El documento describe conceptos matemáticos relacionados con ecuaciones de rectas, incluyendo la forma general de una ecuación de recta, cómo calcular la pendiente de una recta a partir de su ecuación, y las posibles relaciones entre dos rectas como paralelas, secantes o perpendiculares. También presenta ejemplos gráficos para ilustrar estos conceptos.
2. Conocer y utilizar conceptos matemáticos
asociados al estudio de la ecuación de la
recta, sistemas de ecuaciones lineales,
semejanzas de figuras planas y nociones de
probabilidad, iniciándose en el
reconocimiento y aplicación de modelos
matemáticos.
2
3. Es toda igualdad de la forma ax + by = c ,
donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas llamada ecuación
General de la Recta, las soluciones son pares
ordenados de la forma (x, y). Este par
ordenado (x, y) corresponde a un punto del
plano cartesiano.
3
4. Donde m, n pertenecen a los R, son constantes, la
denominamos, forma explícita de la ecuación de la
recta.
Ejemplo
4
5. Ejemplo Nº1 : la ecuación L: es la
ecuación general de la recta.
X Y (x, y)
Grafico
2 2 (2, 2) y
1 3 (1, 3) • 5
0 4 (0, 4) 4
-1 5 (-1, 5) 3
2 •
1
-1 1 2 3 4 x
-1 L
5
6. Pero ¿Qué son m y n ?
En la ecuación principal encontrada ,
y , significa que la recta tiene pendiente positiva
forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto
(0, -1)
y
2
1
1 1 2 3 x
6
7. Diremos que para que a, b, c, pertenezcan a R
constantes , es la forma implícita de
la recta.
Ejemplo
La misma recta del ejemplo
anterior se puede escribir de la
forma general.
7
8. ¿Que es la Donde se
pendiente de aplica la
una recta? pendiente de
una recta
Para que
sirve la
pendiente de
una recta
8
9. En estas imágenes
encontramos algo
común……es un
concepto
matemático que
permite modelar
situaciones de la
vida real.
Aterrizaje de un avión
9
15. Ejemplo:
Para obtener la pendiente de la recta de ecuación
despejamos la variable “y” en función de la variable
“x” así:
Ecuación x + y =4
Despejemos y y = -x + 4
y
m = -1 pendiente negativa la
recta forma un ángulo
obtuso con el eje x ( mide
más de 90º)
n= 4 la recta corta al eje y en x
4, en el punto (0,4)
15
16. Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8
despejamos la variable “y” en función de la variable “x”
así:
Ecuación 4x -2y - 4 =0
Despejemos y -2y = -4x + 4
Multipliquemos 2y = 4x - 4
Dividimos por 2 y = 4 x - 4
2 2
y= 2x - 2
m=2 n= -2
La pendiente es positiva por lo tanto y
la recta forma un ángulo agudo (mide
menos de 90º) con el eje x.
La recta corta al eje y en -2 , en el
punto (0,-2)
x
16
17. y
m>0 m<0 y
x
x
Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o
y
y
x
x
17
18. Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la
pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.
y
• 5
Por ejemplo: 4
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta 3
Usaremos la ecuación 2 •
y2 - y1 1
m =
x2 - x1 -1 1 2 3 4 x
-1 L
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
y 2 − y1 5−2 3
m =
x 2 − x1 = −1− 2 = −3 = -1 Luego la pendiente m = -1
18
19. ¿Qué pasaría si en
este resbalín los
dos lados no
fueran paralelos?
Los lados de este
aparato son
paralelos es decir
describen
segmentos de recta
que son paralelos.
19
20. No puede haber un lado
que no sea paralelo al
otro no cumpliría la
función para el cual están
hechas, que es el facilitar
el acceso a los
discapacitados a un
edificio
Veamos a continuación las
distintas posiciones que
pueden adoptar dos rectas.
20
21. Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten
y
y • 5
• 5
4
4
3
3
2 •
2 •
1
1
-1 1 2 3 4 x
-1 1 2 3 4 x -1 L
-1 L
y
• 5
4
3
•
c) Que sean
2
1
Coincidentes 1 2 3 4 x
-1
-1 L
21
22. Dos rectas L 1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L 1 : recta de ecuación y = m 1 x + n
L 2: recta de ecuación y = m 2 x + n L 1 // L 2 si m 1 = m 2
y
L
y2 •
y L2
2
–
y1
y1 • x2 – x1
α
x1 x2 x
22
23. Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = xy = x – 2 y = x + 1 y = x - 3
En el mismo plano cartesiano
23
24. Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas
secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas
forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares.
y
si L1 es una recta de ecuación
L y=m1 x + n
y2 •
y
–
2 L2 es una recta de ecuación
y= m2x +n
y1
y1 • x2 – x1
α
x1 x2 x L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1
L1
24
25. Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = 4x + 3
y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano
25
26. Rectas Coincidentes
Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus
pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas
“n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a
punto.
Si L1: y = m1 x + n1
L2: y = m2 x + n2
L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y
n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
y
L1
y2 •
L2
y1 •
α
x1 x2 x
26
