen
a. Sus bases y su altura.
b. Uno de sus ángulos, su altura y su
diagonal.
c. Su altura, su lado no paralelo y su
diagonal.
30

31. UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un punto O
en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se
llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O;
r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del
plano , tales que OP = r.
RADIO: Segmento que une el centro con un punto
de la circunferencia, por ejemplo: OA, OB , OC ,
OD, OE y OF .
CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos
de la circunferencia, por ejemplo: AB , CD .
DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia, por ejemplo: CD .
ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el
centro de la circunferencia, por ejemplo: EOF .
ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado
por dos puntos de ella, por ejemplo: AB . Si son
extremos de un diámetro, los arcos se llaman
semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED .
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que
tienen el mismo centro.
TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios
son congruentes; todos los diámetros son
congruentes; el diámetro es el doble del radio y el
diámetro es la mayor cuerda.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO
Y UNA CIRCUNFERENCIA
En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:
1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
CIRCUNFERENCIA
TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado
un punto P en su plano, entonces los extremos del
diámetro AB , contenido en la recta OP , son los
puntos de la circunferencia que están a la menor y a
la mayor distancia del punto dado.
La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia
entre P y el extremo de dicho diámetro que esté
más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.
31

32. TEOREMA: (L.G. ra)
Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r),
el lugar geométrico de los puntos situados a una
distancia a de la C(O; r) está formado por las
circunferencias C(O; r  a).
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN
PUNTO DADO
TEOREMA: Por un punto
dado A pasan infinitas
circunferencias.
Para cada real positivo r,
el lugar geométrico de los
centros de éstas es la
C(A; r).
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS
PUNTOS DADOS
TEOREMA: Por dos puntos
dados A y B, pasan infinitas
circunferencias.
El lugar geométrico de los
centros de éstas es la mediatriz
del segmento AB y el radio
mínimo es AB/2.
TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa
ninguna circunferencia.
COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia
no pueden ser colineales. Intuitivamente “la
circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR
TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS
TEOREMA: Por tres puntos
A, B y C no alineados, pasa
una y sólo una circunferencia
que tiene por centro el circuncentro del ABC.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA
Y UNA CIRCUNFERENCIA
1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia
si no tiene puntos comunes con ella.
2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia
si tiene exactamente un punto común con ella,
llamado punto de tangencia.
3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si
tiene exactamente dos puntos comunes con ella.
TEOREMA: Si una recta es tangente a una
circunferencia entonces es perpendicular al radio
que llega al punto de tangencia.
TEOREMA: Dadas una
recta y una circunferencia
de radio r, si d es la
distancia del centro a la
recta, entonces:
1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo
si d < r.
2. La recta es tangente a la circunferencia si y
sólo si d = r.
3. La recta es exterior a la circunferencia si y
sólo si d > r.
32

33. POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias son :
1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una
de ellas son exteriores a la otra.
2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de cada una de
ellas son exteriores a la otra.
3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos
comunes.
4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de una de ellas
son interiores a la otra, entonces la primera es
tangente interior a la segunda.
5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y
todo los puntos de una de ellas son interiores a
la otra, entonces la primera es interior a la
segunda.
TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas
tienen un punto común exterior a la recta de los
centros entonces son secantes y recíprocamente.
TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes
entonces la línea de sus centros es la mediatriz de
su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos
centrales subtendidos por la cuerda.
TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes
entonces los centros y su punto de tangencia son
colineales y recíprocamente.
TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y
C(O’; r’), entonces ellas son:
1. Exteriores  OO’ > r + r’
2. Tangentes exteriores  OO’ = r + r’
3. Secantes   r  r ’< OO’ < r + r’
4. Tangentes interiores  OO’ = r  r’
5. Interiores  OO’ <  r  r ’
33

34. ARCOS Y CUERDAS
CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos
circunferencias son congruentes si sus radios tienen
igual medida.
ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma
circunferencia o de circunferencias congruentes
son congruentes si subtienden ángulos centrales
congruentes.
ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma
circunferencia o de circunferencias congruentes
son desiguales si subtienden ángulos centrales
desiguales y será mayor el que subtienda mayor
ángulo central.
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida
angular de un arco es la medida del ángulo central
que subtiende.
TEOREMA: En una misma circunferencia o en
circunferencias congruentes:
1. Dos ángulos centrales son congruentes sii
subtienden cuerdas congruentes.
2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden
arcos congruentes.
3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende
un arco menor y un ángulo central menor y
recíprocamente.
4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro
y recíprocamente.
5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más
próxima al centro y recíprocamente.
PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO
PERPENDICULAR A UNA CUERDA
TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda
secante a ella cumple dos de las siguientes
propiedades entonces las cumple todas:
1. Es diámetro.
2. Es perpendicular a la cuerda.
3. Pasa por el punto medio de la cuerda.
4. Pasa por el punto medio del arco menor.
5. Pasa por el punto medio del arco mayor.
6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda
subtiende.
ARCOS Y PARALELAS
TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos
entre dos rectas paralelas son congruentes.
TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una
circunferencia dos cuerdas o dos arcos son
congruentes entonces sus extremos determinan un
par de rectas paralelas.
34

35. ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA
CIRCUNFERENCIA
1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto
de la circunferencia y sus lados son dos
semirrectas secantes a la circunferencia, por
ejemplo el ABC .
2. ÁNGULO SEMIINSCRITO:El vértice es un
punto de la circunferencia y sus lados son dos
semirrectas una tangente y la otra secante a la
circunferencia, por ejemplo el DEF .
3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto
interior a la circunferencia y sus lados son dos
semirrectas secantes a la circunferencia, por
ejemplo el GHK .
4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto
exterior a la circunferencia y sus lados son
semirrectas tangentes y/o secantes a la
circunferencia, por ejemplo el LMR , el
LMN y el NMP ,
TEOREMA: En una circunferencia, en medidas
angulares:
1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco
comprendido entre sus lados, por ejemplo
(INSCRITO)ABC AC 2  .
2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco
comprendido entre sus lados, por ejemplo
(SEMIINSCRITO)DEF DE 2  .
3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco
comprendido entre sus lados y el arco
comprendido entre las prolongaciones de ellos,
por ejemplo (INTERIOR)GHK (GK K'G') 2   .
4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de
los arcos mayor y menor comprendidos entre
sus lados, por ejemplo :
(EXTERIOR)LMR (LNR LN'R) 2   ,
(EXTERIOR)LMN (LN LN') 2   ,
(EXTERIOR)NMP (NP N'P') 2  
COROLARIOS:
1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco son congruentes.
2. Todos los ángulos inscritos en una
semicircunferencia son rectos.
ARCO CAPAZ (LG)
TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un
ángulo, 0° <  < 180°, entonces existen dos arcos
de extremos A y B, (sobre circunferencias
congruentes y simétricas con respecto a la recta
AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los
puntos A y B, forman el lugar geométrico de los
puntos P del plano, para los cuales APB= .
35

36. ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un
 , 0° <  < 180°, el “Arco capaz del segmento
AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que
se refiere el teorema anterior.
TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo 90°
es la semicircunferencia que le tiene por diámetro
PROPIEDADES DE LAS RECTAS
TANGENTES DESDE UN PUNTO
EXTERIOR
TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes
a una circunferencia trazados desde un punto P
exterior a ella, (A y B puntos de tangencia)
entonces:
1. Las tangentes son congruentes PA = PB.
2. OP es bisectriz del AOB y del APB.
3. AOB=Pexterior del cuadrilátero PAOB.
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES
TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O; r)
trazadas desde un punto P exterior a ella, pasan por
los puntos de intersección entre ella y la
circunferencia de diámetro OP.
TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a dos
circunferencias de distinto radio, no tangentes
interiores y no interiores, son paralelas a las rectas
tangentes trazadas desde el centro de la menor, a
la circunferencia concéntrica con la mayor y de
radio igual a la diferencia o a la suma de los radios.
CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y
CIRCUNSCRITOS
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
inscrito en una circunferencia entonces sus ángulos
opuestos son suplementarios y recíprocamente si un
cuadrilátero convexo tiene un par de ángulos
opuestos suplementarios entonces es inscriptible en
una circunferencia.
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
circunscrito a una circunferencia entonces las
sumas de las medidas de sus lados opuestos son
iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero
convexo las sumas de las medidas de sus lados
opuestos son iguales entonces es circunscriptible a
una circunferencia.
36

37. UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS
RAZONES Y PROPORCIONES
DEFINICIONES
RAZÓN: La razón entre dos números reales a
y b, (b0), es el cociente entre a y b, es
decir
a
b
. También se escribe: a/b, ab, a:b.
Al numerador se le llama antecedente y al
denominador consecuente.
PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos
razones:
a c
b d
 . Se lee: “a es a b” como “c
es a d”. También se escribe: a/b=c/d,
a:b=c:d.
a y d son los extremos; b y c son los medios.
CUARTA PROPORCIONAL: Si
a c
b x
 , es
decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta
proporcional entre a, b y c”, en ese orden.
MEDIA PROPORCIONAL: Si
a x
x b
 , es
decir a:x=x:b entonces “x es la media
proporcional entre a y b”. También se llama
media geométrica.
TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x es la
media proporcional entre a y b”. Entonces “a
y b” son las terceras proporcionales de x.
RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La
razón entre dos segmentos es la razón entre
sus medidas, en la misma unidad de medida.
SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos
segmentos son proporcionales a otros dos si la
razón entre los dos primeros es igual a la
razón entre los dos segundos.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
Siempre que las razones resulten definidas:
1. Producto extremos = Producto medios
Si
a c
b d
 entonces ad=bc
2. Razones inversas
Si
a c
b d
 entonces
b d
a c

3. Intercambio de extremos
Si
a c
b d
 entonces
d c
b a

4. Intercambio de medios
Si
a c
b d
 entonces
a b
c d

5. Sumar (restar) a cada antecedente su
respectivo consecuente
Si
a c
b d
 entonces
a b c d
b d
 

6. Sumar (restar) a cada consecuente su
respectivo antecedente
Si
a c
b d
 entonces
a c
b a d c

 
37

38. 7. Razones entre la suma y la diferencia del
antecedente y el respectivo consecuente
Si
a c
b d
 entonces
a b c d
a b c d
 

 
8. La suma de los antecedentes es a la suma
de los consecuentes como cada
antecedente es a su consecuente,
Si
a c
b d
 entonces
a c a c
b d b d

 

Esta propiedad es aplicable a cualquier serie
de dos o más razones iguales, es decir:
n1 2n1 2
n n1 2 1 2
a a ... aaa a
...
b b b b b ... b
  
   
  
9. El cuadrado de la media proporcional es
igual al producto entre las terceras
proporcionales, es decir:
Si
a x
x b
 entonces 2
x ab .
Luego la la media geométrica entre a y b
es x ab .
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
PROPORCIONALIDAD
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN
SEGMENTOS CONGRUENTES
TEOREMA Si tres o más paralelas determinan
segmentos congruentes sobre una transversal
entonces dichas paralelas también determinan
segmentos congruentes sobre cualquier otra
transversal.
CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado
en n segmentos congruentes, (nZ, n2)
TEOREMA DE THALES
TEOREMA: Si dos rectas son cortadas por
tres paralelas entonces los segmentos que
dichas paralelas determinan sobre una de las
rectas son proporcionales a los segmentos que
determinan sobre la otra.
COROLARIO: Toda paralela a un lado de un
triángulo determina segmentos proporcionales
sobre los otros dos lados, (o sobre sus
prolongaciones),
CONSTRUCCIÓN: Construir la cuarta
proporcional de tres segmentos dados.
TEOREMA (6o
criterio de paralelismo): Si
en un triángulo una recta determina
segmentos proporcionales sobre dos lados (o
sobre sus prolongaciones) entonces dicha
recta es paralela al tercer lado.
TEOREMA: Si tres rectas concurrentes son
transversales a dos rectas paralelas entonces
sobre las paralelas se determinan segmentos
proporcionales y recíprocamente.
PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS
BISECTRICES
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz
de un ángulo interior divide al lado opuesto en
dos segmentos proporcionales a los lados que
forman el ángulo y recíprocamente.
En un ABC, si AD es la bisectriz del A
interior, entonces: DB/DC=AB/AC y además
DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de
un ángulo exterior (*)
divide exteriormente al
lado opuesto en segmentos proporcionales a
los lados del ángulo interior adyacente y
recíprocamente.
En un ABC, si AE es la bisectriz del A
exterior, con E sobre la prolongación de BC,
entonces EB/EC=AB/AC y además
EB=ac/bc; EC=ab/bc
38

39. (*)
Excepto para el ángulo exterior del
ángulo opuesto a la base de un triángulo
isósceles.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos ABC y A'B'C' son
semejantes si sus tres ángulos son
respectivamente congruentes y sus tres lados
son respectivamente proporcionales. Se
denota ABC   A'B'C':
ABC  A'B'C' 
A A´
1. B B´
C C´
AB BC CA
2. k
A´B´ B´C´ C´A´
    
  
    
      
 
     
Los ángulos respectivamente congruentes, y
los lados respectivamente proporcionales se
llaman elementos homólogos (en semejanza).
El número k es la razón de semejanza del
ABC con respecto al  A'B'C' y significa que
la medida de un lado del ABC es k veces la de
su lado homólogo en el A'B'C'.
Obviamente dos triángulos congruentes son
semejantes y su razón de semejanza es k=1.
TEOREMA: La relación de semejanza de
triángulos es una relación de equivalencia:
1. Reflexiva: ABCABC.
2. Simétrica: Si ABCA'B'C'
entonces A'B'C'ABC.
3. Transitiva: Si ABCA'B'C'
y A'B'C'A"B"C"
entonces ABCA"B"C".
La transitividad es un método muy utilizado
para probar que dos triángulos son
semejantes.
CRITERIOS DE SEMEJANZA
TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda paralela a
un lado de un triángulo dado determina un
triángulo semejante a éste.
TEOREMA: ( SLAL) Si dos triángulos tienen
un ángulo congruente formado por lados
proporcionales entonces son semejantes.
TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen
dos ángulos respectivamente congruentes
entonces son semejantes.
TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen
sus tres lados respectivamente proporcionales
entonces son semejantes.
TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos
cumplen alguna de las siguientes propiedades
entonces son semejantes:
1. Si tienen un ángulo agudo congruente.
2. Si tienen los catetos proporcionales.
3. Si tienen proporcionales las hipotenusas y
uno de sus catetos.
TEOREMA: Si dos triángulos son
semejantes entonces la razón entre dos
elementos (rectilíneos) homólogos: alturas,
medianas, bisectrices, es igual a la razón de
semejanza entre los triángulos.
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS
PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE
UNA RECTA
PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La proyección
ortogonal de un punto P sobre una recta L es
el punto P’ de intersección entre la recta L y la
recta perpendicular a L que pasa por P; es
decir P’ es el pie de dicha perpendicular.
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La
proyección ortogonal de un segmento AB sobre
39

40. una recta L es el segmento A’B’ formado por
los puntos proyecciones ortogonales de todos
los puntos del segmento AB sobre la recta L.
NOTA: En adelante nos referiremos a una
proyección ortogonal simplemente como
proyección.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la
altura relativa a la hipotenusa determina dos
triángulos rectángulos semejantes a él.
En un ABC rectángulo en A, sean m y n las
proyecciones de los catetos c y b sobre la
hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:
CATETO MEDIA PROPORCIONAL
TEOREMA: Cada cateto es media proporcional
entre la hipotenusa y su proyección sobre ella:
b2
= a n ; c2
= a m.
TEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los
catetos: a2
= b2
+ c2
.
ALTURA MEDIA PROPORCIONAL
TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa es
media proporcional entre las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa: h2
= m n.
ALTURA 4a
PROPORCIONAL
TEOREMA: La altura relativa a la hipotenusa
es cuarta proporcional entre la hipotenusa y
los catetos: ah = bc .
CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos
construir su media proporcional.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
LEY DEL COSENO
TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado del
lado a opuesto a un ángulo A agudo (obtuso)
es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos (más) el doble
producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él, es decir:
A agudo: a2
= b2
+ c2
– 2 b Proy (c
/b)
A obtuso: a2
= b2
+ c2
+ 2 b Proy (c /b)
NOTA: Este teorema es una generalización
del teorema de Pitágoras.
TEOREMA: Dado un triángulo ABC de lados
a, b y c entonces:
1. A es agudo  a2
< b2
+ c2
2. A es recto  a2
= b2
+ c2
3. A es obtuso  a2
> b2
+ c2
CÁLCULO DE ALTURAS
TEOREMA: La altura ha, relativa al lado a,
de un triángulo ABC está dada por:
a
2
h p(p a)(p b)(p c)
a
   
donde p es el semiperímetro:
a b c
p
2
 

CÁLCULO DE MEDIANAS
TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado a,
de un triángulo ABC está dada por:
22 2
2
a
ab c
m
2 4

 
CÁLCULO DE BISECTRICES
TEOREMA: Si la bisectriz va=AD, del ángulo
Aint de un triángulo ABC determina los
segmentos DB y DC sobre el lado a, entonces:
40

41. 2
av bc DB.DC 
TEOREMA: Si la bisectriz wa=AE, del ángulo
Aext de un triángulo ABC determina los
segmentos EB y EC sobre el lado a y su
prolongación, entonces:
2
aw EB.EC bc 
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA
TEOREMA: En un ABC, el producto entre el
diámetro 2r de su circunferencia circunscrita
y la altura ha, es igual al producto entre los
lados b y c del triángulo, es decir a2rh bc ,
luego:
a
bc abc
r
2h 4 p(p a)(p b)(p c)
 
  
donde p es el semiperímetro:
a b c
p
2
 

CUERDAS SECANTES
TEOREMA: Si en un punto P interior a la
circunferencia se cortan dos cuerdas AB y
A´B´ entonces el producto entre los dos
segmentos de la primera es igual al producto
entre los dos segmentos de la segunda, es
decir PA x PB PA´x PB´ .
RECTAS SECANTES
TEOREMA: Si desde un punto P exterior a
una circunferencia se trazan dos rectas AB y
A´B´ secantes a ella, (P-A-B, P´-A´-B´),
entonces el producto entre el segmento
externo de la primera y la secante completa es
igual al producto entre el segmento externo
de la segunda y la secante completa, es decir
PA x PB PA´x PB´ .
SECANTE Y TANGENTE
TEOREMA: Si desde un punto P exterior a
una circunferencia se trazan una tangente PT
, y una secante PAB , entonces el segmento
tangente es media proporcional entre la
secante completa y su segmento externo, es
decir:
2
PA x PB PT
POTENCIA
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A
UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O; r) y
dado un punto P en su plano, se llama Potencia
“p” del punto P con respecto a la C(O; r), ¸ al
producto entre las medidas de los segmentos
orientados determinados, por él y por la
circunferencia, sobre cualquier recta secante
a ella que pase por P.
TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un punto
P en su plano, si d = OP, entonces la potencia
p del punto P con respecto a la C(O; r ) está
dada por: p = d2
 r2
.
TEOREMA: La potencia de un punto exterior
a una circunferencia es el cuadrado del
segmento de tangente trazado desde él.
TEOREMA: El lugar geométrico de los puntos
de igual potencia con respecto a dos
circunferencias no concéntricas es una recta
perpendicular a la recta de sus centros.
EJE RADICAL
Dadas dos circunferencias no concéntricas se
llama Eje Radical de ellas al lugar geométrico
de los puntos del plano que tienen igual
potencia con respecto a ellas.
TEOREMA: Las tangentes a dos
circunferencias no concéntricas trazadas
desde un punto de su eje radical, exterior a
ellas, son congruentes y recíprocamente.
41

42. TEOREMA: Dadas dos circunferencias no
concéntricas, según su posición, el eje radical
se obtiene como sigue:
1. Exteriores: La recta que une los puntos
medios de sus segmentos tangentes
exteriores comunes.
2. Secantes: La recta secante común
3. Tangentes: La recta tangente común.
4. Interiores: La recta perpendicular a la
línea de sus centros que pasa por el punto
donde concurren los ejes radicales entre
cada una de ellas y una circunferencia
secante a ambas.
TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de
centros no colineales, entonces sus ejes
radicales concurren en un punto.
CENTRO RADICAL
Dadas tres circunferencias, de centros no
colineales, se llama Centro Radical de ellas al
punto donde sus ejes radicales concurren.
42

43. EJERCICIOS UNIDAD 1y 2- ELEMENTOS BÁSICOS
1. ¿Por qué puede afirmarse la
existencia de puntos exteriores a un
plano?.
2. ¿Qué garantiza la existencia de
mínimo tres puntos no colineales?.
Explique.
3. ¿Qué garantiza la existencia de
mínimo cuatro puntos puntos no
coplanares?. Explique.
4. ¿Cuántas rectas pasan por un punto
dado?.
5. ¿Por qué dos puntos siempre son
colineales?.
6. Diga una condición necesaria y
suficiente para que dos rectas
coincidan.
7. ¿Tres puntos siempre son
colineales?. Ilustre las posibles
alternativas.
8. ¿Dados tres puntos no colineales,
cuántas rectas pueden trazarse
tales que cada una contenga dos de
ellos?. Ilustre.
9. ¿Cuántos planos pasan por un punto
dado?. Ilustre.
10. ¿Cuántos planos pasan por dos
puntos dados?. Ilustre.
11. ¿Cuántos planos pasan por tres
puntos colineales dados?. Ilustre.
12. ¿Por qué tres puntos no colineales
siempre son coplanares?.
13. Diga una condición necesaria y
suficiente para que dos planos
coincidan.
14. ¿Cuatro puntos no colineales siempre
son coplanares?. Ilustre las posibles
alternativas.
15. ¿Si una recta y un plano tienen dos
puntos comunes, la recta puede
tener algún punto que no pertenezca
al plano?. ¿Por qué?.
16. ¿Dos planos distintos sólo pueden
tener un punto común?. ¿Por qué?.
17. ¿Dos rectas coplanares tienen que
ser paralelas?. Ilustre las posibles
alternativas.
18. ¿Dos rectas no secantes tienen que
ser paralelas?. Ilustre las posibles
alternativas.
19. ¿Dados cuatro puntos no colineales,
cuántas rectas pueden trazarse
tales que cada una contenga mínimo
dos de ellos?. Ilustre las posibles
alternativas.
20. ¿Dados n puntos, ( nZ , n  3), con
ninguna tripleta colineales, cuántas
rectas pueden trazarse tales que
cada una contenga dos de ellos?.
21. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,
alguna tripleta de ellos serán
colineales?. Explique.
22. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,
cuántos planos pueden trazarse
43

44. tales que cada uno contenga tres de
ellos?. Ilustre.
23. ¿Dados n puntos, ( nZ , n  4), con
ninguna cuarteta coplanares, cuántos
planos pueden trazarse tales que
cada uno contenga tres de ellos?.
24. ¿Dados n puntos, ( nZ , n  4), con
una cuarteta coplanares y ninguna
tripleta colineales, cuántos planos
pueden trazarse tales que cada uno
contenga tres de ellos?.
25. Dados dos planos paralelos 1 y 2,
ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2,
tales que L1  1 y L2  2.
26. Dados dos planos 1 y 2 secantes
en la recta L, ilustre dos rectas
paralelas L1 y L2 , distintas de L,
tales que L1  1 y L2  2 .
27. Si BXC=45 y CXD=85, ¿cuánto
mide el BXD si:
a. C es interior al BXD?
b. C es exterior al BXD?
28. Determinar la medida del
complemento de cada uno de los
siguientes ángulos: 20, 60, 35, x,
(90  n), 40.
29. Encontrar la medida del suplemento
de cada uno de las siguientes
ángulos: 100, 80, n, 140,
(180n).
30. Si un ángulo mide el doble de su
suplemento, encontrar su medida.
31. Dados dos ángulos suplementarios, si
uno de ellos mide 30 más que el
otro, ¿cuánto mide cada uno?.
32. Encontrar la medida de un ángulo
sabiendo que cuatro veces su medida
es igual a cinco veces la medida de
su suplemento.
33. Encontrar la medida de un ángulo
sabiendo que cuatro veces su medida
es igual a cinco veces la medida de
su suplemento.
34. Cuatro veces la medida de un ángulo
es 60 más que dos veces la medida
de su suplemento. ¿Cuánto mide el
ángulo?.
35. Si la medida del complemento de un
ángulo es un tercio de la medida del
suplemento del ángulo, ¿cuál es la
medida del ángulo?.
36. Uno de los ángulos de un par vertical
(ángulos opuestos por el vértice)
mide 128. Encontrar la medida de
los otros tres ángulos que se forman.
37. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas
coplanares, tales que AOB=COD
y BOC=DOA. Demostrar que
tanto OA y OC como OB y OD, son
semirrectas opuestas.
38. Cuatro semirrectas consecutivas
OA, OB, OC y OD forman ángulos
tales que DOA=COB=2AOB y
COD = 3 AOB. Calcular las
medidas de tales ángulos y
demostrar que las bisectrices de
AOB y COD están en línea recta.
39. Sean OX y OY las bisectrices de
dos ángulos agudos adyacentes AOB y
BOC, tales que AOBBOC=36.
Sea OZ la bisectriz del XOY.
Calcular el ángulo que hace OZ con:
a. La semirrecta OB.
b. La bisectriz OK del AOC.
44

45. 40. Las semirrectas OA y OB forman
con la semirrecta OX los ángulos  y
. Probar que la bisectriz OC del AOB
forma con OX un ángulo (+) / 2 con
>
41. Sean OX y OY semirrectas
opuestas. En un mismo semiplano se
trazan las semirrectas OA y OB y las
bisectrices de los ángulos XOA,
AOB y BOY. Calcular las medidas
de los ángulos, cuando la bisectriz del
ángulo AOB es perpendicular a la
recta XY y si las bisectrices de los
ángulos extremos forman un ángulo de
100.
42. Las semirrectas consecutivas OA,
OB, OC y OD forman cuatro ángulos
adyacentes consecutivos que son entre
sí como 1, 2, 3, 4. Calcular dichos
ángulos y los ángulos adyacentes
consecutivos formados por sus
bisectrices.
43. Dados A-B-C tal que M es punto
medio de BC. Demostrar que
AM = (AB+AC)/2
44. Las semirrectas consecutivas OA,
OB, OC, OD y OE forman cinco
ángulos adyacentes consecutivos.
Calcular dichos ángulos si los cuatro
primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4
y además OD es la prolongación de la
bisectriz del AOB.
45. Dados los puntos O-A-B-C tales
que
(AB/3) = (BC/4). Demostrar que:
OB = (4 OA+ 3 OC)/7
46. Sean A-B-C-D tales que M punto
medio de AB, N punto medio de CD.
Demostrar que:
MN = (AC + BD)/2
47. Dados los puntos O-A-B-C tales
que
(AB/m) = (BC/n). Demostrar que:
OB = (n OA+ m OC)/(n + m)
48. Dados los puntos P,Q,O,R y S
colineales con O punto medio de PS y
QR demostrar que PR es congruente
con QS
49. Sean A-B-C y D-H-E tales que
AB=DH y BC=HE demostrar que AC=DE
45

46. EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS
1. En un ABC equilátero, sobre cada
lado a partir del vértice y en el
mismo sentido, se toman A', B' y C'
con AA'=BB'=CC'. Probar que el
A'B'C' es equilátero.
2. En un  ABC equilátero, a partir de
cada vértice en el mismo sentido, se
prolongan los lados de modo que
AA'=BB'=CC'. Probar que el
A'B'C' es equilátero.
3. En un ABC isósceles de base BC, se
trazan las bisectrices de los ángulos
B y C, las cuales se cortan en I.
Probar que el BIC es isósceles.
4. En un ABC isósceles de base BC, se
trazan las medianas relativas a los
lados AB y AC, las cuales se cortan
en G. Probar que el BGC es
isósceles.
5. En un ABC isósceles de base BC, se
toman sobre las prolongaciones de
los lados BA y CA los puntos E y D
con AE=AD:
a. Probar que DAB=EAC.
b. Se toman B' y C' sobre AB y AC
tales que AB'=AC' y se trazan B'C y
C'B que se cortan en O. Probar que
BOB'=COC'.
c. Probar que la recta AO pasa por
el punto medio de BC.
6. Desde un punto A sobre el lado OX
del XOY, se traza AB
perpendicular a la bisectriz OZ, con
B sobre OY. Probar que AB forma
ángulos congruentes con los lados
del XOY.
7. Sobre los lados AB y AC de un
ABC isósceles de base BC, se
toman los puntos E y F tales que
AE = AF y se unen con el pie H de la
altura relativa a la base. Demostrar
que EHA=FHA y EFH=FEH.
8. En un ABC isósceles de base BC,
se traza la secante BD con D sobre
AC. Probar que DC < BD.
9. En un ABC rectángulo en A, se
traza la bisectriz CD del C, con D
sobre AB. Probar que DB > DA.
10. Si dos lados de un triángulo miden 2
m y 9 m, hallar el mayor tercer lado
posible cuya medida sea un número
entero.
11. Sean a, b reales positivos, con a >
b. ¿Cuál otra condición deben
cumplir para que sean las medidas de
los lados de un triángulo isósceles?.
12. En un ABC se traza la mediana AM
y se prolonga hasta D con AM=MD.
a. Probar que BD=CA.
b. Deducir que la mediana es menor
que la semisuma de los lados que
parten desde el mismo vértice que
ella.
46

47. 13. Dados una recta y dos puntos
situados en el mismo semiplano con
respecto a ella, encontrar el camino
más corto entre los dos puntos y que
pase por la recta dada.
14. Dados un ángulo y dos puntos en su
interior, encontrar el camino más
corto entre los dos puntos y que
pase por los dos lados del ángulo.
15. Dados dos puntos y una recta,
encontrar sobre ella un punto que
equidiste de los puntos dados.
Intuitivamente analizar las posibles
alternativas.
16. Probar que la semirrecta opuesta a
la bisectriz de un ángulo es el lugar
geométrico de los puntos del plano
exteriores al ángulo, que equidistan
de los lados del ángulo.
17. En un XOY se toman A y B sobre
OX y OY. Se trazan las bisectrices
de los ángulos XAB y YBA que se
cortan en R. Probar que
ROA=ROB.
18. Encontrar un punto que a la vez
equidiste de dos puntos dados y
equidiste de dos rectas
concurrentes dadas.
19. Sea OM la bisectriz del XOY.
Sobre OX y OY se toman A y B con
OA=OB; se unen A y B con un punto
cualquiera C de la bisectriz. Probar
que OAC=OBC y AC=BC.
20. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY,
sobre OX y OY se toman A y B con
OA=OB; sobre OX' y OY' se toman
A' y B' con OA'=OB'. Probar que
A'B=AB' y OA'B=OB'A.
21. Dados dos triángulos ABC y
A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C'
y las medianas AM=A'M', probar que
los dos triángulos son congruentes.
22. Dados dos triángulos ABC y
A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C'
y las bisectrices BE=B'E', probar
que los dos triángulos son
congruentes.
23. Si dos triángulos isósceles tienen las
bases y las alturas relativas a ellas
respectivamente congruentes,
probar que los triángulos son
congruentes.
24. Si dos triángulos isósceles tienen
congruentes los ángulos opuestos a
las bases y las alturas relativas a
ellas, probar que los triángulos son
congruentes.
25. Dado un ángulo agudo XOY. Por O
y hacia el exterior se levantan
OX'OX y OY'OY. Se toman A, B,
C y D sobre OX, OX', OY y OY'
tales que OA=OB y OC=OD. Se
trazan AD y BC. Probar que
OAD=OBC y AD=BC.
26. Dos triángulos ABC y A'BC están
situados en distinto semiplano con
respecto a la recta BC, la cual es
bisectriz de los ángulos ABA' y
ACA'. Probar que:
a. ABC=A'BC.
b. Para todo punto M de BC, se cumple
que AM=A'M.
c. AA'BC
27. En un  ABC ( AB > AC), se traza la
bisectriz AD. Se traza la
47

48. semirrecta DE tal que ADE=ADC,
con E sobre AB. Probar que:
a. DE = DC y AE = AC.
b. AD es la mediatriz de EC.
28. Por el punto medio O de un segmento
AB se traza una recta cualquiera.
Desde A y B se trazan las
perpendiculares AC y BD a la recta.
Probar que AC=BD. ¿Cuál
propiedad tienen los vértices A y B
de un MAB con respecto a la
mediana relativa al lado AB?.
48
48

49. EJERCICIOS UNIDAD 4 – PARALELISMO
1. En un  XOY se traza su bisectriz OZ .
Por un punto A sobre el lado OX se traza
la paralela a OY , que corta a OZ en B.
Probar que el  AOB es isósceles.
2. En un  ABC se traza la bisectriz AD
del A. Por cualquier punto E sobre el
lado AB se traza la paralela a AD , que
corta a la prolongación de CA en F.
Demostrar que el AEF es isósceles.
3. En un  ABC se trazan las bisectrices del
B y del C que se cortan en un punto I.
Por I se traza DE ll BC , D sobre AB y E
sobre AC . Probar que:
a. DBI y ECI son isósceles.
b. Perímetro ADE = AB + AC.
4. En un  ABC se trazan las bisectrices de
los ángulos exteriores B y C, y la del  A
interior, que concurren en I. Por I se
traza DE ll BC , D y E respectivamente
sobre las prolongaciones de AB y AC .
Probar que DE = BD + CE
5. En un  ABC se prolongan los lados BA y
CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar
que B'C'll BC .
6. Probar que si dos ángulos agudos tienen
sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus bisectrices son paralelas.
7. Probar que si dos ángulos, uno agudo y
otro obtuso, tienen sus lados
respectivamente paralelos, entonces sus
bisectrices son perpendiculares.
8. Probar que dos ángulos agudos con sus
lados respectivamente perpendiculares,
tienen sus bisectrices perpendiculares.
9. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso
tienen sus lados respectivamente
Perpendiculares, entonces sus bisectrices
son paralelas.
10. En un  ABC, isósceles de base BC , se
toman sobre los lados iguales, las
longitudes iguales BM y CN . Demostrar
que MN ll BC .
11. Probar que la recta que une los pies de las
alturas iguales de un triángulo isósceles,
es paralela a la base.
12. Dado un punto P sobre una recta AB se
toman PM y PN de longitudes iguales, en
un mismo semiplano con respecto a la
recta AB y con igual inclinación con
respecto a ella. Probar que MN ll AB.
13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos
opuestos son rectos, entonces las
bisectrices de los otros dos ángulos son
paralelas.
14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que
AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados
opuestos prolongados se cortan en M y N.
Probar que MN ll BD .
15. Probar que en todo cuadrilátero convexo
la suma de las diagonales es mayor que la
suma de cada par de lados opuestos.
16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC
con el D interior mayor que un llano,
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50. probar que el ADC (exterior) es igual a
A + B + C (interiores).
17. En ABC, isósceles de base BC , se toma
un punto cualquiera P sobre BC , y por los
puntos medios M y N de los segmentos BP
y PC se trazan ME BC y NF BC , E
sobre AB y F sobre AC . Demostrar que
EPF = A.
18. Probar que en un triángulo rectángulo la
altura relativa a la hipotenusa divide al
ángulo recto en dos ángulos iguales a los
ángulos agudos del triángulo.
19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la
mediana relativas a la hipotenusa forman
un ángulo de 20°, hallar sus ángulos
agudos.
20. Si el ángulo entre las bisectrices de los
ángulos de la base de un triángulo
isósceles es igual al ángulo opuesto a la
base, ¿ cuánto mide cada uno de los
ángulos del triángulo ?.
21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo
de 30° entonces la mediana y la altura
relativas a la hipotenusa, dividen al ángulo
recto en tres ángulos iguales.
22. Sobre los lados OX y OY de un ángulo
recto, se toman los puntos A y B. Se
trazan las rectas AM y BN , (M sobre OY
, N sobre OX ), que forme cada una un
ángulo de 30° con un lado del ángulo recto
y que se corten en D. Demostrar que el
AND y el BMD son isósceles.
23. Probar que en todo triángulo rectángulo la
bisectriz del ángulo recto es bisectriz del
ángulo formado por la mediana y la altura
relativas a la hipotenusa. Construir un
triángulo rectángulo dadas las longitudes
de la altura y la bisectriz que parten del
vértice del ángulo recto.
24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto
es congruente con el cateto menor.
Construir un triángulo rectángulo que
cumpla esta propiedad, conociendo
únicamente la medida de la altura sobre la
hipotenusa.
25. Demostrar que las tres alturas de un
triángulo dividen a sus ángulos en ángulos
iguales dos a dos.
26. En un ABC se designan los ángulos por
2a, 2b y 2c. La bisectriz AE forma con
BC , dos ángulos adyacentes m y n, (m > n).
a. Probar que m - n = 2 b - 2 c
b. Se traza la altura AH sobre BC .
Probar que HAE = b – c
27. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar
los ángulos que forman:
a. Las alturas de dos en dos.
b. Las bisectrices de dos en dos.
28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la
altura AH relativa a BC , HD AB y
HE AC . Probar que:
a. DE=AH.
b. AM DE (M punto medio de BC )
29. En un  ABC, rectángulo en A, el B es
igual a 2/5 del ángulo recto, calcular los
ángulos que la hipotenusa forma con su
mediana y con la bisectriz del ángulo recto
30. En un ABC, rectángulo en A, AH es la
altura relativa a BC , HD AB , HE AC
y AM mediana. Prolongando EH y AM
se cortan en F. Se traza BF . Probar que
a. AHB=BFA
b. BF ll DE
c. Las rectas AH , BF y MN
concurren, (N punto medio de AB )
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51. 31. En un  ABD se tiene que B=2D. Se
traza la altura AH y se prolonga AB
hasta E con BE=BH. Se traza la recta EH
que corta a AD en F. Demostrar que:
FHD=FDH y FAH=AHF.
32. En un ABC, rectángulo en A, se
construye MAB=B, con M sobre BC .
Pruebe que AM=BM=CM.
33. En un ABC, isósceles de base BC , se
prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga
AB tal que BE=BC/2. Se traza la recta
EHF , con H punto medio de BC y F sobre
AD . Probar que:
a. ADB= 1/2 ABC
b. EA=HD
c. FA=FD=FH
d. Si BAC=58°, calcular el valor del
AFH y del ADB.
34. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se
traza la altura AH y se toma D sobre la
hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza
CE AD . Demostrar que BC es la
bisectriz del ACE.
35. En un  ABC, rectángulo en A, se
prolonga CA en una longitud igual a AD.
Por D se traza DH BC con H sobre BC
y cortando a la recta AB en G. Probar
que CG DB .
36. Encontrar con regla y compás los puntos
del plano que están a una distancia dada
de dos rectas secantes dadas.
37. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir
que las bisectrices de los ángulos iguales
sean perpendiculares? ¿Por qué?
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52. EJERCICIOS UNIDAD 5- CUADRILÁTEROS
1. En un ABC, se prolongan AB y AC
hasta M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se
traza MN . Probar que M=B y
N=C.
2. En un paralelogramo ABCD se prolongan
AB en BE=BC y AD en DF=DC.
a. Probar que DCF=BCE.
b. Demostrar que los puntos F, C y E
están alineados.
3. En un paralelogramo ABCD se trazan las
diagonales AC y BD que se cortan en O.
Demostrar que OAB=OCD.
4. En un paralelogramo, el segmento que une
los puntos medios de dos lados opuestos
tiene por punto medio al punto de corte
de las diagonales.
5. Sobre los lados de un XOY dado, se
toman los puntos A sobre OX y B sobre
OY tales que OA+OB=k (k longitud dada),
y se construye el paralelogramo OACB.
¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C
del paralelogramo ?.
6. Probar que en un triángulo isósceles la
suma de las distancias desde un punto P
de la base a los lados iguales es
constante. Usar esta propiedad para
hallar el lugar geométrico de los puntos
tales que la suma de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
7. Probar que en un triángulo isósceles la
diferencia de las distancias desde un
punto P sobre las prolongaciones de la
base a los dos lados iguales es constante.
Utilizar esta propiedad para hallar el
lugar geométrico de los puntos tales que
la diferencia de sus distancias a dos
rectas secantes dadas, sea igual a una
medida constante dada.
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