Ecuaciones

El lenguaje algebraico. ECUACIONES 2
Tema 8Tema 8
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
Largo
Anchox
2x + 10
66

Tema 8Tema 8
Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
El número natural siguiente
al número n
El cuadrado de un número
menos el mismo número
Lenguaje algebraico
c – 5 (Llamamos c al número)
El cuadrado de un número x2
Perímetro del
cuadrado de lado x
x
xx
x
4x
x2
– x
n + 1
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía: 13 – x
El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
66

Tema 8Tema 8
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de suma, resta, multiplicación, división y
potencia.
Observaciones:
1. El factor 1 no se escribe.
a
h
Área del triángulo:
2
h·b
b
h
Área de un rectángulo: A = a · h
1 · x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x1
= x
5 · a · b = 5ab
Expresiones algebraicas
66

Tema 8Tema 8
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2
.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras por números y hacer las operaciones
indicadas.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 4x –7
x
x
Si queremos hallar el área de un cuadrado
que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:
16 es el valor numérico de la expresión x2
cuando se sustituye x por 4.
para x = 2, es: 4·2 – 7 = 1
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a + b para a = 4 y b = 10 es:
x2
A = x2
= 42
= 16
para x = 10, es: 4·10 – 7 = 33
5 · 4 + 10 = 20 + 10 = 30
Valor numérico de una expresión algebraica
66

Tema 8Tema 8
Dos segmentos miden 5x y 3x.
Para que las expresiones algebraicas se puedan sumar o restar, sus partes
literales (las letras) deben ser iguales. Se dice que son expresiones
semejantes.
5x 3x
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
5x + 3x = 8x
Suma:
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
5x – 3x = 2x
Resta:
No se pueden sumar
2x + 3y
Se deja indicado
Suma y resta de expresiones algebraicas
x x xx x x x x
5x 3x
x x x x x x x x
5x
x x x x x
3x2x
77

Tema 8Tema 8
La balanza está equilibrada.
Una ecuación es una igualdad con letras y números
relacionados por operaciones aritméticas.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Toda igualdad tiene dos miembros..
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
con números unidas por el signo =
10 + 2 = 4 + 8
x + 4 = 8 + 4
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
Igualdades y ecuaciones
2º miembro1er
miembro
77

Tema 8Tema 8
¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada?
La solución de una ecuación es el valor de la incógnita para el
que se verifica la igualdad.
Platillo izquierdo:
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una
solución es correcta hay
que sustituir en la
ecuación y ver que se
cumple la igualdad.
x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación: → x + 100 = 500 + 200
Ejemplo
Solución de una ecuación
La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x = 14
porque 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
77

Tema 8Tema 8
Calcula a ojo la solución de estas dos ecuaciones
Dos ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como puedo conseguir ecuaciones equivalentes:
b) 4 + 4x = 25 – 3x
Sustituyendo x por 3:
a) 7x = 21
4 + 4·3 = 25 – 3·3, o sea 16 = 16
7 · 3 = 21, o sea, 21 = 21
Una ecuación 8x = 16 Su solución es x = 2, porque 8·2 = 16
2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Le sumamos 2 a cada miembro
2 + 8x – 6x = 18– 6x y restando 8x y 6x 2 + 2x = 18 – 6x
Ahora restamos 6x a cada miembro
Ecuaciones equivalentes
77
La solución de las dos ecuaciones es la misma, x = 3:
Pero la primera es mucho más sencilla de resolver que la segunda
y sumando el 2 y el 18
El 2 sigue siendo una solución, porque 2 + 8·2 = 18
El 2 sigue siendo una solución, porque 2 + 2·2 = 18 - 6·2

Tema 8Tema 8
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta el mismo
número o la misma cantidad, se obtiene otra ecuación equivalente .
x = 10
Luego:
Para resolver ecuaciones
es útil buscar otra
semejante pero que sea
más fácil. Para eso vamos
conocer algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8
Regla de la suma
Restamos 8: 2x = x + 25
Restamos x: x = 25
La solución es x = 25
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
– 8 – 8
– x – x
77

Tema 8Tema 8
Resuelve x – 5 = 13.
En el primer miembro de la ecuación para conocer el valor de x me sobra el 5
¿Cómo consigo quitarlo?: sumando 5
Pero para mantener el equilibrio, también tengo que sumar 5 al otro lado.
x – 5 = 13
x – 5 + 5 = 13 + 5
x = 18
Escribo la ecuación original.
Sumo 5 a cada lado. Simplifico.
► La solución es 18.
EJEMPLO
Solución
x – 5 = 13Escribo la ecuación:
18 – 5 = 13
13 = 13
Sustituyo x por 18.
La solución es correcta porque
 COMPROBACIÓN
77

Tema 8Tema 8
Resuelve x + 4 = –3.EJEMPLO
x + 4 – 4 = –3 – 4Resto 4 a cada miembro.
x = –7
Simplifico.
► La solución es –7.
y – 3 = –14
Resuelve y – 3 = –14.EJEMPLO
y – 3 + 3 = –14 + 3 Sumo 3 a cada miembro.
y = –11 Simplifico.
x + 4 = –3
–7 + 4 = –3
–3 = –3
Sustituyo x por –7.
La solución es correcta.
 COMPROBACIÓN
77

Tema 8Tema 8
3a = 7 + 2a
Resuelve 3a = 7 + 2a.EJEMPLO
3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resto 2a a cada miembro.
a = 7 Simplifico.
3a = 7 + 2a
3·7 = 7 + 2·7
21 = 21
Sustituyo x por 7.
 COMPROBACIÓN
77

Tema 8Tema 8
x = 5
Si a los dos miembros de una ecuación los multiplico o divido por un
número, se obtiene otra ecuación equivalente, con la misma solución.
Luego:
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9
Regla del producto
Restamos 3: 4x = 2x + 6
Restamos 2x: 2x = 6
La solución es x = 3
4x = 20
Hemos dividido por 4
Dividimos por 2 x = 3
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
__ __
2 2
77

Tema 8Tema 8
Resuelve 3x = 15.
3x = 15
x = 5
Simplifico.
EJEMPLO
Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x,
hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.
Divido cada lado por 3.3x
3
= 15
3
3x = 15
Sustituyo x por 5.
 COMPROBACIÓN
3·5 = 15
15 = 15
77

Tema 8Tema 8
Resuelve 7x = –56.EJEMPLO
7x = –56
x = – 8
Simplifico.
7
= –56
7
ResuelveEJEMPLO
y = 60
Simplifico.
Multiplico los dos miembros por 5.
12
5
=
y
12
5
=
y
5
y
·5 = 12 · 5
7x = –56
Sustituyo x por –8.
 COMPROBACIÓN
7·(–8) = –56
–56 = –56
 COMPROBACIÓN
60
5
= 12
77

Tema 8Tema 8
Resuelve 3x – 4 = 17.EJEMPLO
3x – 4 = 17 Escribo la ecuación original.
3x – 4 + 4 = 17 + 4
3x = 21
3
= 21
3
Sumo 4 a cada miembro.
Simplifico.
x = 7 Simplifico.
3x – 4 = 17
3·(7) – 4 = 17
17 = 17
 COMPROBACIÓN
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del
producto.
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
77

Tema 8Tema 8
ResuelveEJEMPLO 8
5
3 +=
n
8
5
3 +=
n
n
5
3 – 8 = + 8 – 8
5
5
n
=−
5
5
n
=−5( ) ( )·5
–25 = n
Resto 8 a cada miembro.
Simplifico.
Simplifico.
Multiplico los dos miembros por 5.
77

Tema 8Tema 8
Resuelve 5 – x = 7.EJEMPLO
5 – x = 7 Escribo la ecuación original.
–5 + 5 – x = –5 + 7
Divido por –1.–1x
–1
= 2
–1
Simplifico.
x = –2 Simplifico.
–1x = 2
5 – x = 7
5 – (–2) = 7
7 = 7
 COMPROBACIÓN
77

Tema 8Tema 8
Resuelve b + 8 = 18 + 3bEJEMPLO
b + 8 = 18 + 3b
b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b
b – 3b + 8 = 18
b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8
b – 3b = 18 – 8
–2b = 10
–2b
–2
= 10
–2
b = –5
Divido por –2.
Resto3b a cada miembro.
Simplifico.
Simplifico.
Simplifico.
Agrupo.
77

Tema 8Tema 8
Transposición de términos en una ecuación
Para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando,
restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por
un mismo número.
Pero podemos hacerlo de manera más rápida haciendo que ese mismo
término aparezca en el otro miembro de forma «inversa»:
► Si esta sumando, cambia al otro miembro restando
► Si esta restando, cambia al otro miembro sumando
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo,
aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.
77

Tema 8Tema 8
Antes sumaba un 8 a los
dos miembros
Antes dividía los dos miembros por 2
Ahora el 2, que está multiplicando, pasa al segundo
miembro, pero dividiendo.
A esto se le llama despejar la incógnita.
2x = 14
x = = 714
2
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 2x = 6 + 8
EJEMPLOEJEMPLO Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8
Pero eso es lo mismo que pasar el 8, que está restando,
al segundo miembro pero sumando.
Lo mismo que 2x, que está sumando, pasa al primer
miembro restando.
Transposición de términos en una ecuación
77

Tema 8Tema 8
Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b + c) = ab + ac
–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6
4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8
(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18
2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8
4(5 + 8) = (6 + 9)2 =
2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2
4·5 + 4·8 =
= 20 + 32 = 52
6·2 + 9·2 =
= 12 + 18 = 30
Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.
Cuidado con los
signos negativos (–).
Recuerda la regla de
los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = –
Cuidado con los
signos negativos (–).
Recuerda la regla de
los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = –
77

Tema 8Tema 8
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
x = 8
2x = 16
2x – 21 = – 5
3x – 21 = x – 5
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
5º. 2 pasa dividiendo
4º. 21 pasa sumando
3º. x pasa restando
2º. Hacer 5x – 4x:
1º. Quitar el paréntesis:
 COMPROBACIÓN
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8
3·1 = 5·7 – 4·8
3 = 35 – 32
3 = 3
77

Tema 8Tema 8
6 – 4 + 10x = 2x + 2(3x + 4)
6 – 4 + 10x = 2x + 6x +8
2 + 10x = 8x + 8
10x – 8x = 8 – 2
2x = 6
x = 3
Ecuación original
Simplifica.
Quita paréntesis.
Agrupa.
Divide por 2.
Traspones términos.
Resuelve 6 – 4 + 10x = 2x + 2(3x + 4)EJEMPLO
6 – 4 + 10·3 = 2·3 + 2(3·3 + 4)
6 – 4 + 30 = 6 + 26
32 = 32
 COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
77

Tema 8Tema 8
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
3º. Operar 3x – 2x
2º. Restar 30:
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 12,
que es m.c.m.(4, 2, 6):
x = 30
3x – 2x = 30
3x + 30 – 2x = 60
5
62
5
4
=−+
xx
4 2
2 2
1
6 3
2 2
1
4 = 22
2 = 2
6 = 2·3
m.c.m.(4, 2, 6) = 22
· 3 = 12
Para el m.c.m. tomamos
los factores comunes y los
no comunes al mayor
exponente:
Recuerda cómo se calcula
el m.c.m.:
5
62
5
4
=−+
xx
12·( ) ( )·12
77

Tema 8Tema 8
2
1
4
3
2
1
=
+
+
+ xx
2(x + 1) + (x + 3) = 2
2x + 2 + x + 3 = 2
3x + 5 = 2
3x = 2 – 5
3x = –3
x = –1
3
3−
=x
2
1
4
3
2
1
=
+
+
+ xx
4( ) ( )4
2
1
4
3
2
1
=
+
+
+ xx
4( ) 4( ) 4( )
EJEMPLO
1º. Quitar denominadores.
Para ello se multiplica por 4,
que es m.c.m.(2, 4):
2º. Quitar paréntesis.
3º. Agrupar términos semejantes.
4º. Transponer términos.
5º. Despejar la incógnita.
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
77

Tema 8Tema 8
1º. Interpretación del enunciado
Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años
menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
Edad de Jorge
2º. Plantear la ecuación
3º. Resolución de la ecuación
4º. Comprobación.
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos
que el triple de la edad de Jorge
Jorge tiene 15 años
Resolución de problemas
Lenguaje algebraico
x
39
3x – 6
Son
iguales
3x – 6 = 39
3x = 45
x = 15
Suma 6
Divide por 3
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto
77

Tema 8Tema 8
PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que al sumarle 20 es igual al triple de
ese mismo número?
Un número
x + 20 = 3x
El número al
sumarle 20
es igual
a
Triple del
número
x + 20 = 3x → 20 = 3x – x
20 = 2x → 20/2 = x → x = 10
El número aumentado en 20
El triple del número
El número buscado es 10.
Nº al sumarle 20 → 10 + 20 = 30
Triple del número → 3·10 = 30
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado y
exprésalo algebraicamente.
3x
x
x + 20
Correcto
77

Tema 8Tema 8
PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro
mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.
Lado menor → x
Lado mayor → 2x
x + 2x + x + 2x = 78
6x = 78
x = 13
Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm
2x = 26 cm
x = 13 cm
2x
xx
2x
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado y
exprésalo algebraicamente.
x = 78
6
Perímetro
78
x + 2x + x + 2x
77

Ecuaciones

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (13)

Similar a Ecuaciones

Similar a Ecuaciones (20)

Más de Celso Ochoa Rojas

Más de Celso Ochoa Rojas (7)

Último

Último (20)

Ecuaciones