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1. Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales -
1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
En el año 1949 de Wassily Leontief, profesor de Harvard, introdujo sus tarjetas perforadas en la
computadora Mark II (computadoras más grandes de la época). Las tarjetas contenían información de
la economía de USA, y un resumen con más de 250 mil piezas de información recogidas en dos años
por la oficina encargada de las estadísticas laborables en USA.
Leontief por su trabajo "el desarrollo del método insumo-producto y su aplicación a los más importantes
problemas económicos", recibió el Premio Nobel de Economía en 1973 y abrió una nueva era para el
modelado matemático en la economía.
En este tema vamos a revisar algunos conceptos importantes para empezar el estudio de álgebra lineal.
Comencemos repasando algunas definiciones conocidas.
Un ejemplo de ecuación lineal es:
porque podemos escribirla como en la definición anterior.
Un ejemplo de una ecuación que no sea lineal es:
debido a la presencia del término

2. Ejemplo. Sistema con solución única. Consideremos el sistema
Ejemplo. Sistema con infinitas soluciones. Consideramos el sistema

3. Ejemplo. Sistema sin soluciones. Consideramos el sistema
Para encontrar la solución del sistema podemos multiplicar la primera ecuación por -2 y al sumarle la
segunda ecuación tenemos que 0= - 4, lo que es Falso. Por lo tanto, podemos decir que este es un
sistema inconsistente y no tiene solución.

4. 1.2. Sistemas de ecuaciones lineales
Para hallar la solución del sistema (2) se pueden utilizar varios métodos, vamos a ver el siguiente.
Ejemplo. Resuelva el sistema lineal dado por el método de eliminación.
Primero intercambiamos filas en el sistema.

5. Para eliminar x de la segunda ecuación, multiplicamos la primera ecuación por -2 y le sumamos a la
segunda ecuación.
Y obtenemos el sistema:
Ahora vamos a eliminar a x de la tercera ecuación, sumando (-3) veces la primera ecuación a la
tercera ecuación:
Y nuestro sistema es:
Después procedemos a eliminar de la tercera ecuación sumando -5 veces la segunda ecuación a la
tercera.
Y obtenemos el sistema equivalente.

6. 1.3 Notación matricial
La información esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en un arreglo
rectangular.
Ejemplo
Dado el sistema
Podemos definir la matriz de coeficientes asociada al sistema (3) como,
Las matrices son el tema a desarrollar en la primera parte de este curso. Y son de suma importancia
para poder resolver sistemas lineales.
Veamos otra definición que nos ayuda a resolver de forma más eficiente sistemas de ecuaciones.
Para el sistema (3) la matriz aumentada se escribe como:

7. 1.4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices
En esta sección vamos a utilizar el método de eliminación en matrices para resolver sistemas lineales.
En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de
eliminación con y sin notación matricial y compararemos los resultados en ambos casos.
Ejemplo. Tomemos el sistema de ecuaciones del ejemplo 6 y colocaremos su matriz aumentada al lado
derecho para resolver el sistema (3).
Para empezar vamos a cambiar la primera ecuación por la tercera ecuación.
Mantenemos x en la primera ecuación y la eliminamos de las demás.
Restemos la ecuación 2 de la ecuación 3.
El resultado del cálculo se escribe en lugar de la fila 3.
Ahora, sumamos -2 veces la ecuación 1 a la ecuación 2.
El resultado del cálculo se escribe en lugar de segunda ecuación:

8. Multiplicamos a la ecuación 2 por e intercambiamos la ecuación 2 por la ecuación 3.
Eliminamos de la ecuación 2, restando la ecuación 3 de la ecuación 2.
El resultado del cálculo se divide para 3 y se escribe en lugar de la segunda ecuación.
Podemos eliminar de la ecuación 1, restamos la ecuación 3 de la ecuación 1.
El resultado del cálculo se escribe en lugar de la primera ecuación:
Para eliminar de la ecuación 1, restamos dos veces la ecuación 2 a la ecuación 1:
El resultado del cálculo se escribe en lugar de la primera ecuación:

9. Tema 2: Matrices -
2.1 Introducción
Ejemplo. Determine las entradas de la matriz 2x2 cuya entrada
Entonces
Ejemplo. Un ejemplo de vector renglón de 5 componentes.

10. Ejemplo. Un ejemplo de vector columna 4x1 es:
Ejemplo. El espacio se define como:
Ejemplo. Dadas las matrices y si determine los valores
de
Por definición de igualdad de matrices debe cumplirse que:
Ejemplo

11. 2.2. Matrices especiales
Cierto tipo de matrices desempeñan un papel importante en la teoría de matrices. Revisemos algunos
tipos de matrices especiales.
Ejemplo
Ejemplo. La matriz A es cuadrada de orden 3
El conjunto de las matrices cuadradas se nota
Para las matrices cuadradas podemos definir la diagonal principal como
Ejemplo. Para la matriz

12. Determine la diagonal principal.
Los elementos que constituyen la diagonal principal de son los elementos
Ejemplo. Dada la matriz:
La matriz es diagonal, ya que los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
Ejemplo. La matriz identidad de orden 3 es:
Ejemplo
Ejemplo

13. Ejemplo. Determine si la siguiente matriz es simétrica.
Para determinar si es simétrica encontremos
Como entonces es simétrica.
Ejemplo. Determinar si la siguiente matriz es antisimétrica.
Para mostrar que la matriz es antisimétrica vamos a calcular
Y
Vemos que por lo tanto es antisimétrica.

14. 2.3 Operaciones elementales por fila
Antes para hallar la solución del sistema lineal, utilizamos algunas operaciones en lo que conocemos
como matriz aumentada. Ahora vamos a utilizar las operaciones para encontrar matrices equivalentes
y matrices inversas. Recordando las operaciones elementales por fila.
Estas operaciones elementales entre renglones o filas de una matriz se utilizan en el método algebraico
de eliminación.
Cuando escribamos una operación por fila, usaremos la siguiente notación.
Ejemplo. Dada la matriz
Encuentre la matriz equivalente a A cuando se realiza la operación elemental
Vemos que la primera fila se sustituyó por la suma de la fila 1 y dos veces la fila 2.

15. La importancia de las operaciones elementales por fila es encontrar matrices equivalentes con
características que nos ayuden a la resolución de problemas.
Ejemplo. Determine cuál o cuáles de las siguientes matrices son reducidas o no lo son.
• La matriz A no es reducida porque la entrada principal de la segunda fila no es 1
• La matriz B no es reducida porque la segunda fila es nula y debería estar debajo de las filas no
nulas.
• Las matrices C y D son reducidas.
2.4 Solución de sistemas de ecuaciones con el método de la matriz aumentada
La solución de sistemas de ecuaciones lineales aplicando operaciones elementales de fila en la matriz
aumentada es un método general que se usa para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo. Resuelva el sistema de ecuaciones:
Para resolverlo obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada.
La tercera fila de la matriz escalonada reducida por filas indica que se tiene la ecuación:
Que es lo mismo que escribir que lo que constituye una contradicción o una falsedad,
entonces se dice que el sistema es inconsistente y que, por lo tanto, el sistema no tiene solución o
que el conjunto solución o la
Ejemplo. Resuelva el sistema de ecuaciones:
El sistema tendrá infinitas soluciones o ninguna solución.
Escalonemos la matriz aumentada:

16. La tercera fila de la matriz escalonada reducida por filas indica que se tiene la ecuación:
O sea que 0 = 0, lo que es verdadero, por tanto, la primera y la segunda ecuación nos dan condiciones
de las infinitas soluciones que tiene el sistema, así:
La primera ecuación indica que: , es decir que , y la segunda ecuación indica
que: , es decir que por tanto, la solución está dada por:
Ejemplo
Resuelva el sistema de ecuaciones:
Vamos a resolver usando operaciones elementales de fila en la matriz aumentada.
Note que en el espacio ocupado por la matriz A se tiene ahora la matriz identidad, lo cual indica que el
sistema tiene única solución.

17. Tema 3: Operaciones con matrices -
3.1 Introducción
Como vimos en los contenidos anteriores, las matrices nos permiten resolver sistemas de ecuaciones
de manera más eficiente y ordenada. Es importante saber manipular las matrices para poder resolver
problemas más complicados en donde intervienen las matrices.
Supongamos, por ejemplo, que una tienda de helados vende dos tipos de helado: uno a base de agua
y otro de crema, para ambos se elaboran en dos sabores (mora y fresa). Las ventas en dos días
diferentes están dadas en las matrices
Cada fila de las matrices de venta representa el número de helados vendidos de cada sabor.
Cada columna es el número de helados de cada tipo. Para obtener la venta total de helados
en un fin de semana, sumamos cada venta según el tipo y sabor de helado.
3.2. Suma de matrices
Ejemplo: Dadas las matrices
Entonces la suma de las dos matrices es:
Nota. Si las matrices son de distintas dimensiones no se pueden sumar.

18. Ejemplo. Dadas las matrices
Mostrar que:
Como los dos resultados son iguales sabemos que
Como los dos resultados son iguales sabemos que
3.3 Multiplicación por un escalar
Ejemplo. Dada la matriz

19. Determine
3.4 Multiplicación de matrices
Además de la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar, podemos definir la
multiplicación de dos matrices bajo ciertos parámetros.
Ejemplo. Dadas las matrices
Multiplicamos A y B

20. Nota. Verificar que las dimensiones de las matrices sean las adecuadas para realizar la multiplicación,
es decir, que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
Ejemplo. Dadas las matrices
Determine Calculemos,
Y por otro lado,
Podemos ver que

21. Ejemplo. Dadas las matrices
con los resultados anteriores, podemos concluir que
3.5 Potencias de una matriz
Si es una matriz cuadrada y es un número positivo, entonces denota el producto de veces
de :

22. Ejemplo
Entonces es nilpotente de orden 3.
Ejemplo
por tanto es involutiva.
3.6 Operaciones con la matriz transpuesta
Ejemplo. Dadas las matrices:

23. 3.7 Representación matricial de un sistema de ecuaciones
Dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas es un sistema de la forma:
donde los coeficientes son conocidos.
Podemos representar el sistema como multiplicación de la matriz de coeficientes por un vector que
contiene las incógnitas.
Ejemplo. Dado el sistema de ecuaciones:
Su forma matricial es:
Y el sistema lineal se escribe , con:

24. 4. Inversa de una matriz
4.1 Introducción
Las matrices son una herramienta indispensable cuando tenemos que solucionar un sistema de
ecuaciones. En esta parte del curso veremos una manera muy útil para la solución de sistemas
lineales.
4.2. Inversa de una matriz
Ejemplo. Dadas las matrices:

25. Ejemplo. Encontrar la inversa de la matriz:
Una matriz especial que se define por medio de la matriz inversa es la matriz ortogonal.
Ejemplo. Dadas las matrices
Verifiquemos que A es ortogonal
Por lo tanto A es ortogonal.

26. 4.3 Método para hallar la matriz inversa
Ejemplo. Dada la matriz:

27. 4.4 Inversa para resolver sistemas de ecuaciones
Ejemplo. Dado el sistema de ecuaciones

28. 5. DETERMINANTES
5.1 Introducción
Los determinantes son una herramienta importante para calcular la inversa de una matriz y para
resolver sistema de ecuaciones de manera más eficiente.
5.2. Determinante
Ejemplo. Calcule el determinante de la matriz

30. Con la definición de cofactor podemos definir el determinante de una matriz cuadrada de
cualquier dimensión. El determinante encontrado por este método se denomina expansión por
cofactores.

31. 5.3 Propiedades de los determinantes
Los determinantes tienen propiedades importantes, que facilitan el cálculo del mismo. En esta
sección vamos a ver las propiedades más importantes de los determinantes.

34. 5.4 Determinantes y matrices inversas
Los determinantes juegan un rol importante en el cálculo y caracterización de las matrices
cuadradas. En esta sección vamos a ver algunos teoremas que nos ayudarán para la solución
de sistemas de ecuaciones.
Por lo tanto podemos concluir que A es invertible.
Ejemplo. En el ejemplo anterior podemos obtener el determinante de la matriz inversa
de A sin necesidad de calcular sus entradas:
La matriz de cofactores es una matriz cuadrada de la misma dimensión que la matriz A.
Adjunta

36. 5.5 Regla de Cramer
Ahora veamos las equivalencias de los resultados, en todos los temas de la primera parte del
curso.

37. ESPACIOS VECTORIALES
6.1 Espacio Vectorial
Definición de espacio vectorial:
Ejemplo. El conjunto de los puntos en R^2 que están en una recta que pasa por el
origen.

39. Debemos tener claro que no todo conjunto es un espacio vectorial, pero cuando
estamos trabajando con un conjunto que es espacio vectorial podemos asegurar
que se cumple el siguiente teorema.

40. 6.2. Subespacio vectorial
En esta sección comenzamos a analizar la estructura de un espacio vectorial.
Vamos a definir los subconjuntos de un espacio vectorial que heredan las
propiedades del espacio con la misma suma y multiplicación por escalar.

43. 6.3 Subespacio generado por un conjunto
Para definir un subespacio generado por un conjunto de vectores, debemos
familiarizarnos con la siguiente definición.
EJEMPLO

44. Expresando la igualdad anterior como un sistema de ecuaciones lineales, tenemos:
EJEMPLO

47. Tema7. Base y dimensión
7.1 Independencia lineal

49. 7.2. Base de un espacio vectorial
El concepto de base permite caracterizar algunos espacios vectoriales con un conjunto de
elementos que tienen ciertas características, lo que ayuda a comprender la estructura de
un espacio vectorial.

52. 7.3 Dimensión de un espacio vectorial
Por el concepto de base de un espacio vectorial se puede introducir el siguiente
concepto:

54. EJEMPLO
Sea

55. 7.4 Rango, nulidad, espacio fila y espacio columna de una matriz
Para una matriz A podemos aplicar las nociones de espacio vectorial, independencia lineal
y bases para determinar si la matriz es invertible o si un sistema de ecuaciones tiene
solución o no, por lo que vamos a introducir algunos conceptos importantes.

59. Tema 8: Espacios con producto interno
8.1 Producto interno
En los contenidos anteriores vimos las características y estructura de un espacio vectorial,
en este contenido vamos a dotar de algunas propiedades a los espacios vectoriales.

60. EJEMPLO
EJEMPLO

63. Hay que aclarar que el recíproco no se cumple, es decir, no todo conjunto linealmente
independiente es ortogonal u ortonormal.

64. 8.2. Bases ortogonales

66. 8.3 Proyección ortogonal
En un espacio vectorial podemos escoger un elemento del espacio vectorial y proyectarlo
en un subespacio vectorial por medio de una base ortogonal. A continuación vamos a ver
algunas definiciones que nos permiten entender la noción de proyección.

68. Tema 9: Transformaciones lineales
9.1 Transformaciones lineales
En este contenido vamos a estudiar un tipo especial de funciones llamadas
transformaciones lineales, que se presentan con mucha frecuencia en álgebra lineal. Las
transformaciones lineales tienen muchas aplicaciones en todos los campos de la ciencia y
de la vida cotidiana.
Un ejemplo informal de una transformación lineal en la vida cotidiana es el reflejo o
proyección.
Imaginemos un hombre en la orilla de un lago. Este hombre mira su reflejo en el agua por
varios minutos mientras piensa. Yo un objeto en tres dimensiones, a través del agua me
convertí en una imagen en el agua que tiene dos dimensiones.

70. Las transformaciones tienen algunas propiedades importantes, y las mencionaremos en
los siguientes teoremas:

71. 9.2. Núcleo e Imagen

74. 9.3 Isomorfismos

77. Tema 10: Valores y vectores propios
10.1 Valores y vectores propios

78. Encontremos el polinomio característico

80. 10.2. Diagonalización de matrices

81. Por lo tanto, para las dos matrices sus valores propios son:
EJEMPLO