Examen de unidad I 2016, Facultad de Médicina Humana, Universidad San Pedro

1. ALUMNO(A):………………………………………………………. ……………………………………………..
CÓDIGO:………………………….. FECHA: 11-05-2016 GRUPO: A1 - A2- B1- B2
INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios propuestos correspondiente a la primera unidad. Solo
utilizar un lapicero (Azul o negro) a excepción en la sección Lógica Proposicional. La solución de la presente
práctica es en cuadernillo cuadriculado “A4” único formato de presentación.
I.Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones e inecuaciones aplicando metodologías
realizadas en clase. En el caso de inecuaciones indicar su conjunto solución así como su gráfica.
1. Hallar el valor de “x”:    
      
   
a a b b
1 1 1
b x a x
(0.5 Puntos)
   
      
   
a a b b
1 1 1
b x a x
   
2 2
a a b b
1
b bx a ax
  

2 3 2 3
a x a b x b
1
abx
   2 3 2 3
a x a b x b abx       2 2 3 3
x a b a b abx       2 2 3 3
x a b abx a b
        
2 2 3 3
x a b ab a b


 
3 3
2 2
a b
x
a b ab
        3 3 2 2
Por Propiedad: a b a b a ab b
     

2 2
a b a b ab
x
 2 2
a b ab
 x a b
2. Hallar la suma de valores de “x” que satisfacen la siguiente igualdad:   5x 3 3x 5 (0.5 Puntos)
  5x 3 3x 5
     
2 2
5x 3 3x 5
    2 2
25x 30x 9 9x 30x 25
  2
16x 60x 16 0
    8x 2 2x 8 0
    8x 2 2x 8 0
    4x 1 x 4 0
  1 2
1
x ;x 4
4
    1 2
1 15
x x 4
4 4
NOTA:
UNIVERSIDAD SAN PEDRO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
ESCUELA DE MEDICINA 2016 – I
EXAMEN DE I UNIDAD DE MATEMÁTICA BÁSICA

2. 3. Hallar el valor de “x”:
   
    

  
5 4 3 2
2 2 2
x 15x 85x 225x 274x 120
0
x 81 x 36 x 49
(1.5 Puntos)
En el numerador igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de
quinto grado:
     5 4 3 2
x 15x 85x 225x 274x 120 0
Por teorema del resto:
                      
5 4 3 2
P 1 1 15 1 85 1 225 1 274 1 120
                P 1 1 15 85 1 225 1 274 1 120
        P 1 1 15 85 225 274 120
                P 1 1 85 274 15 225 120 360 360 0
Entonces el polinomio quedaría de la siguiente manera:
       4 3 2
x 1 x 14x 71x 154x 120 0
Nuevamente en el numerador igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la
ecuación de cuarto grado:
    4 3 2
x 14x 71x 154x 120 0
Por teorema del resto:
                  
4 3 2 1
P 2 2 14 2 71 2 154 2 120
              P 2 16 14 8 71 4 154 2 120
      P 2 16 112 284 308 120
               P 2 112 308 16 284 120 420 420 0
Entonces el polinomio quedaría de la siguiente manera:
        3 2
x 1 x 2 x 12x 47x 60 0
Nuevamente en el numerador igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la
ecuación de tercer grado:
   3 2
x 12x 47x 60 0
1 15 85 225 274 120
x=-1 -1 14 -71 154 -120
1 14 71 154 120 0
1 14 71 154 120
x=-2 -2 -24 -94 -120
1 12 47 60 0
*
+
*
+

3. Por teorema del resto:
              
3 2 1
P 3 3 12 3 47 3 60
           P 3 27 12 9 47 3 60
      P 3 27 108 141 60
              P 3 27 141 108 60 168 168 0
Entonces el polinomio quedaría de la siguiente manera:
         2
x 1 x 2 x 3 x 9x 20 0
A partir de una ecuación de segundo grado o bien aplicamos método del aspa o formula general entonces:
          x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0          x 1; x 2; x 3; x 4; x 5
En el denominador por ser una ecuación de segundo grado o bien aplicamos método del aspa o formula general
entonces:
      2 2 2
x 81 x 36 x 49 0
            x 9 x 9 x 6 x 6 x 7 x 7 0
        x 9 ; x 9; x 6; x 6; x 7; x 7
Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo de
cada intervalo. Tener en cuenta que los valores del denominador no puede ser cero por tal motivo:
    x 9 0 x 9     x 9 0 x 9
    x 6 0 x 6     x 6 0 x 6
    x 7 0 x 7     x 7 0 x 7
     
      
    

     
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
0
x 9 x 9 x 6 x 6 x 7 x 7
                   C.S 9; 7 6;5 4; 3 2; 1 6;7 9;
1 12 47 60
x=-3 -3 -27 -60
1 9 20 0
*
+
-+
-3
+-+
6
--
-9-∞ ∞+-7
-
9
+
-2 7-6 -5 -4 -1
+-+

5. 4. Hallar conjunto solución de :   2x 3 2 x (0.5 Puntos)
  2x 3 2 x    2x 3 2 x 0
    
3
2x 3 0 x
2
∩     2 x 0 x 2
 
  
 
3
C.S ;2
2
II.Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías,
contradicción o contingencia. Así mismo indicar si es consistente o inconsistente. Resolver tablas
de verdad con los pasos indicados en clase.
1.             A / B B B A B (0.5 Puntos)
 2
Nro de Proposiciones: 2 2 4
A B [(A / -B) ˄ B] ↓ [(-B → -A) ← B]
V V V V F V V F F V F V V
V F V F V F F F V F F V F
F V F V F V V F F V V V V
F F F V V F F F V V V V F
2.                   
A B C C A B (0.5 Puntos)
 3
Nro de Proposiciones: 3 2 8
A B C [(A ↓ -B) → -C] ↔ [C ˄ - (A ˅ -B)
V V V V F F V F F V F F V V F
V V F V F F V V F F F F V V F
V F V V F V V F F V F F V V V
V F F V F V V V F F F F V V V
F V V F V F F F F V V V F F F
F V F F V F V V F F F V F F F
F F V F F V V F F V F F F V V
F F F F F V V V F F F F F V V
+
3/2-∞ ∞+2
+
CONTRADICTORIO - INCONSISTENTE
CONTRADICTORIO - INCONSISTENTE

6. 3.      A / B A A (0.5 Puntos)
 2
Nro de Proposiciones: 2 2 4
A B - [(A / B) → A] ↔ A
V V F F V V F V
V F F V V V F V
F V V V F F F F
F F V V F F F F
4.                 A B C C A D (1.5 Puntos)
 4
Nro de Proposiciones: 4 2 16
A B C D [(-A Δ B) → -C] ↔ [C ^ (A ˅ -D)
V V V V F V V F F F V V V V F
V V V F F V V F F F V V V V V
V V F V F V V V V F F F V V F
V V F F F V V V V F F F V V V
V F V V F F F V F V V V V V F
V F V F F F F V F V V V V V V
V F F V F F F V V F F F V V F
V F F F F F F V V F F F V V V
F V V V V F V V F F V F F F F
F V V F V F V V F V V V F V V
F V F V V F V V V F F F F F F
F V F F V F V V V F F F F V V
F F V V V V F F F V V F F F F
F F V F V V F F F F V V F V V
F F F V V V F V V F F F F F F
F F F F V V F V V F F F F V V
III.Resolver los siguientes ejercicios con las metodologías realizadas en clase.
1. José tiene el 20% de lo que tenía Mario. Si José tuviera el doble de lo que tiene Mario perdiera S/.69,
Mario tendría el 20% de lo que tiene José ¿Cuánto equivale el triple de lo que tienen los dos juntos?
(1.5 Puntos)
Mario:M J 20%M José: J
Si José tuviera el doble que tiene Mario
 M-69=20% 2J
M 75 J 15
   M J 3 15 75  M J 270
CONTINGENCIA - CONSISTENTE
CONTRADICTORIO - INCONSISTENTE

7. 2. Formalizar: Jean Peaget ocupa uno de los lugares más relevantes de la psicología contemporánea sin
embargo es el más destacado en el campo de la psicología infantil. No obstante la afirmación anterior
es objetable, por lo tanto Peaget no ocupa uno de los lugares más relevantes de la psicología
contemporánea. (0.5 Puntos)
Primer Paso: Reconocer Proposiciones Simples
A : Jean Peaget ocupa uno de los lugares mas relevantes de la psicología contemporanea.
B : Jean Peaget es el mas destacado en el campo de la psicología infantil.
Segundo Paso: Conectores Lógicos
 : No; Es objetable
 : sin embargo, no obstante
: por lo tanto
Tercer Paso: Formalizamos:
          A B A B A
3. Si la proposición:       A B C A es falsa, además "B" es verdadera, Halle los valores de verdad
de “A”, “B” y “C”. (1.5 Puntos)
       A B C A F
  A V; B V; C V
4. Si “C” es verdadera y la proposición:            D A B A C A es falsa, Halle los valores de
verdad de “A”, “B” y “C”. (1.0 Punto)
            D A B A C A F
   A F; B V; C V; D F
V V
V
F
F
V V F
V V
F V
F
F
F
V F F
F F V F

8. 5. Si la proposición:           C D A A B es verdadera, además A Bes falsa, Halle los valores
de verdad de “A”, “B”, “C” y “D”. (1.5 Puntos)
 A B F
           C D A A B V
   A F; B V; C V; D F
IV.Resolver e indicar las leyes lógicas utilizadas.
1. Reducir al máximo:                    A B B A B (1.5 Puntos)
                   A B B A B Ley de Morgan 1er Caso
                  A B B A B Ley de Asociativa
                  B B A A B Ley de Idempotencia
            B A A B Ley de Conmutativa y Morgan 1er Caso
           A B A B Ley de Implicación
              A B A B Ley de Morgan 1er Caso
          A B A B Ley de Distributiva
                   A B A A B B Ley de Asociativa
                   A A B B B A Ley de Complemento e Idempotencia
         V B B A Ley de Identidad
       V B A Ley de Identidad
    B A Ley de Morgan y Conmutativa
  A B
                        A B B A B A B
F F
F
V
F
F F V
V F V

9. 2. Reducir:                         A B C A B C A B C (1.5 Puntos)
                        A B C A B C A B C Ley Implicador
                          A B C A B C A B C Ley Morgan 2do Caso
                                    A B C A B C A B C Artificio: A B C X
         A B C X X Ley Complemento
      A B C F Ley Tautología
F
                         A B C A B C A B C F
3. Simplificar:             A B C D B (1.0 Punto)
            A B C D B Ley del Implicador
           A B C D B Ley Distributiva
                 A B C D B Ley AsociativaB
                 B B C D B Ley ComplementoA
            C D B Ley IdentidadAF
        C D B Ley IdentidadF
   C D -B
                  A B C D B C D -B
4. Simplificar:               B A A B B / A (1.0 Punto)
             A B B A A B Ley Equivalencias
             A B B A A B Ley Implicador
               A B B A A B Ley Implicador
              A B B A A B Ley Morgan 1er Caso
             A B B A A B Ley Conmutativa
             A B A B A B Ley Distributiva
                    A B A A B B A B Ley Asociativa

10.                     A A B B B A A B Ley Tautología
           B B AA A B Ley Tautología
     A B A B Ley Distributiva
              A B A A B B Ley Aborción 1er y 2do Caso
 A B B Ley Aborción 1er Caso
B
               B A A B B / A B
V.Resolver los siguiente casos de aplicación de funciones, se calificara procedimiento y análisis del
problema a desarrollar.
1. En una tienda de videos hay dos modalidades para alquiler de películas:
a. Socios: Inscripción de S/.36 y por cada película S/.4
b. No Socios: Pagan S/.8 por película.
Determina cada modalidad la regla de correspondencia, el grafico, el dominio y el rango.
¿Cuándo la modalidad “socios” será más ventajosa? (2.0 Puntos)
Regla de Correspondencia:
a. Socios: Inscripción de S/.36 y por cada película S/.4
 f(x) 4x 36
b. No Socios: Pagan S/.8 por película.
g(x) 8x
   f x g x
 4x 36 8x
x 9
Sera más ventajosa cuando:
  f(x) 4x 36; x 9
 g(x) 8x; x 9

11. 2. Si el máximo valor de la función   2
f(x) -x 6x m es 20. Hallar el valor de “m”. (0.5 Puntos)
  2
f(x) -x 6x m
   2
f(x) - x 6x m
     2
f(x) - x 6 9 9x m
      2
f(x) - x 6x m9 9
       
 
2
f(x) - x 3 9 m
       
2
f(x) x 3 9 m
  9 m 20
m 11
3. Si:  2
g(x) x 3 ; Se define:
 

g(x h) g(x)
n(x)
h
Hallar: n(2); Para: h 0 (0.5 Puntos)
 2
g(x) x 3
    
2
g(x h) x h 3     2 2
g(x h) x 2xh h 3
 

g(x h) g(x)
n(x)
h
     

2 2 2
x 2xh h 3 x 3
n(x)
h

2
x
n(x)
  2
2xh h 3 x 
2
3
h


2
2xh h
n(x)
h

h
n(x)
 2x h
h
 n(x) 2x h
  n(2) 2 2 0
n(2) 4