191720244 diseno-de-elementos-de-maquinas-ivan-moran

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECÁNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Las elevadas presiones que existen en el interior de una turbina de gas
y la alta velocidad a la que giran los ejes, convierten a esta máquina en
uno de los mayores retos del Diseño en Ingeniería Mecánica.
DFTC – JEGJ – MATG – JLTC – DJCA

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PREFACIO
“Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse de ello”
Albert Einstein
El presente texto de Diseño de Elementos de Máquinas “I” ha sido diseñado para alumnos que
cursan el cuarto año de Ingeniería Mecánica y que ya han tomado los cursos de Física,
Mecánica de la Ingeniería, Materiales, Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos.
El Diseño de Elemento de Máquinas es uno de los temas fundamentales de cualquier plan de
estudios de Ingeniería Mecánica. El conocimiento de las leyes que rigen el comportamiento, así
como de las propiedades más importantes, de los distintos componentes mecánicos, bajo la
acción de cargas, es indispensable para comprender los principios de funcionamiento de las
máquinas, y para poder explicar los fenómenos mediante los cuales se produce el colapso de
las mismas.
Puesto que las variables en el Diseño son funciones, por lo general, de las dimensiones de los
elementos de máquinas, el tema es más complicado que la teoría de Mecánica de Materiales.
El propósito de este texto es satisfacer la demanda de un libro de texto que no sólo presente
los fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica, sino que también incluya la
forma más apropiada de resolución de problemas relacionados con los ejes de transmisión,
cilindros de presión, sujetadores, columnas, tornillos de potencia y cojinetes.
Consideramos que una de las dificultades básicas de los estudiantes en el aprendizaje del
Diseño es que no pueden comprender los conceptos más importantes que aparecen en dicho
curso, mismos que se derivan de los cursos previos de Mecánica de Materiales.
Con este texto, lo que se pretende es de cierta manera ayudar a los estudiantes a vencer estas
dificultades, usando un enfoque puramente descriptivo de los fenómenos más comunes que se
presentan en los elementos de máquinas mediante resolución de problemas.
Aproximadamente la mitad del texto contiene el material informativo que el estudiante debe
leer con detenimiento y procurar fijar en su mente. El resto de la obra corresponde a
problemas resueltos y propuestos. Con esto último creemos que el alumno no sólo desarrollará
una compresión más profunda de los diversos temas tratados, sino que también sentirá la
satisfacción de saber que sus conocimientos en esta materia son los adecuados.
En el breve capítulo 1 se expone una introducción acerca del fascinante mundo del Diseño. Allí
se presenta el concepto de factor y margen de seguridad, así como el de confiabilidad. El
capítulo 2 se encuentra destinado a un repaso de los conceptos más fundamentales de la
Mecánica de Materiales. En el capítulo 3 se describe muy brevemente la clasificación y las
propiedades de los materiales más comúnmente usados en ingeniería. El capítulo 4 trata sobre
el esfuerzo y los métodos más utilizados para su respectivo análisis. En el capítulo 5 se
estudian las diferentes teorías de falla debido a carga estática. El capítulo 6 describe la falla
de los elementos de máquinas producida por el fenómeno conocido como fatiga. Las
características más importantes de los elementos de unión son el tema del capítulo 7. En el
capítulo 8 se estudian la teoría y las aplicaciones de los muelles helicoidales. El capítulo 9 trata
sobre aquellos elementos de máquina que se utilizan, con frecuencia, para transmitir potencia.
En el capítulo 10 se abarca el tema relacionado, principalmente, a la selección de cojinetes,
mientras que, las características más importantes de las columnas y de los cilindros de
presión, son los temas principales de estudio de los capítulos 11 y 12, respectivamente.

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Cada capítulo de este texto se inicia con una sección de introducción, la misma que
proporciona una guía para los temas que se analizarán en el capítulo. La característica
principal de este texto es que en todo su contenido se presentan problemas resueltos después
de la teoría y relaciones más importantes, con el objetivo de ilustrar los métodos más usados
para resolver problemas genéricos.
Al final de cada capítulo y de sus respectivos problemas resueltos, aparece una sección
identificada como problemas propuestos, los mismos que condensan los temas principales del
capítulo. Esperamos que estos últimos sean de ayuda y muy útiles para que los estudiantes
aprendan a resolver problemas del fascinante mundo del Diseño de Máquinas.
Las unidades empleadas en el texto son las del Sistema Internacional (SI) y las del sistema
(CGS). Las demostraciones de las relaciones más importantes que aparecen a lo largo de todo
el texto, se han omitido en su totalidad, por el temor introducir errores, sean los de tipo
teórico (que serían los más graves) o los de tipo mecanográfico, que ocurren generalmente,
durante la escritura de todas esas relaciones (ecuaciones).
A lo largo de todo el texto aparecerá el símbolo de asterisco (*), que según la forma en que
aparezca indica ciertas notas que hay que leerlas con mucha atención. A saber, cuando
aparezca delante del número de cierta sección, indica que ésta es opcional, es decir, que su
estudio, puede ser o no de importancia para el entendimiento del tema del capítulo
correspondiente; claro, esto último quedará a criterio del estudiante. Asimismo, cuando
aparezca como exponente de cierta palabra dentro de una sección, indica que al pie de la
página donde se encuentre esa palabra, se da algo más de información acerca de esa palabra
o sobre el tema que se está tratando en esa sección. En algunos casos, también proporciona
referencias de libros más avanzados donde se puede obtener mayor información del tema y de
las demostraciones más complejas. Se recomienda al estudiante que en estos casos, acuda a
tales referencias bibliográficas con el fin de enriquecer sus conocimientos referentes a esos
temas de estudio. Finalmente, en lo que corresponde a los problemas propuestos, cuando
aparezca delante del número de uno de ellos, indica que el problema tiene un grado de
dificultad bastante elevado, o que, en el caso de problemas ya de diseño, estos no tienen una
solución única.
Algo muy importante que debe ser mencionado es que, de ninguna manera este texto tiene la
intención de reemplazar al material bibliográfico tan amplio y avanzado que existe sobre el
tema, sino que, como se dijo anteriormente, el propósito de este texto es el de presentar los
fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica.
Asimismo debemos dejar constancia que la información que se encuentra en este texto ha sido
fundamentada en la existente en los excelentes libros que se citan a lo largo de todo el texto,
y que se indican al final de éste en la bibliografía correspondiente. No obstante, los autores
somos los únicos responsables de cualquier deficiencia en el texto y agradeceremos a los
lectores que nos hagan llegar las observaciones que tengan sobre el mismo.
D.F.T.C - J.E.G.J - M.A.T.G - J.L.T.C - D.J.C.A

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NOTA PARA EL ESTUDIANTE
Este es un texto sobre los fundamentos del Diseño de Elementos de Máquinas. Los conceptos e
ideas que aprenda de él entrarán, muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y
de su modo de pensar. Cuanto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto de su
educación superior.
En este curso debe estar preparado para abordar numerosos problemas arduos. El aprender
los conceptos y las técnicas del Diseño puede ser, a veces, un proceso lento y doloroso. Antes
de que entre en esas regiones del Diseño que despiertan su imaginación, usted debe dominar
otras menos llamativas pero muy fundamentales, sin las cuales no puede utilizar o comprender
el Diseño en forma apropiada.
Usted deberá mantener dos objetivos principales al tomar este curso. Primero: familiarizarse
completamente con el puñado de conceptos y principios básicos que constituyen la columna
vertebral del Diseño. Segundo: desarrollar la habilidad de manejar estas ideas y aplicarlas a
situaciones concretas; en otras palabras, la habilidad de pensar y actuar como ingeniero.
El primer objetivo lo puede alcanzar principalmente leyendo y releyendo la teoría que se
presenta en este texto. Recomendamos principalmente que lea aquellas referencias
bibliográficas que se citan, pues ellas enriquecerán la información que usted necesita asimilar.
Para ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo, hay a lo largo del texto muchos problemas
resueltos, los cuales le servirán de ayuda para la comprensión de las ideas más básicas del
Diseño. Recomendamos principalmente que lea primero toda la teoría que fuese necesaria y
una vez familiarizada con ella, prosiga con los problemas asignados por el profesor.
Los problemas propuestos que están al final de cada capítulo tienen un gado variable de
dificultad. Oscilan entre lo más simple y lo más complejo. Si el problema que se está tratando
no se puede resolver en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde, para el
caso d aquellos pocos problemas que se resisten a ser resueltos, deberá procurar ayuda (con
el profesor o con estudiantes más avanzados).
El reto del Diseño no es el de resolver de manera perfecta un problema en particular, sino más
bien, usar unas cuantas ideas y conceptos bien fundamentados, que nos permitan dominar
todas las técnicas de resolución, para enfrentarnos a problemas más generales.
Algo muy importante que debe mencionarse es que en ningún momento se debe tomar a este
texto como una fuente de referencia para buscar culpables de los frecuentes errores que se
producen durante las pruebas concernientes al curso de Diseño, puesto que, sus calificaciones
dependerán tanto de su astucia como de sus conocimientos para analizar los problemas, y que,
por sobre todas las cosas, de sus ideas y procedimientos plasmadas en sus pruebas, es, el
profesor quién tendrá la última palabra.
Finalmente, el aprendizaje del Diseño es un viaje intelectual; este texto le servirá como guía,
pero usted debe aportar su dedicación y su perseverancia. Esperamos que su exploración del
territorio del Diseño de Elementos de Máquinas en Ingeniería Mecánica sea una experiencia
estimulante y gratificante.
Los autores

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El aprendizaje no se logra por casualidad;
debe buscarse con pasión y atenderse con esmero.
Abigail Adams
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ESPOCH INGENIERÍA MECÁNICA
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DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I INTRODUCCIÓN1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
El Diseño de Elementos de Máquinas implica un gran conocimiento de geometría.
Por lo tanto, resulta también necesaria la habilidad para hacer gráficos de las diferentes configuraciones que se
presenten, así como el dibujo de diagramas de cuerpo libre de las cargas que actúan sobre un componente.
El Diseño de Elementos de Máquinas requiere también un conocimiento completo de cursos de ciencias básicas de la
ingeniería, tales como: Física, Mecánica de la Ingeniería, Materiales y Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos.
El Diseño de Elementos de Máquinas es también la parte medular de otros tipos de estudios profesionales y de diseño
incluidos en la carrera de Ingeniería Mecánica.
Así pues, un curso de Diseño de Elementos de Máquinas parece ser el método más efectivo para iniciar al estudiante
en la práctica de la Ingeniería Mecánica.
1.1 ¿QUÉ ES EL DISEÑO?
Diseño es la transformación de conceptos e ideas en maquinaria útil. Una máquina es una combinación de mecanismos
y otros componentes que transforma, transmite o emplea energía, carga o movimiento para un propósito específico.
Una máquina comprende varios elementos diferentes, diseñados apropiadamente y arreglados para trabajar en
conjunto como una unidad.
Las decisiones fundamentales concernientes a la carga, la cinemática y a la selección de materiales deben tomarse
durante el diseño de una máquina.
También es necesario considerar otros factores como resistencia, confiabilidad, deformación, tribología (fricción,
desgaste y lubricación), costo y necesidades de espacio.
El objetivo es producir una máquina que no sólo sea lo suficientemente resistente para funcionar con eficiencia
durante un tiempo razonable, sino que también sea posible de realizar económicamente.
Para “dirigir las vastas fuentes de poder de la naturaleza” en el diseño de máquinas, el ingeniero debe reconocer las
funciones de los varios elementos de una máquina y los tipos de carga que ellos transmiten.
Un elemento de máquina puede funcionar como un transmisor de carga normal, como transmisor de movimiento
rotacional, como un absorbente de energía o como un empaque.
Algunos transmisores de carga normal son los cojinetes de elementos rodantes, los cojinetes hidrodinámicos y los
cojinetes de fricción.
Algunos transmisores de movimiento rotacional son los engranes, mecanismos de tracción, de cadena y de banda. Los
frenos y los amortiguadores son absorbentes de energía.
En contraste con los problemas matemáticos u otros puramente científicos, los problemas de Diseño no tienen una
sola respuesta. En efecto, una respuesta que es adecuada (o “buena”) ahora, puede ser muy bien una solución
impropia (o “mala”) el día de mañana, si se produjo una evolución de los conocimientos durante un lapso de tiempo
transcurrido.
Todo problema de Diseño siempre está sujeto a determinadas restricciones para su solución.
Un problema de Diseño no es un problema hipotético. Todo diseño tiene un propósito concreto: la obtención de un
resultado final al que se llega mediante una acción determinada o por la creación de algo que tiene realidad física.
1.2 DISEÑO DE SISTEMAS MECÁNICOS
El diseño mecánico es el diseño de objetos y sistemas de naturaleza mecánica: piezas, estructuras, mecanismos,
máquinas y dispositivos e instrumentos diversos.
En su mayor parte, el diseño mecánico hace uso de las matemáticas, las ciencias de los materiales y las ciencias
mecánicas aplicadas a la Ingeniería.
El diseño en Ingeniería Mecánica incluye el diseño mecánico, pero es un estudio de mayor amplitud que abarca todas
las disciplinas de la Ingeniería Mecánica, incluso las ciencias térmicas y de los fluidos.

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Un sistema mecánico es una unión sinergética de elementos de máquina. Es sinergética porque como diseño
representa una idea o concepto mayor que la suma de las partes individuales.
El diseño de sistemas mecánicos requiere una flexibilidad considerable y creatividad para obtener buenas soluciones.
La creatividad parece ser asistida por familiaridad con los diseños exitosos conocidos, y los sistemas mecánicos con
frecuencia son conjuntos de componentes bien diseñados de un número finto de calidades probadas.
1.3 DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS
El diseño adecuado de un elemento de máquina usualmente comprende los siguientes pasos:
1. Selección del tipo adecuado del elemento de máquina desde la consideración de su función.
2. Estimación del tamaño del elemento de máquina que sea probable para ser satisfactorio.
3. Evolución del desempeño del elemento de máquina contra los requisitos a cumplir.
4. Y la modificación del diseño y de las dimensiones hasta que el desempeño esté cerca de cualquier punto óptimo
considerado más importante.
Una vez que se selecciona el tipo adecuado de un elemento de máquina para la función que se requiere, se diseña el
elemento de máquina específico analizando la cinemática, la carga y el esfuerzo.
Estos análisis, junto con una adecuada selección del material, permitirá la evaluación del esfuerzo-deformación
unitaria-resistencia en términos de un factor de seguridad.
Una pregunta importante en el diseño de un elemento de máquina es si fallará en servicio.
La mayoría de las personas, incluyendo a los ingenieros, asocian comúnmente la falla con el rompimiento del
elemento de máquina.
Aunque el rompimiento es un tipo de falla, el ingeniero de diseño debe tener un entendimiento más amplio de lo que
realmente determina si una parte ha fallado.
Se considera que un elemento de máquina ha fallado cuando:
1. Es completamente inoperable.
2. Aún es operable pero es incapaz de desempeñar satisfactoriamente su función programada.
3. Un serio deterioro lo ha hecho inconfiable o inseguro para su uso continuo, requiriendo su desplazamiento del
servicio para su reparación o reemplazo inmediato.
La función del ingeniero de diseño es predecir las circunstancias bajo las cuales es probable que ocurra una falla. Estas
circunstancias son las relaciones esfuerzo-deformación unitaria-resistencia que involucran a la mayoría de los
elementos sólidos y a fenómenos de superficie como la fricción, el desgaste, la lubricación y el deterioro ambiental.
Los principios del diseño son universales. Un análisis es igualmente válido sin importar el tamaño, el material y la
carga.
El análisis de diseño intenta predecir la resistencia o deformación de un elemento de máquina, de manera que pueda
soportar las cargas impuestas durante el tiempo que se requiera.
Ciertas suposiciones tienen que realizarse acerca de las propiedades de los materiales bajo diferentes tipos de carga
(axial, de flexión, de torsión y de cortante transversal, así como de varias combinaciones) y clasificación (estática,
sostenida, por impacto o cíclica).
Estas restricciones de carga pueden variar a través de las máquinas, pues ellas de relacionan con diferentes elementos
de máquina, un factor importante a considerar por el ingeniero de diseño.
1.4 CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES DE DISEÑO
A veces, la resistencia de un elemento es un asunto muy importante para determinar la configuración geométrica y las
dimensiones que tendrá dicho elemento. En tal caso se dice que la resistencia es un factor importante de diseño.
La expresión factor de diseño, significa alguna característica o consideración que influye en el diseño de un elemento
o, quizá, en todo el sistema. Por lo general se tienen que tomar en cuenta varios de esos factores en un caso de
diseño determinado.
En ocasiones, alguno de esos factores será crítico y, si se satisfacen sus condiciones, ya no será necesario considerar
los demás.

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Por ejemplo, suelen tenerse en cuenta los factores siguientes:
1. Resistencia 12. Ruido
2. Confiabilidad 13. Estilización
3. Condiciones térmicas 14. Forma
4. Corrosión 15. Tamaño
5. Desgaste 16. Flexibilidad
6. Fricción o rozamiento 17. Control
7. Procesamiento 18. Rigidez
8. Utilidad 19. Acabado de superficies
9. Costo 20. Lubricación
10. Seguridad 21. Mantenimiento
11. Peso 22. Volumen
Algunos de estos factores se refieren directamente a las dimensiones, al material, al procesamiento o procesos de
fabricación, o bien, a la unión o ensamble de los elementos del sistema. Otros se relacionan con la configuración total
del sistema.
1.5 FACTOR Y MARGEN DE SEGURIDAD
La resistencia es una propiedad de un material o de un elemento mecánico. La resistencia de un elemento depende de
la clase, tratamiento y procesado del material.
Conviene recordar que ele esfuerzo es algo que ocurre en una pieza o elemento debido a la aplicación de una fuerza.
Por otra parte, la resistencia es una propiedad intrínseca del elemento y depende del material y el proceso particulares
que se usaron para fabricar tal elemento.
El término factor de seguridad se aplica al factor utilizado para evaluar la condición segura de un elemento.
Considérese que un elemento mecánico se somete a algunas acciones que se designarán por F . Se supone que F
es un término muy general y que puede representar una fuerza, un momento de flexión o de torsión, una pendiente,
una deflexión o alguna clase de deformación o distorsión.
Si F aumenta, finalmente llegará a ser tan grande que cualquier pequeño incremento adicional alteraría
permanentemente la capacidad del elemento para realizar su función.
El factor de seguridad se puede expresar como:
diseño
permisible
n
σ
σ
=
Si 1>n , el diseño es adecuado. Entre mayor sea n , más seguro será el diseño.
Si 1<n , el diseño puede ser inadecuado y necesitar de un rediseño.
Cuando el esfuerzo se hace igual a la resistencia, 1=n , no habrá ya ninguna seguridad en absoluto. Por lo tanto,
frecuentemente se usa el término margen de seguridad.
Este margen se define por la ecuación: 1+= nms
donde:
ms : margen de seguridad (en %)
n : factor de seguridad ( > 1)
La mayor utilidad del factor de seguridad se tiene cuando se compara el esfuerzo con la resistencia a fin de evaluar el
grado de seguridad. El factor de seguridad se usa para tener en cuenta dos efectos que generalmente no están
relacionados:
1. Cuando han de ser fabricadas muchas piezas a partir de diversa existencias de materiales, ocurrirá una variación
en la resistencia de las diferentes piezas por una variedad de razones, como el procesamiento, el trabajo en
caliente o frío y la configuración geométrica.
2. Cuando una pieza ha de ser ensamblada, habrá una variación en la carga que experimentará la pieza y, los
esfuerzos inducidos por tal acción, sobre lo cual el fabricante y el diseñador no tienen control.
Designaremos como casos a las tres circunstanciasen las cuales se emplea un factor de seguridad en ingeniería. Estos
casos dependen de si un factor de seguridad se determina como una sola cantidad, o bien, se establece como un
conjunto de componentes.

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Caso 1. El factor de seguridad se aplica en su totalidad a la resistencia.
n
Sy
=σ
n
SSy
=τ
Cuando una pieza ya ha sido diseñada y se conocen su configuración, sus cargas y su resistencia, se calcula el factor
de seguridad con objeto de evaluar la condición segura del diseño.
Este enfoque se utiliza también cuando en un cierto elemento se ha presentado una serie de fallas o averías, y el
diseñador desea saber por qué algunas piezas no funcionan debidamente.
Según esto, de la ecuación anterior se despejará el valor de n .
Caso 2. El factor de seguridad se aplica íntegramente a la carga o los esfuerzos que resultan de esta carga.
nFFp = o bien σσ np =
Ahora pF recibe el nombre de carga permisible (o admisible), y pσ es también el esfuerzo permisible (o admisible).
Se justifica plenamente llamar también “permisible” al esfuerzo que resulta de una carga “permisible”.
Caso 3. Un factor de seguridad global o total puede descomponerse en varios componentes, y se utilizarán factores
individuales para la resistencia y para las cargas, o bien, para los esfuerzos producidos por esas cargas.
Si hay dos de ellas, por ejemplo, entonces el factor total de seguridad es:
21nnnn S=
donde:
Sn tiene en cuenta todas las variaciones o incertidumbres referentes a la resistencia
1n corresponde a todas las incertidumbres concernientes a la carga 1
2n corresponde a todas las incertidumbres que conciernen a la carga 2
Cuando se aplica un factor de seguridad, como Sn , a la resistencia, esto equivale a expresar que en circunstancias
usuales y razonables la resistencia que resulte será siempre menor. Por lo tanto, el valor mínimo de la resistencia se
calcula como:
S
mín
n
S
S =
Cuando se aplica un factor de seguridad como 1n a una carga, o al esfuerzo que resulta de la aplicación de dicha
carga, se está experimentando en realidad que la carga o esfuerzo resultantes nunca tendrán un valor mayor.
Por último es importante observar que probablemente tanto la resistencia como los esfuerzos en un elemento de
máquina variarán de punto a punto en todo el componente.
1.6 CONFIABILIDAD
La medida estadística de la probabilidad de que un elemento mecánico no falle cuando esté en servicio se llama
confiabilidad. Esta cantidad, R, tiene como medida un número situado en el siguiente intervalo:
10 <≤ R
Una confiabilidad de 90.0=R significa que hay 90% de probabilidades de que la pieza funcione adecuadamente sin
fallar. Una confiabilidad de 1=R no puede obtenerse, puesto que significa que la falla es absolutamente imposible.

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DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I MECÁNICA DE MATERIALES5
CAPÍTULO 2
MECÁNICA DE MATERIALES
2.1 INTRODUCCIÓN
Todos los sólidos, en una u otra manera, tienen las propiedades de resistencia y rigidez, o sea que, dentro de ciertos
límites son capaces, sin romperse y sin sufrir grandes variaciones en sus dimensiones geométricas, de resistir cargas.
La mecánica de materiales es la ciencia que trata de la resistencia y de la rigidez de los elementos de las estructuras.
Por los métodos de la mecánica de materiales se realizan los cálculos prácticos y se determinan las dimensiones
necesarias, seguras, de las piezas de las máquinas y de distintos tipos de estructuras.
Las bases fundamentales de la mecánica de materiales se apoyan sobre los teoremas de la mecánica general, sobre
todo de la Estática, sin conocimiento de los cuales el estudio de la mecánica de materiales sería imposible.
La diferencia entre la mecánica de materiales y la mecánica teórica consiste en que para la primera lo esencial son las
propiedades de los cuerpos deformables, mientras que las leyes del movimiento del sólido interpretado como un
cuerpo rígido no solamente pasan a un segundo plano, sino que en muchos casos simplemente carecen de
importancia.
Al mismo tiempo, teniendo en cuenta que las dos tienen mucho en común, se puede considerar a la primera como una
rama de la segunda, llamada Mecánica de los Sólidos Deformables.
La mecánica de los cuerpos deformables abarca también a otras asignaturas como la Teoría matemática de la
Elasticidad, que estudia de hecho los mismos problemas que la mecánica de materiales.
La diferencia esencial entre la mecánica de materiales y la teoría matemática de la elasticidad consiste en la manera
de enfocar el problema.
La teoría matemática de la elasticidad estudia el comportamiento de los sólidos deformables basándose sobre
planteamientos más exactos.
Por eso, al resolver los problemas resulta necesario, en muchos casos, recurrir a un modelo matemático más
complicado y realizar con frecuencia cálculos voluminosos.
Debido a esto, las posibilidades del empleo práctico de los métodos de la teoría de la elasticidad son muy limitadas, a
pesar de que ellos analizan los fenómenos de una manera más completa.
La mecánica de materiales tiene como fin la elaboración de métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de
vista práctico, de los elementos típicos, más frecuentes, de las estructuras.
Para ello se emplean diversos procedimientos aproximados.
La necesidad de obtener resultados concretos y numéricos al resolver los problemas prácticos, nos obliga en algunos
casos, a recurrir en la mecánica de materiales, a hipótesis (suposiciones) simplificadas que deben ser justificadas
comparando después los resultados del cálculo con los de los ensayos.
Al elaborar los métodos de cálculo aproximados de la mecánica de materiales se emplean también los resultados del
análisis exacto realizado por los métodos de la teoría matemática de la elasticidad.
Los fines de la mecánica de materiales, en virtud de su carácter aplicado, son más amplios que los de la teoría
matemática de la elasticidad.
El problema esencial de la mecánica de materiales consiste no solamente en determinar las particularidades interiores
de los sólidos, sino, también, en darles una interpretación correcta al juzgar sobre la capacidad de trabajo y utilización
práctica de la estructura que se analiza.
En la teoría matemática de la elasticidad este último problema no se plantea.
Entre las ciencias que estudian los problemas relacionados con los sólidos deformables, surgieron y se desarrollan en
los últimos decenios nuevas ramas de la mecánica, que ocupan un lugar intermedio entre la mecánica de materiales y
la teoría de la elasticidad, como, por ejemplo, la Teoría Aplicada de la Elasticidad.
Aparecen también asignaturas afines como la Teoría de la Plasticidad, Teoría del Escurrimiento Plástico, y otras.
Sobre las bases de las leyes fundamentales de la mecánica de materiales han sido creadas nuevas ramas de la ciencia
sobre la resistencia de orientación práctica, como la mecánica de las construcciones estructurales y de los aviones, la
teoría de la resistencia de las estructuras soldadas y muchas otras.

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Los métodos de la mecánica de materiales no permanecen inalterables sino que varían al surgir problemas y
exigencias nuevas de la práctica.
Al realizar los cálculos, los métodos de la mecánica de materiales se deben emplear de manera creadora y tener en
cuenta que el éxito del cálculo práctico radica no tanto en el empleo de un modelo matemático complicado como en la
capacidad de penetrar en el fenómeno, sino de encontrar las hipótesis más apropiadas y de llevar el cálculo a
resultados numéricos definitivos.
Puesto que los elementos de máquinas soportan cargas, de ello se deriva que un análisis de las cargas resulte
esencial en el diseño de elementos de máquinas.
La selección adecuada de un elemento de máquina es con frecuencia un asunto tan simple como calcular los esfuerzos
y deformaciones que se esperan durante el servicio del elemento y, luego, se elige el tamaño adecuado de manera que
no se excedan los esfuerzos ni las deformaciones críticos.
El primer paso para calcular los esfuerzos de un elemento de máquina es la determinación exacta de la carga.
2.2 SECCIÓN CRÍTICA
Para determinar cuando fallará un elemento de máquina, el ingeniero de diseño evalúa el esfuerzo, la deformación
unitaria y la resistencia en la sección crítica.
La sección crítica, o ubicación en el diseño donde se desarrolla la carga interna más grande y por consiguiente donde
es más probable que ocurra la falla, a menudo no se conoce intuitivamente a priori.
En general, la sección crítica ocurrirá con frecuencia en puntos geométricos no uniformes, como en el punto donde un
eje cambia su diámetro a lo largo de un filete. También, a menudo son críticos los puntos donde se aplica o se
transfiere una carga. Finalmente, las áreas donde la geometría (forma) es más crítica representan casos para su
análisis.
2.3 CLASIFICACIÓN DE CARGAS Y CONVENCIÓN DE SIGNOS
Cualquier carga aplicada se clasifica con respecto al tiempo en las formas siguientes:
1. Carga estática: La carga se aplica de manera gradual y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto.
La estructura no experimenta efectos dinámicos.
2. Carga sostenida: La carga, como el peso de una estructura, es constante durante un largo período.
3. Carga de impacto: La carga se aplica rápidamente. Una carga de impacto usualmente se atribuye a una energía
impartida a un sistema.
4. Carga cíclica: La carga puede variar e inclusive invertirse en signo y tiene un período característico respecto al
tiempo.
Una carga también se puede clasificar respecto al área sobre la cual se aplica:
1. Carga concentrada: La carga se aplica en un área mucho menor que la del miembro que se carga. Un ejemplo
sería en contacto entre un rodillo y una viga de apoyo en un brazo de soporte mecánico, donde el área de
contacto es 100 veces menor que la superficie del rodillo. Para estos casos se puede considerar que la fuerza
aplicada actúa en un punto de la superficie.
2. Carga distribuida: La carga se distribuye a lo largo de toda el área. Un ejemplo sería el peso de la calzada de un
puente de concreto de espesor uniforme.
Las cargas además se clasifican respecto a su localización y método de aplicación. También, la dirección coordenada se
debe determinar antes de que se pueda establecer el signo de la carga:
1. Carga normal: La carga pasa a través del centroide de la sección resistente. Las cargas normales pueden ser de
tensión o de compresión. La convención de signos es tal que la carga de tensión es positiva, y la de compresión,
negativa.
2. Carga cortante: Una fuerza P (paralela a la sección) se supone colineal con la fuerza cortante transversal V. Una
fuerza cortante es positiva si la dirección de la fuerza y la dirección normal son ambas positivas o ambas
negativas. Una fuerza cortante es negativa si la dirección de la fuerza y la dirección normal tienen signos
diferentes. De esta forma, para establecer si una fuerza cortante es positiva o negativa, se deben designar las
coordenadas x e y positivas.
3. Carga flexionante: La carga se aplica transversalmente al eje longitudinal del elemento. Según sea la dirección
de la fuerza aplicada sobre el elemento, como por ejemplo, dirigida hacia abajo, los puntos situados por encima
del eje neutro de la sección soportarán esfuerzos de compresión, mientras que los situados por debajo de éste
eje, estarán sujetos a esfuerzos de tracción.

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4. Carga de torsión: Este tipo de carga somete a un elemento a un movimiento de torsión. Aquí se puede aplicar la
regla de la mano derecha para determinar su dirección y sentido.
5. Carga combinada: Resulta de una combinación de dos o más de las cargas que se definieron anteriormente.
2.4 REACCIONES DEL APOYO
Las reacciones son fuerzas que desarrollan en el apoyo.
Una forma de determinar la reacción del apoyo consiste en imaginar al elemento sujeto como si fuera trasladado o
girara en una dirección particular. Si el apoyo se opone a la traslación en una dirección dada, se desarrolla una fuerza
sobre el elemento en esa dirección.
De la misma forma, si el apoyo previene la rotación, un momento acoplado se aplica al elemento. Por ejemplo, un
rodillo previene la traslación sólo en la dirección de contacto, perpendicular a la superficie; de esta forma, el rodillo no
puede desarrollar un momento acoplado al elemento en el punto de contacto.
2.5 EQUILIBRIO ESTÁTICO
El equilibrio de un cuerpo requiere tanto un balance de las fuerzas, para prevenir que el cuerpo se traslade a lo largo
de una trayectoria recta o curva, como un balance de momentos, para prevenir que el cuerpo gire.
De acuerdo con la estática se acostumbra presentar estas ecuaciones como:
∑
∑
=
=
0
0
x
x
M
P
∑
∑
=
=
0
0
y
y
M
P
∑
∑
=
=
0
0
z
z
M
P
Con frecuencia, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo se puede representar como un sistema de
fuerzas coplanares. Si éste es el caso, la fuerza se sitúa en el plano x-y y las condiciones de equilibrio para el cuerpo
se pueden especificar con sólo tres ecuaciones:
∑ = 0xP ∑ = 0yP ∑ = 0zM
Note que el momento zM es perpendicular al plano que contiene las fuerzas. La aplicación adecuada de las
ecuaciones de equilibrio requiere de la especificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que
actúan sobre el cuerpo.
2.6 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Una máquina completa, cualquier elemento de máquina o cualquier parte de un elemento de máquina se representan
como cuerpos libres. Se supone un equilibrio estático en cada nivel.
La mejor forma de representar las fuerzas y momentos en las ecuaciones de equilibrio es dibujar un diagrama de
cuerpo libre. Para que las ecuaciones de equilibrio sean correctas, los efectos de todas las fuerzas aplicadas y los
momentos deben representarse en el diagrama de cuerpo libre.
Un diagrama de cuerpo libre es un esquema de una máquina, de un elemento de máquina o de una parte de un
elemento de máquina, donde se muestran todas las fuerzas actuantes, como las cargas aplicadas, las fuerzas de
gravedad y todas las fuerzas de reacción.
Las fuerzas de reacción se proporcionan por el piso, paredes, pernos, rodillos, cables y otros medios.
El signo de la reacción se supone inicialmente. Si después del análisis del equilibrio estático el signo de la fuerza de
reacción es positivo, la dirección que se supuso inicialmente es correcta; si es negativa, la dirección es opuesta a la
que se supuso inicialmente.
2.7 VIGAS APOYADAS
Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a su eje
longitudinal.
En general, las vigas son barras largas y rectas con área de sección transversal constante.

________________________________________________________________________________
Con frecuencia, se clasifican de acuerdo con la forma en que se apoyan:
1. Una viga simplemente apoyada está articulada en un extremo y apoyada sobre un rodillo en el otro.
2. Una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro.
3. Una viga suspendida tiene uno o ambos extremos extendiéndose libremente más allá de su(s) apoyo(s).
2.8 FUERZA Y ESFUERZO
2.8.1 FUERZA
Puede considerarse como una causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de
deformarlo. Las fuerzas (también llamadas cargas) se miden por los efectos que producen, es decir, a partir de las
deformaciones o cambios de movimiento que producen sobre los objetos.
Según su naturaleza, pueden ser estáticas o dinámicas. Las primeras, cuando su punto da aplicación, magnitud y
dirección no varían con respecto al tiempo, es decir, se aplican y allí se mantienen; las segundas, se refieren a
aquellas que pueden varían sus propiedades con respecto al tiempo o cuando se aplican y se retiran, y otra vez, se
aplican y se retiran, y así muchas veces, en cuyo caso se dice que la carga es repetida; éstas son capaces de producir
en los elementos un fenómeno físico conocido como fatiga.
Las fuerzas más conocidas son aquellas que producen en los elementos tracción (aumentan su longitud) o compresión
(disminuyen su longitud).
2.8.2 ESFUERZO
Uno de los problemas fundamentales en la ingeniería es la determinación del efecto de una carga sobre una parte.
Esta determinación es una parte esencial del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin
entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se analiza.
El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la dirección de las fuerzas internas que actúan en
un punto dado sobre un plano particular. La resistencia, por otro lado, es una propiedad del material.
2.9 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMAL
Cuando una carga (fuerza) es aplicada a lo largo del eje de simetría de un elemento, se dice que ésta es una carga
axial (llamada también carga normal, pues la sección donde ésta actúa, es perpendicular al eje del elemento).
Fig. 2-1 Carga axial en un elemento
Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la carga externa se distribuye
uniformemente sobre un área de la sección transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se
puede calcular por medio de la ecuación:
A
P
prom =σ
La real distribución de esfuerzos en cualquier sección es estáticamente indeterminada. Para aprender más acerca de
esta distribución, es necesario tener en cuenta las deformaciones que resultan de un modo particular de aplicación de
las cargas en los extremos de la barra.
En la práctica, se supondrá que la distribución de esfuerzos normales de un elemento cargado axialmente es uniforme,
excepto en la inmediata vecindad de los puntos de aplicación de las fuerzas.
Si embargo debe notarse que el suponer distribución uniforme de esfuerzos en la sección, es decir, cuando se supone
que las fuerzas internas están distribuidas uniformemente en la sección, se sigue de Estática elemental que la
resultante de las fuerzas internas debe estar aplicada en el centroide de la sección.
Esto significa que una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las fuerzas
concentradas P y 'P (cargas de igual magnitud, sean de tensión o de compresión, aplicadas en los extremos de un
elemento) pasa por el centroide de la sección considerada.
No obstante, si un elemento de forma irregular se carga axialmente con dos fuerzas excéntricas, la distribución de
fuerzas, y la correspondiente distribución de esfuerzos, no puede ser uniforme ni simétrica.
P P

________________________________________________________________________________
*2.9.1 DEFORMACIONES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL
Fig. 2-2 Deformación en un elemento bajo carga axial
Para una barra homogénea de longitud L , sección transversal A y bajo la acción de una carga axial P en su
extremo, su deformación puede ser calculada mediante la expresión:
AE
PL
=δ
Si la barra está cargada en otras partes o si consta de varias secciones, y posiblemente, de varios materiales,
debemos dividirla en partes componentes que satisfagan individualmente las condiciones para usar la anterior
ecuación.
Llamando respectivamente iP , iL , iA y iE , la fuerza interna (de tracción o compresión), longitud, área de la sección
transversal y módulo de elasticidad que corresponde a parte i , la deformación* total de la barra será:
∑=
n
i ii
ii
EA
LP
0
*2.9.2 PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTÁTICOS)
En las secciones anteriores pudo utilizarse siempre diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio para hallar las
fuerzas internas producidas en diferentes partes de un elemento bajo condiciones de carga conocidas.
Hay muchos problemas, sin embargo, donde no es posible determinar las fuerzas internas usando únicamente la
estática. En efecto, en la mayor parte de estos problemas las mismas reacciones, que son fuerzas externas, no pueden
hallarse simplemente dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las ecuaciones de equilibrio
correspondientes. Éstas deben complementarse con relaciones obtenidas considerando la geometría del problema que
incluyan las deformaciones.
Coma la estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas, los problemas de este tipo se
dice que son estáticamente indeterminados.
*2.9.3 PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA
Todos los elementos considerados hasta aquí permanecían con temperatura constante mientras se les cargaba. Se
estudiarán ahora situaciones que involucran cambios de temperatura.
__________
* Sería muy interesante, si es posible, que lea: DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston,
pág. 53, para aprender cómo y por qué se producen éstos desplazamientos, así como la manera de resolver problemas de este tipo.
δ
L
B
C
C
B
P

________________________________________________________________________________
Imagine una barra homogénea AB , de sección constante que descansa libremente sobre una superficie lisa. Si la
temperatura de la barra se eleva en T∆ , se observa que la barra se alarga una cantidad Tδ que es proporcional al
cambio de temperatura T∆ y a la longitud L de la barra.
Fig. 2-3 Alargamiento de una barra lisa por aumento de temperatura
Se tiene:
LTT )(∆= αδ
donde α es una constante carcterística del material, llamada coeficiente de expansión térmica, y cuyas unidades
pueden ser,
1
)(º −
C o
1
)(º −
F .
Supóngase ahora que la misma barra AB , de longitud L , se coloca entre dos soportes fijos a una distancia L el uno
del otro. En esta condición inicial no hay esfuerzo ni deformación. Si la temperatura se eleva en T∆ , la barra no
puede alargarse debido a las restricciones impuestas en los extremos; el alargamiento Tδ no se produce.
Sin embargo, los extremos ejercerán sobre la barra fuerzas iguales y opuestas P y 'P después de que la temperatura
se eleva, para evitar que se alargue. Se sigue así que se ha creado en la barra un estado de esfuerzo (sin deformación
correspondiente).
Fig. 2-4 a) Barra entre dos soportes fijos y bajo un aumento de temperatura,
b) Cálculo de la fuerza P
Cuando se intenta el cálculo del esfuerzo normal creado por el cambio de temperatura, se observa que el problema por
resolver es estáticamente indeterminado. Por tanto, se debe calcular primero la magnitud P de las reacciones de los
soportes partiendo de la condición de que el ligamiento de la barra es cero.
Tδ
L
B
B
A
A
L
)b
)a
A B
L
A B
P'P Tδ
Pδ
P
L
L B
B
A
A
BA

________________________________________________________________________________
Debido a las condiciones impuestas en los extremos, es obvio que el alargamiento total (producido por el cambio de
temperatura y la acción de las reacciones en los extremos) debe ser cero. Se tiene entonces que:
0)( =+∆=+=
AE
PL
LTPT αδδδ
de lo cual se concluye que: )( TAEP ∆−= α
y que el esfuerzo en la barra debido al cambio de temperatura es: )( TE
A
P
∆−== ασ
2.10 CARGA CORTANTE. ESFUERZO CORTANTE
Cuando una carga se aplica de forma que ésta sea paralela (o transversal) a una sección, se dice que ésta es una
carga cortante.
Fig. 2-5 Elemento sometidos a fuerzas cortantes
Dividiendo la carga cortante para el área de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio:
A
P
prom =τ
La distribución de los esfuerzos cortantes en la sección no puede suponerse uniforme. El valor real τ del esfuerzo
cortante varía desde cero en la superficie del elemento hasta un valor máximo máxτ que puede ser mucho mayor que
el valor medio promτ .
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y
componentes de máquinas. Según el número de materiales que sean unidos mediante estos elementos, se puede
tener un cortante simple o cortante doble, triple, etc.
Fig. 2-6 a) Cortante simple; b) Cortante doble
2.11 ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO EN CONEXIONES
Tanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los elementos que conectan, en toda la superficie de
aplastamiento o de contacto.
Como la distribución de estas fuerzas, y los esfuerzos correspondientes, es muy complicada, en la práctica se usa un
valor medio bσ , llamado esfuerzo de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la carga para el área proyectada del
remache (u otro de los elementos antes mencionados) en el material a unir.
A B
P
'P
)b
F
'F
'P P
)a

________________________________________________________________________________
Fig. 2-7 Superficie de aplastamiento (de contacto)
Sea d el diámetro de uno de los elementos de unión y t el espesor del material a unir, entonces:
td
P
A
P
b ==σ
2.12 TORSIÓN
Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación más común la
representan los ejes de transmisión que se usan para transferir potencia de un punto a otro, por ejemplo, de una
turbina de vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una máquina herramienta, o del motor al eje trasero de un
automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos o huecos.
Del mismo modo que en el esfuerzo axial, aquí, la distribución real de los esfuerzos bajo una carga dada es
estáticamente indeterminada, es decir, no puede determinarse por los métodos de la Estática.
Si embargo, habiendo supuesto que los esfuerzos normales producidos por una carga axial eran uniformemente
distribuidos, excepto en la vecindad de cargas concentradas, una hipótesis similar, con respecto a la distribución de
esfuerzos cortantes en un eje estático, sería errónea.
2.12.1 TORSIÓN EN SECCIONES CIRCULARES
Cualquier vector momento que sea colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se llama vector momento
torsionante, debido a que la acción de tal carga hace que el elemento experimente una torcedura con respecto a ese
eje. Una barra sometida a tal momento se dice que está en torsión.
Fig. 2-8 Elemento sometido a torsión
El ángulo de torsión de una barra de sección circular es:
GJ
Tl
=θ
donde:
T = momento torsionante
l = longitud de la barra
G = módulo de rigidez
J = momento polar de inercia del área transversal
d
t
θ
L
T

________________________________________________________________________________
Debe tenerse en cuenta que, dentro de ciertos límites, el ángulo de torsión es proporcional a la longitud del eje y al
torque aplicado a éste. En otras palabras, el ángulo de torsión para un eje del mismo material y la misma sección,
pero de longitud doble, se duplicará bajo el mismo valor de torque.
En este punto debe notarse una propiedad importante que poseen los ejes circulares. Cuando se somete a torsión un
eje circular, toda sección transversal permanece plana. En otras palabras, mientras las diferentes secciones
transversales a lo largo del eje rotan diferentes cantidades, cada sección lo hace como una losa rígida.
La propiedad que se menciona es propia de los ejes circulares, sólidos o huecos; no la tienen miembros de sección no
circular. Por ejemplo, cuando una barra de sección cuadrada se somete a torsión, sus diferentes secciones se comban
y no permanecen planas.
El hecho de que las secciones de un eje circular permanezcan planas se debe a su simetría axial, es decir, su
apariencia es igual cuando se lo observa desde una posición fija y se le rota un ángulo arbitrario respecto a su eje.
Si todas las secciones del eje, de un extremo a otro, han de permanecer planas, debemos asegurar que los pares sean
aplicados de tal manera que los extremos del eje permanezcan planos y sin deformación. Esto puede lograrse
aplicando los pares T y 'T (de igual magnitud y sentido contrario) a placas rígidas sólidamente unidas a los
extremos del eje.
La ecuación anterior se obtuvo para un eje de sección circular uniforme sometido a torques en sus extremos. Sin
embargo, también pueden usarse para un eje de sección variable o para un eje sometido a torque en sitios distintos
de los extremos* (véase la figura 2-8).
La ecuación para calcular el ángulo de torsión puede usarse únicamente si el eje es homogéneo ( G constante), de
sección transversal constante y cargada sólo en sus extremos.
Si el eje está cargado de otra manera o si consta de varias porciones con diferentes porciones con diferentes secciones
y posiblemente de diferentes materiales lo debemos dividir en sus partes componentes que satisfacen individualmente
las condiciones requeridas para la aplicación de ésta ecuación.
Supóngase, por ejemplo, un eje compuesto de tres partes diferentes AB , BC , y CD . El ángulo total de torsión, es
decir, el ángulo que rota al extremo A con respecto al extremo D , se obtiene sumando algebraicamente los ángulos
de torsión de cada parte componente.
Fig. 2-9 Eje compuesto de tres partes distintas y sometido a cuatro torques diferentes
Llamando iT , iL , iJ y iG , el torque interno, longitud, momento polar de inercia de la sección y el módulo de
rigidez correspondiente a la parte i , el ángulo de torsión total del eje se expresa como:
∑=
=
n
i ii
ii
GJ
LT
0
θ
El torque interno iT en cada parte del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa parte y dibujando el diagrama
de cuerpo libre de la porción del eje localizada a un lado de la sección.
En pocas palabras, lo que se hace es una sumatoria de torques, incluyendo el torque interno de la sección en estudio
(véase la figura 2-10 en la página siguiente).
__________
* Véase: ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para una discusión muy completa
sobre este caso de solicitaciones.
4T
3T
2T
D
C
B
A
1T

________________________________________________________________________________
Fig. 2-10 Determinación del torque interno Ti
*2.12.2 EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
En la sección anterior se vio aprendió que para determinar los esfuerzos en un eje era necesario calcular primero los
torques internos en las diferentes partes del eje. Estos torque s se obtuvieron de la Estática dibujando los diagramas
de cuerpo libre de la porción del eje a un lado de la sección y escribiendo que la suma de los torques (incluyendo el
torque interno en ésta) era cero.
Hay situaciones, sin embargo, en que los torques internos no pueden determinarse por medio de la Estática
solamente. En efecto, en tales casos, los torques externos mismos, es decir, los torques ejercidos sobre el eje por los
soportes y conexiones no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre de todo el eje. Las ecuaciones de equilibrio
deben ser complementadas por relaciones que incluyan las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la
geometría del problema. Puesto que la Estática no es suficiente para determinar los torques internos y externos, se
dice que tales ejes son estáticamente indeterminados.
2.12.3 ESFUERZOS EN SECCIONES CIRCULARES
En el caso de una barra maciza, el esfuerzo cortante vale cero en el centro y es máximo en la superficie. La
distribución es proporcional al radio ρ , y es:
J
Tρ
τ =
Designando por r el radio de la superficie exterior, se tiene:
J
Tr
=τ
Las hipótesis empleadas en el análisis son:
1. Sobre la barra actúa un momento de torsión puro y las secciones transversales analizadas están alejadas del
punto de aplicación de la carga teniéndose un cambio de diámetro.
2. Las secciones transversales adyacentes, originalmente planas y paralelas permanecen en este estado después de
la torsión; además, toda línea radial permanece recta.
3. El material cumple con la Ley de Hooke.
En cuanto a la deformación y distribución del esfuerzo cortante, debe considerarse lo siguiente:
La deformación cortante en un eje circular varía linealmente con la distancia al centro del eje. De igual manera, el
esfuerzo cortante en el eje varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje (véase la figura 2-11).
Fig. 2-11 Distribución del esfuerzo cortante: a) sección circular maciza, b) sección tubular
iT
BT
AT
)b
r
τ
ρ
máxτ
Rr
máxτ
ρ
τ
mínτ
)a

________________________________________________________________________________
El esfuerzo de torsión para secciones circulares macizas está dado por,
3
16
d
T
π
τ =
donde:
T = momento torsor
d = diámetro
y, para secciones tubulares,
)(
16
44
dD
Td
−
=
π
τ
donde:
T = momento torsor
d = diámetro interior
D = diámetro exterior
Por lo general, necesita determinarse el momento de torsión T a partir de la potencia a transmitir y la velocidad del
eje rotatorio. Por conveniencia, a continuación se incluyen las fórmulas correspondientes a los dos sistemas de
unidades que se emplean en ingeniería.
Para el Sistema Internacional de unidades (SI): ωTP =
donde:
P = potencia [W]
T = momento de torsión [N-m]
ω = velocidad angular [rad/s]
Pero, puede darse el caso en que se tenga como dato el valor de la frecuencia de rotación f , entonces, la velocidad
angular puede ser calculada mediante la ecuación, fπω 2= .
Para el Sistema Inglés Gravitacional:
6300033000)12)(33000(
2 TnFVTn
P ===
π
donde:
P = potencia [HP]
T = momento de torsión [lb-in]
n = velocidad de rotación [rpm]
F = fuerza en la superficie exterior [lb]
V = velocidad periférica [ft/min]
2.12.4 TORSIÓN Y ESFUERZOS EN SECCIONES NO CIRCULARES
La determinación de las tensiones en una barra de sección no circular es de por sí un problema bastante complicado
que no se puede resolver por los métodos de la Resistencia de Materiales.
La causa radica en que, en el caso de una sección no circular, la hipótesis que en el caso de una sección circular
permitió simplificar el problema sobre la invariabilidad de las secciones transversales planas, ya no es válida.
Las secciones de la barra se alabean y, en consecuencia varía notablemente la distribución de las tensiones en la
sección. Así pues, al determinar los ángulos de distorsión, es necesario tener en consideración no solamente el ángulo
de giro mutuo de las secciones, sino también la distorsión local, relacionada con el alabeo de las secciones.
El problema se complica aún más por el hecho de que en el caso de una sección no circular, las tensiones dependen ya
no solamente de una variable )(ρ , sino también de las dos x( e )y .
Como ya se ha dicho, determinar los esfuerzos por torsión en elementos de sección no circular no es muy simple; por
lo general se aborda por métodos experimentales en los que se aprovecha una analogía con membranas o películas de
jabón. No obstante, Timoshenko y MacCullough dan la siguiente fórmula aproximada para el esfuerzo torsional
máximo en una barra de sección rectangular:






+=
a
e
ae
T
máx 8.132
τ

________________________________________________________________________________
En esta ecuación a y e son el ancho y el espesor de la barra, respectivamente. Estas dos magnitudes no se pueden
intercambiar porque e debe ser la dimensión más corta. En el caso de placas delgadas sometidas a torsión, ( ae / ) es
pequeño y el segundo término puede despreciarse.
La ecuación también es aproximadamente válida para perfiles angulares de lados iguales; en estos casos se puede
considerar que se trata de dos rectángulos, de los cuales cada uno puede soportar la mitad del momento de torsión.
Alternativamente se presenta la relación*:
)( 2
ab
T
máx
α
τ =
donde:
T = momento de torsión
a = lado mayor del rectángulo
b = lado menor del rectángulo
α = depende de la relación ( ba / ); véase la tabla correspondiente
2.13 ESFUERZOS EN VIGAS
2.13.1 TIPOS DE CARGA
Sobre una viga pueden actuar fuerzas o pares situados en un plano que contiene a su eje longitudinal. Se supone que
las fuerzas actúan perpendicularmente al eje longitudinal, y que el plano que la contiene lo es de simetría de la viga.
2.13.2 EFECTOS DE LAS CARGAS
Los efectos de estas fuerzas y pares que actúan en una viga son: (a) producir deformaciones perpendiculares el eje
longitudinal de la barra y (b) originar esfuerzos normales y cortantes en cada sección de la viga perpendicular a su
eje.
2.13.3 TIPOS DE FLEXIÓN
Si se aplican pares a los extremos de la viga y no actúa en ella ninguna fuerza, la flexión se llama flexión pura.
La flexión producida por fuerzas que no forman pares se llama flexión ordinaria.
Una viga sometida a flexión pura solo tiene esfuerzos normales y no cortantes; en una sometida a flexión ordinaria
actúan esfuerzos normales y cortantes en su interior.
2.13.4 NATURALEZA DE LAS VIGAS
Es útil suponer que una viga está compuesta por infinitos cables o fibras longitudinales delgadas y cada fibra
longitudinal actúa independiente de todas las demás, esto es, que no hay presiones laterales o tensiones cortantes
entre ellas.
Imagine una viga sobre la cual actúa una carga puntual dirigida hacia abajo; ésta se deformará hacia abajo y las fibras
de su parte inferior sufrirán un alargamiento, mientras que las de las parte superior se acortarán. Estas variaciones de
longitud de las fibras producen en ellas tensiones: las que se alargan están sometidas a tensones de tracción en la
dirección del eje longitudinal de la viga, mientras que las que se acortan tienen tensiones de compresión.
2.13.5 SUPERFICIE NEUTRA
Siempre existe una superficie en la viga que contiene fibras que no sufren ni alargamiento ni reducción, por lo que no
están sometidas a ninguna tensión de tracción o de compresión. Esta superficie se llama superficie neutra de la viga.
2.13.6 EJE NEUTRO
La intersección de la superficie neutra con cualquier sección de la viga perpendicular al eje longitudinal se llama eje
neutro. Todas las fibras situadas a un lado del eje neutro están en estado de tracción, mientras que las del lado
opuesto están en compresión.
__________
* Véase: TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL NO CIRCULAR en el texto “Resistencia de Materiales” de V.I. Feodosiev, para
información más detallada del tema y conocer la tabla correspondiente.

________________________________________________________________________________
2.13.7 MOMENTO FLECTOR
La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores a un lado de una sección cualquiera de la viga respecto
a un eje que pasa por dicha sección se llama momento flector en la misma.
2.13.8 LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO
El eje neutro pasa siempre por el centroide de la sección. Por tanto, I es el momento de inercia de la sección
respecto a un eje que pasa por su centroide.
2.13.9 FUERZA CORTANTE
La suma algebraica de todas las fuerzas verticales a un lado de una sección cualquiera de la viga se llama fuerza
cortante en esa sección.
2.14 FLEXIÓN PURA
En las secciones anteriores se analizaron los esfuerzos y las deformaciones de elementos sometidos a cargas axiales y
a momentos de torsión. Ahora se estudiarán los elementos sometidos a pares iguales y opuestos M y 'M que actúan
en el mismo plano longitudinal.
Cuando un elemento se encuentra bajo este tipo de solicitación, se dice que está sometido a flexión pura.
Fig. 2-12 Elemento sometido a flexión pura
Así, las fuerzas internas en cualquier sección transversal de un elemento sometido a flexión pura son equivalentes a
un par. El momento M de ese par se conoce como momento flector de la sección.
El reducido número de aplicaciones de ingeniería en donde se presenta flexión pura, no justifica que se le dedique
mucho tiempo a su estudio de manera profunda y minuciosa. Sin embargo, los resultados que del estudio de ella se
obtengan, pueden aplicarse al análisis de otros tipos de carga, tales como cargas axiales excéntricas y cargas
transversales.
Una vez más, la distribución de esfuerzos en una sección dada no puede obtenerse usando solamente la Estática, ya
que aquella es estáticamente indeterminada y sólo puede obtenerse analizando las deformaciones producidas en el
elemento.
Imagine que sobre una viga actúa una carga de magnitud P dirigida hacia abajo. Un análisis bastante detallado*
demuestra que la única componente del esfuerzo no nula es la componente normal xσ . Así, en cualquier punto de un
elemento, en flexión pura, se tiene un estado de esfuerzo uniaxial. Bajo estas consideraciones se tiene que, la parte
superior del elemento se encuentra a compresión (esfuerzos negativos), mientras que la inferior se encuentra a
tensión (esfuerzos positivos).
De lo anterior se deduce que debe existir una superficie paralela a las caras superior e inferior del elemento, donde las
deformaciones y esfuerzos se anulen. Esta superficie existe y se llama superficie neutra. Esta superficie neutra
interseca una sección perpendicular a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.
*2.14.1 DEFORMACIONES
Por Resistencia de Materiales sabemos que la deformación longitudinal en la dirección x es, ρε /yx = , lo que se
concluye que la deformación longitudinal normal xε varía linealmente con la distancia y desde la superficie neutra.
__________
* Si desea conocer en detalle este análisis véase: DEFORMACIONES EN UN ELEMENTO SIMÉTRICO SOMETIDO A FLEXIÓN PURA en el texto
“Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.
'MM

________________________________________________________________________________
Esta deformación alcanza su máximo valor cuando y es máxima. Llamando c la distancia máxima a la superficie
neutra (que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento), y máxε el máximo valor de la deformación,
se tiene que, ρε /cmáx = . Resolviendo para ρ las dos ecuaciones anteriores, se obtiene: máxx
c
y
εε =
2.14.2 ESFUERZO NORMAL
Se estudiará el caso en que el momento flector M es tal que los esfuerzos normales en el elemento permanecen por
debajo del esfuerzo de fluencia yσ . Esto implica que, para propósitos prácticos, los esfuerzos en el elemento
permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad y también del límite elástico. No habrá deformaciones
permanentes y se podrá aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial.
Suponiendo que el material es homogéneo, y llamando E a su módulo de elasticidad, se tiene que en la dirección
longitudinal x :
xx Eεσ =
Multiplicando por E la última ecuación que relaciona las deformaciones longitudinales, obtenemos: máxx
c
y
σσ =
Además, puesto que el primer momento de la sección transversal con respecto al eje neutro debe ser cero, se tiene
que el eje neutro pasa por el centroide de esta sección.
Teniendo en cuenta esto último y el momento de inercia I de la sección transversal con respecto al eje centroidal
perpendicular al plano del par M , se obtiene el esfuerzo normal máximo es:
I
Mc
máx =σ
De manera general, el esfuerzo normal xσ a cualquier distancia y del eje neutro se obtiene mediante la ecuación:
I
My
x =σ
Esta se llama ecuación de flexión elástica, y el correspondiente esfuerzo normal causado por la flexión del elemento se
designa con frecuencia como esfuerzo de flexión. Se verifica que para un momento en el sentido de movimiento de las
agujas de un reloj, el esfuerzo es de tensión por encima del eje neutro, y de compresión por debajo de éste; para un
momento de sentido contrario al de las agujas de un reloj, se tiene lo contrario a lo anteriormente dicho.
Este resultado muestra que, en el rango elástico, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia al plano neutro.
Fig. 2-13 Distribución de esfuerzos normales producidos por flexión
Volviendo a la ecuación que proporciona el esfuerzo de flexión máximo, se nota que la razón cI / depende sólo de la
geometría de la sección transversal. Esta relación se denomina módulo elástico de la sección y luego, entonces:
c
I
w = ⇒
w
M
máx =σ
Como el esfuerzo máximo es inversamente proporcional al módulo elástico, es claro que las vigas deben diseñarse con
un w tan grande como sea práctico.
NE.
Tracción
Compresión

________________________________________________________________________________
Sin embargo, en el caso particular de una viga de sección rectangular de dimensiones ).( hb , donde b es la base y h
su altura, algunos valores grandes de la razón hb / pueden producir inestabilidad en la viga.
2.14.3 CARGA AXIAL EXCÉNTRICA EN UN PLANO DE SIMETRÍA
En la sección 2.9 se estudió que, la distribución de esfuerzos en la sección transversal de un elemento sujeto a carga
axial puede considerarse uniforme sólo si la línea de acción de las cargas P y 'P (de igual magnitud y de igual
sentido u opuesto) pasa por el centroide de la sección. Se dice que dicha carga es céntrica.
Ahora se estudiará la distribución de esfuerzos cuando la línea de acción de las fuerzas no pasa por el centroide C , es
decir, cuando la carga es excéntrica.
Fig. 2-14 Elemento sometido a la acción de una carga axial excéntrica
Las fuerzas internas que actúan en una sección transversal dada pueden representarse por una fuerza F aplicada en
el centroide C de la sección y un par 'M que actúa en el plano de simetría del elemento.
Fig. 2-15 Sistema fuerza-par para el elemento de la figura 2-14
Las condiciones de equilibrio del cuerpo libre AC requieren que la fuerza F sea igual y opuesta a 'P y que el
momento del par M sea igual y opuesto al momento de 'P con respecto a C . Llamando d la distancia desde C
hasta la línea de acción AB de las fuerzas P y 'P , se tiene:
PF = y PdM =
Se observa que las fuerzas internas, en la sección, hubieran estado representadas por la misma fuerza y el mismo par
si la porción recta DE del elemento AB se hubiera separado de AB y sometido simultáneamente a las fuerzas
céntricas P y 'P , y a los pares de flexión M y 'M .
Fig. 2-16 Fuerzas internas actuantes en la sección C
Así, la distribución de esfuerzos debida a la carga excéntrica original puede obtenerse superponiendo la distribución
uniforme del esfuerzo correspondiente a las cargas céntricas P y 'P y la distribución lineal correspondiente a los
pares flectores M y 'M . Se escribe:
flexiónxcéntricaxx )()( σσσ ±±=
En esta ecuación, un signo positivo muestra un esfuerzo de tensión y uno negativo, un esfuerzo de compresión.
ED
d
C
BA
'PP
ED
'MM
'PCP
'M
C
P 'PF =
M
D
→
C
d
A
'M
F
P

________________________________________________________________________________
Para un punto situado en la parte superior de la sección C , tenemos:
I
My
A
P
x −=σ
El primero de ellos corresponde a un esfuerzo normal de tensión, mientras que el segundo, corresponde a un esfuerzo
de compresión por flexión.
La relación obtenida muestra que la distribución de esfuerzos en la sección es lineal pero no uniforme.
Fig. 2-17 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C
Es de importancia mencionar lo que sucede con la localización del eje neutro en dos situaciones diferentes para la
distribución de esfuerzos:
1. Cuando se tiene un esfuerzo normal de tensión mayor que uno de compresión por flexión, resulta la
distribución de esfuerzos mostrada en la figura 2-17. Se nota que no existe un eje neutro en la sección
(puesto no existe un valor de esfuerzo igual a cero).
2. Ahora bien, cuando se tiene un esfuerzo de compresión por flexión mayor a uno de tensión normal, la
distribución de esfuerzos resulta como se muestra en la figura siguiente. En ésta se observa que ahora existe
un eje neutro (el valor de esfuerzo en este eje es cero) pero que no coincide con el eje centroidal de la
sección, ya que 0≠xσ para 0=y (véase la figura 2-18).
Fig. 2-18 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C
Los resultados obtenidos serán válidos sólo hasta el punto que se satisfagan las condiciones de aplicación del Principio
de Superposición* y del Principio de Saint Venant**. Esto implica que los esfuerzos no deben exceder el límite de
proporcionalidad del material, que las deformaciones por la flexión no deben afectar apreciablemente la distancia d en
la figura 2-15 y que la sección transversal donde se calculan los esfuerzos no esté muy próxima a los puntos de
aplicación de las cargas. El primero de estos requisitos muestra claramente que el método de superposición no puede
aplicarse a deformaciones plásticas.
2.14.4 CASO GENERAL DE CARGA AXIAL EXCÉNTRICA
En la sección anterior se analizaron los esfuerzos producidos en un elemento por una carga axial excéntrica aplicada
en un plano de simetría del elemento. Se estudiará ahora el caso más general, cuando la carga axial no está aplicada
en un plano de simetría.
__________
*, ** Sería muy adecuado que el lector vea: CARGA MULTIAXIAL. LEY GENERALIZADA DE HOOKE y DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
BAJO CARGA AXIAL. PRINCIPIO DE SAINT VENANT, respectivamente, en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para
información adicional.
CCC = xσxσ
y y y
xσ
+
CC
xσxσ
yyy
xσ NE.
C

________________________________________________________________________________
Considérese un elemento recto AB sujeto a cargas axiales excéntricas iguales y opuestas P y 'P , y sean a y b
las distancias de la línea de acción de las fuerzas a los ejes principales centroidales de la sección transversal del
elemento.
Fig. 2-19 Elemento sometido a caso general de carga axial excéntrica
La carga excéntrica P es estáticamente equivalente al sistema que consta de una fuerza céntrica P y de dos pares
yM y zM de momentos aPM y = y bPM z = representados en la figura 2-19b. Análogamente, la fuerza
excéntrica 'P equivale a la fuerza céntrica 'P y los pares 'yM y 'zM .
En virtud del principio de Saint Venant, puede reemplazarse la carga original de la figura 2-19a por la estáticamente
equivalente de la figura 2-19b para determinar la distribución de esfuerzos en una sección C del elemento, siempre
que dicha sección no esté muy cerca de un extremo del elemento.
Además, los esfuerzos debidos a la carga de la figura 2-19b pueden obtenerse superponiendo los esfuerzos
correspondientes a la carga axial céntrica P y a los pares flectores 'yM y 'zM , siempre que las condiciones del
principio de superposición se satisfagan.
Para un punto situado en la parte superior de la sección C , los vectores pares están dirigidos a lo largo de los ejes
principales centroidales de esta sección. Por tanto:
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
A
P
+−=σ
en donde y y z se miden desde los ejes principales centroidales de la sección. La relación obtenida muestra que la
distribución de esfuerzos en la sección es lineal.
2.15 CARGA TRANSVERSAL. FLEXIÓN TRANSVERSAL
2.15.1 CARGA TRANSVERSAL
Uno de los ejemplos más comunes de carga transversal ocurre cuando un elemento horizontal, conocido como viga, se
somete a cargas verticales. Las cargas pueden ser concentradas o distribuidas o una combinación de las dos.
2.15.2 FLEXIÓN TRANSVERSAL
En la sección 2.13.3 se mencionó que este tipo de flexión era producida por fuerzas que no forman pares, y que era
capaz de producir esfuerzos normales y cortantes.
Los esfuerzos normales se originan por razones muy similares a los producidos por flexión pura, de manera que todas
las ecuaciones anteriormente obtenidas pueden ser aplicadas en este caso.
)b)a
z
y
x
P
'P
C
B
b
a
A
'zM
zM P
'P B
A
z
y
x
C
yM
'yM

________________________________________________________________________________
En lo que respecta al esfuerzo cortante, éste puede ser calculado mediante la expresión*:
bI
VQ
=τ
donde:
V : fuerza cortante ][N
AyQ = : momento estático de una sección ubicada sobre el eje neutro ][ 3
m
- A , área de dicha sección ][ 2
m
- y , distancia desde el centroide de A hasta el eje neutro ][m
b : ancho de la sección A ][m
I : momento de inercia de A con respecto a su centroide ][ 4
m
Para una viga de sección rectangular, la distribución del esfuerzo cortante es una función parabólica. Su valor es cero
a lo largo de las partes superior e inferior de la viga, mientras que alcanza su valor máximo en el eje neutro.
Fig. 2-20 Distribución de esfuerzos cortantes producidos por flexión en una viga de sección rectangular
Es necesario aclarar que, aunque Q es máximo para 0=y , no puede concluirse que τ será máximo a lo largo del
eje neutro ya que depende tanto del ancho b de la sección como de Q . Esto se nota, por ejemplo, en una viga de
sección trapezoidal. ¿Cómo varía el esfuerzo en este caso? Esto último queda a disposición del interesado.
2.16 ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
Hasta aquí se ha aprendido a calcular esfuerzos en elementos sometidos a carga axial céntrica, momentos torsores
(torques), momentos flectores y los debidos a carga transversal.
Ahora, y como se verá en los respectivos problemas, el conocimiento adquirido puede combinarse para determinar los
esfuerzos en elementos de máquinas en condiciones de solicitaciones bastante generales.
Considérese, por ejemplo, el elemento flexionado ABDE , de sección circular, sometido a varias.
Fig. 2-21 Elemento sujeto a la acción de cargas combinadas
__________
* Si desea conocer cómo se obtiene esta expresión véase: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO PROMEDIO en el texto “Mecánica de Materiales” de
A. Bedford y K. Liechti.
6F
A
B
D
E
K
1F
2F
3F
4F
5F
máxτNE.

________________________________________________________________________________
Para determinar los esfuerzos producidos en un punto K por las cargas dadas, se hará primero un corte en este
punto y se determinará el sistema de fuerza-par, en el centroide C de la sección que se requiere para mantener el
equilibrio de la parte ABK *. Este sistema representa las fuerzas internas en la sección y consta, en general, de tres
componentes de fuerza y tres vectores pares que se supondrán dirigidos como se ilustra en la figura 2-22.
Fig. 2-22 Sistema que representa las fuerzas internas en una sección C del elemento de la figura 2-21
Se observa que P es una fuerza axial céntrica que produce esfuerzos normales en la sección. Los pares yM y
zM hacen que el elemento se flexione produciendo también esfuerzos normales en dicha sección. El esfuerzo normal
xσ en el punto K es la suma de los esfuerzos producidos por la fuerza y los pares. Por otra parte, el par de torsión
T y las fuerzas cortantes yV y zV producen esfuerzos cortantes en la sección.
Nuevamente, los resultados obtenidos serán validos sólo hasta el punto en que las condiciones del principio de la
superposición y del principio de Saint Venant se cumplan.
Esto implica que los esfuerzos implícitos no deben exceder el límite de proporcionalidad del material, que las
deformaciones debidas a una de las cargas no deben afectar la determinación de los esfuerzos debidos a las otras, y
que la sección usada en el análisis no debe estar muy cercana a los puntos de aplicación de las fuerzas dadas.
Es claro, de acuerdo con el primero de estos requisitos, que el método presentado aquí no se aplica a deformaciones
plásticas.
*2.17 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
En las secciones anteriores, el análisis se limitó a vigas estáticamente determinadas. De igual manera, cuando las
ecuaciones de la Estática no son suficientes para determinar los valores de las fuerzas actuantes (sean externas o
internas) en un elemento, se dice que la viga es estáticamente indeterminada.
Sin embargo, recuerde de las primeras secciones que en un problema hiperestático pueden obtenerse las reacciones
considerando las deformaciones de la estructura incluida. Debe por tanto, procederse con el cálculo de la pendiente y
la deformación a lo largo de la viga.
Puesto que un estudio sobre este tema**queda fuerza del propósito de este texto (pues se supone que el lector tiene
conocimientos sobre éste por sus cursos de Resistencia de Materiales) lo que se necesitará es, disponer de tablas que
muestren toda la información para calcular la pendiente y deformación en una viga bajo cualquier tipo de solicitación.
*2.18 CONCEPTOS ADICIONALES SOBRE SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS
Si se pueden determinar los valores de todas las fuerzas exteriores o interiores que actúan sobre un elemento,
solamente mediante las que ecuaciones del equilibrio estático, el sistema de fuerzas es estáticamente determinado
(isostático).
En muchos casos, las fuerzas que actúan sobre un elemento no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la
Estática, porque hay más fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio. En este caso, el sistema de fuerzas es
estáticamente indeterminado (hiperestático).
__________
* El sistema fuerza-par en C puede definirse también como un sistema equivalente de las fuerzas que actúan en la porción KDE del elemento.
** Si necesita recordar algunos aspectos sobre este tema véase: VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS en el texto “Mecánica de Materiales”
de F. Beer y R. Johnston.
zV
zMyV
T
K
2F
1F
3F
CA
B
P
yM

________________________________________________________________________________
En los sistemas hiperestáticos, la determinación de todas las fuerzas desconocidas o, como se dice, la superación de la
hiperestaticidad, resulta posible solamente planteando ecuaciones que completen el número de las ecuaciones de la
Estática hasta igualarlo al número de incógnitas. Estas ecuaciones adicionales reflejan las particularidades geométricas
de las ligaduras impuestas a los sistemas deformables y, convencionalmente, se denominan ecuaciones de los
desplazamientos.
2.19 PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS
Por lo general, los problemas de Diseño siempre son estáticamente determinados, más, si se presentasen problemas
hiperestáticos, sería conveniente que el lector acuda a un excelente texto de Resistencia o Mecánica de Materiales,
para obtener información más completa sobre estos temas. Como tal aconsejamos leer el texto “Mecánica de
Materiales” de F. Beer y R. Johnston.
2.20 DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y DE MOMENTOS FLECTORES
El diseño de una viga con base en su resistencia requiere primero que se determinan su esfuerzo cortante y su
momento máximo.
Una forma de hacerlo es expresando la fuerza cortante transversal V y el momento M como funciones de una
posición arbitraria x a lo largo del eje de la viga. Estas funciones de cortante y momento, entonces, se pueden
graficar como diagramas de cortante y de momento a partir de los cuales se pueden obtener los valores máximos de
V y M . Sin embargo, encontrar estas funciones puede resultar un proceso demasiado largo y en ocasiones,
dependiendo del sistema de cargas, bastante complicado.
Un procedimiento un poco más sencillo, consiste en dibujar estos diagramas utilizando el Método de Áreas, el cual se
deriva de las relaciones matemáticas siguientes:
dx
dV
w =− y
dx
dM
V =
Al integrar la primera de estas dos ecuaciones entre dos posiciones distintas de la viga, por ejemplo entre Ax y Bx ,
se obtiene:
AB
x
x
V
V
VVdxwdV
B
A
B
A
−== ∫∫ *
que establece que el cambio en la fuerza cortante desde A hasta B es igual al área del diagrama de carga
entre Ax y Bx .
De manera semejante,
AB
x
x
M
M
MMdxVdM
B
A
B
A
−== ∫∫ *
Indica que el cambio en el momento flexionante desde A hasta B es igual al área del diagrama de fuerza
cortante entre Ax y Bx .
* 2.21 VALORES MÁXIMOS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR
De igual manera, en un problema de Diseño lo que se busca es determinar los máximos esfuerzos que se producen en
elementos sometidos a cualquier tipo de solicitación. Sin duda esto es muy importante ya que, al encontrar estos
esfuerzos y compararlos con el esfuerzo permisible que posee un material, seremos capaces de determinar cuan
seguro es el elemento que hemos diseñado (dimensionado) para su respectiva aplicación.
Entonces, por lo anteriormente mencionado, lo que se requiere es determinar los máximos esfuerzos (tanto normales
como cortantes) producidos por flexión; luego, en las ecuaciones para los respectivos esfuerzos se deben tomar en
consideración: la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo, valores que se obtienen de sus respectivos
diagramas.
2.22 COMENTARIOS FINALES
Un estudio mucho más detallado acerca del esfuerzo, se realizará en el capítulo 4 de este texto.
Terminamos de esta manera una revisión rápida a los conceptos fundamentales de la Mecánica de Materiales.

________________________________________________________________________________
PROBLEMAS RESUELTOS
ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
PROBLEMA 1
Para el sistema que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias
solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A al punto C).
SOLUCIÓN:
En Diseño, es muy frecuente el análisis de sistemas semejantes al que se muestra en la figura.
Los efectos que producen las cargas en ambos elementos son muy similares y, además dependientes, es decir, resulta
que el efecto que se produce en el uno, inevitablemente se producirá en el otro.
Sin embargo, un punto de todo el sistema estará siempre sujeto a mayores solicitaciones, ¿por qué?
En la figura se muestra que el elemento AB está bajo la acción de tres cargas puntuales Fx , Fy y Fz (todas ellas
en el punto A ), así como los distintos efectos que las mismas producen al ser trasladadas a los puntos B y C .
PUNTO B :
Al llevar Fx a este punto, el elemento AB sufre la acción de un momento flexionante con respecto al plano
xz , cuyo valor está dado por 1* LFxMxz = (s.r).
De manera semejante, al trasladar Fy a este punto, el elemento AB sufre la acción de un momento
flexionante, pero ahora con respecto al plano yz , y cuyo valor está dado por 1* LFyMyz = (s.r).
Tómese muy en cuenta que el momento flexionante Myz ahora se ha convertido en un momento torsor con
respecto al elemento BC , de manera que: MyzTyz = (s.r).
Por Estática, Fz se lleva al punto en cuestión al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de
momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero).
PUNTO C :
Por Estática, Fx se lleva ha este punto al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de
momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero), pero ahora, ésta es capaz de producir un
esfuerzo de tensión, es decir, trata de estirar el elemento BC .
z
x
y

________________________________________________________________________________
Al trasladar Fy a este punto, el elemento BC sufre la acción de un momento flexionante, ahora con
respecto al plano xy , y cuyo valor está dado por 2* LFyMxy = (s.r), pero además, ésta es capaz de
producir un esfuerzo de corte.
Finalmente, al llevar Fz ha este punto, el elemento BC sufre la acción de un momento flexionante, pero
ahora con respecto al plano xz , y cuyo valor está dado por 2* LFzMxz = (s.r).
Se habrá de notar que, tanto Fx como Fz producen momentos flexionantes con respecto al plano xz .
Llamando 1Mxz al momento flexionante producido por Fx y, 2Mxz al momento flexionante producido por
Fz , el momento total producido con respecto al plano xz es: MxzMxzMxz =+ 21 , puesto que
ambos momentos tienden a hacer que el elemento BC gire en sentido horario.
De manera similar, el momento total producido en el plano xy es igual a Mxy , puesto que en este caso
particular, no existe otro momento en este plano que sea causado por una de las otras dos fuerzas presentes.
Finalmente, este punto estará sujeto a la acción de un:
- momento resultante
22
)()( MxzMxyM += ,
- momento torsor MyzTyz = y,
- esfuerzos de tensión y de corte.
OBSERVACIONES:
Como los momentos flexionantes y momentos torsores son vectores libres, se deberán sumar
algebraicamente para obtener un momento flexionante o momento torsor total con respecto al plano
donde actúan.
Para encontrar el momento resultante, lo que se hace es aplicar el Teorema de Pitágoras con todos los
momentos totales actuantes en cada plano.
Para los momentos torsores, únicamente se calcula los momentos torsores totales, más no los resultantes, ya
que estos últimos requieren del uso del Teorema de Pitágoras, y estas magnitudes no presentan motivo para
su aplicación.
Las siglas (s.r) y (s.c.r) significan, respectivamente, que el elemento gira en sentido de las manecillas del
reloj o, que el elemento gira en sentido contrario de las manecillas del reloj. Las primeras suelen considerarse
positivas y las segundas negativas, aunque esto puede ser arbitrario.
Finalmente, sería ya necesario en este momento acudir a textos de Resistencia de Materiales* para recordar
temas relacionados con esfuerzos.
____________________
* Para una excelente información acerca de estos temas, véase el texto: “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 2
Para el elemento que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias
solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A, al punto D).
SOLUCIÓN:
Ahora se utilizará un método bastante simple (aunque muy poco conocido) para resolver este tipo de problemas.
Este método se basa principalmente en considerar cierta propiedad vectorial de los momentos flectores y momentos
torsores*, a saber, considerarlos como vectores libres**.
Al realizar este procedimiento, lo que se logra es observar directa y fácilmente los efectos que se producen en el punto
más crítico de un elemento.
Entonces, los efectos que se producen en el punto D son:
FUERZA Fx :
Momento flexionante con respecto al plano xy , cuyo valor está dado por 11 * LFxMxy = (s.c.r).
Momento flexionante con respecto al plano xz , cuyo valor está dado por 21 * LFxMxz = (s.c.r).
Esfuerzo de tensión, al actuar sobre su línea de acción.
FUERZA Fy :
Momento torsor con respecto al plano yz , cuyo valor está dado por 21 * LFyTyz = (s.c.r).
Momento flexionante con respecto al plano xy , cuyo valor está dado por 32 * LFyMxy = (s.r).
Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.
FUERZA Fz :
Momento torsor con respecto al plano yz , cuyo valor está dado por 12 * LFzTyz = (s.r).
Momento flexionante con respecto al plano xz , cuyo valor está dado por 32 * LFzMxz = (s.r).
Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.
____________________
* Ciertamente, debido a la manera como estas magnitudes se originan, los momentos flectores y momentos torsores son cantidades vectoriales.
** Llamados así cuando su punto de aplicación (origen) se traslada a cualquier punto del espacio, sin alterar el efecto de su acción.
Fy
x
y
z
1L
2L
3L
Fx
Fz
A
B
C
D

________________________________________________________________________________
MOMENTOS FLEXIONANTES TOTALES:
Respecto al plano xy , su valor está dado por 21 MxyMxyMxy +−= .
Respecto al plano xz , su valor está dado por 21 MxzMxzMxz +−= .
MOMENTOS TORSORES TOTALES:
Respecto al plano yz , su valor está dado por 21 TyzTyzTyz +−= .
MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE:
El valor está dado por
22
MxzMxyM += .
OBSERVACIONES
En ambos problemas se han considerado los esfuerzos axiales (de tensión o compresión) y los esfuerzos
tangenciales (de corte), aunque no se han dado las relaciones correspondientes para determinar sus valores.
Es importante, sin duda alguna, mencionar que la flexión y la torsión también producen esfuerzos. La primera
de ellas produce un esfuerzo de tipo axial (de tensión o compresión), y la segunda, esfuerzo tangencial o de
corte. Las relaciones para todos los tipos de esfuerzos mencionados anteriormente se analizarán en detalle
más adelante.
PROBLEMA 3*
Para la figura a), halle los esfuerzos normal y cortante en los puntos H y K de la sección transversal del elemento
BD de radio 20=c mm. Suponga que todos los esfuerzos permanecen por debajo del límite proporcional del
material.
SOLUCIÓN:
Momento de Inercia de una sección
Suponga que la fuerza F actúa sobre una sección rectangular (de dimensiones hb. ) como se indica en la figura. La
sección tiende a “rotar” sobre el eje aa − , el cual pasa por el centroide C de la misma.
____________________
* Excepto por algunos cambios e información complementaria, los problemas 3 y 4 han sido tomados del texto “Mecánica de Materiales”
de F. Beer y R. Johnston, por ser muy completos e ilustrativos.
F
b
h
a
a
C
kNP 151 =H
K
mmb 60= mma 50=
D
B
A
kNP 182 =
K
zM
D
F
V
T
yM
H
)a )b

________________________________________________________________________________
Entonces, por Dinámica, sabemos que el momento de inercia con respecto a un eje que para por el centroide de una
sección rectangular es:
3
12
1
bhIaa =
Fuerzas internas en la sección HK
Primero se reemplaza 1P y 2P por un sistema equivalente aplicado en el centro C de la sección que contiene los
puntos H y K .
Este sistema, que representa las fuerzas internas de la sección, consta de las siguientes fuerzas y pares (véase la
figura b):
1. Una fuerza axial céntrica F igual a 1P de magnitud: kNPF 151 ==
2. Una fuerza cortante V igual a 2P de magnitud: kNPV 182 ==
3. Un par de torsión T de torque igual al momento de 2P con respecto al eje del elemento:
mNaPT .900.2 ==
4. Un par flector yM de magnitud igual al momento de 1P con respecto al eje vertical que pasa por C :
mNaPM y .750.1 ==
5. Un par flector zM de magnitud igual al momento de 2P con respecto al un eje transversal y horizontal que
pasa por C : mNbPM z .1080.2 ==
Propiedades geométricas de la sección
49
4
49
4
232
103.251
2
,107.125
4
,10257.1 mx
c
Jmx
c
IImxcA Gzy
−−−
=======
ππ
π
Esfuerzos en H
Se observa que en H la fuerza céntrica F y el par flector zM , producen esfuerzos normales xσ , y que el par de
torsión T causa un esfuerzo cortante horizontal xzτ . Por otra parte, el par flector yM no produce esfuerzos
normales en H , ya que está en el eje neutro correspondiente y el cortante vertical V no produce cortante en H ,
puesto que H está en la parte superior de la sección.
Determinando el signo de cada esfuerzo se tiene:
MPaemplazando
I
cM
A
F
x
z
z
flexiónxcéntricoxx
8.183:Re
.
)()(
−=
−−=+=
σ
σσσ
Mpaemplazando
J
Tc
xz
G
torsiónxzxz
6.71:Re
)(
=
==
τ
ττ
xzτ
mNM .1080=
yM
x
y
z
V
kNF 15=
mNT .900=
C
xσ

________________________________________________________________________________
La fuerza F produce compresión en la sección, por lo tanto, el signo de su respectivo esfuerzo es negativo.
Ahora bien, como el elemento flexiona debido al par flector zMM = en el plano xy en (s.c.r), el punto H * se
encuentra también sometido a un esfuerzo de compresión, razón por la cual, el signo de su respectivo esfuerzo normal
de flexión deberá ser negativo.
Nótese que este último punto se encuentra “por debajo” del eje neutro de la sección (eje z ), a través del cual actúa
el par flector zMM = .
Esfuerzos en K
Se observa que la fuerza céntrica F y el par flector yM , producen los esfuerzos normales xσ en K , y que el par
T y la fuerza cortante V causan los esfuerzos cortantes verticales xyτ .
Teniendo en cuenta aspectos muy similares a los descritos para el punto H se escribe:
MPaemplazando
I
cM
A
P
x
y
y
x 4.107:Re =+−= σσ
Para calcular los esfuerzos cortantes debidos ha V , se debe calcular el primer momento Q y el ancho t de la
sección. De la Estática elemental, π3/4cy = para un semicírculo de radio c , se tiene:
mtemplazandocty
mxQemplazandoc
c
cy
A
Q
040.0:Re2
1033.5:Re
3
2
3
4
2
1
2
3632
==
==











== −
π
π
Se escribe:
MPaemplazando
tI
VQ
Vxz
z
Vxz 1.19)(:Re)( =+= ττ
Notando que torsiónxztorsiónxy )()( ττ = , se tiene:
MPaemplazando xytorsiónxyVxyxy 5.52:Re)()( −=−= ττττ
____________________
* Sería muy oportuno que el estudiante recordase el capítulo de Esfuerzos Combinados, dado en el curso correspondiente de Sólidos II.
xyτ
xσ
x
y
z
mNT .900=
mNM y .750=
zM
kNV 18=
kNF 15=
y

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 4
Se aplican tres fuerzas a los puntos A , B y D de un poste corto de acero, como se muestra en la figura a).
Sabiendo que la sección horizontal del poste es un rectángulo de mmx14040 , halle los esfuerzos normales y
cortantes en H .
SOLUCIÓN:
Fuerzas internas en la sección EFG
Se reemplazan las tres fuerzas aplicadas por un sistema equivalente fuerza-par en el centro C de la sección
rectangular EFG (véase la parte b) de la figura anterior).
Se tiene:
mkNmkNM
mkNmkNmkNM
kNVkNPkNV
z
x
zx
.3)100.0)(30(
.5.8)200.0)(75()130.0)(50(
755030
==
−=−=
−==−=
Se observa que no hay momento de torsión con respecto al eje y . Las propiedades geométricas de la sección
rectangular son:
463
463
23
10747.0)040.0)(140.0(
12
1
1016.9)140.0)(040.0(
12
1
106.5)140.0)(040.0(
mxmmI
mxmmI
mxmmA
z
x
−
−
−
==
==
==
Esfuerzos normales en H
Se nota que los esfuerzos normales yσ son producidos por la carga céntrica P y por los pares flectores xM y zM .
Nuevamente, el signo de cada esfuerzo se determina examinado el esquema del sistema fuerza-par en C .
La fuerza P ejerce un esfuerzo de tracción y por ello el signo de éste es positivo (véase la figura b).
El elemento flexiona debido al par flector zM en (s.c.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por encima” del
eje neutro de la sección (eje z ), éste se ve sujeto a un estado de tracción, por lo tanto, el signo de su respectivo
esfuerzo normal por flexión debe ser positivo.
)a
G
H
B
A
kN75
mm20
mm70
mm140
mm25
kN30
mm100
x
y
z
mm130
mm200
mm40
kN50
D
E
F
C
zV
xV
xM
zM
G
x
y
z
E
F
H
P
)b

________________________________________________________________________________
Finalmente, el elemento flexiona debido al par flector xM en (s.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por
debajo” del eje neutro de la sección (eje x ), éste se ve sujeto a un estado de compresión, por lo tanto, el signo de su
respectivo esfuerzo normal por flexión debe ser negativo.
Tomando en consideración la figura siguiente:
obtenemos:
MPaemplazando
I
bM
I
aM
A
P
y
x
x
z
z
y 66:Re =−+= σσ
Esfuerzos cortantes en H
Considérese primero la fuerza cortante xV . Se advierte que 0=Q con respecto al eje z , ya que H está en el
borde de la sección. Así xV no produce cortante en H . La fuerza zV sí produce cortante en H y se escribe:
Tomando en consideración la figura siguiente:
obtenemos:
MPaemplazando
tI
QV
mxQemplazandoyAQ
yz
x
z
yz 52.17:Re
105.85:Re 36
11
==
== −
ττ
G
H
C
Fz
m040.0
m140.0
x
mkNMx .5.8=
ma 020.0=
mb 025.0=
mkNMz .3=
E
x
my 0475.01 =
yzτ
zV
C
H
1A
m025.0
m045.0
mt 040.0=
z

________________________________________________________________________________
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ÁREAS PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
Los símbolos )(+↑ y )(−↓ que se muestran abajo, significan que los valores de las fuerzas cortantes en un punto
de la viga son positivos y deben ubicarse por encima de su eje o que, algunos valores de estas fuerzas son negativos y
deben ubicarse por debajo de su eje, respectivamente.
Las unidades de las fuerzas cortantes son las mismas que las cargas actuantes ][ Nlbkg −− .
De manera general, la ecuación a utilizarse es: AVV ±= 12
donde:
2V : es el valor de fuerza cortante en un punto posterior a otro elegido como origen de un tramo de la viga.
1V : es el valor de fuerza cortante en un punto elegido como origen de un tramo de la viga.
A : es el valor de área que representa el valor de una carga distribuida en forma de carga puntual.
- es (+) si la carga distribuida se encuentra dirigida hacia arriba.
- es (-) si la carga distribuida se encuentra dirigida hacia abajo.
- las áreas se obtienen del sistema original de cargas.
Es importante mencionar que:
♦ A pesar de que se encuentre ubicada por debajo de la viga, una carga distribuida (y por lo tanto su área), se
considera positiva, ya que ésta siempre se encuentra dirigida hacia arriba, y que
♦ A pesar de que se encuentre ubicada por encima de la viga, una carga distribuida (y por lo tanto su área), se
considera negativa, ya que ésta siempre se encuentra dirigida hacia abajo.
En lo que respecta a las cargas puntuales:
♦ A pesar de encontrarse ubicadas por debajo de la viga, se consideran positivas, ya que éstas siempre se
encuentran dirigidas hacia arriba, y que
♦ A pesar de encontrarse ubicadas por encima de la viga, se considera negativas, ya que éstas siempre se
encuentran dirigidas hacia abajo.
♦ Son las responsables de que en este diagrama se produzcan discontinuidades en los puntos donde éstas
actúan.
En el punto final de la viga, el valor de la fuerza cortante debe ser cero.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ÁREAS PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
Los símbolos )(+↑ y )(−↓ que se muestran abajo, significan que los valores de momentos flectores en un punto de
la viga son positivos y deben ubicarse por encima de su eje o que, algunos valores de estos momentos son negativos y
deben ubicarse por debajo de su eje, respectivamente.
Además, las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en ].[ mkg .
De manera general, la ecuación a utilizarse es: AMM ±= 12
donde:
2M : es el valor de momento flector en un punto posterior a otro elegido como origen de un tramo de la viga.
1M : es el valor de momento flector en un punto elegido como origen de un tramo de la viga.
A : es el valor de área tomada del diagrama de fuerzas cortantes.
- es (+) si el área se encuentra por encima del eje de la viga.
- es (-) si el área se encuentra por debajo del eje de la viga.
Es importante mencionar que:
♦ Los momentos concentrados en (s.r) se consideran positivos y los en (s.c.r), negativos, y que además, éstos
son los responsables de que en este diagrama aparezcan discontinuidades en los puntos donde éstos actúan.

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 5
Para el siguiente sistema de cargas actuantes sobre la viga, dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento
flector, utilizando el Método de Áreas.
SOLUCIÓN:
CÁLCULO DE LAS REACCIONES
Transformando la carga distribuida w en carga puntual F :
LwF *= → kgxF )5.5800(= ⇒ ↓= kgF 4400
Tomando momentos con respecto al punto A :
∑ = :0AM 0)4*()3()75.2( =+−− CyPxFx
0)4*()31500()75.24400( =+−− Cyxx ⇒ ↑= kgCy 4150
Realizando sumatoria de fuerzas en la vertical:
∑ = :0yF 0=+−− CyPFAy
0415015004400 =+−−Ay ⇒ ↑= kgAy 1750
CONSIDERACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

________________________________________________________________________________
o PUNTO A :
Aquí solamente actúa el valor de la reacción producida por su correspondiente apoyo.
o PUNTO B :
Notemos que ahora debemos calcular dos valores de fuerza cortante* para este punto, 'BV y BV .
Esto debe ser así, ya que el primero de ellos, 'BV , toma en cuenta el valor de AV y de la carga distribuida (su área)
que llega hasta este punto, mientras que el segundo, BV , toma en consideración 'BV y la discontinuidad producida
por la carga puntual aplicada.
o PUNTO C :
Del mismo modo y por razones similares al punto anterior, aquí debemos calcular dos valores de fuerza cortante para
este punto, 'CV y CV .
o PUNTO D :
Finalmente, para determinar el valor de la fuerza cortante, se debe tomar en cuenta los valores de CV y del área de
la carga distribuida que llega hasta este punto.
Los valores de estas fuerzas cortantes, se muestran en la figura siguiente**.
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en ][kg .
____________________
* Puesto que estos son temas relacionados con Resistencia de Materiales, recomendamos revisar el texto: “Mecánica de Materiales” de los
autores F. Beer y R. Johnston.
** ¿Pueden aparecer líneas curvas en estos tipos de diagramas? La respuesta se encuentra en el Capítulo 2 de este texto.
0)5.1800(1200
:
)(120041502950
'
)(2950)1800(2150'
':
)(21501500650
'
)(650)3800(1750'
':
)(1750
:
=−=
−=
+↑=+−=
+=
−↓=−−=
−=
−↓=−−=
−=
−↓=−=
−=
+↑=
=
xV
AVVDEn
V
CyVV
xV
AVVCEn
V
PVV
xV
AVVBEn
V
AyVAEn
D
CD
C
CC
C
BC
B
BB
B
AB
A
A

________________________________________________________________________________
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
0)12005.15.0(900
:
)(900
)]21501()))21502950(1(5.0[(1650
:
)(1650
)6508125.05.0(0625.1914
:
)(0625.1914
)17501875.25.0(0
:
0:
1875.2
3
6501750
=+−=
+=
−↓=
+−−=
−=
+↑=
−=
−=
+↑=
+=
+=
=
=→
−
=
xxM
AMMDEn
M
xxxM
AMMCEn
M
xxM
AMMBEn
M
xxM
AMMEEn
MAEn
ma
aa
D
CD
C
C
BC
B
B
EB
E
E
AE
A
Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en ].[ mkg .
Por Resistencia de Materiales sabemos que, el momento flector máximo se produce cuando la fuerza cortante es cero.
El diagrama de fuerzas cortantes sugiere que el momento máximo se producirá en punto E (mostrado en el diagrama
de momentos flectores), ubicado a una distancia a del punto A .
Por Trigonometría (aplicando la función tangente en los triángulos rectángulos comprendidos en el tramo AB ), es
posible encontrar el valor de esta distancia.
El procedimiento para encontrar los momentos flectores en un determinado punto es muy similar al descrito para
fuerzas cortantes. Tómese muy en cuenta lo descrito anteriormente para el signo de las áreas.

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 6
Para el sistema de cargas que actúan sobre la viga, dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector,
utilizando el Método de Áreas, siendo los valores de las cargas:
NP
mNMNP
mNMNP
mNMmNw
50
.80150
.100100
.200/10
2
21
1
=
==
==
==
Dimensiones en metros
SOLUCIÓN:
Transformando la carga distribuida w en cargas puntuales 1F y 2F :
11 * LwF = → NxF )310(1 = ⇒ ↓= NF 301
22 * LwF = → NxF )210(2 = ⇒ ↓= NF 202
∑ = :0AM 0)12*()10()9()7()5.4()2( 222111 =++−−−−−− HyMxPxFMxPxFPxM
0)12*(80)1050()920(100)7150()5.430()2100(200 =++−−−−−− Hyxxxxx
⇒ ↑= NHy 083.157
∑ = :0yF 02211 =+−−−−− HyPFPFPAy
0083.157502015030100 =+−−−−−Ay ⇒ ↑= NAy 917.192

________________________________________________________________________________
En el problema anterior se hizo una descripción detallada de la manera como construir los diagramas de fuerzas
cortantes y de momentos flectores. En este problema, esto ya no se hará.
Algo muy importante que debe volver a mencionarse es que:
♦ Las discontinuidades en el diagrama de fuerzas cortantes las producen las cargas puntuales, mientras que las
discontinuidades en el diagrama de momentos flectores las ocasionan los momentos concentrados.
0083.157083.157
'
)(083.157':
)(083.15750083.107
'
)(083.107)210(083.87'
':
)(083.87:
)(083.87150917.62'
)(917.62':
)(917.62)3010(917.92
:
)(917.92:
)(917.92100917.192'
)(917.192':
)(917.192:
2
1
=+−=
+=
−↓==
−↓=−−=
−=
−↓=−−=
−=
−↓==
−↓=−=−=
+↑==
+↑=−=
−=
+↑==
+↑=−=−=
+↑==
+↑==
H
HH
GH
G
GG
G
FG
EF
EE
DE
D
CD
BC
BB
AB
A
V
HyVV
VVHEn
V
PVV
xV
AVVGEn
VVFEn
PVV
VVEEn
xV
AVVDEn
VVCEn
PVV
VVBEn
AyVAEn
Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en ][N .

________________________________________________________________________________
08080
'
)(80)2083.157(17.394'
':
)(17.394)]2083.87()2)083.87083.107(5.0[336.588
:
)(336.588100336.488
'
)(336.488)1083.87(419.575'
':
)(419.575)1917.62(502.512
:
)(502.512)]3917.62()3)917.62917.92(5.0[(751.278
:
)(751.278)1917.92(834.185
:
)(834.185)2917.192(200
:
)(200:
2
1
=−=
−=
+↑=−=
−=
+↑=+−−=
−=
+↑=+=
+=
+↑=−=
−=
+↑=+=
+=
+↑=+−+=
+=
+↑=+=
+=
+↑=+−=
+=
−↓==
H
HH
H
GH
G
FG
F
FF
F
EF
E
DE
D
CD
C
BC
B
AB
A
M
MMM
xM
AMMHEn
xxM
AMMGEn
M
MMM
xM
AMMFEn
xM
AMMEEn
xxM
AMMDEn
xM
AMMCEn
xM
AMMBEn
MMAEn
Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en ].[ mN .

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 7
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga en voladizo AB, utilizando el Método de
Áreas.
SOLUCIÓN:
Transformando la carga distribuida w en carga puntual 1F :
11 * LwF = → kipsxF )83(1 = ⇒ ↓= kipsF 241
Reemplazando la fuerza de 10 kips por un sistema equivalente fuerza-par que actúa en C :
LFM *= → piekipsxM −= )210( ⇒ ⊗−= piekipsM 20
∑ = :0yF 0101 =−− FEy
01024 =−−Ey ⇒ ↑= kipsEy 34
Tomando momentos con respecto al punto E :
∑ = :0EM 0)510()12( 1 =++−− EMMxxF
020)510()1224( =++−− EMxx ⇒ ⊗−= piekipsM E 318
Finalmente, el sistema de cargas es:
10
w

________________________________________________________________________________
Las unidades de las fuerzas cortantes, en este caso, son todas en ][kips .
Las unidades de los momentos flectores, en este caso, son todas en ][ piekips − .
PROBLEMA 8
Se aplican dos fuerzas verticales a la viga de sección mostrada. Halle los máximos esfuerzos de tensión y compresión
en la parte BC de la viga.
SOLUCIÓN:
El estudiante debe ya haberse fijado que se trata de un problema relacionado con flexión pura (pueda que sea
conveniente revisar la sección 2.14 para recordar el tema).
También, adviértase que el valor máximo de dicha flexión se encuentra en el tramo BC de la viga. Esto último se
comprobará del diagrama de momento flector.
03434'
)(34':
)(34102410'
)(24':
)(24)83(:
0:
=+−=+=
−↓==
−↓=−−=−=
−↓==
−↓=−=−=
=
yEE
CE
CC
BC
AB
A
EVV
VVEEn
VV
VVCEn
xAVVBEn
VAEn
0318318
'
)(318)534(148'
':
)(14820168
'
)(168)324(96'
':
)(96)8245.0(
:
0:
=+−=
+=
−↓=−−=
−=
−↓=+−=
+=
−↓=−−=
−=
−↓=−=
−=
=
E
EEE
E
CE
C
CC
C
BC
B
AB
A
M
MMM
xM
AMMEEn
M
MMM
xM
AMMCEn
xxM
AMMBEn
MAEn
in4
in5.0
in3in5.0
lb3000
in15 in10
D
C
A
B
in10
lb3000

________________________________________________________________________________
∑ = :0AM 0)35()253000()103000( =+−− Dyxx ⇒ ↑= lbDy 3000
∑ = :0yF 030003000 =+−− DyAy ⇒ ↑= lbAy 3000
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN
Área y centroide de la sección
in15in10
lb3000
DyAy
lb3000
in10
0'
)(3000':
)(30003000'
0':
03000'
)(3000':
)(3000:
=+=
−↓==
−↓=−=
==
=−=
+↑==
+↑==
DyVV
VVDEn
VV
VVCEn
VV
VVBEn
AyVAEn
DD
CD
CC
BC
BB
AB
A
][: lbUnidades
0)103000(30000
:
)(30000:
)(30000)103000(
:
0:
=−=
−=
+↑==
+↑==
+=
=
xM
AMMDEn
MMCEn
xM
AMMBEn
MAEn
B
CD
BC
B
AB
A
][: inlbUnidades −
NE.
2yy
x
5.0
75.1
5.0
3
75.1
1y
iny
in
inxx
A
yA
y
inA
inxxAAA
5.2
5.3
)]75.1)(5.35.0()25.3)(5.075.1(2[).(
5.3
)]5.35.0()5.075.1(2[2
2
3
2
2
21
=
+
==
=
+=+=
∑

________________________________________________________________________________
Momento de Inercia con respecto al eje x*
44
3
2
3
3
2
3
21
67.25
3
5.35.0
)25.35.075.1(
12
5.075.1
2
3
.
)..(
12
.
2)()2(
inin
x
xx
x
I
hb
yhb
hb
III
x
xxx
=





+





+=






+





+=+=
Momento de Inercia con respecto al eje neutro
[ ] 4
.
422
. 79.3)5.25.3(67.25)( inIinxyAII NExNE =⇒−=−=
ESFUERZO MÁXIMO DE TENSIÓN
Analizando la figura del enunciado del problema, notamos que la flexión producirá esfuerzos de tensión en aquellas
fibras que se encuentren ubicadas por debajo del eje neutro. Esto último se debe a que la viga flexiona “hacia abajo”º.
Luego, este esfuerzo está dado por:
NE
máx
x
I
yM
.
2.
=σ
Aquí, máxM es el “mayor” valor de momento que se obtiene del diagrama de momento flector, mientras que, 2y es
la distancia máxima medida desde el eje neutro a una de las fibras que se encuentran bajo tensión.
Finalmente, kpsi
in
ininlb
I
yM
I
yM
x
NE
máx
NE
máx
x 78.19
79.3
)5.2(.30000..
4
..
2
==→== σσ
ESFUERZO MÁXIMO DE COMPRESIÓN
De manera similar, analizando la figura del enunciado del problema, notamos que la flexión producirá esfuerzos de
compresión en aquellas fibras que se encuentren ubicadas por encima del eje neutro. Esto último se debe a que la viga
flexiona “hacia abajo”.
Luego, este esfuerzo está dado por:
NE
máx
x
I
yM
.
1.
−=σ
Aquí, máxM es el “mayor” valor de momento que se obtiene del diagrama de momento flector, mientras que, 1y es
la distancia máxima medida desde el eje neutro a una de las fibras que se encuentran bajo compresión.
Finalmente, kpsi
in
ininlb
I
yM
x
NE
máx
x 91.7
79.3
)5.25.3(.30000.
4
.
1
−=
−
−=→−= σσ
__________
* En la ecuación que sigue, y es la distancia desde el centroide de la sección 1 hasta el eje x.
º Significa que la deflexión (flecha o deformación lineal) es originada hacia abajo.

________________________________________________________________________________
PROBLEMAS PROPUESTOS
FLEXIÓN PURA
PROBLEMA 9
Para la fundición mostrada, halle el máximo par M que puede aplicarse sin exceder los esfuerzos admisibles
siguientes: kpsiadm 6=σ y kpsiadm 15−=σ *.
PROBLEMA 10
Sabiendo que para la viga extruida que se muestra, el esfuerzo admisible es 120 Mpa a tensión y 150 Mpa a
compresión, halle el máximo par M que puede aplicarse.
ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
PROBLEMA 11
Se aplican varias fuerzas al ensamblaje de tubería mostrado. Sabiendo que la tubería tiene diámetros interior y
exterior de 1.61 y 1.90 pulg., respectivamente, halle los esfuerzos normales y cortantes en los puntos H y K .
__________
* Puesto que los materiales fundidos soportan mucha más cargas de compresión que de tracción, para determinar el valor del par, considérese
sólo el valor del esfuerzo admisible a compresión (el de signo negativo).
M mm50
mm150
mm125
mm125
H
in4
in6
lb150
lb50
in10
y
x
z
lb200
lb150
in4
K
in2
in5.0
in3
in5.0
in5.0
in5
M

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 12
Se aplica una fuerza de lb1000 en el punto A del elemento de fundición mostrado, sabiendo que el elemento tiene
un diámetro de 1.8 pulg., halle los esfuerzos normal y cortante en el punto H localizado en la superficie superior del
elemento*.
Fig.P.12 Fig.P.13
*PROBLEMA 13
Se aplican dos fuerzas al elemento de maquinaria ABD , como se muestra. Sabiendo que la sección transversal del
elemento es de mmx4530 , halle los esfuerzos normales y cortantes en los tres puntos indicados.
PROBLEMA 14
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector** para cada viga AE .
__________
* Para obtener las respuestas a los problemas 11, 12 y 13, refiérase al texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, en el capítulo
correspondiente a CARGA TRANSVERSAL.
** Aunque ahora existen calculadoras avanzadas capaces de dibujar cualquiera de estos diagramas, se recomienda al estudiante que sólo las
utilice para verificar que sus conocimientos sobre este tema son los adecuados.
D
CB
A
m3.0
m2.0
kN2kN8kN2
m2.0
m3.0m3.0m3.0
E
in4
in8in8
lb50lb50
E
DB
A
C
lb50
in8
in8in8in4
H
in3
A
in10
E
in5.7
y
x
z
in6
mm45
z
mm216
mm90
mm75 x
mm40
mm140
mm30
N120
B
y
cb
a
A
N260

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 16
Para la viga y carga mostrada, halle: a) el esfuerzo normal máximo en una sección transversal en B y, b) el esfuerzo
cortante máximo en una sección transversal justamente a la izquierda de D .
PROBLEMA 17
Para la viga y carga mostrada, halle: a) el esfuerzo normal máximo en una sección transversal en B y, b) el esfuerzo
cortante máximo en una sección transversal justamente a la izquierda de E .
PROBLEMA 18
Si lbQP 120== , halle: a) la distancia a para la cual el máximo valor absoluto del momento flector en la viga sea
lo más pequeño posible y, b) el esfuerzo normal máximo correspondiente debido a la flexión. (Sugerencia: dibuje el
diagrama de momento y luego iguale los valores absolutos de los mayores momentos positivo y negativo obtenidos).
in5.9
in5.1
D
B
A
ft2ft4
lb900lb750
ft3
C
mm40
mm240
m6.0
m2.1
E
B
kN8.1
mkN /25.1
A
mkN /25.1
C D
m2.1
m6.0
a
in75.0
in5.0
D
C
QP
in20
A
in20
B

________________________________________________________________________________
*PROBLEMA 19
La viga AB soporta dos cargas concentradas P y Q . El esfuerzo normal debido a la flexión en el borde inferior de la
viga es +55 Mpa en C y +37 Mpa en E . a) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga,
y b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión que ocurre en la viga.
PROBLEMA 20
Halle la carga uniformemente distribuida admisible w para la viga mostrada, sabiendo que MPaadm 70+=σ a
tensión, MPaadm 130−=σ a compresión y MPaadm 60=τ .
m15.0m45.0
w
A
B
C
mm15
mm15
mm40
mm60
m5.0m2.0
QP
F
EC
B
A
D
m5.0
mm60
mm24
m4.0 m3.0

________________________________________________________________________________
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I MATERIALES Y SUS PROPIEDADES48
CAPÍTULO 3
MATERIALES Y SUS PROPIEDADES
*3.1 INTRODUCCIÓN
Un paso importante en el Diseño lo constituye la elección del material sólido. La capacidad de explotar el potencial y
las características de un material es esencial para asegurar que se utilice el mejor material para un elemento de
máquina particular. Por lo tanto, conocer las propiedades de los materiales resulta de suma importancia.
*3.2 MATERIALES DÚCTILES Y FRÁGILES
*3.2.1 MATERIALES DÚCTILES
La ductilidad es la medida del grado de la deformación plástica sostenida al momento de la fractura.
Un material dúctil puede sufrir grandes deformaciones unitarias antes de su ruptura. Con frecuencia los diseñadores
emplean materiales dúctiles porque éstos absorben choques (o energía) y, si se sobrecargan, presentarán grandes
antes de su falla. Asimismo, la concentración de esfuerzos se disipa parcialmente con las deformaciones que se logran
mediante el empleo de materiales dúctiles.
Una forma de especificar si un material es dúctil es de acuerdo con su porcentaje de alargamiento ( Al% )
%100% x
l
ll
AL
o
ofr





 −
=
donde:
frl = longitud el espécimen al momento de la fractura [m]
ol = longitud del espécimen sin carga [m]
Un material dúctil presenta un Al% alto antes de la falla. Considere también que en la ecuación anterior, la
longitud original del espécimen ol es un valor importante, porque una porción significativamente de la deformación
plástica al momento de la fractura está confinada a la región estrecha. Así, la magnitud del Al% dependerá de la
longitud del espécimen. Cuanto menor sea ol , mayor será la fracción del alargamiento total a partir de la parte más
estrecha y, por consecuencia, mayor el valor del Al% .
*3.2.2.MATERIALES FRÁGILES
Un material frágil presenta poca ( %5% <Al ) o ninguna fluencia antes de la falla. El hierro fundido gris es un
ejemplo de un material frágil cuyo Al% es muy pequeño.
*3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES
Los materiales de ingeniería se pueden clasificar en cuatro categorías: metales, cerámicas y vidrios, polímeros y
elastómeros, y compuestos.
Generalmente los miembros de cada clase tienen las características comunes siguientes:
1. Propiedades similares, como composición química y estructura atómica.
2. Rutas de procesos similares.
3. Aplicaciones similares.
*3.3.1 METALES
Los metales constituyen combinaciones de elementos metálicos, con grandes cantidades de electrones no localizados
(es decir, electrones no ligados a átomos particulares). Los metales extremadamente buenos conductores de la
electricidad y del calor, y no son transparentes a la luz visible; una superficie metálica pulida tiene una apariencia
lustrosa. Además, los metales son resistentes y usualmente deformables, lo cual los vuelve materiales de suma
importancia en el diseño de máquinas.

________________________________________________________________________________
Los metales se hacen más resistentes por medio de aleaciones y tratamientos mecánicos y térmicos; además de que
generalmente son dúctiles. Las aleaciones de alta resistencia, como un resorte de acero, pueden tener ductilidades tan
bajas como 2% o un pobre porcentaje de alargamiento de 2%; pero resulta suficiente para asegurar que el material se
deformará antes de fallar. Sin embrago, algunas partes fundidas pueden presentar una ductilidad muy baja. Ya que los
metales son dúctiles, con frecuencia se usan en circunstancias donde se aplica una carga cíclica, de manera que a
menudo fallan por fatiga y son resistentes a la corrosión. Los materiales dúctiles, como el acero, pueden acomodar las
concentraciones de los esfuerzos, deformándose en tal forma que redistribuyen la carga más uniformemente; por lo
tanto, se usan bajas cargas estáticas dentro de un pequeño margen de su resistencia a la fluencia.
*3.3.2 CERÁMICOS Y VIDRIOS
Los cerámicos son compuestos de elementos metálicos y no metálicos, frecuentemente de óxidos, nitruros y
carburos. Los vidrios se componen, al igual que las cerámicas, de elementos metálicos y no metálicos; pero los
vidrios no tienen una estructura cristalina clara. Tantotas cerámicas como los vidrios suelen ser mejores aislantes
contra el paso de la electricidad y de la transmisión del calor, y más resistentes a altas temperaturas y medios
ambientes hostiles que los metales y polímeros.
Las cerámicas y los vidrios, al igual que los metales, tienen una alta densidad. Sin embargo, en vez de ser dúctiles
como éstos (a temperatura ambiente) resultan frágiles. Además, son 15 veces más resistentes a la compresión que a
la tensión. Las cerámicas y los vidrios no se pueden deformar y, por tanto, no son tan versátiles para diseñar
elementos de máquinas como los metales. A pesar de esto, presentan características atractivas. Son rígidos, duros y
resistentes a la abrasión (de aquí que se emplean en cojinetes y para herramientas de corte). Por esto deben
considerarse como una clase importante de materiales de ingeniería para su empleo en los elementos de máquinas.
*3.3.3 POLÍMEROS Y ELASTÓMEROS
Los polímeros y los elastómeros incluyen materiales plásticos y cauchos. Muchos polímeros son compuestos
orgánicos basados químicamente en carbono, hidrógeno y otros elementos no metálicos. Además, tienen grandes
estructuras moleculares.
Los polímeros se dividen en dos tipos básicos: termoplásticos y termofraguados. En general, los primeros son más
dúctiles que los seguidnos y a temperaturas elevadas se suavizan significativamente y se funden. Los termofraguados
son más frágiles, no se suavizan tanto como aquéllos y usualmente se descomponen químicamente antes de fundirse.
Los termoplásticos son moléculas de cadena grande, cuya resistencia se origina en la interferencia entre cadenas.
Los termofraguados se encuentran en una estructura de red, como la de una esponja.
Los elastómeros tienen una estructura de red, pero no tan elaborada como la de los termofraguados, de manera que
sufren grandes deformaciones con cargas relativamente ligeras. Un elastómero común es una liga de caucho, la cual
presenta las características típicas de una gran deformación elástica, pero fractura frágil. Además, las propiedades
elásticas de las ligas de caucho son altamente no lineales.
Los polímeros y los elastómeros son extremadamente flexibles con grandes deformaciones elásticas. Los polímeros son
aproximadamente 5 veces menos densos que los metales; pero tienen una razón de resistencia/peso casi equivalente.
Como los polímeros tienen una variación muy lenta de una dimensión o de una característica por la acción del tiempo
o del uso (la deformación permanente que depende del tiempo y ocurre por la acción de un esfuerzo) incluso a
temperatura ambiente, un elementote máquina de polímero bajo la acción de una carga, con el tiempo, adquiere un
fraguado permanente. Las propiedades de los polímeros y de los elastómeros cambian enormemente con las
variaciones de la temperatura.
Las propiedades mecánicas de los polímeros se especifican con muchos de los mismos parámetros que se emplean
para los metales (es decir, módulos de elasticidad y resistencias a la tensión, de impacto y a la fatiga). No obstante,
los polímeros varían mucho más en resistencia, rigidez, etc., que los metales. Las razones principales de esta variación
son que, aun con los mismos constituyentes químicos, dos polímeros pueden tener diferentes longitudes de cadenas y
diferentes números de átomos pueden estar en un estado cristalino respecto de uno en estado amorfo. Además, las
características mecánicas de los polímeros, en su mayoría, son su alta sensibilidad a la velocidad de la deformación, la
temperatura y la naturaleza química del medio ambiente (la presencia de agua, oxígeno, solventes orgánicos, etc.).
Los polímeros son tan resistentes por unidad de peso como los metales. Se forman fácilmente: partes complicadas que
realizan varias funciones se moldean a partir de un polímero en una sola operación. Las grandes deformaciones
elásticas permiten el diseño de componentes basados en polímeros ajustables a presión, volviendo el ensamble rápido
y barato. Los polímeros resisten la corrosión y tienen bajos coeficientes de fricción.
*3.3.4 COMPUESTOS
Los materiales compuestos combinan las atractivas propiedades de dos o más clases de materiales al tiempo que
evitan las desventajas. Un material compuesto se diseña para presentar una combinación de las mejores
características de cada material componente. Por ejemplo, un epoxi reforzado con grafito adquiere la resistencia de las
fibras del grafito, mientras protege al grafito de la oxidación. También en epoxi ayuda a soportar los esfuerzos
cortantes y proporciona dureza.

________________________________________________________________________________
Los tres tipos principales de materiales compuestos son:
1. Partículas reforzadas: tienen aproximadamente las mismas dimensiones en todas las direcciones en una matriz,
como el concreto.
2. Fibra discontinua reforzada: son fibras de razón longitud-diámetro limitada en una matriz, como la fibra de
vidrio.
3. Fibra continua reforzada: son fibras continuas construidas en una parte en capas, como en las raquetas de
tenis de grafito.
Las desventajas de utilizar compuestos en los elementos de máquinas son que elevan considerablemente el precio del
componente y que son relativamente difíciles de formar y unir.
Los materiales compuestos tienen muchas características diferentes de las otras tres clases de materiales. Los
metales, los polímeros y las cerámicas son materiales homogéneos (sus propiedades no son una función de posición
en el sólido), isotrópicos (sus propiedades son iguales en todas las direcciones en un punto dado en el sólido) o
anisotrópico (sus propiedades son diferentes en todas las direcciones en un punto en el sólido), mientras que los
materiales compuestos son ortotrópicos y no homogéneos. Un material ortotrópico tiene propiedades diferentes en
tres direcciones mutuamente perpendiculares en un punto en el sólido, pero presenta tres planos mutuamente
perpendiculares de simetría del material.
*3.4 RESISTENCIA
La resistencia de un elemento de máquina depende de la clase, tratamiento y geometría del espécimen, y también del
tipo de carga que el elemento de máquina experimente.
Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El diseño se relaciona con los esfuerzos
permisibles, o con el valor reducido de la resistencia. El esfuerzo normal permisible permσ y el esfuerzo cortante
permisible permτ para metales ferrosos y no ferrosos con varios tipos de carga se pueden representar como:
Tensión: ypermy SS 60.045.0 ≤≤ σ
Cortante: yperm S40.0=τ
Flexión: ypermy SS 75.060.0 ≤≤ σ
Soporte: yperm S90.0=σ
Estas relaciones también se aplican a los polímeros y a las cerámicas si la resistencia a la rotura en la resistencia al
rompimiento y a la fractura, respectivamente se sustituyen por la resistencia a la fluencia en las ecuaciones anteriores.
*3.4.1 METALES. Los metales se dividen en aleaciones ferrosas y no ferrosas. Las primeras son aquellas donde el
hierro es el componente primario; pero el carbono así como otros elementos de aleación está presente. Las segundas
son las que no están basadas en el hierro.
La resistencia de los metales está directamente relacionada con la resistencia a la fluencia del material. La resistencia
de los metales es esencialmente igual a la compresión que a la tensión.
*3.4.2 POLÍMEROS. Cuando se trata con polímeros la resistencia de interés es la resistencia a la rotura en el
rompimiento, en vez de la resistencia a la fluencia para los metales. La otra característica única de los polímeros es
que son más resistentes (-20%) a la compresión que a la tensión.
*3.4.3 CERÁMICOS. La resistencia interesante de las cerámicas es a la fractura. Las cerámicas, como son
materiales frágiles, resultan mucho más resistentes a la compresión (generalmente 15 veces) que a la tensión.
*3.5 RESILIENCIA Y TENACIDAD
*3.5.1 RESILIENCIA. Es la capacidad de un material para absorber energía cuando se deforma elásticamente y,
luego, después de la descarga, para liberar esta energía. El módulo de resiliencia es la energía de deformación unitaria
por unidad e volumen que se requiere para esforzar un material de un estado sin carga al punto de fluencia.
Los materiales resilientes tienen altas resistencias a la fluencia y bajos módulos de elasticidad. La resistencia a la
fluencia para el acero de alto carbono resulta mayor cuando el módulo de elasticidad es alto. Así, los aceros al alto
carbono tienen un módulo de resiliencia alto. Esta propiedad es muy útil en la selección de un material para resortes,
pues hace de las aleaciones de acero al alto carbono materiales adecuados para la fabricación de resortes.

________________________________________________________________________________
*3.5.2 TENACIDAD. Es la habilidad de un material para absorber energía hasta el punto de fractura. La
geometría del espécimen y la manera de la aplicación de la carga son importantes en la determinación de la tenacidad
de un material. La tenacidad a la fractura indica la resistencia de un material a la fractura cuando se presenta un
agrieta.
Para la situación estática, la tenacidad se obtiene de la curva esfuerzo-deformación unitaria hasta el punto de fractura
o ruptura. La resiliencia es la energía de deformación por unidad de volumen hasta la resistencia a la fluencia del
material; mientras que la tenacidad es la energía por unidad e volumen hasta la ruptura.
Para que un material sea duro debe presentar tanto resistencia como ductilidad, y con frecuencia los materiales
dúctiles son más tenaces que los materiales frágiles. Aunque el material frágil tiene resistencias a la fluencia y a la
rotura más altas, debido a la falta de ductilidad, tiene una tenacidad menor que el material dúctil. Es decir, el área de
un material dúctil es considerablemente mayor que el área de un material frágil.

________________________________________________________________________________
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I ANÁLISIS DEL ESFUERZO52
CAPÌTULO 4
ANÁLISIS DEL ESFUERZO
4.1 INTRODUCCCIÓN
Uno de los problemas que se estudiarán en este libro será el de cómo relacionar la resistencia de un elemento con las
cargas externas que se le apliquen. Tales cargas externas dan lugar a esfuerzos internos en el elemento. Para evitar
todo riesgo en el uso del producto, el ingeniero de diseño debe tener la plena certeza de que esos esfuerzos nunca
excederán la resistencia calculada.
4.2 ELEMENTO DE ESFUERZO
En la figura se muestra un elemento con el origen del esfuerzo colocado dentro del elemento. A través de cada una de
las superficies mutuamente perpendiculares existen tres esfuerzos, que producen un total de nueve componentes de
esfuerzo. De los tres esfuerzos que actúan en una superficie dada, el esfuerzo normal se denota por σ y el esfuerzo
cortante por τ . Un esfuerzo normal recibirá un subíndice que indica la dirección en la cual actúa el esfuerzo. Para un
esfuerzo cortante se requieren dos subíndices. El primero indica el plano del esfuerzo; y el segundo, su dirección.
Fig. 4-1 Elemento de esfuerzo tridimensional
La convención de signos para el esfuerzo normal distingue al signo positivo para la tensión, y al negativo par la
compresión. Un esfuerzo cortante positivo apunta en la dirección positiva del eje coordenado, denotado por el segundo
subíndice si actúa sobre una superficie con una normal hacia fuera en la dirección positiva.
La convención de signos para el esfuerzo cortante está directamente asociada con las direcciones de las
coordenadas. Si tanto la normal de la superficie como el cortante se encuentran en la dirección positiva, o si ambas se
encuentran en la dirección negativa, el esfuerzo cortante tiene signo positivo. Cualquier otra combinación de la normal
y de la dirección del cortante producirá un esfuerzo cortante negativo.
Los esfuerzos de superficie de un elemento tienen las siguientes relaciones:
♦ La normal y los componentes del esfuerzo cortante que actúan en los lados opuestos de un elemento deben
ser iguales en magnitud pero opuestos en dirección.
♦ Para el equilibrio de momentos se requiere que los esfuerzos cortantes sean simétricos, lo que implica que los
subíndices se puedan invertir en orden, o
yxxy ττ = zxxz ττ = zyyz ττ =
de esta manera se reducen a seis los nueve esfuerzos que actúan sobre el elemento: tres esfuerzos normales,
xσ , yσ , y zσ y, tres esfuerzos cortantes, xyτ , yzτ y xzτ .
xσyσ
zσ
xyτ
xzτ
zxτ
zyτ
yzτ
yxτ

________________________________________________________________________________
4.3 TENSOR DE ESFUERZO
En los cursos de ingeniería es común encontrar cantidades escalares: aquellas que tienen un valor numérico. Los
vectores, como la fuerza, tienen una magnitud, así como una dirección. El esfuerzo requiere de seis cantidades para su
definición; por consiguiente, el esfuerzo es un tensor.
El tensor de esfuerzo es:










=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
S
σττ
τστ
ττσ
el cual es un tensor simétrico. Una propiedad de un tensor simétrico es que allí existe un conjunto ortogonal de ejes
1, 2, y 3 (llamados ejes principales) respecto a los cuales todos los elementos del tensor son cero, excepto para
aquellos en la diagonal principal.
4.4 ESFUERZO PLANO
Muchos casos de análisis de esfuerzos se pueden simplificar al caso de esfuerzos planos, donde una superficie está
comparativamente libre de esfuerzos. De esta manera, la tercera dirección se puede despreciar y todos los esfuerzos
sobre el elemento de esfuerzo actúan sobre dos pares de caras en vez de tres. Este estado de esfuerzo bidimensional
en algunas ocasiones se llama esfuerzo biaxial o esfuerzo plano.
4.5 TENSIONES COMPUESTAS
Hay que tener en cuenta que sobre un elemento, frecuentemente, actúan simultáneamente varias de las solicitaciones
conocidas, tales como flexión y torsión, por ejemplo, y hay que determinar el estado de tensiones* en estas
condiciones. Como las tensiones normal y cortante son magnitudes vectoriales, hay que tener mucho cuidado al
combinar los valores dados por las expresiones para solicitaciones simples.
4.5.1 CASO GENERAL DE TENSIÓN BIDIMENSIONAL
En general, si se separa de un cuerpo un elemento plano estará sometido a las tensiones normales xσ y yσ , así
como a la tensión cortante xyτ , como se muestra en la figura siguiente.
Fig. 4-2 Elemento de esfuerzo plano
4.5.2 CRITERIO DE SIGNOS
Para tensiones normales, se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas.
_________________
* Véase: TENSIONES COMPUESTAS en el texto “Resistencia de Materiales” de W. Nash para información adicional.
xσ
yσ
xyτ

________________________________________________________________________________
4.6 TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO
4.6.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO
Supondremos que tanto los esfuerzos normales como los tangenciales ( xσ , yσ y xyτ ) son conocidos por el momento.
Supóngase que existe un estado de esfuerzo plano en un punto en el cual 0=== yzxzz ττσ , y definido por las
componentes xσ , yσ y xyτ , asociadas con el elemento de la figura 4-3a. Se pretende ahora determinar las
componentes del esfuerzo 'xσ , 'yσ y ''yxτ asociadas con el elemento después que ha girado un ángulo θ en (s.c.r)
(véase la figura 4-3b) con respeto al eje z en función de xσ , yσ , xyτ y θ .
Fig. 4-3 Transformación de esfuerzo plano
El estudio* de un elemento prismático con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x , y y 'x , permite
obtener las ecuaciones, para cuando éste ha girado un ángulo θ en (s.c.r) con respeto al eje z en función de xσ ,
yσ , xyτ y θ .
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
x +
−
+
+
=
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
y −
−
−
+
=
θτθ
σσ
τ 2cos2
2
'' xy
yx
yx sen +
−
−=
4.6.2 ESFUERZOS NORMALES PRINCIPALES
Hay ciertos valores del ángulo θ que hacen que σ sea máximo o mínimo para un conjunto dado de esfuerzos
normales y cortantes.
_________________
* Véase: TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, si desea conocer la forma en
cómo se obtienen las ecuaciones que se describen inmediatamente en este texto.
)b)a
''yxτ'yσ
'xσxyτ
yσ
'y
'x
zz ='z
yy
θ
θ
x xxσ

________________________________________________________________________________
Estos valores se llaman esfuerzos normales principales y están dados por:
RCmáx +=σ RCmín −=σ
donde:







 +
=
2
yx
C
σσ
( )2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
=
4.6.3 DIRECCIONES DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
Los ángulos entre el eje x y los planos en que tienen lugar las tensiones principales, están dados por la ecuación:
)(
2
2tan
yx
xy
p
σσ
τ
θ
−
=
Como se ve, tenemos dos valores de pθ que satisfacen esta ecuación. La tensión máxima tiene lugar en uno de esos
planos, y la mínima en el otro. Los planos definidos por estos ángulos se llaman planos principales.
Las tensiones cortantes en los planos en los que se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo son siempre
nulas, para cualquier valor de esfuerzos normales y cortantes conocidos.
4.6.4 TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA
Hay ciertos valores del ángulo θ que hacen sea máximo τ para un conjunto dado de tensiones conocidas. El valor
máximo de la tensión cortante está dado por:
( ) Rxy
yx
máx =+






 −
=
2
2
2
τ
σσ
τ
4.6.5 DIRECCIONES DE LA TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA
Los ángulos y los planos en los que se producen las tensiones cortantes máximas están dados por la ecuación:
xy
yx
c
τ
σσ
θ
2
)(
2tan
−
−=
4.6.6 TENSIONES NORMALES EN LOS PLANOS DE MÁXIMA TENSIÓN CORTANTE
La tensión normal en cada uno de los planos de máxima tensión cortante (que están separados 90º) está dado por:
2
' yx
n
σσ
σ
+
=
4.7 EL CÍRCULO DE MOHR
El círculo de Mohr para un estado triaxial de esfuerzos en un punto fue construido primero por el ingeniero alemán
Otto Mohr (1914), quién se dio cuenta que las ecuaciones antes mencionadas definen un círculo en un plano )( τσ − .
Este círculo se usa extensivamente como un método conveniente para visualizar gráficamente el estado de esfuerzos
que actúan en planos diferentes, pasando a través de un punto dado.
Por supuesto que el círculo de Mohr es mucho más útil para visualizar situaciones de esfuerzos planos.
El valor principal del círculo de Mohr es que hace visuales las realidades del estado de esfuerzos para una situación
específica.

________________________________________________________________________________
En esta representación se llevan las tensiones normales sobre el eje horizontal y las cortantes en el vertical. Se
representan a escala las tensiones normales y cortantes conocidas y se traza un círculo por esos puntos, con centro en
el eje horizontal.
4.7.1 CRITERIO DE SIGNOS UTILIZADO EN EL CÍRCULO DE MOHR
Se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas, por lo que las primeras se
representarán a la derecha del origen y las segundas hacia la izquierda. Con relación a las tensiones cortantes,
diremos que las tensiones cortantes son positivas si tienden a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del
reloj, y negativas si en el contrario.
Considérese un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (véase la figura 4-4a) y tenga muy en
cuenta los criterios de signos dados anteriormente.
Ubíquese el punto X de coordenadas ),( xyx τσ − y el punto Y de coordenadas ),( xyy τσ (véase la figura 4-4b).
Uniendo X y Y mediante una línea recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el eje σ y se
dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY .
Fig. 4-4 Representación del Círculo de Mohr
Adviértase en la figura anterior que, si se requiere una rotación pθ2 en (s.c.r) para llevar CX a CA en el círculo de
Mohr, una rotación en (s.c.r) pθ llevará Ox a Oa , en la parte a). Se concluye que los sentidos de rotación en
ambas partes de la figura 4-4 son los mismos.
Considérese ahora el caso más general, es decir, aquel en el cual un elemento gira cierto ángulo θ , por ejemplo y en
este caso, en (s.r) (véase la figura 4-5).
Fig. 4-5 Representación del Círculo de Mohr (caso general plano)
)a
mínσ
yσ
y
pθ
x
xσ
xyτ
máxσ
O
a
mínσ
O C
B A
X
Y
)(+τ
)(−
pθ2
máxσ
)b
'y
'x
'yσ
'xσ
y
xyτ
yσ
xσ
θ
x
'' yxτ
)b)a
τ
O
'Y
Y
X
CB
θ2 A
'X
σ

________________________________________________________________________________
Como antes, ubíquese los puntos X e Y de coordenadas ),( xyx τσ − y ),( xyy τσ , respectivamente. A partir de
CX , en el círculo de Mohr se deberá girar un ángulo igual a θ2 en el mismo sentido que lo hace θ (véase la figura
4-5a).
Una vez que se ha trazado este ángulo ( θ2 ) se encuentran los puntos 'X e 'Y de coordenadas ),( ''' yxx τσ − y
),( ''' yxy τσ , respectivamente (véase la figura 4-5b).
Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro XY con el diámetro ''YX en la figura 4-5b, tiene igual
sentido que la rotación que superpone los ejes xy a los ejes '' yx , en la figura 4-5a.
4.7.2 PASOS PARA CONSTRUIR EL CÍRCULO DE MOHR
1. Calcule el estado de esfuerzos planos para cualquier sistema de coordenadas xy de manera que xσ , yσ y xyτ ,
sean conocidos.
2. El centro del círculo de Mohr se puede colocar en:





 +
= 0,
2
yx
C
σσ
3. Dos puntos diametralmente opuestos uno de otro sobre el círculo corresponden a los puntos ( xσ , xyτ− ) y
( xσ , xyτ ). Usar el centro y cualquier punto permite que se dibuje el círculo.
4. El radio del círculo se puede calcular por medio de la ecuación: 2
2
)(
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
=
5. Los esfuerzos principales tienen los valores: RC ±=2,1σ
6. El esfuerzo cortante máximo es igual al radio.
7. Los ejes principales se pueden encontrar calculando el ángulo entre el eje x en ele plano del círculo de Mohr y el
punto ( xσ , xyτ− ). Los ejes principales en el plano real han girado la mitad del valor de este ángulo en la misma
dirección relativa al eje x en el plano real.
8. Los esfuerzos en una orientación girada un ángulo θ del eje x en el plano real se pueden leer trazando un arco
de θ2 en la misma dirección sobre el círculo de Mohr, desde los puntos de referencia ( xσ , xyτ− ) y ( xσ , xyτ ).
Los nuevos puntos sobre el círculo de Mohr corresponden a los nuevos esfuerzos (con relación al ángulo girado),
respectivamente.
Se deben hacer algunos comentarios respecto al diagrama del círculo de Mohr:
1. Los esfuerzos normales se grafican a lo largo del eje x , y los esfuerzos cortantes se grafican a lo largo del eje y
2. El círculo define todos los estados de esfuerzos que son equivalentes.
3. El estado de esfuerzo biaxial para cualquier dirección se puede escalar directamente del círculo.
4. Los esfuerzos normales principales (es decir, los valores extremos del esfuerzo normal) se encuentran en las
localizaciones donde el círculo intercepta al eje x .
5. El esfuerzo cortante máximo es igual al radio del círculo.
6. Una rotación de un estado de esfuerzo de referencia en el punto real de θ corresponde a una rotación de θ2
desde los puntos de referencia en el plano del círculo de Mohr.

________________________________________________________________________________
*4.8 ESFUERZOS TRIDIMENSIONALES
Considerando la situación general que se mostró en la figura 4-1, el elemento de esfuerzo tiene seis caras, lo que
implica que existan tres direcciones principales y tres esfuerzos principales 1σ , 2σ y 3σ . Se requieren seis
componentes de esfuerzo (tres normales y tres tangenciales) para especificar un estado general de esfuerzo en tres
dimensiones, a diferencia de los tres componentes de esfuerzo considerados en el caso biaxial.
La determinación de los esfuerzos principales para una situación tridimensional es mucho más difícil. El proceso
implica encontrar las tres raíces de la ecuación cúbica:
0)2()()( 22222223
=−−−+−−−−+++++− xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyzyzxyxzyx τστστστττσσσστττσσσσσσσσσσσ
En la mayoría de las situaciones de diseño muchos de los componentes del esfuerzo son iguales a cero, lo que hace
innecesaria una evaluación completa de esta ecuación.
Si se conocen la orientación principal de un elemento asociado con un estado de esfuerzo tridimensional, así como losa
esfuerzos principales, a esta condición se le llama esfuerzo triaxial.
Se puede generar un círculo de Mohr para los estados de esfuerzo triaxial; pero a menudo esto no es necesario. En la
mayoría de las circunstancias no es necesario conocer la orientación de los esfuerzos principales; es suficiente conocer
sus valores. De esta forma, la ecuación anterior usualmente es todo lo que se necesita.
En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr para un campo de esfuerzo triaxial.
Fig. 4-6 Círculo de Mohr para un estado de esfuerzo triaxial
Éste consiste en tres círculos, dos de ellos son tangentes externamente y están inscritos dentro del tercer círculo. Los
esfuerzos cortantes principales que aparecen en esta figura se determinan a partir de:
2
21
2/1
σσ
τ
−
=
2
32
3/2
σσ
τ
−
=
2
31
3/1
σσ
τ
−
=
Los esfuerzos normales principales se deben ordenar como se mencionó con anterioridad. Según las últimas
ecuaciones, el esfuerzo cortante principal máximo es 3/1τ .
*4.9 ESFUERZOS OCTAÉDRICOS
En algunas ocasiones es ventajoso representar los esfuerzos en un elemento de esfuerzo octaédrico, en vez de un
elemento cúbico convencional de esfuerzos principales.
Cada plano octaédrico* corta a través de una esquina de un elemento principal, de manera que los ocho planos en
conjunto forman un octaedro.
_________________
* Véase: ESFUERZOS OCTAÉDRICOS en el texto “Elementos de Máquinas” de B. Hamrock, Bo O. Jacobson y S. R. Schmid, si desea más
información.
3σ
2σ
1σ
y
x
z
τ
σ
3σ 2σ 1σ

________________________________________________________________________________
Se debe tomar nota de las características siguientes de los esfuerzos en un plano octaédrico:
1. Los esfuerzos normales idénticos actúan sobre los ocho planos. De esta forma, los esfuerzos normales tienden a
comprimir o largar al octaedro pero no lo distorsionan.
2. Los esfuerzos cortantes idénticos actúan sobre los ocho planos. De esta forma, los esfuerzos cortantes tienden a
distorsionar al octaedro sin cambiar su volumen.
El hecho de que los esfuerzos normales y cortantes sean iguales para los ocho planos constituye una herramienta
poderosa en el análisis de fallas.
El esfuerzo octaédrico normal se expresa en términos de los esfuerzos normales principales o de los esfuerzos en las
coordenadas x , y , z , como:
33
321 zyx
oct
σσσσσσ
σ
++
=
++
=
2/12
3/1
2
3/2
2
2/1
2/12
13
2
32
2
21 ][
3
2
])()()[(
3
1
τττσσσσσστ +++−+−+−=oct
2/1222222
)](6)()()[(
3
1
xzyzxyxzzyyxoct τττσσσσσστ +++−+−+−=
Note que el esfuerzo cortante octaédrico se puede expresar en términos del esfuerzo de Von Misses como:
eoct στ
3
2
=
donde:
eσ = esfuerzo de Von Misses
Para un estado de esfuerzo uniaxial ( 032 == σσ ) y entonces: 1σσ =e
Para un estado de esfuerzo biaxial ( 03 =σ ) y entonces:
2/1
21
2
2
2
1 )( σσσσσ ++=e
Para un estado de esfuerzo triaxial:
2/12
32
2
31
2
21
2
)()()(





 −+−+−
=
σσσσσσ
σe

________________________________________________________________________________
PROBLEMAS RESUELTOS
TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS
PROBLEMA 1
Para el estado de esfuerzos dados, halle los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre una cara inclinada 60º en
(s.c.r). (Unidades: kpsi).
CONSIDERACIONES INICIALES
1. El esfuerzo cortante xyτ ubicado en la parte derecha del elemento es positivo, pues el vector normal de su
superficie apunta en la dirección positiva del eje x (A+), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la
dirección positiva del eje y (V+); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (+/+) = +.
2. El esfuerzo cortante xyτ ubicado en la parte izquierda del elemento también es positivo, pues el vector normal de
su superficie apunta en la dirección negativa del eje x (A-), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la
dirección negativa del eje y (V-); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (-/-) = +.
3. El ángulo θ (por Trigonometría Elemental) es positivo, ya que se mide en (s.c.r).
4. Luego de girar el elemento el ángulo θ en (s.c.r), se obtendrá un nuevo estado de tensiones normales y cortantes
con respecto a un nuevo sistema de ejes ( '' yx ), cuyos valores estarán dados por 'xσ , 'yσ y ''yxτ .
SOLUCIÓN:
Reemplazando valores en las ecuaciones que definen los nuevos estados de tensiones con respecto a los ejes '' yx :
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
x +
−
+
+
= → )º1209(º120cos
2
126
2
126
' senx +
−−
+
+−
=σ
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
y −
−
−
+
= → )º1209(º120cos
2
126
2
126
' seny −
−−
−
+−
=σ
θτθ
σσ
τ 2cos2
2
'' xy
yx
yx sen +
−
−= → )º120cos9(º120
2
126
'' +
−−
−= senyxτ
Obtenemos los siguientes valores:
294.15' =xσ , 294.9' −=yσ y 294.3'' =yxτ
los mismos que indican que en el nuevo sistema coordenado:
'xσ , esfuerzo de tensión; 'yσ , esfuerzo de compresión; ''yxτ , esfuerzo cortante positivo
Datos:
6−=xσ , 12=yσ , 9=xyτ y º60=θº60
12
9
6

________________________________________________________________________________
Graficando los resultados anteriores con respecto al nuevo sistema coordenado '' yx , resulta:
PROBLEMA 2
Para el estado de esfuerzo dado, calcule: a) la orientación de los planos principales y, b) los esfuerzos principales.
(Unidades: Mpa).
1. El esfuerzo cortante xyτ ubicado en la parte derecha del elemento es negativo, pues el vector normal de su
superficie apunta en la dirección positiva del eje x (A+), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la
dirección negativa del eje y (V-); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (-/+) = -.
2. El esfuerzo cortante xyτ ubicado en la parte izquierda del elemento también es negativo, pues el vector normal de
su superficie apunta en la dirección negativa del eje x (A-), y porque este esfuerzo se encuentra orientado en la
dirección positiva del eje y (V+); luego, por definición de esfuerzo, (V/A) = (+/-) = -.
SOLUCIÓN:
a) Por orientación de los planos principales se entienden aquellos valores de ángulos donde se producen los esfuerzos
normales principales (máximo y mínimo).
)(
2
2tan
yx
xy
p
σσ
τ
θ
−
= →
)30150(
)80(2
2tan
−
−
=pθ → º565.26−=pθ
o bien, º565.26º90 −=pθ → º435.63=pθ
Los ángulos donde se producen los esfuerzos cortantes (máximo y mínimo) son:
xy
yx
c
τ
σσ
θ
2
)(
2tan
−
−= →
)80(2
)30150(
2tan
−
−
−=cθ → º435.18=cθ
o bien, º565.26º90 −=cθ → º565.71=cθ
Datos:
150=xσ , 30=yσ , 80−=xyτ
30
150
80
x
y
θ
'xσ
'yσ
''yxτ

________________________________________________________________________________
b) Los esfuerzos normales y cortantes principales (máximos y mínimos) se pueden calcular de la manera siguiente:







 +
=
2
yx
C
σσ
→ 90
2
30150
=




 +
=C
( )2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= → ( ) 10080
2
30150 2
2
=+




 −
=R
El valor del esfuerzo normal, cuando el esfuerzo cortante es máximo, es:
2
' yx
n
σσ
σ
+
= → 90
2
30150'
=
+
=nσ
Graficando los valores de los esfuerzos normales y cortantes máximos y mínimos, resulta:
PROBLEMA 3
Para el estado de esfuerzo dado, halle los esfuerzos normales y cortantes después de girar el elemento mostrado:
a) 40º en (s.c.r) y, b) 15º en el (s.r). (Unidades: kpsi).
SOLUCIÓN:
En este problema ya no se escribirán las consideraciones para obtener el signo del esfuerzo cortante*, sino más bien
se realizará el cálculo de los esfuerzos desconocidos. Sólo si el problema así lo amerite, se escribirá algún detalle que
sea de importancia.
_________________
* Una manera más sencilla de obtener el signo para el esfuerzo cortante es la siguiente: aquellos esfuerzos cortantes, perpendiculares al esfuerzo
normal xσ , serán positivos si tienden a hacer girar el elemento en (s.c.r) y negativos, si tienden a hacerlo en sentido contrario (s.r).
19010090 =+=→+= máxmáx RC σσ 1010090 −=−=→−= mínmín RC σσ
100=→= máxmáx R ττ 100−=→−= mínmín R ττ
x
y
máxσ
mínσ
pθ
x
y
cθ
'nσ
'nσ
máxτ
Datos:
a) 8−=xσ , 10=yσ , 5−=xyτ , º40=θ
b) 8−=xσ , 10=yσ , 5−=xyτ , º15−=θ
10
8
5

________________________________________________________________________________
a)
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
x +
−
+
+
= → )º805(º80cos
2
108
2
108
' senx −+
−−
+
+−
=σ
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
y −
−
−
+
= → )º805(º80cos
2
108
2
108
' seny −−
−−
−
+−
=σ
θτθ
σσ
τ 2cos2
2
'' xy
yx
yx sen +
−
−= → )º80cos5(º80
2
108
'' −+
−−
−= senyxτ
obtenemos los siguientes valores:
487.5' −=xσ , 487.7' =yσ y 995.7'' =yxτ
'xσ , esfuerzo de compresión; 'yσ , esfuerzo de tensión; ''yxτ , esfuerzo cortante positivo
b)
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
x +
−
+
+
= → ))º30(5(º80cos
2
108
2
108
' −−+
−−
+
+−
= senxσ
θτθ
σσσσ
σ 22cos
22
' senxy
yxyx
y −
−
−
+
= → ))º30(5(º80cos
2
108
2
108
' −−−
−−
−
+−
= senyσ
θτθ
σσ
τ 2cos2
2
'' xy
yx
yx sen +
−
−= → ))º30cos(5(º80
2
108
'' −−+
−−
−= senyxτ
obtenemos los siguientes valores:
294.4' −=xσ , 294.6' =yσ y 83.8'' =yxτ
'xσ , esfuerzo de compresión; 'yσ , esfuerzo de tensión; ''yxτ , esfuerzo cortante positivo
x
y
θ
'xσ
'yσ
''yxτ

________________________________________________________________________________
EL CÍRCULO DE MOHR
PROBLEMA 4
Resuelva el problema 3 utilizando este procedimiento geométrico.
- Se considera que las tensiones de tracción son positivas y las de compresión negativas, por lo que las primeras se
representarán a la derecha del origen y las segundas hacia la izquierda de éste.
- Con relación a las tensiones cortantes, diremos que las tensiones cortantes son positivas si tienden a hacer girar el
elemento en el sentido de las agujas del reloj, y negativas si en el contrario; por lo tanto, las primeras se ubicarán
por encima del origen y las segundas, por debajo de éste.
SOLUCIÓN:
a)
Punto X ),( xyx τσ− → X )5,8(− Punto Y ),( xyy τσ − → Y )5,10( − .
Estos puntos se miden desde el origen O (no mostrado en la figura) del sistema coordenado τσ − .
Ubíquese el punto X de coordenadas ),( xyx τσ− y el punto Y de coordenadas ),( xyy τσ − . Uniendo X e
Y mediante una línea recta se define el punto C (centro) y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY .
Lleve el punto X a 'X girando un ángulo igual a θ2 en (s.c.r).
x
y
θ
'xσ
'yσ
''yxτ
Datos:
a) 8−=xσ , 10=yσ , 5−=xyτ , º40=θ
b) 8−=xσ , 10=yσ , 5−=xyτ , º15−=θ
10
8
5

________________________________________________________________________________
Como las coordenadas del punto 'X son ),( ''' yxx τσ −− es evidente que 'xσ es un esfuerzo de compresión.
De igual manera, las coordenadas del punto 'Y son ),( ''' yxy τσ y por lo tanto 'yσ es un esfuerzo de tensión.
Los esfuerzos normales máximo y mínimo están dados por:
296.11=→=→+=+= máxmáxOJRCCJOCOJ σσ
296.9=→=→−=−= mínmínOICROCCIOI σσ
Es claro que los esfuerzos normales máximo y mínimo son de tensión y compresión, respectivamente.
Nuevamente, los esfuerzos 'xσ , 'yσ , máxσ y mínσ se miden desde el origen (punto de intersección) del sistema
coordenado τσ − .
El esfuerzo cortante máximo está dado por:
296.10=→= máxmáx R ττ
Este último esfuerzo se mide desde el centro del círculo de Mohr.
Para graficar el elemento en la orientación dada, debemos tener en cuenta las coordenadas de los puntos 'X y 'Y .
Punto 'X ),( ''' yxx τσ −−
Según éstas, el esfuerzo normal es de compresión y el esfuerzo cortante es negativo, es decir, éste último tiende a
hacer girar el elemento en (s.c.r).
E
τ
σ
X
Y
C
α
βθ2
'X
'Y
A
BI JD





 +
=
2
yx
C
σσ → 1
2
108
=




 +−
=C
( )2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
=
→ ( ) 296.105
2
108 2
2
=+




 −−
=R
COCDO
XD
x
xy
+
=
+
=
σ
τ
αtan
º055.29
18
5
tan =→
+
= αα
º945.502 =→−= βαθβ
487.6cos =→= AC
R
AC
β 487.5'' =→+=+= xx COCAOAC σσ
487.7'' =→=+=+= yyOBACCCBOCOB σσ
995.7
'
tan ''
''
=→== yx
yx
ACAC
DX
τ
τ
β
máxτ

________________________________________________________________________________
Punto 'Y ),( ''' yxy τσ
Según éstas, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante es positivo, es decir, éste último tiende a hacer
girar el elemento en (s.r).
Teniendo presente estas últimas consideraciones, el elemento que representa el nuevo estado de tensiones resulta
ser:
Para graficar el elemento en la orientación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo debemos
considerar lo siguiente:
♦ Obsérvese en el círculo de Mohr que, para llevar el punto X al punto I , donde se produce el esfuerzo
normal mínimo, debe girarse un ángulo en (s.c.r) igual a α . Luego, pθα 2= .
♦ Nótese también que el punto X puede llevarse al punto J , donde se produce el esfuerzo normal máximo,
pero este proceso implicaría girar un ángulo º90> , ( α−º180 ), en (s.r). No es que esto no pueda hacerse,
sino que siempre es aconsejable tener en cuenta el ángulo que nos lleve a cualquiera de los esfuerzos
normales (sea máximo o mínimo) por el camino más corto.
♦ Algo muy similar sucede si consideramos el punto Y . Según este (y considerando el camino más corto), se
observa que al girar el mismo ángulo α (pero en s.r), se llega hasta el punto J , donde se produce el
esfuerzo normal máximo.
♦ Evidentemente, en los puntos I y J , el esfuerzo cortante es cero.
Ahora bien, siguiendo estas últimas indicaciones, resulta el gráfico que muestra la orientación donde se producen los
esfuerzos normales máximo y mínimo es el siguiente:
Para graficar el elemento en la orientación donde se produce el esfuerzo cortante máximo, debemos considerar lo
siguiente:
♦ Obsérvese en el círculo de Mohr que, para llevar el punto X al punto donde se produce el esfuerzo cortante
máximo )( máxτ debe girarse un ángulo en (s.r) igual a º945.60)º90( =−α . Luego, º945.602 =cθ .
♦ También, el punto X puede llevarse al punto donde se produce el esfuerzo cortante mínimo )( mínτ girando
un ángulo en (s.c.r) igual a )º90( α+ . Pero aquí también debe ser considerado el camino más corto.
♦ Tomando en cuenta cθ2 , resulta que máxτ se encuentra ubicado por encima del eje σ lo que quiere decir
que éste es positivo (tiende a hacer girar el elemento en s.r).
x
y
θ
'xσ
'yσ
''yxτ
x
y
pθ
mínσ
máxσ

________________________________________________________________________________
♦ Sucede algo similar sucede si se considera el punto Y .
♦ Nótese que cuando se produce el esfuerzo cortante máximo, el valor del esfuerzo normal es diferente de cero
y cuyo valor es, 'nC σ= . Este último esfuerzo puede ser de tensión o de compresión. En este problema,
resulta que este esfuerzo es de tensión para cualquiera de los dos puntos que se considere ( X o Y ).
Teniendo en cuenta estas últimas indicaciones, resulta el gráfico que muestra la orientación donde se produce el
esfuerzo cortante máximo es el siguiente:
b)
Punto X ),( xyx τσ− → X )5,8(− Punto Y ),( xyy τσ − → Y )5,10( − .
Estos puntos se miden desde el origen O del sistema coordenado τσ − .
Nuevamente, ubíquese el punto X de coordenadas ),( xyx τσ− y el punto Y de coordenadas ),( xyy τσ − . Uniendo
X e Y mediante una línea recta se define el punto C (centro) y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY .
Lleve el punto X al punto 'X girando un ángulo igual a θ2 en (s.r).
Como las coordenadas del punto 'X son ),( ''' yxx τσ− es evidente que 'xσ es un esfuerzo de compresión.
De igual manera, las coordenadas del punto 'Y son ),( ''' yxy τσ − y por lo tanto 'yσ es un esfuerzo de tensión.
Para estas últimas, véase la figura siguiente que representa el círculo de Mohr para este estado de tensiones.
El signo de ''yxτ , del punto 'X , muestra que este esfuerzo debe situarse por encima del origen O y además,
sugiere que éste tiende a hacer girar el elemento en (s.r).
Esto último debe tenerse presente para cuando se vaya a graficar el nuevo estado de tensiones, luego de que el
elemento ha girado el ángulo º15=θ en (s.r).
'nσ
x
y
'nσ
máxτ
cθ

________________________________________________________________________________
Los esfuerzos normales máximo y mínimo están dados por:
296.11=→=→+=+= máxmáxOGRCCGOCOG σσ
296.9=→=→−=−= mínmínOACROCCAOA σσ
Es claro que los esfuerzos normales máximo y mínimo son de tensión y compresión, respectivamente.
Nuevamente, los esfuerzos 'xσ , 'yσ , máxσ y mínσ se miden desde el origen O (punto de intersección) del sistema
coordenado τσ − .
El esfuerzo cortante máximo está dado por:
Este último esfuerzo se mide desde el centro del círculo de Mohr.
Para graficar el elemento en la orientación dada, debemos tener presente las coordenadas de los puntos 'X y 'Y .
Punto 'X ),( ''' yxx τσ−
Según éstas, el esfuerzo normal es de compresión y el esfuerzo cortante es positivo, es decir, éste último tiende a
hacer girar el elemento en (s.r).
Punto 'Y ),( ''' yxy τσ −
Según éstas, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante es negativo, es decir, éste último tiende a hacer
girar el elemento en (s.c.r).
G
τ
σC
O
X
'X
Y
'Y
A B D
E F
máxτ
α
β
θ2
1
2
108
2
=




 +−
=→




 +
= CC yx σσ
( )
( ) 296.105
2
108
2
2
2
2
2
=+




 −−
=
+




 −
=
R
R xy
yx
τ
σσ
COCBO
XB
x
xy
+
=
+
=
σ
τ
αtan
º055.29
18
5
tan =→
+
= αα
º055.592 =→+= βθαβ
830.8'830.8'
'
tan
294.6
294.4294.5cos
''''
''
''
=→=→=→=
=→+=+=→=
=→+=+=→=→=
yxyx
yy
xx
DXDX
DC
DX
DCCCEOCOEOE
COCDODCDC
R
DC
ττβ
σσ
σσβ

________________________________________________________________________________
Teniendo en cuenta estos últimos comentarios, el elemento que representa el nuevo estado de tensiones resulta ser:
El elemento que muestra la orientación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo y en la que se
produce el esfuerzo cortante máximo, ya fue considerado en la parte a) de este problema.
PROBLEMA 5
Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano que resulta de
superponer los dos estados de esfuerzo plano mostrados. (Unidades: Mpa).
SOLUCIÓN:
Puesto que los dos estados de esfuerzo se encuentran en sistemas coordenados distintos, a saber, el sistema '' yx y
el sistema xy , respectivamente, lo que se debe hacer es pasar uno de ellos, al sistema del otro.
Sistema '' yx
Luego de que el elemento ha girado un ángulo º30=θ en (s.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y son,
respectivamente, ),0( ''yxτ− y ),0( ''yxτ .
Esto es así ya que, para el primer punto 'X , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r) y para el
segundo punto 'Y , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.r).
Teniendo en cuenta esto último, el esfuerzo cortante del punto 'X debe situarse por debajo del origen y, el esfuerzo
cortante del punto 'Y debe situarse por encima de éste.
Sistema xy
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente, ),( ''yxx τσ − y ),( ''yxy τσ .
Esto es así ya que, para el primer punto X , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.c.r) y para el
segundo punto Y , el esfuerzo cortante tiende a hacer girar el elemento en (s.r).
Teniendo en cuenta esto último, el esfuerzo cortante del punto X debe situarse por debajo del origen y, el esfuerzo
cortante del punto Y debe situarse por encima de éste.
º30
50
+
100
50
75
x
y
θ
'xσ
'yσ
''yxτ

________________________________________________________________________________
Pasando el primer sistema al segundo, mediante un círculo de Mohr, se tiene:
El estudiante ya habrá notado que los puntos X , 'X , Y y 'Y tienen las coordenadas descritas anteriormente.
Luego, el elemento que representa el nuevo estado de esfuerzos según el sistema coordenado xy es:
Superponiendo (sumando algebraicamente) este último estado de tensiones al segundo estado dado en el problema,
obtenemos:
301.11875)( =+= xTx σσ ; 699.56100)( =+= yTy σσ ; 7550)( −=−= xyTxy ττ
yσ
xσ
xyτ
+
100
50
75
yσ
xσ
xyτ
α
B
'Y
Y
'X
σ
O
τ
X
A
θ2
25
301.43
301.43
301.43cos
50
º30º902
º602º30
''
−=→
−
==
−=→−=
=→=
=→=
==
=→=+
=→=
xy
xy
yyx
xx
yx
RR
BX
sen
OB
OB
R
OB
R
τ
τ
α
σσσ
σσ
α
τ
αθα
θθ

________________________________________________________________________________
Luego, el elemento que representa el estado definitivo de esfuerzos según el sistema coordenado xy es:
Las coordenadas de los puntos TX y TY son, respectivamente, [ ]TxyTx )(,)( τσ − y [ ]TxyTy )(,)( τσ
Representando este estado de tensiones en un círculo de Mohr, se tiene:
Los esfuerzos normales máximo y mínimo son, respectivamente:
422.6
578.168
=→−=−==
=→+=+==
mínmín
máxmáx
RCACOCOA
RCCEOCOE
σσ
σσ
El esfuerzo cortante máximo es:
El ángulo al que se produce el esfuerzo normal máximo es: º837.33=pθ en (s.c.r).
El ángulo al que se produce el esfuerzo cortante máximo es: º163.56=cθ en (s.r).
El esfuerzo normal, cuando se alcanza el esfuerzo cortante máximo es: 5.87' == Cnσ a tensión.
Tx )(σ
Ty )(σ
Txy )(τ
σ
τ
pθ2
TY
TX
E
B CO A
D
R
[ ]
[ ]
º163.56º9022
º837.33
)(
2
078.8175
2
699.56301.118
)(
2
)()(
5.87
2
699.56301.118
2
)()(
2
2
2
2
=→=+
=→==
=+


 −
=
+




 −
=
=




 +
=→




 +
=
cpc
p
TxyT
p
Txy
TyTx
TyTx
RR
DX
sen
R
R
CC
θθθ
θ
τ
θ
τ
σσ
σσ
máxτ

________________________________________________________________________________
Finalmente, los elementos que muestran tanto los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como el esfuerzo
cortante máximo, son:
De aquí en adelante ya no se desarrollarán los problemas tan completamente como se ha hecho en estos tres
primeros, pues pensamos que éstos se han resuelto de manera bastante clara y completa.
PROBLEMA 6
superponer los dos estados de esfuerzo plano mostrados.
SOLUCIÓN:
Llevaremos ambos estados de esfuerzo a un solo sistema coordenado de ejes xy .
Coordenadas del primer estado de esfuerzo
Es evidente que luego de girar el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y son,
respectivamente, ),0(),0( '' oyx ττ −=− y ),0(),0( '' oyx ττ = .
Coordenadas del segundo estado de esfuerzo
Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y son,
respectivamente, ),0(),0( '' oyx ττ = y ),0(),0( '' oyx ττ −=− .
A continuación se graficarán estos puntos en sus respectivos círculos de Mohr.
º30
oτ
+
º30
oτ
pθ x
y
máxσ
mínσ
cθ
máxτ
'nσ
x
y
'nσ

________________________________________________________________________________
Primer estado de esfuerzo
Graficando este estado de esfuerzo (representado por el subíndice 1) en el círculo de Mohr tenemos:
El elemento que representa este nuevo estado de tensiones es:
Segundo estado de esfuerzo
11yxτ
1xσ
1yσ
º602 =θ
2yσ
τ
σ
X
'X
Y
'Y
θ2
α
2xσ
oyx
o
yx
oy
o
y
ox
o
x
sen ττ
τ
τ
α
τσ
τ
σ
α
τσ
τ
σ
α
αθα
5.0
866.0cos
866.0cos
º30º902
22
22
2
2
2
2
=→=
=→=
−=→=
=→=+
º602 =θ
1yσ
θ2
τ
σ
X
'X
Y
'Y
α
1xσ
oy
o
y
oyx
o
yx
ox
o
x
sen
τσ
τ
σ
α
ττ
τ
τ
α
τσ
τ
σ
α
αθα
866.0cos
5.0
866.0cos
º30º902
1
1
11
11
1
1
=→=
−=→=
−=→=
=→=+

________________________________________________________________________________
Superponiendo estos nuevos estados de tensiones obtenemos:
0
732.1
732.1
2211
21
21
=→+=
=→+=
−=→+=
xyyxyxxy
oyyyy
oxxxx
ττττ
τσσσσ
τσσσσ
El elemento que muestra el estado de tensiones resultante es:
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente, )0,( xσ− y )0,( yσ .
Éstos se ubican en los puntos B y A , respectivamente, del círculo de Mohr siguiente.
2xσ
2yσ
22 yxτ
11yxτ
1xσ
1yσ
2xσ
2yσ
22 yxτ
+
yσ
xσ

________________________________________________________________________________
Representando este elemento en el círculo de Mohr:
Los elementos que muestran los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como el esfuerzo cortante máximo, son,
respectivamente:
PROBLEMA 7
superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados.
SOLUCIÓN:
Llevaremos ambos estados de esfuerzo a un solo sistema coordenado de ejes xy .
Es evidente que luego de girar el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y son,
respectivamente, )0,()0,( ' ox σσ −=− y )0,()0,( ' oy σσ = .
Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y son,
respectivamente, )0,()0,( ' ox σσ = y )0,()0,( ' oy σσ −=− .
º30
oσ
oσ
+ º30
oσoσ
τ
σ
AB
).(º45º0
732.1
732.1
732.1
rscp
omáxymáx
omínxmínB
omáxymáxA
=→=
=→=
−=→==
=→==
θθ
ττστ
τσσσσ
τσσσσ
máxσ
mínσ
máxτ
cθ
x
y

________________________________________________________________________________
A continuación se graficarán estos puntos en sus respectivos círculos de Mohr.
Primer estado de esfuerzo
Segundo estado de esfuerzo
Y
'X
X
σ
τ
θ2'Y 2xσ
2yσ
oyx
x
yx
oy
o
y
ox
o
x
στ
σ
τ
θ
σσ
σ
σ
θ
σσ
σ
σ
θ
θ
866.02tan
5.02cos
5.02cos
º602
22
2
22
2
2
2
2
=→=
−=→=
=→=
=
11yxτ
1yσ
X
τ
σ
'X
Y
'Y
1xσ
θ2
oyx
x
yx
oy
o
y
ox
o
x
στ
σ
τ
θ
σσ
σ
σ
θ
σσ
σ
σ
θ
θ
866.02tan
5.02cos
5.02cos
º602
11
1
11
1
1
1
1
=→=
=→=
−=→=
=
11yxτ
1xσ
1yσ

________________________________________________________________________________
Superponiendo estos nuevos estados de tensiones obtenemos:
oxyyxyxxy
yyyy
xxxx
σττττ
σσσσ
σσσσ
732.1
0
0
2211
21
21
=→+=
=→+=
=→+=
El elemento que muestra el estado de tensiones resultante es:
Las coordenadas de los puntos X y Y para este elemento de esfuerzo son, respectivamente, ),0( xyτ y ),0( xyτ− .
Representando este elemento en el círculo de Mohr:
2xσ
2yσ
22 yxτ
11yxτ
1xσ
1yσ
2xσ
2yσ
22 yxτ
+
xyτ
Y
X
mínσ
τ
σ
máxσ
º0).(º45
732.1
732.1
732.1
=→=
=→=
−=→−=
=→=
cp
omáxxymáx
omínxymín
omáxxymáx
rs θθ
στττ
σστσ
σστσ

________________________________________________________________________________
respectivamente:
PROBLEMA 8
Para el elemento mostrado, halle el rango de valores de xyτ , para el cual el esfuerzo cortante máximo en el plano es
igual o menor que 20 kpsi. (Unidades: kpsi).
SOLUCIÓN:
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente: ),8( xyτ− y ),16( xyτ−
Llevando este estado de esfuerzo a un círculo de Mohr, tenemos:
Finalmente, el intervalo para el esfuerzo cortante es: 1616 ≤≤− xyτ
16
8
xyτ
máxτ
X
B C
O
σ
τ
A
Y
16
20
12
4
2
168
2
22222
=→+=+=
=
=→=
+=→+=
−=
−
=→
+
=
xyxymáx
máx
y
yx
BCBYBC
BCBO
CBCBOCOBCBO
CC
τττ
τ
σ
σσ
pθ
y
x
máxσ
mínσ
máxτ

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 9
Para el estado de esfuerzo plano mostrado, halle el rango de valores de θ , para el cual el esfuerzo normal 'xσ es
igual o menor que 65 MPa. (Unidades: Mpa).
SOLUCIÓN:
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente, )30,60( − y )30,20(− .
Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y deberán ser,
respectivamente, ),( ''' yxx τσ − y ),( ''' yxy τσ .
Representemos ambos estados de tensiones (aunque éstos son equivalentes) en el mismo círculo de Mohr:
Finalmente, el rango de valores del ángulo es: º514.5º486.84 ≤≤ θ
20
30
60
=
θ
'xσ'yσ ''yxτ
º514.52
º87.36
º842.25cos
45
50
50)30(
2
2060
)(
2
20
2
2060
2
'
'
'
2
2
2
2
=→+=
=→==
=→=
=→+=
=→+=+=
=
=+




 +
=
+




 −
=
=
−
=→
+
=
θαθγ
γ
τ
γ
αα
σ
σ
σ
τ
σσ
σσ
RR
BX
sen
R
CA
CACAC
OACACCAOCOA
R
R
CC
xy
x
x
x
xy
yx
yx
AB
'X
Y
X
C
θ2
αγ
σ
τ
O
'Y
R

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 10
Para un estado de esfuerzo plano, se sabe que los esfuerzos normal y cortante están dirigidos como se muestra y que
xσ = 30 Mpa, yσ = 80 Mpa, y máxσ = 120 Mpa. Halle: a) la orientación de los planos principales, b) el esfuerzo
principal mínσ , y c) el esfuerzo cortante máximo en el plano.
SOLUCIÓN:
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente, ),30( xyτ− y ),80( xyτ .
Llevando estos puntos a su respectivo círculo de Mohr, tenemos:
Es claro que este esfuerzo normal mínimo, es un esfuerzo normal de compresión.
De la parte )a :
60
)
22
=→−= xyxy CER
c
ττ
Puesto que este esfuerzo se ha calculado con respecto al punto Y , éste se encuentra por encima del eje σ ,
lo que, nuevamente, significa que tiende a hacer girar el elemento en (s.r).
xσ
yσ
xyτ
10
)
=→−=−== mínmín CROCCBOB
b
σσ
máxτ
pθ2
σ
τ
X
Y
CO
B
A
D
E
º69.332tan
60
)(
25
)
65120
55
2
8030
2
22222
=→==
=
+=+=
=
+=→+==
=→=
+=→+==
=
+
=→
+
=
p
xy
p
xy
xy
yy
máx
máxmáx
yx
CECE
YE
CEYECER
CE
CECCEOCOE
a
R
RCCAOCOA
CC
θ
τ
θ
τ
τ
σσ
σ
σσ
σσ

________________________________________________________________________________
Algo importante que debe mencionarse con respecto a la parte )a es lo siguiente:
- El ángulo pθ encontrado se mide en (s.r, ángulo negativo) desde Y hasta A . Alternativamente, en la figura se
observa que el ángulo que lleva X a A en (s.c.r) es, º62.112)2º180( =− pθ , o sea que también,
º31.56=pθ .
Comprobación:
4.2)º31.562tan(4.2)]º69.33(2tan[ −=−=− xyx
- El ángulo cθ que lleva Y a máxτ es, º62.22)2º90( =− cθ , es decir, º31.11=cθ en (s.c.r).
Pero también, el ángulo cθ que lleva Y a máxτ es, º38.157)2º90( =+ pθ , es decir, º69.78=cθ en (s.r).
Comprobación:
417.0)]º69.78(2tan[417.0)]º31.11(2tan[ =−= xyx
Considerando estas últimas observaciones, los elementos que muestran los esfuerzos normales máximo y mínimo, así
como el esfuerzo cortante máximo, son, respectivamente:
PROBLEMA 11
Se sabe que para cada una de las dos orientaciones dadas de los ejes, para un estado de esfuerzo plano, los esfuerzos
normal y cortante están dirigidos como se muestra y las magnitudes de los esfuerzos normales xσ , yσ y 'xσ son
respectivamente, 10 kpsi, 2 kpsi y 12 kpsi. Halle: a) los planos y esfuerzos principales, y b) el máximo esfuerzo
cortante en el plano.
SOLUCIÓN:
Las coordenadas de los puntos X y Y son, respectivamente, ),10( xyτ− y ),2( xyτ .
Cuando el elemento ha girado el ángulo indicado en (s.c.r), las coordenadas de los puntos 'X y 'Y deberán ser,
respectivamente, ),12(),( ''''' yxyxx ττσ = y ),( ''' yxy τσ .
xσ
yσ
xyτ
=
º30
'xσ
'yσ
''yxτ
máxσ
pθ
x
y
mínσ
'nσ
cθ
y
x
'nσ
máxτ

________________________________________________________________________________
Representemos ambos estados de tensiones (aunque éstos son equivalentes) en el círculo de Mohr:
respectivamente:
)..(º554.692/)º90().(º447.20º902
11.011.1211.6
cos
).(º446.65)º554.24º90()..(º554.242
)
rcsórs
RCyRC
CA
R
rsórcs
a
ccc
mínmáx
ppp
=+==→=+
−=−==+=⇒==
=−==→=
βθθβθ
σσ
α
θθθβ
R
'Y
Y
X
ABC
σ
τ
θ2β
αO
'X
º893.10,º107.49:Re
º.60cosº.60cos)º60cos(
.cos.cos)cos(
cos5.1)º60cos(º60
cos5.1cos
coscos
4
6
21210
6
2
210
2
'
'
==
+=−
+=−
=−→+=
=→==
=
=→+=+=
=
=→+=+=
===
=
+
=→
+
=
αβ
βββ
βββα
βα
βα
σ
σ
σσσ
σσ
solviendo
sensen
senysenxyxyx
CBCA
R
CB
OBCBCCBOCOB
CA
OACACCAOCOA
CC
x
x
yxx
yx
11.6
)
=→= máxmáx R
b
ττ
cθ
y
x
máxτ
mínσ
x
y
pθ
máxσ

________________________________________________________________________________
TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS
PROBLEMA 12
Si 1σ = 12 kpsi y 2σ = 2 kpsi, ¿cuáles son los valores de xσ , yσ y xyτ si el ángulo del eje x a la dirección de 1σ
es 30º en (s.r)? ¿30º en (s.c.r)?
PROBLEMA 13
Supóngase que el esfuerzo principal mayor es 14 MPa y 2σ vale 6 MPa. ¿Cuáles son los valores de xσ , yσ y xyτ si
el ángulo del eje x a la dirección del esfuerzo principal mayor es 100º en (s.r)? ¿80º en (s.c.r)?
PROBLEMA 14
Para el estado de esfuerzos dados, halle los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre una cara inclinada 25º en
(s.c.r). (Unidades: kpsi).
Fig.P.14 Fig.P.15 Fig.P.16
PROBLEMA 15
Para el estado de esfuerzo dado, calcule: a) los planos principales y, b) los esfuerzos principales. (Unidades: Mpa).
PROBLEMA 16
Para el estado de esfuerzo dado, halle los esfuerzos normales y cortantes después de girar el elemento mostrado:
a) 40º en (s.c.r) y, b) 15º en el (s.r). (Unidades: kpsi).
EL CÍRCULO DE MOHR
PROBLEMA 17
superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados. (Unidades: kpsi).
3
5
2
+
º45
6
4
º25
10
6
60
25
40
30
16
5

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 18
superponer los dos estado de esfuerzo plano mostrados.
PROBLEMA 19
Para el elemento mostrado, halle el rango de valores de xyτ , para el cual el esfuerzo cortante máximo en el plano es
igual o menor que 11 kpsi. (Unidades: kpsi).
Fig.P.19 Fig.P.20
PROBLEMA 20
Se sabe que los esfuerzos normal y cortante para un estado plano de esfuerzo, están dirigidos como se ilustra y que
xσ = 12 kpsi, yσ = 6 kpsi, y mínσ = 4 kpsi. Halle: a) la orientación de los planos principales, b) el esfuerzo principal
máxσ , y c) el esfuerzo cortante máximo en el plano.
PROBLEMA 21
Para el estado de esfuerzo plano mostrado, halle el rango de valores de θ , para el cual el esfuerzo cortante ''yxτ es
igual o menor que 45 MPa. (Unidades: Mpa).
20
30
60
=
θ
'xσ'yσ ''yxτ
º30
oσoσ
+ º30
oσoσ
16
8
xyτ
xσ
yσ
xyτ

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 22
Para un estado de esfuerzo plano, se sabe que para cada una de las dos orientaciones dadas de los ejes, los esfuerzos
normal y cortante están dirigidos como se muestra y las magnitudes de los esfuerzos normales xσ , yσ y 'xσ son,
respectivamente, 80 MPa, 30 MPa y 75 MPa. Halle: a) los planos y esfuerzos principales, y b) el máximo esfuerzo
cortante en el plano.
xσ
yσ
xyτ
=
º30
'xσ
'yσ
''yxτ

________________________________________________________________________________
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA86
CAPÍTULO 5
DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA
5.1 INTRODUCCIÓN
Una carga estática es una acción estacionaria de una fuerza o un momento causado por una fuerza sobre un cierto
objeto. Para que una fuerza o un momento sean estacionarios o estáticos deben poseer magnitud, dirección y punto (o
puntos) de aplicación que sean invariables.
Una carga estática puede ser de tensión o compresión axial, fuerza cortante, momento de flexión o de torsión, o
cualquier combinación de estas acciones. No obstante, la carga no debe experimentar alternación alguna para que sea
considerada como estática.
A veces se supone estática a una carga aunque se sabe que es de esperar que sufra alguna variación. Esta
consideración, por lo general, se hace para obtener una idea aproximada de las dimensiones del elemento o
componente, y para simplificar los cálculos de diseño cuando las variaciones en las cargas son pocas o de pequeña
magnitud.
Un elemento de máquina puede fallar en sitios de concentración de esfuerzos locales provocados por discontinuidades
geométricas o microestructurales.
La presencia de grietas dentro de una microestructura también es una característica importante en la comprensión de
la falla de elementos de máquinas. La mecánica de fractura es una técnica del análisis de fracturas que sirve para
determinar el nivel de esfuerzos en el cual se propagarán las grietas preexistentes de tamaño conocido, conduciendo a
la fractura. Los materiales, el nivel de esfuerzos, los defectos productores de grietas y los mecanismos de propagación
de gritas se consideran cuando se estudian la tenacidad a la fractura y la longitud crítica de la grietas.
Durante todo el capítulo, se asume que las cargas son estáticas, de esta forma se implica que la carga se aplica
gradualmente y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto. De esta manera, no es una función del
tiempo.
5.2 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
Los esfuerzos en o cerca de una discontinuidad, como en el agujero de una placa, son más altos que si la
discontinuidad no existiera. Se puede deducir lo mismo para cualquier otra discontinuidad, como un filete, una
muesca, una inclusión o un área de aplicación de carga.
Un concentrador de esfuerzos es una discontinuidad en una parte que altera la distribución del esfuerzo cerca de la
discontinuidad, de manera que la ecuación elemental del esfuerzo, ya no describe el estado de esfuerzo en esa parte.
La concentración de esfuerzo es la región en la cual están presentes los concentradores de esfuerzos. El factor de
concentración de esfuerzos ke es el factor que se usa para relacionar el esfuerzo máximo real en la discontinuidad
con el esfuerzo promedio sin la discontinuidad:
promedioEsfuerzo
actualmáximoEsfuerzo
ke
−
−−
=
Para el factor de concentración de esfuerzos se supone que la distribución del esfuerzo se puede representar por
medio de un esfuerzo promedio y que el cambio a la ecuación esfuerzo-deformación unitaria se obtiene usando el
factor de concentración de esfuerzos. Se suponen condiciones de carga estática. El esfuerzo máximo ocurre en el área
más pequeña de sección transversal. El valor de ek es difícil de calcular y usualmente se determina por medio de
alguna técnica experimental, como la del análisis fotoelástico de un modelo plástico de una parte o por una simulación
numérica del campo de esfuerzo.
5.3 GRÁFICAS*
El factor de concentración de esfuerzos es una función del tipo de discontinuidad (agujero, filete o acanaladura), de la
geometría de la discontinuidad y del tipo de carga que se experimenta.
________________
* Véase ANEXOS.

________________________________________________________________________________
Por medio de estas gráficas es posible hacer varias observaciones acerca del factor de concentración de esfuerzos:
1. El factor de concentración de esfuerzos es independiente de las propiedades del material.
2. Está significativamente afectado por la geometría.
3. También se afecta por el tipo de discontinuidad; el factor de concentración de esfuerzos es considerablemente
menor para un filete que para un agujero.
Estas observaciones relacionan la reducción de los esfuerzos en una parte.
Si el material es frágil, el límite de proporcionalidad es el esfuerzo de ruptura, así que la falla para este material
comenzará en el punto de la concentración de esfuerzo cuando se alcanza el límite de proporcionalidad. De esta
manera es importante aplicar los factores de concentración de esfuerzos cuando se utilicen materiales frágiles.
Por otro lado, si el material es dúctil y está expuesto a una carga estática, con frecuencia los diseñadores ignoran los
factores de concentración de esfuerzos, puesto que un esfuerzo que excede el límite proporcional no dará como
resultado un agrieta. En vez de esto, el material dúctil tendrá una resistencia de reserva debida a la fluencia y al
endurecimiento por deformación unitaria.
En aplicaciones donde son esenciales diseños rígidos y tolerancias reducidas, la concentración de esfuerzos se
considerará sin importar la ductilidad del material.
*5.4 ANALOGÍA DEL FLUJO
Una buena práctica de diseño hace que el Ingeniero Mecánico reduzca las concentraciones de esfuerzos tanto como
sea posible. Las formas recomendadas parar reducir la concentración de esfuerzos requieren un mejor entendimiento
de lo que ocurre en la discontinuidad que incrementa el esfuerzo. Una forma de alcanzar este entendimiento es
observando la similitud entre la velocidad del flujo de un fluido en un canal y la distribución de esfuerzo de una placa
cargada axialmente, cuando las dimensiones del canal son comparables al tamaño de la placa.
La analogía es exacta, puesto que las ecuaciones del potencial de flujo en la mecánica de fluidos y el potencial de
esfuerzo en la mecánica de sólidos son de la misma forma.
Si el canal tiene dimensiones constantes de principio a fin, las velocidades son uniformes y las líneas de flujo están
igualmente espaciadas.
Para una barra de dimensiones constantes bajo carga axial los esfuerzos son uniformes y están espaciados
igualmente. En cualquier puno dentro del canal el flujo debe ser constante, donde el volumen del flujo es:
∫= dAuq *
De la mecánica de sólidos, la fuerza debe ser constante en cualquier localización de la placa:
∫= dAF *σ
Si la sección del canal cambia abruptamente, la velocidad del flujo se incrementa cerca de donde cambió la forma y,
para mantener un flujo igual, las líneas de flujo se deben hacer más angostas y agruparse.
En un miembro esforzado de la misma sección transversal el incremento del esfuerzo es análogo al incremento de la
velocidad, o inversamente al cambio en el espacio entre las líneas de flujo.
*5.5 MECÁNICA DE FRACTURA
Los estudios estructurales que consideran la extensión de grietas como una función de una carga aplicada se realizan
en la mecánica de grietas. Una grieta es un defecto microscópico que siempre existe bajos condiciones normales
sobre la superficie y dentro del cuerpo de un material. Estas grietas (o dislocaciones) sobre o dentro de la superficie
son como una puntada perdida en un tejido. Bajo la aplicación de un esfuerzo la grieta se mueve fácilmente a través
del material, causando un pequeño deslizamiento en el plano en el cual se mueve. Los materiales pueden fallar más
fácil en estas localizaciones. Ningún material o procesos de manufactura producen estructuras cristalinas libres de
defectos, así que estas imperfecciones microscópicas siempre están presentes.
Se requiere de un menor esfuerzo para propagar una grieta que para iniciarla. Propagar unan grieta es como rasgar
una tela. Una vez que se inicia el rompimiento, se propagará muy fácilmente a través de la tela. Sin embargo, el
rompimiento se detiene en una costura o en otra interrupción del tejido de la tela. Así que también la propagación de
grietas se puede prevenir introduciendo discontinuidades, para que éstas actúen como una costura.
Las fallas por fractura ocurren en niveles de esfuerzos muy por debajo del esfuerzo de fluencia de un material sólido.

________________________________________________________________________________
En la mecánica de fracturas se tiene interés en la longitud crítica de la grieta, la cual hará que falle la parte. El control
de fracturas consiste en mantener la combinación del esfuerzo nominal y el tamaño existente de la grieta debajo de
un nivel crítico para el material que se use en un elemento de máquina.
*5.6 MODOS DEL DESPLAZAMIENTO DE GRIETAS
Existen tres modos de propagación de grietas fundamentales, y cada uno llevará a cabo un desplazamiento
diferente de la superficie de las grietas:
(a) (b) (c)
Fig. 5-1 Tres modelos del desplazamiento de una grieta.
1. Modo I: abertura (a). El modo de abertura (o de tensión) es el modo de propagación de grietas que se
encuentra con más frecuencia. Las caras de la grieta están separadas simétricamente con respecto al plano de la
grieta.
2. Modo II: deslizamiento (b). El modo de deslizamiento (o cortante en el plano) ocurre cuando las caras de la
grieta se deslizan una en relación con otra, simétricamente con respecto a la normal del plano de la grieta, pero
asimétricamente con respecto al plano de la grieta.
3. Modo III: desgarramiento (c). El modo de desgarramiento (o antiplano) se presenta cuando las caras de la
grieta se deslizan asimétricamente con respecto tanto al plano de la grieta como a su normal.
Los modos de propagación de grietas se conocen por su designación con números romanos como se consignó
anteriormente (por ejemplo, modo I). Aunque el modo I es el más fácil de visualizar como un mecanismo de
propagación de grietas, aplicando en análisis de concentradores de esfuerzos a geometrías regulares, sugiere que la
propagación de grietas ocurrirá cuando los esfuerzos sean más altos en el extremo de la grieta que en cualquier otra
parte del sólido.
*5.7 TENACIDAD A LA FRACTURA
Aquí, las consideraciones de la tenacidad a la fractura están restringidas al modo I de desplazamiento de grietas. Pero
primero se necesita determinar qué es lo que se entiende por factor de intensidad de esfuerzo. El factor de
intensidad de desfuerzo tk especifica la intensidad de esfuerzo en el extremo de la grieta.
La tenacidad a la fractura, por otro lado, es el valor crítico de la intensidad de esfuerzo para e3l cual ocurre la
extensión de la grieta. La tenacidad a la fractura se usa como un criterio de diseño en la prevención de fracturas para
materiales frágiles, al igual que la resistencia a la fluencia sirve como criterio de diseño en prevención de la fluencia
para materiales dúctiles bajo carga estática.
Como los esfuerzos cerca de un extremo de una grieta se pueden definir en términos del factor de intensidad de
esfuerzos, existe un valor crítico de la intensidad a la fractura cik que se puede usar para determinar la condición de
una fractura frágil. En general, la ecuación para la tenacidad a la fractura es
πσ aYK nomci =
donde:
Y = factor de corrección adimensional que toma en cuenta la geometría de la parte que contiene la grieta
a = mitad de la longitud de la grieta
nomσ = esfuerzo nominal a la fractura
Algunas de las suposiciones impuestas en la derivación de esta ecuación son que la carga se aplica lejos de la grieta y
que la longitud de la grieta a2 es pequeña con relación al ancho de la placa.

________________________________________________________________________________
Se necesita aclarar las diferencias entre el factor de intensidad de esfuerzos tk y la tenacidad a la fractura cik .
El primero representa el nivel de esfuerzo en el extremo de la grieta o en un aparte que contiene una grieta, mientas
que el segundo, es la intensidad de esfuerzo más alta que puede soportar la parte sin fracturarse. De esta forma, la
intensidad de esfuerzo tiene muchos valores, mientras que la tenacidad a la fractura es un valor en particular.
5.8 TEORÍAS DE FALLA*
Al diseñar elementos mecánicos que resistan las fallas se debe estar seguro de que los esfuerzos internos no rebasen
la resistencia del material. Si el que se empleará es dúctil, entonces lo que más interesa es la resistencia de fluencia,
ya que una deformación permanente sería considerad como falla; sin embargo, existen excepciones a esta regla.
Muchos de los materiales más frágiles o quebradizos, como los hierros colados, no poseen un punto de fluencia, así
que debe utilizarse la resistencia última como criterio de falla. Al diseñar que han de hacerse de un material frágil,
también es necesario recordar que la resistencia última a la compresión es mucho mayor que a la tensión.
Las resistencias de los materiales dúctiles son casi las mismas a tensión que a compresión. Por lo general, se
considera que esto ocurrirá en el diseño a menos que se posea la información contraria.
5.8.1 TEORÍA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO
Esta teoría sólo se presenta por su interés histórico. Sus predicciones no concuerdan con la experimentación, y de
hecho a veces dan origen a resultados que quedan del lado de la inseguridad.
Esta teoría establece que: “la falla suele ocurrir siempre que el esfuerzo principal mayor sea igual a la
resistencia “.
Supóngase que se ordenan los tres esfuerzos principales para cualquier estado de esfuerzo en la forma
321 σσσ >>
Luego, si la fluencia fuera el criterio de falla, esta teoría anticipa que el desperfecto sucede siempre que
ytS=1σ o bien ycS−=3σ
donde ytS y ycS son las resistencias de fluencia a la tensión y a la compresión, respectivamente (obsérvese que los
subíndices t y c suelen suprimirse cuando estas dos resistencias son iguales).
Si se usa la resistencia última, como en el caso de los materiales frágiles, la falla ocurrirá siempre que
utS=1σ o bien ucS−=3σ
donde utS y ucS son, respectivamente, las resistencias últimas a la tensión y a la compresión.
En el caso de torsión pura 31 στσ −== y 02 =σ . Por consiguiente, esta teoría predice que un elemento fallaría a
la torsión cuando yS=τ . No obstante, los experimentos demuestran que elementos sometidos a carga de torsión se
deformarán permanentemente cuando el máximo esfuerzo torsional sea aproximadamente igual a 60% de la
resistencia de fluencia. Ésta es una de las razones por las que no se recomienda usar esta teoría.
5.8.2 TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO
Ésta es una teoría fácil de emplear y siempre de predicciones seguras con respecto de los resultados de ensayos por lo
que se le ha utilizado en muchos reglamentos de diseño. Se emplea únicamente para predecir la fluencia y, por lo
tanto, se aplica sólo a los materiales dúctiles.
Esta teoría afirma que: “se inicia la fluencia siempre que, en un elemento mecánico, el esfuerzo cortante
máximo se vuelve igual al esfuerzo cortante máximo en una probeta a tensión, cuando ese espécimen
empieza a ceder”.
__________
* Véase: TEORÍAS DE LA FALLA DE UN MATERIAL en el libro “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y L. D. Mitchell si desea algo más
de información relacionada al tema.

________________________________________________________________________________
(a) (b)
Fig. 5-2 (a) Círculo de Mohr para tensión simple. (b) Círculo de Mohr para torsión pura.
En la figura a) se muestra el círculo de Mohr para la prueba de tensión simple. El esfuerzo cortante máximo es
Smáx 5.05.0 1 == στ
El círculo de Mohr para la torsión pura se muestra en la figura b). El esfuerzo cortante máximo es
)(5.0 31 σστ −=máx
ya que se ha considerado que los esfuerzos principales se tienen en el orden 321 σσσ >> . En consecuencia, esta
teoría predice la que la falla se producirá siempre que
ymáx S5.0=τ o bien )( 31 σσ −=yS
Nótese que esta teoría establece también que la resistencia de fluencia al cortante está dada por la ecuación
yS SS y
50.0=
5.8.3 TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN
Esta teoría de falla también se llama teoría de la energía de cortante o teoría de Von Mises-Hencky. Aplicarla es sólo
un poco más difícil que aplicar la del esfuerzo cortante máximo, y es la más conveniente para el caso de materiales
dúctiles. Como la del esfuerzo cortante máximo, ésta se emplea sólo para definir el principio de fluencia.
(a) (b) (c)
Fig. 5-3 (a) Elemento en estado de esfuerzo triaxial. En éste se produce cambio de volumen y distorsión.
(b) Elemento en estado de tensión hidrostática, en el que sólo hay cambio de volumen.
(c) Elemento en que sólo se produce deformación angular sin cambio de volumen.
Esta teoría se originó a partir de la observación de que materiales dúctiles, sometidos a esfuerzo hidrostático (de igual
tensión o compresión), tenían resistencias de fluencia muy superiores a los valores obtenidos por el ensayo a tensión
simple. Así, se postuló que la fluencia no era, de ninguna manera, un fenómeno de tensión o de compresión simples,
sino más bien que estaba relacionada de algún modo con la distorsión (o deformación angular) del elemento
esforzado.
τ
S
τ
1σ1σ 2σ2σ 3σ3σ
S
3σ
1σ
321 σσσ >> 2σ
3σ 1σ
medσ
medσ medσ
medσσ −1
medσσ −2
medσσ −3
= +

________________________________________________________________________________
Ahora bien, una de las primeras teorías de falla afirmaba que la fluencia se inicia cuando la energía total d
deformación, almacenada en el elemento esforzado, llega a ser igual a la energía elástica que hay en un elemento
contenido en la probeta de tensión en el punto de cadencia. Esta teoría, denominada teoría de la energía máxima de
deformación, ha dejado de utilizarse pero fue precursora de la teoría de la energía de distorsión.
Luego de un análisis y estudio minucioso, se obtiene la relación siguiente que expresa el criterio de falla:
2
31
2
32
2
21
2
)()()(2 σσσσσσ −+−+−=yS
lo cual define la iniciación de la fluencia para un estado de esfuerzo triaxial. Si cualquiera de los tres esfuerzos
normales principales son cero, el estado de esfuerzo es biaxial.
Sea entonces Aσ el mayor de los dos esfuerzos distintos de cero, y Bσ , el menor. Luego la ecuación anterior se
reduce a
222
BBAAyS σσσσ +−=
Para casos de torsión pura AB σσ −= y Aστ = ; en consecuencia:
ySy SS 577.0=
Se observa que el criterio de energía de distorsión predice una resistencia de fluencia al cortante sensiblemente mayor
que la predicha por la teoría del esfuerzo cortante máximo.
Para estudios de análisis y diseño conviene generalmente utilizar los Esfuerzos Equivalentes de Tresca y de Von
Mises.
Es posible pasar por alto el análisis del círculo de Mohr en el caso especial de flexión y torsión combinadas, cuando se
determinan estos esfuerzos equivalentes, cuyos valores se determinan por las ecuaciones siguientes:
Esfuerzo equivalente de Tresca
22
)(4 xyxTeq τσσ +=−
Esfuerzo equivalente de Von Mises
22
)(3 xyxVMeq τσσ +=−
donde, para los dos tipos de esfuerzos equivalentes:
axialflexiónx σσσ += y cortetorsiónxy τττ +=
5.9 CRITERIO DE DISEÑO
Una vez que se ha determinado cualquiera de los dos esfuerzos equivalentes antes mencionados, para diseñar un
elemento se utilizará la ecuación:
n
Sy
eq =σ
donde:
eqσ = esfuerzo equivalente según Tresca o esfuerzo equivalente según Von Mises
yS = resistencia a la fluencia
n = coeficiente de seguridad

________________________________________________________________________________
5.10 FALLA DE MATERIALES DÚCTILES
Por lo general, un diseñador de elementos mecánicos empleará la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo si las
dimensiones no tienen que ser muy precisas, si es necesaria una rápida estimación del tamaño, o si se sabe que los
factores de seguridad han de ser amplios.
La Teoría de la Energía de Distorsión predice con mayor precisión la falla y, por lo tato, se utilizaría cuando el margen
de seguridad hubiera de estar dentro de límites cercanos o cuando se investigue el origen de la falla real de un
elemento mecánico.
Para determinar el factor de seguridad, sígase los pasos siguientes:
1. Calcúlese 1σ , 2σ y 3σ utilizando unidades compatibles.
2. ¿Es 31 σσ ≥ ?:
SÍ → T.E.N.M: 1/σySn =
NO → T.E.N.M: 3/σySn −=
T.E.C.M: )/( 31 σσ −= ySn
3. Si los esfuerzos son combinados (de hecho, así sucede siempre), evalúe eqσ para obtener: eqySn σ/=
5.11 FALLA DE MATERIALES FRÁGILES
Al seleccionar una teoría de falla para el caso de materiales frágiles*, se observan primero las siguientes
características de la mayor parte de estos materiales:
1. La gráfica del esfuerzo en función de la deformación es una línea continua y uniforme hasta el punto de falla; ésta
ocurre por ruptura y, por tanto, esos materiales no tienen resistencia de fluencia.
2. La resistencia a la compresión muchas veces suele ser mayor que la resistencia a la tensión.
3. La resistencia última de torsión, es decir, el módulo de ruptura, es aproximadamente igual a la resistencia a la
tensión.
Es de importancia mencionar que para el caso de los materiales frágiles se emplean tres teorías de falla, a saber, la
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la Teoría de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la Teoría de Mohr modificada
(T.M.m)
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo
Esta teoría ya ha sido analizada en la sección 5.8.1.
Teoría de Coulomb-Mohr 131
=−
ucut SS
σσ
A veces llamada teoría de la fricción interna, se basa en los resultados de dos ensayos: el de tensión y el de
compresión. Esta teoría establece que la fractura se produce en un estado de esfuerzo tal que origina un círculo
tangente a la envolvente de los dos círculos de prueba.
Reordenando la ecuación anterior, es posible deducir que:
1
3
1
3
−
=
ut
uc
uc
S
S
S
S
σ
σ
__________
* Véase: FALLAS DE MATERIALES FRÁGILES en el libro “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y L. D. Mitchell para más información.

________________________________________________________________________________
Teoría de Mohr modificada
1
)(
3
1
3
−
−
=
ut
utuc
uc
S
SS
S
S
σ
σ
En las ecuaciones anteriores, utS y ucS son, respectivamente, la resistencia última a tensión y a compresión.
Para determinar el factor de seguridad, sígase los pasos siguientes:
1. Obtenga los valores de utS , ucS , 1σ , 2σ y 3σ , y asegúrese que 1σ > 2σ > 3σ .
2. 03 >σ :
SÍ → 1/σutSn = (para las tres teorías)
NO → 01 =σ :
SÍ: 3/σucSn −= (para las tres teorías)
NO: 01 ≥σ :
SÍ: calcule 3S → 33 /σSn = (T.C.M)
NO: 3/σucSn −= (para las tres teorías)
3. 0
11
3
≥





−
−
σ
σ
:
SÍ → 33 /σSn = (T.M.m)
NO → 1/σutSn = (T.E.N.M) y (T.M.m)

________________________________________________________________________________
PROBLEMAS RESUELTOS
TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES DÚCTILES
PROBLEMA 1
Un acero dúctil tiene una resistencia de fluencia de 40 kpsi. Determínese los factores de seguridad correspondientes a
la falla mediante las teorías del esfuerzo normal máximo, del esfuerzo cortante máximo y de la energía de distorsión,
respectivamente, para cada uno de los siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):
a) 10=xσ , 4−=yσ y 0=xyτ
b) 10=xσ , 0=yσ y 4=xyτ (s.r)
c) 2−=xσ , 8−=yσ y 4=xyτ (s.c.r)
d) 10=xσ , 5=yσ y 1=xyτ (s.r)
DATO: kpsiSy 40=
SOLUCIÓN:
a) Hallemos primero los esfuerzos normales máximo y mínimo, así como del esfuerzo cortante máximo.
Recordando las ecuaciones que definen el centro y radio de un círculo de Mohr dadas en el capítulo 4, obtenemos:
3=C , 7=R , luego, 10=máxσ y 4−=mínσ
T.E.N.M: 4
10
40
=⇒=→= nn
S
n
máx
y
σ
Sabemos que para la teoría del esfuerzo cortante, Rmáx =τ , luego,
T.E.C.M: 857.2
7
405.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
Haciendo, Amáx σσ = y Bmín σσ = , tenemos que el esfuerzo de Von Misses* es:
49.12')4()]4(10[)10(' 2222
=→−+−−=+−= σσσσσσ xBBAA
T.E.D: 203.3
49.12
40
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
b) De manera similar al literal anterior:
5=C , 403.6=R , luego, 403.11=máxσ y 403.1−=mínσ
T.E.N.M: 508.3
403.11
40
=⇒=→= nn
S
n
máx
y
σ
__________
* No confundir este esfuerzo con el equivalente de Von Misses, ya que este último toma en cuenta la acción de esfuerzos combinados (normales y
cortantes), mientras que el primero, como tal vez ya lo ha notado, sólo toma en cuenta esfuerzos normales máximos (principales).

________________________________________________________________________________
T.E.C.M: 124.3
403.6
405.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
Haciendo, Amáx σσ = y Bmín σσ = , tenemos que el esfuerzo de Von Misses es:
165.12')403.1()]403.1(403.11[)403.11(' 2222
T.E.D: 288.3
165.12
40
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
c) 5−=C , 5=R , luego, 0=máxσ y 10−=mínσ
Evidentemente el esfuerzo normal máximo no puede ser cero, puesto que al sustituir este valor en la ecuación para el
coeficiente de seguridad obtenemos un valor para éste último de infinito, lo que naturalmente es un absurdo.
En este caso particular se hace, mínmáx σσ = , luego tenemos,
T.E.N.M: 4
10
40
=⇒=→= nn
S
n
mín
y
σ
T.E.C.M: 4
5
405.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
10')10()]100(0[)0(' 2222
T.E.D: 4
10
40
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
d) 5.7=C , 693.2=R , luego, 193.10=máxσ y 807.4=mínσ
T.E.N.M: 924.3
193.10
40
=⇒=→= nn
S
n
máx
y
σ
T.E.C.M: 428.7
693.2
405.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
832.8')807.4()]807.4(193.10[)193.10(' 2222
=→+−=+−= σσσσσσ xBBAA
T.E.D: 529.4
832.8
40
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
Importante es mencionar que los esfuerzos normales máximo y mínimo no necesariamente tienen que ser positivo y
negativo o viceversa, respectivamente. Adviértase que en la T.E.N.M, lo que se toma en cuenta es el valor del
“mayor” esfuerzo normal principal.

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 2
Una fuerza aplicada en D , cerca del extremo de una palanca de 15 pulg. de longitud, como se ilustra, ocasiona
determinados esfuerzos en la barra en voladizo OABC . Esta barra está hecha de acero UNS G10350 y ha sido
forjada, maquinada, tratada térmicamente y revenida a 800ºF. ¿Qué carga F produciría fluencia en la barra?
SOLUCIÓN:
El factor de seguridad es uno ya que el enunciado del problema dice que la carga F produce fluencia en la barra.
Obsérvese que existen dos puntos de interés ( O y A ) para ser analizados. ¿Cuál de los dos es el más crítico?
Punto A :
Trasladando la carga F a este punto tenemos:
FMLFMM
FTLFTM
xy
xz
14.
15.
2
1
=→==
=→==
El esfuerzo normal por flexión es: F
F
d
M
x
A
x 603.142
)1(
)14(3232
33
==→=
π
σ
π
σ
El esfuerzo cortante por torsión es: F
F
d
T
xz
A
xz 394.76
)1(
)15(1616
33
==→=
π
τ
π
τ
El esfuerzo equivalente de Von Misses es:
FFFeq
xzxeq
535.194)394.76(3)603.142(
)(3)(
22
22
=+=
+=
σ
τσσ
La carga F que produce fluencia en la barra es:
lbF
F
n
Sy
eq
377.416
81000535.194
=⇒
=→=σ
1
81
5.1
1
14
15
:
2
1
=
=
=
=
=
=
n
kpsiS
ind
ind
inL
inL
Datos
y
O
A

________________________________________________________________________________
Punto O :
Trasladando la carga F a este punto tenemos:
FMLFMM
FTLFTM
xy
xz
16)2(
15.
2
1
=→+==
=→==
El esfuerzo normal por flexión es: F
F
d
M
x
O
x 289.48
)5.1(
)16(3232
33
==→=
π
σ
π
σ
El esfuerzo cortante por torsión es: F
F
d
T
xz
O
xz 635.22
)5.1(
)15(1616
33
==→=
π
τ
π
τ
El esfuerzo equivalente de Von Misses es:
FFFeq
xzxeq
201.62)635.22(3)289.48(
)(3)(
22
22
=+=
+=
σ
τσσ
La carga F que produce fluencia en la barra es:
lbF
F
n
Sy
eq
239.1302
81000201.62
=⇒
=→=σ
De los resultados anteriores se concluye que el punto más crítico es el punto A .
Esto era de esperarse ya que, por definición de esfuerzo, AP /=σ , vemos que el esfuerzo aumentará cuando el
área disminuya (punto A ) y, decrecerá cuando el área aumente (punto O ). Según esto último, la carga más segura
que puede soportar la barra es lb377.416 . Esto debe ser así ya que, si la sección de diámetro de in1 puede
soportarla, con mucha más razón lo hará la de in5.1 .
PROBLEMA 3
La figura muestra una barra redonda, sometida a la acción de un vector momento M = 1.75i + 1.10k, en kN-m.
El material es una aleación de aluminio UNS A95056-H38. Un elemento de esfuerzo A , se encuentra localizado en la
parte superior de la barra. A partir de los esfuerzos producidos en este elemento, determínese el factor de seguridad
contra falla estática utilizando la teoría del esfuerzo cortante máximo y la de la energía de distorsión.
SOLUCIÓN:
Puesto que este vector momento resulta que también es un vector libre, sus componentes nos muestran que en el
punto en cuestión se tiene:
10.175.1 ====== MMMyTMM xyzyzx
Unidades: ][ mkN −
xM
y
z
A
x
zM
kpsiS
mkNM
mkNM
inmd
Datos
y
z
x
50
10.1
75.1
575.1040.0
:
=
−=
−=
==

________________________________________________________________________________
Como yS se encuentra dado en unidades del sistema inglés, transformando el torque y el momento a estas unidades
tenemos:
inlbmkNMyinlbmkNT .9732.10.1.615.15482.75.1 ====
El esfuerzo normal por flexión es: 856.25381
)575.1(
)9732(3232
33
−=−=→−=
π
σ
π
σ xx
d
M
El esfuerzo cortante por torsión es: 397.20182
)575.1(
)615.15482(1616
33
==→=
π
τ
π
τ xzxz
d
T
Unidades: ][ psi
Teniendo en cuenta que 0=yσ , obtenemos: 686.12−=C , 838.23=R , 152.11=máxσ y 524.36−=mínσ
Unidades: ][kpsi
T.E.C.M: 049.1
838.23
505.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
194.43')524.36()]524.36(152.11[)152.11(' 2222
T.E.D: 158.1
194.43
50
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
PROBLEMA 4
Una palanca, sometida a una fuerza estática vertical hacia debajo de 400 lb, está montada en una barra de 1 pulg. de
diámetro, como se indica.
a) Hállense los esfuerzos críticos en la barra circular.
b) Calcúlese ele factor de seguridad empleando la teoría del esferazo cortante máximo.
c) Esta barra es de acero UNS G46200, tratado térmicamente y estirado a 800ºF. Con base en la carga estática,
encuéntrese el factor de seguridad por medio de la teoría de la energía de distorsión.
kpsiS
lbF
ind
inL
inL
Datos
y 94
400
1
7
9
:
2
1
=
=
=
=
=

________________________________________________________________________________
SOLUCIÓN:
a)
Trasladando la carga F al empotramiento tenemos:
28007400.
36009400.
2
1
==→==
==→==
xMLFMM
xTLFTM
yz
xy
El esfuerzo normal por flexión es: 566.28520
)1(
)2800(3232
33
==→=
π
σ
π
σ xx
d
M
El esfuerzo cortante por torsión es: 649.18334
)1(
)3600(1616
33
==→=
π
τ
π
τ xzxy
d
T
Unidades: ][ psi
b) Teniendo en cuenta que 0=yσ , obtenemos:
261.14=C , 228.23=R , 489.37=máxσ y 967.8−=mínσ
Unidades: ][kpsi
T.E.C.M: 023.2
228.23
945.05.0
=⇒=→= n
x
n
S
n
máx
y
τ
c) Haciendo, Amáx σσ = y Bmín σσ = , tenemos que el esfuerzo de Von Misses es:
685.42')967.8()]967.8(489.37[)489.37(' 2222
T.E.D: 202.2
685.42
94
'
=⇒=→= nn
S
n
y
σ
PROBLEMA 5
La figura presenta un elemento de tubo en voladizo construido con una aleación de aluminio UNS A92014-T4. Se
desea obtener un conjunto de dimensiones de sección transversal para el tubo con base a una carga de flexión
kNF 80.0= , una tensión axial kNP 20.7= y una carga de torsión mNT .38= . Los factores de seguridad por
carga serán 20.2=Fn , 30.1=Pn y 90.1=Tn . Utilícese un factor de seguridad por resistencia 50.1=Rn .
z
y
x
m12.0
F
P
T
30.3.
.38
7200
800
/7.27579029140
:
2
==
=
=
=
==
RF
y
nnn
mNT
NP
NF
mNkpsiS
Datos

________________________________________________________________________________
SOLUCIÓN:
Los esfuerzos en un eje de sección tubular sometido a cargas axiales, de flexión y de torsión son, respectivamente:
)(
16
)(
32
)(
4
444422
dD
TD
dD
MD
dD
P
xyxx
−
=
−
=
−
=
π
τ
π
σ
π
σ
donde:
xσ = esfuerzo axial
xσ = esfuerzo de flexión
xyτ = esfuerzo de torsión
D = diámetro exterior del eje
d = diámetro interior del eje
M = momento flexionante en la sección crítica
T = momento torsionante en la sección crítica
Ahora bien, por el principio de superposición, el esfuerzo normal está dado por:
)(
32
)(
4
)()( 4422
dD
MD
dD
P
flexiónxaxialx
−
+
−
=+=
ππ
σσσ
Ahora debemos calcular cualquiera de los esfuerzos equivalentes (puesto que existen esfuerzos combinados).
El valor del momento flector está dado por: mNxM .96)80012.0( ==
Calculemos el esfuerzo equivalente de Tresca:
n
Sy
eq =+= 22
4τσσ
Elevando al cuadrado y reemplazando datos:
22
44
2
4422
30.3
7.275790291
)(
3816
4
)(
9632
)(
72004






=





−
+





−
+
− dD
Dx
dD
Dx
dD
x
πππ
Operando:
15
2
44
2
4422
10984.6
)(
532.193
4
)(
848.977
)(
325.9167
x
dD
D
dD
D
dD
=





−
+





−
+
−
Despreciando por el momento el esfuerzo debido a la carga axial, se tiene:
15
2
44
2
44
10984.6
)(
532.193
4
)(
848.977
x
dD
D
dD
D
=





−
+





−
Asumiendo que dD 2= , obtenemos:
15
6
1522
23
10984.6
579.4915
10984.6)532.1934848.977(
)15(
1
x
d
xx
d
=→=+
Despejando el valor del diámetro, se tiene:
inmmmd 371.0431.9009.0 ===

________________________________________________________________________________
Con este diámetro tentativo, calculamos los valores de todos los esfuerzos; así tenemos:
22
28.37725617
009.03
325.9167
)(
m
N
x
axialx ==σ ;
23
8.178847370
009.015
2848.977
)(
m
N
x
x
flexiónx ==σ
23
26.35396799
009.015
2532.193
m
N
x
x
torsión ==τ
Calculando el esfuerzo normal resultante mediante el principio de superposición, hallamos:
PaPa 216572988)8.17884737028.37725617( =+=σ
Ahora, la incógnita es el factor de seguridad; reemplazando en el esfuerzo equivalente de Tresca, obtenemos:
n
xeq
7.275790291
26.353967994216572988 22
=+=σ
Operando y despajando el valor del coeficiente de seguridad, se tiene: 210.1=n
Este último valor está muy por debajo del valor dado, a saber, 30.3=n ; ahora, ¿debemos aumentar o disminuir el
valor del diámetro interior?. La respuesta se encuentra al analizar la ecuación de esfuerzo.
Sabemos que el esfuerzo (en general) se define mediante la relación
A
F
=σ . Es obvio que para que el esfuerzo
disminuya (“se haga más seguro”) el área debe aumentar.
Con esto último, aumentemos el valor del diámetro interior a, mmmind 013.07.125.0 === .
En este punto, el estudiante habrá notado que el proceso para encontrar las dimensiones es iterativo.
Volviendo a calcular todos los esfuerzos con md 013.0= , tenemos:
22
87.18081508
013.03
325.9167
)(
m
N
x
axialx ==σ ;
23
38.59344439
013.015
2848.977
)(
m
N
x
x
flexiónx ==σ
23
34.11745228
013.015
2532.193
m
N
x
x
torsión ==τ
Calculando el esfuerzo normal resultante mediante el principio de superposición, hallamos:
PaPa 25.77425948)38.5934443987.18081508( =+=σ
Ahora, la incógnita es el factor de seguridad; reemplazando en el esfuerzo equivalente de Tresca, obtenemos:
n
xeq
7.275790291
34.11745228425.77425948 22
=+=σ
Operando y despajando el valor del coeficiente de seguridad, se tiene: 409.3=n
Puesto que este último valor del coeficiente de seguridad es bastante próximo ha 30.3=n , se concluye que las
dimensiones más adecuadas para el elemento de sección tubular son:
ind 5.0= y inD 1=

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 6
Determínense las dimensiones (con valor redondeado a 0.125 pulg) del resorte o muelle de acero de sección
rectangular y en voladizo que se muestra en la figura.
SOLUCIÓN:
Es evidente que el muelle se encuentra sometido a un sólo esfuerzo crítico, el esfuerzo de flexión.
Este problema es algo más sencillo que el anterior, puesto que ya está definida la relación entre las dimensiones del
elemento mecánico. Si no se tuviera esta relación, el procedimiento de resolución sería semejante al realizado en el
problema anterior.
Bien, el valor del momento flexionante está dado por: inlbxM .4000)40100( ==
El momento de inercia de la sección respecto al eje neutro (este es paralelo al eje z) es:
12
. 3
.
hb
I NE =
Reemplazando la relación que existe entre las dimensiones, se obtiene:
212
.6 43
.
hhh
I NE ==
El esfuerzo normal por flexión está dado por:
NE
flexión
I
cM
.
.
=σ
Adviértase que c , es la distancia desde el eje neutro hasta la fibra que se vaya ha analizar. En este caso se analizará
aquella fibra extrema que se encuentra sometida a tensión, y en cuyo caso el valor de c es el mismo que el del
centroide.
Es importante mencionar que, cuando se tengan elementos sometidos a esfuerzos combinados de compresión y de
tensión, estos se diseñarán únicamente a esfuerzos de tensión, puesto que si se consideran esfuerzos de compresión,
éstos últimos harán que el esfuerzo disminuya y, claro, lo que se busca es diseñar cuando las solicitaciones son críticas
(en otras palabra, son grandes)*.
Según esto último, es esfuerzo normal por flexión** es:
3
.
.6.
h
M
I
yM
NE
flexión ==σ
Empleando la teoría del esfuerzo normal máximo, se tiene:
inh
h
x
n
Sy
737.0
3
18000040006
3
=⇒=→=σ
Como se nos pide un valor redondeado a (1/8) de pulgada, es evidente que las dimensiones del resorte son:
inh )8/6(= y inb )8/36(=
__________
* Valdría la pena que el estudiante consultase esta situación al autor de este texto para información adicional del tema y conocer cierta anécdota.
** Esta expresión tiene equivalencia a esfuerzo normal debido a la flexión, pero debido a que resulta muy larga para escribirla, se usará la
expresión esfuerzo normal por flexión para referirse a ella.
in40
h
b
F
hb
n
inL
kpsiS
lbF
Datos
y
6
3
40
180
100
:
=
=
=
=
=

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 7
Para el problema anterior, determínense las dimensiones del resorte de acero de sección rectangular y en voladizo,
cuando en su extremo libre actúa un momento torsor inlbT −= 1000 . Se desconoce la relación entre las
dimensiones del resorte.
SOLUCIÓN:
El valor del momento flexionante es: inlbxM .4000)40100( ==
El momento de inercia de la sección respecto al eje neutro (este es paralelo al eje z) es:
12
. 3
.
hb
I NE =
El esfuerzo normal por flexión está dado por:
NE
flexión
I
cM
.
.
=σ
Reemplazando valores:
23
.
24000
.
12
2
4000
hbhb
x
h
xflexión ==σ
El esfuerzo por torsión está dado por:



−
−
→=
menorladob
mayorladoa
ba
T
torsión
:
:
.. 2
α
τ
El coeficiente α depende de la relación ba / . Para nuestro caso:
2
.. hb
T
torsión
α
τ =
Reemplazando el valor del momento torsor (torque), se obtiene:
2
..
1000
hb
torsión
α
τ =
Calculemos el esfuerzo equivalente de Tresca:
n
Sy
eq =+= 22
4τσσ
Elevando al cuadrado y reemplazando datos:
6
2
6
6
42
22
2
2
2
103600
104
10576
.
1
3
180000
..
1000
4
.
24000
x
x
x
hbhbhb
=





+→





=





+





αα
Simplificando: 3600
4
576
.
1
242
=





+
αhb
Asumamos hb 2= . Según esta relación, el valor de α (en tablas) es 246.0 .
Reemplazando valores: inh
h
595.03600
246.0
4
576
4
1
26
=→=





+
Por lo tanto, inb 191.1= . Con estas dimensiones tentativas, calculamos los respectivos esfuerzos.
psiflexión 214.56921
)595.0(191.1
24000
2
==σ ; psitorsión 936.9640
)595.0)(191.1(246.0
1000
2
==τ
Ahora, la incógnita es el factor de seguridad.
995.2
180000
936.96404214.56921 22
=→=+= n
n
xeqσ

________________________________________________________________________________
Francamente, no pensábamos que el problema iba ha ser resuelto en un primer intento; desgraciadamente, esto no
ocurre con frecuencia, sino más bien, hay que realizar dos o tres iteraciones para encontrar las dimensiones más
adecuadas de los elementos de máquinas.
Cuando esto último ocurre, lo que se hace es intentar con otra relación entre las dimensiones ó, más brevemente, se
comienza a hacer que las dimensiones aumenten con el objetivo de que los esfuerzos disminuyan. Esto último hará
que los elementos se vuelvan cada vez más seguros (el coeficiente de seguridad aumenta).
Puesto que 995.2=n prácticamente es 3=n , resulta que las dimensiones del resorte son, redondeando:
inb 2.1= y inb 6.0=
TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES
PROBLEMA 8
Los ensayos de una clase particular de hierro colado ASTM No. 20 dieron una MPaSut 150= y una
MPaSuc 600= . Determínese el factor de seguridad según cada una de las teorías de falla para los siguientes
estados de esfuerzo (valores en Mpa):
a) 50=xσ , 0=yσ y 30=xyτ (s.r)
b) 80−=xσ , 40−=yσ y 20=xyτ (s.c.r)
c) 40=xσ , 30=yσ y 10=xyτ (s.c.r)
d) 30=xσ , 60−=yσ y 30=xyτ (s.r)
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta que se han ordenado los esfuerzos normales máximos de manera que 321 σσσ >> * (de
manera general) y en particular, asumiendo que 02 =σ **, tenemos:
a) Siguiendo un procedimiento similar al problema anterior:
25=C , 051.39=R , 051.64=máxσ y 051.14−=mínσ
Haciendo: 1σσ =máx y 3σσ =mín tenemos:
?0¿ 3 >σ →NO → ?0¿ 1 =σ →NO → ?0¿ 1 ≥σ →SI →T.C.M → 3S → 33 /σSn =
1
3
1
3
−
=
ut
uc
uc
S
S
S
S
σ
σ
→ 195.31
1
150)051.14(
600051.64
600
3 −=
−
−
=
x
x
S ⇒ 220.2
051.14
195.31
=
−
−
=n (T.C.M)
?0
1
¿
1
3
≥





−
−
σ
σ
→NO →
1σ
utS
n = →T.E.N.M y T.M.m
⇒ 342.2
051.64
150
==n (T.E.N.M y T.M.m)
__________
* Véase la figura 4-6. pág. 59 de este texto.
** Véase la figura 5-2. pág. 91 de este texto.

________________________________________________________________________________
b) 60−=C , 284.28=R , 716.31−=máxσ y 284.88−=mínσ
?0¿ 3 >σ →NO → ?0¿ 1 =σ →NO → ?0¿ 1 ≥σ →NO → 3/σucSn −= (Para las tres teorías)
⇒ 796.6
284.88
600
=
−
−=n (Para las tres teorías)
c) 35=C , 180.11=R , 18.46=máxσ y 82.23=mínσ
?0¿ 3 >σ →SI → 1/σutSn = (Para las tres teorías)
⇒ 248.3
18.46
150
==n (Para las tres teorías)
d) 15−=C , 083.54=R , 083.39=máxσ y 083.69−=mínσ
?0¿ 3 >σ →NO → ?0¿ 1 =σ →NO → ?0¿ 1 ≥σ →SI →T.C.M → 3S → 33 /σSn =
1
3
1
3
−
=
ut
uc
uc
S
S
S
S
σ
σ
→ 882.183
1
150)083.69(
600083.39
600
3 −=
−
−
=
x
x
S ⇒ 662.2
083.69
882.183
=
−
−
=n (T.C.M)
?0
1
¿
1
3
≥





−
−
σ
σ
→SI → T.M.m → 3S →
3
3
σ
S
n =
1
)(
3
1
3
−
−
=
ut
utuc
uc
S
SS
S
S
σ
σ
→ 451.222
1
150)083.69(
)150600(083.39
600
3 −=
−
−
−
=
x
S
⇒ 220.3
083.69
451.222
=
−
−
=n (T.M.m)
1σ
utS
n = ⇒ 838.3
083.39
150
==n (T.E.N.M)
EJES DE TRANSMISIÓN
Un problema básico de diseño es el de ejes de transmisión. En él se utiliza la mayor parte (si no todas) de los
principios fundamentales descritos en los capítulos anteriores.
Un eje de transmisión* (o árbol) es un elemento cilíndrico se sección circular, que puede estar fijo o estar girando,
sobre el que se montan engranes, poleas, volantes, ruedas de cadena, manivelas o manubrios, así como otros
elementos mecánicos de transmisión de fuerza o potencia. Los ejes de transmisión, o simplemente ejes, son barras
sometidas a cargas de flexión, tensión, compresión o torsión que actúan individualmente o combinadas.
En este último caso es de esperar que la resistencia estática y la de fatiga sean consideraciones importantes de
diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos estáticos,
completamente invertidos en forma alternante y repetidos sin cambio de sentido**.

________________________________________________________________________________
El término “eje” abraca otras variedades, como los ejes de soporte y los husillos. Un eje de soporte es el que no
transmite carga de torsión y puede ser fijo o rotatorio. Un eje de transmisión rotatorio de corta longitud se denomina
husillo.
Siempre que sea posible, los elementos de transmisión de potencia, como engranes o poleas, deben montarse cerca
de los cojinetes de soporte. Este reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por
flexión.
DISEÑO PARA CARGAS ESTÁTICAS
Los esfuerzos en la superficie de un eje macizo de sección circular, sometido a cargas combinadas de flexión y de
torsión, son:
33
1632
d
T
d
M
xyx
π
τ
π
σ ==
donde:
xσ = esfuerzo de flexión
xyτ = esfuerzo de torsión
d = diámetro del eje
M = momento flexionante en la sección crítica
T = momento torsionante en la sección crítica
PROBLEMA 9
En el rodillo industrial engranado, el material transportado por éste ejerce una fuerza distribuida uniformemente, con
una intensidad de inlbw /20= ; para el sistema mostrado, determínese el diámetro del eje.
Todas las dimensiones se encuentran en pulgadas.
SOLUCIÓN:
Descomponiendo la carga F en sus componentes rectangulares tenemos:
↑=⇒=
↓=⇒=
lbFzFFz
lbFysenFFy
939.187cos.
404.68.
θ
θ
Los sentidos de las componentes anteriores se justifican según el plano sobre el cual actúan.
________
* A veces a un eje de transmisión se le llama, impropiamente, “flecha”.
** Aunque estos conceptos no pertenecen a este capítulo, han sido mencionados debido a su importancia en el diseño de estos elementos de
máquinas. En el capítulo siguiente se encontrarán las aplicaciones y ecuaciones correspondientes para estos elementos.
º20
54
200
:
=
=
=
θ
kpsiS
lbF
Datos
y

________________________________________________________________________________
PLANO xy
Transformando la carga distribuida w en carga puntual:
↑=⇒=→= lbWlbxWlwW 160)820(.
CÁLCULO DE LAS REACCIONES:
↓=⇒=−++−=
↑=⇒=−+=
∑
∑
lbOyFyCyWOyF
lbCyFyCyWM
y
O
3571.960:0
761.40)25.14()5.11()75.5(:0
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
En el diagrama de fuerza cortante se tiene un punto de intersección I , en el cual se producirá el máximo valor de
momento flector. Llamando x la distancia que existe entre los puntos A e I , y l a la distancia correspondiente
entre I y B , tenemos:
Por Trigonometría Elemental: inx
xx
818.4
8
643.63357.96
tan =⇒
−
==θ
Por lo tanto: inl 182.3=⇒
Por supuesto, tanto x como l son necesarios para la construcción del diagrama de momento flector.
El valor máximo de momento flector es: inlbM I .749.400=
PLANO xz
Ahora bien, según la figura del problema el sistema coordenado tiene la orientación siguiente:
75.275.18
Fy
w
Cy
Oy
75.1
≅
75.275.14
Cy
FyOy
W
75.1 4
][: lbUnidades
].[: inlbUnidades
75.25.11
Az
FzOz
x
z
⇒

________________________________________________________________________________
CÁLCULO DE LAS REACCIONES:
↓=⇒=+−=
↑=⇒=−=
∑
∑
lbOzFzAzOzF
lbAzFzAzM
z
O
942.440:0
88.2320)25.14()5.11(:0
Adviértase que en Az , la dirección (mostrada por la flecha) es negativa según el sistema coordenado adjunto.
Algo similar sucede con Oz ; su dirección es positiva.
Esto último debe tenerse muy en cuenta para la construcción de los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
El valor máximo de momento flector es: inlbMC .833.516=
VALORES RESULTANTES DE MOMENTOS FLECTORES
El estudiante habrá notado que los máximos momentos flectores ocurren en puntos distintos del eje, a saber, en el
plano xy el valor máximo se encuentra en el punto I , mientras que en el plano xz éste está en el punto C .
Ahora bien, sabemos que el diseño debe realizarse en un punto específico (punto crítico) para lo cual debemos tener
los valores del momento flector de este punto en los dos planos antes considerados.
Es evidente que, como en el plano xy el valor máximo de momento flector se encuentra en el punto I , y que en el
plano xz el momento flector máximo está en el punto C , uno de ellos será más crítico que el otro.
Punto I Punto C
inlbMxzPlano
inlbMxyPlano
I
I
.179.295:)(
.749.400:)(
=
=
inlbMxzPlano
inlbMxyPlano
C
C
.833.516:)(
.118.188:)(
=
=
Importante es mencionar que el valor de IM con respecto al plano xz fue obtenido por Geometría Elemental
(semejanza de triángulos).
Ahora que ya tenemos los valores de los puntos I y C en los planos xy y xz , debemos calcular el valor del
momento flector resultante en cada uno de esos puntos, así:
Momento resultante en el punto I :
inlbMMMMM IIxzIxyII .498179.295749.400)()( 2222
=⇒+=→+=
Momento resultante en el punto C :
inlbMMMMM CCxzCxyCC .550833.516118.188)()( 2222
=⇒+=→+=
][: lbUnidades
].[: inlbUnidades

________________________________________________________________________________
DETERMINACIÓN DEL PUNTO CRÍTICO
Para ello observemos la figura siguiente, que es una representación del montaje del eje.
Los puntos A y C son los sitios donde se alojarán los respectivos cojinetes (rodamientos).
Puesto que la diferencia entre los momentos resultantes de los puntos I y C no es muy significativa, tomamos el
valor del momento en C como el valor máximo del momento flector. Esto hace que el punto C sea el punto crítico
que buscamos.
Pero esto último no es condición suficiente para asegurar que C es el punto crítico buscado.
Un análisis más riguroso demuestra que efectivamente C es punto crítico, pues es aquí donde a más de tenerse el
valor del momento flector resultante máximo se tiene también el valor de esfuerzo normal máximo; claro, esto es así
ya que, considerando la sección más pequeña, es evidente (recuerde la definición de esfuerzo) que el esfuerzo normal
debido a la flexión es más crítico en éste que en los demás puntos.
El estudiante debe estar preguntándose: el punto A tiene igual sección que el punto C , entonces, ¿por qué A no es
también un punto crítico? La respuesta es sencilla. No es punto crítico como C ya que, a pesar de tener la misma
sección que éste (la menor por supuesto), su valor de momento flector resultante es inlb.186 , que es un valor muy
pequeño comparado con el del punto C .
DISEÑO DEL EJE
El eje se encuentra sometido al efecto de esfuerzos combinados, a saber, de flexión y de torsión, por lo tanto, se
requiere la utilización del Esfuerzo Equivalente de Von Misses.
Éste último está dado por:
22
. 3)( τσσ +=MVeq
Recordando que:
33
1632
d
T
d
M
π
τ
π
σ == , tenemos:
n
Sy
MVeq =.)(σ
También, CMM = y inlbTinlbxTrFzT D .909.281.)5.1939.187()( =⇒=→=
Puesto que no se menciona que el sistema mecánico requiera de una precisión y seguridad altas* se tomará un valor
de 2=n .
Ahora que ya conocemos la mayoría de los datos, procedemos a reemplazarlos en la ecuación que define el Esfuerzo
Equivalente de Von Misses.
Se tiene:
ind
d
ddd
x
d
x
610.0729000000
46.37569390
729000000
625.618414084.31385249
2
54000
.
909.28116
3
.
55032
6
66
22
3
2
3
=⇒=
=+→





=





+





ππ
Evidentemente, el valor del diámetro d es el correspondiente a la sección más pequeña.
________
* Cuando de ciertos sistemas mecánicos dependan o estén en riesgo vidas humanas y por que no, la de ciertas especies de animales
(especialmente aquellas en peligro de extinción), el valor del coeficiente de seguridad en estos casos es considerablemente elevado. ¿Cuánto?
Francamente no lo sabemos, de todos modos un valor de 10 o superior ya sería seguro.

________________________________________________________________________________
Como este problema ha sido resuelto de una manera muy detallada, en los problemas que vienen a continuación (y
que son bastante similares a éste), sólo se describirán algunos conceptos adicionales, si así lo amerita el problema.
Las soluciones a ellos se harán de una manera directa y ya no de la forma que se hizo aquí.
PROBLEMA 10
La figura ilustra un eje de transmisión con cojinetes en A y D , una polea en B y otra en C . Las fuerzas indicadas
en la superficie de las poleas representan las tensiones de las bandas en los lados tirante y flojo de las mismas.
Calcúlese el momento torsionante aplicado al eje por la polea que está en C y la polea que está en B . Determínese
un diámetro apropiado del árbol, tomando como base un esfuerzo normal de 16 kpsi y/o un esfuerzo cortante
admisible de 12 kpsi. (Dimensiones en pulgadas).
SOLUCIÓN:
Es evidente que las fuerzas actuantes (tensiones de las bandas) se encuentran ubicadas en planos distintos, a saber,
en el plano xy actúa una tensión resultante de lblb 350)50300( =+ , mientras que en el plano xz actúa una
tensión resultante de lblb 387)27360( =+ . Estas tensiones resultantes son el resultado (cabe la redundancia) de
trasladar las tensiones de las bandas al centro del eje de transmisión.
Según lo anterior, obtenemos:
PLANO xy
De aquí en adelante, en todos los problemas que se requieran diagramas de momentos flectores para su solución,
únicamente se presentará éste y ya no la forma como se obtuvo, pues pensamos, que en este punto, el estudiante ya
domina la construcción de estos diagramas.
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
kpsi
kpsi
ind
ind
Datos
adm
adm
D
B
12
16
6
8
:
=
=
=
=
τ
σ
6
8
8
z
Dd
Bd
lb27
lb50
lb300
D
C
A
B
lb360
x
y
6
350
DyAy
88
↓=
=−+−=
↓=
=−=
∑
∑
lbAy
DyAyF
lbDy
DyxM
y
A
727.222
0350:0
273.127
022)8350(:0
A
B C
D
CB
][635.763)(
][816.1781)(
inlbM
inlbM
xyC
xyB
−=
−=
A
D

________________________________________________________________________________
PLANO xz
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
MOMENTOS RESULTANTES
Punto B : ][754.1971])[(])[( 22
inlbMMMM BzxBxyBB −=⇒+=
Punto C : ][241.1853])[(])[( 22
inlbMMMM CzxCxyCC −=⇒+=
Cálculo del diámetro
Por flexión:
Punto B : ][079.1
32
3
ind
d
M B
admx =⇒==
π
σσ
Punto C : ][057.1
32
3
ind
d
MC
admx =⇒==
π
σσ
Por torsión:
Puesto que, CB PP = * → CCBB TT ωω = ; pero como el eje gira a la misma velocidad angular, CB ωω = .
Por lo tanto se tiene que: TTT CB == ; además, poleaflojoladotensolado rFFT ).( −− −=
Finalmente, el torque es:
][10003)27360(4)50300().( inlbTxxrFFT poleaflojoladotensolado −=⇒−=−=−= −−
Puntos B y C : ][752.0
16
3
ind
d
T
admx =⇒==
π
ττ
________
* Claro, esto es así ya que no se consideran pérdidas de potencia debido a la fricción entre bandas y poleas. Ciertamente, esto no ocurre en los
sistemas mecánicos reales en los cuales, efectivamente, se produce una pérdida de potencia, la misma que se manifiesta en forma de calor.
Recuerde que, la energía no se crea ni se destruye, únicamente se trasforma.
D
CB
68
387
DzAz
8
↓=
=+−=
↓=
=−=
∑
∑
lbAz
DzAzF
lbDz
DzxM
z
A
545.105
0387:0
455.281
022)16387(:0
A
DCB
][360.844)(
][720.1688)(
inlbM
inlbM
xzB
xzC
−=
−=
A

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 11
Para el sistema que se muestra en la figura, determínese el diámetro del eje*. Todas las dimensiones se encuentran
en pulgadas.
SOLUCIÓN:
Primero calcularemos las componentes rectangulares de las dos cargas aplicadas, 1F y 2F .
Puesto que conocemos la magnitud de 1F , el cálculo de sus componentes resulta muy fácil.
Tenemos:
lbFsenFF
lbFFF
zz
yy
212.205)(.)(
816.563)(cos.)(
111
111
=⇒=
=⇒=
θ
θ
Para calcular las componentes de 2F tomamos en cuenta que en el sistema se transmite la misma potencia.
Recordando el análisis de potencia que se realizó en el problema 9, tenemos:
lbFFx
rFrFTT
zz
CzAyCA
157.1353)()5()()12816.563(
.)(.)(
22
21
=⇒=
=→=
Finalmente:
lbF
F
F
y
z
y
509.492)(
)(
)(
tan 2
2
2
=⇒=θ
Ahora que ya conocemos los valores de las componentes de 1F y 2F , tenemos que encontrar los valores de las
reacciones en los cojinetes según los planos xy y xz .
PLANO xy
________
* De aquí en adelante sería conveniente que el estudiante consiga los problemas que han sido tomados como exámenes e intente resolverlos.
º20
71
600
:
1
=
=
=
θ
kpsiS
lbF
Datos
y
↓=
=−++−=
↑=
=−+=
∑
∑
lbOy
ByOyF
lbBy
ByM
y
O
393.3187
0509.492816.563:0
086.316
0)46(509.492)36()20(816.563:01016
C
BA
509.492
By816.563
Oy
O
20

________________________________________________________________________________
PLANO xz
Punto A Punto B
inlbMxzPlano
inlbMxyPlano
A
A
.640.9341:)(
.860.7747:)(
=
=
inlbMxzPlano
inlbMxyPlano
B
B
.56.13531:)(
.092.4925:)(
=
=
Momento resultante en el punto A :
inlbMMMMM AAxzAxyAA .1213764.934186.7747)()( 2222
=⇒+=→+=
Momento resultante en el punto B :
inlbMMMMM BBxzBxyBB .1440056.13531092.4925)()( 2222
=⇒+=→+=
De la figura siguiente y recordando el análisis descrito en el problema 9, B es el punto crítico:
][: lbUnidades ].[: inlbUnidades
1016
C
BA
157.1353
Bz
Oz
212.205
O
20
)(082.467
0157.1353212.205:0
)(027.1615
0)46(157.1353)36()20(212.205:0
+↓=
=+−−=
−↑=
=−+=
∑
∑
Oz
BzOzF
Bz
BzM
z
O
][: lbUnidades ].[: inlbUnidades
CBO A

________________________________________________________________________________
DISEÑO DEL EJE
El Esfuerzo Equivalente de Von Misses es:
22
. 3)( τσσ +=MVeq
Recordando que:
33
1632
d
T
d
M
π
τ
π
σ == , tenemos:
n
Sy
MVeq =.)(σ
Además, BMM = y sabemos que el torque está dado por:
inlbTinlbxTrFT Ay .792.6765.)12816.563().()( 1 =⇒=→=
Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9, 2=n .
Reemplazando valores en el Esfuerzo Equivalente de Von Misses, obtenemos:
ind
d
ddd
x
d
x
645.11260250000
5.2
1260250000
3562039728152.2
2
71000
.
792.676516
3
.
1440032
6
10
66
1022
3
2
3
=⇒=
=+→





=





+





ππ
Evidentemente, el valor del diámetro d es el correspondiente a la sección más pequeña.
PROBLEMA 12
La figura es un dibujo esquemático de un contraeje que sostiene dos poleas para bandas en V . La tensión menor en
la banda (lado flojo) de la polea A es %15 de la tensión mayor (lado tirante). Por conveniencia se supone que cada
par de tensiones de bandas o corea son paralelas. Determínese el diámetro del eje.
Todas las dimensiones están en milímetros.
SOLUCIÓN:
Sabemos, de los problemas anteriores, que la potencia transmitida por ambas poleas es la misma. Un análisis más
detallado demostró que, el torque que actúa en cada polea también es el mismo.
Sin embargo, algo que no mencionó, y que es muy importante, es el hecho de que estos torques (vectores libres)
tienen la misma magnitud, pero sus sentidos son diferentes; esto no quiere decir, sin embargo, que el torque
resultante sea nulo*, de hecho, el efecto torsionante sólo tiene lugar en el tramo interno abarcado por las poleas.
º45
71
:
=
=
θ
kpsiS
Datos
y

________________________________________________________________________________
Ahora bien, el sentido de giro de una polea es el coincidente con la dirección del lado más tenso. Según esto último, es
obvio que el sentido en el que gira la polea ubicada en el punto B , según el plano yz , es en el sentido de
movimiento de las agujas del reloj.
Como el torque en la polea A debe tener la misma magnitud pero sentido contrario (según el plano yz ) al torque
en B **, inmediatamente se concluye que en la polea A , el lado tenso es 1P .
Empleando la condición dada en el enunciado del problema obtenemos: 12 15.0 PP =
Con esta última relación, ahora ya es posible hallar los valores de 1P y de 2P .
CÁLCULO DE 1P Y DE 2P
Recordando que el torque está dado por la ecuación: poleaflojoladotensolado rFFT ).( −− −=
y que, BA TT = , podemos escribir: BA rrPP ).50270().( 21 −=−
Teniendo en cuenta los datos del gráfico y la relación entre 1P y 2P , obtenemos:
NPPP
NPPP
588.4615.0
588.310)150)(50270()125)(15.0(
212
111
=⇒=
=⇒−=−
Ahora tenemos que encontrar la componentes rectangulares de 1P y 2P .
Por Trigonometría Elemental sabemos que θθ cos=sen cuando º45=θ ; según esto tenemos:
NPPsenPPP
NPPsenPPP
zyzy
zyzy
943.32)()(.)()(
619.219)()(.)()(
22222
11111
==⇒==
==⇒==
θ
θ
Al llevar las componentes al centro del eje, obtenemos:
NPPPP
NPPPP
zzzz
yyyy
562.252)()(
562.252)()(
21
21
=⇒+=
=⇒+=
Como antes, debemos calcular las reacciones en los distintos planos.
PLANO xy
________
* Sería conveniente que el estudiante lea nuevamente el capítulo 2, sección 2.12.1 de este texto para recordar este tema.
** Esto tiene que ser así, caso contrario, si las dos poleas giran en el mismo sentido, ¿de qué torsión hablamos?, es decir, la torsión sería nula.
550300
C
A
O
Cy
Py
Oy
↓=
=−+−=
↓=
=−=
∑
∑
NOy
CyPyOyF
NCy
CyPyM
y
O
422.163
0:0
140.89
0)850()300(:0

________________________________________________________________________________
PLANO xz
Punto A Punto B
mNMxzPlano
mNMxyPlano
A
A
.380.37:)(
.027.49:)(
=
=
mNMxzPlano
mNMxyPlano
B
B
.806.13:)(
.371.13:)(
=
=
Momento resultante en el punto A :
mNMMMMM AAxzAxyAA .652.61380.37027.49)()( 2222
=⇒+=→+=
mNMMMMM BBxzBxyBB .220.19806.13371.13)()( 2222
=⇒+=→+=
De la figura siguiente y recordando el análisis descrito en el problema 9, A es el punto crítico:
][: NUnidades ].[: mNUnidades
150400
C
B
A
O
Cz
220
Pz
Oz
300
)(599.124
0220:0
)(037.92
0)850()700(220)300(:0
+↓=
=−+−=
−↑=
=+−=
∑
∑
NOz
CzPzOzF
NCz
CzPzM
z
O
CBO A

________________________________________________________________________________
Note que los puntos críticos deben encontrarse dentro o cerca ce los límites donde se produce la torsión, es decir,
dentro de, o en los puntos donde están montadas las poleas.
DISEÑO DEL EJE
22
. 3)( τσσ +=MVeq
Recordando que:
33
1632
d
T
d
M
π
τ
π
σ == , tenemos:
n
Sy
MVeq =.)(σ
Además, AMM = y sabemos que el torque está dado por:
mNTmNT
rFFT poleaflojoladotensolado
.33.)150.0)(50270(
)).((
=⇒−=→
−= −−
Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9, se tomará 2=n .
Como yS está en unidades inglesas, pasemos a este sistema AM y T .
Entonces:
inlbmNT
inlbmNM A
.075.292.33
.2094.545427.652.61
==
==
ind
d
ddd
x
d
x
38.51260250000
08.3
1260250000
941.663478908.3
2
71000
.
29216
3
.
2094.54542732
6
13
66
1322
3
2
3
=⇒=
=+→





=





+





ππ
Nuevamente, el valor del diámetro d es el correspondiente a la sección más pequeña.
PROBLEMA 13
La figura ilustra un contraeje sometido a cargas combinadas, debido a la acción de los dos engranes. La fuerza en el
engrane helicoidal es FB = -(0.2625 FB) i + (FB)j –(0.3675 FB)k. El eje será de acero UNS G10500, tratado
térmicamente y estirado a 900ºF. Hállese el diámetro del eje. (Dimensiones en milímetros).
DATO: kpsiSy 130=

________________________________________________________________________________
SOLUCIÓN:
Finalmente, este es un problema en el cual se encuentran presentes la mayoría de los conceptos descritos en la
solución de problemas anteriores. Sin embargo, y como a modo de pasos para la solución de este tipo de
problemas, a continuación se resumen los más básicos de ellos.
1. El dato yS , se obtiene de tablas donde se encuentran las aleaciones ferrosas (aceros) y no ferrosas
(aluminio, cobre, etc.) más utilizadas en ingeniería.
2. Se deben calcular las reacciones producidas por los cojinetes en los planos xy y xz .
3. Con las reacciones obtenidas, se procede a la construcción de los diagramas de fuerza cortante y de momento
flector, relativos, claro está, a cada uno de los plano antes mencionados. De estos diagramas se obtiene el
valor del momento flector máximo resultante.
4. El torque se produce sólo por las fuerzas tangenciales que actúan en cada una de las poleas; también, puesto
que se supone un sistema ideal, se transmite la misma potencia, lo que da como resultado que ji TT = .
5. Es importante recalcar que los torques, en los puntos donde están situadas las poleas (en este caso, i y j )
tienen la misma magnitud, pero son de sentidos opuestos.
6. Un punto situado dentro de aquellos lugares donde se han montado las poleas para generar la transmisión de
potencia queda sometido automáticamente a esfuerzos por torsión. Fuerza de esos puntos, no tiene sentido
esperar que se produzcan esfuerzos debido a torsión.
7. Según esto último, un punto será crítico cuando se encuentre bajo solicitaciones combinadas; generalmente,
un eje se encuentra sometido a esfuerzos debidos a flexión (normales) y a torsión (cortantes).
8. Tomando en consideración la importancia del sistema frente a condiciones de alto riesgo (peligro de vidas) o
simplemente de una aplicación muy común, se procede a elegir el valor del coeficiente de seguridad ( n ).
9. Finalmente, se emplea el Esfuerzo Equivalente de Von Misses para determinar el valor más seguro del
diámetro del eje de transmisión.
Ahora que ya sabemos todo lo que debemos hacer, entonces procedamos con la solución de este problema.
Sabemos que el DB TT = y que NPz 5330= , por lo tanto:
NFyN
x
Fy
PzFy
3198
250
1505330
)150()250(
=⇒=
=
Luego,
NFzFyFz
NFxFyFx
265.11753675.0
475.8392625.0
=⇒=
=⇒=
PLANO xy
Adviértase que en el primero de estos diagramas de cargas, no se ha indicado la carga horizontal que actúa en el
punto B , a saber, Fx *, pero en cambio, si se muestra la de magnitud N1370 (la que tiene dirección horizontal,
por supuesto).
DC
B
A
40.045.055.0
1370
1370
Cy
Fy
Ay
15.0
1370
1370
45.055.0
D
C
B M
Cy
Fy
Ay
A
40.0
⇒

________________________________________________________________________________
Pasando la carga de N1370 (dirección horizontal) al centro del eje, obtenemos el segundo diagrama de cargas que
se muestra en la figura anterior, en donde se presenta un momento M , cuyo valor está dado por:
mNMxMrM D .5.20515.01370.1370 =⇒=→=
Entonces:
↓=⇒=−−+−
=−−+−=
↓=⇒=+−−
=+−−=
∑
∑
NAyAy
CyFyAyF
NCyCy
MCyFyM
y
A
6.1781013704.463198
01370:0
4.4605.205)4.1(1370)1()55.0(3198
0)4.1(1370)1()55.0(:0
Recordando lo expuesto en el capítulo 2, el momento M es negativo (s.c.r); esto último es muy importante para la
construcción del diagrama de momento flector.
PLANO xz
Por conveniencia, acomodando el sistema coordenado de modo que las cargas sean ahora positivas hacia arriba y
negativas hacia abajo, tenemos:
Tanto la carga de N475.839 como la de N1370 actuando ya en el centro del eje, producirán esfuerzos normales
de compresión en el punto A , con un valor igual a su suma. No obstante, este último esfuerzo mencionado actuará
con una fuerza de N1370 en las proximidades derechas del punto B y en todos los puntos hasta llegar a D .
Los efectos que las fuerzas horizontales (axiales) causan en el eje serán discutidos en el capítulo 10, en el tema
referente a Rodamientos.
Entonces, pasando la carga de N745.839 (dirección horizontal) al centro del eje, obtenemos en el segundo
diagrama de cargas de la figura anterior, un momento M , cuya magnitud está dada por:
mNMxMrM B .936.20925.0745.839.745.839 =⇒=→=
________
* En el plano xz se considerarán todas las cargas y se describirá algo muy importante.
25.0
D
CB
40.045.055.0
5330
1370
475.839
265.1175
Cz
Az
A
D
C
475.839
Cz
B
M
1370
5330
40.045.055.0
A
Az
265.1175
⇒

________________________________________________________________________________
Entonces:
↑=⇒=+−−
=+−−=
↓=⇒=++−−
=++−−=
∑
∑
NAzAz
CzAzF
NCzCz
MCzM
z
A
805.287005330540.7025265.1175
05330265.1175:0
540.702505.2057462396.646
0)4.1(5330)1()55.0(265.1175:0
De manera similar al plano xy el momento M es negativo.
Punto B Punto C
mNMxzPlano
mNMxyPlano
B
B
.943.1578:)(
.8800.979:)(
=
=
mNMxzPlano
mNMxyPlano
C
C
.2132:)(
.5.342:)(
=
=
mNMMMMM BBxzBxyBB .286.185815799.979)()( 2222
=⇒+=→+=
Momento resultante en el punto C :
mNMMMMM CCxzCxyCC .336.215921325.342)()( 2222
=⇒+=→+=
De la figura siguiente y recordando el análisis descrito en el problema 9, C es el punto crítico:
Note que el punto crítico está dentro de los límites donde se produce la torsión, es decir, dentro de los puntos donde
están montadas las poleas.
CBA D

________________________________________________________________________________
DISEÑO DEL EJE
22
. 3)( τσσ +=MVeq
Recordando que:
33
1632
d
T
d
M
π
τ
π
σ == , tenemos:
n
Sy
MVeq =.)(σ
Además, CMM = y sabemos que el torque está dado por:
mNTxTrFT By .5.79925.03198. =⇒=→=
Tomando en cuenta lo mencionado en el problema 9, se tomará 2=n .
Como yS está en unidades inglesas, pasemos a este sistema CM y T .
Entonces:
inlbmNT
inlbmNMC
.172.7076.5.799
.734.19111.336.2159
==
==
ind
d
dd
d
x
d
x
445.14225000000
8.3
4225000000
38963524628.3
2
130000
.
172.707616
3
.
734.1911132
6
10
66
10
22
3
2
3
=⇒=
=+






=





+





ππ
Como antes, el valor del diámetro d es el correspondiente a la sección más pequeña.

________________________________________________________________________________
TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES DÚCTILES
PROBLEMA 14
Supóngase que se usa un latón amarillo duro UNS C27000 para una varilla. Calcúlense los factores de seguridad según
cada una de las tres teorías de falla estática correspondiente a los siguientes estados de esfuerzo (valores en Mpa).
a) 70=xσ , 30=yσ y 0=xyτ
b) 70=xσ , 0=yσ y 30=xyτ (s.r)
c) 10−=xσ , 60−=yσ y 30=xyτ (s.c.r)
d) 50=xσ , 20=yσ y 40=xyτ (s.r)
PROBLEMA 15
Un elemento de máquina se carga de manera que kpsi201 =σ , 02 =σ y kpsi153 −=σ ; el material tiene una
resistencia de fluencia mínima en tensión y compresión de kpsi60 . Determínese el factor de seguridad para cada una
de las siguientes teorías de falla:
a) Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M)
b) Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo (T.E.C.M)
c) Teoría del la Energía de Distorsión (T.E.D)
PROBLEMA 16
Una pieza de máquina se carga estáticamente y tiene una resistencia de fluencia de 350 Mpa. Para cada estado de
esfuerzo que se indica, evalúe el factor de seguridad mediante cada una de las tres teorías para falla estática.
Los valores de los estados están dados en Mpa.
a) 70=Aσ , 70=Bσ
b) 70=Aσ , 35=Bσ
c) 70=Aσ , 70−=Bσ
d) 70−=Aσ , 0=Bσ
PROBLEMA 17
Determínense las dimensiones del resorte o muelle de acero de sección rectangular y en voladizo que se muestra en la
figura. (Indicación: asuma el material, el coeficiente de seguridad y la relación entre las dimensiones).
in40
h
b
F
inlbT
agine
inL
lbF
Datos
.1300
:Im
40
500
:
=
=
=

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 18
Una fuerza aplicada en D , cerca del extremo de una palanca de sección tubular de 15 in de longitud, como se ilustra,
ocasiona determinados esfuerzos en la barra en voladizo OABC . Para una carga lbF 500= , determínense las
dimensiones más seguras para la barra. (Indicación: asúmase el tipo de material y el coeficiente de seguridad).
PROBLEMA 19
Para el elemento de sección circular que se encuentra sometido al efecto de las solicitaciones que se muestran,
determine el diámetro más seguro. (Indicación: asuma el material y el coeficiente de seguridad)
PROBLEMA 20
Lo mismo que el problema anterior, pero ahora con un elemento cuya sección es tubular.
inL
inL
Datos
14
15
:
2
1
=
=
inL
inL
inL
lbFz
lbFy
lbFx
Datos
10
15
5
300
200
100
:
3
2
1
=
=
=
=
=
=
Fy
x
y
z
1L
2L
3L
Fx
Fz
A
B
C
D

________________________________________________________________________________
TEORÍAS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES
PROBLEMA 21
Empléense valores típicos de las resistencias de hierro colado ASTM No. 40 y hállense los factores de seguridad,
correspondientes a ruptura, por la Teoría de Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la del Esfuerzo Cortante Máximo
(T.E.C.M), la de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la de Mohr modificada (T.M.m), respectivamente, para cada uno de los
siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):
a) 10=xσ , 4−=yσ y 0=xyτ
b) 10=xσ , 0=yσ y 4=xyτ (s.r)
c) 2−=xσ , 8−=yσ y 4=xyτ (s.c.r)
d) 10=xσ , 30−=yσ y 10=xyτ (s.r)
PROBLEMA 22
Empléense valores típicos de las resistencias de hierro colado ASTM No. 40 y hállense los factores de seguridad,
correspondientes a ruptura, por la Teoría de Esfuerzo Normal Máximo (T.E.N.M), la del Esfuerzo Cortante Máximo
(T.E.C.M), la de Coulomb-Mohr (T.C.M) y la de Mohr modificada (T.M.m), respectivamente, para cada uno de los
siguientes estados de esfuerzo (valores en kpsi):
a) 15−=xσ , 3=yσ y 5=xyτ (s.r)
b) 18−=xσ , 10=yσ y 5=xyτ (s.r)
c) 12=xσ , 6=yσ y 3=xyτ (s.c.r)
d) 8=xσ , 10=yσ y 4=xyτ (s.c.r)
EJES DE TRANSMISIÓN
PROBLEMA 23
La figura representa un eje con dos poleas y dos cojinetes (no ilustrados) en A y en B . En cada polea se indica la
dirección de las tensiones de las bandas. El sistema de coordenadas se puede identificar por los subíndices de los
vectores de las reacciones en los apoyos. Hállese el diámetro seguro del eje, considerando que el esfuerzo normal
admisible es de 24 kpsi y el esfuerzo cortante permisible es de 12 kpsi. Dimensiones en pulgadas.
º30
10
6
:
=
=
=
θ
ind
ind
Datos
C
B

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 24
El contraeje que se muestra en la figura tiene dos engranes rectos montados en él, y cuyos ángulos se formaron con
un ángulo de presión de 20º. Una barra de acero UNS G10150 estirado en frío y con un diámetro uniforme ha de
emplearse para el eje. Obténgase un diámetro de seguridad para el eje utilizando un factor de seguridad de 2.5.
Dimensiones en milímetros.
PROBLEMA 25
La figura es un dibujo esquemático de un subensamble de eje, engrane y cojinete, que es parte de un reductor de
velocidad con engranes helicoidales. Una fuerza FB = (-1700i +6400j -2300k) lb se aplica al engrane B como se
ilustra. El materia es acero UNS G43400, tratado térmicamente y revenido a 1000ºF. Obténgase un diámetro d e
seguridad para el eje. Dimensiones en pulgadas. (Indicación: asúmase el factor de seguridad).
ind
ind
ind
Datos
C
B
A
12
24
12
:
=
=
=

________________________________________________________________________________
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA126
CAPÍTULO 6
DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA
6.1 INTRODUCCIÓN
La mayoría de las fallas de los elementos de máquinas implica condiciones de carga que fluctúan con el tiempo. Sin
embargo, las condiciones de carga estática que se analizaron en el capítulo anterior son importantes, pues
proporcionan la base para la comprensión de este capítulo. Aquí se enfatiza la comprensión y prevención de la falla de
un componente bajo carga cíclica y de impacto. En lugar de considerar una variación general de la carga con el tiempo
(carga fluctuante), sólo se consideran las cargas cíclicas o una secuencia de carga que se repite. Las cargas
fluctuantes inducen esfuerzos de fluctuación (cíclicos), que con frecuencia resultan en la falla por daño acumulativo.
En muchos casos hay que analizar elementos de máquina que han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o
fluctuantes y, sin embargo, después de un cuidadoso análisis se descubre que los esfuerzos máximos reales fueron
inferiores a la resistencia última del material y, muchas veces, aún menores que la resistencia de fluencia. La
característica más notable de estas fallas ha sido que los esfuerzos se repitieron muchas veces. Por lo tanto, la falla se
denomina falla por fatiga.
Las fallas por fatiga comienzan con un apequeña grieta, y ésta es tan diminuta que no se puede percibir a simple vista
y es bastante difícil localizarla por inspección con Magnaflux o con rayos X. la grieta s e desarrollará en un punto de
discontinuidad en el material, tal como un cambio en la sección transversal, un chivetero o un orificio. Hay otros
puntos menos obvios donde es probable que se inicien fallas por fatiga, como las marcas de inspección o de otra clase,
grietas internas o irregularidades causadas por el maquinado. Una vez que se forma una grieta, el efecto de
concentración del esfuerzo se hace mayor y se extiende más rápidamente. Como el área esforzada disminuye en
tamaño, el esfuerzo aumenta en magnitud hasta que, finalmente, el área restante falla de repente. En consecuencia,
las fallas por fatiga se caracterizan por dos áreas distintas. La primera se debe al desarrollo progresivo de la grieta, en
tanto que la segunda se origina en la ruptura repentina. La zona tiene un aspecto muy parecido al de la fractura de un
material frágil como el hierro colado, que ha fallado por tensión.
Cuando las piezas de máquina fallan estáticamente, por lo general sufren una deformación muy grande debido a que
el esfuerzo excedió a la resistencia de fluencia. Entonces debe reemplazarse antes de que ocurra la ruptura. Por tanto,
muchas fallas estáticas son visibles y se detectan anticipadamente, pero una por fatiga no da señal alguna: es
repentina y total y, por lo tanto, peligrosa.
El diseño contra fallas estáticas es relativamente sencillo, pues los conocimientos actuales sobre el asunto son
bastante completos. Pero la fatiga es un fenómeno mucho más complicado, sólo explicado parcialmente, y si el
ingeniero pretende ascender hasta la cima de su profesión debe adquirir tanto conocimiento de la materia como sea
posible. Cualquiera que no sepa lo suficiente sobre fallas por fatiga puede duplicar o triplicar los factores de seguridad
y, así, crear un diseño que no fallará. Pero tales diseños no serán competitivos en el mercado actual ni los ingenieros
que los hayan realizado (¿por qué?).
Para entender mejor las fallas debidas a esfuerzos fluctuantes, considere la fluencia que se causa por la flexión hacia
delante y hacia atrás en un sujetador de papel. La flexión resulta en esfuerzos de tensión y de compresión en lados
opuestos del sujetador de papel, y estos esfuerzos se invierten cuando la dirección de la flexión cambia. De esta
forma, el esfuerzo en cualquier punto alrededor del alambre del sujetador de papel variará como una función del
tiempo. La flexión del sujetador eventualmente agotará la ductilidad del material, lo que produce una falla.
Los esfuerzos y las deformaciones debidas a cargas de impacto son mucho mayores que los causados por una carga
estática. Por esta razón, los efectos de las cargas dinámicas tienen importancia. Las propiedades físicas de un material
son una función de la velocidad de carga.
Afortunadamente, entre más rápida sea la aplicación de una carga, mayores serán las resistencias a la fluencia y a la
rotura. Algunos ejemplos en los cuales la carga de impacto se debe tener en cuenta son los choques de automóviles,
el goleo de un clavo con un martillo y la rotura del concreto con un martillo neumático.
6.2 FATIGA
La construcción de caminos y los trabajos de mejoradito que detienen el tráfico de vez en cuando hacen que los
colapsos en obras de Ingeniería Civil, como los puentes, resulten verdaderamente raros. Pero las fallas por fatiga,
como las conocemos en la actualidad, no son completamente extrañas. La fatiga constituye la causa individual más
grande de falla en los metales, la cual se estima que es el 90% de todas las fallas metálica. Las fallas por fatiga,
especialmente en las estructuras, resultan catastróficas o insidiosas, y ocurren repentinamente, a menudo sin
advertencia. Por esta razón los ingenieros deben tener en cuenta el efecto de la fatiga en sus diseños.
La fatiga se aplica a escalas microscópica y macroscópica. Es decir, aunque la falla por resquebrajamiento de la
superficie de un cojinete de elementos rodante y la fragmentación de un barco en dos resulten dos eventos muy
diferentes, tanto el cojinete como el barco han fallado debido a la fatiga.

________________________________________________________________________________
La falla por fatiga tiene una apariencia quebradiza aún en metales dúctiles y se nota muy poco si se asocia con una
deformación plástica alta.
La fatiga es un fenómeno complejo. Esencialmente, consiste en la propagación de grietas en una microescala al
principio y, luego, muy rápida a medida que las grietas por fatiga alcanzan una longitud crítica. La fatiga representa
una preocupación en cualquier lugar en el que estén presentes los esfuerzos cíclicos. Los investigadores han
encontrado que las grietas por fatiga por lo general comienzan en la superficie y se propagan por el volumen de un
componente, a menos que existan grandes defectos bajo la superficie o concentradores de esfuerzos en el sustrato.
Las grietas por fatiga comienzan en varios sitios simultáneamente y se propagan cuando un defecto domina y crece
más rápidamente que los otros.
6.3 RESISTENCIA A LA FATIGA
6.3.1 EXPERIMENTOS DE VIGA ROTATORIA
Como la fatiga es básicamente un fenómeno de acumulación de daños, los defectos iniciales tienen un gran efecto
tienen en el rendimiento. Ningún proceso de manufactura produce partes libres de defectos; por ello, las artes no
existen sin miles e incluso millones de defectos por pulgada cúbica. De esta manera son muy difíciles los enfoque
analíticos que derivan las resistencias a la fatiga por medio de principios básicos, y la mayoría del conocimiento acerca
de la fatiga del material se basa en la experimentación.
Para determinar las resistencias de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas se someten a fuerzas
repetidas o variables de magnitudes especificadas y, así, se cuentan los ciclos o alternaciones de esfuerzos que
soporta el material hasta la falla o ruptura. El dispositivo para ensayos de fatiga más usado es la máquina de viga
rotatoria de delata velocidad de R.R. Moore. Ésta somete a la probeta a flexión pura (no a cortante transversal) por
medio de pesos.
6.3.2 DIAGRAMA S-N
Esta gráfica* puede trazarse en papel semilog o log-log. En el caso de materiales férreos y sus aleaciones ésta se
vuelve horizontal después de que el material ha sido esforzado durante un cierto número de ciclos. El empleo de papel
logarítmico destaca el recodo o ángulo de la curva, que no se manifestaría si los resultados de experimentación se
graficaran en un sistema de coordenadas cartesianas.
Las ordenadas del diagrama S-N son las resistencias a la fatiga fS . Al expresar este tipo de resistencias también
debe indicarse el número de ciclos N que corresponde.
En el caso de los caeros se presenta el quiebre mostrado en la figura, y más allá de ese punto no ocurrirá falla,
cualquiera que sea el número de ciclos.
La resistencia correspondiente al quiebre se denomina límite de resistencia a la fatiga ( Se) o simplemente, límite de
fatiga. La gráfica de la figura anterior nunca llega a ser horizontal en el caso de metales no ferrosos y sus aleaciones y,
por tanto, no tienen límite de resistencia a la fatiga.
El conjunto de conocimientos disponibles acerca de la falla por fatiga desde N=0.5 hasta N=1000 ciclos generalmente
se clasifica como fatiga de bajo cilclaje. La fatiga de alto ciclaje es la falla correspondiente a los ciclos de esfuerzo con
frecuencia mayor que 103
ciclos.
En la figura también se distingue entre una región de duración finita y una región de duración infinita. El límite entre
tales regiones no puede definirse con claridad, excepto en el caso de un material específico: pero se localiza entre 106
y 107
ciclos para los aceros, como se ilustra en la misma figura.
La curva de este diagrama se puede obtener mediante la ecuación






+





−= '
2
'
)9.0(
loglog
9.0
log
3
1
log
Se
Sut
N
Se
Sut
Sf
donde:
Sf = resistencia a la fatiga del elemento real (vida finita)
'Se = límite de fatiga de la probeta de ensayo
Sut = resistencia última a la tensión (propiedad del material)
N = número de ciclos
________________
* Si desea mayor información sobre ésta gráfica véase: EL DIAGRAMA S-N en el texto “Diseño en Ingeniería Mecánica” de J. E. Shigley y
L.D. Mitchell.

________________________________________________________________________________
Los límites a la fatiga del esfuerzo del acero en tres tipos de carga se pueden calcular como:
SutSe 5.0'= flexión
SutSe 45.0'= axial
SutSe 29.0' = torsión y corte
Si se trata de torsión pura o de corte solamente: '577.0' SeSSe =
Puesto que el esfuerzo de rotura y el tipo de carga se conocen en varios materiales, sus límites a la fatiga se pueden
calcular.
*6.4 REGÍMENES DE FATIGA
En el diagrama S-N se indican diferentes tipos de comportamiento, en la medida en que el número de ciclos a la falla
se incrementa. Los dos regímenes básicos son fatiga de bajo ciclaje (generalmente menor de 103
ciclos de esfuerzo)
y fatiga de alto ciclaje (más de 103
pero menos de 106
ciclos de esfuerzo). La pendiente de la línea es mucho menor
en la fatiga de bajo ciclaje que en la de alto ciclaje.
*6.4.1 FATIGA DE BAJO CICLAJE
La fatiga de bajo ciclaje es cualquier carga que causa la falla debajo de 103
ciclos. Este tipo de carga es común. Una
variedad de dispositivos, como las cerraduras de las guanteras en los automóviles, los pernos en las llantas d los
camiones y los tornillos de ajuste que fijan los sitios de los engranes en los ejes, tienen ciclos menores de 103
veces
durante sus vidas útiles.
Sobrepasar 1000 ciclos significa que estos dispositivos durarán tanto como se pensó.
Para componentes en el rango de bajo ciclaje los diseñadores ignoran los efectos de la fatiga por completo o reducen
el nivel del esfuerzo permisible. Ignorar la fatiga parece un enfoque poco adecuado. Sin embargo, la poción de bajo
ciclaje de la curva que se muestra en la figura tiene una pendiente pequeña (es decir, la resistencia a 1000 ciclos no
se ha reducido considerablemente). Además, el punto de intersección de la y de la curva es la resistencia a la rotura,
no la resistencia a la fluencia.
Puesto que en el diseño estático a menudo se usa la resistencia a la fluencia y no la resistencia a la rotura en la
definición de los esfuerzos permisibles, los enfoques estáticos son aceptables para diseñar componentes de bajo
ciclaje. De hecho, el factor de seguridad compensa la inseguridad en la resistencia del material debida a la carga
cíclica.
*6.4.2 FATIGA DE ALTO CICLAJE DE DURACIÓN FINITA
En muchas aplicaciones el número de ciclos de esfuerzo que se aplica sobre un componente durante su vida útil se
sitúa entre 103
y 107
. Algunos ejemplos son las bisagras de las puertas de automóviles, los paneles de aeronaves y los
bates de aluminio para el softball. Como la resistencia baja rápidamente en este rango, un enfoque que no toma en
cuanta esta baja es inherentemente defectuoso.
*6.4.3 FATIGA DE ALTO CICLAJE DE DURACIÓN INFINITA
Diversa aplicaciones demandan una vida infinita, que se define para los aceros como el número de ciclos arriba del
cual se determina un límite a la fatiga, usualmente 106
ciclos. Si un material no tiene un límite de fatiga, no se puede
diseñar para una vida infinita. Así, las aleaciones de aluminio, por ejemplo, siempre se diseñarán para una vida finita.
Sin embargo, en aleaciones ferrosas y de titanio se sigue un enfoque de diseño de vida infinita. Básicamente, el
diseñador determina un límite a la fatiga y usa esa resistencia como el esfuerzo permisible. Después, siguen el tamaño
y la selección de componentes, al igual que un diseño estático. Este enfoque resulta a veces muy complejo.
6.5 FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA
Se ha expresado que toda probeta para ensayo en una máquina de viga rotatoria, utilizada para determinar límites de
resistencia a la fatiga, se elabora con mucho cuidado y es ensayada en condiciones controladas en forma precisa. No
es realista esperar que el límite de fatiga de un elemento mecánico o estructural resulte igual a uno de los valores
obtenidos en el laboratorio.

________________________________________________________________________________
Joseph Marin ha propuesto algunos factores que modifican el límite de fatiga en la ecuación siguiente:
'
eegdcbae SkkkkkkS =
donde:
eS = límite de fatiga del elemento mecánico
'
Se = límite de resistencia a la fatiga de la probeta
ak = factor de acabado superficial
bk = factor de tamaño
ck = factor de confiabilidad
dk = factor de temperatura
ek = factor de concentración de esfuerzos
gk = factor debido a varios efectos
6.5.1 FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL ( ak )
La superficie de la probeta de la viga rotatoria está perfectamente pulida y recibe un pulimento final en dirección axial
para eliminar cualesquiera rayaduras circunferenciales. Obviamente, la mayor de los elementos de máquina no tienen
esta alta calidad de acabado.
Este factor de corrección se puede obtener mediante la ecuación: b
uta Sak )(=
donde a y b son coeficientes adimensionales que dependen del tipo de material (véase ANEXOS)
6.5.2 FACTOR DE TAMAÑO ( bk )
La prueba de la viga rotatoria redonda da el límite de fatiga para una probeta generalmente de 0.3 pulg. de diámetro.
En unidades SI se utilizan comúnmente 7.5, 10 o 12.5 mm. Desafortunadamente, el ensayo de probetas grandes con
distintas formas y dimensiones es muy costoso pues requiere de un equipo de laboratorio muy caro. Por esta razón,
sólo se dispone de un número limitado de datos.
6.5.2.1 Flexión y Torsión
Kuguel ha propuesto una teoría basada en que toda falla está relacionada con la probabilidad de la interacción de un
esfuerzo intenso con un desperfecto crítico en un cierto volumen.
En base a un estudio estadístico intenso sobre ésta teoría, este factor puede obtenerse mediante las ecuaciones
siguientes
097.0
869.0 −
= dkb
para lg10lg3.0 pudpu ≤<
1=bk para lg3.0 pud ≤ o bien mmd 8≤
097.0
189.1 −
= dkb
para mmdmm 2508 ≤<
Uno de los problemas que surgen al usar estas ecuaciones, es qué hacer cuando se utiliza una sección no circular.
Lo que generalmente se hace es calcular el área de ésta sección no circular e igualarla con el área de una sección
circular. De esta manera se determina el valor de un diámetro equivalente, el mismo que se procede a reemplazar
en las ecuaciones anteriores.
Sin embargo, resulta que en los problemas, el valor de “d” de las ecuaciones anteriores es desconocido, por lo que se
recomienda utilizar un valor para 79.0=bK
6.5.2.2 Carga Axial
Cuando se presenta sólo el caso de que el elemento está sujeto a este tipo de carga, se tomará un valor entre 0.60 a
0.71 (una media sería lo más adecuado).
6.6 FACTOR DE CONFIABILIDAD ( ck )
El valor de este factor se encuentra en tablas, sin embargo, en la mayoría de la solución de los problemas de carga
dinámica (fatiga), siempre se utiliza el valor de 0.987 para una confiabilidad del 90%.

________________________________________________________________________________
6.7 FACTOR DE TEMPERATURA ( dk ) Y FACTOR DEBIDO A EFECTOS DIVERSOS ( gk )
De manera general, estos factores en la ecuación de Marin tienen el valor de uno, ya que se asume que no tienen
influencia significativa en el límite de fatiga del elemento mecánico o estructural.
6.8 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ( ek )
Un gran número de elementos mecánicos tienen agujeros, ranuras, muescas u otras clases de discontinuidades que
alteran la distribución del esfuerzo, como se describió anteriormente.
La concentración de esfuerzo sí tiene que considerarse cuando las partes han de hacerse de materiales frágiles o
cuando estarán sometidas a cargas de fatiga.
El valor de este factor está dado por la ecuación:
1
)( −
= fe kk
fk generalmente se denomina factor de concentración de esfuerzo en el caso de fatiga, aunque también se utiliza
para materiales frágiles bajo cargas estáticas.
Este último factor viene definido mediante la ecuación: )1(1 −+= tf kqk
donde:
q = sensibilidad a muescas (va de 0 a 1; véase ANEXOS)
tk = factor por configuración geométrica del elemento (va de 0 a 3; véase ANEXOS)
Si 1,0 == tkq , entonces el material no tendrá sensibilidad a las ranuras.
Si 0,1 == tkq , entonces el material será completamente sensible a las ranuras.
Ahora bien, en la solución de problemas de diseño, pueda ser que la determinación de cualquiera de los dos
parámetros que se necesitan para obtener el valor de ek , sea difícil o más aún imposible de hacerlo, en tales casos, se
recomienda asumir el valor máximo para cada uno de estos dos parámetros.
Sin embargo, si la configuración geométrica del elemento no existe totalmente en las gráficas, pero existe alguna
similar, se toma los valores de ésta figura semejante ya que “es preferible tener algo aproximado a no tener
nada”.
6.9 LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA DE LA PROBETA ( '
Se )
Anteriormente se definieron los valores que puede tomar este factor en la ecuación de Marin, tanto para carga de
flexión, para carga axial, para carga de torsión y para carga cortante.
Pero, ¿cuál de todos estos valores se toma para aplicar la ecuación de Marin?
Pues bien, el valor que toma este factor será:
1. El valor dado para la flexión, cuando sólo existe ésta carga o todas las cargas conocidas.
2. El valor dado para carga axial, cuando existe sólo ésta carga o todas las cargas conocidas (excepto la flexión).
3. El valor dado para la torsión, cuando existe sólo ésta carga o todas las cargas conocidas (excepto las dos
anteriores).
4. El valor dado para cortante, cuando existe sólo ésta carga.
Siempre debe tenerse en cuenta este orden.
De hecho, hay que mencionar que en la mayoría de problemas de diseño, siempre existe la presencia de esfuerzos
debido a la flexión, por lo que el valor de
'
eS siempre estará dado por lo mencionado en el numeral 1.

________________________________________________________________________________
6.10 ESFUERZOS FLUCTUANTES
En muchos casos necesita determinarse la resistencia de piezas, correspondiente a estados de esfuerzos diferentes de
los casos en que hay inversión completa sucesiva.
Los valores de estos esfuerzos se pueden obtener a partir de las ecuaciones siguientes:
2
mínmáx
a
σσ
σ
−
= y
2
mínmáx
m
σσ
σ
+
=
donde:
aσ = esfuerzo de amplitud
mσ = esfuerzo medio
máxσ = esfuerzo máximo
mínσ = esfuerzo mínimo
Puesto que generalmente un elemento de máquina está sometido a esfuerzos combinados, es muy común utilizar los
esfuerzos equivalentes mencionados en el capítulo anterior.
Estos esfuerzos equivalentes están dados del modo siguiente:
Esfuerzo equivalente de Tresca:
22
)( )(4)( axyaxaTeq τσσ +=− y
22
)( )(4)( mxymxmTeq τσσ +=−
Esfuerzo equivalente de Von Mises:
22
)( )(3)( axyaxaVMeq τσσ +=− y
22
)( )(3)( mxymxmVMeq τσσ +=−
donde, para los dos tipos de esfuerzos equivalentes:
aaxialflexiónax )()( σσσ += y maxialflexiónmx )()( σσσ +=
acortetorsiónaxy )()( τττ += y mcortetorsiónmxy )()( τττ +=
6.11 CRITERIO DE DISEÑO
Una vez que se han determinado estos esfuerzos, para el diseño de un elemento sujeto a fatiga, se utilizará la
ecuación siguiente:
Ecuación de Goodman
nSS ut
meq
e
aeq 1)()(
=+
σσ
donde:
eS = límite de fatiga del elemento mecánico
utS = resistencia última de tensión (propiedad del material)
n = coeficiente de seguridad

________________________________________________________________________________
*6.12 MÉTODO DE MAYORACIÓN
Ahora bien, cuando un componente mecánico se encuentra bajo el efecto de todas las solicitaciones que conocemos,
para determinar el valor del factor ( ek ), ¿en función de cuál solicitación lo hacemos?
Pues bien, en la ecuación de Marin este factor lo hacemos igual a la unidad, pero la ecuación de Goodman también
debe ser modificada*:
nSS
k
ut
meq
e
aeqf 1)()(
=+
σσ
En ésta, )1(1 −+= tf kqk como antes, y puesto que en la mayoría de los casos siempre existirá flexión, este valor
corresponde a la acción de este tipo de esfuerzo (se debe tener en cuenta lo mencionado anteriormente en relación a
q y a tk ).
*6.13 RESISTENCIA A LA FATIGA EN TORSIÓN
Cuando el caso sea de un elemento mecánico sujeto solamente a este tipo de carga (esfuerzo), se deberá tener en
cuanta que para su diseño, se deberán emplear las ecuaciones siguientes:
n
SSe
a =τ y
n
SSy
ma =+ττ
De éstas dos ecuaciones, aquella que nos proporcione el menor coeficiente de seguridad, será la más adecuada para el
diseño del elemento, además de indicarnos en qué tramo del grafico siguiente se encuentra.
Durante el proceso de análisis y diseño de un componente de máquina, a veces resulta necesario imponernos el valor
del coeficiente de seguridad. El valor de este coeficiente generalmente se encuentra entre 1.4 y 2.5. Un valor
aceptable es de 1.5 a 2.
Ahora, cuando se trata de encontrar este factor de seguridad (obviamente las dimensiones del elemento ya están
dadas), este valor puede ser cualesquiera.
_________________
* Véase: LÍNEA DE GOODMAN en el libro “Elementos de Máquinas” de B. Hamrock, Bo O. Jacobson y S. R. Schmid, para una descripción algo
más detallada.

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