Este documento presenta una breve introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Explica que estas ecuaciones son modelos matemáticos naturales para describir sistemas físicos donde la variable de estado es infinito-dimensional, como la temperatura en un cuerpo sólido. Se clasifican las ecuaciones en elípticas, parabólicas e hiperbólicas, siendo las más representativas la ecuación del calor y la ecuación de ondas. Mientras la ecuación del calor permite describir fenómenos irreversibles
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Se divide en varias secciones que describen conceptos fundamentales como los tipos de ecuaciones (elípticas, parabólicas e hiperbólicas), operadores como el de Laplace y ondas, y ejemplos de aplicación como la ecuación del calor y de ondas. Finalmente incluye secciones de ejercicios resueltos.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
El documento describe la simulación numérica del problema de Brinkman utilizando el método de elementos finitos. Se considera un cojinete deslizante cilíndrico con lubricante incompresible e isoviscoso, y se modela el fenómeno de cavitación mediante la ecuación variacional de Reynolds. La resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante constituye el principal aporte del trabajo.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
1) Este documento contiene apuntes sobre funciones, espacios euclidianos, límites, funciones continuas y diferenciables, ecuaciones diferenciales ordinarias.
2) Se dividen los temas en capítulos que cubren funciones, el espacio euclidiano Rn, límites y funciones continuas, funciones diferenciables, y ecuaciones diferenciales ordinarias.
3) Cada capítulo contiene definiciones, ejemplos y propiedades de los conceptos matemáticos correspondientes.
Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Incluye introducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos elementales para resolverlas, como el método de variables separadas. También cubre temas como ecuaciones de primer orden no lineales, ecuaciones diferenciales de orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y series de potencias. Finaliza con introducciones a ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de Sturm-Liouville y el cálculo variacional. Contiene ejemplos y ejercicios resu
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Se divide en varias secciones que describen conceptos fundamentales como los tipos de ecuaciones (elípticas, parabólicas e hiperbólicas), operadores como el de Laplace y ondas, y ejemplos de aplicación como la ecuación del calor y de ondas. Finalmente incluye secciones de ejercicios resueltos.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
El documento describe la simulación numérica del problema de Brinkman utilizando el método de elementos finitos. Se considera un cojinete deslizante cilíndrico con lubricante incompresible e isoviscoso, y se modela el fenómeno de cavitación mediante la ecuación variacional de Reynolds. La resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante constituye el principal aporte del trabajo.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
1) Este documento contiene apuntes sobre funciones, espacios euclidianos, límites, funciones continuas y diferenciables, ecuaciones diferenciales ordinarias.
2) Se dividen los temas en capítulos que cubren funciones, el espacio euclidiano Rn, límites y funciones continuas, funciones diferenciables, y ecuaciones diferenciales ordinarias.
3) Cada capítulo contiene definiciones, ejemplos y propiedades de los conceptos matemáticos correspondientes.
Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Incluye introducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos elementales para resolverlas, como el método de variables separadas. También cubre temas como ecuaciones de primer orden no lineales, ecuaciones diferenciales de orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y series de potencias. Finaliza con introducciones a ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de Sturm-Liouville y el cálculo variacional. Contiene ejemplos y ejercicios resu
Este documento trata sobre divisibilidad. Explica la diferencia entre múltiplos y divisores, señalando que un número es múltiplo de otro cuando contiene al segundo una cantidad exacta de veces, mientras que un número es divisor de otro cuando se puede dividir exactamente con él. También define números primos como aquellos que solo tienen dos divisores y números compuestos como aquellos que tienen más de dos divisores. Por último, menciona el método de la criba de Eratóstenes para encontrar números primos.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
El documento trata sobre las funciones de varias variables. Introduce varios ejemplos de funciones de varias variables comunes en ingeniería como la media aritmética, la media geométrica y la temperatura de una placa metálica. Explica conceptos básicos relacionados con las funciones de varias variables como entornos, continuidad y diferenciabilidad.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos básicos como orden, linealidad y soluciones. Luego, describe varios modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, como la desintegración radiactiva, el movimiento pendular y las oscilaciones en resortes. Finalmente, adelanta que en capítulos posteriores se analizarán en detalle diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferencial
1. El documento original contenía una transcripción no autorizada de notas sobre análisis de Fourier escritas por otro autor, por lo que se ofrecen disculpas.
2. Este documento presenta notas de apoyo para las asignaturas de análisis de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales en la Facultad de Ciencias de la UASLP.
3. Se repasan conceptos de análisis matemático relevantes para el curso e ilustra la teoría con ejemplos.
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta una tesis sobre la solución del modelo input-output de Leontief aplicando la forma canónica de Jordan. En el primer capítulo se exponen nociones básicas de álgebra lineal necesarias para comprender el tema, como matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El segundo capítulo se dedica al estudio de la forma canónica de Jordan. El tercer capítulo analiza el modelo input-output y su resolución mediante el método matricial y la forma canónica de Jordan.
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica cuántica. Introduce conceptos clave como el principio de incertidumbre de Heisenberg y explica cómo la mecánica cuántica surgió para describir fenómenos a escalas micro y macro que no podían ser explicados por la mecánica clásica, como la estructura atómica estable y la difracción de electrones. También discute cómo, a diferencia de la mecánica clásica, la mecánica cuántica no permite la existencia de trayector
Aplicacion de ecuasiones de primer ordenwhitecrow2013
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo definiciones, resolución de diferentes tipos de ecuaciones y aplicaciones. Luego cubre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, con énfasis en las lineales con coeficientes constantes. Finalmente, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
Este documento trata sobre grupos, anillos y cuerpos finitos. Introduce conceptos básicos como grupos abelianos, subgrupos y grupos cíclicos. Luego explica propiedades de anillos como isomorfismos, anillos de polinomios, extensiones algebraicas y cuerpos de descomposición. Finalmente, cubre temas relacionados con cuerpos finitos como caracteres de grupos, extensiones normales y la construcción de un cuerpo finito de 16 elementos.
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta el plan de estudios para un curso de Análisis Matemático III. El curso cubre propiedades topológicas de subconjuntos de Rn, continuidad y límites, diferenciabilidad, teoremas de funciones inversas, aplicaciones geométricas y ecuaciones diferenciales. El curso se divide en seis secciones que cubren estos temas y concluye con problemas de repaso.
Este documento presenta un curso sobre métodos matemáticos de ingeniería química. Introduce conceptos básicos de ecuaciones en derivadas parciales y su aplicación al análisis de fenómenos de transporte como cantidad de movimiento, energía y materia. El curso cubre temas como ecuaciones hiperbólicas, elípticas y parabólicas de primer y segundo orden, y cómo estas ecuaciones se usan para modelar diferentes procesos físicos y químicos relevantes para la ingeniería química.
Este documento presenta apuntes sobre números complejos. Introduce los números complejos como pares ordenados en el plano complejo y define operaciones como suma y multiplicación que convierten a los números complejos en un cuerpo conmutativo. Explica conceptos como el conjugado de un número complejo, su módulo y argumento, y propiedades topológicas del plano complejo como la esfera de Riemann y sucesiones y series de números complejos.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales transformando una función del tiempo en otra función compleja. Incluye definiciones matemáticas clave como la función de Heaviside y condiciones de existencia. También describe cómo se pueden usar transformadas de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integro-diferenciales.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento trata sobre sucesiones y series de números reales. Introduce los conceptos básicos de sucesión, límite de una sucesión, series, y series de potencias. Además, describe diferentes criterios para determinar la convergencia de series, como series de términos positivos, series alternadas y series de potencias. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre números complejos.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento trata sobre divisibilidad. Explica la diferencia entre múltiplos y divisores, señalando que un número es múltiplo de otro cuando contiene al segundo una cantidad exacta de veces, mientras que un número es divisor de otro cuando se puede dividir exactamente con él. También define números primos como aquellos que solo tienen dos divisores y números compuestos como aquellos que tienen más de dos divisores. Por último, menciona el método de la criba de Eratóstenes para encontrar números primos.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
El documento trata sobre las funciones de varias variables. Introduce varios ejemplos de funciones de varias variables comunes en ingeniería como la media aritmética, la media geométrica y la temperatura de una placa metálica. Explica conceptos básicos relacionados con las funciones de varias variables como entornos, continuidad y diferenciabilidad.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos básicos como orden, linealidad y soluciones. Luego, describe varios modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, como la desintegración radiactiva, el movimiento pendular y las oscilaciones en resortes. Finalmente, adelanta que en capítulos posteriores se analizarán en detalle diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferencial
1. El documento original contenía una transcripción no autorizada de notas sobre análisis de Fourier escritas por otro autor, por lo que se ofrecen disculpas.
2. Este documento presenta notas de apoyo para las asignaturas de análisis de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales en la Facultad de Ciencias de la UASLP.
3. Se repasan conceptos de análisis matemático relevantes para el curso e ilustra la teoría con ejemplos.
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta una tesis sobre la solución del modelo input-output de Leontief aplicando la forma canónica de Jordan. En el primer capítulo se exponen nociones básicas de álgebra lineal necesarias para comprender el tema, como matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El segundo capítulo se dedica al estudio de la forma canónica de Jordan. El tercer capítulo analiza el modelo input-output y su resolución mediante el método matricial y la forma canónica de Jordan.
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica cuántica. Introduce conceptos clave como el principio de incertidumbre de Heisenberg y explica cómo la mecánica cuántica surgió para describir fenómenos a escalas micro y macro que no podían ser explicados por la mecánica clásica, como la estructura atómica estable y la difracción de electrones. También discute cómo, a diferencia de la mecánica clásica, la mecánica cuántica no permite la existencia de trayector
Aplicacion de ecuasiones de primer ordenwhitecrow2013
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo definiciones, resolución de diferentes tipos de ecuaciones y aplicaciones. Luego cubre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, con énfasis en las lineales con coeficientes constantes. Finalmente, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
Este documento trata sobre grupos, anillos y cuerpos finitos. Introduce conceptos básicos como grupos abelianos, subgrupos y grupos cíclicos. Luego explica propiedades de anillos como isomorfismos, anillos de polinomios, extensiones algebraicas y cuerpos de descomposición. Finalmente, cubre temas relacionados con cuerpos finitos como caracteres de grupos, extensiones normales y la construcción de un cuerpo finito de 16 elementos.
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta el plan de estudios para un curso de Análisis Matemático III. El curso cubre propiedades topológicas de subconjuntos de Rn, continuidad y límites, diferenciabilidad, teoremas de funciones inversas, aplicaciones geométricas y ecuaciones diferenciales. El curso se divide en seis secciones que cubren estos temas y concluye con problemas de repaso.
Este documento presenta un curso sobre métodos matemáticos de ingeniería química. Introduce conceptos básicos de ecuaciones en derivadas parciales y su aplicación al análisis de fenómenos de transporte como cantidad de movimiento, energía y materia. El curso cubre temas como ecuaciones hiperbólicas, elípticas y parabólicas de primer y segundo orden, y cómo estas ecuaciones se usan para modelar diferentes procesos físicos y químicos relevantes para la ingeniería química.
Este documento presenta apuntes sobre números complejos. Introduce los números complejos como pares ordenados en el plano complejo y define operaciones como suma y multiplicación que convierten a los números complejos en un cuerpo conmutativo. Explica conceptos como el conjugado de un número complejo, su módulo y argumento, y propiedades topológicas del plano complejo como la esfera de Riemann y sucesiones y series de números complejos.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales transformando una función del tiempo en otra función compleja. Incluye definiciones matemáticas clave como la función de Heaviside y condiciones de existencia. También describe cómo se pueden usar transformadas de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integro-diferenciales.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento trata sobre sucesiones y series de números reales. Introduce los conceptos básicos de sucesión, límite de una sucesión, series, y series de potencias. Además, describe diferentes criterios para determinar la convergencia de series, como series de términos positivos, series alternadas y series de potencias. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre números complejos.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta matemática para resolver ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Explica la definición formal de la transformada de Laplace, sus propiedades básicas y cómo se puede usar para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. También incluye ejemplos de aplicaciones como la resolución de un modelo de circuito eléctrico.
Este documento trata sobre la transformada de Laplace. Explica qué es una transformada y cómo la transformada de Laplace reduce ecuaciones diferenciales lineales a ecuaciones algebraicas lineales. Luego describe varias propiedades y aplicaciones de la transformada de Laplace, incluida su utilización para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Este documento presenta el estudio de la existencia y unicidad de la solución del problema de Brinkman bajo ciertas condiciones, como un dominio acotado Ω con una condición de frontera Dirichlet no homogénea sobre un espacio bidimensional. Primero se introducen conceptos matemáticos necesarios como espacios de Banach y Hilbert. Luego, se formula el problema de Brinkman de manera adimensional y se obtiene su formulación variacional equivalente. Finalmente, se demuestra mediante el teorema de Lax-Milgram que existe una única
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta apuntes sobre teoría y análisis de señales. Explica los fundamentos del muestreo de señales continuas, incluyendo muestreo periódico y multiperiódico. Detalla cómo se realiza el muestreo de señales continuas por tramos, con un ejemplo numérico. También introduce la transformada Z como herramienta para el análisis de sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones de un estudio analítico realizado sobre la ecuación de Darcy-Brinkman-Lapwood (DBL), la cual describe el movimiento de un fluido incompresible a través de un medio poroso. El estudio construye la solución analítica de la ecuación DBL adimensionalizada, determinando primero una condición para la vorticidad que depende de la función de corriente y la variable independiente, y luego definiendo un parámetro que relaciona la permeabilidad y el número de Reynolds. El objetivo
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica de fluidos. En el capítulo 1 introduce el tema y revisa el álgebra vectorial. El capítulo 2 cubre la cinemática de un fluido en movimiento. El capítulo 3 trata sobre la dinámica de un fluido en movimiento y presenta las ecuaciones de Navier-Stokes. El objetivo es presentar los conceptos básicos de mecánica de fluidos de manera introductoria.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como la definición de ecuación diferencial, el orden de una ecuación diferencial, las soluciones de ecuaciones diferenciales y los problemas de condiciones iniciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales, aplicaciones a problemas geométricos, físicos y de ingeniería, sistemas de ecuaciones diferenciales, teoría cualitativa y estabilidad de sistemas. El documento proporciona una
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como la definición de ecuación diferencial, el orden de una ecuación diferencial, las soluciones de ecuaciones diferenciales y los problemas de condiciones iniciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales, aplicaciones a problemas geométricos, físicos y de ingeniería, sistemas de ecuaciones diferenciales, teoría cualitativa y estabilidad de sistemas. El documento proporciona una
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta una introducción a MATLAB y Simulink para el análisis y simulación de sistemas de control. Explica cómo convertir funciones de transferencia a formatos de polos y ceros, calcular raíces de polinomios, y obtener respuestas al impulso y escalón. También muestra cómo crear gráficos y modelos de lazo cerrado usando estas herramientas. Finalmente, introduce el uso básico de Simulink para modelar y simular sistemas de control.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, cubre temas como EDP lineales, ecuaciones de ondas, conducción de calor y potencial eléctrico. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos introducidos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, incluye capítulos sobre los diferentes tipos de EDP (hiperbólicas, parabólicas y elípticas) y métodos para resolver problemas de valor de frontera asociados a cada tipo. Finalmente, contiene ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos introducidos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, cubre temas como EDP lineales, ecuaciones de ondas, conducción de calor y potencial eléctrico. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos presentados.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP). Incluye definiciones básicas de EDP, clasificación de EDP de segundo orden, y métodos para resolver EDP como separación de variables y método de Fourier. También cubre EDP de tipo hiperbólico, parabólico y elíptico, con ejemplos de vibraciones, conducción de calor y potenciales.
Este documento introduce conceptos fundamentales de acústica. Explica la propagación de ondas sonoras, incluyendo definiciones de ondas, la ecuación de ondas y soluciones como ondas armónicas planas y esféricas. También cubre temas como la reflexión, transmisión y absorción de ondas acústicas, el análisis en frecuencia mediante la transformada de Fourier, y modelos de fuentes sonoras como esferas pulsantes y pistones pulsantes. Finalmente, resume términos importantes de acústica como veloc
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Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de acciones para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección y conservación del medio ambiente. También señala que busca equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer esas demandas de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluy
Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de acciones para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección y conservación del medio ambiente. También señala que busca equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer esas demandas de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluy
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El documento trata sobre la importancia de reciclar y cuidar el medio ambiente. Alienta a amar el colegio y mantener limpio el entorno mediante la dedicación y el trabajo en grupo. Promueve la siembra de árboles y la biodiversidad como forma de conservar la vida en el planeta para el presente y el futuro.
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Ethernet es un estándar para redes de área local que utiliza el protocolo CSMA/CD para el acceso al medio, permitiendo que múltiples estaciones accedan de forma compartida al canal. Ethernet ha evolucionado para soportar mayores velocidades de transmisión. Define las especificaciones para los diferentes tipos de medios físicos, formatos de tramas de datos y subcapas de las capas física y de enlace de datos del modelo OSI.
Una dirección IP identifica de manera lógica una interfaz de red dentro de una red que usa el protocolo IP. Existen diferentes clases de direcciones IP (A, B, C, D y E) y también direcciones privadas. La máscara de red delimita el ámbito de una red indicando qué parte de la dirección IP corresponde a la red y qué parte al host específico.
El documento describe el modelo TCP/IP, que consta de cuatro capas: Capa de aplicación, Capa de transporte, Capa de internet e Capa de acceso a la red. Cada capa se encarga de un aspecto diferente de la comunicación de red, como la representación de datos, control de flujo, direccionamiento lógico y control físico del acceso a la red. El modelo TCP/IP fue desarrollado en la década de 1970 y se ha convertido en un estándar ampliamente utilizado para la comunicación de red.
Este documento clasifica los protocolos de enrutamiento en estáticos, adaptativos centralizados, algoritmos por vector de distancia y adaptativos distribuidos, que son estáticos, y algoritmos de estado de enlace y adaptativos aislados, que son dinámicos. Además, clasifica los protocolos de enrutamiento en protocolos de encaminamiento Ad hoc, IGPs para rutas internas de un sistema autónomo, y EGPs para rutas externas entre sistemas autónomos.
El documento habla sobre la detección y corrección de errores en la transmisión de datos. Explica que la detección de errores usa códigos como CRC y paridad para identificar errores, mientras que la corrección de errores intenta corregirlos mediante técnicas como códigos de Hamming. También describe los métodos ARQ y FEC para el control de errores y el flujo de datos, así como el funcionamiento de la ventana deslizante para regular el envío de tramas entre el emisor y receptor.
El documento describe el Modelo OSI, un modelo de referencia desarrollado por la Organización Internacional para la Normalización (ISO) para abordar el problema de la incompatibilidad entre redes. Divide la comunicación de red en siete capas para simplificar la interoperabilidad entre sistemas de redes de diferentes fabricantes y permitir su comunicación. Sin embargo, el modelo OSI nunca se implementó ampliamente debido a que los protocolos TCP/IP ya estaban muy extendidos cuando apareció OSI.
El documento describe el Modelo OSI, un modelo de referencia desarrollado por la Organización Internacional para la Normalización (ISO) para abordar el problema de la incompatibilidad entre redes. Divide la comunicación de red en siete capas para simplificar la interoperabilidad entre sistemas de redes de diferentes fabricantes y permitir su comunicación. Sin embargo, el modelo OSI nunca se implementó ampliamente debido a que los protocolos TCP/IP ya estaban ampliamente utilizados cuando aparecieron los protocolos OSI.
1. ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES
Enrique Zuazua
enrique.zuazua@uam.es
Contents
1 Introducci´n y motivaci´n
o o 3
2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales?
e o 5
3 El m´todo de Cauchy en EDO
e 7
4 Funciones anal´
ıticas reales en varias variables 9
5 El m´todo
e de Cauchy y las superficies
no-caracter´
ısticas* 11
6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya* 11
7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´
o ısticas 11
8 ¿Soluciones locales o globales? 17
9 Unicidad de soluciones 20
9.1 El Teorema de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.2 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.3 La soluci´n de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 27
10 La transformada de Fourier 29
10.1 Definici´n y propiedades fundamentales
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.2 Aplicaci´n a la ecuaci´n de Laplace . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.3 Aplicaci´n a la ecuaci´n de transporte
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.4 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 La f´rmula de variaci´n de las constantes. Ecuaciones no homog´neas
o o e 38
1
2. 12 La ecuaci´n de transporte lineal
o 42
13 La ecuaci´n del calor
o 44
13.1 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13.2 Propiedades elementales de la convoluci´n
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
n
13.3 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
14 La ecuaci´n de Burgers
o 60
15 La ecuaci´n de Burgers viscosa
o 65
16 Ecuaciones de convecci´n difusi´n: difusi´n evanescente
o o o 66
17 La ecuaci´n de ondas
o 70
17.1 La f´rmula de d’Alembert .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
17.2 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
17.3 Dimensi´n n = 3. El m´todo
o e de las medias esf´ricas . . .
e . . . . . . . . . . . 74
17.4 Dimensi´n n = 2. El m´todo
o e del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . 78
18 Comparaci´n de la ecuaci´n de ondas y del calor
o o 78
19 Resoluci´n de sistemas lineales mediante el M´todo Directo del C´lculo
o e a
de Variaciones (MDCV) 80
20 Espacios de Hilbert 82
21 Introducci´n a los espacios de Sobolev
o 87
22 El problema de Dirichlet en un dominio acotado 89
22.1 Principio del m´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 89
22.2 El lema de Lax-Milgram y sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
23 Ejercicios 94
23.1 Problemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
23.2 Problema de Cauchy y teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . 96
23.3 La ecuaci´n del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 105
23.4 La ecuaci´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 113
23.5 La ecuaci´n de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 115
23.6 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
23.7 Simetr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas . . . . . . . . . . . 118
2
3. 23.8 Distribuciones y espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
23.9 Ejercicios diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1 Introducci´n y motivaci´n
o o
Estas notas constituyen una breve introducci´n a la teor´ de las Ecuaciones en Derivadas
o ıa
Parciales (EDP).
La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelizaci´n de fen´menos
o o
de la Ciencia y Tecnolog´ es la de modelos de evoluci´n en los que se describe la din´mica a
ıa o a
lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable (tambi´n a veces denominada estado)
e
que puede representar objetos y fen´menos de lo m´s diversos que van desde la posici´n de
o a o
un sat´lite en el espacio hasta la din´mica de un ´tomo, pasando por los ´
e a a ındices burs´tiles
a
o el grado en que una enfermedad afecta a la poblaci´n. En otras palabras, los modelos
o
din´micos o de evoluci´n son los m´s naturales en la medida que reproducen nuestra propia
a o a
concepci´n del mundo: un espacio tri-dimensional que evoluciona y cambia en el tiempo.
o
Cuando el estado o variable de un modelo o sistema de evoluci´n es finito-dimensional,
o
el modelo m´s natural es un sistema de EDO, cuya dimensi´n coincide precisamente con el
a o
del n´mero de par´metros necesarios para describir dicho estado. As´ por ejemplo, para
u a ı,
posicionar una part´ ıcula en el espacio necesitamos de tres variables dependientes del tiempo
y para describir su din´mica un sistema de tres ecuaciones diferenciales en la que la variable
a
independediente es el tiempo. Pero en muchas ocasiones, como es el caso sistem´ticamente en
a
el contexto de la Mec´nica de Medios Continuos, la variable de estado es infinito-dimensional.
a
Esto ocurre por ejemplo cuando se pretende describir la deformaci´n de cuerpos el´sticos o
o a
la temperatura de un cuerpo s´lido en los que la deformaci´n o temperatura de cada uno
o o
de los puntos de ese medio continuo constituye una variable o inc´gnita del sistema. Los
o
modelos matem´ticos naturales en este caso son las EDP.
a
En la teor´ cl´sica de EDP ´stas se clasifican en tres grandes grupos: el´
ıa a e ıpticas, parab´licas
o
e hiperb´licas.
o
El modelo el´ ıptico por excelencia involucra el operador de Laplace
N
(1.1) ∆= ∂ 2 /∂x2 .
i
i=1
La variable tiempo est´ ausente en este modelo. Es por eso que s´lo permite describir estados
a o
estacionarios o de equilibrio.
Las ecuaciones parab´licas y las hiperb´licas, representadas respectivamente por la ecuaci´n
o o o
del calor y la de ondas, son los modelos m´s cl´sicos y representativos en el contexto de
a a
las EDP de evoluci´n. Sus caracter´
o ısticas matem´ticas son bien distintas. Mientras que la
a
3
4. ecuaci´n del calor permite describir fen´menos altamente irreversibles en tiempo en los que
o o
la informaci´n se propaga a velocidad infinita, la ecuaci´n de ondas es el prototipo de modelo
o o
de propagaci´n a velocidad finita y completamente reversible en tiempo.
o
El operador del calor es
(1.2) ∂t − ∆,
de modo que al actuar sobre una funci´n u = u(x, t) que depende de la variable espacio-
o
N
tiempo (x, t) ∈ R × (0, ∞) tiene como resultado
N
∂u ∂2u
(1.3) [∂t − ∆] u = − .
∂t i=1
∂x2
i
Sin embargo, el operador de ondas o de D’Alembert es de la forma
2
(1.4) = ∂t − ∆
y da lugar a
2 ∂2u
(1.5) u = ∂t − ∆ u = − ∆u.
∂t2
La irreversibilidad temporal de (1.3) es evidente. Si hacemos el cambio de variable
t → t = −t, el operador (1.3) cambia y da lugar al operador del calor retr´grado ∂e + ∆
o t
mientras que el operador de ondas permanece invariante.
El operador del calor y de ondas se distinguen tambi´n por sus ´mbitos de aplicaci´n.
e a o
Mientras que el primero es habitual en la din´mica de fluidos (a trav´s de una versi´n
a e o
m´s sofisticada, el operador de Stokes) o en fen´menos de difusi´n (del calor, de contami-
a o o
nantes,. . . ), el operador de ondas y sus variantes intervienen de forma sistem´tica en elasti-
a
cidad (frecuentemente a trav´s de sistemas m´s sofisticados, como el de Lam´, por ejemplo)
e a e
o en la propagaci´n de ondas ac´sticas o electromagn´ticas (ecuaciones de Maxwell).
o u e
La Mec´nica de Medios Continuos est´ repleta tambi´n de otras ecuaciones, operadores
a a e
y modelos, pero en todos ellos, de una u otra manera, encontraremos siempre el operador
del calor, de ondas o una variante muy pr´xima de los mismos.
o
Frecuentemente los modelos m´s realistas son m´s sofisticados que una “simple” ecuaci´n
a a o
aislada. Se trata a menudo de sistemas acoplados de EDP en los que es habitual encontrar
tanto componentes parab´licas como hiperb´licas. Es el caso por ejemplo de las ecuaciones
o o
de la termoelasticidad. En estos casos, si bien un buen conocimiento de los aspectos m´s a
relevantes de la ecuaci´n del calor y de ondas aisladamente puede no ser suficiente a causa
o
de las interacciones de los diferentes componentes, s´ que resulta indispensable para entender
ı
el comportamiento global del sistema.
Por todo ello es natural e importante entender todos los aspectos matem´ticos funda-
a
mentales de estas dos piezas clave: la ecuaci´n del calor y la de ondas. Evidentemente esto
o
es tambi´n cierto desde el punto de vista del An´lisis y del C´lculo Num´rico.
e a a e
4
5. Hasta ahora nos hemos referido s´lo a las ecuaciones del calor y de ondas en su expresi´n
o o
m´s sencilla: con coeficientes constantes. Estas ecuaciones, cuando modelizan fen´menos en
a o
medios heterog´neos (compuestos por materiales de diversa naturaleza) adoptan formas m´s
e a
complejas y se presentan con coeficientes variables, dependientes de la variable espacial x,
de la variable temporal t o de ambas.
En esta introducci´n no hemos mencionado para nada otras palabras clave en la mode-
o
lizaci´n de fen´menos complejos como son los t´rminos “no-lineal” y “no-determinista” que
o o e
quedan fuera de los objetivos de este curso pero, nuevamente, se puede asegurar que los
elementos que aqu´ expondremos ser´n sin duda de gran utilidad, si no indispensables, a la
ı a
hora de adentrarse en otros modelos m´s complejos que involucren t´rminos no-lineales y
a e
estoc´sticos.
a
En estas notas desarrollaremos parte de lo que es una teor´ general y cl´sica de EDP
ıa a
que involucra el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, la tranformada de Fourier, los espacios
de Sobolev, y muchos otros conceptos y t´cnicas importantes del An´lisis Matem´tico. Pero
e a a
el curso tambi´n estar´ dedicado a estudiar con cierto detalle los modelos m´s importantes
e a a
como son la ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas. Si bien la mayor parte del curso
o
estar´ dedicada a problemas lineales, analizaremos tambi´n la ecuaci´n de Burgers y su
a e o
aproximaci´n viscosa, como ejemplos m´s simples y significativos de modelos no-lineales en
o a
los que las soluciones desarrollan singularidades en tiempo finito.
La teor´ de EDP es evidentemente una generalizaci´n y extensi´n de la teor´ de EDO.
ıa o o ıa
A lo largo de las notas intentaremos establecer paralelismos entre una y otra. Pero la teor´ ıa
que desarrollaremos es mucho m´s sofisticada que la cl´sica de EDO. En la teor´ de EDP
a a ıa
necesitamos desarrollar conceptos como el de superficie caracter´ ıstica, distinguir las clases
de soluciones, analizar cuidadosamente la dependencia (regularidad) de las soluciones con
respecto a la variable espacial, necesidades que no se presentan en el marco de la teor´ de ıa
EDO.
2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales?
e o
Una Ecuaci´n en Derivadas Parciales (EDP) es una relaci´n de la forma
o o
(2.1) F (x, t, u, ∂x1 u, . . . ∂xn u, ∂t u, . . . , Dα u) = 0.
En ella u = u(x, t), una funci´n de la variable espacial x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn y de la
o
variable temporal t, es la inc´gnita.
o
La inc´gnita u representa una cantidad f´
o ısica, como por ejemplo, temperatura, concen-
traci´n de un contaminante, intensidad de una se˜al ac´stica, deformaci´n de una estructura,
o n u o
etc.
5
6. La ley (2.1), normalmente derivada en el ´mbito de la Mec´nica, establece una relaci´n
a a o
entre la inc´gnita u, sus derivadas parciales hasta un cierto orden y el punto (x, t) espacio-
o
1
temporal.
En (2.1) utilizamos la notaci´n habitual para las derivadas parciales de modo que ∂xj u
o
denota la derivada parcial de u con respecto a la variable espacial xj , ∂u/∂xj , mientras que
∂t u lo es respecto a la variable temporal. A veces, cuando no haya riesgo de confusi´n, o
utilizaremos tambi´n la notaci´n ∂j u.
e o
En (2.1) hemos utilizado tambi´n la notaci´n de Schwartz seg´n la cual α = (α0 , α1 , . . . , αn )
e o u
n+1 α
es un multi´ ındice perteneciente a R de modo que D u denota una derivada parcial iterada
de u de orden | α |= α0 +α1 +. . . +αn en la que derivamos α0 veces con respecto a la variable
t y αj veces en cada una de las variables xj . De este modo, el orden de la EDP (2.1) es el de
la derivada de mayor orden involucrada, i.e. el m´ximo de los m´dulos | α | de los ´
a o ındices α
que intervienen en (2.1). Cuando la inc´gnita u de (2.1) no es una funci´n escalar sino un
o o
vector
u1
.
u= . .
uN
(2.1) puede tambi´n representar un sistema de ecuaciones. En ese caso F es tambi´n una
e e
funci´n vectorial. Si F tiene M componentes (2.1) es pues un sistema de M ecuaciones con
o
N inc´gnitas.
o
La ecuaci´n (2.1) puede ser lineal o no-lineal dependiendo de que F lo sea o no en
o
relaci´n a la inc´gnita u y sus derivadas α u. En el marco de las ecuaciones no-lineales
o o
se distingue tambi´n a veces entre las ecuaciones semilineales, cuasilineales y fuertemente
e
no lineales, dependiendo de si la no-linealidad de la funci´n F afecta a la inc´gnita u, a
o o
algunas de sus derivadas, o a las derivadas de mayor orden que intervienen en (2.1). En
este curso no entraremos en un an´lisis exhaustivo de las ecuaciones no-lineales. Si que
a
conviene sin embargo subrayar que las EDP no-lineales, lejos de ser problemas puramente
acad´micos, intervienen de manera decisiva en muchos e importantes ´mbitos de las Ciencias
e a
y la Tecnolog´ Tal y como mencion´bamos anteriormente, en estas notas analizaremos la
ıa. a
ecuaci´n de Burgers, como ejemplo paradigm´tico de ecuaci´n no-lineal sencilla pero a la
o a o
vez importante en el que se observan con facilidad la formaci´n de singularidades y choques,
o
1
Desde un punto de vista estrictamente matem´tico no hay ninguna raz´n para distinguir la variable
a o
temporal t de las n variables espaciales x1 , ..., xn . Si fuese s´ ımplemente una variable m´s, indistinguible
a
de las otras, podr´ ıamos simplemente denotarla como x0 o xn+1 y considerar u como una funci´n de n + 1
o
variables x1 , ..., xn , xn+1 . Sin embargo, de acuerdo a nuestra concepci´n del universo, conviene normalmente
o
distinguir la variable temporal de las dem´s. De hecho, frecuentemente, consideraremos a la funci´n u(x, t),
a o
como una funci´n del tiempo t a valores en un espacio de funciones u(·, t) que, en el trancurso del mismo,
o
va tomando diferentes valores siendo cada uno de ellos una funci´n de la variable espacial x.
o
6
7. que es uno de los fen´menos que mejor distinguen a las ecuaciones no-lineales de las lineales.
o
3 El m´todo de Cauchy en EDO
e
En esta secci´n introducimos el m´todo de Cauchy para la resoluci´n de Ecuaciones Dife-
o e o
renciales Ordinarias (EDO) para despu´s abordar el caso de la EDP, lo cual nos conducir´
e a
al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.
Cauchy fue uno de los primeros en abandonar, al menos parcialmente, la idea de resolver
las EDO expl´ ıcitamente y en proporcionar un m´todo sistem´tico para resolver “todas” las
e a
EDO. Como veremos, el m´todo de Cauchy permite en efecto probar que una EDO con
e
coeficientes an´liticos y datos iniciales admite una unica soluci´n anal´
a ´ o ıtica local en tiempo.
La idea de Cauchy es sumamente natural y a la vez eficaz. Para ilustrarla consideramos
el caso sencillo de la EDO:
·
x(t) + a(t)x(t) = b(t), t > 0
(3.1)
x(0) = x0 .
Por supuesto, la soluci´n de (3.1) puede calcularse de manera expl´
o ıcita. En el caso homog´neo
e
en que b ≡ 0 tenemos
t
(3.2) x(t) = x0 e−A(t) , A(t) = a(s)ds.
0
Cuando b ≡ 0 la soluci´n puede calcularse f´cilmente mediante el m´todo de variaci´n
o a e o
2
de las constantes. Obtenemos as´ı
t t Rt
−A(t) −A(t) −A(t)
(3.3) x(t) = x0 e +e A(s)
e b(s)ds = x0 e + e− s a(σ)dσ
b(s)ds.
0 0
A pesar de que la soluci´n (3.3) de (3.1) sea expl´
o ıcita es interesante analizar (3.1) con el
m´todo de Cauchy para ilustrar con claridad la idea fundamental del mismo.
e
Cauchy busc´ soluciones x(t) anal´
o ıticas reales, i.e. que admitiesen un desarrollo en serie
de potencias convergente en un entorno de t = 0:
∞
(3.4) x(t) = xk tk ,
k=0
lo cual equivale a buscar los coeficientes {xk }k 0 de su desarrollo en serie de potencias.
Cauchy observ´ que estos coeficientes {xk }k 0 pueden determinarse de manera unica a
o ´
partir de los coeficientes y segundo miembro de la ecuaci´n. Supongamos por tanto que
o
2
En este caso basta con observar que y(t) = eA(t) x(t) es soluci´n de y (t) = eA(t) b(t) con dato inicial
o
t A(s) t A(s)
y(0) = x0 , i. e. y(t) = y0 + 0 e b(s)ds = x0 + 0 e b(s)ds.
7
8. a = a(t) y b = b(t) son funciones anal´
ıticas reales que admiten el desarrollo en serie de
potencias:
∞
(3.5) a(t) = ak tk
k=0
∞
(3.6) b(t) = bk tk .
k=0
Insertando la expresi´n (3.4) del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita x y
o o
usando los desarrollos de los datos (3.5) y (3.6) obtenemos la identidad:
∞ ∞ ∞ ∞
(3.7) kxk tk−1 + ak tk xk tk = bk tk .
k=1 k=0 k=0 k=0
Para obtener (3.7) hemos utilizado el hecho conocido de que x (t) admite tambi´n un desa-
e
3
rrollo en serie de potencias de la forma
∞
(3.8) x (t) = kxk tk−1 .
k=1
El siguiente paso consiste en desarrollar el producto de las dos series de potencias en (3.7):
∞ ∞ ∞ k
(3.9) ak tk xk tk = aj xk−j tk .
k=0 k=0 k=0 j=0
Como el producto de funciones anal´ ıticas es tambi´n anal´
e ıtico vemos que la serie producto
es tambi´n convergente por lo que lo hecho hasta ahora es plenamente riguroso.
e
En virtud de (3.7) y (3.9), y utilizando el hecho de que para que dos series de potencias
coincidan han de hacerlo uno a uno todos sus coeficientes, obtenemos que:
k
(3.10) (k + 1)xk+1 + aj xk−j = bk , k 0.
j=0
La identidad (3.10) proporciona una f´rmula de recurrencia que permite calcular el (k + 1)-
o
´simo coeficiente del desarrollo de x a partir de los k primeros y de los coeficientes de a
e
y b. Sin embargo, para poder identificar plenamente la inc´gnita x precisamos su primer
o
coeficiente x0 . Este viene determinado por el dato inicial x0 de la EDO (3.1).
3
Es una hecho bien conocido que una serie de potencias es de clase C ∞ en el interior de su intervalo de
convergencia y que la derivada de la serie coincide con la serie de las derivadas.
8
9. Calculando unos pocos t´rminos obtenemos
e
x 1 = b 0 − a0 x 0
1
x2 = [b1 − a0 x1 − a1 x0 ]
2
1
x3 = [b2 − a0 x2 − a1 x1 − a2 x0 ]
3
....
La argumentaci´n anterior permite ver que el m´todo de Cauchy proporciona todos los
o e
coeficientes del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita soluci´n x que queda perfec-
o o
tamente identificada.
Pero Cauchy lleg´ m´s lejos y prob´ que el desarrollo en serie de potencias as´ obtenido
o a o ı
converge. De esta manera demostr´ que la soluci´n del problema de valores iniciales para
o o
una EDO con coeficientes anal´ticos existe, es anal´
ı ıtica y es unica.
´
Conviene resaltar que el m´todo de Cauchy es constructivo de modo que puede f´cilmente
e a
implementarse en el ordenador para obtener aproximaciones num´ricas. Adem´s, tal y como
e a
veremos en la secci´n dedicada al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya, se pueden obtener
o
estimaciones muy expl´ ıcitas sobre el radio de convergencia de la soluci´n.
o
Aqu´ hemos presentado el m´todo de Cauchy en un caso muy sencillo (3.1) que puede
ı e
tambi´n extenderse a sistemas de EDO no-lineales. La extensi´n a las EDP necesit´ de
e o o
la contribuci´n fundamental de Sonia Kovalevskaya que introdujo el concepto de superficie
o
caracter´ıstica y que describiremos en las secciones 5 y ??.
4 Funciones anal´
ıticas reales en varias variables
En esta secci´n recordamos muy brevemente las propiedades m´s importantes de las fun-
o a
ciones anal´
ıticas reales. Para ello seguiremos el contenido de la secci´n 4.6.2 del libro de
o
Evans [3]. El libro de John [5] desarrolla este material con algo m´s de detalle.
a
Esencialmente, las funciones anal´ ıticas reales en varias variables son aqu´llas que, lo
e
mismo que en una sola variable, admiten un desarrollo en series de potencias. Estas funciones
se identifican a trav´s de sus coeficientes, lo cual es sumamente util a la hora de aplicar
e ´
el m´todo de Cauchy descrito en la secci´n anterior. Las funciones en cuesti´n son, por
e o o
supuesto, infinitamente derivables (i.e. son de clase C ∞ ) y admiten una relaci´n de orden
o
o de comparaci´n que ser´ sumamente util a la hora de probar la convergencia de las series
o a ´
obtenidas al aplicar el m´todo de Cauchy en el contexto de las EDP.
e
Una funci´n f : Rn → R se dice anal´
o ıtica real en un entorno de x0 ∈ Rn si existe r > 0
tal que
(4.1) f (x) = fα (x − x0 )α , | x − x0 |≤ r.
α
9
10. ındices α ∈ Nn .
La suma en (4.1) se toma a lo largo de todos los multi-´
Se puede comprobar que toda funci´n anal´
o ıtica real es de clase C ∞ . Adem´s las constantes
a
fα del desarrollo de serie de potencias (4.1) pueden calcularse expl´ ıcitamente evaluando las
sucesivas derivadas de f en x = x0 , i.e.
(4.2) fα = Dα f (x0 ) α!.
Por tanto, las funciones anal´
ıticas reales coinciden con su desarrollo de Taylor:
1 α
(4.3) f (x) = D f (x0 )(x − x0 )α , | x − x0 |< r.
α
α!
Sin p´rdida de generalidad y con el objeto de simplificar la notaci´n en lo sucesivo
e o
suponemos que x0 = 0.
El siguiente ejemplo de funci´n anal´
o ıtica juega un papel muy importante en la prueba
del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya:
r
(4.4) f (x) = .
r − (x1 + · · · + xn )
√
o ıtica en la esfera | x |< r
Se trata efectivamente de una funci´n anal´ n.
Su desarrollo en serie de potencias es f´cil de calcular a trav´s de lo que ya conocemos
a e
de la teor´ de funciones de una sola variable:
ıa
∞ k
1 x1 + · · · + xn
(4.5) f (x) = x1 +···+xn
=
1− r k=0
r
∞
1 |α| α | α |! α
= x = x .
k=0
rk α α
r|α| α!
|α|=k
Es f´cil comprobar que esta serie de potencias es absolutamente convergente para | x |<
a
√
r n. En efecto,
∞ k
| α |! | x1 | + · · · + | xn |
| x |α = <∞
α
r|α| α! k=0
r
puesto que √
| x1 | + · · · + | xn | n|x|
< 1,
r r
√
para todo x tal que |x| < r/ n.
Establezcamos ahora una relaci´n de orden en la clase de funciones anal´
o ıticas que jugar´
a
un papel muy importante en la demostraci´n del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.
o
10
11. Dadas dos funciones anal´
ıticas f y g representadas en series de potencias en la forma
(4.6) f (x) = fα xα , g(x) = gα xα ,
α α
diremos que g mayora a f y lo representaremos escribiendo
(4.7) g f,
si
(4.8) gα | fα |, ∀α ∈ Nn .
La relaci´n de mayoraci´n establece una cierta jerarqu´ en la clase de funciones anal´
o o ıa ıticas.
As´ por ejemplo, si g
ı, f y g converge para | x |< r, por el criterio M de la mayorante
de Weirstrass, tambi´n el desarrollo de Taylor de f converge. Dicho en otras palabras, las
e
funciones mayoradas por una funci´n g dada heredan de esta ultima la esfera donde el desar-
o ´
rollo en serie de potencias converge. Esta propiedad es sumamente util a la hora de probar
´
la convergencia de series de potencias por comparaci´n.o
Verifiquemos que lo que acabamos de decir es cierto. Como g f tenemos que
fα | x |α gα | x |α .
α α
Ahora bien, como la segunda serie converge, la primera lo hace tambi´n y por tanto la
e
serie
fα xα
α
converge absolutamente en la bola | x |< r.
Se puede tambi´n probar la propiedad rec´
e ıproca en el sentido que si f = α fα xα con-
verge en | x |< r entonces admite una mayorante expl´
ıcita en cada subesfera | x |< r < r.
5 El m´todo
e de Cauchy y las superficies
no-caracter´
ısticas*
6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya*
7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´
o ısticas
Tal y como hemos visto en las secciones anteriores, el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya
asegura que el cl´sico Teorema de Cauchy de la teor´ de EDO (que garantiza que toda
a ıa
EDO con coeficientes anal´ ıticos tiene una unica soluci´n local anal´
´ o ıtica) es cierto tambi´n
e
11
12. en el marco de las EDP cuasilineales4 bajo la condici´n adicional de que la superficie sobre
o
la que se dan los datos de Cauchy sea anal´ıtica y no caracter´
ıstica.
Conviene pues tener una caracterizaci´n sencilla que permita verificar cu´ndo una hiper-
o a
superficie es caracter´
ıstica o no. Esto es particularmente f´cil de hacer en el marco de las
a
EDP lineales con coeficientes constantes.
Consideremos pues operadores diferenciales de la forma
(7.1) P (D) = aα D α
|α| k
donde aα ∈ R, para cada | α | k. Se trata en efecto de un operador diferencial lineal de
orden k con coeficientes constantes.
La parte principal de este operador viene dada por los t´rminos de orden superior, k en
e
este caso:
(7.2) Pp (D) = aα D α ,
|α|=k
al que podemos asociar su polinomio caracter´
ıstico
(7.3) Pp (ξ) = aα ξ α .
|α|=k
Dado un hiperplano H de dimensi´n n − 1 en el espacio eucl´
o ıdeo Rn ´ste es caracter´
e ıstico
si y s´lo si su vector normal ν = (ν1 , · · · , νn ) es un cero de este polinomio, es decir, si
o
α
(7.4) Pp (ν) = aα ν α = α
aα ν1 1 · · · νn n = 0.
|α|=k |α|=k
De esta caracterizaci´n se deduce f´cilmente que el hecho que un hiperplano sea caracter´
o a ıstico
n
es algo muy excepcional, dado que el conjunto de ceros de un polinomio en R es un conjunto
muy peque˜o (de medida nula, en particular).
n
Por otra parte, de la construcci´n desarrollada en el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya
o
(C-K) es f´cil convencerse de que s´lo la parte principal del operador puede afectar a la
a o
condici´n de que el hiperplano sea caracter´
o ıstico. En efecto, tal y como ve´ıamos, la unica
´
dificultad que surge en la identificaci´n de todos los coeficientes del desarrollo en serie de
o
potencias de la soluci´n ocurre a la hora de calcular los coeficientes correspondientes a la
o
derivada normal (en la direcci´n normal a la superficie donde se dan los datos de Cauchy)
o
de orden mayor o igual al orden del operador involucrado en la EDP.
4
Las ecuaciones cuasilineales son una clase particular de las ecuaciones no-lineales en las que la no-
linealidad s´lo afecta a las derivadas de ordena, lo sumo, k − 1 de la inc´gnita, siendo k el orden de la
o o
ecuaci´n.
o
12
13. Por ultimo, no es dif´ comprobar a trav´s de la definici´n de derivada direccional que
´ ıcil e o
el caso patol´gico en que la identificaci´n no puede realizarse, es decir, en que el hiperplano
o o
es caracter´
ıstico, es cuando el vector normal ν es un cero del polinomio Pp (·).
Veamos ahora c´mo se puede usar esta caracterizaci´n en los ejemplos m´s cl´sicos de la
o o a a
ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas.
o
• La ecuaci´n de Laplace
o
El operador de Laplace viene dado por
n
∂2·
(7.5) ∆= .
i=1
∂x2
i
Se trata pues de un operador de orden 2 puro en el que su parte principal es el propio
operador ∆.
El polinomio caracter´
ıstico del operador de Laplace es por tanto:
(7.6) P∆ (ξ) = ξ1 + · · · + ξn =| ξ |2
2 2
y por consiguiente P∆ no admite ning´n cero no trivial. Esto significa que ning´n vector
u u
puede ser normal a un hiperplano caracter´ ıstico y en definitiva que ninguna hipersuperficie
es caracter´ıstica.
Por lo tanto, sea cual sea la hipersuperficie anal´ ıtica considerada, el problema de Cauchy
est´ bien puesto localmente en el marco de las soluciones anal´
a ıticas, en el sentido del Teorema
de Cauchy-Kovalevskaya.
En particular, se deduce el siguiente resultado:
Sea S una hipersuperficie anal´tica de Rn de dimensi´n n−1. Sea f una funci´n anal´tica
ı o o ı
definida en un entorno de S. Sean ϕ0 y ϕ1 funciones anal´ ıticas definidas sobre la superficie
S.
Entonces, para todo x0 ∈ S, existe un entorno Nx0 de x0 en Rn en el que el problema de
Cauchy admite una unica soluci´n anal´
´ o ıtica:
∆u = f
en Nx0
u = ϕ0 en S ∩ Nx0
(7.7)
∂u
= ϕ1 en S ∩ Nx0 .
∂ν
Conviene subrayar que la unica diferencia de este enunciado con el que es v´lido gracias al
´ a
Teorema de Cauchy-Kovalevskaya es que, en este caso, no hace falta que impongamos a S
la hip´tesis de ser no caracter´
o ıstico.
• La ecuaci´n del calor:
o
13
14. Consideramos ahora el operador del calor:
(7.8) ∂t − ∆x .
Trat´ndose de un operador de orden dos su parte principal es −∆x y el s´
a ımbolo correspon-
2
diente Pp (ξ, τ ) = − | ξ | .
Conviene observar que, en este caso, Pp es un polinomio en las variables (ξ, τ ) ∈ Rn × R
puesto que consideramos un operador diferencial en las variables (x, t) ∈ Rn × R.
Los vectores normales a los hiperplanos caracter´ ısticos son por tanto de la forma ν =
(0, τ ). Es decir se trata de vectores perpendiculares al eje temporal. Los hiperplanos carac-
ter´
ısticos son entonces de la forma:
(7.9) {t = cte.} .
Es por ´sto que el problema de valores iniciales para la ecuaci´n del calor
e o
ut − ∆x u = 0,
x ∈ Rn , t ∈ R
(7.10) u(x, 0) = ϕ0 (x), x ∈ Rn
ut (x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ Rn
es un problema caracter´ıstico al que no se puede aplicar el Teorema de C-K.
De hecho est´ claro que en este problema los datos de Cauchy est´n sobredeterminados
a a
puesto que, si
(7.11) u(x, 0) = ϕ0 (x),
tambi´n se cumple necesariamente que
e
(7.12) ∆x u(x, 0) = ∆x ϕ0 (x).
De la ecuaci´n del calor se deduce entonces que
o
(7.13) ut (x, 0) = ∆x ϕ0 (x),
lo cual muestra que, para que pueda existir una soluci´n del problema de Cauchy, es necesario
o
que se cumpla la condici´n de compatibilidad
o
(7.14) ϕ1 (x) = ∆x ϕ0 (x).
Vemos pues que el problema de Cauchy no siempre tiene soluci´n.o
Conviene sin embargo observar que, si bien la ecuaci´n del calor es de orden dos, es
o
s´lo de primer orden en la variable temporal. Por tanto, (7.10) cabe tambi´n interpretarse
o e
como una ecuaci´n de evoluci´n de orden uno. Si as´ fuese, ser´ razonable considerar el
o o ı ıa
14
15. problema de valores iniciales en el que s´lo se impone el valor de la soluci´n en la superficie
o o
caracter´
ıstica t = 0 pero no el de la derivada temporal:
ut − ∆x u = 0, x ∈ RN , t ∈ R
(7.15)
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ RN .
Este problema de valores iniciales si que est´ bien puesto pero s´lo en el sentido positivo
a o
del tiempo, i.e. para t > 0. La soluci´n de (7.15) viene dada a trav´s de la convoluci´n con
o e o
la soluci´n fundamental Gaussiana:
o
(7.16) G(x, t) = (4πt)−N/2 exp(− | x |2 /4t).
En efecto la soluci´n de (7.15) es
o
(7.17) u(x, t) = [G(x, t) ∗ ϕ](x),
donde ∗ denota la convoluci´n en la variable espacial exclusivamente, es decir,
o
| x − y |2
(7.18) u(x, t) = (4πt)−N/2 exp − ϕ(y)dy.
Rn 4t
Este problema ser´ desarrollada con m´s detalle en la secci´n 13.
a a o
15
16. • La ecuaci´n de ondas
o
Consideramos ahora el operador de ondas o de d’Alembert
2
(7.19) = ∂t − ∆x .
Se trata de un operador de orden dos donde la parte principal es, como en la ecuaci´n de
o
Laplace, el propio operador.
En este caso el polinomio caracter´
ıstico es de la forma
(7.20) P (ξ, τ ) = τ 2 − | ξ |2 .
ısticos son de la forma (ξ, ± | ξ |)
Por tanto los vectores normales a los hiperplanos caracter´
y los hiperplanos caracter´
ısticos son planos inclinados de pendiente unidad. Se trata pues
de planos tangentes al cono de luz
(7.21) | x |= t
o a sus traslaciones
(7.22) | x − x0 |= t − t0 .
En el caso de una sola variable espacial la ecuaci´n de ondas se reduce a
o
(7.23) utt − uxx = 0,
y el problema de valores iniciales correspondiente es por tanto
utt − uxx = 0,
x ∈ R, t ∈ R
(7.24) u(x, 0) = f (x), x ∈ R
ut (x, 0) = g(x), x ∈ R.
Se trata obviamente de un problema no caracter´
ıstico en el que los datos de Cauchy est´n a
dados sobre la recta no caracter´
ıstica t = 0.
La f´rmula de d’Alembert proporciona en este caso la expresi´n expl´
o o ıcita de la soluci´n:
o
x+t
1 1
(7.25) u(x, t) = [f (x + t) + f (x − t)] + g(s)ds.
2 2 x−t
De esta expresi´n se deduce que la soluci´n est´ globalmente definida. Cuando los datos f
o o a
y g son funciones anal´ıticas, la soluci´n tambi´n lo es. Pero la f´rmula (7.25) tiene tambi´n
o e o e
la virtud de proporcionar una expresi´n de la soluci´n para datos iniciales f y g mucho
o o
menos regulares. Por ejemplo, cuando f es continua y g es integrable, (7.25) representa
una funci´n continua. Pero la f´rmula (7.25) tiene incluso sentido para funciones f y g
o o
localmente integrables (en el sentido de Lebesgue) y por tanto permite tambi´n representar
e
las soluciones d´biles de la ecuaci´n.
e o
16
17. Esta f´rmula permite tambi´n observar la velocidad finita de propagaci´n en el proceso
o e o
descrito por la ecuaci´n de ondas (= 1 en este caso). En particular, el valor de la soluci´n u
o o
en el punto (x, t) depende del de los datos iniciales en el intervalo [x − t, x + t] denominado
dominio de dependencia, mientras que el valor de los datos iniciales en el punto x0 s´lo afecta
o
al valor de la soluci´n en el interior del cono |x − x0 | ≤ t, tambi´n conocido como regi´n de
o e o
influencia.
En el caso de varias variables espaciales se pueden tambi´n obtener f´rmulas de repre-
e o
sentaci´n expl´
o ıcita de las soluciones aunque en estos casos son algo m´s complejas. Conviene
a
se˜alar que:
n
• En tres dimensiones espaciales, el m´todo de las medias esf´ricas permite reducir el
e e
c´lculo de la soluci´n general al caso particular de las soluciones radiales para las que
a o
u = u(r, t), con r = |x|. En este caso la ecuaci´n de ondas se escribe
o
2
utt − urr − ur = 0.
r
El cambio de variables v = ru reduce ´sta a la ecuaci´n de ondas pura en una dimensi´n:
e o o
vtt − vrr = 0. Esto permite obtener una expresi´n expl´
o ıcita de la soluci´n radial de la
o
que despu´s se obtiene la soluci´n general.
e o
• Una vez de haber obtenido la soluci´n de la ecuaci´n de ondas en tres dimensiones, la
o o
soluci´n en dos dimensiones se puede obtener por el m´todo del descenso. Basta para
o e
ello considerar la soluci´n u = u(x, y, t) como una soluci´n de la ecuaci´n de ondas en
o o o
tres dimensiones independiente de la variable z.
8 ¿Soluciones locales o globales?
Tal y como hemos subrayado en secciones anteriores, el Teorema de C-K proporciona solu-
ciones locales, definidas en torno a la superficie donde se dan los datos de Cauchy.
Sin embargo, en algunos casos, como por ejemplo en el problema de valores iniciales para
la ecuaci´n de ondas 1 − d, la soluci´n est´ globalmente definida.
o o a
El objeto de esta secci´n es enfatizar que, en general, no puede garantizarse que la soluci´n
o o
sea global.
Ya en el marco de la teor´ de EDO encontramos ejemplos que ilustran claramente este
ıa
hecho.
Consideramos por ejemplo la ecuaci´n diferencial lineal:
o
x = x, t∈R
(8.1)
x(0) = x0 .
17
18. En este caso la soluci´n es global y viene dada por la expresi´n
o o
(8.2) x(t) = x0 et .
Resulta pues evidente que se trata de una funci´n anal´
o ıtica globalmente definida.
Consideremos ahora la ecuaci´n no lineal:
o
x = x3 , t∈R
(8.3)
x(0) = x0 .
La soluci´n tambi´n puede obtenerse de forma expl´
o e ıcita en este caso. En efecto, la ecuaci´n
o
puede reescribirse como
x /x3 = 1.
Integrando en la variable temporal obtenemos
t
−1
= t.
2x2 (t) 0
Es decir
−1/2 x0
(8.4) x(t) = x−2 − 2t
0 =√ .
1 − 2tx0
La soluci´n obtenida es anal´
o ıtica pero tiene car´cter local puesto que x(t)
a ∞ cuando
t t∗ , el tiempo m´ximo de existencia de la soluci´n que viene dada por:
a o
1
(8.5) t∗ = .
2x20
Se trata de un fen´meno de explosi´n en tiempo finito.
o o
En realidad, salvo la soluci´n trivial x ≡ 0 que corresponde al dato inicial x0 = 0, todas
o
las soluciones explotan en tiempo finito t∗ . De la expresi´n expl´
o ıcita de t∗ se observa tambi´n
e
que, a medida que el m´dulo | x0 | del dato inicial aumenta el tiempo de existencia de la
o
soluci´n disminuye. Por el contrario, a medida que | x0 | tiende a cero el tiempo de existencia
o
aumenta y tiende a infinito.
Este ejemplo muestra con claridad que la restricci´n que el enunciado del Teorema de
o
C-K impone a las soluciones de ser locales no es meramente t´cnica sino que obedece a que,
e
en algunas ocasiones, las soluciones no est´n globalmente definidas.
a
De este ejemplo se podr´ sin embargo pensar que el unico obst´culo para que las solu-
ıa ´ a
ciones est´n globalmente definidas es que la ecuaci´n en cuesti´n sea no-lineal. Esto es as´
e o o ı
en el marco de las EDO pero no en el de las EDP donde tambi´n pueden aparecer otro tipo
e
de restricciones, de car´cter m´s geom´trico.
a a e
Para convencernos de eso consideremos la ecuaci´n de Laplace en dos dimensiones espa-
o
ciales
(8.6) ∆u = uxx + yyy = 0
18
19. con datos de Cauchy sobre la circunferencia unidad
(8.7) Γ = x2 + y 2 = 1 .
En este caso el problema de Cauchy puede escribirse del siguiente modo
uxx + uyy = 0
en R2
(8.8) u =f
Γ
xu + yu = g.
x y
Γ
Conviene se˜alar que, en cada punto de Γ, el vector (x, y) apunta en la direcci´n normal.
n o
Por tanto el valor de u y de xux + yuy sobre Γ proporcionan datos de Cauchy completos.
Teniendo en cuenta que, tal y como vimos en la secci´n anterior, el operador de Laplace
o
no posee ninguna curva caracter´ ıstica, se deduce que el Teorema de C-K es aplicable en este
caso. Obtenemos as´ una soluci´n anal´
ı o ıtica unica local en un entorno de la curva Γ para
´
cada par de datos iniciales anal´ıticos f y g.
Cabe ahora preguntarse cu´ndo esta soluci´n est´ globalmente definida en el interior de
a o a
la esfera |x| ≤ 1. Para que esto ocurra es imprescindible que los datos de Cauchy f y g est´n
e
correlados. En otras palabras, para cada dato f s´lo existe un dato g para el que la soluci´n
o o
est´ globalmente definida en la bola {|x| ≤ 1}.
a
Para comprobar este hecho basta observar que la soluci´n del problema
o
uxx + uyy = 0 en |x| ≤ 1
(8.9)
u = f,
Γ
es unica. Este hecho puede probarse tanto por el principio del m´ximo como por el m´todo
´ a e
de la energ´ Hagamos la verificaci´n por este ultimo m´todo. Si el problema posee dos
ıa. o ´ e
soluciones distintas su diferencia v satisface
vxx + vyy = 0 en |x| ≤ 1
(8.10)
v = 0.
Γ
Multiplicando en la ecuaci´n por v, e integrando por partes mediante la f´rmula de Green
o o
obtenemos que
| v|2 dx = 0.
|x|≤1
Esto implica que v ha de ser constante. Como se anula en el borde de la bola, ha de ser
necesariamente nula, lo cual garantiza la unicidad.5
5
Otra prueba alternativa est´ basada en el principio del m´ximo. En efecto, si ∆v ≥ 0, su valor m´ximo
a a a
se alcanza en el borde de modo que v ≤ 0. Como ∆v = 0, aplicando el mismo argumento a −v se deducir´ ıa
que v ≤ 0. De este modo se concluir´ que v ≡ 0.
ıa
19
20. El ejemplo que acabamos de desarrollar demuestra que, lejos de tratarse de un hecho
raro, la ausencia de soluciones globales para el problema de Cauchy ocurre en el ejemplo
m´s importante en la teor´ de EDP: la ecuaci´n de Laplace.
a ıa o
9 Unicidad de soluciones
En las secciones anteriores hemos construido soluciones para diversas ecuaciones. El Teorema
de C-K garantiza que estas son unicas en el marco de problemas de Cauchy con datos y
´
coeficientes anal´ıticos y siempre que la superficie donde se dan los datos sea anal´ıtica y no
caracter´
ıstica.
Sin embargo, tal y como hemos tenido oportunidad de comprobar, el resultado de unicidad
que el Teorema de C-K proporciona no siempre es de aplicaci´n por, al menos, dos razones:
o
• Hay problemas importantes, como por ejemplo el problema de valores iniciales para la
ecuaci´n del calor, que no es un problema de Cauchy y adem´s los datos est´n dados
o a a
sobre una hipersuperficie (t = 0 en este caso) caracter´
ıstica.
• Frecuentemente los datos del problema no son anal´
ıticos.
Este era el caso por ejemplo en la ecuaci´n del calor donde se observaba que para un
o
dato inicial en L (R ) se obten´ una soluci´n en la clase BC ([0, ∞); L1 (Rn )).
1 n
ıa o
Conviene pues desarrollar herramientas adicionales que permitan abordar el problema de la
unicidad de manera m´s sistem´tica. Aqu´ analizaremos dos de ellas:
a a ı
• El Teorema de Holmgren.
• El m´todo de dualidad.
e
9.1 El Teorema de Holmgren
El Teorema de Holmgren es v´lido en el contexto del Teorema de C-K siendo un corolario
a
de este ultimo. Su enunciado es el siguiente6 :
´
Teorema de Holmgren
En el marco del Teorema de C-K, es decir, para ecuaciones con coeficientes y datos
anal´
ıticos sobre una superficie anal´tica y no caracter´
ı ıstica la soluci´n proporcionada por el
o
Teorema de C-K es la unica no s´lo en la clase de funciones anal´
´ o ıticas sino que es unica en
´
toda la clase de funciones localmente integrables.
6
El Teorema de Holmgren es m´s general pues garantiza la unicidad de las soluciones generalizadas en el
a
sentido de las caracter´
ısticas
20
21. La importancia del Teorema de Holmgren radica en que, para problemas de Cauchy en
los que el Teorema de C-K es aplicable, no puede existir otra soluci´n que no sea la funci´n
o o
anal´ıtica que C-K proporciona.
Teorema de C-K puede tambi´n aplicarse incluso cuando los datos del problema no son
e
anal´ıticos. Consideremos por ejemplo el problema de Cauchy para la ecuaci´n de Laplace.
o
∆u = 0 en Rn
u=f en Γ
(9.1)
∂u
= g en Γ
∂ν
donde Γ es una hipersuperficie anal´ ıtica de Rn de dimensi´n n − 1.
o
Como el operador de Laplace no posee hipersuperficies caracter´ ısticas, el problema (9.1)
entra en el marco del Teorema de C-K.
Supongamos ahora que, por ejemplo, f y g son funciones continuas. En estas condiciones
el Teorema de C-K no se aplica puesto que, para hacerlo, se necesitan datos anal´ ıticos. Ahora
bien, a pesar de ello, el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de la soluci´n de (9.1).
o
En efecto, suponiendo que (9.1) posee dos soluciones u1 y u2 introducimos v = u1 − u2 .
Entonces v es soluci´n de
o
∆v = 0 en Rn
(9.2)
v = ∂v/∂ν = 0 en Γ.
Los datos en el sistema (9.2) son anal´ıticos. El Teorema de C-K se aplica y deducimos que
(9.2) posee una unica soluci´n que no puede ser otra que v ≡ 0. Por tanto u1 ≡ u2 .
´ o
Vemos pues que el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de las soluciones de (9.1).
Conviene sin embargo observar que el problema de la existencia persiste pues, si bien cuando
f y g son anal´ ıticas el Teorema de C-K se aplica, esto no ocurre cuando f y g son, por
ejemplo, meramente continuas.
En el caso de operadores lineales con coeficientes constantes
(9.3) P(D)u = aα D α u
|α| k
la aplicaci´n del Teorema de Holmgren proporciona el siguiente resultado.
o
Corolario. Sea u = u(x) una soluci´n de
o
(9.4) P(D)u = 0 en Rn
y supongamos que u se anula en un abierto no vac´ ω de Rn .
ıo
Entonces, u tambi´n se anula en un conjunto m´s grande ω, la envolvente caracter´stica
e a ı
n
de ω, que se define del modo siguiente: ω es el abierto de R con la propiedad de que todo
hiperplano caracter´stico que interseque ω tambi´n ha de intersecar a ω.
ı e
21
22. Veamos los resultados que arroja la aplicaci´n de este Corolario en los tres modelos m´s
o a
importantes.
• La ecuaci´n de Laplace
o
Supongamos que u = u(x) es una soluci´n de
o
(9.5) ∆u = 0 en Rn .
Supongamos adem´s que u = 0 en ω, un abierto no vac´ de Rn .
a ıo
En este caso se deduce inmediatamente que u ≡ 0. Esto es as´ puesto que, de acuerdo a
ı
la definici´n de envolvente de ω dada en el enunciado del Teorema, ω = Rn , lo cual ocurre
o
porque ∆ no tiene hiperplanos caracter´
ısticos.
Conviene tambi´n se˜alar que el Teorema de Holmgren es de aplicaci´n local de modo
e n o
que si la ecuaci´n ∆u = 0 se verifica en un abierto Ω de Rn y u = 0 en un subconjunto
o
abierto no vac´ ω de Ω, entonces u ≡ 0 en todo Ω.
ıo
• La ecuaci´n del calor
o
Supongamos ahora que u = u(x, t) es soluci´n de la ecuaci´n del calor
o o
(9.6) ut − ∆u = 0 en Rn , 0 < t < T
y que
(9.7) u = 0 en ω = Θ × (0, T )
donde Θ es un abierto no vac´ de Rn .
ıo
Entonces, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que
(9.8) u = 0 en ω = Rn × (0, T ).
Al cilindro ω = Rn × (0, T ) se le denomina la componente horizontal de ω = θ × (0, T ).
Esto es as´ pues todos los hiperplanos caracter´
ı ısticos de la ecuaci´n del calor son de la
o
n
forma t = cte. Es pues evidente que R ×(0, T ) es el conjunto m´s grande con la propiedad de
a
que todo hiperplano caracter´ıstico que lo corta, interseque tambi´n al subconjunto Θ×(0, T ).
e
Vemos por lo tanto que, tanto en la ecuaci´n de Laplace como del calor el conjunto de
o
ceros de la soluci´n se propaga a velocidad infinita en la variable espacial.
o
• La ecuaci´n de ondas
o
Supongamos ahora que
(9.9) utt − ∆u = 0 en Rn × Rt
x
y que
(9.10) u = 0 en ω = Θ × (−T, T ).
22
23. En este caso, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que
(9.11) u = 0 en ω
˜
donde
(9.12) ω=
˜ ΘR × (−T + R, T − R)
0 R T
donde ΘR es un entorno en Rn
xde radio R de Θ.
En el caso de una variable espacial el resultado es particularmente sencillo pues garantiza
que si
u = 0 en (a, b) × (−T, T )
entonces
u = 0 en [(a − R, b + R) × (−T + R, T − R)] .
0 R T
An´logamente,
a
u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {T + σ}]
0 σ (b−a)/2
y
u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {−T − σ}] .
0 σ (b−a)/2
En esta construcci´n se observa que el conjunto de ceros se propaga con velocidad uno, de
o
acuerdo con las propiedades b´sicas de la ecuaci´n de ondas considerada.
a o
El resultado obtenido es ´ptimo tal y como se confirma al estudiar el cono de influencia
o
y las regiones de dependencia en la ecuaci´n de ondas.
o
9.2 Dualidad
A pesar de la versatilidad del Teorema de Holmgren, hay una situaci´n en la que su aplicaci´n
o o
es imposible. Se trata del caso en que el problema considerado es caracter´ıstico.
Esta es precisamente la situaci´n en uno de los problemas m´s relevantes: El problema
o a
de valores iniciales para la ecuaci´n del calor:
o
ut − ∆u = 0 en Rn × (0, ∞)
(9.13)
u(x, 0) = f (x) en Rn .
En la secci´n 7 hemos visto que el problema admite una soluci´n de la forma
o o
(9.14) u(t) = G(t) ∗ f,
siendo G el n´cleo de Gauss. Gracias a las propiedades elementales de la operaci´n de
u o
2 n
convoluci´n es f´cil comprobar que, si f ∈ L (R ) esta soluci´n pertenece a la clase u ∈
o a o
2 n
BC ([0, ∞); L (R )).
23
24. Hab´ ıamos asimismo comprobado (esto puede hacerse aplicando la desigualdad de Young
para la convoluci´n o el m´todo de la energ´ que
o e ıa)
(9.15) u(t) L2 (Rn ) f L2 (Rn ) , ∀t > 0.
Se nos plantea pues el problema de la unicidad. Como el hiperplano {t = 0} en el que el
dato inicial est´ dado es caracter´
a ıstico para la ecuaci´n del calor, el Teorema de Holmgren
o
no se puede aplicar.
En este caso el m´todo de dualidad proporciona la soluci´n de manera sencilla.
e o
Supongamos que (9.13) admite dos soluciones u1 y u2 en la clase BC ([0, ∞); L2 (Rn )).
Entonces v = u1 − u2 ∈ BC ([0, ∞); L2 (Rn )) es soluci´n de
o
vt − ∆v = 0 en Rn × (0, ∞)
(9.16)
v(0) = 0 en Rn .
El problema se reduce a comprobar que v ≡ 0. En otras palabras, dado T > 0 arbitrario se
trata de ver que v(T ) ≡ 0.
Consideramos ahora el problema adjunto7
−ϕt − ∆ϕ = v en Rn × (0, T )
(9.17)
ϕ(T ) = 0 en Rn .
A pesar de que hemos cambiado el signo de la derivada temporal de la ecuaci´n del calor que
o
interviene en (9.17), en la medida en que los datos se dan en el instante final T , la soluci´n
o
ϕ puede ser construida como para el problema de valores iniciales en la cl´sica ecuaci´n del
a o
calor.
En efecto, si hacemos el cambio de variables
(9.18) ψ(x, t) = ϕ(x, T − t),
observamos que ϕ es soluci´n de (9.17) si y s´lo si ψ es soluci´n de
o o o
ψt − ∆ψ = v(T − t) en Rn × (0, T )
(9.19)
ψ(0) = 0 en Rn .
7
En el contexto de los operadores en derivadas parciales el operador adjunto se define siguiendo las ideas
del Algebra Lineal, pero, en el esp´ıritu de la teor´ de distribuciones, adoptando el producto escalar de L2 .
ıa
Recordemos que en el marco de la teor´ de matrices, si A es una matriz N × N , su adjunta A∗ est´ definida
ıa a
por la propiedad < Ax, y >=< x, A∗ y >, donde < ·, · > denota el producto escalar euclideo. En el marco
de los operadores diferenciales se procede de modo an´logo. Si P (D) es un operador diferencial lineal de
a
coeficientes constantes o variables, su adjunto P ∗ (D) se define por la f´rmula < P (D)u, v >=< u, P ∗ (D)v >,
o
para todo par de funciones test u y v, siendo en esta ocasi´n < ·, · > el producto escalar en L2 . As´ en
o ı,
particular, el adjunto del operador del calor ∂t − ∆ es el operador −∂t − ∆.
24
25. Sabemos que (9.19) admite una soluci´n de la forma
o
t
(9.20) ψ(t) = G(t − s) ∗ v(T − s)ds.
0
Deshaciendo el cambio obtenemos que
T −t T
(9.21) ϕ(t) = ψ(T − t) = G(T − t − s) ∗ v(T − s)ds = G(σ − t) ∗ v(σ)dσ.
0 t
Tenemos adem´s la estimaci´n
a o
(9.22) ϕ(t) L2 (Rn ) v L1 (0,T ; L2 (Rn )) , 0 t T.
Multiplicando en (9.17) por v e integrando por partes obtenemos que
(9.23) v 2 dxdt = (−ϕt − ∆ϕ)v dxdt
Rn ×(0,T ) Rn ×(0,T )
T
= − ϕvdx + ϕ(vt − ∆v)dxdt.
Rn 0 Rn
Es f´cil ver que todos y cada uno de los t´rminos a la derecha de la identidad (9.13) se
a e
anulan. En efecto, ϕ(0)v(0)dx = 0 puesto que el dato inicial de v se anula. El hecho de
Rn
que el valor de ϕ en t = T se anula implica que ϕ(T )v(T )dx = 0. Por ultimo, como v
´
Rn
satisface la ecuaci´n del calor vemos que
o
ϕ(vt − ∆v)dxdt = 0.
Rn ×(0,T )
Concluimos por tanto que
(9.24) v 2 dxdt = 0,
Rn ×(0,T )
lo cual garantiza que v ≡ 0 y da el resultado de unicidad buscado.
Vemos pues que el m´todo de dualidad funciona proporcionando la unicidad de la soluci´n
e o
en problemas caracter´ ısticos. Esencialmente, el m´todo de dualidad funciona cada vez que
e
disponemos de un m´todo que permite construir soluciones con estimaciones adecuadas.
e
Conviene sin embargo ser cautos en el empleo de este m´todo en el caso en que el problema
e
considerado es no-lineal. Para comprobarlo, consideramos el caso m´s sencillo de la EDO:
a
x (t) = f (x(t)), t > 0
(9.25)
x(0) = x0 .
Supongamos que (9.25) admite dos soluciones x e y y definamos z = x − y. Entonces, z
satisface
z = f (x) − f (y) = a(t)z, t > 0
(9.26)
z(0) = 0,
25
26. donde
f (x) − f (y)
(9.27) a(t) = .
x−y
Es ahora muy f´cil aplicar el m´todo de la dualidad para deducir que, cuando f es Lipschitz,
a e
la soluci´n es unica. En efecto, si f es Lipschitz con constante de Lipschitz L > 0, tenemos
o ´
f (x(t)) − f (y(t))
(9.28) | a(t) |= L.
x(t) − y(t)
Por tanto, el potencial a = a(t) en (9.26) est´ acotado.
a
Consideramos ahora el problema adjunto
−ϕ = a(t)ϕ + z, 0 < t < T
(9.29)
ϕ(T ) = 0.
La soluci´n ϕ de (9.29) existe y se puede construir por el m´todo de la variaci´n de las
o e o
constantes.
Multiplicando en (9.29) por z e integrando por partes en el intervalo 0 < t < T deducimos
que z ≡ 0. Es decir, se obtiene la unicidad en (9.25).
¿Por qu´ el m´todo no se aplica cuando f deja de ser Lipschitz?
e e
En efecto, cuando f deja de ser Lipschitz hay ejemplos claros de no unicidad. El m´s a
sencillo es el caso en que f (x) = | x |. Obviamente f no es Lipschitz en x = 0 y el problema
de valores iniciales
x = |x|
(9.30)
x(0) = 0
admite al menos dos soluciones:
(9.31) x≡0
y
(9.32) y = t2 /4.
El m´todo de dualidad no puede entonces aplicarse pues el potencial a = a(t) correspondiente
e
es singular
|x|− |y | |y| √ 2
(9.33) a(t) = = = ( y)−1 = (t/2)−1 = .
x−y y t
La ecuaci´n adjunta es entonces
o
−ϕ = 2ϕ + z, 0 < t < T
(9.34) t
ϕ(T ) = 0.
Se puede incluso comprobar que (9.34) admite una unica soluci´n que se puede escribir de
´ o
manera expl´ ıcita por el m´todo de la variaci´n de las constantes. Pero la soluci´n ϕ obtenida
e o o
es singular en t = 0, de modo que el m´todo de dualidad que precisa de la integraci´n por
e o
partes en el intervalo (0, T ) no se puede aplicar en este caso.
26
27. 9.3 La soluci´n de Tychonoff
o
Acabamos de probar mediante el m´todo de dualidad que el problema de valores iniciales
e
para la ecuaci´n del calor tiene una soluci´n unica. Sin embargo Tychonoff contruy´ una
o o ´ o
soluci´n de la ecuaci´n del calor que parece contradecir este hecho.
o o
En efecto, Tychonoff construy´ una funci´n u = u(x, t) de clase C ∞ para x ∈ R y t > 0
o o
tal que
(9.35) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0
y de modo que
(9.36) u(x, t) → 0, t → 0+ , ∀x ∈ R.
Este hecho entra en aparente contradicci´n con el resultado de unicidad probado mediante
o
el m´todo de dualidad que garantiza que si el dato inicial es nulo, la unica soluci´n del
e ´ o
problema de valores iniciales es la nula.
Un an´lisis un poco m´s cuidadoso de la soluci´n de Tychonoff y del resultado de unicidad
a a o
probado permite deshacer esta aparente paradoja.
La soluci´n de Tychonoff se construye de la siguiente manera (v´ase el cap´
o e ıtulo 7 del
libro de F. John [5] para m´s detalles).
a
Consideramos la ecuaci´n del calor unidimensional
o
(9.37) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0
con datos de Cauchy en el eje temporal:
(9.38) u(0, t) = g(t), ux (0, t) = 0, t > 0.
Buscamos una soluci´n de (9.37)-(9.38) desarrollada en serie de potencias de la forma
o
∞
(9.39) u= gj (t)xj .
j=0
Introduciendo la expresi´n (9.39) en la ecuaci´n del calor, igualando los coeficientes de las
o o
diferentes potencias de x y usando los datos de Cauchy (9.38) obtenemos que
(9.40) g0 = g, g1 = 0, gj = (j + 2)(j + 1)gj+2 .
Obtenemos por tanto la soluci´n formal
o
∞
g (k) (t) 2k
(9.41) u(x, t) = x .
k=0
(2k)!
27