Matematica basica para economistas ecuaciones irracionales

1. UNIDAD 1
Matemática Básica

2. .
LOGROS DE LA SESIÓN
 Al finalizar esta sesión, serás capaz de resolver
ecuaciones irracionales.
 Además será capaz de analizar y descartar
soluciones según propiedades de números reales.

3. Ecuaciones Irracionales
TEMA 1

4. En una economía se producen dos bienes X e Y, de modo que la
Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) viene dada por:
Si se están produciendo 20 unidades del bien Y, ¿cuántas unidades
del bien X deben producirse para que la combinación sea eficiente.
2000 2
Y X
 
Frontera de posibilidad de producción

5. Ecuaciones irracionales
Una ecuación irracional es una ecuación en la cual la variable
aparece dentro del signo radical.
Ejemplo:
2 9
x 
5 3
x x
  
2 1 1
x x
   
En general:
a.
b.
c.
ax b cx d
   0
a 
En nuestro curso solo veremos radicales con índice 2

6. Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos lo siguiente:
2 2
a b a b
  
Ejemplo:
Verificamos:
Para 𝑥 = 2
𝑥 − 1 + 𝑥 = 1
𝑥 − 1 = 1 − 𝑥
𝑥 − 1
2
= 1 − 𝑥 2
𝑥 − 1 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2
0 = 𝑥2
− 3𝑥 + 2
𝑥 = 2 ⋁ 𝑥 = 1
2 − 1 + 2 = 1 Falso
1 − 1 + 1 = 1 Verdadero
Para 𝑥 = 1
CS = {𝟏}
¡CUIDADO!
Lo contrario no
ocurre
necesariamente

7. Conclusión:
Al elevar al cuadrado los dos miembros de una
ecuación irracional de índice 2, se puede
transformar en otra ecuación de primer o
segundo grado y no todas las soluciones de
estas ecuaciones serán necesariamente
soluciones de la ecuación original.
Por consiguiente, todas las soluciones deben
ser verificadas en la ecuación original.

8. Resuelva las siguientes ecuaciones en casa:
3 2 4
x  
3 1 3
x x
  
3 4 3
x x
 
5 3
x x x
   
a.
b.
c.
d.
2
2 1 2
x x
  
4 4 2 1
x x
  
1 3 0
x
  
1 1
x x
  
2 4 13
x x
  
1 2 1
x x
   
1 1 3
x x
   
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
2 1 1
x x
  
l.

9. Cierre:
¿Es posible resolver la siguiente ecuación?
0
16
2


x
¿Qué condiciones se deben cumplir para “a” para que la
siguiente ecuación tenga solución real?
0
2
2

 a
x
¿Qué pasos se debe seguir para resolver la siguiente
ecuación?
2 4 13
x x
  

10. Matemática Básica
UNIDAD 1
PORCENTAJES

11.  Al finalizar esta sesión, serás capaz de manejar el
concepto de porcentaje.
 Serás capaz de resolver situaciones porcentuales.
LOGROS DE LA SESIÓN

12. Porcentajes
TEMA 2

13. ¿Qué idea tiene respecto a
los precios en este anuncio?
¿Cuál será el aumento
porcentual de los
precios en cada
producto?
REFLEXIÓN

14. Por regla de tres
En un lote de 225 calculadoras, el 4% tenían desperfectos.
¿Cuántas calculadoras representa dicho porcentaje?
Por ecuaciones
Respuesta: 9 calculadoras
225 calcul. 100%
¿? calcul. 4%
x

 225
%
4
4
( )(225)
100
x

Porcentajes

15. 1. ¿Cuánto es el 36% de 975?
2. ¿Cuánto es el 15% del 25% de 2400?
3. ¿Qué porcentaje es 35 de 1400?
4. ¿Qué porcentaje de 2400 es 36?
5. ¿16 es el 25% de qué número?
6. ¿De qué número, 23 es su 30%?
Ejercicio para casa:
http://www.calcularporcentajeonline.com/

16. EJEMPLO 1:
El 15% más de A equivale a: ………. 115% A
El 36% más de B equivale a: ………. 136% B
EJEMPLO 2:
El 15% menos de A equivale a: ………. 85% A
El 36% menos de B equivale a: ………. 64% B
Aumento y disminución porcentual

17. Aplicaciones de Porcentajes
TEMA 3

18. PROBLEMA N°1
Un empresario decidió invertir cierta cantidad
en un negocio y ganó el 20%, el total lo
invirtió en un segundo negocio donde perdió
el 10% y, por último, invirtió lo que le
quedaba en un tercer negocio con un resultado
del 8% de ganancia. La ganancia neta en los 3
negocios ha sido de $ 30 784. ¿Cuánto fue la
cantidad inicial invertida?

19. PROBLEMA N°2
Un comerciante tiene 500 huevos rosados y 800 huevos blancos
para la venta. Decide rebajar el precio unitario de los rosados en
40% y aumentar el de los blancos en 20%. Si esta decisión le
ocasiona una disminución del 25% en el ingreso bruto. ¿En qué
relación se encuentra el precio unitario de los huevos rosados
con el de los blancos?

20. Precios
Tipos de precios
PC o C : Precio de compra o costo por unidad
Pv o P : Precio de venta
PL o Pf : Precio de lista o precio fijado
D : Descuento
G : Ganancia
Línea de precios
PC PL
Pv

21. Un emprendedor compra cada sombrilla playera a S/ 25 en el
centro de Lima y desea ganar el 60% al venderlas. Sabiendo
que el público siempre elige las ofertas, decide poner un aviso
que dice: “20% de descuento”. ¿Cuál debe ser el precio fijado?
D : 20%
G : 60%
PC= 25
PL
Pv
Pv=160%(25) Pv=80%(PL)
160%(25)=80%PL
PL=50 soles
PROBLEMA N°3

22. Descuentos sucesivos
G : Ganancia
PC
PL
Pv
D2 D1
PC PL
Pv=80%(60%PL)
D2=20% D1=40%
Los descuentos
sucesivos se
pueden ver de
esta manera:
Ejemplo: …un producto recibe un descuento del 40% más el 20%
adicional si paga con tarjeta……
60% PL

23. Roxy quiere comprar una camisa
para su esposo y encuentra este
anuncio. Luego de elegir la camisa
observa que el precio fijado es de
S/ 299. ¿Cuánto pagará realmente
por la camisa?
Si para la tienda el costo de cada
camisa es de S/ 62,40, ¿qué
porcentaje de dicho costo estaría
ganando con todos los descuentos
mencionados?
PROBLEMA N°4 PARA CASA:

24. Inecuaciones de primer grado en R
Matemática Básica
UNIDAD 1

25.  Al finalizar esta sesión podrás
resolver inecuaciones y
sistemas de inecuaciones de
primer grado.
 También podrás resolver
inecuaciones de segundo grado.
LOGROS DE LA SESIÓN

26. Una empresa ha invertido un
total de $10 000 de sus fondos
excedentes a dos tasas de interés
anuales del 8,4% y 12%. Si desea
obtener un rendimiento anual no
inferior al 10,5%, ¿cuál es la
cantidad mínima de dinero que
debe invertir al 12%?
Decisiones en finanzas

27. Recordemos algunas propiedades en ℝ:
Propiedades
1. Si a < b y c  ℝ, entonces a + c < b + c
2. Si a < b y 𝑐 > 0, entonces ac < bc
3. Si a < b y 𝑐 < 0, entonces ac > bc
Notación:
𝑎 ≥ 𝑏 ⇔ 𝑎 > 𝑏 ⋁ 𝑎 = 𝑏

28. Inecuaciones de primer grado
TEMA 4

29. Inecuaciones de primer grado en R
0
3
2 

x
2 2 1
4 3 12
q q q
 
 
4 6
x   
donde, en todos los casos, y son constantes reales
y la incógnita.
Una inecuación de primer grado es aquella desigualdad que admite
como forma general a :
0
;
0 


 b
ax
b
ax 0
;
0 


 b
ax
b
ax
a
0

a
b
x
2 1 2 1 2 3 2
5 2 3 6
x x x
  
  
3 12
x 
a.
b.
c.
d.
e.
Ejemplos:

30. Estos sistemas están formados por distintas inecuaciones. El
objetivo es determinar la soluciones común a todas ellas. Por lo
general la solución es un intervalo.
2 6 5 8
9 6 3
x x
x x
   


  

2
3
2
5
6
)
1
(
2 





 x
x
x
Sistemas de inecuaciones
a.
b.
2 6 5 8 3 10
x x x
     
2 2 8 2 6
x x x
    
2
2 2
4
x
x

 
c.
e.
d.
Ejercicios:

31. CIERRE
Sea 𝑎𝑥 ≥ 0 ; 𝑎 ∈ 𝑅
¿Cuál(es) de las alternativas conforman el conjunto solución?
A) Si 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ≥ 0
B) Si 𝑎 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ≤ 0
C) Si 𝑎 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ∈ R
D) Si 𝑎 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 0