guia

1. INSTITUTO TÉCNICO INDUSTRIAL PASCUAL BRAVO
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA
Prof.: Daniel Ramiro Osorio Villa
Matemáticas grado 11
Este documento es una guía didáctica, para su adecuada comprensión y desarrollo se debe tener
presente
 La CONSULTA es una herramienta fundamental
 El razonamiento lógico y la excelente lectura y comprensión.
 Las operaciones algebraicas básicas
 Los productos notables
 La factorización de polinomios
 La solución de ecuaciones
 La solución de sistemas de ecuaciones 2x2
 La definición de las funciones trigonométricas
 Debe tener un cuaderno únicamente para solucionar los talleres.
Conceptos básicos de la línea recta:
Recordemos que una línea recta se define como
una sucesión continua de puntos extendidos en
una sola dirección, luego, un segmento es una
parte de la recta, y está delimitado por dos puntos,
de manera que tiene un inicio y un final.
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO:
Si A (x1, y1) y B(x2, y2) son los puntos extremos de
un segmento, entonces las coordenadas del punto
medio 𝑀(𝒙
̅𝟏, 𝒚
̅𝟏)están determinadas por la
expresión:
𝒙
̅ =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
𝒚
̅ =
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL
PLANO CARTESIANO:
Dados los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) en un
plano cartesiano se puede obtener la distancia
entre ellos aplicando la fórmula:
𝐝(𝐀𝐁) = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)𝟐

2. EJEMPLOS:
1. Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son los puntos: P (-3, 4) y
Q (5, -2)
2. El extremo de un segmento es el punto A (-3, 7) y M (2,-4) es el punto medio. Determinar las coordenadas
del otro extremo.
TALLER 1: (en todos los casos dibuje el gráfico)
1. Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, 5), B (5, 5), C (0, 8). Determinar las longitudes de las
medidas del triángulo.
2. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es A (2, 6). Hallar las coordenadas
del otro extremo B.
3. Demuestre que las diagonales del paralelogramo cuyos vértices son los puntos A (-2, -3), B (5, -4), C (4,
1) y D (-3, 2) se cortan en el punto medio.
4. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos
medios de sus lados son A (-2, 1), B (5, 2) y C (2, -3).
5. Pruebe que el triángulo cuyos vértices son los puntos A (0,0), B (4, 0), C (0, -3) es un triángulo rectángulo.
6. Pruebe que los puntos A (0,0), B (5, 0), C (7, 4) y D (2, 4) son los vértices de un paralelogramo.
7. La distancia entre dos puntos es 13 unidades; las coordenadas de uno de los puntos son (0, 0).
Si la Ordenada del otro punto es 5 unidades, encuentre el valor de su abscisa. (dos posibilidades).
8. Si la distancia entre dos puntos es 25 unidades; las coordenadas de uno de los puntos son
(-8, -11). Si la abscisa del otro punto es 10 unidades, encuentre el valor de la ordenada. (dos
posibilidades).
DIRECCION Y PENDIENTE DE UNA RECTA
 El ángulo β de la figura anterior se denomina dirección o inclinación de la recta.
 El ángulo β está formado por la recta y el eje positivo X

3.  El ángulo β es un ángulo positivo menor que 180°
 En 1 la recta esta inclinada hacia la derecha, el ángulo 0°<β<90° y la pendiente m es
positiva, es decir m>0.
 En 2 la recta esta inclinada hacia la izquierda , el ángulo 90°<β<180° y la pendiente m es
negativa, es decir m<0 .
 En 3 la recta es paralela al eje X, por lo tanto, no forma ángulo con dicho eje y en consecuencia
m=0
 En 4 la recta perpendicular al eje X, el ángulo β=90° y la pendiente m no existe.
 Si P (x1, y1) y Q (x2, y2) son dos puntos cualesquiera de una recta r, entonces la pendiente de dicha
recta está dada por la expresión: 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 Si tenemos el valor del ángulo β entonces podemos hallar el valor de la pendiente con la expresión:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏𝜷
 Recuerde que si 𝒎 = 𝒕𝒂𝒏𝜷 ⇒ 𝜷 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏
(𝒎)
 Recordemos que dos rectas son paralelas si no se cortan o intersecan en un punto, en geometría
analítica utilizamos el siguiente concepto;
Dos rectas r1 y r2 son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, es decir:
𝒓𝟏 ∥ 𝒓𝟐 ⟺ 𝒎𝒓𝟏 = 𝒎𝒓𝟐
 Recordemos que dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90°, en geometría
analítica utilizamos el siguiente concepto;
Dos rectas r1 y r2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1, es decir:
𝒓𝟏 ⊥ 𝒓𝟐 ⟺ 𝒎𝒓𝟏. 𝒎𝒓𝟐 = −𝟏
EJEMPLOS:
1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3, 4) y Q (5, -2)
2. Demuestre que los puntos A (2, 3) , B (3, 5) y C (4, 7) son colineales.
3. Si la pendiente de una recta es 𝑚 = −
9
5
, hallar el valor de la inclinación.
4. Demuestre que los puntos A (1, 1) y B (5, 3) y C (6, -4) son los vértices de un triángulo isósceles y que
la mediana trazada sobre el lado desigual es perpendicular a éste.
TALLER 2: (en todos los casos dibuje el gráfico)
1. Hallar la pendiente y la dirección de la recta que pasa por los puntos A (-3, 2) y B (7, -3)
2. Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, -2), B (-1, 4) y C (4, 5). Calcular la pendiente de sus
lados
3. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos A (9, 2), B (11, 6), C (3, 5) y D (1, 1) son los
vértices de un paralelogramo.
4. Una recta tiene pendiente 3 y pasa por el punto A (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.
Hallar la ordenada.

4. 5. Una recta tiene pendiente -2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y
la abscisa de B es 6. ¿]Cuál es La abscisa de A y la ordenada de B?
6. Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A (-1, 4), B (1, -1), C (6, 1). Si la ordenada del
cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?
7. Por medio de pendientes, demuestre que los puntos A (6, -2), B (2, 1) y C (-2, 4) son colineales.
8. Una recta pasa por los puntos A (-2, -3) y B (4, 1). Si un punto de abscisa 10 también pertenece a la
recta, ¿cuál es el valor de la ordenada?
9. Demostrar que la recta que pasa por los puntos A (-2, 5) y B (4, 1) es perpendicular a la recta que pasa
los puntos C (-1, 1) y D (3, 7)
10. Una recta r pasa por los puntos A (3, 2) y B (-4, -6) y otra recta q pasa por el punto C (-7, 1) y por otro
punto D cuya ordenada es -6. Halla la abscisa del punto D, sabiendo que las rectas son
perpendiculares.
11. Demuestre que los puntos A (2, 5), B (8, -1) y C (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo.
12. Demuestre que los puntos A (2, 2), B (5, 6), C (9, 9) y D (6, 5) son los vértices de un rombo, que sus
diagonales son perpendiculares y que se cortan en el punto medio.
ECUACIONES DE LA LÍNEA RECTA
La ecuación de una línea recta se puede hallar a partir de los siguientes datos: Un punto y su pendiente, dos
puntos y un punto y un vector paralelo a la recta.
Ecuación de la recta punto- pendiente:
La ecuación de la recta que pasa por un punto A (X1, Y1) y tiene una pendiente dada m es:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
La recta que pasa por los puntos A (X1, Y1) y B (X2, Y2) tiene por ecuación:
𝒚 − 𝒚𝟏 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación de una recta paralela al eje Y:
Cuando una recta para por el punto (a, b) y es paralela al eje Y, entonces todos los puntos de la recta tienen
la misma abscisa “a”, por lo tanto:
𝒙 = 𝒂
Ecuación de una recta paralela al eje X:
Cuando una recta para por el punto (a, b) y es paralela al eje X, entonces todos los puntos de la recta tienen
la misma ordenada “b”, por lo tanto:
𝒚 = 𝒃
Ecuación de la recta de pendiente- intercepto:
La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en (0, b) está dada por la expresión:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

5. Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos que cortan los ejes:
Si una recta corta al eje X en A (a, 0) y al eje Y en B (0, b), entonces la ecuación esta dada por la expresión:
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
= 𝟏
Ecuación general de la línea recta:
Toda línea recta en el plano esta representada por una ecuación de general de la forma:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-5, -4) y B (8, 3)
2. Hallar la ecuación de la recta l que pasa por el punto A (2, -4) y es paralela a la recta r que pasa por los
puntos (-3, 7) y Q (5, -3)
3. Hallar la ecuación de la recta l que es perpendicular a la recta 3x-2y+6=0 y pasa por el punto donde la
recta 5x+4y=-8 corta el eje Y
4. Una recta pasa por el punto donde la recta 5x-2y+10=0 corta al eje X y por el punto donde la recta 3x-
2y=12 corta al eje Y. Hallar la ecuación de dicha recta.
5. Hallar el valor de m, de tal manera que la recta de ecuación: 2mx-3y+m=0 pase por el punto P (-2, 3)
TALLER 3:
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
 (-4, 3) y tiene pendiente 𝑚 =
1
2
 (2, 0) y tiene pendiente 𝑚 =
3
4
2. Halla la pendiente m y el intercepto con el eje Y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6
3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (7, 4) y B (-1, -2)
4. Hallar el valor de K de tal manera que:
 3kx+5y+k-2=0 pase por el punto (-1,4)
 4x-ky-7=0 tenga pendiente m=3
 kx-y=3k-6 corte al eje X a 5 unidades
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x-2y+10=0 y 4x+3y-
7=0 y por el punto (2, 1)
6. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta4x+y-1=0 que pase por el punto de intersección de
las rectas 2x-5y+3=0 y x-3y-7=0
7. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3, 2), hallar las ecuaciones de las
mediatrices y sus medidas
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x-5y+9=0 y 4x+7y-
28=0 y cumple con la condición siguiente:
 Es paralela a la recta 2x+3y-5=0
 Es perpendicular a la recta4x+5y-20=0
9. Demostrar que las recta 2x-y-1=0, x-8y+37=0, 2x-y-16=0 y x-8Y+7=0 forman un paralelogramo y hallar
las ecuaciones de sus diagonales.
10. Demostrar que las rectas 5x-y-6=0, x+5y-22=0, 5x-y-32=0 y x+5y+4=0 forman un cuadrado.

6. Distancia de un punto a una recta:
La distancia desde un punto P (x1, y1) a una recta Ax+By+C=0 esta dada por la expresión:
𝒅 =
|𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟏 + 𝑪|
√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐
EJEMPLOS:
1. Hallar la distancia del punto P (-3, 5) a la recta cuya ecuación es 5x-3y+1=0
2. El vértice de un triángulo son los puntos A (2, 5), B (-3, 6) y C (4, -3). Determinar la longitud de la altura
trazada desde C sobre el lado AB
3. Demostrar que las rectas l: 4x+5y-2=0 y r: 8x+10y+15=0 son paralelas y determinar la distancia entre
ellas.
TALLER 4:
1. Hallar la distancia d desde:
 La recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3)
 La recta 6x-8y+15=0 al punto (-1, 7)
2. Hallar el valor de K para que la distancia d de la recta 8x+15y+k=0 al punto (2, 3) sea igual a 5 unidades
3. Dado el triangulo de vértices A (-2, 1), B (5, 4) y C (2, -3), hallar la longitud de la altura correspondiente
al vértice A y el área del mismo
4. Dadas las rectas 3x-y+6=0 y 2y-6x+1=0 se pide:
 Demostrar que son paralelas
 Haller la distancia entre ellas.
5. Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0 y 5x-y+6=0 a la recta 4x-y-3=0