FISICA CLASICA 1 |

1. Análisis dimensional
Magnitud física. Todo aquello que se puede medir. Además, lo representamos a
través de una cantidad numérica y una unidad de medida.
Análisis dimensional es un procedimiento con el cual se puede verificar la
consistencia dimensional de una ecuación física.
Magnitudes físicas se pueden dividir en dos grupos, según su naturaleza:
a) Magnitudes fundamentales.
Magnitud física Símbolo
Longitud L
Masa M
Tiempo T
Temperatura
Cantidad de
sustancia N
Intensidad
luminosa J
Intensidad de
corriente elétrica I
b) Magnitudes físicas derivadas
Velocidad =
Longitud
Tiempo
Aceleración =
Longitud
Tiempo²
Volumen = Longitud^3
Área = Longitud²
Perímetro = Longitud
Fuerza =
Trabajo mecánico =
Masa * Longitud
Tiempo²
Masa * Longitud²
Tiempo²
Potencia =
Masa * Longitud²
Tiempo^3
Notación. Si 'X' representa una magnitud física, entonces [X] denota
LA DIMENSIÓN DE la magnitud física X, la cual se expresa como:
[X] = L T M N J I
Ejemplo:
v = velocidad [v] = L T M N J I
a = aceleración [a] = L T M N J I
F = fuerza [F] = =
W = trabajo mecánico [W] =
P = potencia [P] =
Principio de Homogeneidad Dimensional (P.H.D.). Si una ecuación física es
correcta, entonces todos los términos de la ecuación son dimensionalmente
iguales.
W = X + Y + Z
P.H.D. [W] = [X] = [Y] = [Z]
P.H.D. [A] = [B²] = [C/D]
F = XY + W^3 - C
P.H.D. [F] = [XY] = [W^3] = [C]
1 ha = 10 000 m² = 1 x 10^4 m² (área).
Utilizando la regla de producto/división obtenemos:
Unidad de medida es una cantidad que identifica a una magnitud física por
convención.
Luego, por la regla del producto/división tenemos que [ x ] [ t ] = 1.
Por lo tanto: [ x ] = 1/[ t ] -------> Dado que [ t ] = T, entonces [ x ] = T^(-1).
e) Convertir 200 ha a ft² y a mi².
Para que la igualdad anterior sea cierta, se debe cumplir que:
x = 1, -3x+y = 2, -y+z=-3
Por lo tanto: x = 1, y = 5, z = 2 ------------> x + y + z = 8.
Múltiplo ---> 1 kilómetro (km) = 1 x 10^3 m
Múltiplo ---> 1 hectómetro (hm) = 1 x 10^2 m
Unidad de medida base (m)
Submúltiplos ---> 1 centímetro (cm) = 1 x 10^(-2) m
Submúltiplos ---> 1 nanómetro (nm) = 1 x 10^(-9) m
"El número 5 es adimensional"
Aplicando ahora la regla del producto/división, queda:
[K] = [P] [V] = [Q]
Equivalencias entre las unidades de medida en el SI.
Aplicando el P.H.D. a la ec. física tenemos que:
Ahora, aplicamos la regla del producto/división:
Utilizando la regla del producto/división, tenemos:
[ k ] = [12] [m] [g] [(log 5) ]
Regla de la suma/resta. Solo se pueden sumar/restar magnitudes físicas de la
misma naturaleza y el resultado de la operación será de la misma especie.
b) Convertir una velocidad de 15 m/s a mi/h
Sustituimos lo anterior en la ec. (1):
* Como NO resolver el problema. *
Aplicando el P.H.D. obtenemos lo siguiente:
Propiedad 1. Todo número real es adimensional.
Por la Propiedad 1, la igualdad anterior se reduce a:
De acuerdo con los datos del problema, los primeros términos de
la igualadad anterior que expresan como:
* Como sí resolver el problema *
Si usamos la información dada en el problema, la igualdad anterior se
expresa como:
Para la que la igualdad anterior sea cierta se debe cumplir que:
x = 1, y = 2 -----------> x + y = 3.
Utilizando la información del problema: F = Fuerza y a = Longitud,
tenemos:
Ahora, de acuerdo a la Propiedad 2, la función exponencial es adimensional. Por
lo tanto:
Conversión de unidades es una equivalencia estandarizada entre unidades de
medida.
Aplicando el P.H.D. concluimos que:
Regla del producto/división. Las propiedades de multiplicación y división
de los números reales son válidas en el análisis dimensional.
Aplicando la regla del producto/división, obtenemos:
[K] [F] = [m] [v²] = [m] [v]²
"La raíz cuadrada de 2 es adimensional"
Propiedad 3. Los exponentes son adimensionales.
Conversiones de unidades:
a) Convertir una longitud de 1 250 m a ft.
En la ec. física, aplicamos la Propiedad 3 al exponente de la base 'e'.
Entonces:
4. Comparar los exponentes de
cada base:
2. Aplicar la regla de
producto/división:
3. Sustituyendo las fórmulas
dimensionales:
Aplicando el P.H.D. a la ec. física dada, obtenemos:
[ k ] = [12 m g (log 5) ]
Por la Propiedad 1 y utilizando la información del problema,
tenemos la siguiente igualdad:
b) Es falso, porque, de acuerdo al P.H.D., [X] = [z].
c) Es falso, porque según el P.H.D., sabemos que [MTy] = [z].
d) Es falso por la notación. De acuerdo al P.H.D., se tiene [X] = [L²F].
e) Es falso porque desde un inicio nos indican que la ec. es
dimensionalmente correcta, lo cual se verifica con el P.H.D.
Sabiendo que [m] = M y [g] = L T^(-2), concluimos: [k] = M L T^(-2), es
decir que k tiene dimensiones de fuerza y en el SI, sus unidades son N.
"El ángulo de 30° es adimensional"
Entonces:
d) Convertir el volumen de 150 cm^3 a litros y después a galones
c) Convertir un área de 1 389 km² a ha
Equivalencia entre unidades de medida (SI, Sistema inglés).
Dada la ec. física: K F = m v², aplicamos el P.H.D. para obtener:
[K F ] = [ m v² ]
Magnitud física Símbolo Unidad de medida (SI) Sistema inglés
Longitud L metro (m) pulgada (in), pie (ft), yarda (yd), milla (mi)
Masa M kilogramo (kg) libra (lb), onza (oz)
Velocidad LT^(-1) metro/segundo (m/s) milla/hora (mi/h)
Fuerza ML²T^(-2) Newton (N) libra fuerza (lb )
Propiedad 4. Las funciones trigonométricas operan sobre ángulos,
que son adimensionales.
De acuerdo a los datos del problema, tenemos:
[ F ] = M L T^(-2), [ m ] = M, [ v ] = L T^(-1)
Utilizando la regla del producto/división, queda:
La ecuación física es: Z = F a².
Aplicamos ahora el P.H.D para obtener:
P = Presión
V = Volumen
Aplicando la Propiedad 3 a la función exponencial, tenemos:
1. Aplicamos el P.H.D.:
2. Regla producto/división:
3. Las dimensiones de cada
variable
a) Es falso:
Si aplicamos el P.D.H. a la ec. física
X + MTy = z - L²F
obtenemos:
[X] = [MTy] = [z] = [L²F]
Entonces: [X] = [MTy].
Sistemas de unidades y conversiones de unidades
Propiedad 2. Los ángulos, funciones trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales son adimensionales.
Utilizando la información del enunciado, sabemos que:
La magnitud K tiene dimensiones de PRESIÓN, por lo tanto su unidad de medida
en el SI es el Pascal (Pa).
Aplicamos el P.H.D. a la ec. física del problema para obtener:
Luego, de la regla del producto/división tenemos:
Luego, de acuerdo a la regla del producto/división obtenemos:
Sustituyendo la información de las dimensiones de v y kT, queda:
Luego, con la regla del producto/división, queda:
Gracias a las Propiedades 1 y 2, que nos dicen que 12 y log(5) son
cantidades adimensionales, obtenemos la igualdad:
[k] = [m] [g]
La ecuación física es K = PV + Q.
Aplicando el P.H.D., tenemos: [K] = [PV] = [Q].
1. Aplicar P.H.D.:
A = B² - (C/D)

2. Vectores
Cantidad escalar: Es una magnitud física que está definida a través de un
número real y una unidad de medida.
Por ejemplo: Temperatura = 21 °C
Presión = 250 Pa
Longitud = 30 cm
Tiempo = 10 s
Masa = 0.1 x 10^(-3) g
Cantidad vectorial: Es una magnitud física que, para definirla, se requiere
no sólo de una unidad de medida, sino además de una dirección y sentido.
Por ejemplo: Fuerza = 10 N hacia la derecha
Velocidad = 20 km/h en dirección noreste
Aceleración = 10 m/s² hacia la izquierda
Campo eléctrico = 200 N/m hacia la derecha
Tensión = 10 N dirigidos 30° hacia el norte del este
Vector es una forma de representar analítica y gráficamente a una cantidad
vectorial. Para el plano xy tendremos lo siguiente:
A(2,1) -> Casa
B(5,4) -> Tacos
C(7,2) -> Cantina
Definamos la cantidad vectorial llamada VECTOR DE POSICIÓN, el cual
permite ubicar a cualquier lugar u objeto en el plano xy a partir de un
punto de partida:
donde: (x1,y1) son las coordenadas del punto de partida
(x2,y2) son las coordenadas del punto de destino
i , j indican la dirección horizontal y vertical, respect.
Ejemplo. Contruir el vector de posición que ubique a los tacos
respecto a la casa.
A la cantidad (x2-x1) se le conoce como LA COMPONENTE 'x' DEL VECTOR.
A la cantidad (y2-y1) se le conoce como LA COMPONENTE 'y' DEL VECTOR.
A(2,1) -> Casa
B(5,4) -> Tacos
C(7,2) -> Cantina
Ejemplo 2. Ubicar a la cantina a partir de los tacos:
A(2,1) -> Casa
B(5,4) -> Tacos
C(7,2) -> Cantina
Ejemplo. Ubicar a la casa a partir de la cantina.
Si queremos conocer la distancia que separa en línea recta a los puntos de
partida y de destino, debemos obtener LA MAGNITUD O EL MÓDULO del vector
de posición.
El módulo de cada uno de los vectores anteriores es:
Componente 'x' del
vector:
Componente 'y' del
vector:
En el triángulo de la figura podemos definir
las siguientes razones trigonométricas:
Calculemos el ángulo que existe entre cada uno de los vectores anteriores y el
eje horizontal positivo.
(El ángulo está en el I cuadrante)
(El ángulo está en el IV cuadrante)
(El ángulo está en el III cuadrante)
Por otro lado, tenemos lo siguiente:
Ejemplo 1. Obtenga las componentes de cada vector en los problemas
anteriores a partir de su módulo y su dirección (ángulo).
Para el vector que ubica a los tacos desde la casa, tenemos:
Por lo tanto:
Para el vector que ubica a la cantina a partir de los tacos,
tenemos:
Por lo tanto:
Para el vector que ubica a la casa a partir de la cantina,
tenemos:
Por lo tanto:
Suma de vectores y multiplicación con escalares
SUMA. Dados dos vectores A y B, la suma de estos da como resultado un
nuevo vector, que se calcula como:
Ejemplo. Encuentre la suma de los siguientes vectores:
Tenemos:
A(2,1) -> Casa
B(5,4) -> Tacos
C(7,2) -> Cantina
(El vector suma o resultante es el vector que une al punto
A directamente con el punto C.)
Propiedades de la suma de vectores:
1. Propiedad conmutativa:
2. Propiedad asociativa:
3. Existencia del neutro
aditivo:
4. Existencia del inverso
aditivo:
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. Dado un escalar 'a' y un vector
A, su producto se define como:
1. Propiedad asociativa bajo la suma de
escalares:
2. Propiedad asociativa bajo el producto de
escalares:
3. Propiedad distributiva respecto a la suma
de vectores:
4. Existencia del neutro multiplicativo:
Ejemplo. Con los vectores construidos previamente, determine:
a) 3 b) (1/2) c) -
a) Tenemos:
Calculemos el módulo del vector N, así como su dirección:
Notamos que el módulo del vector N es 3 veces mayor al
del vector r , mientras que sus direcciones son iguales.
b) Tenemos:
Calculemos ahora el módulo del vector P y su dirección:
Notamos que el módulo del vector P es la mitad que el del
vector r , mientras que sus direcciones son iguales.
c) Finalmente:
Obtengamos el módulo del vector Q y su dirección:
El módulo del vector Q es exactamente el mismo que el de vector r , pero
su dirección difiere del otro vector por 180°.
Vectores unitarios. Un vector unitario es aquel que tiene módulo igual a 1. Dado
un vector diferente del vector 0, podemos obtener un vector unitario que tenga
la misma dirección, de la siguiente forma:
Ejemplo. Obtenga los vectores unitarios correspondientes a los vectores
previamente construidos en el croquis:
a) Para el primer vector, tenemos:
Entonces:
b) Ahora, para el segundo vector tenemos:
Luego:
c) Finalmente, para el tercer vector:
Por lo tanto:
Los vectores unitarios que se utilizan en el plano xy para indicar la
dirección de un vector son los vectores
Físicamente, nuestro mundo puede ser descrito por vectores
en 3 dimensiones. Estos vectores pueden escribirse de la
siguiente forma:
Para vectores en el espacio 3D, varias de las cantidades
descritas para el plano xy siguen siendo válidas con la
corrección de introducir el término de la componente 'z' del
vector. Por ejemplo:
Cosenos directores
Los cosenos directores son cantidades que se
utilizan para orientar a los vectores en el
espacio 3D. Se calculan se la siguiente
manera:
Dados los siguientes vectores en el espacio 3D, encuentre lo siguiente:
a) El módulo de cada vector
b) Los ángulos de dirección con cada uno de los ejes coordenados
c) Las sumas indicadas:
i) A + B ii) D - 3C iii) A+2B-3(D+C)
Multiplicación escalar o producto punto
Dados dos vectores A y B, se define la multiplicación ESCALAR de los vectores A y B como sigue:
Ejemplo. Obtenga el producto escalar de los vectores siguientes:
Entonces:
Ejemplo. Obtenga el producto escalar de los vectores:
Tenemos:
Propiedades del producto escalar (producto punto):
1. Si A = 0 o B = 0, entonces:
2. Si ninguno de los vectores A y B son ambos el
vector cero, pero su producto escalar es nulo, se
dice que los vectores A y B son ortogonales. La
afirmación recíproca también es cierta.
3. Propiedad conmutativa:
4. Propiedad distributiva:
5. Propiedad asociativa:
Ejemplo de la propiedad 2. Sean los vectores:
Calculamos su producto escalar:
El producto escalar permite conocer el
ángulo que se forma entre dos vectores de la
siguiente manera:
En el problema anterior, encontramos que para
los vectores A y B del ejemplo, su producto
escalar fue cero. Por lo tanto:
Producto vectorial o producto cruz
Dados dos vectores A y B, se define la multiplicación VECTORIAL
de los vectores A y B como sigue:
Ejemplo. Obtenga el producto vectorial de los vectores siguientes:
Ejemplo. Obtenga el producto vectorial de los vectores:

3. "El producto vectorial da como resultado un nuevo vector que es ORTOGONAL
a los vectores que le dieron origen."
Por ejemplo, recordemos los vectores D y B anteriores, así como su producto
vectorial D x B.
Propiedades del producto vectorial (producto cruz)
1. Si los vectores A y B tiene direcciones paralelas, entonces su
producto vectorial es el vector 0.
2. El producto vectorial entre el vector 0 y cualquier otro
vector A es igual a vector cero 0.
3. El producto vectorial NO es conmutativo.
4. Propiedad distributiva.
5. Propiedad asociativa
6. El módulo del producto vectorial de los vectores A y B se
calcula como:
donde el ángulo theta es el ángulo que se forma
entre los vectores A y B.
El área del paralelogramo delimitado por
los vectores V y U se determina como:
Interpretación geométrica del producto vectorial.
Ejemplo: Determine el módulo del vector D x B utilizando las dos
definiciones para el módulo del producto vectorial.
a) Tenemos:
b) Utilizando la Propiedad 6, tenemos:
Entonces:
d) Determinar el módulo y dirección del vector V - V .
Primero:
Luego:
(El vector se encuentra en
el cuadrante IV)
Para el vector A:
Para el vector B:
Para el vector C:
a) La suma de los tres vectores expresada en sus componentes es:
b) La suma de los tres vectores expresada en su módulo y dirección:
Ejercicio. Determine los valores de los escalares 'a' y 'b' tales que:
Teniendo en cuenta las operaciones con vectores, tenemos lo siguiente:
De lo anterior, podemos obtener lo siguiente:
A continuación se resolverá el sistema de ecuaciones:
Con el valor de 'b', obtenemos el valor de 'a':
Ejemplo. Dados los vectores:
determine el valor de 'c' que permite que los vectores sean ortogonales.
Si los vectores U y V son ortogonales se debe cumplir que su producto
escalar sea cero. Entonces:
Vector de posición: Es un cantidad vectorial que permite ubicar a una partícula o un
sólido rígido en el espacio. La dimensión (análisis dimensional) del vector de posición
es LONGITUD.
De forma general, el vector de posición está dado como:
Cinemática
Es la disciplina que se encarga de clasificar y comparar los movimientos.
En el caso de que el punto A sea el origen de coordenadas, el vector de posición de la
partícula se escribe de la siguiente manera:
Por simplicidad, consideraremos el caso de una partícula que se encuentra moviéndose en el
plano xy, y además asumiremos que el punto de referencia se encuentra en el origen de
coordenadas. Entonces:
Vector de desplazamiento. Es una cantidad vectorial que nos permite conocer el cambio de
posición de una partícula.
Analíticamente, el vector de desplazamiento entre una posición inicial y una posición final se
determina como sigue:
Ejemplo. En la figura anterior, los vectores de posición son:
El vector desplazamiento r es:
Ahora, para conocer QUÉ TAN RÁPIDO CAMBIÓ LA POSICIÓN de una partícula, debemos tomar en
cuenta el intervalo de tiempo que le tomó a esta desplazarse de una posición inicial a una final.
Esto nos permite definir la cantidad llamada VELOCIDAD PROMEDIO.
La velocidad promedio se calcula como sigue:
Suponiendo que en el ejemplo pasado, a la partícula le tomó 6 s desplazarse, su velocidad promedio es:
Considere la trayectoria de la siguiente figura:
Para el trayecto en la figura de la izq., el desplazamiento
total de la partícula se determina como:
Por lo anterior, la velocidad promedio de la partícula será 0 m/s.
La distancia total recorrida (D) es igual a la suma de los módulos de los vectores de desplazamiento, aun y
cuando la partícula regresa a su posición incial.
Con lo anterior, definimos la rapidez promedio como sigue:
Distancia total recorrida
Tiempo total empleado en el recorrido
Velocidad instántanea (velocidad)
Para poder describir de manera exacta el movimiento de una partícula, es necesario conocer cómo se cambia el vector
de posición como función del tiempo, es decir:
De esta manera, podemos obtener la velocidad de la partícula de forma más exacta:
Conocida la velocidad con la que se mueve una partícula, podemos estar interesados en conocer CUÁN TAN RÁPIDO
ESTÁ CAMBIANDO LA VELOCIDAD en el tiempo. Al cambio de velocidad en función del tiempo se le conoce como
ACELERACIÓN.
De forma análoga a la velocidad promedio, la aceleración promedio se
define como:
Por su parte, la aceleración instántanea (aceleración) se calcula como sigue:
Como aplicación de los temas anteriores, a continuación revisaremos el llamado
MRUA efectuado en el eje x. En este tipo de movimiento, la aceleración es
constante.
Considere la siguiente gráfica:
Observando el comportamiento cualitativo de las pendientes de
las rectas tangentes a la gráfica de x(t) obtenemos un gráfico del
comportamiento de la velocidad:
Observando el comportamiento cualitativo de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de v(t) obtenemos un
gráfico del comportamiento de la aceleración.
Inversamente, conocida la función aceleración de una partícula, podemos
obtener la función velocidad de la siguiente manera:
Analogamente, a partir de la función velocidad, la función posición se determina de
la siguiente manera:

4. Para determinar la rapidez promedio, debemos considerar
que la distancia total recorrida D en el trayecto redondo es
de 500 km.
Por otro lado, sabiendo la velocidad promedio en cada parte
de recorrido total (viaje de ida y viaje de regreso), y
tomando en cuenta que en cada uno se recorrieron 250 km,
podemos calcular el tiempo de ida y el tiempo de regreso,
respectivamente. Es decir:
Luego, recordando que una hora del viaje se
destino para almorzar, el tiempo total invertido en
el recorrido es:
De esta manera, la rapidez promedio es:
Por su parte, la velocidad promedio tiene un módulo igual a 0
m/s porque el viaje es redondo, es decir, el desplazamiento
total es cero.
a) La rapidez promedio se calcula tomando en cuenta que el
perro recorrió una distancia total D = 180 m, y que el tiempo
empleado en ese recorrido es de t = 8.4 s + (1/3)(8.4 s) = 11.2
s. Entonces:
b) La velocidad promedio se determina tomando en cuenta
que la posición inicial del perro fue
y su posición final fue:
Por lo tanto:
Movimiento con aceleración constante en una dimensión (MRUA).
Cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba, por efecto de la
aceleración debida a la gravedad, este va perdiendo velocidad. En el
punto más alto de su trayectoria, su velocidad es 0 m/s. Entonces, las ec.
anteriores se escriben de la siguiente manera:
a) Para el movimiento en caída libre, asumiendo que la persona se deja caer (0 m/s)
desde su posición inicial (15 m desde arriba de la red), podemos determinar la
velocidad con la que la llega a la esta (situándola en el nivel 0 de alturas):
Conocida esta velocidad, podemos determinar la aceleración promedio con la que la
persona se frenará debido al contacto con la red. Para esta parte del movimiento,
tenemos lo siguiente (ya que no conocemos el tiempo que le toma a la persona en
detenerse):
Considerando como posición inicial y = 0 m al punto de contacto con la red y como
posición final al punto en el que finalmente la persona se detiene ( y = - 1 m),
tenemos:
La aceleración tiene un signo positivo porque para que la persona se detenga, la red
debe irla frenando: ya que la persona se mueve hacia abajo, la aceleración debe
estar dirigida en dirección opuesta.
b) De la ec. (1) podemos notar que el módulo de aceleración depende de la posición
final en la que la persona alcanza el reposo absoluto (0 m/s). Si dicha posición
tuviese un valor mayor, la desaceleración disminuiría por lo que sería más seguro
para la persona. En consecuencia, lo más adecuado es tener una red más flexible.
Supóngase que una partícula se mueve con aceleración constante en una sola dimensión. En el
caso de que la partícula se mueva en el eje 'x', tenemos lo siguiente:
Anteriormente se había comentado cómo obtener la velocidad y la posición cuando se conoce la
aceleración:
Caída libre hacia la red
Tomando como punto de referencia o punto inicial de movimiento el valor
de y = 0 m, entonces:
Despejando el tiempo de la ec. (1) y sustituyéndolo en la ec. (2),
obtenemos el siguiente resultado:
La persona entra en contacto con la red
Cantidades de interés en el tiro parabólico:
1. Alcance horizontal (R). Es la máxima distancia que recorre un objeto bajo la
condición de que este regresa a la misma altura de salida (y = 0 m).
2. Tiempo total de vuelo. Bajo el supuesto de que el objeto regresa a la misma
altura de salida, es el tiempo que le toma a este recorrer la distancia R.
En este problema, el movimiento se realiza en el eje y. Por lo tanto, las
ecuaciones que describen el movimiento son:
Antes de resolver el problema, determinemos las unidades de medida de las
cantidades que aparecen en la función x(t). Consideremos A = 2, B = -3.6 y C =
1.1. Entonces:
Aplicando el P.H.D, obtenemos:
Luego, con la regla del producto/división obtenemos:
Usamos la dimensiones de las cantidades dadas en el problema: [x] = L y [t] = T.
Entonces:
De lo anterior, obtenemos las siguientes igualdades:
Las uniadades de medida de A son m.
Las uniadades de medida
de B son m/s.
Las uniadades de medida
de C son m/s².
a) El vector de posición de la partícula es:
Luego, la posición de la pelota en t = 1s, t= 2s y t= 3s es, respectivamente:
Gráficamente:
b) La velocidad promedio en el intervalo de t = 1s a t=3s es:
c) La velocidad instantánea es:
Finalmente, para t = 2s y t = 3s, tenemos:
Para determinar el tiempo que le toma al fugitivo alcanzar al vagón vacío,
debemos tomar en cuenta:
1) El fugitivo se mueve con velocidad constante (escena B) con un valor de 6
m/s.
2. La posición inicial para la escena B está determinada por los valores en la
escena A.
De la escena A, determinaremos la posición x en la cual el fugitivo alcanza la
velocidad máxima de 6 m/s. Entonces:
Por lo tanto, para la escena B, la ec. de movimiento para el fugitivo medida a partir
del punto en el que alcanza la valocidad de 6 m/s es la siguiente:
Por su parte, la ec. de movimiento para el vagón es:
Para conocer el tiempo que le toma al fugitivo alcanzar al vagón, una vez
que se mueve con velocidad 6 m/s, debemos igualar las posiciones:
La posición en la cual el fugitivo logra alcanzar al vagón resulta ser:
Para este problema realizaremos la construcción de un modelo general aplicable a
cualquier valor de las cantidades que nos da el problema:
1. Altura de la persona (posición inicial, y )
2. Ángulo de disparo ( )
3. Velocidad inicial ( )
4. Altura de la canasta (posición final, y )
Para lograr lo anterior, debemos considerar lo siguiente: el tiempo 't' que le toma
a la pelota desplazarse horizontalmente hasta la posición 'x' es el mismo tiempo
que debe emplear para el desplazamiento vertical (de y a y ).
Entonces, situando la posición inicial en el eje 'x' en 0 m, tenemos:
Conocido el tiempo 't' que tarda en llegar a la posición horizontal de la canasta,
tenemos ahora:
La ecuación anterior corresponde a una ecuación cuadrática, la cual se puede
resolver a través de la fórmula general:
Como se sabe, al resolver la ecuación cuadrática se tendrán dos valores para 'x'. Uno
de esos valores (x ) corresponderá a la posición en el eje 'x' en el cual la pelota
alcanza la posición vertical y mientras va subiendo. El otro valor (x )
corresponderá al momento en el que la pelota ha llegado a la canasta.
Conocida la posición x podemos conocer el tiempo 't' en la ec. (1), que nos dice
cuánto tardo el deportista en encestar.
Movimiento de proyectiles o tiro parabólico.
Las ecuaciones que describen este movimiento en el eje 'x' y en el eje 'y' son,
respectivamente:
Ahora, podemos determinar el tiempo t que tardo el auto en detenerse tras
aplicarse los frenos.
Para responder la pregunta y saber si se detuvo o no a tiempo, debemos calcular
la posición en la cual el vehículo tuvo la velocidad 0 m/s (se detuvo).
Por lo tanto, primero debemos determinar la posición del vehículo en la cual se
aplicaron los frenos, es decir, x1. En ese proceso la aceleración fue de 0 m/s².
Conocido este tiempo, la posición final en la cual se detuvo es:
Por lo anterior, podemos concluir que el vehículo no alcanzó a detenerse antes de la
intersección.
A partir de la ec. para el alcance horizontal tenemos lo siguiente:
Antes de encontrar el valor del ángulo de disparo, analicemos el
comportamiento de la función seno en el círculo unitario:
Existen dos ángulos y
para los cuales el valor del
seno es el mismo.
De la gráfica se puede notar
que la relación entre tales
Por lo tanto, el primer ángulo de disparo lo determinamos
de la ec. (1) como:
Entonces, el segundo ángulo es:
b) Para conocer el ángulo con el que la pelota entra a la canasta, basta
con conocer las componentes de su velocidad final . Es decir:
Por lo tanto:
Podemos relacionar el ángulo que forma el vector velocidad v (con el
eje 'x') con el tiempo transcurrido desde el lanzamiento a través de sus
componentes (como en el ejercicio anterior):
Sin embargo, en el problema se indica que la pelota se lanza
horizontalmente, entonces el ángulo de disparo = 0°. Por lo tanto:
Podemos notar que el ángulo será cada vez más negativo conforme el
tiempo aumenta, como debe de esperarse en el recorrido de caída.
En el caso de la Tierra, la altura máxima será:
Para el caso de la Luna, notemos que Por lo tanto:

5. Antes de obtener el DCL del bloque, para facilitar los cálculos posteriores, el
sistema de coordenadas se definirá de la siguiente manera:
a) Tomando en cuenta lo anterior, el DCL asociado al bloque es:
Así, las componentes de las fuerzas dan lugar a las siguientes ecuaciones:
Por lo tanto, las componentes de las fuerzas dan lugar a las siguientes ecuaciones:
Eje x:
Eje x:
Eje y:
De la suma de fuerzas en el eje 'y', podemos concluir que:
Por su parte, en el eje 'x' tenemos lo siguiente:
De la suma de fuerzas en el eje 'y', podemos concluir que:
Por su parte, en el eje 'x' tenemos lo siguiente:
De esta forma, se puede concluir que en presencia de fricción, el bloque se desplaza
a lo largo del plano inclinado con una aceleración a menor al caso en el que no hay
fricción, para el cual
Es decir que, en ausencia de fricción y alguna otra fuerza, el bloque se desplaza a
lo largo del plano inclinado con una aceleración a de módulo igual a:
b) Para determinar la velocidad con la que el bloque llega al fondo del plano
inclinado, desde el reposo a una distancia 'd' desde la base del plano, notemos que
su aceleración es constante.
Luego, utilizando las ecuaciones para el MRUA encontramos lo siguiente:
Luego, utilizando las ecuaciones para el MRUA encontramos lo siguiente:
Fuerzas de fricción.
Cuando un objeto interactúa con su entorno, pueden existir un tipo especial de
fuerzas que se oponen a su movimiento, ofreciendo una resistencia al
desplazamiento: una superficie rugosa, fluidos (aire, agua), etc.
Según su efecto en el movimiento, las fuerzas de fricción pueden ser de dos tipos:
a) Fuerza de fricción estática (f ): para una fuerza F aplicada sobre el objeto,
impiden que este se mueva. Se relaciona con el módulo de la fuerza normal n
como:
es el coeficiente de fricción estática
b) Fuerza de fricción cinética (f ): para una fuerza F aplicada sobre el objeto
que lo desplaza en alguna dirección, se oponen al movimiento del objeto. Su
relación con el módulo de la fuerza normal n está dada por:
es el coeficiente de fricción cinética
Primero, el DCL para el bloque se puede
tomar directamente de la figura.
Entonces, analizando las componentes de
las fuerzas que actúan sobre éste, se
tiene:
Eje x:
Eje y:
De las ecuaciones anteriores, podemos concluir lo siguiente:
Conforme en ángulo de inclinación se acerca un valor crítico para el cual
el objeto comienza a deslizarse, se cumple que
Entonces, sustituyendo en la ec. (3), considerando que , se tiene:
El valor del módulo de la fuerza normal está dado por la ec. (4). Luego:
a) Para determinar el módulo de la aceleración 'a' con la que el bloque se desliza,
podemos proceder del mismo modo que para el caso sin fricción.
Entonces, reorientando correctamente el sistema de coordenadas tenemos lo
siguiente:
Para la fricción cinética se tiene la siguiente relación:
Entonces, sustituyendo la ec. (2) en (1) se obtiene lo siguiente:
Inercia: La masa m es la propiedad de un objeto que especifica cuánta
resistencia muestra un objeto para cambiar su velocidad. Es una cantidad escalar
que se mide en kg (en el SI).
2da. Ley de Newton:
- La aceleración a de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta F
que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa m.
- Si una fuerza externa neta F actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La
dirección de aceleración a es la misma que la dirección de la fuerza neta.
Leyes de Newton
1era. Ley de Newton:
- Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta F se mueve con velocidad
constante v (que puede ser cero) y aceleración cero.
- En ausencia de fuerzas externas F, un objeto en reposo se mantiene en reposo y
un objeto en movimiento continúa en movimiento con una velocidad constante v
(esto es, con una rapidez constante en una línea recta).
Ejemplos de la 2da. Ley de Newton.
Considere un objeto de masa m = 10 kg que inicialmente se desplaza en la dirección
+x con una velocidad v = 15 m/s.
Tomando en cuenta que , al sumar ambas ecuaciones, se encuentra
lo siguiente:
Como la aceleración a es constante en cada eje, se pueden utilizar la ecuaciones
del MRUA para conocer la velocidad del objeto en cada eje pasados 5 s:
En este problema, al existir dos bloques, se deben dibujar dos DCL, uno para cada
bloque. Así, los DCL son, respectivamente:
b) Para determinar la velocidad con la que el bloque llega al fondo del plano
inclinado, desde el reposo a una distancia 'd' desde la base del plano, notemos que
su aceleración es constante.
Para cada uno de los siguientes casos, determine la velocidad del objeto en t = 5 s.
Eje y:
3era. Ley de Newton:
- Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre
el cuerpo B (una “acción”), entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”).
Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre
diferentes cuerpos.
Como la aceleración a es constante, se pueden utilizar la ecuaciones del MRUA para
conocer la velocidad del objeto pasados 5 s:
a) Para conocer la aceleración con la que los bloques se moverán, basta con
resolver el sistema de ecuaciones que surge de las ecuaciones de para el eje 'x':
Usando la 2da. Ley de Newton, tenemos el valor de la aceleración:
Como la aceleración a es constante, se pueden utilizar la ecuaciones del MRUA para
conocer la velocidad del objeto pasados 5 s:
Luego, el DCL asociado al bloque es:
Resolución de problemas: diagramas de cuerpo libre
Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama que muestra el cuerpo elegido
solo, “libre” de su entorno, con vectores que muestren las magnitudes y direcciones
de todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan
con él.
Dinámica
La dinámica estudia la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo causan.
¿Qué es una fuerza? Es el resultado de la interacción de un objeto con otro objeto, o
con su entorno. Es una cantidad vectorial que puede ser de distintos tipos:
a) De contacto: fuerza de tensión (T), fuerza normal (n), fuerza de fricción
(f), etc.
b) De largo alcance: peso o fuerza de gravedad (W), fuerza eléctrica, fuerza
magnética, etc.
Además, estas cantidades vectoriales cumplen el principio de superposición: el efecto
de cualquier cantidad de fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo es el mismo de
una sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas.
La unidad de la fuerza es el Newton (N): 1 N = (1 kg) (1 m/s²).
a) Se aplica una fuerza F = 5 N i.
Nuevamente, aplicando la 2da. Ley de Newton, puede determinar la aceleración que
la fuerza aplicada genera sobre el objeto:
Entonces:
De lo anterior, podemos obtener las siguientes ecuaciones para cada bloque:
Eje x Eje y
m :
m :
b) Se aplica una fuerza F = -25 N i.
Aplicando la 2da. Ley de Newton, puede determinar la aceleración que la fuerza
aplicada genera sobre el objeto:
El siguiente paso consiste en escribir la información de las fuerzas que actúan en
cada bloque para aplicar la 2da. Ley de Newton:
c) Se aplica dos fuerzas F = 25 N i y F = -15 N j.
Para m Para m
Para conocer los módulos de las fuerzas y , basta con sustituir el valor de
la aceleración en cada ecuación (1) y (2):
Para m Para m
a) Dado que hay dos masas en el sistema, hay que construir un DCL para cada
bloque, obteniendo lo siguiente:
Para m : Para m :
b) Al analizar las componentes de cada una de las fuerzas presentes, se tiene lo
siguiente:
Para m :
Eje x:
Eje y:
Ahora, para m :
Eje y:
Para poder determinar las ecuaciones para la aceleración del sistema y la tensión
en la cuerda, es necesario tomar en cuenta lo siguiente:
1. Los bloques están unidos a través de una cuerda que se asume no elástica.
Esto implica que el movimiento de un bloque afecta al otro. Por lo tanto,
podemos afirmar que:
2. Las fuerzas de tensión mostradas en el DCL de cada bloque son fuerzas de
tipo "3era. Ley de Newton". Esto quiere decir que sus módulos son iguales. Así,
podemos escribir que:
De esta manera, las ecuaciones (1) y (3) se pueden escribir de la siguiente forma,
respectivamente:
Podemos notar que se tiene
un sistema de 2 ecuaciones
de con 2 incógnitas.
Para resolver sistema de ecuaciones anterior, se puede restar la ec. (5) de (4), para
conocer así el valor del módulo de la aceleración 'a':
Conocido el módulo de la aceleración 'a' del sistema, podemos determinar el
módulo de la tensión T en la cuerda sustituyendo el valor de 'a' en la ec. (4):

6. Debemos notar que el lodo ejerce una fuerza F(x)
sobre el meteorito que se opone a su desplazamiento
d, conforme este se va adentrando en el lodo suave.
El cambio observado en la energía cinética K del
meteorito se puede explicar a través del trabajo
mecánico W efectuado por el lodo:
Se define el trabajo mecánico W realizado por una fuerza F sobre la
partícula de masa m, durante el desplazamiento d se determina como:
Así, una vez identificadas las fuerzas que generan trabajo mecánico sobre la caja
tenemos:
Ahora, al asumir que el desplazamiento total se puede dividir en
desplazamientos infinitesimalmente pequeños, el trabajo mecánico total
se debe determinar de la siguiente manera:
Movimiento circular.
Cuando un objeto se mueve en un círculo de radio 'r' con rapidez constante
'v' tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro del círculo.
b) Como resultado de
esta interacción,
esperamos que la
velocidad de la partícula
sea menor al llegar al
punto x .
Signo del trabajo mecánico. El trabajo mecánico es una cantidad escalar
medida en Joules (1 Joule = 1 N m), que puede ser positiva, negativa o
cero, dependiendo de cómo actúe la fuerza F durante el desplazamiento
d:
a) Cuando la fuerza F tiene una componente en la misma dirección
que el desplazamiento d, tenemos que W > 0.
b) Cuando la fuerza F tiene una componente opuesta al
desplazamiento d, tenemos que W < 0.
c) Cuando la fuerza F es perpendicular al desplazamiento d, resulta
que W = 0.
donde
donde k es la constante de resorte (N/m)
mientras que el trabajo mecánico W efectuado por un agente externo sobre un
resorte para alterar su longitud es positivo, ya que la fuerza aplicada por el agente
externo a un extremo del resorte tiene la misma dirección que el desplazamiento.
Energía potencial y fuerzas conservativas
La energía potencial U es el tipo de energía asociada con fuerzas que dependen de
la posición o configuración de un objeto en relación con su entorno. Por ejemplo:
- Energía potencial gravitacional U = m g y
- Energía potencial elástica U = k x
- Energía potencial eléctrica U =
Existe un tipo especial de fuerzas F llamadas fuerzas conservativas para las cuales
se cumple lo siguiente:
a) El trabajo mecánico W hecho por la fuerza F sobre un objeto que se mueve
de un punto a otro depende sólo de las posiciones inicial y final del objeto, y es
independiente de la trayectoria particular tomada.
b) Una fuerza F es conservativa si el trabajo neto realizado por la fuerza sobre
un objeto que se mueve alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero.
De esta manera, los cambios en la energía potencial U se relacionan con el trabajo
mecánico W realizado por una fuerza conservativa como:
En el instante en el que la persona se suelta,
su velocidad es cero y se encuentra a una
posición vertical y = h. En tal punto, la
energía mecánica de la persona es:
Recordando la relación entre la velocidad lineal y la aceleración centrípeta,
encontramos lo siguiente:
Para determinar el trabajo realizado por la
fuerza F sobre el objeto durante el
desplazamiento d bastará con determinar el
producto escalar de ambos vectores:
Como la única fuerza que actúa sobre la piedra es la fuerza de gravedad, que
es una fuerza conservativa, la energía mecánica total E se conserva. Por lo
tanto, podemos escribir lo siguiente:
Para analizar el problema, debemos obtener
primero el DCL del la pelota de masa m. Para
el arreglo en la figura, tenemos lo siguiente:
c) Situando ahora al punto de referencia y = 0 m en el punto 3, la energía
potencial gravitacional U en los puntos 2 y 3 es, respectivamente:
Sustituyendo la ec. (2) en (1), obtenemos:
Despejando la velocidad:
Para hacer que la partícula acelere hacia el centro del círculo, la fuerza neta F
sobre la partícula debe estar dirigida siempre hacia el centro (fuerza centrípeta).
El módulo de la aceleración centrípeta (o radial) a está dada por:
Se denomina periodo T al tiempo que le toma a la partícula completar una vuelta
completa, es decir, 2 rad:
mientras que cuando hay fricción, resulta:
Para conocer el ángulo entre los vectores F y d, primero debemos determinar el
módulo de cada uno de ellos:
Luego:
Conocida la fuerza resultante que actúa sobre el objeto, el trabajo mecánico W se
calcula como:
Finalmente, combinando las ecs.
anteriores:
Entonces:
Por lo tanto, tenemos:
Teorema Trabajo - Energía
Se puede establecer una relación entre el trabajo mecánico debido a una
fuerza F y los cambios en la velocidad de la partícula.
Para ello, consideremos el caso de una partícula de masa m que se mueve
en el plano xy desde el punto A hasta el punto B con una velocidad inicial
v . Durante el desplazamiento una fuerza neta (constante o variable)
actúa sobre la partícula. Entonces:
El análisis de las componentes da
lugar a las siguientes ecuaciones:
Si sobre una partícula (o sistema) actúan múltiples fuerzas F , por la
propiedad distributiva del producto escalar, se puede demostrar que el
trabajo mecánico total o neto W es igual a la suma de los trabajos
mecánicos individuales W debidos a cada una de las fuerzas F durante el
desplazamiento d:
Entendido de esta manera, podemos concluir lo siguiente: el trabajo mecánico W es
una transferencia de energía.
a) Si W > 0, la energía se transfiere al sistema. Es decir, la energía cinética K del
sistema aumenta.
b) Si W < 0, la energía se transfiere desde el sistema: la energía cinética K del
sistema disminuye.
Entonces:
De esta manera, durante el recorrido sin fricción tenemos:
El DCL para el automóvil cuando se encuentra en la curva peraltada
de la autopista es el siguiente:
A la cantidad se le denomina energía cinética de la partícula,
mietras que al resultado anterior, que se puede reescribir como , se le
conoce como el teorema Trabajo - Energía:
"El trabajo mecánico total efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual
al cambio de energía cinética de la partícula".
Importante: No existe la llamada "fuerza
centrífuga". Si bien, por ejemplo, un pasajero en
un automóvil que sigue una curva en un camino
horizontal tiende a deslizarse hacia fuera de la
curva, como si respondiera a una “fuerza
centrífuga”, lo que realmente sucede es que el
pasajero tiende a seguir moviéndose en línea
recta, y el costado del auto “choca” contra el
pasajero cuando el auto da vuelta.
Por lo tanto, del Teorema Trabajo - Energía, con una velocidad inicial de 0 m/s,
encontramos:
a) Como resultado de
esta interacción,
esperamos que la
velocidad de la partícula
sea mayor al llegar al
punto x .
Entonces:
Para conocer la velocidad final de la caja en la posicion x = 21 m, podemos aplicar
el Teorema Trabajo - Energía. Sin embargo, primero se debe determinar el trabajo
mecánico total que se efectúa sobre la caja durante su desplazamiento, desde x = 0
m.
Entonces, analizando las fuerzas que actúan sobre la caja encontramos lo siguiente:
Trabajo mecánico y energía
Consideremos el caso en el que una partícula de masa m se mueve con
velocidad incial v a lo largo del eje 'x'. En un cierto instante de tiempo,
durante el desplazamiento del punto x a la posición x , una fuerza F
actúa sobre la partícula. Entonces:
"Si sólo fuerzas conservativas están efectuando trabajo, la energía mecánica
total de un sistema ni aumenta ni disminuye en cualquier proceso. Permanece
constante, es decir, se conserva".
b) El cambio en la energía potencial gravitacional U al ir del punto 2 al 3 es:
b) Ley de Hooke
Cuando un resorte es deformado (estirado o comprimido) una distancia 'x', aparece
una fuerza F en dirección opuesta a la deformación y proporcional a la misma:
a) Consideremos como punto de referencia y = 0
al suelo, donde la persona toma la cuerda. En tal
instante la energía mecánica total es:
El trabajo mecánico W que el resorte efectúa sobre el objeto al que se une está
dado por:
Para resolver este problema, primero debemos definir el
punto de referencia a partir del cual se medirán las
alturas. Tomando en cuenta la figura, tomaremos y = 0 al
nivel del suelo.
De esta manera, elegimos como punto inicial en donde la
piedra se suelta, y = h. La energía mecánica en ese punto
es:
Reordenando los términos encontramos lo siguiente:
Conservación de la energía mecánica
Consideremos a una partícula bajo la acción de fuerzas conservativas. Entonces,
a partir del Teorema Trabajo - Energía y de la relación entre la energía
potencial y el trabajo mecánico debido a tales fuerzas, tenemos lo siguiente:
Como la fuerza de gravedad, que es conservativa, es la única fuerza que actúa
sobre la persona, la energía mecánica total se conserva. Por lo tanto:
Para determinar el trabajo efectuado por las dos
fuerzas, procederemos a determinar primero la
fuerza resultante:
Por otro lado:
Aplicando la regla de la cadena,
encontramos lo siguiente:
El segundo punto se tomará cuando la posición vertical de la piedra es y . La
energía mecánica en ese punto es:
Durante su movimiento, la pelota se mueve siguiendo una trayectoria circular.
Debido a la tensión T en la cuerda, la partícula experimenta una aceleración que
está dirigida hacia el interior del círculo en todo momento. Es decir, se trata de una
aceleración centrípeta (o radial).
Luego, las ecuaciones que surgen para describir el movimiento son las siguientes:
Eje x: Eje y:
Por otro lado, al tratarse de una fuerza F no constante, el trabajo mecánico W se
calcula de la siguiente forma:
c) Como resultado de
esta interacción,
esperamos que la
velocidad de la partícula
permanezca sin cambios
al llegar al punto x .
Definiendo a la energía mecánica total del sistema como E = K + U, resulta la
siguiente ley de conservación válida para sistemas bajo la acción de fuerzas
conservativas:
a) Situando como punto de referencia y = 0 m al punto 1 en la figura, la energía
potencial gravitacional U en los puntos 2 y 3 es, respectivamente:
Luego, el cambio en la energía potencial gravitacional es:
Dado que hay dos masas en el sistema, hay que construir un DCL para cada bloque,
obteniendo lo siguiente:
Para m : Para m :
Al analizar las componentes de cada una de las fuerzas presentes, se tiene lo
siguiente (que es válido tanto para el caso sin movimiento como para el caso del
movimiento con velocidad constante):
Para m :
Eje x:
Eje y:
Ahora, para m :
Eje y:
b) Para el caso en el que hay movimiento (fricción cinética) con velocidad
constante, a partir de las ecuaciones anteriores, tenemos lo siguiente:
Entonces, la siguiente secuencia de igualdades se cumple para el caso del
movimiento con aceleración cero:
a) Para el caso en el que no hay movimiento (fricción estática), a partir de las
ecuaciones anteriores, tenemos lo siguiente:
Para que el movimiento no ocurra, recordemos que para el caso de la fricción
estática se debe de cumplir lo siguiente:
Fuerzas dependientes de la posición
a) Fuerza de gravedad
Considere una partícula de masa m que se mueve de forma vertical bajo la acción
de la gravedad, F = - mg j. Entonces:

7. b), c) Para determinar la tensión T en la cuerda, debemos notar que durante su
desplazamiento, la persona realiza un movimiento circular de radio L. Entonces, el
DCL es:
Por lo tanto:
Eje x:
Eje y:
Tenemos entonces que:
Justo antes de soltarse, la velocidad de la persona es 0 m/s. Se sigue que:
Finalmente, de la ecuación para el módulo de la tensión T, podemos notar que
conforme el ángulo aumenta, la velocidad disminuye (porque el movimiento es
en contra de la gravedad). De esta manera, el módulo de la tensión T irá
disminuyendo. El valor máximo de la tensión T se tendrá cuando = 0° y la
velocidad es v :
De acuerdo al problema, en el instante inicial, el bloque ha sido desplazado una
cierta distancia x , por lo que el resorte se encuentra deformado la misma
cantidad. Además, la velocidad inicial del bloque es v . Por lo tanto, la energía
mecánica inicial es:
a) La velocidad máxima del bloque se alcanza cuando este se encuentra
momentáneamente en la posición en la que el resorte está en su estado natural (sin
comprimir o estirar). En ese instante la energía mecánica total es:
Como se pide ignorar la fricción y dado que la fuerza debida al resorte es
conservativa, la energía mecánica total se conserva, por lo que:
b) De forma análoga, el máximo alargamiento desde la posición de equilibrio
(cuando el resorte no está deformado) se logra cuando el bloque está
momentáneamente en reposo. En tal instante, la energía mecánica total es:
Nuevamente, ignorando la fricción, la energía mecánica total se conserva, por lo
que:
Conforme el auto va comprimiendo el resorte, la energía cinética K del vehículo
disminuye, mientras que la energía potencial elástica U del resorte aumenta.
Cuando el auto está totalmente detenido, la fuerza F que aplica el resorte es
máxima.
Por lo tanto, en el eje 'x' tenemos:
Si F es constante:
Asumiendo que durante el frenado se puede despreciar la fricción con el suelo, la
única fuerza que realiza trabajo mecánico sobre el auto es debida al resorte, que
es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica se conserva. Así:
Es importante hacer notar que la conservación del momento lineal es la ley de
conservación vectorial, es decir, se cumple en las dimensiones. Por lo tanto:
Se sigue entonces que:
a) En el análisis del problema podemos identificar 3 instantes importantes en la
situación descrita:
Colisiones perfectamente inelásticas
Para resolver este problema, debemos identificar al menos 3 momentos clave que
ocurren en la situación descrita:
Ahora, analizando el proceso de colisión, encontramos lo siguiente:
Además, como la colisión es elástica, la energía cinética total del sistema
también se conserva:
Ocurre el proceso de
colisión perfectamente
inelástica.
Luego:
Como ninguna fuerza externa actúa sobre las masas
durante su colisión, podemos asegurar que el momento
lineal total del sistema formado por las dos masas
permanece constante. Es decir:
Como no hay movimiento a lo largo del eje 'y', del DCL podemos
concluir lo siguiente:
En ese instante las fuerzas que actúan sobre el automóvil son:
A este resultado se le conoce como Teorema Impulso - Momento lineal, y establece
que el cambio del momento lineal p de una partícula durante un intervalo de
tiempo t es igual al impulso J de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante
ese intervalo.
Igualando las ecs. (1) y (2), determinamos el valor de la velocidad inicial v de la
bala:
Primero, se determinará el cambio en el momento lineal del balón debido al golpe
con el pie del jugador. Se tiene entonces:
En el caso de que la fuerza que actúa sobre el sistema no es constante, se puede
estimar una fuerza neta promedio:
Primero se determinará el cambio en el momento lineal del automóvil, para
después aplicar el Teorema Impulso - Momento lineal. Entonces:
Momento lineal e impulso lineal
La cantidad de movimiento lineal p (también llamada momento lineal, momento o
momentum) de un objeto se define como el producto de su masa m por su velocidad
v:
La unidad de medida del momento lineal es kg m/s.
Analizando el cambio del momento lineal p respecto al tiempo t, encontramos lo
siguiente:
Sustituyendo el valor de u en la ec. (5), obtenemos:
Para el péndulo con la masa incrustada, la única fuerza (conservativa) que actúa en
todo el movimiento es la fuerza de gravedad. Por lo tanto, la energía mecánica se
conserva. Entonces, eligiendo como punto de referencia y = 0 el nivel en el que el
péndulo y la masa m comienzan a moverse juntos, tenemos:
Colisiones y conservación del momento lineal
El término colisión representa un evento durante el que dos partículas se acercan
una a la otra e interactúan mediante fuerzas. Se supone que las fuerzas de
interacción son mucho mayores que otras fuerzas externas cualesquiera, por lo que
podemos tratar los cuerpos como un sistema aislado. Así, el momento lineal del
sistema se conserva.
Las colisiones se pueden estudiar en dos régimenes distintos, dependiendo si la
energía total del sistema se conserva o no:
Por otra parte, analizando las energías presentes en el proceso de compresión del
resorte encontramos:
Por lo tanto:
Teorema Impulso - Momento lineal
Considerando la expresión del impulso lineal J encontramos lo siguiente:
Esto quiere decir que el bote (junto con el niño) se desplazarán en la dirección
opuesta al paquete debido a la conservación del momento lineal.
Durante la colisión de los discos, todas las fuerza externas (normal, peso. etc.)
se pueden despreciar, por lo que el sistema de los dos discos se puede
considerar aislado y el momento lineal total en el eje 'x' se conserva. Es decir:
Por lo tanto:
Por lo tanto:
Por lo tanto:
La fuerza promedio que actúa sobre el balón, así como su dirección, son,
respectivamente:
Durante la compresión del resorte
debido al bloque con la masa
incrustada, la energía mecánica no se
conserva, debido a la fuerza de
fricción.
a) Una colisión elástica entre dos objetos es aquella
en la que la energía cinética total (así como el
momento lineal total) del sistema es la misma antes
y después de la colisión:
al igual que la energía cinética total:
Asimismo, cuando el auto está totalmente en reposo, el resorte está comprimido
una cantidad x, por lo que la energía mecánica total del sistema resulta ser:
Igualando las ecs. (1) y (2) encontramos que la velocidad mínima que permite que
el péndulo se balancee hasta el punto superior es:
Sustituyendo la ec. (5) en la ec. (3), obtenemos:
Por otra parte, en el instante en el que el auto entra en contacto con el resorte, el
vehículo tiene una velocidad inicial v , mientras que el resorte no está deformado.
En este momento, la energía mecánica total es:
donde:
Las colisiones inelásticas son de dos tipos.
i) Cuando los objetos se unen después de chocar, la colisión se llama
perfectamente inelástica.
ii) Cuando los objetos en colisión no se unen sino que se pierde parte de la
energía cinética, la colisión se llama inelástica.
Dado que esta velocidad u depende del proceso de colisión, debemos relacionarla
con la velocidad inicial v con la que la masa m debe impactar al péndulo. Durante
la colisión, las fuerzas externas pueden despreciarse, por lo que el momento lineal
total del péndulo y la masa m se conserva. Así:
Aplicando el Teorema Impulso - Momento lineal, tenemos:
Sustituyendo el valor de la velocidad u en la ec. (3), podemos conocer la
masa M:
Sustituyendo la ec. (1) en la expresión anterior, tenemos:
La ec. derecha se puede reescribir como:
Para determinar las velocidades y dirección con la que cada disco se mueve,
debemos determinar las cantidades u y u . Para ello, de las ecs. (1) y (2)
tenemos:
Conservación del momento lineal
Consideremos en sistema de dos partículas totalmente aislado de fuerzas
externas. Es decir, las únicas fuerzas que podrán afectar a las partículas son las
fuerzas de contacto entre ellas.
A partir de la 3era. Ley de Newton tenemos lo siguiente:
Ocurre la colisión perfectamente
inelástica
Luego, de las ecs. anteriores obtenemos:
Considerando que el sistema está formado por el niño en el bote y el paquete que es
lanzado, podemos notar que sobre estos elementos no actúan fuerzas externas. De
esta manera, podemos garantizar que el momento lineal total p del sistema se
conserva:
b) En una colisión inelástica la energía cinética
total del sistema no es la misma antes ni después de
la colisión (aun cuando el momento lineal del
sistema se conserve):
Ahora bien, como el movimiento se realiza solo de forma horizontal, podemos
escribir lo siguiente:
Notemos que la suma p + p es el momento lineal total p del sistema de dos
partículas. Entonces:
Sin embargo, el resultado obtenido corresponde al impulso dado a la pelota por la
pared. El impulso J dado a la pared se encuentra de la siguiente manera:
Esto significa que:
- El momento lineal total p de un sistema de objetos aislado
permanece constante.
- Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema
es cero, el momento lineal total del sistema es constante.
Después de la colisición, el péndulo con la
masa incrustada se desplaza
verticalmente.
Para determinar la masa M de la bola que inicialmente se encontraba en
reposo, de las ecs. (1) y (2) tenemos:
Para determinar el impulso dado a la pared debido al golpe con la pelota, se puede
emplear el Teorema Impulso - Momento lineal.
Dado que la pelota experimenta un cambio en su dirección de movimiento, el
cambio en su momento lineal p es:
Entonces:
Ahora, si estamos interesados en estimar el grado en el que la fuerza externa
cambia el momento lineal p de la partícula, definimos la siguiente cantidad
vectorial, llamada impulso lineal, J:
Cuando el bloque de masa M se mueve con la bala (de masa m) incrustada en él se
mueve, mientras va comprimiendo el resorte, la fuerza de fricción cinética f
realiza un trabajo mecánico W sobre el bloque que no permite que la energía
mecánica total se conserve. Para esta parte del proceso tenemos:
La fuerza neta F (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre una
partícula es igual a la rapidez de cambio del momento lineal p de la partícula.
Procediendo como en el ejemplo anterior, el momento lineal total de las
bolas se conserva:
b) La fracción de la energía cinética inicial de la bala que se disipa durante la
colisión se determina de la siguienta manera:
Por lo anterior, en el problema se debe considerar una etapa en el que se conserva el
momento lineal del sistema, y otra en la que se conserva la energía mecánica total.

8. En la expresión anterior se pueden distinguir dos términos, que son las componentes
centrípeta y tangencial de la aceleración, respectivamente:
El signo negativo en la aceleración indica que esta cantidad se mide en dirección
horaria, o a favor de la manecillas del reloj.
Para resolver la integral anterior, se propone el cambio de variable 'u = R²-y²'. Por lo
tanto, 'du = -2 y dy':
Para resolver la integral anterior, se propone el cambio de variable ' u = R²-x² '. Por
lo tanto, 'du = -2 x dx':
Determine las coordenadas del cdm de una placa semicircular homogénea de radio R
y masa M.
La velocidad angular se puede relacionar con la llamada frecuencia de rotación
f, la cual es el número de revoluciones (rev) completas por segundo. Una revolución
correspondería a un ángulo de 2pi rad, y entonces 1 rev/s = 2 pi rad/s.
Para resolver esta integral, se procede mediante sustitución trigonométrica,
tomando 'x = R sen( )' y por lo tanto 'dx = R cos( ) d '. Entonces:
donde la integral en el denominador es común a ambas expresiones.
Por lo anterior, primero se resolverá la integral en el numerador de la ecuación para
la coordenada 'x' del cdm.
De esta manera, el valor de la frecuencia rotacional en cada caso que se indica es,
respectivamente:
Por lo tanto, la integral en el numerador resulta:
A partir de las relaciones ya vistas, podemos relacionar la velocidad lineal del lector
láser con la frecuencia rotacional del CD:
Se conoce como POSICIÓN ANGULAR al ángulo que hace la línea de
referencia con el eje +x. La unidad de medida de la posición angular es el radián
(rad). 2 pi rad = 360°.
En analogía al movimiento traslacional (o lineal), se le conoce como
DESPLAZAMIENTO ANGULAR al cambio de posición angular:
Movimiento rotacional con aceleración angular constante
Cuando el movimiento rotacional se realiza con aceleración angular constante, se
obtienen las siguientes ecuaciones:
La base 'x' del rectángulo no es constante: depende de dónde se construya el
rectángulo. Por lo tanto, la base 'x' deberá expresarse en términos de la coordenada
'y'. Entonces:
Línea de referencia
Similar al movimiento lineal, definimos las siguientes cantidades importantes para
describir el movimiento rotacional de un cuerpo rígido alrededor de un eje de
rotación:
Como los cubos están alineados a lo largo del eje 'x' y tienen masa uniforme, la
coordenada 'y' del cdm será cero. Además, para el eje 'x', la posición de las "masas
puntuales" corresponderá a la posición del cdm de cada cubo. Entonces:
Finalmente:
La altura 'y' del rectángulo no es constante: depende de dónde se construya el
rectángulo. Por lo tanto, la altura 'y' deberá expresarse en términos de la
coordenada 'x'. Entonces:
De esta manera, la integral en el numerador para y es:
La posición angular se determina integrando la función anterior, desde t = 0
hasta un valor de tiempo t arbitrario:
Para determinar la velocidad angular bastará con integrar la función anterior
desde t = 0 hasta un valor de tiempo arbitrario t:
La integral en el denominador es:
De esta manera, la integral en el numerador para x es:
Considerando que las aspas de la licuadora desaceleran a razón constante, entonces:
Finalmente, sustituyendo en la expresión para x obtenemos:
Entonces:
Por otra la parte, la integral en el denominador es:
Al derivar la función anterior para determinar la velocidad, encontramos lo
siguiente:
Como antes, se debe construir el
diferencial de área dA que aparece
en el diferencial de masa dm.
Para el rectángulo en la figura, su
área es
Entonces, la coordenada 'x' del cdm de la placa triangular se encuentra como:
a) Velocidad angular promedio: es la
razón de cambio de la posición angular
respecto del tiempo. Se mide en rad/s.
b) Velocidad angular instántanea: es el límite
de la razón de cambio anterior cuando
tiende a cero.
c) Aceleración angular promedio: es el cambio
en la velocidad angular dividido entre el
tiempo requerido para efectuar este cambio.
Se mide en rad/s².
d) Aceleración angular instántanea: es el
límite de la razón de cambio anterior cuando
tiende a cero.
Ahora, se resolverá la integral en el numerador de la ecuación para la coordenada 'y'
del cdm.
Al derivar nuevamente para determinar la aceleración, resulta:
Por lo tanto:
Aunque el problema involucra distribuciones continuas de masa se puede analizar
como si se tratase de una distribución discreta de masa, asumiendo que cada pieza
uniforme se localiza en donde sus respectivos centros de masa.
Entonces:
Cinemática rotacional
A partir de ahora nos enfocaremos principalmente en la rotación de objetos rígidos.
Un objeto rígido o cuerpo rígido es aquel que tiene una forma definida que no
cambia, por lo que las partículas que lo componen permanecen en posiciones fijas
entre sí.
Hasta este momento se había estudiado el movimiento traslacional, por lo que ahora
la atención se centrará en el movimiento rotacional puro de un objeto alrededor de
un eje fijo significa que todos los puntos en el objeto se mueven en círculos.
Como se menciona que la placa es homogénea, su densidad lineal de masa se
puede considerar constante y por lo tanto:
De esta manera, la posición en el eje 'x' del cdm queda en términos de las masas de
los cubos. Esto se puede resolver recordando que todos están elaborados con del
mismo material uniforme. Por lo tanto:
Para el rectángulo en la figura, su
área es
De manera inicial, el problema proporciona la función de aceleración angular :
Al tratarse de una superficie, debemos determinar las coordenadas del cdm en el eje
'x' y en el eje 'y'. Entonces, las integrales a plantear y resolver son:
Relación entre las cantidades cinemáticas lineales y angulares
Considere el vector de posición de una partícula o sólido rígido que efectúa un
movimiento rotacional alrededor de un eje. Entonces:
Cuando se tiene un conjunto discreto de N partículas, es de
decir, un conjunto de partículas finito tales que cada
elemento se puede enumerar, la posición del centro de
masa se determina de la siguiente manera:
De la ec. (2), tenemos:
Tomando en cuenta que las masas de las dos partículas es la misma, las ecs.
anteriores se simplifican de ls siguiente manera:
Luego, sustituyendo las ecs. (1) y (4) en la ec. (3), obtenemos:
donde m es la masa de la i-ésima partícula, mientras que r es su posición
respecto a un origen de coordenadas. La posición del centro de masa es una relación
en tres dimensiones. Por lo tanto, en cada eje la posición del cdm se calcula como:
Esto último quiere decir que la partícula A se moverá solo en el eje 'x'. Por lo tanto,
de las ecs. (1) y (4), las velocidades de las partículas tras la colisión son:
Centro de masa
Ahora, se comenzará a estudiar sistemas más cercanos a la realidad, es decir, se
tomará en cuenta la forma del objeto sobre el cual se aplican fuerzas para generar
movimiento, ya sea traslacional (movimiento a lo largo de una línea recta),
rotacional (movimiento alrededor de un punto fijo), o una combinación de ambos.
El centro de masa (cdm o cm) es un punto que se mueve en la misma trayectoria que
se movería una partícula si ésta está sometida a la misma fuerza neta.
Considerando que el sistema de dos partículas permanece aislado durante la colisión,
el momento lineal total se conserva. Dado que el movimiento de las partículas ocurre
en dos dimensiones, tenemos lo siguiente:
Además, como la colisión es elástica, la energía cinética total del sistema de dos
partículas se conserva:
En esta situación, las componentes del vector de posición del cdm se determinan
como:
Dado que las tres partículas se ubican en el plano xy, el
vector de posición del cdm tendrá dos componentes.
Para cada componente tenemos:
Por lo tanto:
Para poder determinar el cdm de la molécula de CO, debemos definir primero el
punto de referencia (u origen de coordenadas) a partir del cual se medirán las
posiciones de cada átomo.
Por simplicidad, se considerará que el átomo de carbono se ubica en el origen de
coordenadas. De esta manera, la posición del cdm de la molécula de CO es:
Respecto al origen de coordenadas del eje 'x', la posición de cada persona es,
respectivamente:
A menudo es conveniente considerar que un objeto extenso está formado por una
distribución continua de materia. Es decir, se puede considerar como si el cuerpo
estuviera formado por n partículas, cada una de masa m en un pequeño volumen
alrededor de un punto x , y , z , y se toma el límite cuando n tiende a infinito.
Entonces, m se vuelve la masa infinitesimal dm en los puntos x, y, z.
Al tomar el módulo del vector anterior, podemos conocer la distancia a la cual se
encuentra el átomo de C del cdm.
Luego, el centro de masa del conjunto de tres personas se determina como:
Se le pide colgar una señal metálica de un alambre vertical. La señal tiene la forma
triangular. La parte baja de la señal es paralela al suelo. ¿A qué distancia del
extremo izquierdo de la señal se debe unir el alambre de soporte?
Distintas distribuciones continuas de masa:
1. Distribución lineal de masa
2. Distribución superficial de masa
3. Distribución volumétrica de masa
Por lo tanto:
La integral en el denominador es:
La integral en el numerador es:
Como el alambre se debe unir a un punto directamente sobre su centro de masa
para que se encuentre estabilizado, en este problema bastará con determinar la
coordenada 'x' del centro de masa. Además, como se trata de un objeto con un área
A y densidad de masa que se puede asumir uniforme, entonces:
Sin embargo, la altura 'y' no es contante,
sino que depende de 'x'. La relación entre
estas cantidades está dada por la ecuación
de la línea recta:
El área de cada rectángulo es simplemente
Para poder determinar una expresión para el diferencial de área dA, debemos tomar
en cuenta la siguiente figura:
Demuestre que el cdm de una varilla uniforme de longitud L y masa M está en su
centro.
Como se indica que la varilla es uniforme, entonces la densidad lineal de masa
es constante, es decir, no depende de la posición. Luego:
Como la varilla es delgada, la posición de su cdm se ubicará solamente a lo largo del
eje 'x'. Por lo tanto, bastará con calcular la siguiente cantidad
La integral en el numerador se calcula como sigue:
La coordenada 'x' del vector de posición del centro de masa de la placa triangular se
calcula a partir de la ecuación:

9. Considérese primero el siguiente esquema que describe la situación descrita:
c) El error porcentual resulta:
Entonces:
a) Asumiendo que la masa de la bola está concentrada en sus cdm, la inercia respecto
al eje de rotación AB es simplemente:
b) Considerando ahora el radio finito de la bola, el momento de inercia de la bola
con respecto a AB, es:
a) Consideremos la siguiente figura:
b) Asumiendo ahora que las esferas se pueden tratar como partículas puntuales,
cuyas masas se concentran en sus respectivos centros, entonces la inercia rotacional
del sistema respecto al eje que pasa por el centro de la varilla que las une, sería:
Por lo tanto, el error porcentual que se tiene al hacer la aproximación anterior es:
La inercia rotacional total se calcula sumando la inercia rotacional de las esferas,
considerando que el eje de rotación pasa por el centro de la varilla de longitud .
Aplicando el teorema de ejes paralelos a cada esfera, tenemos:
Por lo tanto:
A la cantidad I se le conoce como inercia rotacional, o momento de inercia. Es una
medida de la inercia rotacional de un objeto, y juega el mismo papel para el
movimiento rotacional, que la masa para el movimiento traslacional.
La inercia rotacional de un objeto depende no sólo de su masa, sino también de
cómo esa masa esté distribuida con respecto al eje. Su unidad de medida es kg m².
En el cálculo de la inercia rotacional, las masas de cada partícula en el cuerpo se
multiplican por el cuadrado de la distancia de esa partícula al eje de rotación. Dicha
distancia siempre se mide de forma ortogonal al eje de rotación.
Energía cinética rotacional e inercia rotacional (o momento de inercia)
Considere un conjunto de N partículas, todas ellas con distintas masas y en
diferentes posiciones respecto a un eje de rotación, alrededor del cual rotan con
velocidad angular .
donde:
Considerando que la masa del átomo de hidrógeno es 1.66
×10^(−27) kg, tenemos:
a) El momento de inercia de la molécula en torno a un eje que pasa a través del
centro del átomo de oxígeno perpendicular al plano de la molécula es
Ejemplo 1. Determine la inercia rotacional para una varilla delgada
homogénea de masa M y longitud L, cuando gira alrededor de un eje
perpendicular a la varilla, a una distancia h desde el extremo izquierdo
de esta.
La energía cinética total K para la distribución de masa anterior se escribe
explícitamente como
a) El momento de inercia de la molécula en torno a un eje que pasa a través del
centro del átomo de oxígeno en el plano de la molécula, bisecando los enlaces H - O
- H, es:
b) El momento de inercia alrededor del eje horizontal (eje x) es:
Ejemplo 2. Determine la inercia rotacional para una arandela homogénea
de masa M y radios interno R y externo R , cuando gira alrededor de un
eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano de la arandela.
c) Preguntar sobre con respecto a qué eje será más difícil acelerar el
conjunto de 4 masas, equivale a saber en cuál caso la inercia rotacional
será mayor. De acuerdo con los resultados anteriores, será con respecto al
eje 'y'.
Para realizar el proceso de integración, se tomará el origen del eje 'x'
justo en el punto en el que el eje de rotación cruza la varilla. Se elige un
elemento diferencial de masa, 'dm', a una distancia 'x' del eje de giro.
Entonces, dado que la varilla es homogénea:
a) El momento de inercia alrededor del eje vertical (eje y) es:
Inercia rotacional para una distribución continua de masa
Consideremos ahora, como en el caso del cdm, distribuciones continuas
de masa, es decir, sólidos rígidos. Para este tipo de objetos la inercia
rotacional I se calcula de la siguiente manera:
b) Caso 2. El eje de rotación cruza por alguno de los extremos de la
barra (h = 0):
a) Caso 1. El eje de rotación cruza por el centro de la barra (h = L/2):
Sustituyendo las ecs. (4) y (5) en la ec. (6):
Para resolver el problema, construimos el siguiente diagrama del antebrazo:
Sustituyendo la condición en la ec. (3) en las ecs. (1) y (2), encontramos:
Cuando se desprecia la inercia rotacional de la polea, es decir, cuando I = 0 kg m², el
resultado anterior se reduce a lo siguiente:
a) Para determinar la torca que ejerce el tríceps para producir la aceleración en la
pelota, aplicamos la segunda ley de Newton para rotaciones:
b) Por otro lado, se sabe que la fuerza que aplica el tríceps se debe aplicar cerca del
codo para generar la torca anterior. Por lo tanto:
Por otra parte, analizando el movimiento rotacional de la polea debido a las torcas
generadas por las fuerzas de tensión, encontramos lo siguiente a partir de la
segunda ley de Newton para rotaciones:
Aplicando la segunda ley de Newton (traslacional) a cada masa, que se mueven
verticalmente, tenemos lo siguiente:
Ahora bien, debemos establecer alguna relación entre las distintas aceleraciones
que aparecen como parte del movimiento del sistema. Considerando que la
cuerda inelástica no resbala de la polea durante el movimiento, podemos
asegurar lo siguiente:
Entonces, la inercia rotacional del disco cargado respecto a un eje que pasa por su
cdm y que es perpendicular al plano del disco, es:
Eje de rotación
Vectorialmente, la torca o momento de fuerza se
expresa como:
Brazo de
palanca
Segunda Ley de Newton para rotaciones
Considérese el siguiente esquema, en el que se aplica una fuerza neta sobre una
partícula para que gire en torno a un eje fijo.
Línea de acción de
la fuerza F
Dinámica rotacional: torca o momento de fuerza
A continuación se estudiarán las condiciones necesarias para que un cuerpo rígido
experimente un movimiento rotacional.
Para que un objeto rote alrededor de un eje determinado es necesario aplicar una
fuerza F a una distancia r respecto a tal eje de giro. La aplicación correcta de esa
fuerza producirá rotaciones con un sentido antihorario u horario.
Cuando la fuerza F se aplica en un punto muy cercano al eje de rotación, las
rotaciones no se producen rápidamente.
En conclusión: la aceleración angular con la que rota un cuerpo rígido es
directamente proporcional a la distancia perpendicular del eje de rotación a la
línea a lo largo de la cual actúa la fuerza (o línea de acción de la fuerza). A esta
distancia se llama brazo de palanca, o brazo de momento.
La unidad de medida del momento de fuerza es N m.
En general, se asigna un signo positivo a las torcas que tienden a hacer girar el
objeto en sentido antihorario, y un signo negativo a las torcas que tienden
a hacer girar el objeto en sentido horario, manteniendo el eje de rotación fijo.
La aceleración angular es proporcional al producto
de la fuerza por el brazo de palanca 'd'. Este
producto se llama momento de la fuerza con
respecto al eje, o más comúnmente torca .
Esta cantidad física nos permite saber si una fuerza
F generará o no rotaciones alrededor de un eje fijo:
Eligiendo al centro del disco como el origen de coordenadas, el centro de masa del
disco cargado, respecto al eje x = 0 es:
Cuando una fuerza F se aplica sobre un objeto
o una partícula para ponerlos a rotar alrededor
de un eje, solo la componente que es ortogonal
al vector r generará una torca .
Recordando la segunda Ley de Newton,
encontramos lo siguiente:
Rotación antihoraria Rotación horaria
a) Caso 1. El radio interno tiende a cero (inercia rotacional de un disco de radio
R):
b) Caso 2. El radio interno tiende al radio externo (inercia rotacional de un
anillo de radio R):
Inercias rotacionales
para distintos sólidos
rígidos
De esta manera, la inercia rotacional de la arandela resulta ser:
Por lo tanto:
El área de la arandela es , por lo que
Utilizando la tabla de inercias rotacionales, la inercia rotacional de la puerta es:
Por lo tanto, si se conoce el momento de inercia con respecto a un eje que pase
por el cdm, se puede calcular fácilmente el momento de inercia respecto de
cualquier otro eje que sea paralelo al eje que pasa por el centro de masa.
2. Teorema de los ejes perpendiculares
El teorema de los ejes perpendiculares se aplica sólo a cuerpos bidimensionales
Este teorema establece que la suma de los momentos de inercia de un objeto plano,
con respecto a dos ejes perpendiculares cualquiera contenidos en el plano del
objeto, es igual al momento de inercia con respecto a un eje que pase por su punto
de intersección, y que sea perpendicular al plano del objeto.
1. Teorema de ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos relaciona el momento de inercia I de un objeto
de masa total 'M' con respecto a cualquier eje, con su momento de inercia I con
respecto a un eje que pasa por el centro de masa y es paralelo al primer eje. Si
ambos ejes está a una distancia 'h', entonces:
Para realizar el proceso de integración, se considerará que el eje de rotación pasa
por el origen de coordenadas, en el cdm de la arandela.
Se elige entonces un elemento diferencial de masa 'dm' a una distancia 'r' del eje de
giro. El diferencial de área 'dA' correspondiente se escribe como sigue:
Considere la siguiente figura.
a) En ella se muestra a la bola
pequeña de masa 'm' colocada a
una distancia 'r' del eje de rotación.
La inercia rotacional de la masa 'm'
respecto a tal eje es:
Podemos identificar que las fuerzas que generan torca sobre el sistema son los pesos
de cada bloque, ubicados en cada extremos de la varilla. Entonces:
Como > , la torca total tendrá la misma dirección que la torca , es decir, a
favor de las manecillas del reloj.
b) La resistencia del aire genera una torca sobre la masa 'm' en la varilla. Para
determinar la torca que se necesita aplicar para mantener a la bola girando
con velocidad angular constante, se escribe lo siguiente:
Por otra parte, aproximando al bate como una varilla uniforme que rota alrededor de
uno de sus extremos, sabemos que la inercia rotacional es
donde M = 1.1 kg (38 oz), aproximadamente. Aplicando la segunda ley de Newton
para rotaciones, tenemos lo siguiente:
Asumiendo que el jugador acelera de forma constante al bate, desde el reposo, la
aceleración se determina como:
Considérese la siguiente figura, en la que
se muestran la fuerza F que se aplica en
el instante que indica el problema, así
como el vector r que apunta desde el eje
de rotación (a lo largo del eje z) al punto
de aplicación de la fuerza F.
Por lo tanto, vectorialmente, la torca es:

10. Análisis de energía.
Durante el movimiento del yoyo, la fuerza de gravedad es la única fuerza
(conservativa) que actúa sobre este. La energía mecánica en dos instantes de interés
es, respectivamente:
Considerando que el yoyo consiste de un cilindro de radio
R y masa M que gira en torno a un eje que pasa por su
cdm, y dado que la cuerda se desenrrolla sin resbalar ni
estirarse, obtenemos:
Aplicando la conservación de la energía mecánica:
Análisis de fuerzas
Considerando el DCL del yoyo mientras desciende, encontramos las siguientes
ecuaciones:
Sustituyendo la ec. (2) en (1) obtenemos:
Finalmente, de las ecs. (2) y (3):
Así, la velocidad de la esfera al llegar al fondo del plano inclinado, dado que la
aceleración es constante, es:
La condición del rodamiento sin deslizamiento también se puede escribir como
Para el caso rotacional, la ecuación de las torcas es válida aun si el eje de rotación
se mueve, siempre y cuando se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetría.
2. El eje no debe cambiar de dirección.
Sustituyendo la ec. (3) en la expresión derecha de la ec. (1), encontramos:
Durante el descenso de la esfera por el plano inclinado, la fuerza de fricción estática
genera la torca necesaria para que la esfera gire alrededor de un eje que pasa por su
cdm, pero no realiza trabajo mecánico.
El punto de contacto de la esfera en cada instante no se desliza, sino que se mueve
perpendicularmente al plano (primero hacia abajo y luego hacia arriba) conforme
rueda. Así, la fuerza de fricción estática no realiza ningún trabajo por porque la
fuerza y el movimiento (desplazamiento) son perpendiculares entre sí.
a) Analizando el problema a través de la energía mecánica, tenemos lo siguiente,
para los puntos en los que la rueda inicia su movimiento, a una altura H del suelo, y
cuando llega al fonde del plano:
Respecto a la dinámica de un objeto que rueda sin deslizamiento, la segunda ley de
Newton, tanto traslacional como rotacional, siguen siendo válidas:
Luego, dado que no hay fuerzas no conservativas que efectúen trabajo mecánico, y
aquella que sí es una fuerza conservativa, la energía mecánica total se conserva.
Entonces:
Ahora, considerando la condición para rodamiento sin deslizamiento y la inercia
rotacional de una esfera sólida que gira en torno a un eje que pasa por su cdm,
tenemos:
Por lo tanto, la ec. (2) se reescribe como sigue:
b) Considerando ahora las fuerzas involucradas en el movimiento de la esfera,
tenemos lo siguiente:
Considerando que la distancia que recorre la esfera a lo largo del plano inclinado
hasta llegar al fondo de este es 'd', obtenemos:
Del DCL tenemos las siguientes ecuaciones:
debido a que la única fuerza que genera la rotación de la varilla uniforme alrededor
de un eje que pasa por uno de sus extremos es su propio peso, que actúa en su cdm.
Entonces:
La fuerza mínima se obtiene cuando la torca total es cero. Por lo tanto, tal fuerza
resulta ser:
Como se puede notar, el punto en el que el escalón toca a la rueda se convierte en
el eje de rotación. Respecto a dicho eje, la torca total debida a las fuerzas que se
aplican a la rueda, una vez que deja el suelo, es:
b) El extremo de la varilla se encuentra a una distancia del eje de rotación, por
lo que su aceleración tangencial es
donde la condición para rodar sin resbalar es:
En la siguiente figura se muestran las fuerzas y distancias más importantes para
resolver el problema:
Movimiento rotacional más traslacional: Rodamiento
El rodamiento sin deslizamiento depende de la fricción estática entre el objeto
rodante y el suelo. La fricción es estática porque el punto de contacto del objeto
rodante con el suelo está en reposo en cada momento. A este movimiento se le
conoce también como rodamiento puro.
El rodamiento sin deslizamiento implica tanto rotación como traslación: cada
posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación
de movimiento de traslación del centro de masa y de rotación alrededor de un eje
que pasa por el centro de masa.
La energía cinética para este tipo de movimiento se expresa, entonces, como:
a) A partir de la segunda ley de Newton, tenemos que , donde: