Circunferencia y parabola

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA
MATEMÁTICA BÁSICA
SECCIONES CÓNICAS: CIRCUNFERENCIA Y
PARÁBOLA
ROGELIO EFREN CERNA REYES
RESOLUCIÓN DECANAL Nº 184-2013-D-FIME
SEMESTRE 2013-B
CALLAO-PERU

Secciones Cónicas: Circunferencia y Parábola
Rogelio Efren Cerna Reyes ii
PREFACIO
n los espacios vectoriales reales 2-dimensionales se puede presentar
los vectores, rectas, traslaciones, rotaciones y tambien las secciones
cónicas.
En estas dos ultimas decadas el enfoque vectorial es el preferido por los
estudiantes de ingeniería, por una razón simple, los temas de los cursos
de ingenieria requieren de una interpretación conceptual y gráfica en la
forma vectorial.
Lo cual, es motivo mas que suficiente, para presentar las secciones
cónicas: circunferencia y parábola en el espacio bidimensional de manera
grafica y conceptual como tercer tema a desarrollar en el curso de
Matemática Básica en Ingenieria.
A continuación se tiene la presentación de la circunferencia y parábola
desarrollando sus definiciones, rectas tangentes y propiedades aplicando
el enfoque vectorial.
Este tercer trabajo queda ha vuestra disposición, especialmente de los
estudiantes de Ingeniería Mecánica y de Energía de la Universidad
Nacional del Callao.
El autor.
E

Rogelio Efren Cerna Reyes iii
INDICE
1. CIRCUNFERENCIA.....................................................................................................................1
1.1. DEFINICIÓN.............................................................................................................................................1
1.2. FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS.................................................................................................6
1.3. PROPIEDAD IMPORTANTE DEL EJE RADICAL.......................................................................9
1.4. RECTA TANGENTE A UNA CURVA........................................................................................... 12
1.5. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.................................................................. 13
2. PARÁBOLA.................................................................................................................................24
2.1. DEFINICIÓN.......................................................................................................................................... 24
2.2. ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA.................................................................. 26
2.2.1. PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA.........................................................................26
2.2.2. SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA........................................................................26
2.3. TANGENTE A UNA PARÁBOLA .................................................................................................. 27
2.4. PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA.............................................................................................. 28
3. PROPIEDAD COMÚN DE LAS CÓNICAS...............................................................................40
REFERENCIALES................................................................................................................................44

Secciones Cónicas: Circunferencia
Rogelio Efren Cerna Reyes 1
2 3 4 5 6 7
x
3
4
5
6
7
8
y
𝐶 ℎ, 𝑘
𝑟
𝒞
ℎ
{ ‖̅̅̅̅‖ , }
SECCIONES CÓNICAS: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA
1. CIRCUNFERENCIA
1.1. DEFINICIÓN.
Una circunferencia es un conjunto de puntos de que se encuentran a
una distancia constante llamado radio de un punto fijo llamado centro
(Charles H., 1980). Esto es;
denota a la circunferencia, su radio
y su centro.
‖̅̅̅̅‖ ,
‖̅̅̅̅‖ ,
Sea ℎ, y , , entonces
‖ ℎ, ‖
Expresión conocida como la ecuación ordinaria de la circunferencia de
centro ℎ, y radio . Desarrollando la ecuación ordinaria se
obtiene:
ℎ⏟ ⏟ ℎ⏟
Ecuación que puede escribirse en la forma
Expresión llamada forma general de la ecuación de la circunferencia
de centro ( , ) y radio
Notas.
1. Una circunferencia queda determinada completamente, si se
conocen tres datos.
Figura 1: Circunferencia de centro
, y radio .

2. Si las mediatrices1
de tres puntos no colineales se cortan en un
punto, este es el centro de la circunferencia determinada por dichos
puntos.
3. Para hallar la ecuación de una circunferencia, se remplazan los tres
puntos dados en la ecuación general de la circunferencia,
obteniéndose un sistema de tres ecuaciones de donde se hallan ,
y .
Ejercicio 1. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos , , ( , √ ) y ( , √ ).
Solución.
Se conoce que la ecuación general de una circunferencias está dada por
Remplazando los puntos dados en se tiene:
,
( , √ ) √
( , √ ) √
De donde se tiene el sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas
√
√
Resolviendo el sistema se tiene , ,
Luego la ecuación general de la circunferencia es
y la ecuación en forma ordinaria es
Tambien se puede resolver utilizando la siguiente propiedad: En todo
triángulo de vértices , y las mediatrices de sus tres lados
1
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del
segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de
un segmento AB (WIKIPEDIA. Enciclopedia Libre, 2013).

1 1 2 3
2
1
1
2 𝑃 ( , √ )
𝑃 ,
𝑃 (√ , )
𝐶
𝑅𝑀 𝑅𝑀
concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro del
triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La
circunferencia de centro y de
radio ‖̅̅̅̅‖, pasa por los otros
dos vértices del triángulo. Se
dice que dicha circunferencia es
circunscrita al triángulo y que
el triángulo está inscrito en la
circunferencia. (WIKIPEDIA.
Enciclopedia Libre, 2013).
Hallamos la mediatriz del
lado formado por los puntos , , ( , √ )
̅̅̅̅̅̅ , ,
Remplazando los datos
( ,
√
) ( √ , ),
Hallamos la mediatriz del lado formado por los puntos , ,
( , √ )
̅̅̅̅̅̅ , ,
Remplazando los datos
( ,
√
) ( √ , ),
Luego, el centro de la circunferencia es
( ,
√
) ( √ , ) ( ,
√
) ( √ , )
Aplicando multiplicación escalar en ambos miembros por el vector
( , √ ) se tiene

2 2 4 6 8 10
2
2
4
6
8
10
𝒞 𝑇
𝒞
( ,
√
) ( , √ ) ( √ , ) ( , √ )
( ,
√
) ( , √ ) ( √ , ) ( , √ )
( √ )
√
Entonces
( ,
√
)
√
( √ , ) , Es el centro de la
circunferencia .
Ahora hallamos el radio de la circunferencia
‖̅̅̅̅̅‖ ‖ , ‖
Finalmente la ecuación ordinaria de la circunferencia es
Ejercicio 2. Halle la ecuación de la circunferencia
trasladada 10 unidades en la dirección del vector , .
Solución.
Recordamos
̅ ,
El punto trasladado t unidades el vector ̅. En el ejercicio se desea
trasladar los puntos de la circunferencia 10 unidades el vector
unitario ̅
̅
‖ ̅‖
paralelo al vector , .
Es decir
̅ , ̅ ,
Sea , y ,
, , ,
{ {
Reemplazando en la ecuación de la circunferencia tenemos

2 2 4 6 8 10
2
2
4
6
8
10
𝑋′𝑌′
𝑌
𝑋
Simplificando se obtiene la circunferencia trasladada
Ejercicio 3. En el sistema ′ ′ la circunferencia ′ pasa por los puntos
, , , y ( , √ ). Halle la ecuación de la circunferencia ′ en el
sistema si ,
√
,
√
, .
Solución.
Se desea hallar la ecuación de la circunferencia en el sistema .
En el sistema ′ ′ se tiene:
′ ′ ′ ′
Pero
,
,
( , √ ) ( √ ) ( √ )
De donde se tiene el sistema
{
( √ ) √
{
Luego
Completando cuadrados se tiene la circunferencia
De centro ′ , y radio .
Llevamos el centro ′ , al sistema .
Utilizamos
,
′
√
,
′
√
,
Entonces
,
√
,
√
, ( , √ )
Finalmente la ecuación de la circunferencia es:

( √ )
1.2. FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
Sean las circunferencias
La recta que pasa por los centros de las circunferencias y se
denomina recta de los centros y se denota ̅̅̅̅̅̅̅
La familia de curvas asociadas a las circunferencias y , denotada
, está dada por:
,
Reemplazando las ecuaciones de las circunferencias se tiene
,
,
Familia de curvas que tiene las siguientes características:
1. Si y las circunferencias y no son concéntricas,
entonces la familia de curvas representa una recta, denotada
Llamada eje radical de las circunferencias y y se presentan
los siguientes casos:
a) El eje radical de y pasa por los puntos de intersección de
y . Es decir es una cuerda común a las circunferencias
dadas.
b) El eje radical de y es una recta tangente común a ambas
circunferencias ( y son tangentes).
c) El eje radical de y no tiene ningún punto común con las
dos circunferencias ( y no tiene puntos de intersección).
En los tres casos, el eje radical de y es perpendicular a la recta
de los centros ̅̅̅̅̅̅̅ .

2. Si la familia de curvas es una familia de circunferencias,
las cuales tienen sus centros en la recta de los centros de ̅̅̅̅̅̅̅ y
representa los siguientes casos:
a) Todas las circunferencias que pasan por los puntos de
intersección de y excepto la circunferencia
b) Todas las circunferencias que son tangentes a y en su
punto común excepto la circunferencia
c) Una circunferencia para cada valor de , siempre que la
ecuación resultante satisfaga las condiciones de una
circunferencia, si y no tienen puntos de intersección.
Además, ningún par de circunferencias de la familia tiene un
punto común con alguna de las circunferencias y
Nota. Sean tres circunferencias, de las cuales no hay dos que sean
concéntricas. Cada para tiene un eje radical, y las tres, tomadas a pares,
tienen tres ejes radicales. Si las tres circunferencias no tienen una recta
de los centros común, sus tres ejes radicales se cortan en un punto
llamado centro radical.
Ejercicio 4. Sean las circunferencias
Determine:
a) La recta de los centros ̅̅̅̅̅̅̅
b) La familia de circunferencias asociadas a y
c) El eje radical de y
Solución.
a) Se desea hallar la recta de los centros ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ,
Basta hallar los centros de las circunferencias dadas.
De las circunferencias

C1
5
2
,
3
2
C2(4,6)
ER
4 2 2 4 6 8
2
2
4
6
8
10Completando cuadrados se tiene
( ) ( )
( , )
,
Entonces ̅̅̅̅̅̅ ( , ) ,
Luego la ecuación vectorial de la
recta de los centros está dada por
̅̅̅̅̅̅̅ ( , ) , ,
Y en forma cartesiana o forma general es
̅̅̅̅̅̅̅
b) Se desea hallar la familia de circunferencias asociadas a y . Es
decir
,
Reemplazando los datos
,
( ) ,
Expresión que representa una familia de circunferencias para
Como las circunferencias y no tienen puntos de intersección,
veamos algunas circunferencias para
Para se tiene que es una
circunferencia, en forma ordinaria ( ) ( )
Para se tiene que es una
circunferencia, en forma ordinaria ( ) ( )
c) Se desea hallar el eje radical de y
Si , entonces la familia de curvas

𝑟
𝑡 𝑃 𝑥 , 𝑦
𝐶 ℎ, 𝑘
𝒞
( )
Resulta ser la ecuación de la recta
( )
Llamada eje radical de y .
Se aprecia que ̅̅̅̅̅̅̅ y son rectas ortogonales, pues sus vectores
normales son ortogonales.
1.3. PROPIEDAD IMPORTANTE DEL EJE RADICAL
En la figura se aprecia que; si es la longitud de la tangente trazada del
punto exterior , a la circunferencia ℎ
en forma general ℎ⏟ ⏟ ℎ⏟ ,
entonces
‖̅̅̅̅̅‖
Es decir
√ ℎ
√ ℎ⏟ ⏟ ℎ⏟
El segundo miembro de esta
expresión es como si
hubiéramos reemplazado las
coordenadas del punto ,
en el primer miembro de la
ecuación general de la
circunferencia .
Figura 2. Longitud de la tangente trazada del
punto exterior , a la circunferencia

4 2 2 4 6 8
2
2
4
6
8
10
𝒞
𝒞
𝑡
𝑡
𝐸 𝑅
Propiedad. El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el
lugar geométrico2
de un punto que se mueve de tal manera que las
longitudes de las tangentes trazadas
desde él a las dos circunferencias
son iguales (Charles H., 1980).
Sean
Dos circunferencias no
concéntricas.
Sea , el punto que se mueve y
sean y las longitudes de las
tangentes trazadas desde a y
respectivamente, entonces
Como las longitudes y son iguales, es decir , entonces
De donde se obtiene
Expresión que es la ecuación del eje radical de y .
Ejercicio 5. Halle la longitud de la tangente trazada desde punto ,
a la circunferencia
Solución.
Recordamos que la longitud de la tangente trazada desde el punto
, a una circunferencia está dada por
2
Lugar Geométrico, es el gráfico de un conjunto de puntos que cumplen una propiedad geométrica.
Figura 3. Propiedad importante del eje radical

P(3,4)
t
6 4 2 2 4
4
2
2
4
6
4 2 2 4 6 8
2
2
4
6
8
10
𝒞
𝒞
𝑡
𝑡
𝐸 𝑅
De la circunferencia se tiene
Reemplazando los datos del ejercicio
se tiene
( )
√
Ejercicio 6. Sean las circunferencias
Utilizando, la propiedad importante del eje radical, halle la ecuación del
eje radical de y
Solución.
De las circunferencias dadas
Se tiene
Dos circunferencias no
concéntricas.
Si las longitudes de las
tangentes trazadas desde un
punto , a las dos
circunferencias son iguales,
entonces el lugar geométrico
que describe dicho punto es el eje radical de las dos circunferencias.

𝒞
ℒ
𝐿 𝑇
𝒞
T
Es decir
Simplificando se obtiene el eje radical de las circunferencias dadas.
1.4. RECTA TANGENTE A UNA CURVA
Sea la ecuación de una curva
Y la de una recta
ℒ
Si de la ecuación de la recta ℒ , se despeja en función de y se
remplaza en la ecuación de la curva, se obtiene una ecuación de
segundo grado en la variable . Luego se
afirma:
1. La recta ℒ es una recta secante a la
curva, si la ecuación de segundo
grado tiene dos soluciones. Es decir
su discriminante es mayor que cero
.
2. La recta ℒ es una recta tangente a
la curva, denotada , si la
ecuación de segundo grado tiene
una única solución. Es decir su
discriminante es igual a cero
, llamada condición de
tangencia.
3. La recta ℒ y la curva no tienen puntos de intersección, si la
ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales. Es decir su
discriminante es menor que cero .

1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
𝑇 𝑥 𝑇, 𝑦 𝑇
𝐿 𝑇
𝐶 ℎ, 𝑘𝑃
1.5. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
Para la determinación de la ecuación de la recta tangente a una
circunferencia (Charles H. 1980) se tiene en cuenta que:
1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio
trazado al punto de contacto.
2. La condición de tangencia descrito líneas arriba.
La ecuación de la recta tangente a una circunferencia queda
completamente determinada cuando se conoce su vector direccional y
el punto de contacto (o algún otro de sus puntos). Si se tiene uno de
estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del
problema. Según esto tenemos los siguientes problemas:
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada
y que pasa por un punto exterior dado.
y que tiene un vector direccional dado.
y que pasa por un punto de contacto dado.
Ejercicio 7. Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
ℎ cuyo punto de contacto o tangencia es
, .
Solución.
Sea , un punto arbitrario de la recta ,
en la figura se observa que los vectores
̅̅̅̅ , , ̅̅̅̅ ℎ,
son ortogonales. Es decir
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Entonces

𝐿 𝑇
𝑇
𝑇
𝐿 𝑇
𝐶 ,
𝑅 ,
𝑣
𝑢̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
, ℎ,
ℎ
Sumando y restando ℎ y adecuadamente
ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ ℎ
Como , se tiene que
Ecuación de la recta tangente a la circunferencia .
Ejercicio 8. Halle las ecuaciones de las rectas tangente a la
circunferencia trazadas desde el punto
, .
Solución.
Sean las rectas tangentes a trazadas desde
̅ ,
,
Sólo falta conocer los vectores
direccionales.
En la figura se tiene:
a) ̅̅̅̅ ̅ ‖̅̅̅̅̅‖̅ , ̅ , , ‖̅‖
b) ̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅̅‖ , , , ‖ ‖
Dónde:
̅̅̅̅ , , ‖̅̅̅̅‖ , ‖̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅̅‖ √ √
Ahora hallamos los vectores unitarios ̅ y
De (a) tenemos
, , √ ,
{
√
√

Resolviendo el sistema se tiene: ( √ ), ( √ )
Entonces
̅ ( √ , √ )
Por lo que la recta tangente es
, ( √ , √ ) ,
De (b) tenemos
, , √ ,
{
√
√
Resolviendo el sistema se tiene: ( √ ), ( √ )
Entonces
( √ , √ )
Por lo que la recta tangente es
, ( √ , √ ) ,
Ejercicio 9. Sea una circunferencia.
El origen del sistema se traslada al punto , y la dirección
positiva del eje ′ es paralela al vector , . Por los puntos de
intersección de con los ejes del sistema ′ ′ se trazan rectas tangentes
formando un cuadrilátero. Hallar, en el sistema , los vértices de
dicho cuadrilátero.
Solución.
De la ecuación de la circunferencia
se tiene
( ) ( )
( ) ( )

𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
𝑃
𝑃
𝑄
𝑅
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑆
Recordamos
̅ ̅ , ‖̅‖
Como eje ′ es paralelo al vector , , entonces ̅ , .
Luego
, , , ,
De donde
{
′
′
{
( , , ) ,
( , , ) ,
Llevamos el centro ( , ) de la
circunferencia al sistema ′ ′
{
(( , ) , ) ,
(( , ) , ) ,
, Centro de ′
La ecuación de la circunferencia en el sistema ′ ′ es
′ ′ ′
Ahora hallamos los puntos de intersección de ′ con los ejes ′ ′ que
son los puntos de tangencia ′ , , ′ , , ′( , √ ) y ′( , √ ) de
las rectas ′ , ′ , ′ y ′ respectivamente con la circunferencia ′.
Recordamos que la ecuación de la recta tangente a una circunferencia
es;
ℎ ℎ
En el sistema ′ ′ las rectas tangentes son:
′
′
′ √
′ √

Ahora hallamos los vértices del cuadrilátero en el sistema ′ ′ :
′ ′ √
√
′ ( ,
√
)
′ ′ √
√
′( , √ )
′ ′ √
√
′( , √ )
′ ′ √
√
′ ( ,
√
)
Llevando estos vértices del cuadrilátero al sistema
, , (
√
) , ( √ , √ )
, , ( √ ) , ( √ , √ )
, , ( √ ) , ( √ , √ )
, , (
√
) , ( √ , √ )
Ejercicio 10. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto , y por las intersecciones de las circunferencias:
,
Solución.
Recordamos que
,
Es la familia de
circunferencias que
pasan por las
intersecciones de y
Se desea hallar una
circunferencia , que
pasa por el punto
, , de la familia
𝐴 ,
𝒞 𝑥 𝑦

Veamos
,
Luego la circunferencia es
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Finalmente la circunferencia es
Ejercicio 11. Sea { ̅} una recta no vertical ̅̅̅̅̅̅ es un
segmento tal que ̅̅̅̅̅̅ , , , ̅̅̅̅̅̅ ( , ) . y son
dos circunferencias con centros en y y radios y
respectivamente. ‖̅̅̅̅̅̅‖ ,
̅̅̅̅̅̅̅ ̅
‖ ̅ ‖
√ , ‖̅̅̅̅̅̅‖ ,
{ , }, { , }, ̅̅̅̅̅ , .
a) Halle la ecuación de la circunferencia con centro en y que pasa
por
b) Si el sistema de coordenadas se traslada al punto y se rota en la
dirección de ̅̅̅̅̅ . Encontrar las coordenadas de en este nuevo
sistema.
Solución.
En la figura se tiene
‖̅̅̅̅̅̅‖ ‖ ̅
̅̅̅̅̅̅‖
‖
̅̅̅̅̅̅ ̅
‖̅‖
‖
‖
̅̅̅̅̅̅ ̅
‖̅ ‖
‖
‖̅̅̅̅̅̅‖ √
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖
Donde
‖̅̅̅̅‖ √ , ‖̅̅̅̅̅‖ √ ‖̅̅̅̅‖ √

‖̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅‖ √ ( √ ) √
Entonces
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖ ( √ ) √ √
Además
̅̅̅̅̅̅ ( , ) ̅̅̅̅̅̅ ( , )
a) Hallamos la ecuación de la circunferencia con centro en , y
que pasa por .
Sea ̅ ̅ ̅ ̅ , ̅ , , ‖̅‖ , entonces
̅̅̅̅̅̅ ̅
‖̅ ‖
̅̅̅̅̅̅ ̅
‖ ̅ ‖
̅̅̅̅̅̅ ̅ ( , ) , √
De donde
√ ,
Resolviendo se obtiene
̅
√
,
Ahora, hallamos el centro de la circunferencia
‖̅̅̅̅‖̅
, √
√
, ,
Finalmente, la circunferencia es
b) Se desea hallar las coordenadas del punto en el sistema ′ ′.
Recordamos
, ̅̅̅̅̅
En la figura se tiene
‖̅̅̅̅̅‖ ‖ ̅
̅̅̅̅̅‖ ‖ , , ‖ ‖
, ,
‖ , ‖
‖ √

‖̅̅̅̅̅̅‖ ‖ ̅
̅̅̅̅̅‖ ‖ , , ‖ ‖
, ,
‖ , ‖
‖ √
Además
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Donde
̅̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅‖̅ ‖̅̅̅̅̅‖ , ̅̅̅̅̅ , , ‖̅̅̅̅̅‖ √
̅̅̅̅̅
√
,
̅̅̅̅̅ √
√
, √
√
, ,
̅̅̅̅̅ , , ,
̅̅̅̅̅ , , , ,
Ahora recordamos
{
{
( , , )
√
,
( , , )
√
, √
Luego el punto , en el sistema ′ ′ es ′( , √ )
O También, se aprecia que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , es decir el punto esta sobre
el eje ′
‖̅̅̅̅̅‖ , √ , ( , √ ) ′( , √ )
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Sean
Dos circunferencias no concéntricas. Si , es un punto que esta
sobre el eje radical de y , demostrar que las longitudes de las rectas
tangentes de a y son iguales.

2. Demostrar que; la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
ℎ , con punto de contacto , , está dada
por ℎ ℎ
3. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos , y
, sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la
cuerda ̅̅̅̅ es igual a
√
4. Halle la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados
están contenidos en las rectas , ,
5. Sean y dos circunferencias cuyos sus radios cumplen la relación
. , , , y { , , , } una
recta que une los centros de las circunferencias la cual se intercepta con
la recta { , , , } en el punto de modo que
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
, donde y son los centros de y respectivamente. Halle
a) Las ecuaciones de y
b) La ecuación de la recta tangente a y de pendiente positiva.
6. Un atleta de de altura está corriendo siguiendo la trayectoria
. En el punto , se levanta un poste vertical de
de altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuación que
describe el extremo de la sombra del atleta.
7. Sean y dos circunferencias disjuntas, tales que el radio de es el
doble del radio de . La recta que pasa por el punto , es
tangente simultáneamente a y . La recta que contiene a los centros
corta a en el punto , . La recta { , , , } es
tangente a en el punto cuya ordenada es . Encontrar las ecuaciones
de ambas circunferencias.
8. es un triángulo recto en . Por el punto de ̅̅̅̅ se traza la
mediatriz de ̅̅̅̅ que corta a ̅̅̅̅ en , . Una circunferencia de

diámetro ̅̅̅̅̅ corta a ̅̅̅̅ en . Si , , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅̅̅̅
, . Halle la ecuación de .
9. El origen del sistema es trasladado al punto , y luego los ejes se
rotan de manera que el semieje positivo ′ está en la dirección del vector
, . La ecuación de la circunferencia ( ) ( ) está
dada en el sistema ′ ′. La recta { , ̅ , } dada en el
sistema es una recta tangente a la circunferencia y tiene pendiente
positiva. Determine el área del triángulo formado por y los ejes ′ e ′ y
el punto de tangencia.
10. La recta con , es tangente a las circunferencias y
, donde y el punto , es el centro de . Si se sabe
que y no son secantes y que la menor distancia entre y es
√
unidades. Halle
a) La ecuación de
b) La ecuación de
c) La intersección de con la circunferencia .
11. Determinar la ecuación de las circunferencias cuyas tangentes son las
rectas , y su radio es 5.
12. La recta es tangente a una circunferencia cuyo centro
se encuentra en el cuarto cuadrante. Si , es el punto de la
circunferencia tal que ̅̅̅̅ , . Halle la ecuación de la
circunferencia.
13. Halle la ecuación de la circunferencia tal que determina sobre los ejes
coordenados e , segmentos de 3 y 6 unidades, respectivamente y cuyo
centro está en el primer cuadrante y pertenece a la recta .
14. Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas
, y que es perpendicular a la cuerda que es
común a las circunferencias y .

15. Una circunferencia de radio √ unidades tiene su centro sobre la recta
y es tangente a la recta . Halle el centro y
la ecuación de .
16. Halle los puntos de tangencia y las ecuaciones de las dos rectas tangentes
a la circunferencia trazadas desde el punto , .
17. Halle la ecuación del eje radical de las circunferencias
y
18. Halle las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias
, y
y las longitudes de las tangentes trazadas del centro radical a cada
circunferencia y demuestre que son iguales.

Secciones Cónicas: Parábola
{ , ‖̅̅̅̅‖ , }
𝑥′
𝑢̅
2. PARÁBOLA
2.1. DEFINICIÓN.
Una parábola es un conjunto de puntos de tales que cada punto
equidista de una recta fija y de un punto fijo que no pertenece a dicha
recta (Stewart, Redlin, & Watson, 2007)
Es la recta fija, llamada
recta directriz de la parábola.
: Es el punto fijo, llamado
foco de la parábola.
La recta perpendicular a la
recta directriz y que pasa por el
foco se llama eje de la parábola
.
En la Figura 4 se observa que:
: es
llamado vértice de .
̅̅̅̅: Radio focal o radio vector de .
El sistema se traslada y se rota de modo que todo punto de se
puede escribir en términos de las coordenadas que posee en el sistema
rotado y trasladado ′ ′
̅ ̅ , ‖̅‖
En el sistema se define , . Entonces
̅
̅
Y la ecuación vectorial de la recta directriz es
̅ ,
De la definición de la parábola se tiene que:
Figura 4: Parábola con foco y recta
directriz .

, ‖̅̅̅̅‖
, ‖̅̅̅̅‖
Donde
‖̅̅̅̅‖ ‖ ̅ ̅ ‖ , , | |
| ′
| ‖( ′
)̅ ′
̅ ‖
Elevando al cuadrado ambos miembro de la igualdad y operando
adecuadamente se obtiene: ′ ′
Luego la expresión
Es llamada Ecuación vectorial de la parábola .
Equivalentemente
′
̅ ̅ , ‖̅‖
En general, la parábola está dada por el siguiente conjunto
{ ̅ ̅ , ′ , ‖̅‖ }
NOTAS
1. En la Figura 5 se observa los
siguientes segmentos:
̅̅̅̅̅̅ Cuerda de la parábola.
̅̅̅̅̅̅̅ Cuerda focal de la parábola.
̅̅̅̅̅̅̅ Lado recto de la parábola, es
una cuerda perpendicular al
eje de la parábola.
2. La longitud del lado recto de la
parábola esta dado por ‖̅̅̅̅̅̅̅ ‖ | |
̅ ̅ , ′ , ‖̅‖
Figura 5: Principales segmentos de
la parábola

2.2. ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA
La ecuaciones ordinarias o formas canónicas de la parábola son aquellas
que tienen su vértice en el origen de coordenadas (o no) y su eje focal
coincide (o es paralelo) con uno de los ejes coordenados.
2.2.1. PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA
1. Si ̅ , y , , entonces la
ecuación de la parábola es
El eje de es el eje .
Si la parábola se abre hacia
la derecha
Si la parábola se abre hacia la
izquierda.
2. Si ̅ , y , , entonces la
El eje de es el eje .
arriba.
abajo.
2.2.2. SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA
1. Si ̅ , y ℎ, , entonces la
ℎ
El eje de es la recta
paralela al eje .
𝐹 𝑝,
𝐿 𝐷 𝑥 𝑝
𝑃
𝐹 , 𝑝
𝐿 𝐷 𝑦 𝑝
𝑃
𝐹 𝑝,
𝐿 𝐷 𝑥 ℎ 𝑝
𝑃
V ℎ, 𝑘

𝐿 𝑇
𝑃 𝑥 , 𝑦
𝐿 𝑇
𝑃 𝑥 , 𝑦
𝑉 ℎ, 𝑘
𝐿 𝑇
Sí la parábola se abre hacia la derecha
Sí la parábola se abre hacia la izquierda.
2. Si ̅ , y ℎ, , entonces la
ℎ
El eje de es la recta ℎ
paralela al eje .
arriba.
abajo.
2.3. TANGENTE A UNA PARÁBOLA
1. La recta tangente a la parábola
en cualquier punto
, de la curva, tiene por ecuación
2. La recta tangente a la parábola
ℎ en cualquier
punto , de la curva, tiene por
ecuación
( ℎ)
3. La recta tangente de pendiente a la
parábola tiene por ecuación
,
V ℎ, 𝑘
𝐹 , 𝑝
𝐿 𝐷 𝑦 𝑘 𝑝
𝑃

Notas3
.
1. La recta tangente a la parábola trazada desde el
punto exterior , a la curva, tiene por ecuación
2. Las rectas tangentes a una parábola en los puntos extremos de su lado
recto son perpendiculares.
3. El punto de intersección, de las rectas tangentes a una parábola en los
puntos extremos de su lado recto, está sobre la recta directriz de la
parábola.
4. Una cuerda de la parábola, une dos puntos de la parábola que son
puntos de contacto de las rectas tangentes trazadas desde un punto
exterior a la parábola, se llama cuerda de contacto del punto exterior
para la parábola.
2.4. PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA
1. La distancia del punto medio del radio vector o radio focal, a la recta
perpendicular al eje focal que pasa por su vértice, es igual a la mitad
de la longitud de dicho radio focal.
2. La recta normal a una parábola en un punto de dicha parábola, es
perpendicular a la recta tangente a la parábola en dicho punto.
3. La recta normal a una parábola en un punto de dicha parábola, forma
ángulos congruentes con el radio vector de dicho punto y la recta,
paralela al eje focal, que pasa por el punto indicado.
4. Si una cuerda de la parábola, perpendicular al eje focal, la corta en un
punto. Y las rectas tangentes a la parábola con punto de contacto los
extremos de la cuerda se interceptan con el eje focal en otro punto.
Entonces el vértice de la parábola equidista de dichos puntos.
3
Notas extraídas del libro de Geometría Analítica (Charles H., 1980)

5. Las rectas tangentes de una parábola, con punto de contacto los
extremos del lado recto, son perpendiculares y se cortan en la
intersección del eje focal y la directriz.
6. Si cualquier recta tangente de una parábola corta en un punto a la
recta que contiene el lado recto y en otro punto a la recta directriz,
entonces el foco equidista de ambos puntos.
7. Si las rectas tangente y normal a una parábola, en un punto de dicha
parábola excepto el vértice, cortan al eje focal en otros dos puntos
respectivamente, entonces los tres puntos equidistan del foco.
8. Toda circunferencia cuyo diámetro es una cuerda focal es tangente a
la directriz.
9. La cuerda común a dos circunferencias cuyos diámetros son cuerdas
focales de una parábola pasa por el vértice de dicha parábola.
10. La cuerda de contacto de cualquier punto de la recta directriz de una
parábola pasa por su foco.
11. Dada una cuerda de una parábola, los puntos medios de todas las
cuerdas paralelas a ella, están en una recta paralela al eje focal,
llamada diámetro de la parábola respecto de la cuerda dada.
12. Propiedad Óptica. Si es el foco y es un punto cualquiera de la
parábola entonces la recta tangente en forma ángulos iguales con
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, que es paralela al eje focal de la parábola (Purcell & Varberg,
1993). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca
contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al
ángulo de reflexión.
ARCO PARABÓLICO.
En construcción, de los diferentes arcos que se presentan, uno de ellos es el
arco parabólico como en la Figura 6 la longitud en la base ‖̅̅̅̅‖ se llama claro
o luz y la altura máxima sobre la base ‖̅̅̅̅‖ se llama altura del arco. Si la

X
Y
A B C
O
4 2 2 4
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
A B C
O4 2 2 4
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
longitud de la luz es y la altura
del arco es ℎ entonces la ecuación
de la parábola está dada por
En un puente colgante cada cable
cuelga de sus soportes y
como en la Figura 7 la distancia
‖̅̅̅̅‖ comprendida entre los
soportes es llamada la luz y la
distancia ‖̅̅̅̅‖ la altura de los
soportes sobre el punto más bajo
del cable se llama depresión del
cable. Si los pesos de los cables
son pequeños comparados con el
de la carga y si la distribución del
peso de la carga es uniforme en la
dirección horizontal, se demuestra
en Mecánica que cada cable toma
aproximadamente la forma de un
arco parabólico (Charles H.,
1980). Si la longitud de la luz es
y la depresión del cable es ℎ entonces la ecuación de la parábola está dada
por
PARÁBOLA DE SEGURIDAD.
Es una parábola envolvente de una familia de parábolas, si en cada uno de
sus puntos toca una u otra parábola de la familia, y también, diferentes
Figura 6: Claro o Luz y altura del arco parabólico
Figura 7: En un puente colgante cada cable toma
aproximadamente la forma de un arco
parabólico.

2 2 4 6 8
2
2
4
6
8
𝑋′
𝑌′
𝑋
𝑌
𝑀
𝑃
𝐹
𝑉
parábolas de la familia dada tocan a la parábola de seguridad en distintos
puntos.
La parábola envolvente de las trayectorias de los proyectiles lanzados, por
una pieza de artillería, con velocidad bajo diferentes ángulos de
inclinación del cañón respecto al horizonte se denomina parábola de
seguridad (Piskunov, 1978).
Ejercicio 1. En una parábola. Demostrar que la distancia del punto medio del
radio vector o radio focal, a la recta perpendicular al eje focal que pasa por
su vértice, es igual a la mitad de la longitud de dicho radio focal.
Solución.
Se desea demostrar, en la figura, que , ′ ‖̅̅̅̅‖
En el sistema ′ ′
Sea , ′ ′ entonces ( , √ ′)
Como ′ , y ′ ′ entonces ′ ( , √ ′)
Luego
, ′ | | | |
‖̅̅̅̅̅̅‖ ‖( , √ )‖
√ ( √ )
√ ′
‖ ′ ′̅̅̅̅̅‖ | |
Finalmente
, ′ ‖ ′ ′̅̅̅̅̅‖
Ejercicio 2. Sean , y , puntos de una parábola , cuyo foco es
, , hallar la ecuación vectorial de .

V(2,1)
P1 2, 9
F(3,2)
P2 5, 0
M1
M2
X'
Y'
X
Y
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
𝑀
𝑀
𝑌′
𝑇
𝑅
𝑠
𝑟
𝑢̅
Solución.
Se desea hallar
̅ ̅
, ′ ′
Aplicamos la propiedad
demostrada en el ejemplo
anterior.
En la figura, calculamos los
punto medios y de los
radios vectores ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅
respectivamente.
Veamos
[ , , ] ( , )
[ , , ] ,
Ahora, encontramos las distancias de los puntos medios y al eje ′
, ′ ‖̅̅̅̅̅‖ ‖ , ‖ √
, ′ ‖̅̅̅̅̅‖ ‖ , ‖ √
Con el eje ′ y los puntos medios y se construye la siguiente figura, en
donde se tiene
̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅̅̅‖̅ ‖̅̅̅̅̅̅‖̅
Dónde:
̅̅̅̅̅̅̅̅ ( , ) ‖̅̅̅̅̅̅̅̅‖ √
‖̅̅̅̅̅̅‖ √ √ √
‖̅̅̅̅̅̅‖ √‖̅̅̅̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅̅‖ √( √ ) ( √ ) √

̅ , Vector unitario en la dirección positiva del eje focal de la
parábola
Luego
( , ) √ , √ ,
{
√ √
√ √
̅
√
,
Lo cual permite hallar la ecuación vectorial del eje focal de la parábola, es
decir
̅ ,
, , ,
Además
̅
, √
√
, ,
Permite hallar la ecuación vectorial del ̅ ,
, , ,
Luego el vértice de la parábola está dado por ′
, , , ,
Aplicando multiplicación escalar en ambos miembros de la igualdad por el
vector , se tiene
Por lo que el vértice de la parábola es , , , y
‖̅̅̅̅‖ ‖ , ‖ √
En consecuencia, la ecuación vectorial de la parábola es:
{ ,
√
,
√
, , √ ′}
Ejercicio 3. Sea , recta tangente a la parábola en .
, ̅ , recta directriz de . , ̅ ,
talque es punto medio del radio focal formado con el punto de

D F
M
T
2p
p
D
LD
Q(-5,-1)
M(-3,7)
F
V
S
T
X
Y
X'
Y' u
12 10 8 6 4 2 2
2
2
4
6
8
10
12
ordenada mayor que 7. Si el área del triángulo de vértices , y el foco de
es , hallar:
a) La ecuación vectorial de
b) La ecuación vectorial de
Solución.
a) Se desea hallar
̅ ̅ , ′ ′
En la figura se observa que
Entonces la recta tangente
pasa por el extremo del lado
recto de y se tiene que el
triángulo es rectángulo.
‖̅̅̅̅‖‖̅̅̅̅̅‖
Esto es
Además
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅‖̅ ‖̅̅̅̅‖̅
Donde
̅̅̅̅̅ , ‖̅̅̅̅̅‖ √
̅̅̅̅ ̅ , ‖̅̅̅̅‖ , ‖̅‖
̅̅̅̅ ̅ ‖̅̅̅̅‖ √‖̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖
√ √
, , ,
{ ̅ ( , )
Ahora hallamos el vértice de la parábola

̅
Donde
̅
, ( , ) ( , )
Luego
( , ) ( , ) ( , )
Finalmente
( , ) ( , ) ( , ) , ′ ′
b) Se desea hallar
, Donde ̅̅̅̅
Hallamos el extremo del lado recto de , el punto de paso y el vector
direccional .
̅
̅
, ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
̅̅̅̅ ( , ) ,
Finalmente,
( , ) , ,
Ejercicio 4. Sea , , , , una recta
directriz de la parábola , , , una recta que pasa por
el vértice y el punto , de . Halle la ecuación vectorial de si
, y ‖̅̅̅̅‖ √ .
Solución.
Se desea hallar
̅ ̅ , ′ ′

1
S
R
V
B
D p
4
? ? 𝑝
3p
5p
R
SF
4p
p
L1
LD
V
D
F
B(2,-2)
S
X
Y
X'
Y'
R(7,13)
5 5 10 15
5
5
10
15
En la figura
Se tiene
, , , ̅̅̅̅ , ‖̅̅̅̅‖ √
Se conoce ‖̅̅̅̅‖ √
entonces ‖̅̅̅̅‖ √
En la parábola se conoce
que
,
Entonces
‖̅̅̅̅‖ ,
Hallamos el vértice de la
parábola
‖̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅‖
̅̅̅̅
, √
√
, ,
Además
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅‖ √‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖

4pV
R
S
4p
LT
V
T(2,12)
R
F(8,-5)
X
Y
X'
Y'
M
15 10 5 5 10 15
20
15
10
5
5
10
Luego
̅̅̅̅ , ‖̅̅̅̅‖ √
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅‖
( √ ) √
Ahora hallamos el vector de rotación
̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅‖̅ ‖̅̅̅̅‖̅ , ̅ ,
, √ , √ ,
{
√ √
√ √
̅ (
√
,
√
)
Finalmente,
, (
√
,
√
) (
√
,
√
) , ′ √ ′
Ejercicio 5. Sea una recta tangente a una parábola en , cuyo
foco es , Si ̅
̅̅̅̅ √ , ̅
̅̅̅̅ √ y ̅ ̅̅̅̅
, halle la ecuación vectorial de la parábola y el punto
̅̅̅̅.
Solución.
Se desea hallar
̅ ̅ , ′ ′
De , y , se tiene
̅̅̅̅ , ‖̅̅̅̅‖ √
De ̅ ̅̅̅̅ se tiene
̅ ̅ ̅ ̅ , , ̅ ,
Para
De ̅
̅̅̅̅ √
̅̅̅̅ ̅
‖ ̅ ‖
√
, ,
| |
√
√

De ̅
̅̅̅̅ √
̅̅̅̅ ̅
‖ ̅‖
√
, ,
| |
√
√
Luego
{
√
√
̅ (
√
,
√
)
Para
De ̅
̅̅̅̅ √
̅̅̅̅ ̅
‖ ̅ ‖
√
, ,
| |
√
√
De ̅
̅̅̅̅ √
̅̅̅̅ ̅
‖ ̅‖
√
, ,
| |
√
√
Luego
{
√
√
̅ (
√
,
√
)
Consideremos el vector de rotación que se encuentra en el primer cuadrante.
El vértice de la parábola está dado por
̅
,
√
, (
√
,
√
)
Aplicando
, ′ ‖̅̅̅̅‖ , ( , )
, ′
√
Hallamos la ecuación de la recta ′ en el sistema
( , ) ̅
( , (
√
,
√
)) (
√
,
√
)
(
√
,
√
) (
√
,
√
)
√
Luego

, ′ |
( )
√
√
| | √ | √ √
El vértice queda dado por
,
Por lo que la ecuación vectorial de la parábola está dado por
, (
√
,
√
) (
√
,
√
) , ′ √ ′
Para hallar el punto ̅̅̅̅
Hallamos la recta tangente en el sistema ′ ′
Recordamos
′ ′ ′ ′ ′
Llevamos el punto de tangencia , al sistema ′ ′
{
,
√
,
,
√
,
{
√
√
′( √ , √ )
Reemplazando en ′ se tiene
′ √ ′ √ ( ′ √ )
Luego ′ ′
Para √ ′( √ , ) llevando este punto al sistema
̅ ̅
, ( √ )
√
,
√
, ,
También, para hallar el punto ̅̅̅̅ se aplica la propiedad
‖̅̅̅̅‖ ‖ ‖
Como ‖̅̅̅̅‖ √ ‖̅̅̅̅‖ √
Entonces
‖̅̅̅̅‖̅
, √
√
, ,

P
F
Y'
V
LD
K
X
Y
X'
2 2 4 6 8 10
2
2
4
6
8
10
3. PROPIEDAD COMÚN DE LAS CÓNICAS
Las cónicas es un conjunto
de puntos de tales que la
distancia a un punto fijo (un
foco) es igual a un número
constante de veces la distancia
a una recta fija (una recta
directriz correspondiente al
foco). Este número constante
se llama excentricidad y se
denota por e.
Es decir
{
‖̅̅̅̅‖
,
}
Sólo se ha graficado una parte
de la cónica y la recta directriz correspondiente al foco .
Ejercicio 6. Sea una parábola cuyo foco es , y su recta directriz
. Determinar la ecuación vectorial de la parábola .
Solución.
Se desea hallar la ecuación vectorial de la parábola
̅ ̅ , ′ ′
Aplicando la propiedad común de cónicas
Si y sólo si ‖̅̅̅̅‖ ,
En particular consideremos el vértice de la parábola, es decir
Si y sólo si ‖̅̅̅̅‖ ,
Por definición de la parábola ‖̅̅̅̅‖ , entonces
Figura 8: Propiedad común de cónicas
si y sólo si ‖̅̅̅̅‖ ,

V(1,1)
Y'
LD : 2x+y+2=0
F(3,2)
X
Y
X'
4 2 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
Luego
,
Es decir
|
√
| √
De la recta directriz
se tiene su vector normal
̅ , que es paralelo al eje
focal de la parábola. Es decir, el
vector de rotación del sistema
, está dado por
̅
̅
‖̅‖ √
,
Hallamos el vértice de la parábola
̅
Esto es
, √
√
, ,
Finalmente,
,
√
,
√
, , ′ √ ′
Expresión que es la ecuación vectorial de la parábola deseada.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea una parábola con vértice de abscisa mayor que y cuya suma de
sus coordenadas es igual a la unidad. es la recta
directriz es y es una recta que pasa por el foco. Halle
la ecuación vectorial de y el área del triángulo formado por el vértice y
los extremos del lado recto de .
2. Los ejes coordenados , son tangentes a una parábola en dos
puntos y simétricos con respecto a su eje focal ′. es el vértice de ,

el área del triángulo es igual a del área del triángulo donde
es el origen del sistema de coordenadas ′ ′ y ,
̅̅̅̅̅ .
Determine los puntos , , y la ecuación vectorial de la parábola .
3. Sea ̅ , el eje focal de una parábola de foco ,
, es una recta tangente a en , ̅,
es una recta que intercepta a en talque ‖̅̅̅̅‖
√
‖̅̅̅̅̅‖,
, , es una recta que intercepta a y a en y
respectivamente. Si ,
̅̅̅̅̅ , ,
̅̅̅̅̅ , ,
̅̅̅̅ ,
̅̅̅̅ , y se encuentran en el sistema de . Determine la
ecuación vectorial de .
4. La recta , ̅, es tangente a la parábola en , la
directriz , ̅, intercepta a en talque
̅̅̅̅ , , ,
̅̅̅̅ , ,
̅̅̅̅ , , √ .
Halle la ecuación vectorial de .
5. Una viga de longitud está uniformemente cargada con libras
por pie. En mecánica se demuestra que a una distancia de de un
soporte, el momento flexionante en pies-libras está dado por la
ecuación . Determine en qué punto de la viga se tiene
el momento flexionante máximo.
6. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que
soportan un puente colgante cuando el claro es de 150 metros y la
depresión de 20 metros.
7. Después de realizar una transformación de coordenadas, el eje de la
parábola resulta orientada según el vector , . En el sistema ′ ′ el
punto , pertenece a y en el sistema el foco es , .
Determine en un punto de tal que el triángulo sea recto en
el vértice de .

8. El eje de una parábola es la recta . Si el foco es el
punto , y el vértice , . Halle , , la ecuación vectorial de la
recta directriz y la ecuación cartesiana de la parábola en el sistema .

REFERENCIALES
1. WIKIPEDIA. Enciclopedia Libre. (7 de 09 de 2013). Recuperado el 7 de 9 de
2013, de http://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
2. Charles H., L. (1980). Geometría Analítica. Mexico 1, D.F.: Editorial Limusa, S.
A.
3. Piskunov, N. (1978). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición ed.). URSS:
MIR - MOSCU.
4. Purcell, E. J., & Varberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica (Sexta
Edición ed.). México: Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.
5. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2007). Precálculo. Matemáticas para el
Cálculo. Mexico: Thomson Editores S.A.

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