Matemáticas Financieras. Formulas. Interés simple. Interés compuesto.

1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS

2. Interés y Tasas de Interés
Alvaro Hernán Sarria

3. Interés y Tasas de interés
Definición
El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal
del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.
Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a
períodos de tiempo y según el capital comprometido.
La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE
INTERES.

4. Modalidades de Interés
Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos
modalidades de acumulación:
• Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta
aparte.
• Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma
cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más
intereses una vez capitalizados.
El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el
simple no lo hace.

7. Interés Simple
Mes Capital
Inicial ($)
Intereses
generados ($)
Capital final
($)
Intereses
acumulados ($)
1 100,000,000 2,000,000 100,000,000 2,000,000
2 100,000,000 2,000,000 100,000,000 4,000,000
3 100,000,000 2,000,000 100,000,000 6,000,000
4 100,000,000 2,000,000 100,000,000 8,000,000
5 100,000,000 2,000,000 100,000,000 10,000,000
6 100,000,000 2,000,000 100,000,000 12,000,000
Final en cuentas 100,000,000 12,000,000
Total por cancelar 112,000,000
Capital principal = $100,000,000
Tiempo = 6 meses
Tasa de interés = 2% mensual

8. Interés Compuesto
Mes Capital
Inicial ($)
Intereses
generados ($)
Capital final
($)
Intereses
acumulados ($)
1 100,000,000 2,000,000 102,000,000
2 102,000,000 2,040,000 104,040,000
3 104,040,000 2,080,800 106,120,800
4 106,120,800 2,122,416 108,243,216
5 108,243,216 2,164,864 110,408,080
6 110,408,080 2,208,162 112,616,242
Total por cancelar 112,616,242
Capital principal = $100,000,000
Tiempo = 6 meses
Tasa de interés = 2% mensual

9. Interés Simple - Fórmulas
Monto de Intereses
I = P * i * t
donde:
I: Monto de interés ($)
P: Monto de capital principal ($)
i: Tasa de interés por período (%)
t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

10. Ejemplo:
Calcular el monto de interés que paga un préstamo de
$500,000 al 1.5% mensual por 18 meses:
Capital: $500,000
Tasa de interés: 1.5% = 0.015
Tiempo: 18 meses
I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000
Interés Simple - Fórmulas

11. Relación entre valor presente y valor futuro
VF = P + I
VF = P + P*i*t = P (1 + i * t)
Ejemplo:
Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un
préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple.
I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000
VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 o
VF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000
Interés Simple - Fórmulas

12. Relación entre valor presente y valor futuro
VP = F / (1 + i * t)
Ejemplo:
Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar
$3,000,000 dentro de 18 meses si el interés pactado es del 3%
mensual:
VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052
Interés Simple - Fórmulas

13. Cálculo de Tasa de Interés
i = (VF/P -1)/t
Ejemplo:
Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo
de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses:
i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = 3% mensual
Interés Simple - Fórmulas

14. Cálculo de Tiempo
t = (VF/P -1)/i
Ejemplo:
Calcule el tiempo necesario para que una deuda de
$1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual:
t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 = 18 meses
Interés Simple - Fórmulas

15. Equivalencia de tasas:
Tasa nominal o anual (in) = ip*n
Donde n el número de períodos en un año.
Igualmente,
Tasa periódica (ip) = in/n
Interés Simple - Fórmulas

16. Relación entre valor presente y valor futuro
Interés Compuesto
Período Capital al inicio
del período
Interés del
período
Capital al final del período
1 P P*i P + P*i = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3
*
*
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) =
P(1+i)n
VFn = VP(1+i)n

17. Ejemplo:
Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro
años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece
una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se
retira al final de los cuatro años?
VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12
VF = $10,217,391
Interés Compuesto

18. Similarmente:
VP =VF / (1 + i)n
Ejemplo:
¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si
quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)?
VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42
Interés Compuesto

19. Similarmente, despejando para i
i = (F / P)1/n – 1
Ejemplo:
¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión
en un año?
i = (3P / P)1/12 – 1 = 31/12 – 1 = 0.0959 = 9.59% mensual
Interés Compuesto

20. Finalmente despejando para n
n = log(F / P) / log(1 + i)
Ejemplo:
¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3%
mensual?
n = log(F/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 meses
Interés Compuesto

21. Interés Compuesto
Flujos de Fondos Múltiples
Hasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo
de fondos. En la vida real generalmente son flujos
múltiples:
FF0
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 FFn
FF3 FF4

22. Interés Compuesto
Flujos de Fondos Múltiples
Cálculo de valor presente:
VP
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 FFn
FF3 FF4

23. Interés Compuesto
Flujos de Fondos Múltiples
Cálculo de valor futuro:
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 VF
FF3 FF4

24. Ejemplo Flujos Múltiples:
Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos
en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5,
$7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe
la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para
poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual?
Interés Compuesto
VP
0 1 2 3 4 12
5
7
12
4
3
1
)
025
.
1
(
12
)
025
.
1
(
7
)
025
.
1
(
5



VP
VP = $22.25 MM

25. Ejemplo Flujos Múltiples:
Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50
millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente
para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un
año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su
viaje?
Interés Compuesto
4
12
3
12
2
12
1
12
%)
3
1
(
*
50
%)
3
1
(
*
50
%)
3
1
(
*
40
%)
3
1
(
*
30 











VF
VF
0 1 2 3 4 12
30 40
50 50
VF = $223.86 MM

26. Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos
son todos iguales:
Interés Compuesto
VP
0 1 2 3 … n-1 n
A A A A A A

27. Interés Compuesto










































































































































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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VP
n
)
1
(
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)
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)
1
(
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1
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1
(
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)
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(
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1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
1
2
2
)
1
(
1
)
1
(
1
...
)
1
(
1
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
...
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
...
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
2
2
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
3
2
1

28. 








 n
n
i
i
i
A
VP
)
1
(
1
)
1
(