El documento define la paralelidad y perpendicularidad entre rectas a partir del análisis de sus pendientes. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, mientras que son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo determinar si rectas dadas son paralelas o perpendiculares.

1. Paralelismo y Perpendicularidad
Definición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas a partir del análisis de sus pendientes.
Paralelismo. Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante y por lo tanto, por
mucho que se propaguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán
paralelas si sus pendientes son iguales. Por lo tanto:
m1= m2 Condición de paralelismo
De la cual:
m1 = pendiente de la primer recta.
m2 = pendiente de la segunda recta.
Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos de 90º. En función
de sus pendientes, dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1,
Por lo tanto:
m1*m2 = -1 Condición de
perpendicularidad.
De la cual:
m1 = pendiente de la primer recta.
m2 = pendiente de la segunda recta.
Ejemplo. Se trazan dos segmentos en un plano, determina si son paralelos sabiendo que sus puntos
son:
Segmento AB A(3,4) B(-6,5)
Segmento CD C(8,2) D (-10,4)

2. Grafica que representa las rectas:
Obtenemos las pendientes de las rectas:
Concluimos que m1=m2 y que por lo tanto se trata de rectas paralelas.
Ejemplo. Determina si el segmento , cuyos puntos son: A(1,3) B(5,2) es perpendicular al
segmento cuyas coordenadas son C(4,4) y D(3,0)

3. Obtenemos las pendientes de las rectas:
Gráfica que representa dos rectas perpendiculares

5. Plano Cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano,
a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.

6. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse,
las cuales forman parte de la geometría analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René
Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar
este sistema de coordenadas.
Elementos del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes
coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te
explicamos cada uno.

7. Ejes coordenados
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se conectan en
un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.
 Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la
letra “x”.
 Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la
letra “y”.
Ver también Horizontal y Vertical

8. Origen o punto 0
Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” e “y”, punto al cual se
le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero
(punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa
de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo,
mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento
ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es
negativo.

9. Cuadrantes del plano cartesiano
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos
rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos
cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
 Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
 Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
 Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
 Cuadrante IV: la abscisa es positiva y la ordenada negativa.
También te puede interesar: Geometría analítica.
Coordenadas del plano cartesiano
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano.
Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor
al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:

10.  P = punto en el plano;
 x = eje de la abscisa (horizontal);
 y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea
perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos
proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una
proyección del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un
número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.
Por ejemplo,
En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
 cuadrante I, P (2, 3);
 cuadrante II, P (-3, 1);

11.  cuadrante III, P (-3, -1) y
 cuadrante IV, P (3, -2).
Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas
coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular
desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada.
La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del
punto.
Por ejemplo,
En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el cuadrante I del
plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje de las
ordenadas (segmento ascendente).
P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadrante III del plano. El -
3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al eje de las
ordenadas (segmento descendente).

12. Pendiente de una recta
Considera la recta de la siguiente figura. La pendiente de la recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje . En otras palabras, si es
el ángulo entre la recta y el eje , entonces la pendiente es .

13. La pendiente se suele denotar utilizando la . Algunas fórmulas para calcular la pendiente
son las siguientes:
1 Pendiente dado el ángulo
Si ya conocemos el ángulo que se forma entre la recta y el eje positivo, entonces la
pendiente se calcula mediante:

14. 2 Pendiente dado el vector director de la recta
La recta se puede definir por medio de un vector-dirección y un
punto (que está en la recta). Esta manera de definir una recta se conoce
como ecuación paramétrica de la recta. En este caso, la pendiente se obtiene utilizando:
Observemos que la pendiente no depende del punto; únicamente depende del vector
director.
3 Pendiente dados dos puntos
Recordemos que la tangente del ángulo de un triángulo rectángulo se define
como , donde es la longitud del cateto opuesto y es la longitud
del cateto adyacente.
De este modo, si miramos la imagen del principio, podemos ver
que y . Sustituyendo, tenemos que,

15. Así, la pendiente de la recta que pasa por los
puntos y se calcula mediante:
Interpretación de la pendiente
Observemos la siguiente figura donde el ángulo está entre y —es decir,
el ángulo es agudo—.

16. Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje es agudo, entonces la
pendiente es positiva e incrementa al crecer el ángulo —siempre que el ángulo se mantenga
menor a —. Intuitivamente, la pendiente mide "qué tan inclinada" está la recta: una
pendiente grande significa que la recta está muy inclinada hacia arriba.
Ahora observa la siguiente figura donde el ángulo es mayor a , pero menor
a .
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje es obtuso —mayor
a , pero menor a —, la pendiente es negativa y tiende a cuando crece
el ángulo. Igualmente, una pendiente negativa también mide qué tan inclinada está
la recta; sin embargo, en este caso una pendiente negativa muy grande indica que
la recta se encuentra muy inclinada "hacia abajo".
Ecuación punto-pendiente de la recta

17. Ahora vamos a obtener la ecuación punto-pendiente de la recta. Se puede empezar desde
distintas ecuaciones de la recta, nosotros empezaremos de la ecuación continua (o normal)
de la recta —donde es un punto que está en la recta y es el
vector director,
Multiplicando ambos lados por , obtenemos,
Luego, como,
Entonces, se obtiene:
La cual se conoce como ecuación punto-pendiente de la recta.

18. Nota: Para calcular la ecuación punto-pendiente de la recta siempre necesitamos
un punto y la pendiente (la cual se puede calcular utilizando
cualquiera de las formas que describimos al principio).
Elementos de la ecuación de la línea recta
Para la ecuación de una línea recta , los elementos se conocen como: * m es un coeficiente
que significa la pendiente de la recta * b es un coeficiente que significa la intersección con
las ordenadas
Ecuación de la línea recta
Para escribir la ecuación de la línea recta existen dos opciones: * Punto y pendiente
Digamos que contamos con el valor de la pendiente m y un punto P(x1, y1) que pasa por la
recta. Entonces, la ecuación de la recta es igual a:
* Dos puntos Digamos que ahora contamos con dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), que pasan
por la recta. Entonces, la ecuación de la recta es igual a:
Ejemplo
Teniendo los puntos A(-4,-2) y B(5,3), proponga la ecuación de la línea recta.

19. ANGULO ENTRE 2 RECTAS
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas.

20. Se puede obtener a partir de:
1 Sus vectores directores.
Si consideramos a los vectores y como los vectores
directores de las rectas y respectivamente, entonces el coseno del ángulo que
forman las rectas es:
2Las pendientes de las rectas.
Si es la pendiente de la recta y la pendiente de la recta , entonces
podemos ocupar la siguiente fórmula para encontrar la tangente del ángulo
comprendido entre las rectas, y en consecuencia el ángulo:
Si , significa que ambas rectas son perpendiculares

21. Ejemplos
1 Calcular el ángulo que forman las rectas y
sabiendo que sus vectores directores son: y .
Primero calculemos el coseno del ángulo:
ahora, ya podemos calcular el ángulo solicitado
2 Dadas las rectas y
determinar para que formen un ángulo de .
Primero tomemos en cuenta que si nos dan a una recta de referencia y nos piden encontrar a
otra que se encuentre a , significa que estamos buscando a dos posibles, ya que los
grados se pueden formar tanto en el sentido del reloj como el contrario, en otras palabras
analizaremos los dos casos: y
Primero llevemos a la forma pendiente-ordenada al origen a cada una de las dos rectas

22. , significa que
, significa que
y entonces, ya que tenemos a ambas pendientes establecemos la primer ecuación, basados
en que
teniendo así nuestro primer valor
Ahora veamos para el caso donde

23. llegando a nuestro segundo valor
TRAINGULO OBLICUANGULO
Un triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos,
En la resolución de triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y
del coseno.
Hay cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos:
1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes
elementos.

24. 2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes
elementos.

25. 3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:
1. sen B > 1. No hay solución.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

26. Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución.
La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3. sen B < 1. Una o dos soluciones

27. Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
4º. Conociendo los tres lados

28. Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
EL CIRCULO TRIGONOMÉTRICO
Definición de circulo trigonométrico
El circulo unitario es el circulo con radio igual a 1, que se utiliza para graficar y proyectar
los valores de las funciones trigonométricas.

29. PROCEDIMIENTO PARA UTILIZAR EL CIRCULO
TRIGONOMÉTRICO
1.-En este círculo comenzamos a formar los ángulos a calcular, moviendo el punto que
comienza en el eje x en (1, 0), en sentido contrario a las manecillas del reloj, sobre el
círculo.
2.-Cuando obtenemos el ángulo deseado, trazamos una línea imaginaria del punto en el
círculo hacia el eje x en línea vertical. Con esto, estamos formando un triángulo rectángulo,
utilizando una parte del eje x como un lado y el radio que se mueve como la hipotenusa.
3.-Asi que, en cada punto de la circunferencia, se puede formar un triángulo rectángulo
imaginario, solo con proyectar una línea vertical desde donde este el punto hacia el eje x.
4.-Como ya conocemos las razones trigonométricas, las aplicamos al triangulo que hemos
formado:
De esta manera:
El seno del ángulo formado es igual a:
Sen θ = Cateto Opuesto / hipotenusa

30. Pero como la hipotenusa es igual al radio en círculo unitario y hemos definido que vale 1.
Entonces:
“Sen θ = Cateto Opuesto”
El coseno del ángulo formado es igual a:
Cos θ = Cateto Adyacente / hipotenusa
Pero como hipotenusa vale 1:
“Cos θ = Cateto Adyacente”
Con esto podrás darte cuenta que, si el ángulo lo haces muy pequeño, hasta llegar a 0, el
valor del seno será también 0, y el valor del coseno será 1, el valor del radio.
Y si elevas el ángulo hasta llegar a 900
, el coseno será cero, ya que no tendrá proyección
sobre el eje x, y el valor del seno del ángulo será 1, el valor del radio.
También podrás deducir el valor de los senos y los cosenos en los ángulos: 0, 90, 180, 270
y 360. Solo se tiene que considerar la proyección sobre el eje “x” o “y” y si es del lado
negativo o positivo de los ejes.
Una vez que se han definido las razones de seno y coseno en el círculo unitario, se obtienen
las demás razones trigonométricas:

31. Ecuaciones y graficas de la circunferencia
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto de la circunferencia satisface
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:

32. La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener
la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
Consideramos los siguientes cambios:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado
por:

33. y el radio satisface que:
Es importante notar que la ecuación
debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
2 No hay ningún término (es decir, y no se multiplican).
3 y tienen coeficiente 1.
Nota: que en caso de que y tengan coeficiente distinto a 1, entonces ambos deben
tener el mismo coeficiente. De esta forma, podemos dividir la ecuación por este coeficiente
para obtener la ecuación general de la circunferencia.

34. Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el origen de las coordenadas, entonces
la ecuación de la circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a
la cual se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.
Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de una parábola
Se puede representar una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:

35. 2. Puntos de corte con el eje OX.
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY.
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c (0,c)
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3
1. Vértice
xv = - (-4) / 2 = 2 yv = 2² - 4· 2 + 3 = -1
V(2, -1)

36. 2. Puntos de corte con el eje OX.
x² - 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 3)
Traslaciones de parábolas
También podemos representar parábolas a partir de las traslaciones de la función: y =
x².
x y = x²
-2 4
-1 1
0 0

37. 1 1
2 4
1. Traslación vertical
y = x² + k
Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.
Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
y = x² +2 y = x² -2

38. 2. Traslación horizontal
y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola es: (-h, 0).
El eje de simetría es x = -h.
y = (x + 2)²y = (x - 2)²
3. Traslación oblicua
y = (x + h)² + k
El vértice de la parábola es: (-h, k).
El eje de simetría es x = -h.

39. y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2
Ecuación reducida de eje horizontal de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como
ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
y . Además cualquier punto sobre la elipse cumple que
.

40. Notemos que dicha expresión es equivalente a
.
Al desarrollar esta última expresión y resolviendo, tenemos que es equivalente a
.
en donde , como podemos observar en la imagen previa.
Ejemplo:Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de
focos: y , y su eje mayor mide .
Solución
Ecuación de eje horizontal de la elipse
Si el centro de la elipse y el eje principal es paralelo al eje de las abscisas
(eje ), los focos tienen de coordenadas y . Y la
ecuación canónica de la elipse será

41. en donde y son los semiejes mayor y menor respectivamente. Al quitar denominadores
y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

42. Donde y tienen el mismo signo. A esta última fórmula se le conoce como ecuación
general de la elipse.
Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco , de
vértice y de centro .
Solución
Ejemplo: Hallar el centro, semiejes, vértices y focos de la elipse de ecuación
Solución
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principal está sobre el eje de las ordenadas, se obtendrá la siguiente ecuación:

43. En donde las coordenadas de los focos son y .
Ejemplo: Hallar las coordenadas de los vértices, focos y la excentricidad de la elipse con
ecuación reducida
Solución
Ecuación de eje vertical de la elipse

44. En general, si el centro de la elipse es (puede ser el origen o no) y el eje
principal es paralelo al eje de las ordenadas ( ), entonces los focos tienen
coordenadas y y la ecuación de la elipse será:
Ejercicios
1 Dadas las ecuaciones generales de las siguientes elipses, escríbelas en forma canónica (o
reducida), obtén las coordenadas de sus focos, vértices, calcula sus excentricidades y
represéntalas gráficamente.
a
b
c
d
Solución
2 Hallar la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos:
a
b
c

45. d
Fórmulas de la ecuación de la hipérbola
Empezaremos estudiando los elementos que componen a la hipérbola
Primero notemos que la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a
los focos de la hipérbola es
También del triángulo rectángulo formado por los punto , y el origen , se tiene que
De lo anterior obtenemos los parámetros de la hipérbola usando las magnitudes , y .
1 Excentricidad
2 Asíntotas

46. 3 Ecuación reducida de la hipérbola
F'(-c,0) y F(c,0)
4 Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY
F'(0, -c) y F(0, c)
5 Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen
Más general dicha ecuación se ve de la siguiente manera,
Donde y tienen signos opuestos.

47. 6 Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen
Ecuación de la hipérbola equilátera
En el caso equilátero tenemos que y por lo tanto la ecuación esta dada por
Y sus parámetros estan dados por
1 Asíntotas
2 Excentricidad
3 Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

48. ¿Qué es una sucesión?
Es un conjunto ordenado de elementos que pueden ser números, letras o figuras o
una combinación de las anteriores. Estos elementos se caracterizan por seguir
una regla de formación y lo que buscaremos en
cada uno de los ejercicios es encontrar esa regla de formación.
¿Qué son sucesiones numéricas?
Las sucesiones numéricas, son todos los conjuntos numéricos, cuyos
términos obedecen a una ley de formación que nos permite
determinar el término que continúa. Denominándose a los
elementos de este conjunto “términos de la sucesión”.
Ejemplo:
¿Qué es una ley de formación?
Es el patrón que se va establecer dentro de la sucesión numérica, para determinar
de que forma va creciendo o decreciendo, este lo podemos encontrar comparando
uno de los términos con el anterior.
En el ejemplo anterior, al momento de realizar la comparación, se puede apreciar
que la ley de formación sería x2; x3; x4; x5.

49. Por lo tanto, la respuesta sería: 480 x 6 = 2880
¿Cómo resolver sucesiones numéricas?
Lo primero será, encontrar el patrón de formación en la secuencia mostrada.
Las formas para hacerlo, pueden ser muchas, pero se estila realizar algunas
pruebas empezando por una suma si es que la sucesión va creciendo o por medio
de una diferencia si es que estuviera decreciendo.
Para explicarlo mejor, vamos a segmentar los tipos de sucesiones numéricas que
existen:
Sucesiones numéricas aritméticas
Son aquellas en donde la ley de formación se encuentra, por medio de una suma
o una resta.
Ejemplo:
Sucesiones numéricas geométricas
Son aquellas en donde la ley de formación, la podemos encontrar mediante una
multiplicación o división de dos cantidades.
Ejemplo:

50. Sucesiones numéricas combinadas
Son aquellas en donde intervienen una mezcla de las dos anteriores, no
solamente se puede tener como ley de formación una sucesión aritmética, sino
adicionarle la geométrica tambien.
Ejemplo:
Cuales son las sucesiones numéricas

51. Sucesiones numéricas ejemplos
Ejemplo 1
En el siguiente conjunto ordenado de números: 1; 3; 5; 7; 9; …..
Determinar el número que continúa:
Solución:
En efecto, si aumentamos dos unidades a cada uno de los números, obtendremos
el siguiente arreglo.

52. Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen
un orden y se les nombra del modo siguiente:
1: primer término
3: segundo término
5: tercer término
7: cuarto término, etc.
Por lo tanto, el número que continúa es 11.
Ejemplo 2
Halla el término que continua en: 5; 7; 10; 14; …
Solución:
Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se
muestra a continuación:
Por lo tanto el número que sigue deberá ser: 14 + 5; esto es 19.
Ejemplo 3
Halla el valor de P + Q en:

53. Solución:
Sucesiones de figuras
Completamiento con patrones regulares y errores
Las sucesiones de figuras son un conjunto de cambios de posición o de forma que deberemos
ubicar para conocer el siguiente paso de la sucesión, al igual que en las sucesiones antes vista
existirá un patrón.
CONSEJOS
 Observa muy bien las figuras
 Identifica si el cambio de la figura es en su POSICIÓN o su forma y escoge el
sentido que lleva la misma.
EJERCICIO CON SOLUCIÓN

54. En este primer caso podemos observar que conforme la sucesión de figuras avanza hacia la
derecha el triangulo se hace mas pequeño mientras que el circulo se hace mas grande por lo tanto
la opción correcta es la b.
Mientras la sucesión avanza hacia la derecha podemos observar que las figuras van perdiendo una
linea, por lo tanto, la opción correcta es la b.
Mientras la sucesión avanza hacia la derecha la figura esta rotando en contra de las manecillas del
reloj mientras que las flechas alternan entre apuntar hacia la dirección de la bolita central y apuntar
hacia la dirección contraria de la misma, a simple vista la opción a y b podrían ser correctas pero al
tomar en cuanta la orientación de las flechas nos quedamos con que la opción correcta sera la B
Sucesiones alfanuméricas
Completamiento con patrones
regulares y errores
Las sucesiones numéricas son un conjunto ordenado de números y letras. Las sucesiones
van tener una ley de formación de sus elementos el verdadero reto sera encontrarla.

55. CONSEJOS
 Te recomiendo que escribas el cambio que existe entre los elementos de la
SUCESIÓN para ubicar de manera mas FÁCIL el PATRÓN.
 Si no encuentras un PATRÓN escribe el cambio que existe entre los elementos
de la primera SUCESIÓN que ya HABÍAS anotado(normalmente esto solo ocurre
en SUCESIONES NUMÉRICAS).
 Si aun no encuentras la RAZÓN de cambio busca otras alternativas mas
complejas como NÚMEROS primos, RAÍCES cuadradas, cuadrados, entre otros.
 Mira las letras y los NÚMEROS como dos entes distintos
EJERCICIO CON SOLUCIÓN
En este caso las letras van escalando tres lugares a la vez según el orden alfabético mientras que
los números de la segunda sucesión van subiendo de dos en dos para posteriormente sumarse
con los números de la primera sucesión.
En este caso las letras van retrocediendo dos lugares a la vez según el orden alfabético mientras

56. que los números de la segunda sucesión aumentan de uno en uno para posteriormente sumarse
con los números de la primera sucesión.
Dominio y contradominio de una función (con ejemplos)
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Los conceptos de dominio y contradominio de una función son
enseñados comúnmente en los cursos de cálculo que se imparten al
comienzo de las carreras universitarias.
Antes de definir el dominio y el contradominio se debe saber qué es una
función. Una función f es una ley (regla) de correspondencia hecha entre
los elementos de dos conjuntos.
Al conjunto del cual se escogen los elementos se le llama dominio de la
función, y al conjunto al cual son enviados estos elementos a través de f
se le llama contradominio.
En matemáticas una función con dominio A y contradominio B es
denotada por la expresión f : A → B.

57. La expresión anterior dice que los elementos del conjunto A son enviados
al conjunto B siguiendo la ley de correspondencia f.
Una función asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento
del conjunto B.
Dominio y contradominio
Dada una función real de una variable real f(x), se tiene que el dominio
de la función serán todos aquellos números reales tales que, cuando se
evalúan en f, el resultado es un número real.
Generalmente, el contradominio de una función es el conjunto de los
números reales R. Al contradominio también se le llama conjunto de
llegada o codominio de la función f.
¿El contradominio de una función siempre es R?
No. Mientras no se estudie en detalle la función, se suele tomar como
contradominio el conjunto de los números reales R.
Pero una vez estudiada la función, se puede tomar un conjunto más
adecuado como contradominio, el cual será un subconjunto de R.
El conjunto adecuado que se mencionó en el párrafo anterior coincide
con la imagen de la función.
Puede servirte: Secciones cónicas: tipos, aplicaciones, ejemplos
La definición de la imagen o rango de una función f hace referencia a
todos los valores que provienen de evaluar un elemento del dominio en f.
Ejemplos de dominio y contradominio
En los siguientes ejemplos se ilustra cómo calcular el dominio de una
función y su imagen.
Ejemplo 1
Sea f una función real definida por f(x)=2.

58. El dominio de f son todos los números reales tales que, al evaluarlos en f,
el resultado es un número real. El contradominio por el momento es igual
a R.
Como la función dada es constante (siempre igual a 2), se tiene que no
importa qué número real se escoja, ya que al evaluarlo en f el resultado
siempre será igual a 2, el cual es un número real.
Por lo tanto, el dominio de la función dada son todos los números reales;
es decir, A=R.
Ahora que ya es sabido que el resultado de la función siempre es igual a
2, se tiene que la imagen de la función es solo el número 2, por lo tanto
el contradominio de la función puede ser redefinido como B=Img(f)={2}.
Por lo tanto, f : R → {2}.
Ejemplo 2
Sea g una función real definida por g(x)=√x.
Mientras no se conozca la imagen de g, el contradominio de g es B=R.

59. Con esta función se debe tener tomar en cuenta que las raíces
cuadradas solo están definidas para números no negativos; es decir,
para números mayores o iguales que cero. Por ejemplo, √-1 no es un
número real.
Por lo tanto, el dominio de la función g deben ser todos los números
mayores o iguales que cero; esto es, x ≥ 0.
Puede servirte: Transformaciones lineales: propiedades, para qué sirven, tipos,
ejemplos
Por lo tanto, A=[0,+∞).
Para calcular el rango se debe notar que cualquier resultado de g(x), por
ser una raíz cuadrada, siempre será mayor o igual que cero. Es
decir, B=[0,+∞).
En conclusión, g : [0,+∞)→[0,+∞).

60. Ejemplo 3
Si se tiene la función h(x)=1/(x-1), se tiene que esta función no está
definida para x=1, puesto que en el denominador se obtendría cero y la
división por cero no está definida.
Por otro lado, para cualquier otro valor real el resultado será un número
real. Por lo tanto, el dominio son todos los reales excepto el uno; es
decir, A=R{1}.
Del mismo modo se puede observar que el único valor que no puede
obtenerse como resultado es el 0, puesto que para que una fracción sea
igual a cero el numerador debe ser cero.
Por lo tanto, la imagen de la función es el conjunto de todos los reales
excepto el cero, entonces se toma como contradominio B=R{0}.
En conclusión, h : R{1}→R{0}.

61. TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES EN PROBLEMAS
Tabulación se refiere al hecho de calcular valores parciales para una función y compararlos
en una tabla, de ahí el nombre de tabular.
El método general para gráficar cualquier función es el de tabulación. Consiste en dar valores a la
variable x y con ellos calcular los correspondientes a la variable y, los cuales se van anotando en
una tabla.
Después se localiza en el plano cartesiano cada punto tabulado así y se unen para obtener la
forma de la gráfica buscada.
Por ejemplo, para graficar y= −2x-1, dando valores a la x de - 2, - 1, 0, 1, 2 y 3 se construye la
siguiente tabla:
Y llevando esos puntos al plano cartesiano se obtiene la recta de la figura siguiente:

62. De igual forma, para graficar y= x2 −10 x + 24, dando valores a la x, por ejemplo de x = 2 se
obtiene para la y
y = (2)2-10 (2)+24
y= 8
Repitiendo el procedimiento para valores de x de : 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y concentrando los valores en
una tabla:
Estos puntos localizados en el plano cartesiano dan la siguiente figura:

63. y uniéndolos se llega a la parábola que se muestra en la figura siguiente:
Límite de una función
Aquí encontrarás qué son los límites de funciones y cómo se calculan todos los
tipos de límites. Y no solo verás qué significa el límite de una función, sino que
también te explicamos para qué se usan. Además, podrás practicar con ejercicios
resueltos paso a paso de límites de funciones.
Índice
 ¿Qué es el límite de una función?
 Cómo calcular el límite de una función
 Límites laterales de una función
 Límite de una función definida a trozos
 Límite de una función en el infinito
 Límites indeterminados
 ¿Para qué sirven los límites de funciones?
 Ejercicios resueltos de límites de funciones
¿Qué es el límite de una función?
En matemáticas, el límite de una función en un punto es el valor al cual se
aproxima la función cuando x se acerca a ese punto.
El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente
notación:

64. La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a es
igual a b.
Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el
siguiente límite:
Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir
calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2:

65. 1. Cómo sumar o restar varios porcent...
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Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando
valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite
de la función cuando x tiende a 2 es 1.
A continuación puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes
comprobar, la función se acerca a 1 cuando x se aproxima a 2.

68. Fíjate en la gráfica que la función se acerca al mismo valor independientemente de
si nos acercamos por la izquierda o por la derecha. Más abajo profundizaremos
más sobre este concepto de los límites.
Cómo calcular el límite de una función
Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que
sustituir el valor de ese punto en la función.
Por ejemplo, si queremos resolver el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente
función, debemos sustituir las x de la función por 3:

69. Más ejemplos de cálculos de límites de funciones:





Límites laterales de una función
Una vez hemos visto la definición de límite de una función, vamos a analizar el
concepto de límites laterales. Existen dos tipos de límites laterales: el límite lateral
por la izquierda y el límite lateral por la derecha.
El límite lateral de la función por la izquierda se expresa con un signo menos en el
punto donde se analiza el límite y, por otro lado, el límite lateral por la derecha se
indica con el signo más.
Límite lateral por la izquierda
Límite lateral por la derecha
Fíjate en el siguiente ejemplo para entender mejor el significado de los límites
laterales:

70. Como puedes ver en la representación gráfica de esta función definida a trozos, los
límites laterales dependen del lado en el que se calculen.
En este caso, la función tiende a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, ya que la
función toma valores cada vez más próximos a 3 cuando x se aproxima a x=2 por
su izquierda.
En cambio, el límite lateral de la función en x=2 por la derecha vale 6. Porque si nos
acercamos al punto x=2 desde su derecha, la función va tomando valores cada vez
más cercanos a f(x)=6.
Límites laterales iguales
Acabamos de ver un ejemplo en el que los límites laterales de una función son
distintos, pero… ¿qué pasa si los límites laterales son iguales?
Si los dos límites laterales de una función en un punto existen y son iguales,
existe el límite de la función en dicho punto y el resultado del límite es el valor de
los límites laterales.
Es decir, para que exista el límite de una función en un punto, se debe cumplir la
siguiente condición:

71. Por lo tanto, si los límites laterales de una función en un punto son diferentes, el
límite de la función en ese punto no existe.
Vamos a resolver un ejemplo para acabar de comprender el concepto de límites
laterales:
Los límites laterales en el punto x=-2 de la función representada gráficamente
coinciden, ya que el valor de la función tiende a 3 indistintamente de si nos
aceramos a x=-2 por la izquierda o por la derecha. En consecuencia, el límite de la
función en x=-2 es igual a 3.
En cambio, en el punto x=4 los límites laterales son distintos, ya que por la
izquierda la función se aproxima a f(x)=3 pero por la derecha la función se
aproxima a f(x)=2. De modo que el límite de la función en este punto no existe.
Acabamos de ver cómo se determina el límite lateral de una función a partir de una
gráfica, sin embargo, calcular un límite lateral de forma numérica es más

72. complicado. Por eso te recomendamos que veas cómo se hace el cálculo de límites
laterales
Límite de una función definida a trozos
El cálculo del límite de una función definida a trozos en un punto depende de si
ese punto es el punto de ruptura o no:
 Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en un punto que no es el de
ruptura, se hace el cálculo del límite en el trozo de la función que corresponde a
ese punto.
 Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en el punto de ruptura, se
deben calcular los límites laterales en el punto de ruptura:
o Si los dos límites laterales coinciden con el mismo valor, ese es el valor del
límite de la función en el punto de ruptura.
o Si los dos límites laterales no coinciden, entonces el límite de la función en el
punto de ruptura no existe.
Veamos un ejemplo para entender mejor cómo se calcula el límite de una función
definida a trozos:
 Calcula los límites en los puntos x=1 y x=3 de la siguiente función definida a trozos:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, tenemos que usar la
primera función, ya que x=1 pertenece al intervalo x<3. Por tanto:
Así que el límite de la función cuando x tiende a 1 es 4.
En cambio, x=3 es el punto de ruptura de la función. Porque en ese punto la
función cambia de tramo.

73. Entonces, como x=3 es el punto de ruptura de la función, para hallar el límite de la
función cuando x tiende a 3 debemos calcular sus límites laterales :
De modo que el límite de cuando x tiende a 3 por la izquierda es 6. Y el
límite de cuando x tiende a 3 por la derecha también es 6. Por tanto, como
los dos límites laterales son iguales, el límite de la función cuando x tiende a 3 es 6:
Ahora veremos un ejemplo de cuando los límites laterales en el punto de ruptura
no coinciden:
 Calcula el límite cuando x tiende a 4 de la siguiente función definida a trozos:
x=4 es el punto de ruptura de la función, ya que en ese punto la función cambia de
tramo. Por tanto, debemos calcular los dos límites laterales de la función en ese
punto:
De modo que el límite de cuando x tiende a 4 por la izquierda es -5. Y el
límite de cuando x tiende a 5 por la derecha es 32. Por tanto, como los dos

74. límites laterales no coinciden, el límite de la función cuando x tiende a 4 no
existe:
Límite de una función en el infinito
El límite de una función cuando x tiende a infinito, ya sea positivo o negativo,
puede ser un valor real, más infinito, menos infinito o no existir.
Como puedes ver en el primer gráfico, la función representada tiende al valor
real k al infinito, porque se va acercando a k a medida que x va creciendo. La
función de arriba a la derecha tiende al más infinito cuando x tiende a infinito, ya
que crece indefinidamente al aumentar de valor la x. En cambio, la gráfica de abajo
a la izquierda decrece sin parar y por eso tiende a menos infinito. Finalmente, la

75. última función es periódica y no tiende a ningún valor, por lo tanto, no existe el
límite en el infinito en este caso.
Resolver este tipo de límites no es nada fácil, ya que se debe aplicar un
procedimiento previo. E, incluso, dependiendo de cómo sea el límite en el infinito,
este procedimiento varia. Para ver cómo se resuelven los límites en el infinito haz
click en el siguiente enlace:
➤ Ver: cómo resolver límites al infinito
Límites indeterminados
Las indeterminaciones, también llamadas formas indeterminadas, son
expresiones matemáticas que aparecen en el cálculo de límites de funciones cuyo
resultado no está definido.
Los diferentes tipos de indeterminaciones son las siguientes:
 Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)
 Indeterminación número entre cero (k/∞)
 Indeterminación cero entre cero (0/0)
 Indeterminación infinito entre infinito (∞/∞)
 Indeterminación 1 elevado a infinito (1∞
)
 Indeterminación cero elevado a cero (00
)
 Indeterminación cero por infinito (0·∞)
 Indeterminación cero elevado a infinito (0∞
)
 Indeterminación infinito elevado a cero (∞0
)
Es decir, cuando en el cálculo de un límite obtenemos una indeterminación de las
anteriores, no significa que el límite no exista o que no se pueda resolver, sino que
tendremos que hacer alguna modificación a la función para poder hallar la solución
del límite.
En el siguiente enlace puedes ver la explicación de cómo resolver todos los tipos
de indeterminaciones:
➤ Ver: cómo resolver las indeterminaciones

76. ¿Para qué sirven los límites de funciones?
Si has llegado hasta aquí seguro que ya tienes claro el significado de límite de una
función y cuándo existe el límite de una función. Pero… ¿para qué sirve el límite de
una función?
Pues bien, la principal aplicación de los límites de funciones es estudiar la
continuidad de una función, o en otras palabras, calcular el límite de una función
en un punto sirve para averiguar si dicha función es continua en ese punto o no.
Puedes ver cómo se hace en el siguiente enlace:
➤ Ver: continuidad de una función
Por otra parte, los límites también sirven para calcular las asíntotas de una función,
ya sea una asíntota vertical, una asíntota horizontal, o una asíntota oblicua. Si estás
más interesad@, puedes buscar en nuestra web cómo se calculan las asíntotas de
una función.
Definición y regla general de la
derivada
27 de noviembre de 2021 por Universidad de Guanajuato
Portada » Clase digital 10: Definición y regla general de la derivada

78. Definición y regla general de la derivada
Introducción
¡Hola!
¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en
este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos
seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla
general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.
Vamos a comenzar el tema medular del Cálculo Diferencial, la Derivada.
Alguna vez te habrás preguntado para qué servirán las expresiones
matemáticas que hemos visto en el transcurso de las clases. Las matemáticas
permiten crear modelos teóricos que sirven para explicar fenómenos de la
vida real. Podemos aplicar una derivada a esas funciones y determinar una
variación que tenga algún significado en algún proceso humano o natural.
¿Cómo es esto?
La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía,
es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen
pequeños cambios en la variable independiente. Mediante el estudio de
funciones y sus derivadas podríamos conocer:
 El contagio de un virus en función del tiempo.
 La variación del espacio en función del tiempo.
 El crecimiento de población humana en función del tiempo.
 El desgaste de un neumático en función del tiempo.
 El beneficio de una empresa en función del tiempo.
 La extinción de una especie animal en función del tiempo.
¿Se te ocurre algo más?
La derivada resulta fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana.
En este curso utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las

79. funciones. Estudiaremos los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los
máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y
convexidad, así como los puntos de inflexión. Veremos que las derivadas
también sirven para resolver problemas de optimización, es decir, conseguir
el valor óptimo de una función sujeta a ciertas condiciones.
Para adentrarnos a este tema empezaremos por comprender el concepto de
derivada y empezar a calcularlas por medio de la regla general de la
derivada, teoría base, para el resto del tema.
Empezamos. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que
necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la
excepción.
La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera
de las formas siguientes:
Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x). Además, las
derivadas sucesivas pueden expresarse de la siguiente forma:
La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como “El límite
cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x”, que en símbolos matemáticos
se expresa como: y’ = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera

80. derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una
variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.
Vamos a ver una gráfica que nos ayude a interpretar el concepto de derivada
de forma geométrica.
Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes
ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR
empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta
secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en
ángulo α tiende a ser β.
Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto
dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A
partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la
regla general de la derivación, veamos como:

81. De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:
ms = tanα.
Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que ms = ∆y / ∆x. Del mismo proceso
de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más
al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante
tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos
lo anterior así:
Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:
En donde:

82. f(x+∆x) es la función incrementada,
f(x) es la función original y
∆x es el incremento en x.
Vamos a obtener la primera derivada de diferentes funciones usando esta
regla general de la derivación.
Ejercicios: Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes
funciones aplicando la regla general de la derivación. Los que no están
resueltos, resuélvelos en la libreta y compara el resultado.
¿Alguna duda sobre el tema?
Conclusión

83. En resumen, en esta clase conocimos la interpretación geométrica de la
derivada. Aprendimos que, a partir de dos puntos en una curva, trazamos
una recta secante que nos permitirá trazar un triángulo cuyos catetos miden
∆x y ∆y. Al hacer cada vez más pequeño el valor ∆x, se observa que ∆y
también disminuye, y cuando ∆x tiende a cero, el punto superior de la
secante se traslapa en su movimiento con el punto fijo inferior, con lo cual la
secante pasa a ser una recta tangente, porque ahora solo se observa que
toca a la curva en un solo punto. Haciendo un análisis matemático de lo
anterior, se encuentra la definición de la pendiente tangente a la función que
se está estudiando.
La expresión se generaliza para obtener la primera derivada de la función:
Una definición generalizada de la derivada es la siguiente: La derivada es una
medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según
cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de
una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en
ese punto.
Hemos concluido la clase y como puedes notar has aprendido mucho
durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los
temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se
pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu
siguiente clase.
1.8.4 Reglas de derivación
A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se
van desarrollando las reglas de derivación.

84. La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una
constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn
es n xn-1
, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5
, aún no podemos derivar
la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de
expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la
constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>
f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4
) = 15x4

85. La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla
para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una
suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos
por separado. Entonces:
f(x)= 2x3
+ x
f '(x)= 6x2
+ 1
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones,
la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se
interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera,
por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la
primera".
f(x)= (4x + 1)(10x2
- 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2
- 5)
La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

86. f f 'g - fg'
[ ]' =
g g2
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda,
por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la
segunda) entre la segunda al cuadrado.
4x + 1
f(x) =
10x2
- 5
4(10x2
- 5) - 20x(4x + 1)
f '(x) =
(10x2
- 5)2
Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.
f(x) = sen(x)
f(x+h) - f(x) sen(h + x) - sen(x)

87. =
h h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
=
h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =Lim[ ] = cos(x)
h 0 h
Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.
f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x) f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec2
(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= -csc2
(x)
f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x) f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

88. La regla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten
encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4
, a menos
que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas.
Observa el siguiente ejemplo.
f(x) = (3x + 5)2
= 9x2
+ 30 x + 25
f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5)
f(x) = (3x + 5)3
= 27x3
+ 135x2
+ 225x + 125
f '(x) = 81 x2
+ 270x + 225 = 9(3x + 5)2
f(x) = (3x + 5)4
= 81x4
+ 540x3
+ 1350x2
+ 1500x + 625
f '(x) = 324x3
+ 1620x2
+ 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x) = (3x + 5)5
= 243x5
+ 2025x4
+ 6750x3
+ 11250x2
+ 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4
+ 8100x3
+ 20250x2
+ 22500x + 9375
= 15 (3x + 5)4
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene
la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un
factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la
función base.

89. Teorema 14: La derivada
de una potencia entera de
una función f.
Sea y=[f (x)]n
, entonces:
y'=n[f(x)](n-1)
f '(x)

90. Definición de la integral definida
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas
verticales x = a y x = b.

91. Se representa por .
 es el signo de integración.
 a es el límite inferior de la integración.
 b es el límite superior de la integración.
 es el integrando o función a integrar.
 es el diferencial de x y nos indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
Esta propiedad nos puede servir para no operar con signos negativos.
Ejemplo:
2 Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

92. En realidad, al tener el mismo límite de integración en ambos extremos no existe ningún
área a calcular, es por eso que la integral es igual a cero en este caso.
Ejemplo:
3 Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como
una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
Al estar el punto c entre a y b sobre el eje de las abcisas, el área limitada por el intervalo
[a,b] es la suma de las áreas limitadas por [a,c] y [c,d], lo mismo ocurre con el valor de la
integral.
Ejemplo:
Para 7 que pertenece al intervalo [3,10]
4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
Esta propiedad nos puede servir para no tener expresiones muy largas dentro de una misma
integral y así manipular y hacer cálculos más facilmente , o en el otro
caso, agrupar expresiones para un cálculo más cómodo.
Ejemplo:
Para y ,

93. 5 La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k
multiplicada por la integral de la función.
Esto es sacar la constante fuera de la integral.
Ejemplo:
Para la constante k=3
Ejemplo de aplicación
En éste ejemplo implementaremos las propiedades anteriores en una aplicación de la
integral en crecimiento poblacional, para una mejor visualización.
Una población crece con una tasa de individuos por año (donde es el número
de años). En el primer año la población es de 1500 personas.
¿Cuánto creció la población entre en primer y tercer año?, ¿Cuál es la población en el
tercer año?
1 Dado que nos pide el crecimiento de la población entre 1 y 3, es decir, el área bajo la
curva de la tasa de crecimiento entre 1 y 3, lo expresaremos como sigue:
Nota: los pasos siguientes son para ilustrar el uso de las propiedades, algunos de ellos
pueden ser omitidos.
2 Al hacer los cálculos, notemos que podemos usar la propiedad 4 y separamos en una
suma.

94. 3 También podemos utilizar la propiedad 5 y sacamos el la constante -3 que multiplica a t.
4 Dado que sustituimos y hacemos los cálculos que correspondientes para hallar
la respuesta a la primera pregunta:
Así el crecimiento entre el primer y tercer año fue de 33 individuos aproximadamente.
6 Para la segunda pregunta seguimos es siguiente razonamiento:
 En el año 1 la población era de 1000 individuos.
 El crecimiento entre el año 1 y 3 fue de 33 individuos aproximadamente.
 Así la población al en el año 3 es de 1033 individuos aproximadamente