1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
SISTEMA INTERACTIVO A DISTANCIA
ESCUELA DE INGENIERÍA
CABUDARE – EDO. LARA
Alumno:
Juan J. Linares A.
C.I: 21.504.360
Asignatura:
Análisis Numérico
Sección: SAIA “B”
Profesor:
Domingo Méndez
CABUDARE, NOVIEMBRE DEL 2016
SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
2. EL MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en
una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y
los términos independientes (separados por una recta).
3x + 2y + z = 1
5x + 3y + 4z = 2
x + y − z = 1
Sistema Compatible Determinado
4. ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl
Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar
matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de
Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema
dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro
que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando
múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con
la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la
matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para
cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando
múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos
eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan),
5. esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro
(llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz
en forma escalonada reducida.
EJEMPLO
Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que
satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el
sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones
(llamadas elementales) son estas:
• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se
usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la
diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2
veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación
a la tercera. El resultado es:
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda
ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para
eliminar y.
6. Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la
tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la
segunda para eliminar z.
Despejando, podemos ver las soluciones:
Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3
pasos en su notación matricial:
Primero:
Después,
Por último.
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como
esta:
7. Que representa la ecuación: , donde a ≠ 0. Es decir, ,
lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución.
FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU
En el álgebra lineal, la factorización o descomposición
LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el
producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad
de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo,
si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero,
es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de
permutación. Método llamado factorización o con pivote. Esta
descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de
ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.
DESCOMPOSICION "LU"
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la
matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
=
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto
con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:
8. De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b
Definiendo a:
U X = Y
podemos escribir:
L Y = b
Resolviendo para Y, encontramos:
El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar
primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En
segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los
valores de "x", obteniendo:
La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan
eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de
Gauss.
9. Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la
matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo
que resulta superior al método de eliminación gausiana.
EJEMPLO
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:
=
Las matrices de factores L y U de A son:
L = U =
El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para
obtener los elementos del vector auxiliar Y:
=
Donde
10. El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de
X, por sustitución regresiva:
=
De donde se obtiene:
