Ecuacion Darcy-Lapwwod-Brinkman.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´tica
a

ESTUDIO ANAL´
ITICO DE LA
´
ECUACION DE D-L-BRINKMAN
´
SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA I

Alumno: Soto Rivera, Joel Richard
C´digo: 20071155A
o Nota:
Asesor: Dra. Irla Mantilla N.

´
LIMA-PERU
2012

i

Agradecimientos.

Quiero agradecer a la Dra. Irla Mantilla por su asesor´ en la elaboraciń de este
ıa o
trabajo, y permitirme uso y ser parte del Laboratorio de Simulaciń e Investigaciń
o o
Num´rica (LABOSIN).
e

ii

Nomenclatura.

v: velocidad macrosc´pica del fluido.
o

p: presiń
o

k: permeabilidad

µ: coeficiente de viscosidad din´mica.
a

ρ: densidad del fluido.

Re: n´mero de Reynolds.
u

ω: vorticidad.

ν: coeficiente de viscocidad cinem´tica.
a

t: tiempo.

F: fuerza aplicada sobre el fluido.

ψ: funciń corriente.
o

iii

Resumen
En el presente trabajo se realizar´ un estudio de la ecuaciń de Darcy-Brinkman-
a o
Lapwood(DBL) que es una ecuaciń que describe el movimiento de un fluido in-
o
compresible a trav´s de un medio poroso. Matem´ticamente este modelo est´ re-
e a a
presentado por un conjunto de Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales(EDP
NL), en el cual dada una condiciń para la vorticidad (ω), la m´
o ısma que depen-
de de la variable independiente (y), y de la funciń corriente(ψ) y ´sta a su vez
o e
est´ definida sobre un espacio bidimensional. A partir de ´sta condiciń se define un
a e o
parametro(β) que nos permite relacionar la permeabilidad y el n´mero de Reynolds,
u
el cual es un indicador que estima el nivel de influencia tanto de la permeabilidad
como del n´mero de Reynolds en el desplazamiento del fluido. As´ mismo se constru-
u ı
ye la soluciń anal´
o ıtica de la ecuaciń DBL adimensionalizada, cuyo procedimiento
o
es nuestro principal objetivo en el desarrollo de este trabajo.

Palabras claves:Flujo incompresible, Medio poroso, Soluciń exacta, EDP no lineal
o
D-B-L.
2010 Mathematics Subject Classification:76D06-65N30- 65Z05

iv

Abstract.
In the present paper offers a study of the Darcy-Brinkman-Lapwood (DBL) which
is an equation describing the motion of an incompressible fluid through a porous
medium. Mathematically this model is represented by a set of Partial Differential
Equations Nonlinear (NL EDP), which given a condition for the vorticity (ω), it de-
pends on the independent variable (y), and the stream function (ψ) and this in turn
is defined on a two dimensional space. From this condition we define a parameter
(β) that allows us to relate the permeability and the Reynolds number, which is an
indicator that estimates the level of influence of both the permeability and the Rey-
nolds number in the displacement the fluid. It also builds the analytical solution of
the equation dimensionless DBL, which process is our main objective in developing
this work.

Keywords: Porous Media Flow, Exact Solution, Nonlinear PDE DBL equation.
2010 Mathematics Subject Classification:76D06-65N30- 65Z05

´
Indice general

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Lista de figuras VII

1. Introducciń
o 1

2. Conceptos Generales F´ ısico-Matem´ticos
a 3
2.1. Propiedades Generales de Campos Vectoriales. . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Funciones vectoriales de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2. Operadores Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3. Identidades del c´lculo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 4
2.2. Ecuaciones Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. M´todo de caracteristica para la soluciń de EDO’s lineales.
e o . 5
2.3. Aspectos F´ısicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1. Conceptos f´ısicos b´sicos y Derivada Sustancial. . . . . . . .
a . 6
2.3.2. Leyes de Conservaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 7
2.3.3. Funciń Corriente relacionado con la Vorticidad. . . . . . . .
o . 8

3. Formulaciń del Problema
o 11
3.1. Transformaciń de las EDP’s DL-Brinkman. . . . . . . . . . . . . . . 12
o
3.2. Adimensionalizaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
o

4. soluciń an´litica del Problema DL-Brinkman
o a 17
4.1. Linealizaciń de las ecuaciones DLB modificadas. . . . . . . . . . . . 17
o
4.2. Comportamiento anal´ ıtico de la soluciń. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
4.3. Visualizaciń gr´fica de la soluciń exacta. . . . . . . . . . . . . . . . 21
o a o

Conclusiones. 31

Referencias 33

v

´
Indice de figuras

4.1. Gr´fica de las curvas de nivel de la funciń corriente con un par´metro
a o a
β = −0,8 con k = 1,0002 y Re = 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2. Gr´fica de las curvas de nivel de la funciń corriente con un par´metro
a o a
β = 0 con k = 1,0010 y Re = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3. Gr´fica de las funciń corriente con un par´metro β = 0,8 con k =
a o a
1,000688 y Re = 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4. Gr´fica de las curvas de nivel de la funciń corriente con una permea-
a o
bilidad 1000 y Re=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
a o
bilidad 10 y Re=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
a o
bilidad 3 y Re=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
a o
bilidad 1.5 y Re=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
a o
bilidad 1 y Re=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
a o
bilidad 1.0003 y Re=1900. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
a o
bilidad 1.0003 y Re=2400. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
a o
bilidad 1.0003 y Re=2700. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
a o
bilidad 1.0003 y Re=4500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.13. Gr´fica de la funciń corriente con una permeabilidad 1.0003 y Re=4500.
a o 28
a o
bilidad 10 y Re=200. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
a o
bilidad 200 y Re=2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
a o
bilidad 8 y Re=2300. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
a o
bilidad 8 y Re=4500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

vii

viii ´
INDICE DE FIGURAS

Cap´
ıtulo 1

Introducciń
o

El estudio del flujo de un fluido a trav´s de un medio poroso se inici´ con los
e o
experimentos de Darcy de aqu´ en base de esos experimentos surgi´ la llamada Ley
ı o
de Darcy, despu´s de algń tiempo Brinkman consider´ que la ecuaciń de Darcy
e u o o
era limitada al no incluir esfuerzos cortantes macrosc´picos del tipo viscoso, y ´stos
o e
fuerń causados por el contacto con la zona supercial del fluido .Asumiendo que el
o
flujo es incomprensible y viscoso a trav´s de un medio poroso: al no haber p´rdidas
e e
de masa y fuerzas externas al sistema se puede aplicar la ley de conservaciń de la
o
masa y el principio de conservaciń de la cantidad de movimiento respectivamente.
o
A partir de estas leyes sobre un medio poroso surgio la llamada ecuaciń de Brink-
o
man.
Formulada la ecuaciń de Brinkman al tratarse de una ecuaciń la cual est´ confor-
o o a
mada por un conjunto de EDP no lineales, la cual se linealiza, para ello se reformula
el problema en funciń de otras magnitudes f´
o ısicas como la vorticidad y la funciń
o
corriente,el cual nos conduce a una nueva formulaciń mediante la cual se simplifica
o
la resoluciń del problema original.
o
Para ello organizaremos el presente trabajo de la siguiente forma:
En el segundo capitulo se dan las definiciones y propiedades necesarias para
abarcar el estudio de este problema.
En el tercer capitulo formularemos concretamente las ecuaciones y la dimensiń
o
del dominio de estudio del problema. As´ mismo se establece las propiedades
ı
f´ ´
ısicas del flujo;observandose algunas dificultades que posee el problema. Estas
se superan expresando la ecuaciones DBL en funciń de la vorticidad y la
o
funciń corriente.
o
En capitulo 4 veremos que es posible linealizar ecuaciń modificada de DLB
o
bajo ciertas condiciones,y se construye la funciń corriente.
o
En el capitulo 5 se realiza un an´lisis de las soluciones para determinar la
a
velocidad del flujo y vemos su comportamiento dependiendo de los par´me-a
tro de la permeabilidad adimensional y del n´mero de Reynolds se dar´ las
u a
conclusiones que nos deja el trabajo.

1

2 CAP´ ´
ITULO 1. INTRODUCCION

Cap´
ıtulo 2

Conceptos Generales
F´
ısico-Matem´ticos
a

2.1. Propiedades Generales de Campos Vectoria-
les.
En matem´ticas un campo vectorial es una construcciń del c´lculo vectorial
a o a
que asocia un vector a cada punto en el espacio eucl´ ıdeo, de la forma .Los campos
vectoriales se utilizan a menudo en la f´ısica para, por ejemplo, modelar la velocidad
y la direcciń de un l´
o ıquido m´vil a trav´s del espacio, o la intensidad y la direcciń
o e o
de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagn´tica o la gravitatoria, pues
e
cambian punto a punto.

2.1.1. Funciones vectoriales de un vector.
Una funciń vectorial de un vector es una correspondencia desde un conjunto A
o
de vectores a un conjunto B de vectores tal que para cada a ∈ A hay un y s´lo un
o
vector correspondiente f(a)∈ B, es decir es una transformacion del conjunto A al
conjunto B.Si A es un subconjunto de Rn y B es un subconjunto de Rm decimos
que f es una funciń de Rn a Rm .
o

Definiciń 2.1.1 (Diferenciabilidad) La funciń f de Rn en Rm es diferenciable
o o
en el punto x si esta f esta definida en una vecindad B(x,r) y existe una matriz A
ˆ
(independiente de h) tal que para cualquier punto x+h en B(x, r) se tiene que:
f (x + h) = f (x) + Ah + Φ(x; h)h
Donde l´ h→0 Φ(x; h) = 0.El t´rmino Ah se llama diferencial de f en x y h y se
ım e
denota por df(x;h).La matriz A se llama derivada de f en x y se denota por Df(x).

Teorema 2.1.1 La funciń f=(f1 , . . . , fm ) de Rn en Rm es diferenciable en x si y
o
solo si cada una de sus componentes fi (i = 1, . . . m) es diferenciable en x. Demos-
traciń:Ver [1]
o

3

4 CAP´
ITULO 2. CONCEPTOS GENERALES F´ ´
ISICO-MATEMATICOS

Definiciń 2.1.2 (Espacio C 2 ) Se define el espacio C 2 (Ω) donde Ω es un abierto
o
n
de R como el conjunto dado de la siguiente forma:

C 2 (Ω) = {f : Ω → Rm /cuando f es derivable 2 veces y adem´s f (2) : Ω → Rm es continua.}
a

2.1.2. Operadores Diferenciales.
Un operador diferencial es un operador lineal definido como una funciń del ope-
o
rador de diferenciaciń.
o

Definiciń 2.1.3 (Operador Nabla.) nabla (tambiń llamado del) es un opera-
o e
3
dor diferencial de R representado por el s´ımbolo:∇(nabla). En coordenadas carte-
sianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:
δ δ δ
∇=x
ˆ +y +z
ˆ ˆ
δx δy δz
Observaciń:Siendo f:Ω → R3 suele denotarse ∇(f ) = ∇.f
o

Definiciń 2.1.4 (Operador Laplaciano.) El operador laplaciano o laplaciano
o
es un operador diferencial el´ptico de segundo orden, denotado como △, relaciona-
ı
do con ciertos problemas de minimizaciń de ciertas magnitudes sobre un cierto
o
dominio.Se define en ϕ un campo escalar o Γ un campo vectorial como:

∆ϕ = (∇.∇)ϕ = ∇2 ϕ ∆Γ = ∇(∇.Γ) − ∇ × (∇ × Γ)

Observaciń:
o
Para una funciń escalar f en R2 se tiene que:
o
δ2f δ2f
∆f = 2 + 2 .
δx δy

Para una funciń vectorial f de R2 a R3 definida como f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), 0)
o
se prueba sin mucha dificultad que;
∂2 ∂2
∆f = ( + 2 )(f )
∂x2 ∂y

2.1.3. Identidades del c´lculo vectorial.
a
Sean φ, ψ funciones escalares de R3 a R. y Γ, Φ campos vectoriales de R3 a R3 .
Identidades distributivas.

1. ∇(φ + ψ) = ∇φ + ∇ψ.
2. ∇.(Γ + Φ) = ∇.Γ + ∇.Φ.

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES. 5

3. ∇ × (Γ + Φ) = ∇ × Γ + ∇ × Φ

Segundas derivadas.

1. ∇ × ∇(φ) = 0.
2. ∇.(∇ × Γ) = 0.

Otras propiedades.

1. ∇ × (φΓ) = φ∇ × Γ + Γ × ∇φ
2. ∇ × (∇ × Γ) = ∇(∇.Γ) − ∇2 Γ

2.2. Ecuaciones Diferenciales.
2.2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Una ecuaciń en derivadas parciales o ecuaciń diferencial parcial(EDP) es una
o o
ecuaciń con una o m´s variables independientes x,y,z,t... y derivadas parciales de
o a
una funciń(variable dependiente) u=u(x,y,z,t,...).Mas precisamente una EDP en n
o
variables independientes x1 , x2 , ..., xn es una ecuaciń de la forma:
o

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2u ∂ku
F (x1 , ..., xn , u, , ..., , 2 , ..., , ..., k ) = 0
∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn

Donde x=(x1 , ..., xn )∈ Ω, Ω es un subconjunto abierto de Rn y F es una funcion
dada y u=u(x) es la funciń que deseamos determinar.
o
Observaciń:
o

Claramente el dominio de la EDP se tomara como el dominio de la funciń F.
o

Se llamara soluciń de la EDP a aquella funciń definida dentro del dominio
o o
de la EDP que verifique la ecuaciń anterior.
o

cuando el u=u(x) la EDP tomana el nombre de ecuaciń diferencial ordinaria
o
para simplificar EDO,analogo se definira su soluciń como aquella funciń que
o o
verifique la EDO y este definida al menos dentro del dominio de la EDO.

2.2.2. M´todo de caracteristica para la soluciń de EDO’s
e o
lineales.
Sea la siguiente EDO:

an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . a1 y ′ + a0 = g(x)

6 CAP´
ISICO-MATEMATICOS

Donde lo t´rminos ai con i=1,...,n representan constantes. En el caso homogeneo
e
el g(t) es identicamente nulo, las soluciones de esta ecuaciń se pueden obtener a
o
partir de la ra´ del polinomio caracter´
ıces ıstico de la ecuaciń:
o
an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0
En el caso que todas las raices sean diferentes la soluciń esta dada por:
o
y(x) = c1 exp(λ1 x) + c2 exp(λ2 x) + . . . + cn exp(λn x)
En el caso de que existan varias ra´ m´ltiples, existiendo s´lo k ra´ diferentes
ıces u o ıces
y siendo mi la multiplicidad de la ra´ i-´sima, la soluciń general es de la forma:
ız e o
∑ mi−1
k ∑ ∑
k
( ci,j x ) exp(λi x), k ≤ n,
j
mj = n
i=1 j=0 j=1

2.3. Aspectos F´
ısicos.
2.3.1. Conceptos f´
ısicos b´sicos y Derivada Sustancial.
a
Definiciń 2.3.1 (Porosidad) Medio Poroso:Se entiende por medio poroso un
o
s´lido o arreglo de ellos con suficiente espacio abierto dentro o alrededor de las
o
partćulas para permitir el paso de un fluido.[2].
ı
Se define porosidad como la capacidad de un material de absorber l´ıquidos o gases;La
porosidad de un material representa un porcentaje que relaciona el vol´men que
u
ocupan los poros en un vol´men unitario de roca; esto es si la porosidad es del
u
50 % significa que la mitad de la roca est´ constituida por poros y la otra mitad por
a
partćulas s´lidas.
ı o

Definiciń 2.3.2 (Permeabilidad) La permeabilidad es la capacidad que tiene un
o
material de permitirle a un l´quido que lo atraviese sin alterar su estructura interna.
ı
Se afirma que un material es permeable si deja pasar a trav´s de ´l una cantidad
e e
apreciable de fluido en un tiempo dado, e impermeable si la cantidad de fluido es
despreciable. La permeabilidad intrinseca en el SMD(sistema metrico decimal) se
mide en cm2 o m2 . La unidad derivada de la Ley de Darcy es el darcy, donde 1
Darcy=9.86923.10−13 m2

Definiciń 2.3.3 (Vorticidad) La vorticidad es una magnitud f´
o ısica empleada en
mecńica de fluidos para cuantificar la rotaciń de un fluido.
a o
Matem´ticamente la vorticidad es el campo vectorial definido por el rotacional del
a
campo de movimiento:
ω =∇×v
Tambiń se le puede considerar como la circulaciń por unidad de superficie en un
e o
punto en un fluido de campo de flujo. Es un vector de cantidad, cuya direcciń est´ a
o a
lo largo del eje de rotaciń del fluido. Para un flujo de dos dimensiones, el vector
o
vorticidad es perpendicular al plano.

2.3. ASPECTOS F´
ISICOS. 7

N´ mero de Reynolds
u
El n´mero de Reynolds (Re) es un n´mero adimensional utilizado en mecńica de
u u a
fluidos para caracterizar el movimiento de un fluido.El n´mero de Reynolds relacio-
u
na la densidad, viscosidad, velocidad y dimensiń t´
o ıpica de un flujo en una expresiń
o
adimensional, que interviene en numerosos problemas de din´mica de fluidos. Dicho
a
n´mero o combinaciń adimensional aparece en muchos casos relacionado con el
u o
hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (n´mero de Reynolds pequeõ) o
u n
turbulento (n´mero de Reynolds grande).Adem´s el n´mero de Reynolds permite
u a u
predecir el carćter turbulento o laminar en ciertos casos.
a

Si Re<2000 el flujo sera laminar.

Si Re>4000 el flujo sera turbulento.

Si Re≤2000 el flujo se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera
formado por l´minas delgadas, que interactán s´lo en funciń de los esfuerzos
a u o o
tangenciales existentes. Por eso a este flujo se le llama flujo laminar.

Si 2000 ≤ Re ≤ 2300 la l`ınea del colorante(liquido baseado en el fluido pa-
ra observar el comportamiento de la vorticidad.) pierde estabilidad formando
pequeãs ondulaciones variables en el tiempo, mantenińdose sin embargo del-
n e
gada. Este r´gimen se denomina de transiciń.
e o

Si Re≥2300, despu´s de un pequeõ tramo inicial con oscilaciones variables, el
e n
colorante tiende a difundirse en todo el flujo. Este r´gimen es llamado turbu-
e
lento, es decir caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario
y tridimensional.

Derivada Sustancial.
Debido a que adoptamos la descripciń eureliana la derivada ordinaria ∂ϕ ya no
o ∂t
nos representa toda la variaciń por unidad de tiempo de una determinada propiedad
o
ϕ de un fluido. A partir de esto se define el siguiente operador llamado derivada
sustancial definido como sigue:

D(∗) ∂(∗)
= + v.∇(∗)
Dt ∂t

2.3.2. Leyes de Conservaciń
o
Las leyes de conservaciń se refieren a las leyes f´
o ısicas que postulan que durante
la evoluciń temporal de un sistema aislado ciertas magnitudes tienen un valor
o
constante.

8 CAP´
ISICO-MATEMATICOS

Ecuaciń de continuidad
o

Una ecuaciń de continuidad expresa una ley de conservaciń de forma matem´ti-
o o a
ca, ya sea de forma integral o como una forma diferencial.En mecanica de fluidos su
forma diferencial es dada como sigue:

+ ∇.(ρ− ) = 0
→
∂ρ
v
∂t

Para nuestro caso de un fluido incomprensible se tiene que la densidad se matiene
constante en el tiempo de aqui la ecuaciń de continuidad se expresa como (3.1).
o

Ecuaciń de Navier-Stokes.
o

En el caso de un fluido en un medio poroso el principio de conservaciń de la
o
cantidad de movimiento se describe con la ecuaciń de Navier-Stokes que toma la
o
siguiente forma:(forma vectorial.)

Dv 1
= ρF − ∇p + ν( ∇(∇.v) + ∇2 v)
Dt 3

2.3.3. Funciń Corriente relacionado con la Vorticidad.
o
Funcio´ Corriente.
n

La funciń de corriente se define para flujos de dos dimensiones para fluidos de
o
diversos tipos.La funciń de corriente se puede utilizar para trazar l´
o ıneas de corrien-
te, que representan las trayectorias de las part´
ıculas en un flujo constante. L´ıneas de
corriente son perpendiculares a las l´ıneas equipotenciales.La utilidad de la funcińo
de corriente se encuentra en el hecho de que los componentes de la velocidad en las
direcciones x e y de un punto dado estń dadas por las derivadas parciales de la
a
funciń de corriente en ese punto.La funciń de corriente puede ser definida para
o o
cualquier flujo de dimensiones mayores o iguales que dos, sin embargo el caso de dos
dimensiones es generalmente m´s fćil de visualizar y derivar.
a a

Definiciń 2.3.4 (Funciń corriente) Se define la funciń corriente ψ para un
o o o
flujo de dos dimensiones:
v =∇×ψ

Cuando ψ = (0, 0, ψ) ,siendo el vector velocidad v=(v1 , v2 , 0) de aqui se obtiene las
siguientes relaciones:
∂ψ ∂ψ
= v1 , = −v2 (2.1)
∂y ∂x

2.3. ASPECTOS F´
ISICOS. 9

Recordar que la vorticidad(ω) esta definido como: ω = ∇ × v ademas se tiene que:

∂ψ ∂ψ
v=( , − , 0) de aqui reemplazando el v en la ecuaciń de vorticidad:
o
∂y ∂x
se tiene que:
∂v2 ∂v1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ
ω = (0, 0, − ) = (0, 0, − 2 − 2 )
∂x ∂y ∂x ∂y
finalmente
∇2 ψ = −ω (2.2)

10 CAP´
ISICO-MATEMATICOS

Cap´
ıtulo 3

Formulaciń del Problema
o
F´
ısico-Matem´tico DL-Brinkman.
a

Consideremos un medio poroso por el cual atraviesa un fluido imcompresible
entonces de las ecuaciones de conservaciń podemos considerar lo siguiente: De la
o
ecuaciń de la continuidad se obtiene:
o

∇.v = 0 (3.1)

La consevaciń del momento lineal adopta diversas formas dependiendo (en funciń)
o o
de la microestructura del medio poroso, efetos viscosos de cizallamiento y la pre-
sencia de l´
ımites macrosc´picos,la curvatura de la trayectoria del flujo y los efectos
o
de inercia.Cuando el cizallamiento viscoso y efectos ,macrosc´picos son significati-
o
vos(Condiciń Brinkman en la ley de Darcy), el flujo del fluido a trav´s de un medio
o e
poroso puede ser descrito por la ecuaciń Darcy-Brinkman-Lapwood(DLB) que tie-
o
ne la siguiente forma:
∇p ν
(v.∇)v = − + ν∇2 v − v (3.2)
ρ k
Donde v = µ .
ρ
La ecuaciń DLB es capaz de manejar la presencia de un limite macrosc´pico en
o o
la que se inpone la condicion no deslizante a trav´s de un t´rmino viscoso cortan-
e e
te.Comparando (3.2) con la ecuaciń de Navier-Stokes que gobierna el flujo de un
o
liquido viscoso en un espacio libre se muestra su presencia en la ecuaciń (3.2) del
o
ν
t´rmino de amortiguaciń k v el cual representa la resistencia al movimiento de Darcy
e o
que se ejerce por la estructura porosa sobre el fluido que la atraviesa sin embargo
esto no altera la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes y esto nos repre-
senta un grado de dificultad en la obtenciń de las soluciń anal´
o o ıtica de la ecuaciń
o
DLB.
En el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes las soluciones analiticas pueden ser
obtenidos para flujos laminares.La fuente de la no linealidad en las ecuaciones de
Navier-Stokes es la conveccion t´rminos de inercia que como taylor a seãlado se
e n
desvanecen en dos dimensiones,cuando los flujos de vorticidad son proporcionales a

11

12 CAP´ ´
ITULO 3. FORMULACION DEL PROBLEMA

una funciń corriente (stream function) Taylor obtuvo una soluciń exacta para las
o o
ecuaciones de Navier-Stokes en nuestro caso el flujo en medios porosos se rige por
la ecuaciń DLB en el cual obtener las soluciones exactas es raro ,sin embargo al-
o
gunos m´todos que son aplicables a las ecuaciones de Navier-Stokes son faculmente
e
aplicables a las ecuaciones DLB.Una extensiń del m´todo utilizado por Kovasznay
o e
[7], ha sido empleado por Hamdan y Ford [8] para resolver el modelo de la ecuaciń
o
DLB y analizar el efecto de la permeabilidad en el flujo resultante.

Sea Ω un abierto de R3 denotara el dominio espaciales de las ecuaciones (3.1),(3.2)
con x = (x, y, 0) representando las coordenadas asociadas a Ω.
Se define
v : R2 → R3
v(x, y) = (v1 (x, y), v2 (x, y), 0)
Donde v es la velocidad macr´scopica del fluido y sus componentes son funciones de
o
R2 a R.
Se define
p : R2 → R
p(x, y) = (p(x, y))
Donde p es presiń del fluido.
o

3.1. Transformaciń de las EDP’s DL-Brinkman.
o
Basandonos en las ecuaciones (3.1) , (3.2) vamos expresarlas en funciń de la
o
funciń corriente y vorticidad a estas ecuaciones se les llamara ecuaciones modifica-
o
das DLB.
de (3.2) se tiene:
∇p ν
(v.∇)v = − + ν∇2 v − v
ρ k
Aplicando el operador rotacional a la ecuacion (3.2)se tiene:
∇p ν
∇ × ((v.∇)v) = ∇ × (− + ν∇2 v − v)
ρ k
Aplicando la linealidad del operador y desarrollando cada t´rmino de la segunda
e
expresiń se tiene:
o
∇2 v = ∇(∇.v) − ∇ × (∇ × v) = −∇ × (∇ × v) = −∇ × ω
∇ × (∇2 v) = −∇ × (∇ × ω) = −∇(∇.ω) + ∇2 ω
pero ∇(∇.ω) = 0 ya que ω no depende de la variable z ya que ω est´ en funciń de
a o
ψ y este no depende de z.

∇ × (∇2 v) = ∇2 ω.

´
3.1. TRANSFORMACION DE LAS EDP’S DL-BRINKMAN. 13

Ahora con el segundo t´rmino aplicando directamente la propiedad de la segunda
e
derivada sobre una funciń escalar ya que p es una funciń escalar se tiene:
o o
1 1
∇ × (∇p) = ∇ × (∇p) = 0.
ρ ρ
con el tercer termino aplicamos directamente la definicion de la vorticidad:
ν ν
∇ × v = ω.
k k
Reemplazando en el segundo mienbro se tiene:
∇p ν ν
∇ × (− + ν∇2 v − v) = ν∇2 ω − ω (3.3)
ρ k k
Ahora trabajemos con el primer mienbro probaremos que:
∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω
∇ × ((v.∇)v) = . − .
∂y ∂x ∂x ∂y
Utilizando las notaciones anteriores calculemos directamente la siguiente expresiń:
o

∂v1 ∂v1 ∂v2 ∂v2
∇ × ((v.∇)v) = ∇ × (v1 + v2 , v1 + v2 , 0).
∂x ∂y ∂x ∂y
∂ ∂v2 ∂v2 ∂ ∂v1 ∂v1
= (0, 0, (v1 + v2 )− (v1 + v2 ))
∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
∂v1 ∂v2 ∂ 2 v2 ∂v2 ∂v2 ∂ 2 v2 ∂v1 ∂v1 ∂ 2 v1 ∂v2 ∂v1 ∂ 2 v1
(0, 0, . +v1 2 + . +v2 − . −v1 − . +v2 2 )
∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y∂x ∂y ∂y ∂ y
(3.4)
Pero se tiene ∇.v = 0 entonces
∂v1 ∂v2
+ =0
∂x ∂y

Agrupando el (1) y (3) t´rmino de la tercera coordenada y factorizando se tiene:
e

∂v2 ∂v1 ∂v2
( + )=0 (3.5)
∂x ∂x ∂y
Analogo agrupando el t´rmino (5) y (7) se tiene:
e

∂v1 ∂v1 ∂v2
( + )=0 (3.6)
∂y ∂x ∂y

finalmente reemplazando (3.5) y (3.6) en (3.4) se tiene:

∂ 2 v2 ∂ 2 v2 ∂ 2 v1 ∂ 2 v1
∇ × [(v.∇)v] = (0, 0, v1 + v2 − v1 − v2 2 ) (3.7)
∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y

14 CAP´ ´

Ahora calculemos el primer mienbro: ∂ψ ∂ω
.
∂y ∂x
− ∂ψ ∂ω
.
∂x ∂y
se sabe:
∂v2 ∂v1
ω = (0, 0, − )
∂x ∂y
ademas sabiendo que:
∂ψ ∂ψ
= −v2 , = v1
∂x ∂y
∂ω ∂ 2 v2 ∂ 2 v1
= (0, 0, 2 − )
∂x ∂ x ∂y∂x
∂ω ∂ 2 v2 ∂ 2 v1
= (0, 0, − )
∂y ∂y∂x ∂y 2
entonces calculando la expresiń en funciń de las componentes de la velocidad:
o o

∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω ∂ 2 v2 ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 ∂ 2 v1
. − . = (0, 0, v1 2 − v1 + v2 − v2 2 )
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y
claramente se aprecia la igualdad entonces de aqui concluimos que:
∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω
∇ × ((v.∇)v) = . − . (3.8)
∂y ∂x ∂x ∂y

De (3.3) y (3.8) se tiene:
∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω ν
. − . = ν∇2 ω − ω (3.9)
∂y ∂x ∂x ∂y k
El nuevo problema que se resolvera ser´ solo trabajando en la tercera componente
a
ya que las otras dos son nulas,trabajando solo en las componentes ya como funciones
escalares.

∇2 ψ = −ω (3.10)
∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω ν
. − . = ν∇2 ω − ω (3.11)
∂y ∂x ∂x ∂y k
Donde ψ es la funciń corriente, y ω vorticidad;observar que la funciń corriente
o o
y vorticidad se define en t´rminos de los componentes tangencial y normal de la
e
velocidad.

´
3.2. ADIMENSIONALIZACION 15

3.2. Adimensionalizaciń de las ecuaciones DLB
o
modificadas.
Utilizando las siguientes definiciones las anteriores ecuaciones se volveran adi-
mensionales,con respecto a la velocidad caracteristica U∞ ,L la longitud caracteris-
tica y la viscosidad din´mica ν son los siguientes:
a
2
∗ ∗ U∞ ν2
v1 U∞ = v1 , v2 U∞ = v2 , ω = ω ∗ , νψ = ψ ∗ , k 2 = k ∗
ν U∞

ν ν U∞ L
x = x∗ , y = y ∗ , Re =
U∞ U∞ ν
Donde las cantidades identificadas con los asteriscos son las cantidades dimensiona-
les.

16 CAP´ ´

Cap´
ıtulo 4

Obtenciń de la soluciń an´litica
o o a
del Problema DL-Brinkman
modificado.

4.1. Linealizaciń de las ecuaciones DLB modifi-
o
cadas.
La ecuaciń (3.11) puede ser linealizada de dos formas:
o

1. Si los efectos inerciales comparados con los efectos viscosos son muy pequeõs
n
entonces la ecuaciń (3.11) toma la siguiente forma:
o
ω
∇2 ω − =0
k
Pero para este caso no nos enfocaremos.

2. Asumiendo que la vorticidad es una funciń dependiente de la funciń corriente
o o
y una variable independiente, es decir ω = ω(y, ψ) se obtendra una forma
linealizado de (3.11).
tomando la vorticidad de la siguiente forma:

ω = α(Ry − ψ) (4.1)

Donde α y R son constantes identificadas usando (4.1) en (3.10) primero adi-
mensionando la ecuaciń (3.11) de aqui se tiene:
o
2 2
∂ψ ∂ω U∞ ∂ψ ∂ω U∞ U2 2
ν U∞
ν . . −ν . . = ν ∞ ∇2 ω − ω
∂y ∂x ν ∂x ∂y ν ν k ν

∂ψ ∂ω ∂ψ ∂ω ω
. − . = ∇2 ω − (4.2)
∂y ∂x ∂x ∂y k

17

18 CAP´ ´ ´
ITULO 4. SOLUCION ANALITICA DEL PROBLEMA DL-BRINKMAN

De (4.1) calcularemos las derivadas parciales ω y su laplaciano.
∂ω ∂ψ ∂ω ∂ψ
= −α ; = αR − α ; ∇2 ω = α2 Ry − α2 ψ
∂x ∂x ∂y ∂y
Reemplazando en (4.2) lo anterior se tiene:
∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ α
−α . − (αR − α ) = −α(−αRy + αψ) − (Ry − ψ)
∂y ∂x ∂x ∂y k
∂ψ R 1
− R = αRy − αψ − y + ψ
∂x k k
1 1 1 ∂ψ
( − α)y = ( − α)ψ + (4.3)
k R k ∂x
De (4.3) multiplicando por el factor integrante exp( R ( k − α)) obtendremos la
x 1

soluciń general dada por:
o
x 1
ψ(x, y) = Ry + f (y) exp( ( − α)). (4.4)
R k
Donde f(y) es una funcion arbitraria de ’y’ pero la ecuaciń (4.4) tambien
o
satisface (4.1) ,ahora como ω = ∇ ψ reemplazando se tiene:
2

∂2 ∂2 {x 1 }
∇2 ψ = ( + 2 )(Ry + f (y) exp ( − α) )
∂x2 ∂y R k
1 1 {x 1 } {x 1 }
= ( − α)2 f (y) exp
2 k
( − α) + f ′′ (y) exp ( − α)
R R k R k
Por otro lado esto es igual en el segundo mienbro de (4.1) se tiene:
{x 1 }
α(Ry + f (y) exp ( − α) ) − Ry)
R k
Simplificando y agrupando convenientemente se tiene:
1 { 1 }2
f ′′ = (α − 2
α− )f ;
R k
De aqui sea la siguiente ecuaciń:
o

f ′′ − βf = 0; (4.5)

Donde
1 { 1 }2
β =α− α− (4.6)
R2 k
Ahora analizando la ecuaciń caracteristica de (4.5) se tiene lo siguiente:
o
a2 − β = 0 Donde sus raices son:
√
√ 1 { 1 }2
a1,2 = ± β = ± α − 2 α −
R k

4.2. COMPORTAMIENTO ANAL´ ´
ITICO DE LA SOLUCION. 19

Recordar que las solucion general depende del valor de β es positivo,negativo
o cero,por el momento solo analizaremos el caso cuando β > 0 de aqui la
soluciń sera general de (4.5) sera:
o
{√ } { √ }
f (y) = b1 exp βy + b2 exp − βy ; (4.7)

Donde b1 , b2 son constantes arbitrarias. Ahora reemplazando (4.7) en (4.4) se
tiene la soluciń general:
o
[ {√ } { √ }] {x{ 1 }}
ψ(x, y) = Ry + b1 exp βy + b2 exp − βy exp −α+ (4.8)
R k
De (4.6) se tiene:
1 { 1 }2
α=β+ 2
α− (4.9)
R k

4.2. Comportamiento anal´
ıtico de la soluciń.
o
Primeramente si la perneabilidad aumenta la velocidad del fluido aumenta
ya que la perneabilidad es la capacidad que tiene un fluido para atravesar
un medio poroso,de aqui el n´mero de Reynold aumenta ,de aqui podemos
u
identificar a R con el reciproco del n´mero de Reynolds distinto de cero,por lo
u
1
que: R = Re .
De (4.11) se ve que cuando la perneabilidad adimensional se aproxima a uno,se
tiene que el flujo a trav´s del medio poroso es similar al flujo en espacio libre,la
e
cual es descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes,ya que k tiende a 1(por
derecha) el valor β se aproxima a uno por izquierda(ver ??),la soluciń de la
o
ecuaciń Darcy-Lapwood-Brinkman se aproxima a la soluciń de la ecuaciń
o o o
de Navier-Stokes.Ademas de (4.12) se tiene que 0 ≤ β ≤ 1.Mantendremos
Re> 0,mientras la perneabilidad adimensional 0 < k < 1 para considerar los
casos de β ̸= 1 ahora veamos los siguientes casos:
Caso 1: 0 < β < 1
k
Para Re> 0 y 0 < k < 1 se tiene que 1−k < Re esto es claro ya que
1 { k − 1 }2
0< (R2 − )<1
R2 k
{ k − 1 }2 1−k
0 < R2 − < R2 entonces <R
k k
de aqui la inversa del n´mero de Reynolds esta acotada inferiormente. Por lo
u
que vimos anteriormente de (??) en (4.12) toma la forma siguiente:
√
{ x {k − 1} y { k − 1 }2 }
ψ(x, y) = Ry + c1 exp + R2 −
R k R k
√
{ x {k − 1} y { k − 1 }2 }
+c2 exp − R2 −
R k R k

De (2.1) se tiene que:
√ √
c1 { k − 1 }2 { x {k − 1} y { k − 1 }2 }
v1 (x, y) = R + R2 − exp + R2 − −
R k R k R k
√ √
c2 { k − 1 }2 { x {k − 1} y { k − 1 }2 }
R2 − exp − R2 −
R k R k R k
√
c1 { k − 1 } { x {k − 1} y { k − 1 }2 }
v2 (x, y) = − exp + R2 −
R k R k R k
√
c2 { k − 1 } { x {k − 1} y { k − 1 }2 }
− exp − R2 −
R k R k R k
De (3.10) se tiene que la vorticidad toma la forma siguiente:
√
{ x {k − 1} y { k − 1 }2 }
ω(x, y) = −c1 exp + R2 −
R k R k
√
{ x {k − 1} y { k − 1 }2 }
−c2 exp − R2 − .
R k R k
1
Ahora como R k−1 < 0 y de las ecuaciones del funciń corriente y la vorticidad
k
o
se tiene:
ψ(x, y) = Ry − ω(x, y)
estas ecuaciones representan el flujo sobre una placa porosa plana horizontal
situado a la derecha del eje y, con succiń y soplado(fuentes y sumideros) la
o
succiń ocurre si ψ(x, y) − Ry > 0 de similar forma hay fuentes o soplados si
o
ψ(x, y) − Ry < 0 Ahora el ψ es una funciń de los c1 y c2 constantes en par-
o
ticular, los puntos de estancamiento en el campo de flujo se producen cuando
v1 = v2 = 0 haciendo el c´lculo se tiene que los puntos de estancamiento son:
a
1 −R2 1 −c2
x= √ ln( ); y = √ ln( )
2 1−β 4βc1 c2 2 β c1
Claramente el estancamiento ocurre cuando c1 y c2 poseen signos distintos(ambos
no nulos).
Caso 2: β = 0
k
Para Re> 0 y 0 < k < 1 se prueba de similar forma que Re= 1−k De (4.5) se
tiene que su soluciń caracteritica ser´ de la forma
o a
{x k−1 }
ψ(x, y) = Ry + (c1 + c2 y) exp .{ } .
R k
El procedimiento es an´logo con sus puntos de estancamiento son:
a
−R −c1
x = ln( ); y =
c2 c2
Claramente se tiene esto cuando c2 < 0.

´ ´ ´
4.3. VISUALIZACION GRAFICA DE LA SOLUCION EXACTA. 21

4.3. Visualizaciń gr´fica de la soluciń exac-
o a o
ta.
Ahora con α = 1 las ecuaciones (4.1),(4.6),(4.8) toman las siguientes formas:

ω = Ry − ψ (4.10)
1 { 1 }2
β =1− 2
1− . (4.11)
R k
{√ √ } {√ √ }
ψ(x, y) = Ry + b1 exp 1 − βx + βy + b2 exp 1 − βx − βy (4.12)
Donde las primeras ecuaciones se obtienen de reemplazar el valor de α. para
la tercera ecuaciń es claro ya que de (4.11) sacando la raiz se tiene:
o
√ 1{ 1}
± 1−β = 1−
R k
De esto se obtuvo (4.12).
Dado que el valor de β nos indica la forma del factor integrante y por ende la
forma de la soluciń podemos deducir que para valores negativos de β la fun-
o
ciń corriente pertenece al plano complejo y mostrar la funciń corriente como
o o
una superficie no es posible entonces a partir de ello mostraremos gr´ficamente
a
la funciń corriente a trav´s de sus curvas de nivel(isolineas) para darnos un
o e
nociń geometrica de la forma de la funciń corriente.
o o
Veamos algunos ejemplos n´mericos de la funciń corriente pero esta vez junto
u o
al campo vectorial tangente a sus isolineas ´ste campo es de especial importan-
e
cia pero eso lo veremos mas adelante.Dada ψ construido a partir del β > 0, R
constantes, adem´s dado ψ para distinto valores de k(el valor de la perneabili-
a
dad adimensional.) veamos como cambia las sus isolineas y el campo tangente
a ellas.
De la ecuaciń (4.12) grafiquemos para valores de R=1, b1 = 1, b2 = 1, sobre
o
el espacio ⟨−3, 3⟩ × ⟨−3, 3⟩ ⊂ R2 para los primeros 4 gr´ficos se graficaran
a
con el mismo dominio pero variando la permeabilidad y para las ultimas 4 se
variar´ el n´mero Reynolds, bajo pequeõs cambios de permeabilidad.
a u n
Observacion:Hay que notar el campo de direcciones de la funciń corriente
o
es el campo v(x, y) = (v1 (x, y), v2 (x, y)) esto es por (2.1)

22 CAP´ ´ ´

Isolineas de la función Corriente

−2 −1 0 1 2 3
Eje X

Figura 4.1: Gr´fica de las curvas de nivel de la funciń corriente con un par´metro
a o a
β = −0,8 con k = 1,0002 y Re = 2000.

Re k Descripciń del campo ortogonal(v) respecto de ψ.
o
1 1 flujo semi laminar lateralmente.
1 1.5 el flujo posee pequeãs vorticidades.
n
1 3 flujo con mayor tendencia laminar respecto a un flujo con menor permeabilidad.
k Re Descripciń del campo ortogonal(v) respecto de ψ.
o
1.0003 1900 flujo casi estacionario excepto por las corrientes que pasan por los extremos del dominio.
1.0003 2400 flujo similar al caso previo con la diferencia de la intensificaciń de la corriente.
o
1.0003 2700 flujo similar al caso previo con la diferencia que las corrientes empiezan a confluenciar.
1.0003 4500 flujo similar al caso previo con la diferencia que las confluencias empiezan a formar v´rtices y fuentes.
o

´ ´ ´

Isolineas de la función Corriente

−2 −1 0 1 2 3
Eje X

Figura 4.2: Gr´fica de las curvas de nivel de la funciń corriente con un par´metro
a o a
β = 0 con k = 1,0010 y Re = 1000.

Función Corriente.

2
3
1
2
0 1
−1 0
−1
−2
−2
−3 −3
Eje Y
Eje X

Figura 4.3: Gr´fica de las funciń corriente con un par´metro β = 0,8 con k =
a o a
1,000688 y Re = 2000.

24 CAP´ ´ ´

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

Figura 4.4: Gr´ﬁca de las curvas de nivel de la funci´n corriente con una permeabi-
a o
lidad 1000 y Re=1.

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

a o
lidad 10 y Re=1.

´ ´ ´

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

a o
lidad 3 y Re=1.

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

a o
lidad 1.5 y Re=1.

26 CAP´ ´ ´

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

a o
lidad 1 y Re=1.

Isolineas de la Función Corriente
4

3

2

1
Eje Y

0

−1

−2

−3

−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Eje X

a o
lidad 1.0003 y Re=1900.

´ ´ ´

4

3

2

1
Eje Y

0

−1

−2

−3

−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Eje X

Figura 4.10: Gr´ﬁca de las curvas de nivel de la funci´n corriente con una permea-
a o
bilidad 1.0003 y Re=2400.

4

3

2

1
Eje Y

0

−1

−2

−3

−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Eje X

a o

28 CAP´ ´ ´

4

3

2

1
Eje Y

0

−1

−2

−3

−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Eje X

a o

Función Corriente

500

400

300

200

100

0

−100

−200

−300

−400

−500
6

4 5
4
2 3
2
0 1
0
−1
−2 −2
−3
−4
−4 −5
Eje Y
Eje X

Figura 4.13: Gr´fica de la funciń corriente con una permeabilidad 1.0003 y
a o
Re=4500.
Observaciń:Ahora veamos algunos gr´ficos de las isolineas de la funciń
o a o
corriente junto al campo ortogonal (v) a la funciń ψ para valores distintos de Re
o
y k.

´ ´ ´

a o
bilidad 10 y Re=200.

a o

30 CAP´ ´ ´

Isolineas de la Función corriente
3

2

1
Eje Y

0

−1

−2

−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Eje X

a o

a o

Conclusiones

En este trabajo se a formulado anal´ıticamente las ecuaciones D-L-Brinkamn
en un estado bidimensional, en la cual se ah encontrado la dificultad de la no
linealidad respecto a la velocidad.

Para la linealizaciń previamente se realiza una linealizaciń basada en la
o o
sustituciń de la condiciń de vorticidad.
o o

Anal´ıticamente se mostr´ que al momento de definir el parametro β ´ste influye
o e
en la forma del factor integrante que resuelve la EDP no lineal y cuyo efecto
puede verse en el comportamiento del flujo.

La importancia del parametro β que se ha establecido como β = β(k, Re) se
puede que afecta en el comportamiento del desplazamiento del fluido, puesto
que anal´ıticamente esá relacionado a los valores de la permeabilidad adimen-
t
sional y el n´mero de Reynolds.
u

Se observ´ tambiń que toda soluciń posee puntos estamcamiento(velocidad
o e o
cero) excepto cuando el flujo es laminar y estos puntos serń los centros de la
a
vorticidad hallados en la funciń corriente.
o

Gr´ficamente se puede observar que la velocidad y las lineas de corriente man-
a
teniendo a un valor constante la permeabilidad y haciendo variar la permeabi-
lidad se observa que dados valores mayores de permeabilidad el fluido tiende
a un valor constante la permeabilidad y variando el n´mero de Reynolds, el
u
comportamiendo de la vorticidad varia notablemente.

Tambiń manteniendo constante el numero de Reynolds y variando la permea-
e
bilidad se puede observar que la vorticidad no var´ notablemente.
ıa

Dada una permeabilidad constante y variando el n´mero de Reynolds se obser-
u
va que para mayores n´meros de Reynolds, el fluido posee mayor inestabilidad,
u
por tanto la estabilidad del comportamiento del fluido se puede concluir que,
depende de los valores que pueden asumir la permeabilidad adimensional y
n´mero de Reynolds.
u

31

32 CAP´ ´ ´

Bibliograf´
ıa

[1] Haase LaSalle Sulivan, An´lisis matem´tico vol 2 . ed. trillas.
a a

[2] Darby, R, Chemical Engineering Fluid Mechanics . Inc. (1996)

[3] Valeria I´rio, EDP Un curso de graduaciń . Colecciń Textos del
o o o
IMCA.

[4] N. Merabet, H. Siyyam , M.H. Hamdan. Analytical approach to the
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Ecuacion Darcy-Lapwwod-Brinkman.

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