189403303

Revista Pedagogía Universitaria Vol. 8 No. 3 2003

MICROSOFT EXCEL EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
ÁLGEBRA LINEAL

Lic. Mirelis Rasúa López

Profesor Asistente
Dpto Matemáticas y Computación ISMM

mrasua@ismm.edu.cu

RESUMEN
El objetivo del presente trabajo es mostrar las posibilidades que brinda el Microsoft Excel
para la solución de problemas típicos del Álgebra Lineal. Parece importante que el estudiante
conozca que el universo de problemas que se pueden resolver con este software no se reduce
al manejo de tablas y a la Estadística Descriptiva, sino que aún sin usar herramientas
avanzadas de Excel (como las macros), es posible resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales,
calcular determinantes, determinar el rango de una matriz, resolver problemas de
Programación Lineal y Cuadrática, e incluso hallar raíces de ecuaciones polinómicas o
trascendentes. Todos los ejemplos que se muestran están confeccionados en Microsoft Excel
2000 aunque pueden funcionar perfectamente en el Microsoft Excel 97. El trabajo puede
constituir un medio de superación y de consulta para profesores y estudiantes, así como otros
interesados. Se ha escrito con fines didácticos, de modo que resulte asequible para aquellos a
quienes va destinado.

INTRODUCCIÓN
Muchos profesores de Matemáticas y/o Computación cuando necesitan abordar los
procedimientos automatizados del Álgebra Lineal utilizan paquetes especializados de Métodos
Numéricos (Ej. MatNum) o de Cálculo Simbólico (Ej: Matemática, Derive, etc.). Es posible
que algunos de ellos resuelvan de manera más cómoda o eficiente los problemas que serán
objeto de análisis en este trabajo, pero lo cierto es que muchos de esos sistemas no tienen ni
remotamente la amplia difusión que tiene el Excel. Es casi posible asegurar que en el 90% de
los casos, las computadoras con que un recién graduado se encontrará en su vida laboral,
tendrán (mientras Microsoft mantenga su posición dominante en el mercado) instalado el
Microsoft Office y por ende el Excel. Por otro lado desde el punto de vista del profesor el uso
del Excel como herramienta auxiliar en la solución de los problemas mencionados permitiría
disminuir el tiempo de familiarización que necesitan los estudiantes cada vez que se enfrentan
con un nuevo paquete especializado (Ej: Derive, MathCad, MatNum, Matemática) y
sistematizar los conocimientos que los mismos reciben en el primer año de la carrera sobre el
Microsoft Office en la asignatura Introducción a la Computación logrando una mayor
integración horizontal y vertical en la carrera.

26


Debe tenerse en cuenta que al resolver problemas en el ordenador no siempre se obtiene la
solución exacta del problema de partida, sino cierta solución aproximada, ¿A qué se debe el
error que surge?. Pueden ser indicadas tres razones principales a consecuencia de las cuales
surgen errores en la resolución numérica del problema matemático de partida. Ante todo, los
datos de entrada del problema de partida (condiciones iniciales y de frontera, coeficientes y
segundos miembros de las ecuaciones) se dan siempre con cierta inexactitud. Un error del
método numérico condicionado por la prefijación inexacta de los datos de entrada suele
denominarse error inevitable. Luego, al sustituir el problema de partida por otro problema
discreto aparece un error que se llama error de discretización o, de otra forma, error del
método. Finalmente, el orden finito de los números que se suministran al ordenador lleva a
errores de redondeo que pueden acumularse en el transcurso de los cálculos. Todo esto debe
siempre tenerlo presente el estudiante y el docente, puesto que en ocasiones un problema cuya
solución teórica es, por ejemplo, x = 0 puede que a traves del Excel se obtenga un resultado
pequeño pero diferente de cero (por ejemplo x = 0,9x10-6 ).

DESARROLLO
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

El problema fundamental del Álgebra Lineal consiste en la resolución del sistema de
ecuaciones
Au = f (1)
donde u = (ul, . . ., uN) es el vector buscado, f = (fl, f2,..., fN) es un vector conocido de
dimensión N, A = (aij) (i, j = 1, 2, . . ., N) es una matriz cuadrada de dimensión NxN con
elementos aij.
Se supondrá inicialmente que la matriz A es regular, es decir que su determinante es distinto
de cero, de modo que la ecuación Au = 0 tiene sólo una solución trivial, y el sistema (1) tiene
la única solución u = A −1 f (2)
Veamos con un ejemplo concreto cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales a través del
Excel. En esencia utilizaremos la fórmula (2), es decir, primero calcularemos la matriz inversa
y luego multiplicaremos la matriz inversa por el término libre. Este esquema se basa en que en
Excel existen dos funciones apropiadas para esto y que comentaremos mas adelante que son
MINVERSA, que devuelve la matriz inversa de una matriz y la función MMULT, que
devuelve el producto matricial de dos matrices. Estas funciones son ejemplos de las llamadas
fórmulas matriciales del ExUna fórmula matricial puede ejecutar varias operaciones y
devolver un único resultado o varios resultados. Las fórmulas matriciales actúan en uno, dos o
más conjuntos de valores denominados argumentos matriciales. Las fórmulas matriciales se
crean del mismo modo que las demás fórmulas, excepto que al concluir su introducción se
debe presionar la combinación de teclas CTRL+MAYÚS+ENTRAR.
Cuando se introduce una fórmula matricial, Microsoft Excel inserta de forma automática la
fórmula entre llaves ({}).
Supongamos se desea resolver el sistema:

27


 1 1 1 1 − 1  x1   5 
    
 1 1 1 −1 1  x 2   7 
 1 1 −1 1 1  x3  =  9  (3)
    
 1 −1 1 1 1  x 4   11
−1  
 1 1 1 1  x5  13 
  
cuya solución es obviamente:
x1 = 1, x 2 = 2 , x3 = 3 , x 4 = 4 , y x5 = 5 (4)
Para ello introduzcamos la matriz del sistema (3) y el vector libre como un bloque rectangular
de 5 filas y 6 columnas en una hoja de Excel tal y como se muestra a continuación:

Ahora procederemos a calcular la matriz inversa de la matriz del sistema. Para ello:
seleccionaremos un bloque vacío de 5x5 donde se ubicará la matriz inversa y con el
rango de 5x5 celdas seleccionado se oprime el signo “=” (significa que se introducirá una
fórmula);

28


Luego mediante el asistente de funciones seleccionamos la función MINVERSA;

Esta fórmula tiene un argumento que es la matriz que se desea invertir. Por ello el Excel nos
pide que introduzcamos dicho argumento en el diálogo que se muestra a continuación.
Observe que aquí podemos sencillamente introducir el rango de celdas correspondientes a la
matriz original u oprimir el botón que permite seleccionar este rango de celdas mediante el
ratón.

Puede apreciarse que escribimos el rango A1:E5 que corresponde a la matriz original del
Sistema (3). Una vez establecido el rango se oprime el botón aceptar y se obtiene el siguiente
resultado:

29


Aparentemente, no se ha obtenido la respuesta esperada pues sólo se ha calculado el valor de
la primera celda de la matriz inversa. Realmente el problema es que queda un paso importante
que es convertir la fórmula a una fórmula matricial. Para ello basta con hacer clic con el
ratón en la barra de fórmulas y oprimir CTRL+MAYÚS+ENTRAR. Una vez que se hace esto
se obtiene:

Nótese que la fórmula aparece ahora encerrada entre llaves, lo que indica que es una fórmula
matricial. En el rango G1:K5 aparece la matriz inversa a la matriz del sistema y basta con
multiplicar esta matriz por el vector libre para obtener la solución del sistema (3). Para ello
seleccionemos el rango de celdas donde depositaremos el producto (que debe ser un vector
columna), por ejemplo podríamos seleccionar el rango L1:L5 y repitiendo los pasos anteriores
mediante el asistente de funciones seleccionamos la función MMULT luego de lo cual aparece
un diálogo para que determinemos los argumentos de esta fórmula:

30


Aquí evidentemente debemos introducir en Matriz1 el rango G1:K5 que es donde se aloja la
matriz inversa ya calculada y en Matriz 2 el rango F1:F5 que es donde está almacenado el
vector libre del sistema (3). Una vez aceptados los parámetros y convertida la fórmula a
matricial obtendremos:

Observe que ya se obtuvo en el rango L1:L5 la solución correcta (4).
Si no existe seguridad de que la matriz del sistema sea no degenerada es conveniente chequear
esta condición primero. Para ello el Excel soporta la función MDETERM que calcula el
determinante de una Matriz. Si el determinante es distinto de cero, podemos proseguir con el
proceso descrito anteriormente, si es igual cero se necesitarían otros métodos para calcular las
soluciones (si existen) del sistema. La función MDETERM no es una función matricial. Ella
tiene un solo argumento que es la matriz a la que se le desea calcular el determinante. A modo
de ejemplo supongamos deseamos verificar que la matriz:

31


1 2 3 4 5
 
2 3 4 5 6
A = 3 4 5 6 7
 
6 5 4 3 2
5 4 3 2 1
 
es no degenerada. Para ello calculamos el determinante en el Excel. Introduzcamos la matriz
A como un bloque rectangular de 5 filas y 5 columnas en una hoja de Excel tal y como se
muestra a continuación:

luego seleccionamos una celda en la cual colocaremos el resultado del determinante (por
ejemplo F1) y mediante el asistente de funciones introducimos la fórmula MDETERM luego
de lo cual aparece un diálogo para que precisemos el argumento de esta fórmula:

En nuestro ejemplo la matriz se encuentra en el rango A1:E5 y ese es el rango que debemos
introducir en el argumento. Una vez que se oprime aceptar se obtiene el resultado siguiente:

32


con lo que obtenemos que el determinante de la matriz A es igual a cero y ella es por tanto
degenerada.
Usando el mismo esquema para la matriz:
1 2 3 4 5
 
5 1 2 3 4
B = 4 5 1 2 3
 
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
 
se obtendría

de lo cual se desprende que la matriz B es no degenerada ya que su determinante es igual a
1875.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por el método de Gauss.

Hay varias variantes de cálculo del método de Gauss basado en la idea de eliminación
sucesiva. El proceso de resolución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales (1) o

33


N

∑a u
j =1
ij j = fi , i = 1, 2, 3,Κ , N

por el método de Gauss, consta de dos etapas. En la primera etapa (procedimiento directo) el
sistema (1) se reduce a un sistema con matriz triangular y en la segunda etapa (procedimiento
inverso) se resuelve el sistema triangular.
No es difícil resolver el sistema (1) en el caso particular en que la matriz del sistema A es una
matriz triangular superior, es decir si aij = 0 para j<i (i,j = 1, 2, . . ., N),
 a11 a12 Κ a1N 
 
 0 a 22 Κ a2 N 
A= ,
Κ Κ Κ Κ 
 
 0 0 Κ a NN 
 
en efecto en este caso el sistema (1) tiene por expresión:
a11u1 + a12 u 2 + Κ a1N u N = f1
a 22 u 2 + Κ + a 2 N u N = f2
Κ Κ Κ (2)
a N −1, N −1u N −1 + a N −1, N u N = f N −1
a NN u N = fN
y los componentes del vector u = (u1, u2, ..., uN) se pueden determinar sucesivamente, según
las fórmulas:
fN 1
uN = ; u N −1 = ( f N −1 − a N −1, N u N ),Κ ,
a NN a N −1, N −1
N
1
un = ( f n − ∑ a nk u k ), n = N − 1, N − 2, Κ , 2,1. (3)
a nn k = n +1

lo que requiere aproximadamente N2 operaciones. Por ello el paso crucial en el método de
Gauss es la transformación del sistema en un sistema con matriz triangular superior. Una vez
realizado este paso el sistema resultante puede resolverse por las fórmulas (3) si resulta ser no
degenerado.
Pasemos a la exposición detallada del método. El primer paso del método de Gauss consiste
en la eliminación de la incógnita u1 de todas las ecuaciones con excepción de la primera.
Supongamos que a11 ≠ 0, y escribamos el sistema (1) en la forma

a11u1 + a12 u 2 + Κ + a1N u N = f 1 , (4)
Multipliquemos la ecuación (4) por ail / a1l , donde i = 2, 3, . . ., N, y sustrayendo la ecuación
obtenida de la i-ésima ecuación (5):

34


ai1 a12 a a a
(ai 2 − )u 2 + Κ + (aiN − i1 1N )u N = f i − i1 f1 , i = 2, 3, Κ , N ,
a11 a11 a11
Introduciendo las designaciones
ai1 a1 j ai1
aij1) = aij −
(
f i1 = f i − f1 , i, j = 2, 3, Κ , N , (6)
a11 a11
rescribamos el sistema de ecuaciones obtenido (que es equivalente al sistema (1)) en la forma
a11u1 + a12 u 2 + Κ + a1N u N = f 1 ,

ai(2) u 2 + Κ + aiN) u N = f i (1) ,
1 (1
i = 2, 3, Κ , N .
La primera columna de la matriz de este sistema se compone de ceros, a excepción del primer
elemento para i = 1, j = 1.
El paso segundo consiste en la eliminación de u2 del sistema

a 22) u 2 + Κ + a 21N u N = f 21
(1 ( )

Κ (7)
a N 2 u 2 + Κ + a NN u N = f N
(1) (1) 1

Para ello, multipliquemos la primera ecuación por (− ai(2) / a 22 ) y sumemos con la ecuación
1

ai(2) u 2 + ai(3) u 3 + Κ + a iN) u N = f i (1) ,
1 1 (1
i = 3, 4, Κ , N ,

Continuando los razonamientos, obtendremos tras el (N-1)-ésimo paso (es decir, al haber
excluido u1, u2, . . . . ., uN-1)

a NN−1) u N = f N N −1)
(N (
(8)

Llegamos en fin al sistema (2) con la matriz triangular superior

b11u1 + b12 u 2 + b13u 3 + Κ + b1N u N = ϕ 1 ,

b22 u 2 + b23u 3 + Κ + b2 N u N = ϕ 2 ,
Κ (9)
bN −1, N −1u N −1 + bN −1, N u N = ϕ N −1 ,

bN N u N = ϕ N .

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que puede ser resuelto como se explicó anteriormente.

Usualmente para el cálculo manual es cómodo realizar las transformaciones elementales por
el método de Gauss sobre la matriz ampliada del sistema que es la siguiente matriz:
 a11 a12 Κ a1N f1 
 
 a 21 a 22 Κ a2 N f2 
Κ (10)
Κ Κ Κ Κ 
 
a a N1 Κ a NN fN 
 N1 
El concepto esencial para utilizar el Excel en la resolución de sistemas por el método de
Gauss parte de que las transformaciones elementales que se realizan para llevar la matriz a una
matriz escalonada equivalen a la multiplicación de ésta por la izquierda por matrices de forma
especial, en cierta medida “elementales”. Por ejemplo para hacer cero los elementos de la
matriz (10) que están por debajo de la diagonal principal basta con multiplicarla por la
izquierda por la matriz “elemental”:
 1 0 Κ 0
 a 21 
− 1 Κ 0
 a11 
 Κ Κ Κ Κ
 a N1 
− a 0 Κ 1
 11 
Note que los elementos de la matriz resultante se determinan también por las fórmulas (6).
Veamos un ejemplo concreto. Supongamos se desea escalonar la matriz:
 2 1 3 1
 
A =  3 1 2 3
 1 3 2 5
 
que es la matriz ampliada del sistema:
 2 x1 + x 2 + 3 x3 = 1

3 x1 + x 2 + 2 x3 = 3
 x + 3x + 2 x = 5
 1 2 3

en el primer paso multiplicaremos la matriz A por la izquierda por la matriz elemental

36


 
 1 0 0
 
 − 3 1 0
 2 
 1 
− 0 1
 2 
es fácil ver que:

   
 1 0 0 2 1 3 1
   2 1 3 1  
 − 3 1 0   3 1 2 3 =  0 − 1 − 5 3
 2     2 2 2
 1 3 2 5 
 1    5 1 9
− 0 1 0
 

 2   2 2 2
Para continuar el proceso de escalonamiento basta con multiplicar la matriz resultante con la
matriz elemental:
 1 0 0
 
 0 1 0
 0 5 1
 
Esta matriz elemental coincide con la matriz unitaria en todas las celdas a excepción de
aquellas en que deseamos hacer cero los elementos de la matriz a escalonar. Como ahora
necesitamos hacer cero el elemento a32 de la matriz, colocamos en esa posición de la matriz
a
elemental el valor − 32 que como se puede apreciar es igual a 5.
a 22
Efectuando el producto
   
2 1 3 1 2 1 3 1
 1 0 0    
  0 − 1 − 5 3 0 − 1 − 5 3
 0 1 0 
=
 0 5 1 2 2 2  2 2 2
   5 1 9  
0  0 0 − 12 12 
 2 2 2  

de donde fácilmente se obtiene x3 = − 1; x 2 = 2 ; x1 = 1 .
La realización de este esquema en Excel es muy apropiado debido a las facilidades que posee
para la multiplicación de matrices.
El primer paso es colocar la matriz ampliada del sistema en un bloque de celdas:

37


en este caso se tomó el rango A2:D4. Luego, a la derecha de la matriz ampliada (dejando una
columna de separación) escribimos la matriz elemental necesaria para eliminar los elementos
de la primera columna de la matriz ampliada que están por debajo de la diagonal principal:

Debe recordarse que la matriz elemental coincide con la unitaria a excepción de las celdas en
las cuales deben anularse los elementos de la Matriz ampliada. Los valores en estas celdas son
a a
correspondientemente − 12 y − 13 . Ahora efectuamos la multiplicación de la matriz
a11 a11
elemental por la Matriz Ampliada y colocaremos el resultado en el rango A6:D8, es decir,
dejando una fila de separación directamente debajo de la matriz ampliada. Para ello debemos
utilizar la función matricial MMULT pasando como primer argumento el rango F2:H4
(matriz elemental) y como segundo argumento la matriz a transformar (rango A2:D4).
Después de efectuar la operación matricial obtendremos:

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donde se aprecia claramente el primer paso del escalonamiento. Debemos ahora escribir la
matriz elemental del segundo paso y efectuar de nuevo la multiplicación por ella de donde se
obtiene:

Al terminar el segundo paso ya se obtiene la matriz escalonada y puede resolverse fácilmente
el sistema. Claro está que el método de la matriz inversa es menos trabajoso en Excel que el
Método de Gauss, pero esta última variante ofrece ciertas ventajas ya que permite al
estudiante ver y comprender los pasos que se siguen, además de que posibilita enfrentar otros
problemas como la determinación del rango de una matriz y la solución de sistemas
degenerados.

En la siguiente tabla se muestra como determinar el rango de la matriz:

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1 2 3 2 1
 
2 3 4 3 2
A=3 4 5 4 3
 
2 3 4 3 2
1 2 3 2 1
 

de donde se aprecia que el número de filas no nulas en la matriz escalón resultante es igual a 2
y por ello rang ( A) = 2 .

40


Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por el método de Gauss-Jordán.

El método de Gauss-Jordán es similar al método de Gauss sólo que en vez de aplicar la
eliminación sucesiva para reducir el sistema a uno triangular superior se trata de reducir el
sistema a otro cuya matriz sea la matriz unitaria.
Pasemos a la exposición detallada del método. El primer paso del método de Gauss-Jordán
consiste en la eliminación de la incógnita u1 de todas las ecuaciones con excepción de la
primera. Supongamos que a11 ≠0, y escribamos el sistema (1) en la forma

a11u1 + a12 u 2 + Κ + a1N u N = f 1 ,

ai1u1 + a i 2 u 2 + Κ + aiN u N = f i , 2 ≤ i ≤ N,

Multipliquemos la primera ecuación por ail / a1l , donde i es cualquiera de los números i = 2,
3, . . ., N, y sustrayendo la ecuación obtenida de la i-ésima ecuación se obtiene :
ai1 a12 a a a
(ai 2 − )u 2 + Κ + (aiN − i1 1N )u N = f i − i1 f1 , i = 2, 3, Κ , N ,
a11 a11 a11
por lo que introduciendo las designaciones
ai1 a1 j ai1
aij1) = aij −
(
f i1 = f i − f1 , i, j = 2, 3, Κ , N ,
a11 a11
podemos rescribir el sistema de ecuaciones obtenido (que es equivalente al sistema (1)) en la
forma

a11u1 + a12 u 2 + Κ + a1N u N = f 1 ,

ai(2) u 2 + Κ + aiN) u N = f i (1) ,
1 (1
i = 2, 3, Κ , N .

La primera columna de la matriz de este sistema se compone de ceros, a excepción del primer
elemento para i = 1, j = 1.
El segundo paso consiste en la eliminación de u2 de todas las ecuaciones del sistema
(incluyendo la primera, a diferencia del método de Gauss en que sólo se elimina en las filas j
> 2). Si escribimos el sistema después de la primera eliminación en la forma:

a11) u1 + a12) u 2 + Κ + a1(1) u N = f1 ,
(1 (1
N a1(i1) = a1i

41


a 22) u 2 + Κ + a 21N u N = f 21
(1 ( )

Κ
a N 2 u 2 + Κ + a NN u N = f N
(1) (1) 1

entonces el próximo paso sería multiplicar la segunda ecuación por (− ai(2) / a 22) ) y sumarla
1 (1

con cada una de las ecuaciones
ai(1 ) u1 + ai(2) u 2 + ai(3) u 3 + Κ + aiN) u N = f i (1) ,
1 1 1 (1
i = 1, 3, 4, Κ , N ,

Continuando los razonamientos, obtendremos tras el (N-1)-ésimo paso (es decir, al haber
excluido u1, u2, . . . . ., uN-1)
a NN−1) u N = f N N −1)
(N (

y llegaremos en fin a un sistema con matriz diagonal
b11u1 = ϕ1 ,
b22 u 2 = ϕ2 ,
Κ
bN N u N = ϕ N .

multiplicando ahora la ecuación i por 1 / bii se reduce el sistema a un sistema con matriz
unitaria:
u1 = ϕ1 / b11 ,
u2 = ϕ 2 / b22 ,
Κ
u N = ϕ N . / bN N

en el cual la solución es sencillamente el término libre.

Usualmente para el cálculo manual es cómodo realizar las transformaciones elementales por el
método de Gauss-Jordán sobre la matriz ampliada del sistema que es la siguiente matriz:
 a11 a12 Κ a1N f1 
 
 a 21 a 22 Κ a2 N f2 
Κ Κ Κ Κ Κ 
 
a a N1 Κ a NN fN 
 N1 
El concepto esencial para utilizar el Excel para resolver sistemas por el método de Gauss-
Jordán parte de que las transformaciones elementales que se realizan para llevar la matriz a
una matriz diagonal equivalen a la multiplicación de ésta por la izquierda por matrices

42


“elementales”. Por ejemplo, para hacer cero los elementos de la matriz (11) que están por
debajo de la diagonal principal basta con multiplicarla por la izquierda por la matriz
“elemental”:
 1 0 Κ 0
 
 a 21 
− 1 Κ 0
 a11 
 Κ Κ Κ Κ
 
 a 
 − N1
 a 0 Κ 1

 11 
Veamos un ejemplo concreto. Supongamos se desea resolver el sistema, resuelto por el
método de Gauss anteriormente, cuya matriz es:
 2 1 3 1
 
A =  3 1 2 3
 1 3 2 5
 
Obviamente esta es la matriz ampliada del sistema:
 2 x1 + x 2 + 3 x3 = 1

3 x1 + x 2 + 2 x3 = 3
 x + 3x + 2 x = 5
 1 2 3

en el primer paso multiplicaremos la matriz A por la izquierda por la matriz elemental
 
 1 0 0
 
 − 3 1 0
 2 
 1 
− 0 1
 2 
es fácil ver que:

   
 1 0 0 2 1 3 1
   2 1 3 1  
 − 3 1 0   3 1 2 3 =  0 − 1 − 5 3
 2     2 2 2
 1 3 2 5 
 1    5 1 9
− 0 1 0
 

 2   2 2 2
Para continuar el proceso de conversión del sistema a un sistema diagonal basta con
multiplicar la matriz resultante con la matriz elemental:

43


 1 2 0
 
 0 1 0
 0 5 1
 
Esta matriz elemental coincide con la matriz unitaria en todas las celdas a excepción de
aquellas en que deseamos hacer cero los elementos de la matriz a diagonalizar. Como ahora
necesitamos hacer cero el elemento a12 y el elemento a32 de la matriz colocamos en esa
a a
posición de la matriz elemental los valores − 12 y − 32 que como se puede apreciar son
a 22 a 22
iguales a 2 y a 5.
Efectuando el producto
   
2 1 3 1 2 0 − 2 4
 1 2 0    
  1 5 3 0 − 1 − 5 3
 0 1 0  0 − − =
 0 5 1  2 2 2  2 2 2
  5 1 9  
0  0 0 − 12 12 
 2 2 2  
Ahora debemos hacer cero los elementos que no están en la diagonal principal de la tercera
columna. Para ello sencillamente multiplicamos por la matriz elemental:
 1 
1 0 − 
 6 
0 1 − 5 
 24 
0 0 1 
 
 
Efectuemos el producto
 1    
1 0 −  2 0 − 2 4 2 0 0 2
 6    
0 1 − 5  0 − 1 − 5 3  0 − 1
 = 0 − 1
24   2 2 2  2 
    
0 0
 1  0
 0 − 12 12 
 0 0 − 12 12 
    
por último multiplicaremos la matriz ampliada por la homotecia:
1 / 2 0 0 
 
 0 −2 0 
 0 0 − 1 / 12 
 
que corresponde a la división de cada ecuación por 1 / bii

44


 
1  2 0 0 2
 0 0   1 0 0 1
2  1  
0 −2 0  0 − 0 − 1 = 0 1 0 2
1  2 
0 0 −    0 0 1 −1
  
 12   0
 0 − 12 12 
 
Obsérvese que la matriz del sistema es ahora la matriz unitaria y de ahí fácilmente se obtiene.
La realización de este esquema en Excel es muy apropiado debido a las facilidades que posee
para la multiplicación de matrices.
El primer paso es colocar la matriz ampliada del sistema en un bloque de celdas:

En este caso se tomó el rango A2:D4. Luego a la derecha de la matriz ampliada (dejando una
columna de separación) escribimos la matriz elemental necesaria para eliminar los elementos
de la primera columna de la matriz ampliada que estén fuera de la diagonal principal:

45


debe recordarse que la matriz elemental coincide con la unitaria a excepción de las celdas en
las cuales deben anularse los elementos de la Matriz ampliada. Los valores en estas celdas son
a a
correspondientemente − 12 y − 13 . Ahora efectuamos la multiplicación de la matriz
a11 a11
elemental por la Matriz Ampliada y colocaremos el resultado en el rango A6:D8 es decir
dejando una fila de separación directamente debajo de la matriz ampliada. Para ello debemos
utilizar la función matricial MMULT pasando como primer argumento el rango F2:H4
(matriz elemental) y como segundo argumento la matriz a transformar (rango A2:D4).
Después de efectuar la operación matricial obtendremos:

donde se aprecia claramente el primer paso del proceso de conversión a una matriz diagonal.
Debemos ahora escribir la matriz elemental del segundo paso y efectuar de nuevo la
multiplicación por ella de donde se obtiene:

46


Al terminar el segundo paso ya se han hecho cero los elementos que están fuera de la diagonal
principal en las dos primeras columnas. Escribiendo la matriz elemental para la tercera
columna y efectuando el producto se obtiene:

La matriz resultante ya es diagonal y sólo se necesita realizar la homotecia para transformarla
en unitaria. La matriz elemental en ese caso es una matriz diagonal cuyos elementos en la
diagonal principal son los recíprocos de los correspondientes elementos de la matriz obtenida.
Efectuando la operación obtenemos:

47


Por tanto la solución del sistema es la última columna de la matriz obtenida. Aunque el
método de Gauss-Jordán necesita de más operaciones para resolver un sistema lineal ofrece la
ventaja que a través de él se puede determinar la matriz inversa.

Solución de Sistemas de ecuaciones lineales por métodos iterativos.

Pasemos a la descripción general del método de iteraciones para un sistema de ecuaciones
algebraicas lineales
Au = f (1)
Con el fin de resolverlo se elige cierta aproximación inicial y0∈Rn y se hallan sucesivamente
soluciones aproximadas (iteraciones) de la ecuación. El valor de una iteración yk+l se expresa
en términos de las iteraciones precedentes conocidas yk, yk-1, .... Si, al calcular yk+l, se utiliza
sólo una iteración precedente yk, entonces el método iterativo se denomina de un paso (o de
dos capas); si, en cambio, yk+1 se expresa en términos de dos iteraciones, yk y yk-l, el método
se llama de dos pasos (o de tres capas). Aquí se analizarán solo los métodos de un paso.
En los métodos explícitos la iteración yk+1 se obtiene por la fórmula:
y k +1 = y k − τ k +1 ( Ay k − f ),
En los métodos iterativos implícitos para determinar yk+1 hace falta resolver la ecuación:

48


By k +1 = By k − τ k +1 ( Ay k − f ) = Fk , k = 0,1, 2, Κ

Es natural exigir que el volumen de los cálculos para resolver el sistema Byk+1 = Fk sea
sustancialmente inferior al volumen de los cálculos para la resolución directa del sistema
Au = f .
La exactitud del método iterativo se caracteriza por la magnitud del error zk = yk - u, es decir,
por la diferencia entre la solución aproximada yk y la solución exacta u del sistema inicial de
ecuaciones algebraicas lineales. La sustitución yk = zk + u lleva a una ecuación homogénea
para el error.
Suele decirse que un método iterativo converge si
lim z k = 0, donde z = ( z , z ) ,
k →∞

En el caso general se prefija cierto error (relativo) ε > 0 con el que se debe hallar la solución
aproximada yk, los cálculos se dan por terminados cuando queda cumplida la condición:
yn − u ≤ ε y0 − u ,

Si n = n(ε) es el mínimo de los números, para los cuales se verifica la condición anterior,
entonces el número total de operaciones aritméticas que han de realizarse para hallar la
solución aproximada de la ecuación (1) es igual a Qn(ε) = n(ε)q0, donde q0 es el número de
operaciones que se realizan para hallar una iteración. E1 problema consiste en minimizar
Qn(ε) eligiendo de modo adecuado B y los parámetros {τk}. Comencemos por analizar los
métodos iterativos más simples.

Método de la iteración simple.
Para la resolución del sistema de ecuaciones (1) puede emplearse el método de la iteración
simple
N
y k +1 = y k − τ ( Ay k − f ) = y k − τ (∑ aij y k j ) − f ( i ) )
(

j =1

donde τ es el parámetro de la iteración. Al comparar con (2) vemos que el método de la
iteración simple se da mediante un esquema explícito de dos capas con el parámetro constante
τk ≡ τ.

Método de Seidel
Es de amplio uso (en particular cuando es insuficiente la información sobre la matriz A) el
método iterativo de Seidel en una de las siguientes formas:

i N

∑a
j =1
ij y k +)1 + ∑ a ij y k j ) = f ( i ) ,
(j

j = i +1
(
aii ≠ 0, i = 1, 2,Κ , N ,

49


i N

∑ aij y k( j ) + ∑ aij y k( +j )1 = f (i ) ,
j =1 j =i +1
aii ≠ 0, i = 1, 2,Κ , N ,

Los componentes del vector yk+1 se hallan sucesivamente de ambas fórmulas. Así por ejemplo
de ellas determinamos sucesivamente y k1+)1 , y k2 )1 ,Κ , y k N1) :
( (
+
(
+

N
1
y k1+)1 =
(
( f (1) − ∑ aij y k j ) ),
(

a11 j =2

N i +1
1
y ki+)1 =
(

aii
( f (i ) − ∑ aij y k( j ) − ∑ aij y k( +j )1 ),
j =i +1 j =1

Con respecto a la convergencia de estos dos métodos tienen lugar los siguientes teoremas:
Teorema: El método de Seidel converge con la velocidad de una progresión geométrica de
razón q<1, si A=(aij) es una matriz positiva y

∑a
j ≠i
ij ≤ q aii , i = 1, 2, Κ , N , q < 1

Esto significa que para el error zk = yk - u tenemos
z k +1 ≤ q z k ≤ q k +1 z 0

Teorema: El método de iteración simple converge con la velocidad de una progresión
geométrica de razón q<1, si A=(aij) es una matriz no negativa, con valores propios mínimos y
máximos γ1 , γ2 respectivamente, tomando como parámetro τ al valor:
2
τ=
γ1 +γ 2
y en este caso:
1−ξ γ1
q= , ξ=
1+ξ γ2
En caso de que no se conozcan los valores propios de la matriz A (como sucede en muchas
ocasiones) se puede tomar τ=1, pero en este caso no se garantiza la velocidad de convergencia
que se expresó en el teorema anterior.
Ilustremos el método de iteración simple para resolver el sistema:

50


 3 x1 + x 2 − x3 = 1

 x1 + 4 x 2 + x3 = − 2
 x − 2x + 4x = 7
 1 2 3

Tomemos como aproximación inicial el vector y 0 = (1, 1, 1) . Dividiendo cada ecuación por el
elemento aii obtenemos:
 1 1 1
 x1 + 3 x 2 − 3 x3 = 3

1 1 1
 x1 + x 2 + x3 = −
4 4 2
1 1
 x − x +x = 7
4 1 2 2 3 4

que en notación matricial puede escribirse como:
 1 1  1
1 −  x1   
 3 3    3 
1 1    1 
4 1  x2  = −
4    2 
1 1   7

 − 1 x3  
   

4 2   4
Para la primera iteración calculamos primero el vector residuo z0
 1 1  1  1 1  1  2
1 −    1 −  1    
 3 3  3  3 3   3  3 
1 1  1 1 1    1   
z0 =  1 y0 −  −  =  1 1 − − = 2
4 4 2 4 4    2   
1 1   7 1 1   7  

 − 1
 
  
  − 1 1 
     − 1
  
4 2   4  4 2   4  
y luego la aproximación y1

 2  1
1    
   3  3
   
y1 = y 0 − z 0 = 1 −  2  =  − 1
 
     
1  − 1  2
     
   
repitiendo el proceso obtenemos:
z1 = (−1, 0,08333333, 0,08333333 )
y 2 = (1,33333333, - 1,08333333, 1,16666667)
z 2 = (0,25, 0,04166667, 0,29166667 )

51


y 3 = (1,08333333, - 1,125, 0,875)

z 3 = (0,08333333, - 0,13541667, - 0,04166667 )

y 4 = (1, - 0,98958333, 0,91666667)
z 4 = (0,03125, - 0,01041667, - 0,08854167 )
y 5 = (0,96875, - 0,97916667, 1,00520833)

z 5 = (-0,02604167, 0,01432292, - 0,01302083 )

y 6 = (0,99479167, - 0,99348958, 1,01822917)
Como puede apreciarse, el proceso converge a la solución exacta del sistema que es
evidentemente u = ( 1, − 1, 1 ) . La organización de los cálculos del proceso de iteración
simple es en Excel extremadamente sencilla. En primer lugar reservemos un bloque para la
matriz del sistema y para el vector libre tal como se aprecia en la siguiente tabla:

Luego, en la columna contigua al término libre colocamos la aproximación inicial y0 y el
primer residuo z0 . Para calcular el primer residuo utilizamos una formula matricial tal y como
se muestra a continuación:

Observe que la fórmula matricial para el residuo es la diferencia entre el producto de la matriz
del sistema por el vector y y el término libre. Esta fórmula es conveniente modificarla para
que pueda usarse en otras iteraciones. La modificación consiste en poner referencias absolutas
a la matriz del sistema (que siempre estará en el bloque A2:C4) y al término libre D2:D4.
Esto significa que debemos sustituir en la fórmula A2:C4 por $A$2:$C$4 y D2:D4 por
$D$2:$D$4. Una vez efectuado este cambio obtenemos:

52


Al hacer la modificación no podemos olvidar que debemos concluir la introducción de la
fórmula con la combinación de teclas CTRL+MAYÚS+ENTRAR.
Ahora debemos introducir la fórmula para el cálculo de la nueva iteración. Para el cálculo de
la nueva aproximación usaremos otra fórmula matricial:

El cálculo del residuo para ésta aproximación y la nueva iteración se obtienen fácilmente si
copiamos las 2 últimas columnas en la próxima columna libre (en este caso la columna H). Al
hacer esto se obtiene:

Cada nueva iteración se reduce a copiar las últimas dos columnas a la próxima columna libre,
por lo que se obtienen extremadamente rápido y de manera sencilla.

53


CONCLUSIONES

El trabajo aborda problemas del Álgebra Lineal muy relacionados entre sí.
Desde el punto de vista metodológico, los métodos analizados permiten apoyar y profundizar
en la solución de los problemas.
El uso del Excel permitiría la comprobación rápida de los resultados obtenidos por otros
métodos y la sistematización de habilidades y conceptos tales como: la conformidad de
matrices para el producto, la obtención del rango de matrices, la relación entre la existencia y
unicidad de la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales y el determinante de la misma,
etc.
Si logramos que este material contribuya en algo al desarrollo del proceso docente y
constituya una motivación que promueva el interés hacia la Computación, por la verdadera
importancia que en la actualidad le corresponde a esta disciplina, nos sentiremos satisfechos.

BIBLIOGRAFÍA

1. A. A. Samarski. ¨Introducción a los métodos numéricos¨. Editorial ¨MIR¨. Moscú
2. George Forsythe, Cleve B. Moler. ¨Computer Solution of Linear Algebraic Systems¨.
3. I. S. Berezin and N.P.Zhidkov. ¨Computing Methods¨. Volumen II
4. Manuel Alvarez Blanco y otros. ¨Matemática Numérica¨. Editorial ¨Félix Varela¨.
1998.
5. María Virginia Varela Marcelo y otros.. “Álgebra Lineal”. Editorial Pueblo y
educación. 1986.
6. D. Faddieev, I. Sominski. ¨Problemas del Álgebra Superior¨. Editorial ¨MIR¨. Moscú
1971.

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