Este documento presenta una introducción a la teoría de errores y métodos numéricos. Explica conceptos como modelos matemáticos, soluciones analíticas y numéricas, y tipos de errores. También describe la importancia de los métodos numéricos en ingeniería y áreas donde se aplican. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre errores y software de cálculo numérico.

1. METODOS NUMERICOS PARA ING. EN SISTEMAS UNIDAD 1. TEORIA DE ERRORES INSTITUTO TECNÓLOGICO SUPERIOR DEL ORIENTE DEL ESTADO DE HIDALGO. DIVISION DE INGENIERIA EN SISTEMAS Catedrático: Ing. Alfonso Escamilla Silva Apan, Hgo . a 30 de Julio de 2009

2. TEORIA DE ERRORES PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS CONCEPTOS BASICOS SOBRE ERRORES SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO METODOS ITERATIVOS

3. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos. vd = F(vi, p , f ) Donde : vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema. vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado. p = parámetros, son reflejos de las propiedades o la composición del sistema. f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema. TEORIA DE ERRORES

4. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES De la segunda Ley de Newton: F = ma ; reordenando tenemos que:  ( 1 ) Características de este modelo matemático. 1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos. 2.- Representa una simplificación de la realidad. 3.- Conduce a resultados predecibles. Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos. TEORIA DE ERRORES

5. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:  ( 2 ) Para un cuerpo que cae, la fuerza total es: F = F D + F u  ( 3 ) F D = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad. F u = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

6. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES En donde: F D = mg  ( 4 ) m=masa g=gravedad (9.81 m/s) F u = -cv  ( 5 ) c = coeficiente de resistencia o arrastre(kg/s) v = velocidad del cuerpo(m/s) Como la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos que si combinamos las ecuaciones 3, 4 y 5 en 2 resulta:

7. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES  ( 6 )  ( 7 ) Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial. Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.

8. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Si el objeto está en reposo, v = 0 y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:  ( 8 ) Que es la solución analítica o exacta, v(t) = variable dependiente t = es la variable independiente c, m = parámetros g = función de la fuerza

9. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Ejemplo del uso de la ley de Newton: Un paracaidista, con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 8 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12.5 kg/seg. Solución Analítica: Datos: m = 68.1 c = 12.5 g = 9.8 m/s 2

10. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Ejemplo del uso de la ley de Newton Solución Analítica: t,s v, m/s 0 0 2 16.42 4 27.76 6 35.63 8 41.05 10 44.87 12 47.48  53.39

11. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Ejemplo del uso de la ley de Newton. Solución Numérica: Cuando los modelos matemáticos no pueden resolverse con exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta. Para ello hacemos uso de los métodos numéricos. Aquí tenemos que formular el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas. Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo, tenemos: dv =  v = v ( t i+1 ) – v ( t i )  ( 9 ) dt  t t i+1 – t i

12. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Ejemplo del uso de la ley de Newton . Solución Numérica: Donde: v ( t i ) = es la velocidad en el tiempo inicial t i v ( t i+1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde: t i+1

13. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES sustituyendo la ec. ( 9 ) en la ec. ( 7 ): Reordenando:  ( 10 ) A cualquier tiempo Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.

14. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Datos: m = 68.1 kg c = 12.5 kg/s g = 9.8 m/s ; t 1 = 2 seg, v 1 =? = 19.6 m/s ; t 1 = 2 seg, v 1 =? = 32 m/s

15. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES Sustituyendo: = 39.85 m/s Entonces V 3 = 39.85 m/s Haciendo lo mismo para V 4 , V 5 , V 6 V 4 = 44.82 m/s V 5 = 48.01 m/s V 6 = 49.05 m/s

16. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS SOLUCIONES TEORIA DE ERRORES t,s SN SA 0 0 0 2 19.6 16.42 4 32 27.76 6 39.85 35.63 8 44.82 41.05 10 48.01 44.87 12 49.05 47.48  53.39 53.39

17. IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS TEORIA DE ERRORES Métodos numéricos: Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Objetivos del análisis numérico: Diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. (secuencia de operaciones algebraicas y lógicas).

18. IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS TEORIA DE ERRORES Procedimientos matemáticos donde se aplican los métodos numéricos: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios

19. IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS TEORIA DE ERRORES Areas donde se aplican los métodos numéricos: Ingeniería en Sistemas, Ingeniería Civil, Ingeniería Electromecánica, Ingeniería en Industrias Alimentarias, Ingeniería Mecatrónica, Cualquier ingeniería en general.

20. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Error .- Es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud obtenida. Exactitud: Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero. Precisión: Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

21. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES

22. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Cifras significativas .- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas. Tipos de cifras significativas: Confiables .- Por que dependen del instrumento de medición empleado. Necesarias .- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres. Ejemplos de la medición de objetos por diferentes instrumentos de medición y/o personas y discrepancias obtenidas: La longitud de un pizarrón, donde cada medición fue realizada por 4 distintas personas donde:

23. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES 1.- 3.0 m 2.- 3.0 m 3.- 3.0 m 4.- 3.0 m La longitud de la libreta : 1.- 28 cm (flexómetro) 3.- 28 cm (cinta métrica) 2.- 27.5 cm (regla) La longitud de un lápiz: 1.-Regla: 14.3 cm 3.-Tornillo: 14.327 cm 2.-Vernier: 14.32 cm

24. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES La velocidad de un automóvil: Digital: 89.5 km/h Carátula: 90 km/h ¿Cuántas cifras significativas (que tan preciso debe ser) son necesarias? 1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal. Ejemplo: Al medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm, (teniéndose 3 cifras significativas).

25. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES 2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas. Ejemplo: Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km (2 cifras significativas). 3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos: Ejemplo: 40072 (5 c.s.) 3.001 (4 c.s.) 0.000203 (3. c.s.)

26. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES TIPOS DE ERRORES. Error absoluto .- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado: Error Relativo .- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero: Error Relativo Porcentual:

27. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud del puente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule: el error absoluto el error relativo % Sol. Para cada caso: Valores Verdaderos Valores Aproximados Puente 10,000 cm 9999 cm Remache 10 cm 9 cm

28. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Para el puente: E A = 10000 – 9999 E A = 1 cm Para el remache: E A = 10-9 E A = 1 cm

29. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Error por Redondeo: Es aquel que resulta de representar aproximadamente una cantidad exacta aumentando o disminuyendo artificialmente el valor de una magnitud. Criterio de redondeo: Si tenemos un conjunto de cifras donde “c” es el conjunto de números enteros y “d” es el conjunto de decimales, tenemos que: c 1 c 2 c 3 . d 1 d 2 d 3 ..... d i+1 .....d n ( i  n ) d i + 1  = 5 d i = d i +1 d i + 1  5 d i = d i

30. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Ejemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el Error por Redondeo. 75.664 7 491  75.6647 75.664 7 591  75.6648 75.664 7 891  75.6648

31. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Error de truncamiento: Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático. Ejemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el Error de truncamiento. 75.664 7 491  75.6647 75.664 7 591  75.6647 75.664 7 891  75.6647

32. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ERRORES TEORIA DE ERRORES Error numérico total: Es el resultado de sumar los errores de truncamiento y redondeo. Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas. El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

33. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO TEORIA DE ERRORES Muchas situaciones prácticas de la vida real, concernientes al campo de la ingeniería involucran problemas de cómputo que requieren ser resueltos empleando ciertos métodos y técnicas matemáticas (raíces de polinomios y funciones, solución de derivadas e integrales complicadas, sistemas de ecuaciones, graficas de funciones, interpolación, etc.), las cuales si se llegan a realizar manualmente llegan a consumir tiempo resultando muy tediosas. Inclusive si seguimos este camino podemos llegar a equivocarnos debido a la iteratividad y complejidad de los métodos.

34. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO TEORIA DE ERRORES Para evitar este tipo de incidentes nos podemos auxiliar de software de computo numérico como: MathCad MatLab Maple Derive Cabri Geometry. Los programas anteriormente mencionados resuelven operaciones como las ya comentadas mediante el uso de comandos entregando al usuario los resultados esperados sobre la resolución de ciertas operaciones.

35. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO TEORIA DE ERRORES Si se trata de resolver técnicas repetitivas tenemos lenguajes de programación para la implementación de dichos algoritmos iterativos tales como: MatLab C C# Java etc, etc. Asimismo en la Web se cuenta con depósitos de colecciones de programas que incluye rutinas ya desarrolladas en C, Fortran tales como NetLib, Nag por mencionar algunas.

36. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES Método iterativo: Es un proceso repetitivo regido por un algoritmo cuya finalidad es llegar a la solución exacta o aproximada de un problema y se controla mediante la medición de errores entre las iteraciones que salgan. En la vida práctica para llegar a la solución de un problema de manera numérica se realizan una serie de operaciones de manera repetitiva para llegar a la solución. Durante este proceso se calcula tanto el error relativo como el error relativo entre aproximaciones, el cual se calcula:

37. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES Cuando la tolerancia se expresa en cifras significativas de exactitud, si se cumple que: Donde= Tolerancia y Existe la seguridad de que el resultado es correcto en al menos “n” cifras significativas.

38. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES EJEMPLOS DE MÉTODOS ITERATIVOS Y DEL CONTROL DE LOS MISMOS MEDIANTE ERRORES RELATIVOS Y TOLERANCIA. Cálculo de raíces cuadradas por el método babilónico. El algoritmo babilónico se centra en el hecho de que cada lado de un cuadrado es la raíz cuadrada del área. Fue usado durante muchos años para calcular raíces cuadradas a mano debido a su gran eficacia y rapidez. Para calcular una raíz, dibuje un rectángulo cuya área sea el número al que se le busca raíz y luego aproxime la base y la altura del rectángulo hasta formar o por lo menos aproximar un cuadrado. bh=x b h b=h b!=h

39. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES El algoritmo babilónico aproxima un rectángulo a cuadrado. Algoritmo Raíz(x): Escoja dos números b y h tales que bh = x Si vaya al paso 6, si no, vaya al paso 3 Asigne Asigne Vaya al paso 2 Escriba “ “

40. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de 15534 empleando el método babilónico. Sol. Primeramente proponemos un número que será la base de nuestro rectángulo. Una vez hecho esto se calculan la altura, la nueva base como lo indica el algoritmo y se calculan los errores relativo porcentual y aproximado como sigue: It. Base Altura Nueva Base (Aproximación) E RP E RelativoAprox 1 60 258.9 159.45 27.9331 ------------------------ 2 159.45 97.4224 128.4362 3.0495 24.1472 3 128.4362 120.9472 124.6917 0.0451 3.0030 4 124.6917 124.5793 124.6355 0 0.0451 5 124.6355 124.6354 124.6355 0 0

41. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES Cálculo de la serie de McLaurin mediante iteraciones La función exponencial llamada expansión por serie de McLaurin, se puede calcular mediante la ecuación: Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercará cada vez más al valor de e x . Ejemplo: Estímese el valor de e 0.5 , calculando los valores del E RP y E RelativoAprox , si el valor real o verdadero es e 0.5 = 1.648721, agréguese términos a la serie hasta que con 3 cifras significativas.

42. METODOS ITERATIVOS TEORIA DE ERRORES Sol: Haciendo cálculos tenemos que: Iteración Aproximación E RP E RelativoAprox 0 1 39.3462 --------------------- 1 1.5 9.0192 33.3333 2 1.625 1.4375 7.6923 3 1.6458 0.1759 1.2638 4 1.6484 0.0182 0.1577 5 1.6487 0 0.0182