ECUACIÓN DE LA RECTA

1. 1
ECUACIÓN DE LA RECTA

2. Ecuación de la Recta
2
Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a, b, c  R, representa
una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta,
las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x,
y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5


L
x
y
Ejemplo Nº1 : La ecuación L : x + y – 4 = 0 es la ecuación general de la
recta.
Grafiquemos L en el plano cartesiano:
Tabla de valores Gráfico
X Y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Observaciones:
• A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
recta.
• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es
solución de la ecuación dada, es decir, satisface esta ecuación.

3. Ecuación Principal de la Recta
IMPORTANTE:
Tiene la forma y= mx + n y se llama Ecuación Principal de la Recta, donde m es
la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el
intercepto con el eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.
Ecuación General
2x – y - 1 = 0
Despejemos “y” en términos de “x”
- y = - 2x + 1
Si dividimos la igualdad por -1 para que el
coeficiente de y no sea negativo
-Y = -2x + 1 / : - 1
Nos queda
Y = 2x – 1
se llama Ecuación Principal de la Recta.
Donde:
m = 2 n= -1
3
Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0. Despejemos ”y” en la
ecuación, para darle la forma principal.

4. 4
En la ecuación principal encontrada m = 2 y n = – 1, significa que la recta tiene
pendiente positiva, forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0,
– 1)
x
y
1 2 3
1
1
2
Pero, ¿qué son m y n ?

5. ¿Dónde se aplica la Pendiente de una Recta?
5
¿Qué es la Pendiente en una Recta?
¿Para qué sirve la Pendiente de una Recta?
Veamos las siguientes imágenes:

6. ¿ Qué tienen en común todas estas
imágenes?
6
En estas imágenes
encontramos algo
común, esto es un
concepto
matemático que
permite modelar
situaciones de la
vida real.
Aterrizaje de un avión

7. Aquí, los constructores deben aplicar el concepto
estudiado…
7

8. ¿Esta imagen te parece familiar? La cuesta es
demasiado inclinada….
8

9. Los discapacitados ahora cuentan con entradas a los edificios
públicos que tienen una forma especial y que se construyen
con una cierta inclinación…
9

10. ¿Te es conocido este Volcán?
Aquí es más fácil ver el concepto matemático que se
estudió y analizó en la unidad.
10

11. El Volcán que vemos casi todos los días del año tiene laderas con mucha
pendiente…
La pendiente es el ángulo ( medido en grados) de inclinación de una recta con
respecto al eje “X”
11
X
Y

12. Ejemplo:
Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4
despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:
Ecuación x + y =4
Despejemos y y = -x + 4
12
m = -1 pendiente negativa la
recta forma un ángulo
obtuso con el eje x ( mide
más de 90º)
n= 4 la recta corta al eje y en
4, en el punto (0,4)
x
y

13. Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8
despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:
Ecuación 4x -2y - 4 =0
Despejemos y -2y = -4x + 4
Multipliquemos 2y = 4x - 4
Dividimos por 2 y = 4 x - 4
2 2
y= 2x - 2
m=2 n= -2
13
La pendiente es positiva por lo tanto
la recta forma un ángulo agudo (mide
menos de 90º) con el eje x.
La recta corta al eje y en -2 , en el
punto (0,-2)
x
y

14. 14
m>0 m<0
Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o
x
y
x
y
x
y
x
y

15. ¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través
de una grafica?
15
Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente,
ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.
Por ejemplo:
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
Usaremos la ecuación
x
-
x
y
-
y
m
1
2
1
2

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
Luego la pendiente m = -1
m = = = = -1
1
2
1
2
x
x
y
y


2
1
2
5



3
3

1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5


L
x
y

16. 16
¿Qué pasaría si en este
resbalín los dos lados no
fueran paralelos?
Los lados de este aparato
son paralelos es decir
describen segmentos de
recta que son paralelos.

17. Y ¿si los lados de esta pasarela no fueran paralelos?
17
No puede haber un lado
que no sea paralelo al
otro no cumpliría la
función para el cual están
hechas, que es el facilitar
el acceso a los
discapacitados a un
edificio
Veamos a continuación las
distintas posiciones que
pueden adoptar dos rectas.

18. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
18
Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten
c) Que sean
Coincidentes
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5


L
x
y
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5


L
x
y
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5


L
x
y

19. Rectas Paralelas
19
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n
L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2
x1 x2
y1
y2
L


x2 – x1
y2
–
y1

x
y
L2

20. Ejemplo
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3
En el mismo plano cartesiano
20

21. Rectas Perpendiculares
21
Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman
rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto,
ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son
perpendiculares.
si L1 es una recta de ecuación
y=m1 x + n
L2 es una recta de ecuación
y= m2x +n
L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1
x1 x2
y1
y2
L


x2 – x1
y2
–
y1

x
y
L1

22. Ejemplo
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = 4x + 3
y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano
22

23. 23
Rectas Coincidentes
Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus
pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de
ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas
coinciden punto a punto.
Si L1: y = m1 x + n1
L2: y = m2 x + n2
L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y
n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
x1 x2
y1
y2
L1



x
y
L2