Análisis Dimensional, FISICA

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES:
Los valores de las cantidades físicas dependen
del sistema deunidadesutilizado;sin embargo,
hay diferentes sistemas de unidades, por ello,
cualquier cantidad física puede expresarse en
distintas unidades según la escala en que esté
graduado el instrumento de medición.
LONGITUD:
Una longitud se puede expresar en metros,
kilómetros, centímetros o pies, sin importar
cuál sea la unidad empleada para medir la
cantidad física distancia, pues todas ellas se
refieren aunadimensión fundamental llamada
longitud, representada por L.
MASA:
Paraexpresar lacantidad demateriaesfactible
utilizar al gramo, kilogramo o libra, ya que
todas las unidades se refieren a la dimensión
fundamental llamada masa, la cual queda
representada por M.
TIEMPO:
El tiempo se puedeexpresar en horas,minutos
y segundos,y sin importar cualesfueran,todas
se refieren a una dimensión fundamental
llamada tiempo, representada por T.
En física la palabra dimensión significa “la naturaleza de una magnitud”
El análisis dimensional, estudia las diferentes formas que adoptan las
magnitudes derivadas, a través de reglas leyes y propiedades en un
campo puramente matemático. Dicho estudio se realiza para descubrir
valores numéricos, que a partir de ahora llamaremos dimensiones; es
decir estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales
con las magnitudes derivadas.
𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 =
𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚
𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨
[ 𝐯] =
𝐋
𝐓
= 𝑳𝑻−𝟏
Para denotar las dimensiones de una magnitud física se utilizan
símbolos como L para longitud (distancia) y T para el tiempo. Para
determinar la dimensión de una magnitud se utiliza corchetes [ ].
La dimensión de la velocidad, se representa así: [ 𝐯] = 𝑳𝑻−𝟏
OBJETIVOS Y FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL:
 Expresar Lasmagnitudesderivadasen función delasmagnitudes
fundamentales.
 Determinar lasunidadesdemedidaen el S.I. de lasmagnitudes físicas.
 Comprobar laveracidad delasfórmulasfísicasmedianteel principio de
homogeneidad dimensional.
 Determinar fórmulasfísicasempíricasapartir dedatosexperimentaleso de
observaciones.
ECUACIONES DIMENSIONALES:
Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para relacionar las
magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.
En su forma general una ecuación dimensional se escribe:
[ 𝐗 ] = 𝑳 𝒂
𝑴 𝒃
𝑻 𝒄
𝜽 𝒅
𝑰 𝒆
𝑱 𝒇
𝑵 𝒈
Donde:
X : Se lee letra X
[ 𝐗 ] : Se lee ecuación dimensional de X
Exponentes: a, b, c, d, e, f y g
Bases : L (longitud), M (masa), T (tiempo), 𝛉(temperatura),
I (intensidad de corriente), J(intensidad luminosa) y
N (cantidad de sustancia)
 Conoce y diferencia entre magnitudes
derivadas y fundamentales.
 Aplicaelprincipio de homogeneidad en la
resolución de problemas.
 Establece si una ecuación es
dimensionalmente homogénea.
Lic. Manuel Manay Fernández

2. LEYES IMPORTANTES:
 Lasdimensiones de una magnitud física
no cumplen con las leyes de la adición y
sustracción.
Ejemplo:
𝟑𝐌 + 𝟓𝐌 − 𝟐𝐌 = 𝐌
 Todos los números son cantidades
adimensionales, y su fórmula
dimensional es igual a UNO.
Ejemplo:
[ 𝟐𝟎𝟏𝟕] = 𝟏 ; [
𝟏
𝟐
] = 𝟏; [√ 𝟖] = 𝟏
 Los ángulos, funciones trigonométricas
y logarítmicas son adimensionales,
cuando están como base, y para los
cálculos se consideran igual a “1”.
Ejemplo:
[ 𝟑𝟎 𝒐]= 𝟏 ;[ 𝐬𝐞𝐧𝛃 ] = 𝟏;[ 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐𝟕] = 𝟏
 Una ecuación es dimensionalmente
correcta cuando al sumar o restar en los
miembros de la ecuación, estos tienen
las mismas dimensiones.
Ejemplo:
La ecuación: 𝒗 = 𝐚𝐭 + 𝒗 𝟎
Es dimensionalmente correcta, porque
cumple: [ 𝒗] = [ 𝐚][ 𝐭]+ [𝒗 𝟎]
Donde:
[
𝑳
𝑻
] = [
𝑳
𝑻 𝟐
][ 𝑻] + [
𝑳
𝑻
]
[
𝑳
𝑻
] = [
𝑳
𝑻
] + [
𝑳
𝑻
]
 Fórmulas Empíricas, surgen de la
experimentación científica, y permiten
determinar la fórmula dimensional de
una magnitud nueva, en función de las
fórmulas dimensionales ya conocidas.
Ejemplo:
La fórmula empírica del periodo (T) de un
péndulo seexpresaen función desu longitud
(L) y laaceleración de la gravedad (g);siendo
la constante de proporcionalidad 𝟐𝛑
[
𝑳
𝑻
]𝑻 = 𝟐𝝅√
𝑳
𝒈
Si una ecuación es dimensionalmente correcta, todos los términos
de una adición o sustracción poseen las mismas dimensiones.
Es decir:
Sea la ecuación dimensionalmente correcta:
[ 𝐀] + [ 𝐁] − [ 𝐂] = [ 𝐗]− [ 𝐘]
Entonces se cumple:
[ 𝐀] = [ 𝐁] = [ 𝐂] = [ 𝐗] = [ 𝐘]
TABLA DE DIMENSIONES:
PROPIEDAD IMPORTANTE:
En las siguientes expresiones, se pueden aplicar las fórmulas dimensionales:
 𝒙 =
𝑨
𝑩
[ 𝐱] =
[𝐀]
[𝐁]
 𝒙 = 𝑨 ∙ 𝑩 [ 𝐱] = [𝐀] ∙ [𝐁]
 𝒙 = 𝑨 𝒏 [ 𝐱] = [ 𝑨 𝒏] = [𝐀] 𝒏
 𝒙 = √ 𝑨𝒏
[ 𝐱] = [√ 𝑨𝒏
] = √[𝑨]𝒏
= [𝑨]
𝟏
𝒏
 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝒐
[ 𝐱] = [ 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝒐
] = [𝑨] 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝒐
 𝒙 = 𝑨𝒍𝒐𝒈 𝟖 [ 𝐱] = [ 𝑨𝒍𝒐𝒈 𝟖] = [𝑨]𝒍𝒐𝒈 𝟖
Lic. Manuel Manay Fernández

3. PRACTICANDO EN CLASE
Problema 1:
Determina la fórmula dimensional de “W”.
W = M. G. H
Siendo; M : Masa G: aceleración H : altura
a) MLT b) ML2T c) ML2T-2
d) MLT-1 e) MLT-2
Problema 2:
Determina la fórmula dimensional de “X”.
X =
B
A
Donde; A : distancia B : tiempo
a) LT b) L2T c) LT-1
d) LT-2 e) T
Problema 3:
Determina la fórmula dimensional de “X”.
X = A. B2
A : densidad B : área
a) ML b) ML2 c) MLT
d) LT-1 e) L2M
Problema 4:
Determina la fórmula dimensional de “Y”.
Y =
T
U.P
P: peso U : tiempo T : trabajo
a) LT b) L-1T c) LT-1
d) MLT e) ML-1T
Problema 5:
Determina la fórmula dimensional de “R”.
R =
C
B.A2
A: velocidad B : densidad C : energía
a) L2 b) LT c) L3
d) LT-1 e) L-1
Problema 6:
Determina la fórmula dimensional de “x”.
B.Ax 
A: velocidad B: caudal
a) LT b) LT-1 c) L2T
d) L2T-1 e)LT2
Problema 7:
Determine las dimensiones de “E” en la siguiente ecuación:
g.)sen(
DV
E
2


D: Densidad, V: Velocidad, g: Aceleración
a) ML-3 b) ML-1 c) L-2
d) LT-2 e) ML-2
Problema 8:
Hallar “x”
x = asen30º
a = aceleración
a) LT b) L1/2 c) L1/2T-1
d) LT-1 e) N.A.
Problema 9:
La fórmula mostrada es dimensionalmente correcta. Indique
las unidades de p.
A=B + pt
B: distancia (m), t: tiempo (s)
A) m/s2 B) m/s2 C) m/s
D) m · J E) kg · m
Problema 10:
Para cierto movimiento, la velocidad de un cuerpo viene dada
por la siguiente expresión:
determine la ecuación dimensional de:
𝐴×𝐶
𝐵
A) T-1 B) LT C) L-2
D) L2 E) T2
Problema 11: UNMSM 2013 – II
En la ecuación
𝐴×𝐶
𝐵
dimensionalmente correcta, H es la
altura, “a” es la rapidez, “b” es el radio y “c” es la
aceleración. Determine “x + y”.
A) 1 B) -1 C) -2
D) 0 E) 2
Problema 12: UNI 2014 – II
Sea 𝑓 = 𝐴 ∙ 𝑡𝑔[ 𝑘 ∙ 𝑥 − 𝜔 ∙ 𝑡 ∙ 𝐼𝑛(𝛿𝑡)]+ 𝐵 una ecuación
dimensionalmente correcta. Dadas las siguientes proposiciones:
I. f, A y B tienen las mismas dimensiones.
II. Si f es la magnitud de una fuerzay t es el tiempo, las dimensiones de
𝛿𝑡𝐵𝜔 son MLT-2
.
III. Si x es el desplazamiento, las dimensiones del producto 𝑘 ∙ 𝑥 ∙ 𝐴 son
MLT-2
, donde A es la magnitud de una fuerza. Son correctas:
A) Solo I B) Solo III C) I y II
D) I y III E)II y III
Lic. Manuel Manay Fernández

4. PRACTICANDO EN CASA
Problema 1:
Determina la fórmula dimensional de “x”.
P. X = R
P : peso R : potencia
a) L b) MLT c) LT-1
d) MLT-1 e) ML
Problema 2:
Determina la fórmula dimensional de “Y”.
W
Q
R
Y

R : impulso Q: caudal W : potencia
a) LT b) LT2 c) LT-2
d) L2T e) L2T-1
Problema 3:
Calcula la fórmula dimensional de “x”.
C
B
X
A

A : potencia B : fuerza C : área
a) LT-1 b) L2T-2 c) L3T-1
d) L3T e) L2T3
Problema 4:
Calcula la fórmula dimensional de “P”.
P =
Q
H.V 2
V : velocidad H : altura Q : caudal
a) L b) T c) LT-1
d) 1 e) T-1
Problema 5:
Determina la fórmula dimensional de “x”.
B
A
X 
A : caudal B : velocidad
a) L b) LT c) T
d) L2 e) T2
Problema 6:
Halle la expresión de la ecuación dimensional de R, si:
r: radio; t: tiempo; u: aceleración
a) T2 b) M c) L2
d) LT-2 e) L1/2T2
Problema 7:
Hallar [x] si:
22
xAWE 
Donde: A = Potencia; W = Período
a) ML2T-3 b) LT-2 c) ML
d) ML-2 e) ML-3T2
Problema 8:
Encontrar [ P ] en la ecuación:
t2
)KV(m
P4
2

Donde: m = masa; V = Velocidad; t = tiempo
a) ML b) ML2T-3 c) LT3
d) LT-3 e) ML-2T3
Problema 9:
Si la siguiente fórmula física es dimensionalmente
correcta. Hallar yx 
  1
 yyx
TLMP
Si P: presión.
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
Problema 10: UNMSM 2013 – I
La ecuación 𝐴 =
𝐹
𝑡
+ 𝐵 es dimensionalmente correcta. Si “F”
representa la fuerza, y “t” el tiempo, halle la dimensión de “B”
a) M LT-2 b) ML c) MLT
d) MLT-3 e) LT-2
urt
3
º60sen2
R 2





 


5. NIVEL II
Problema 1:
Si la ecuación H = AB + BC + AC es dimensionalmente
homogénea, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. [H] = [A]2 II. [B] = [C] III. [(AB)/c] = 1
a) Solo I b) Solo II c) Solo III
d) Solo I y II e) II y III
Problema 2:
Respecto a las ecuaciones dimensionales, señale la veracidad
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
( ) Las ecuaciones físicas son dimensionalmente homogéneas.
( ) Las constantes en las ecuaciones físicas son adimensionales.
( ) Las cantidades físicas fundamentales son independientes
entre sí.
a) VVV b) FFV c) VFF
d) VFV e) FVF
Problema 3:
Si A y B son dos magnitudes físicas cualesquiera, diga cuál de
las siguientes operaciones no son dimensionalmente
permitidas.
I. A/B II. Sen(A/B) III. A.B IV. 2AB
V. ln(2A)
a) Solo II b) Solo II y V c) Solo III
d) Solo II y III e) II, IV y V
Problema 4:
La siguiente ecuación es representativa del efecto fotoeléctrico.
Vfren: voltaje de frenado
f: frecuencia de la radiación incidente
f0: frecuencia umbral
q: cantidad de carga del electrón
Determine cuál de los siguientes alternativas expresa mejor las
unidades de h.
A) eVs– 1 B) eVs2 C) eVs D) eV2s E) e2Vs
Problema 4:
La rapidez de una partícula en movimiento viene dada por la
siguiente expresión.
v=Ae – (Ktr+B
)
t: tiempo r: radio de la partícula
Determine la ecuación dimensional de la siguiente expresión.
𝐀∙𝐊
𝐁
A) T – 2 B) LT – 1 C) T2 D) L2T – 2 E) L – 2T – 2
NIVEL III
Problema 5:
Un fluido en movimiento satisface la siguiente ecuación:
Donde p2 se mide en Pascal (presión), r es densidad, h es
altura, v es rapidez y g = 9,81 m/s2 . Halle (x + y).
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Problema 6:
Dadas las ecuaciones dimensionalmente homogéneas:
Es área y f es aceleración, halle la expresión dimensional
de Q.
a) LT–1 b) L2 T–1 c) LT–2 d) LT e) L–1T
Problema 7:
La rapidez de un líquido en un tubo cilíndrico es 𝑉 =
𝑃
4𝑛𝐿
( 𝑅2), donde p es presión R radio, L longitud. Halle la
dimensión de n.
a) ML–2T–1 b) ML–2T–4 c) ML–1T–1
d) ML–1T–2 e) M2 L–1T–1
Problema 8:
Dada la siguiente ecuación dimensionalmente
homogénea. Determine las dimensiones de "y" si A =
longitud; t = tiempo.
a) L2/T b) L/T c) L/T2 d) L2/T3 e) L/T3
Problema 9:
La presión (p) que ejerce un fluido en movimiento, puede
hallarse en cierto caso particular por:
donde; m = masa, t = tiempo, A = área; a = aceleración;
determine [k] en el sistema internacional de unidades.
a) LT–1 b) L2 T–1 c) L3 T d) L3 T–1 e) LT

8. Indicadores de logro:
 Explica cómo se define una circunferencia, y cuáles son sus
elementos.
 Resuelve problemas, utilizando los teoremas fundamentales.

9. ELEMENTOS
 Centro O: Es el punto interior que equidista
de la circunferencia.
 Radio OA = R: Segmento que va del centro a
cualquier punto de la circunferencia.
 Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa por
el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.
Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos
partes iguales llamadas semicircunferencia.
 Arco AC : Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.
 Cuerda PQ : Es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
 Recta Secante L: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Recta Tangente L1: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
 Flecha o Sagita MN : Porción del radio.
 Punto de Tangencia: Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.
Teoremas Fundamentales:
Teorema1:Siendo Luna
recta tangentey A el punto
de tangencia se tiene que
L  OA .
Teorema 2: Si se traza dos
cuerdas paralelas AD y BC, los
arcos AB y CD son de igual
medida. Si : AD//BC
Teorema 3:Si un radio es
perpendicular aunacuerda,el
radio pasapor el punto medio de
la cuerday del arco
correspondientealacuerda.
Teorema4:Lossegmentos
tangentes trazadosdesdedeun
punto Bexterior auna
circunferenciason iguales.
Si: OA esradio.
Entonces
Entonces: Si : BCOA 
Entonces: Si: A y C son
puntos de tangencia
Entonces:
Longitud de una circunferencia.
Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta
por griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).
CIRCUNFERENCIA
Es el conjunto delospuntospertenecientesaun
mismo plano quese encuentran alamisma
distanciade un punto fijo llamado centro,ubicado
en el mismo plano
CÍRCULO
Superficie determinada por la unión de una
circunferencia y su región interior
LONGITUD DE LA
CIRCUNFRERENCIA
ÁREA DEL CÍRCULO
OTRAS FIGURAS
CIRCULARES
R R
C
A
Q
L1
R
R
A
L
O
R
CB
A D A
C
B
O
F
C
A
B
PosicionesRelativasde unacircunferenciay
unarecta:
Barras de herramientas

10. Entonces, conociendo el diámetro o el radio podemos calcular la
longitud de la circunferencia.
A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez
más cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón
de cifras. Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras
Dibujando unacircunferenciaydeterminando su perímetroy eláreadelcírculo.
 Ingrese al programa, podemos dibujar una circunferencia, de la siguiente manera:
Haciendo clic,en el botón circunferenciadado su centro y uno de sus puntos.
Hacer clic y arrastrar en la hoja de vista gráfica.
Haciendo clic,en el botón circunferenciadado su centro y
radio. Hacemos clicen vista gráfica y escribimos la longitud del radio.
 Ahoracalculamosel perímetro y áreadeunacircunferencia:
 Clic en el botón distanciao longitud (clicen la circunferencia)
 Clic en el botón área(el áreadel circulo).
 Clic en el botón vector entredospuntos(dibujar el radio deA haciaB)
 Luego Clic en el botón distanciao longitud (luego clicen el radio).
Ejercicios Resueltos 1. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“n”.
A
P
2n -20
CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIAS CON GEOGEBRA:
PRACTICA CON GEOGEBRA:
 Traza rectas tangentes y secantes a la circunferencia.
 Comprueba los teoremasfundamentales.
 ¿Quése obtieneal dividir lalongitud entreel dobledel radio?

11. Resolución:
por el teorema 4. Las dos rectas tangentes son de igual
longitud:
2n -20 = n + 15
 n = 35
2. Calcular : “x”
Resolución:
Del gráfico
 x = 4 + 5
3. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5
Resolución:
Aplicamos Teorema de
Pitágoras en del triángulo OPA
41635 22
OP
 OP = 4
4. Calculael ángulo TOA,si AT es tangente.
Resolución:
Por propiedad el radio con latangenteforman un ángulo de90°.
5. Calcular : “x”
Resolución:
Del gráfico:
 x = 5
PRACTICANDO EN CLASE:
1. Identifica: Considera la circunferencia de centro O y
completa la siguiente tabla.
 mTOA =70°
A
20°
O
T
A
20°
O
T
70°5
x
4
O
x
12
O
B
P
A
r
5
x
4
5
4
3
3
O
B
P
A
5
O
7 x
12
7
7
7

12. 2. Determina si las siguientes expresiones son
verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a) Las cuerdasquecontienen al centro de la circunferencia
se denominan arcos.
b) El diámetro deunacircunferenciamidela mitad del radio.
c) Todarecta secante a unacircunferenciadeterminados
arcos.
d) Todarecta tangente a unacircunferenciaintersecaal
menosen un punto alacircunferencia.
e) El diámetro deunacircunferenciadeterminadosarcosde
igual medida
3. Se quiere fabricar una tapa cuadrada para
almacenar un CD que tiene 6cm de radio. ¿cuál
debe ser la medida más pequeña de ese lado?
4. Calcula la longitud de cada circunferencia,
sabiendo la medida del radio (r) . Considere  =
3,14
i) r = 4cm ii) r = 0,5cm iii) r = 7/2 cm
5. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“x”.
6. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“n”.
7. Calcular : “x”
8. Calcular : “x”
9. Calcular “x”, AB // CD
10. Calcular : “x”
11. Si: r = 3; calcula “x”.
A P
B
Or
x
5
x
4
C
A B
D
9
x
4
O
3 x
15
A
B
P
60
6x
A
P
2n -20
n +15
3
9
x

13. 12. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5
18. Calcular “AB”; si: AP = 5; PC = 4; PD = 8
Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD
19. Hallar “PC”, si: AB = 5 y BC = 4
𝑆𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑃𝐶2 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶
20. Hallar “PC”, si: AB = 9 y BC = 16
PRACTICANDO EN CASA
1. Vea la posición de los jugadores y responda en su
cuaderno:
i) ¿Cuál de los jugadores, está más cerca a la
pelota, y cual está más lejos?
Màs cerca està Javier
Màs lejos està Juan.
ii) ¿Cuáles de los jugadores está a la misma
distancia del balón?
Luis y Segundo
2. Calcula la longitud de cada circunferencia,
sabiendo la medida del radio (r) .
𝐿 𝑜 = 2(  )(𝑟)
I) r = 9cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(9) = 56,52𝑐𝑚
ii) r = 1,7 cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(1,7) = 10,676𝑐𝑚
iii) r = 100 cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(100) = 628 𝑐𝑚
Considere  = 3,14
3. calcula el radio de cada circunferencia,
sabiendo la medida de la longitud (l) es:
O
B
P
A
r
Autoevaluación:marca con una X
Identificas los elementos de una
circunferencia.
Comparas entre una circunferenciay
círculo.
Utilizas correctamente los teoremas
fundamentales de la circunferencia.
Resuelves ejercicios y problemas,
interpretandolos enunciados

14. 𝑅 =
𝐿 𝑜
2𝜋
i) l = 28,26cm 𝑅 =
28,26
6,28
= 4,5𝑐𝑚
ii) l = 6,28cm 𝑅 =
6,28
6,28
= 1𝑐𝑚
ii) l = 31,4 cm 𝑅 =
31,4
6,28
= 5𝑐𝑚
Considere  = 3,14
4. Resuelve: Una pista de baile circular tiene un
área de 50,24 m2 ¿qué distancia tendría que
recorre una persona que cruza la pista desde un
extremo a otro pasando por el centro de ella?
Considere  = 3,14
Por dato:
𝐴 𝑜 = 𝜋𝑅2
= 50,24𝑐𝑚2
de donde: 𝑅 = 4cm
nos piden el diàmetro: 𝐷 = 2𝑅 = 𝟖cm
5. Calcular : “x”
a) 50
b) 40
c) 30
d) 60
e) 70
6. Calcular : “x”
a) 5
b) 4
c) 3
d) 6
e) 7
7. Calcular : “x”
a) 160
b) 80
c) 100
d) 90
e) 70
8. Calcular “x”
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 10
9. Si: r = 10, OP = 6. Calcular AB
a) 15
b) 7,5
c) 30
d) 16
e) 8
10. Calcular AB, si BC = 3 , r = 8
a) 5
b) 10
c) 6
d) 7
e) 9
11. Calcular : “x”
a) 40
b) 70
c) 50
d) 60
e) 80
12. Calcular : “x”
a) 140
b) 100
140
O
x
15
8
x
C
A B
D
120
x
80
O
x
160
r
O P
B
A
r
A B C
B
A
x P
110
x
70
O

15. c) 110
d) 120
e) 130
13. Calcular : “x”
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
14. Calcular : “BP”
a) 15
b) 12
c) 16
d) 11
e) 14
15. En la figura, calcular x - y, si: AB = 20, BC = 18
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 10
16. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
17. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “x”.
a) 3 b) 6 c) 8
d) 9 e) 12
18. En la figura, calcular x , si: y = 8, AB = 12
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 8
19. Calcular “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6
Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
20. Hallar “PC”, si: AB = 7 y BC = 9
Sugerencia: PC2 = BCAC
a) 9 b) 12 c) 15
d) 16 e) 63
O
x
6
15
A
B
P
8
9
A
B
P
3n -22
n +8
A
B
P
X2 - 2
7

16. Metacognición:
 ¿En cuál de los temastuve mayordificultad.¿Por qué?
 ___________________________________________
 ¿Qué tiposde ejercicioso problemasteresultan difíciles
de entender?
 ___________________________________________
 ¿En qué situacionesde mientorno aplicaré lo aprendido?
 ___________________________________________
 ¿Qué estrategiasutilicé parasuperar misdificultades?
 ___________________________________________