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FUNCIÓN
CUADRÁTICA
PROF. ROSANA CANO
OBJETIVOS
 Reconocer la función cuadrática, gráfica y
analíticamente.
 Expresar la función cuadrática en su forma canónica,
factorizada y polinómica.
 Representar gráficamente las distintas ecuaciones
de la función cuadrática en el eje de coordenadas
 Analizar gráficas de funciones cuadráticas
sirviéndose del programa Excel.
CONTENIDOS
1) Representación gráfica de la función cuadrática
i. Vértice. Máximo y mínimo.
ii. Raíces. Fórmula de Bhaskara
iii. Eje de simetría.
iv. Concavidad.
2) Representación analítica de la función cuadrática.
i. Forma polinómica.
ii. Forma factorizada.
iii. Forma polinómica.
SABERES PREVIOS
 Concepto de función.
 Tabla de valores.
 Gráfico de funciones mediante tabla de valores.
 Función lineal. Sistema de ecuaciones lineales.
- Análisis de funciones Dominio e imagen.
Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
Intersección con los ejes coordenados. Conjunto
de positividad y negatividad.
PRIMER CLASE
En esta primer clase se realizarán actividades para
encontrar y comprender los elementos que nos
permitirán graficar una parábola, estos son:
 Raíces
 Eje de simetría
 Vértice
 Concavidad
Mariana debe hacer distintos carteles rectangulares para
la escenografía del acto. Estos llevan un borde o marco
de un color diferente del cuerpo del cartel.
Para su fabricación decide que todos midan 16 dm de
perímetro y une los extremos de una cuerda de esa
longitud para analizar cómo varía el área del rectángulo
en función de la base.
Mariana armó el siguiente cuadrado
de perímetro 16, ¿Cuáles otros
cumplen con la condición del
problema?
ACTIVIDAD 1: LA PARÁBOLA Y SUS ELEMENTOS
Continúa…
Selecciona la opción correcta:
VOLVER
CONTINUAR
Base 1 2 3 4 5 6 7
Área 7 12 15 16 15 12 7
¿Cuál de las siguientes tablas Base vs. Área representa
nuestro problema?
Base 1 2 3 4 5 6 7
Área 14 16 18 20 22 24 26
Base 1 2 3 4 5 6 7
Área 7 12 15 16 18 20 22
VOLVER
CONTINUAR
Si volcamos los datos en un gráfico cartesiano (Base vs
Área) ¿Qué tipo de gráfica crees que obtendríamos?
Recta
Parábola
VOLVER
VEAMOS SUS ELEMENTOS
Vértice
Raíces
Eje de simetría
¿Cuál será la fórmula para definir el área en función de la
base que representa a la parábola anterior?
A(b) = 8b – b2
A(b) = 8b + b2
A(b) = 6b
VOLVER
Una función cuadrática o función de segundo grado es
una función polinómica en la cual en uno de sus términos la
variable está elevada al cuadrado.
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas
(con el eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas),
con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la
parábola es un mínimo (y la parábola se abre "hacia
arriba"), y cuando a<0 el vértice en un máximo (y parábola
se abre "hacia abajo").
ACTIVIDAD 2: BHASKARA Y SUS RAÍCES
Las edades de Andrea y Miguel suman 41 años, el
producto de ambas edades es de 414 años. ¿Cuántos
años tendrán Andrea y Miguel?
Selecciona la opción que representa la situación
planteada:
a + m = 41
a· m = 414
a + m = 414
a· m = 41
VOLVER
Sustituyendo una en otra obtenemos:
m2 – 41m + 414 = 0
Intentemos resolver esta ecuación de la manera que
veníamos resolviendo toda ecuación.
m2 – 41m = –414
m2 = –414 + 41m
m = –414 + 41m
¿Crees que este camino es el correcto? ¿Llegaré a
encontrar el valor de m? ¿Quieres saber como resolver
este tipo de ecuaciones?
FÓRMULA DE BHASKARA
¿Quién era Bhaskara?
Bhaskara (1114 – 1185) es probablemente el
matemático hindú de la antigüedad mejor
conocido. Fue el último de los matemáticos
clásicos de la India y representa la cima del
conocimiento matemático del siglo XII.
Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la
solución de la ecuación de segundo grado, de
la que obtiene siempre dos soluciones.
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ahora podemos continuar con la Actividad 2
m2 – 41m + 414 = 0
a = 1, b = −41, c = 414
Aplicando Bhaskara ¿que solución obtendríamos?
Las edades son: 20 y 21 años
No tiene solución
Las edades son: 18 y 23 años
m2 – 41m + 414 = 0
a = 1, b = −41, c = 414
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚1,2 =
41 ± (−41)2−4 ∙ 1 ∙ 414
2 ∙ 1
𝑚1,2 =
41 ± 25
2
Respuesta: Las edades son 23 y 18 años.
𝑚1 = 23
𝑚2 = 18
Observa como se realiza…
AHORA ANALICEMOS EL DISCRIMINANTE DE LA
ECUACIÓN DE BHASKARA
 Discriminante positivo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0
Si el discriminante es positivo obtendremos dos raíces
distintas.
 Discriminante negativo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
Si el discriminante es negativo no obtendremos raíces
reales, ya que la raíz de un numero negativo no tiene
solución en R.
 Discriminante nulo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0
Si el discriminante es igual a cero obtendremos una
raíz doble
Averiguar si las siguientes funciones tendrán dos raíces,
una raíz o ninguna:
a) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2
b) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2
c) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
ACTIVIDAD 3: ¿QUÉ TIPO DE RAÍZ OBTENDRÉ?
Comencemos…
a) 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −1 2 − 4 ∙ 1 ∙ −2 = 9
DOS RAÍCES
UNA RAIZ
DOBLE
NINGUNA
Si el discriminante es positivo obtendremos dos raíces
distintas.
VOLVER
b) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −4
Entonces tendrá:
DOS RAÍCES
UNA RAIZ
DOBLE
NINGUNA
c) 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 1
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 0
Entonces tendrá:
DOS RAÍCES
UNA RAIZ
DOBLE
NINGUNA
VOLVER
Si el discriminante es negativo no obtendremos raíces
reales, ya que la raíz de un numero negativo no tiene
solución en R.
VOLVER
Si el discriminante es igual a cero obtendremos una raíz
doble
Graficar la siguiente función:
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥2
− 3𝑥 + 4
ACTIVIDAD 4: EJE DE SIMETRÍA, VÉRTICE Y CONCAVIDAD
¿Comenzamos?
Para poder graficar una función cuadrática necesitamos
encontrar: la intersección con los ejes coordenados
(ordenada al origen y raíces), el eje de simetría y el
vértice.
Con estos elementos estamos en condiciones de
esbozar la parábola
Ya estamos en condiciones de encontrar las raíces.
Ahora veamos como encontrar el eje de simetría y el
vértice
𝑥 𝑣 = −
𝑏
2𝑎
ó 𝑥 𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥 𝑣)
 El eje de simetría es 𝑥 = 𝑥 𝑣
 El vértice es (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣)
 La concavidad dependerá del vértice.
 La intersección con el eje y será:
¡Aclaración! Recordar que para hallar la intersección con
el eje y, debemos hacer cero a x (x = 0)
(4; 0)
(0; 4)
(0; 0)
VOLVER
𝑦 =
1
2
∙ 02 − 3 ∙ 0 + 4 → 𝑦 = 4 → 0; 4
 La intersección con el eje x será:
¡Aclaración! Recordar que para hallar la intersección
con el eje x, debemos hacer cero a y (y = 0)
(4; 0) y (2; 0)
(0; 4) y (0; 2)
No corta a x
0 =
1
2
𝑥2 − 3𝑥 + 4
Aplicando Bhaskara
𝑥1,2 =
3 ± (−3)2−4 ∙
1
2
∙ 4
2 ∙
1
2
𝑥1,2 = 3 ± 9 − 8 → 𝑥1,2 = 3 ± 1
𝑥1 = 4 → (4; 0)
𝑥1 = 2 → (2; 0)
VOLVER
 El eje de simetría será:
Recordar que el eje de simetría es la recta 𝑥 = 𝑥 𝑣
x = 1
x = 2
x = 3
VOLVER
𝑥 𝑣 =
−𝑏
2𝑎
→ 𝑥 𝑣 =
3
2 ∙
1
2
→ 𝑥 𝑣 = 3
𝑥 𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
→ 𝑥 𝑣 =
2 + 4
2
→ 𝑥 𝑣 = 3
𝑥 = 3
 Y por último, el vértice será:
Recordar que el vértice es (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣)
𝟑; −
𝟏
𝟐
𝟑; −𝟐
−
𝟏
𝟐
; 𝟑
𝑦𝑣 =
1
2
𝑥 𝑣
2 − 3𝑥 𝑣 + 4 → 𝑦𝑣 =
1
2
∙ 32 −3 ∙ 3 + 4 → 𝑦𝑣 = −
1
2
→ 3; −
1
2
VOLVER
EJE DE SIMETRÍA
ORDENADA
AL ORIGEN
RAICES
VÉRTICE
Entonces la gráfica quedaría así…
a) El vértice que obtuvimos ¿es un máximo o un
mínimo?
MÁXIMO MÍNIMO
Reflexiona y responda la siguiente
pregunta en relación a la actividad
que vienes realizando:
Reflexiona y responda la siguiente
pregunta en relación a la actividad
que vienes realizando:
CONCAVIDAD
POSITIVA
CONCAVIDAD
NEGATIVA
b) La parábola graficada ¿tiene una concavidad positiva
o negativa?
c) ¿Hay alguna relación entre el vértice y la
concavidad?
Reflexiona y responda la siguiente
pregunta en relación a la actividad
que vienes realizando:
SI NO
Si, hay relación entre el vértice y la concavidad.
Cuando el vértice de la parábola es un máximo, las
ramas irán “hacia abajo” (concavidad negativa)
En cambio cuando el vértice de la parábola es un
mínimo, las ramas irán “hacia arriba (concavidad
positiva)
CONTINUAR
CONTINUAR
Si, hay relación.
Cuando el vértice de la parábola es un máximo, las
ramas irán “hacia abajo” (concavidad negativa)
En cambio cuando el vértice de la parábola es un
mínimo, las ramas irán “hacia arriba” (concavidad
positiva)
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Funcion cuadratica
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Calculo vectorial-washington-armas
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Unidad educativa mayor
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Función cuadrática (Clase 1)

  • 2. OBJETIVOS  Reconocer la función cuadrática, gráfica y analíticamente.  Expresar la función cuadrática en su forma canónica, factorizada y polinómica.  Representar gráficamente las distintas ecuaciones de la función cuadrática en el eje de coordenadas  Analizar gráficas de funciones cuadráticas sirviéndose del programa Excel.
  • 3. CONTENIDOS 1) Representación gráfica de la función cuadrática i. Vértice. Máximo y mínimo. ii. Raíces. Fórmula de Bhaskara iii. Eje de simetría. iv. Concavidad. 2) Representación analítica de la función cuadrática. i. Forma polinómica. ii. Forma factorizada. iii. Forma polinómica.
  • 4. SABERES PREVIOS  Concepto de función.  Tabla de valores.  Gráfico de funciones mediante tabla de valores.  Función lineal. Sistema de ecuaciones lineales. - Análisis de funciones Dominio e imagen. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Intersección con los ejes coordenados. Conjunto de positividad y negatividad.
  • 5. PRIMER CLASE En esta primer clase se realizarán actividades para encontrar y comprender los elementos que nos permitirán graficar una parábola, estos son:  Raíces  Eje de simetría  Vértice  Concavidad
  • 6. Mariana debe hacer distintos carteles rectangulares para la escenografía del acto. Estos llevan un borde o marco de un color diferente del cuerpo del cartel. Para su fabricación decide que todos midan 16 dm de perímetro y une los extremos de una cuerda de esa longitud para analizar cómo varía el área del rectángulo en función de la base. Mariana armó el siguiente cuadrado de perímetro 16, ¿Cuáles otros cumplen con la condición del problema? ACTIVIDAD 1: LA PARÁBOLA Y SUS ELEMENTOS Continúa…
  • 10. Base 1 2 3 4 5 6 7 Área 7 12 15 16 15 12 7 ¿Cuál de las siguientes tablas Base vs. Área representa nuestro problema? Base 1 2 3 4 5 6 7 Área 14 16 18 20 22 24 26 Base 1 2 3 4 5 6 7 Área 7 12 15 16 18 20 22
  • 13. Si volcamos los datos en un gráfico cartesiano (Base vs Área) ¿Qué tipo de gráfica crees que obtendríamos? Recta Parábola
  • 16. ¿Cuál será la fórmula para definir el área en función de la base que representa a la parábola anterior? A(b) = 8b – b2 A(b) = 8b + b2 A(b) = 6b
  • 18. Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica en la cual en uno de sus términos la variable está elevada al cuadrado. Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas (con el eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola es un mínimo (y la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice en un máximo (y parábola se abre "hacia abajo").
  • 19. ACTIVIDAD 2: BHASKARA Y SUS RAÍCES Las edades de Andrea y Miguel suman 41 años, el producto de ambas edades es de 414 años. ¿Cuántos años tendrán Andrea y Miguel? Selecciona la opción que representa la situación planteada: a + m = 41 a· m = 414 a + m = 414 a· m = 41
  • 21. Sustituyendo una en otra obtenemos: m2 – 41m + 414 = 0 Intentemos resolver esta ecuación de la manera que veníamos resolviendo toda ecuación. m2 – 41m = –414 m2 = –414 + 41m m = –414 + 41m ¿Crees que este camino es el correcto? ¿Llegaré a encontrar el valor de m? ¿Quieres saber como resolver este tipo de ecuaciones?
  • 22. FÓRMULA DE BHASKARA ¿Quién era Bhaskara? Bhaskara (1114 – 1185) es probablemente el matemático hindú de la antigüedad mejor conocido. Fue el último de los matemáticos clásicos de la India y representa la cima del conocimiento matemático del siglo XII. Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la solución de la ecuación de segundo grado, de la que obtiene siempre dos soluciones. 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
  • 23. Ahora podemos continuar con la Actividad 2 m2 – 41m + 414 = 0 a = 1, b = −41, c = 414 Aplicando Bhaskara ¿que solución obtendríamos? Las edades son: 20 y 21 años No tiene solución Las edades son: 18 y 23 años
  • 24. m2 – 41m + 414 = 0 a = 1, b = −41, c = 414 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑚1,2 = 41 ± (−41)2−4 ∙ 1 ∙ 414 2 ∙ 1 𝑚1,2 = 41 ± 25 2 Respuesta: Las edades son 23 y 18 años. 𝑚1 = 23 𝑚2 = 18 Observa como se realiza…
  • 25. AHORA ANALICEMOS EL DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN DE BHASKARA  Discriminante positivo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 Si el discriminante es positivo obtendremos dos raíces distintas.  Discriminante negativo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 Si el discriminante es negativo no obtendremos raíces reales, ya que la raíz de un numero negativo no tiene solución en R.  Discriminante nulo: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 Si el discriminante es igual a cero obtendremos una raíz doble
  • 26. Averiguar si las siguientes funciones tendrán dos raíces, una raíz o ninguna: a) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 b) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2 c) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 ACTIVIDAD 3: ¿QUÉ TIPO DE RAÍZ OBTENDRÉ? Comencemos… a) 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −1 2 − 4 ∙ 1 ∙ −2 = 9 DOS RAÍCES UNA RAIZ DOBLE NINGUNA
  • 27. Si el discriminante es positivo obtendremos dos raíces distintas. VOLVER
  • 28. b) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −4 Entonces tendrá: DOS RAÍCES UNA RAIZ DOBLE NINGUNA
  • 29. c) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 0 Entonces tendrá: DOS RAÍCES UNA RAIZ DOBLE NINGUNA
  • 30. VOLVER Si el discriminante es negativo no obtendremos raíces reales, ya que la raíz de un numero negativo no tiene solución en R.
  • 31. VOLVER Si el discriminante es igual a cero obtendremos una raíz doble
  • 32. Graficar la siguiente función: 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥2 − 3𝑥 + 4 ACTIVIDAD 4: EJE DE SIMETRÍA, VÉRTICE Y CONCAVIDAD ¿Comenzamos? Para poder graficar una función cuadrática necesitamos encontrar: la intersección con los ejes coordenados (ordenada al origen y raíces), el eje de simetría y el vértice. Con estos elementos estamos en condiciones de esbozar la parábola
  • 33. Ya estamos en condiciones de encontrar las raíces. Ahora veamos como encontrar el eje de simetría y el vértice 𝑥 𝑣 = − 𝑏 2𝑎 ó 𝑥 𝑣 = 𝑥1+𝑥2 2 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥 𝑣)  El eje de simetría es 𝑥 = 𝑥 𝑣  El vértice es (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣)  La concavidad dependerá del vértice.
  • 34.  La intersección con el eje y será: ¡Aclaración! Recordar que para hallar la intersección con el eje y, debemos hacer cero a x (x = 0) (4; 0) (0; 4) (0; 0)
  • 35. VOLVER 𝑦 = 1 2 ∙ 02 − 3 ∙ 0 + 4 → 𝑦 = 4 → 0; 4
  • 36.  La intersección con el eje x será: ¡Aclaración! Recordar que para hallar la intersección con el eje x, debemos hacer cero a y (y = 0) (4; 0) y (2; 0) (0; 4) y (0; 2) No corta a x
  • 37. 0 = 1 2 𝑥2 − 3𝑥 + 4 Aplicando Bhaskara 𝑥1,2 = 3 ± (−3)2−4 ∙ 1 2 ∙ 4 2 ∙ 1 2 𝑥1,2 = 3 ± 9 − 8 → 𝑥1,2 = 3 ± 1 𝑥1 = 4 → (4; 0) 𝑥1 = 2 → (2; 0) VOLVER
  • 38.  El eje de simetría será: Recordar que el eje de simetría es la recta 𝑥 = 𝑥 𝑣 x = 1 x = 2 x = 3
  • 39. VOLVER 𝑥 𝑣 = −𝑏 2𝑎 → 𝑥 𝑣 = 3 2 ∙ 1 2 → 𝑥 𝑣 = 3 𝑥 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 2 → 𝑥 𝑣 = 2 + 4 2 → 𝑥 𝑣 = 3 𝑥 = 3
  • 40.  Y por último, el vértice será: Recordar que el vértice es (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣) 𝟑; − 𝟏 𝟐 𝟑; −𝟐 − 𝟏 𝟐 ; 𝟑
  • 41. 𝑦𝑣 = 1 2 𝑥 𝑣 2 − 3𝑥 𝑣 + 4 → 𝑦𝑣 = 1 2 ∙ 32 −3 ∙ 3 + 4 → 𝑦𝑣 = − 1 2 → 3; − 1 2 VOLVER
  • 42. EJE DE SIMETRÍA ORDENADA AL ORIGEN RAICES VÉRTICE Entonces la gráfica quedaría así…
  • 43. a) El vértice que obtuvimos ¿es un máximo o un mínimo? MÁXIMO MÍNIMO Reflexiona y responda la siguiente pregunta en relación a la actividad que vienes realizando:
  • 44.
  • 45. Reflexiona y responda la siguiente pregunta en relación a la actividad que vienes realizando: CONCAVIDAD POSITIVA CONCAVIDAD NEGATIVA b) La parábola graficada ¿tiene una concavidad positiva o negativa?
  • 46.
  • 47. c) ¿Hay alguna relación entre el vértice y la concavidad? Reflexiona y responda la siguiente pregunta en relación a la actividad que vienes realizando: SI NO
  • 48. Si, hay relación entre el vértice y la concavidad. Cuando el vértice de la parábola es un máximo, las ramas irán “hacia abajo” (concavidad negativa) En cambio cuando el vértice de la parábola es un mínimo, las ramas irán “hacia arriba (concavidad positiva) CONTINUAR
  • 49. CONTINUAR Si, hay relación. Cuando el vértice de la parábola es un máximo, las ramas irán “hacia abajo” (concavidad negativa) En cambio cuando el vértice de la parábola es un mínimo, las ramas irán “hacia arriba” (concavidad positiva)
  • 50. SALIR