1. Matemáticas, Geometría, Trigonometría.pptx

Matemática y Estadística
Deportiva
Dr. José E. Moncayo A.

1. Números Naturales
2. Números Cardinales
3. Números Enteros
4.Números racionales (Q)
5. Números irracionales (Q*)
6. Números reales ( IR )
7. Números imaginarios ( II )
8. Números complejos ( C )

Suma y Resta
(+2) + (+3) = +2+3 = +5
(+2) + (-3) = +2 -3 = -1
(+2) - (+3) = +2 -3 = -1
(+2) - (-3) = +2 + 3 = 5

https://es.liveworksheets.com/c?a
=s&t=qdark9z18nn&mn=cz&m=d&sr
=n&ms=uz&l=zj&i=unuxxco&r=cm&
db=0&f=dzdtzuzc&cd=ptndsc4g76llk
gnlgqxlxmmkjkv2ngnzgxgkxg

El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
Largo
Ancho
x
2x + 10

Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
El número natural siguiente
al número n
El cuadrado de un número
menos el mismo número
Lenguaje algebraico
c – 5 (Llamamos c al número)
El cuadrado de un número x2
Perímetro del
cuadrado de lado x
x
x
x
x
4x
x2 – x
n + 1
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía: 13 – x
El lenguaje algebraico: algunos ejemplos

Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1. El factor 1 no se escribe.
a
b
Área del triángulo:
2
h
·
b
b
h
Área de un rectángulo: a · b
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
1 · x2 · y1
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 · y1
x2 · y 1 x2 y
5abc3
5 · a · b · c3
(t = tiempo en horas)
Expresiones algebraicas

Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 5x – 6
x
x
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4:
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
x2
A = x2 = 42 = 16
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
Valor numérico de una expresión algebraica

Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
5x 3x
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
5x + 3x = 8x
Suma:
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
5x – 3x = 2x
Resta:
Observación:
Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
No se pueden sumar
2x + x2
Se deja indicado
Suma y resta de expresiones algebraicas
x x x
x x x x x
5x 3x
x x x x x x x x
5x
x x x x x
3x
2x

La balanza está equilibrada.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
10 + 2 = 4 + 8
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
Igualdades y ecuaciones
2º miembro
1er miembro

¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada?
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la
incógnita para el que se verifica la igualdad.
Platillo izquierdo:
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una
solución es correcta hay
que sustituir en la
ecuación y ver que se
cumple la igualdad.
x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación:  x + 100 = 500 + 200
Ejemplo
Solución de una ecuación
La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x = 14
pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
a) 4 + 4x = 25 – 3x
Sustituyendo:
b) 7x + 4 = 25
4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Le sumamos 2 a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x
Restamos 6x a cada miembro
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un
número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación,
se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
x = 10
Luego:
Para resolver ecuaciones
es útil buscar otra
semejante a la dada pero
que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer
algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8
Regla de la suma
Restamos 8: 2x = x + 25
Restamos x: x = 25
La solución es x = 25
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
– 8 – 8
– x – x

Resuelve x – 5 = 13.
En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que
deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener
el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.
x – 5 = 13
x – 5 + 5 = 13 + 5
x = 18
Escribe la ecuación original.
Suma 5 a cada lado.
Simplifica.
► La solución es 18.
EJEMPLO
Solución
x – 5 = 13 Escribe la ecuación original.
18 – 5 = 13
13 = 13
Sustituye x por 18.
La solución es correcta.
 COMPROBACIÓN

x + 4 = –3
Resuelve x + 4 = –3.
EJEMPLO
x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro.
x = –7 Simplifica.
► La solución es –7.
y – 3 = –14
Resuelve y – 3 = –14.
EJEMPLO
y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro.
y = –11 Simplifica.
x + 4 = –3
–7 + 4 = –3
–3 = –3
Sustituye x por –7.
 COMPROBACIÓN

3a = 7 + 2a
Resuelve 3a = 7 + 2a.
EJEMPLO
3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resta 2a a cada miembro.
a = 7 Simplifica.
3a = 7 + 2a
3·7 = 7 + 2·7
21 = 21
Sustituye x por 7.
 COMPROBACIÓN

x = 5
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Luego:
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9
Regla del producto
Restamos 3: 4x = 2x + 6
Restamos 2x: 2x = 6
La solución es x = 3
4x = 20
Hemos dividido por 4
Dividimos por 2 x = 3
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
__ __
2 2

Resuelve 3x = 15.
3x = 15
x = 5
Simplifica.
EJEMPLO
Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x,
hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.
Divide cada lado por 3.
3x
3
= 15
3
3x = 15
Sustituye x por 5.
 COMPROBACIÓN
3·5 = 15
15 = 15

Resuelve 7x = –56.
EJEMPLO
7x = –56
x = – 8
Simplifica.
7x
7
= –56
7
Resuelve
EJEMPLO
y = 60
Simplifica.
Multiplica los dos miembros por 5.
12
5

y
12
5

y
5
y
·5 = 12 · 5
7x = –56
Sustituye x por –8.
 COMPROBACIÓN
7·(–8) = –56
–56 = –56
 COMPROBACIÓN
60
5
= 12

Resuelve 3x – 4 = 17.
EJEMPLO
3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original.
3x – 4 + 4 = 17 + 4
3x = 21
3x
3
= 21
3
Suma 4 a cada miembro.
Simplifica.
x = 7 Simplifica.
3x – 4 = 17
3·(7) – 4 = 17
17 = 17
 COMPROBACIÓN
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del
producto.
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

Resuelve
EJEMPLO 8
5
3 

n
8
5
3 

n
n
5
3 – 8 = + 8 – 8
5
5
n


5
5
n


5( ) ( )·5
–25 = n
Resta 8 a cada miembro.
Simplifica.
Simplifica.
Multiplica los dos miembros por 5.

Resuelve 5 – x = 7.
EJEMPLO
5 – x = 7 Escribe la ecuación original.
–5 + 5 – x = –5 + 7
Divide por –1.
–1x
–1
= 2
–1
Simplifica.
x = –2 Simplifica.
–1x = 2
5 – x = 7
5 – (–2) = 7
7 = 7
 COMPROBACIÓN

Resuelve b + 8 = 18 + 3b
EJEMPLO
b + 8 = 18 + 3b
b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b
b – 3b + 8 = 18
b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8
b – 3b = 18 – 8
–2b = 10
–2b
–2
= 10
–2
b = –5
Divide por –2.
Resta 3b a cada miembro.
Simplifica.
Simplifica.
Simplifica.
Agrupa.

Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar
términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos
miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso
podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo
término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:
► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando,
aparece sumando.
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo,
aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.

a) Si sumamos a los dos
miembros +8,
b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo
miembro lo pasamos al primero como –2x.
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14,
pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este
último paso se llama despejar la incógnita.
2x = 14
x = = 7
14
2
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 2x = 6 + 8
EJEMPLO Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8
Esto equivale a pasar directamente el término –8 al
segundo miembro como +8.
Transposición de términos en una ecuación

Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b + c) = ab + ac
–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6
4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8
(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18
2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8
4(5 + 8) = (6 + 9)2 =
2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2
4·5 + 4·8 =
= 20 + 32 = 52
6·2 + 9·2 =
= 12 + 18 = 30
Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.
Cuidado con los
signos negativos (–).
Recuerda la regla de
los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = –

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
x = 8
2x = 16
2x – 21 = – 5
3x – 21 = x – 5
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
5º. Dividir por 2
4º. Sumar 21
3º. Restar x
2º. Operar 5x – 4x:
1º. Quitar paréntesis:
 COMPROBACIÓN
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8
3·1 = 5·7 – 4·8
3 = 35 – 32
3 = 3

6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
6 – 4 – x = 8x – 6x –10
–x + 2 = 2x – 10
–x – 2x = –10 – 2
–3x = –12
x = 4
Ecuación original
Simplifica.
Quita paréntesis.
Agrupa.
Divide por –3.
Traspones términos.
Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
EJEMPLO
6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5)
6 – 8 = 32 – 34
–2 = –2
 COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
3º. Operar 3x – 2x
2º. Restar 30:
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 12,
que es m.c.m.(4, 2, 6):
x = 30
3x – 2x = 30
3x + 30 – 2x = 60
5
6
2
5
4



x
x
4 2
2 2
1
6 3
2 2
1
4 = 22
2 = 2
6 = 2·3
m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12
Para el m.c.m. tomamos
los factores comunes y los
no comunes al mayor
exponente:
Recuerda cómo se calcula
el m.c.m.:
5
6
2
5
4



x
x
12·( ) ( )·12

2
1
4
3
2
1



 x
x
2(x + 1) + (x + 3) = 2
2x + 2 + x + 3 = 2
3x + 5 = 2
3x = 2 – 5
3x = –3
x = –1
3
3


x
2
1
4
3
2
1



 x
x
4( ) ( )4
2
1
4
3
2
1



 x
x
4( ) 4( ) 4( )
EJEMPLO
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 4,
que es m.c.m.(2, 4):
2º. Quitar paréntesis.
3º. Agrupar términos semejantes.
4º. Transponer términos.
5º. Despejar la incógnita.
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

1º. Interpretación del enunciado
Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años
menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
Edad de Jorge
2º. Plantear la ecuación
3º. Resolución de la ecuación
4º. Comprobación.
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos
que el triple de la edad de Jorge
Jorge tiene 15 años
Resolución de problemas
Lenguaje algebraico
x
39
3x – 6
Son
iguales
3x – 6 = 39
3x = 45
x = 15
Suma 6
Divide por 3
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces
su valor inicial?
Un número
x + 55 = 6x
El número
aumentado en 55
es igual
a
6 veces el
número
x + 55 = 6x  55 = 6x – x
55 = 5x  55/5 = x  x = 11
El número aumentado en 55
Seis veces el número
El número buscado es 11.
Nº aumentado en 55  11 + 55 = 66
6 veces el número  6·11 = 66
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado
y
exprésalo algebraicamente. 6x
x
x + 55
Correcto

PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro
mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.
Lado menor  x
Lado mayor  2x
x + 2x + x + 2x = 78
6x = 78
x = 13
Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm
2x = 26 cm
x = 13 cm
2x
x
x
2x
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado
y
exprésalo algebraicamente.
x = 78
6
Perímetro
78
x + 2x + x + 2x

https://forms.gle/dx5Z
Wkcnnrz1TA4H6
Ejercicio Ecuaciones

 Si dos magnitudes son directamente proporcionales, podemos aplicar para la
resolución del ejercicio la llamada Regla de tres simple directa.
 Una magnitud varía de una cantidad “a” a otra mayor “b”, y se corresponden
con los valores “c” y “x” (desconocido) de otra magnitud.
 Si nos dicen que ambas magnitudes son directamente proporcionales, o intuimos
razonadamente que pueden serlo, podemos calcular el valor desconocido, x,
mediante la aplicación de la Regla siguiente:
 a c
 b  x
 Se multiplican en cruz y se igualan:
 a.x = b.c  x = b.c / a
 Muy importante: NO se puede aplicar una regla de tres simple directa si las
magnitudes que intervienen no son directamente proporcionales.
REGLA DE TRES DIRECTA

 Ejemplo 1
 Una persona gana 8 € si trabaja 2 h. ¿Cuánto ganará si trabaja 15 h?.
 2 h  8 €
 15 h  x €
 2.x = 15.8  2.x = 120  x = 120 / 2 = 60 €
 Muy importante: NO se puede aplicar una regla de tres simple directa si las
magnitudes que intervienen no son directamente proporcionales.
 La razón de proporcionalidad sería, en este caso: r=4 , lo que vale la hora
trabajada.
EJEMPLOS

 Ejemplo 2
 Si cuatro cuadernos nos han costado 8 €, ¿cuánto nos costarán 7
cuadernos?.
 4 c  8 €
 7 c  x €
 4.x = 7.8 4.x = 56  x = 56 / 4 = 14 €
 La razón de proporcionalidad sería, en este caso:
 8 14
 --- = ---- = r , de donde r = 2 , que es lo que vale cada cuaderno.
 4 7

 Ejemplo 3
 Si tres pintores tardan 4 días en pintar una casa, ¿cuántos días tardarán en pintar
la misma casa seis pintores?.
 3 p  4 d
 6 p  x d
 3.x = 6.4  3.x = 24  x = 24 / 3 = 8 días
 Vemos que algo está mal. El doble de pintores no pueden tardar el doble de
tiempo, sino la mitad del tiempo.
 No se puede aplicar la regla de tres simple directa, porque las magnitudes (nº de
pintores y tiempo en días) no son directamente proporcionales.

 Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando se cumplen dos
condiciones:
 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra.
 SEGUNDA: En todo momento el producto de esas dos magnitudes debe ser
constante, la misma.
 El producto, k, de esas dos magnitudes se llama constante de
proporcionalidad inversa.
 Magnitud M a  b  c
 Magnitud N a’  b’  c’
 a.a’ = b.b’ = c.c’ = k
 NOTA: Hay que distinguir perfectamente la proporcionalidad directa de la
inversa.
Proporcionalidad INVERSA

 EJEMPLO 1
 Un padre decide repartir 55 € entre sus hijos en función del número de días
que han llegado tarde a casa.
 Magnitud “Paga” 10  20  25
 Magnitud “Nº días” 10  5  4
 10 > 20 > 25  10 < 5 < 4
 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la
misma.
 10.10 = 20.5 = 25.4 = 100 , como vemos es un valor constante
 Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales.

 EJEMPLO 2
 Un taxista cobra 60 € por llevar a un grupo de amigos de un pueblo a una
discoteca de la capital. ¿Cuánto corresponde pagar a cada uno?.
 Magnitud “Coste personal” 30  15  10
 Magnitud “Nº amigos” 2  4  6
 2 > 4 > 6  30 < 15 < 10
 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la
misma.
 30.2 = 15.4 = 10.6 = 60 , como vemos es un valor constante: k = 60
 Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales.

47
 CONTRAEJEMPLO
 Tres alumnos que dedican 10, 15 y 20 horas mensuales a la lectura cometen en
un mismo texto escrito 40, 30 y 20 faltas de ortografía respectivamente.
 Magnitud “Horas” 10  15  20
 Magnitud “Faltas” 40  30  20
 10 > 15 > 20  40 < 30 < 20
 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma.
 10.40 = 400 ,, 15.30 = 450 ,, 20.20 = 400
 Vemos que no es un valor constante.
 Las dos magnitudes dadas NO son inversamente proporcionales.
Contraejemplo

48
 Si dos magnitudes son directamente proporcionales:
 Magnitud M a  b
 Magnitud N x  b’
 Entonces a.b’ = x.b  x = a.b’ / b
 Que es la regla de tres simple directa.
 Ejemplo
 Un pintor nos cobra 100 € por pintar dos habitaciones. ¿Cuánto nos
cobrará por pintar cinco habitaciones?
 100 €  2 hab
 x €  5 hab
 Entonces 100.5 = x.2  x = 500 / 2 = 250 €
Proporcionalidad DIRECTA

49
 Si dos magnitudes son inversamente proporcionales:
 Magnitud M a  b
 Magnitud N x  b’
 Entonces a.b = x.b’  x = a.b / b’
 Que es la regla de tres simple inversa.
 Ejemplo
 Dos pintores tardan 5 horas en pintarnos la casa. ¿En cuanto tiempo
nos la pintarían tres pintores a la vez?.
 5 h  2 p
 x h  3 p
 Entonces 5.2 = x.3  x = 10 / 3 = 3,33 h = 3 h 20 min.

50
 Si tenemos tres o más magnitudes, se estudia el tipo de proporcionalidad
entre dos de ellas ( la que contenga la incógnita y otra cualquiera), dejando
fijas las demás.
 Magnitud M Magnitud N Magnitud P
 a  b  c
 a’  x  c’
 Inversa Directa
 Entonces a.b.c’ = x.a’.c  x = a.b.c’ / a’.c
 Que es la REGLA DE TRES COMPUESTA.
 Veamos unos ejemplos de aplicación …
Proporcionalidad COMPUESTA

51
 Ejemplo 1
 Tres pintores, trabajando 6 horas diarias, han tardado 2 días en pintar una
casa. ¿Cuántos días hubieran tardado en pintar la misma casa 2 pintores,
trabajando 9 horas diarias?.
 Horas diarias Días empleados Cantidad de pintores
 6  2  3
 9  x  2
 Inversa Inversa
 A más horas al día, emplearán menos días  P. Inversa.
 A menos pintores trabajando, emplearán más días  P. Inversa.
 Entonces 6.2.3 = 9.x.2  x = 6.2.3 / 9.2 = 36 / 18 = 2 días.

52
 Ejemplo 2
 Un coche, a una velocidad de 100 km / h tarda 8 días en recorrer 90.000 km
¿Cuántos días tardará otro coche en recorrer 112.500 km, a una velocidad
de 200 km /h?.
 Velocidad Días empleados Distancia recorrida
 100  8  90.000
 200  x  112.500
 Inversa Directa
 A más velocidad, emplearán menos días  P. Inversa.
 A más kilómetros por recorrer, emplearán más días  P. Directa.
 Entonces 100.8.112500 = 200.x.90000 
  x = 90000000 = 18000000 = 90 / 18 = 5 días.

53
Regla de 3 Compuesta
 5 grifos de agua abiertos durante 50 horas, han consumido 230 litros de agua.
Cuantos litros consumen 12 grifos de grifos en 20 horas?

54
Regla de 3 Compuesta
 6 obreros, trabajando 8 horas diarias, construyen un muro en 4 días. Cuantos días
tardaran 2 obreros, trabajando 6 horas diarias en construir el mismo muro?

55
 Ejemplo 4
 Un coche, a una velocidad de 100 km/h, durante 7 horas, recorre 700 km.
¿Cuántos km recorrerá otro coche a una velocidad de 120 km/h durante 5
horas?.
 Velocidad Km recorridos Horas
 100  700  7
 120  x  5
 Directa Directa
 A más velocidad, recorrerá más km  P. Directa.
 A más tiempo, recorrerá más km  P. Directa.
 Entonces 120.700.5 = 100.x.7 
  420000 = 700.x  x = 420000 / 700 = 4200 / 7 = 600 km.

56
 Ejemplo 5
 Un hombre realiza 2 / 5 de un trabajo y su hijo 1 / 4 del mismo. Si
el hombre acaba lo que queda de trabajo en 3,5 horas. ¿Cuánto
habría tardado en hacer todo el trabajo si no hubiera contado con
la ayuda de su hijo?
 Hombre más hijo:2/5 + ¼ = (8+5)/5.4= 13/20
 Resto de trabajo: 1 – 13/20 = 20/20 13/20 = 7/20
 Trabajo Horas
 7/20  3,5
 20/20  x  Directa
 A más trabajo, tardará más horas  P. Directa.
 Entonces x.7/20 = 3,5.20/20  x = 70 / 7 = 10 horas.
  420000 = 700.x  x = 420000 / 700 = 4200 / 7 = 600 km.

Trigonometría
Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal Sistema Radial
360 400 2 Pi
90 100 ½ Pi

Ejercicios
 25 grados centesimales a radiales
 180 sexagesimales a radiales
 3 Pi a sexagesimales
 270 sexagesimales a radiales
 5 Pi a centesimales
Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal Sistema Radial
360 400 2 Pi

EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo
EJERCICIO 3: Determina los ángulos del ejercicio anterior

EJERCICIO 4: De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulo agudos es 40º y que el cateto opuesto
a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.

Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7
m de la base de la torre, el ángulo con el que está
observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a
una altura de 1,5 m.

Calcular la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe
que su sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de
30º.

Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue
un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué
distancia del pueblo se halla?

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un
ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situados a 100 metros
el uno del otro. Como tiene acceso al edificio más alto, observa que desde la
azotea de dicho edificio se avista la azotea del otro bajo un ángulo de α=73,3∘.
Desde la base del mismo edificio, se ve la azotea del otro edificio bajo un
ángulo de β=19,29∘.
¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los tres datos con los que
cuenta? En caso afirmativo, ¿cuál es la altura de cada uno?

Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situados a
el uno del otro. Como tiene acceso al edificio más alto, observa que
azotea de dicho edificio se avista la azotea del otro bajo un ángulo
Desde la base del mismo edificio, se ve la azotea del otro edificio b
ángulo de β=19,29∘.
¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los tres datos c
cuenta? En caso afirmativo, ¿cuál es la altura de cada uno?

Calcula el área de un triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado.

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 3,6 cm y el ángulo
distinto mide 46º. Calcula el perímetro y el área.

a) Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado.
b) Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área.

Calcula el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12,7 y 19,6 cm.

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases
miden 25,6 y 108,5 y los lados no paralelos 70,5 cm.

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de área?
Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superficie y 4 m de base.

Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos. Observa que, aunque el segundo es un rombo, su área se puede
calcular como la de un paralelogramo cualquiera.

Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos
es 45 m.
Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm.
Halla su área.

Halla el área y el perímetro de este cuadrilátero irregular. Observa que se puede descomponer en dos
triángulos rectángulos

Calca este polígono en tu cuaderno, continúa descomponiéndolo en triángulos y toma
en ellos las medidas necesarias para calcular sus áreas. Halla, así, el área total.

Halla la superficie y el perímetro del recinto coloreado.
Calcula el perímetro y el área de esta figura:

Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de
lado (se llaman losetas de 25 ×25). ¿Cuántas losetas son necesarias?
Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una.
¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?

Nuria y Jorge entrenan en bicicleta. Nuria observa el cuentakilómetros y comenta:
—
Vamos a dieciocho kilómetros por hora. ¿Cuántas vueltas dará mi rueda en un minuto?
Jorge responde:
—
No lo sé, habría que medir el radio de la rueda, pero así, a ojo, échale unas 200 vueltas por minuto.
Nuria piensa que son demasiadas:
—
¡Halaaaa! No creo que lleguen ni a 150.
Sabiendo que el diámetro de la rueda es de 50 cm, ¿cuál de los dos ha hecho una estimación más acertada?

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