Este documento presenta un resumen de una lección sobre la noción de probabilidad para estudiantes de tercer grado. La lección involucra simular una actividad sobre probabilidad trabajando en equipo y calcular la probabilidad de diferentes resultados. Los estudiantes deben analizar qué distribución de esferas en bolsas le daría al prisionero mayores oportunidades de quedar libre y explicar su razonamiento. Al final, los estudiantes comparten y validan sus resultados para reforzar los conceptos de probabilidad.
Este documento presenta estrategias para enseñar fracciones a estudiantes de cuarto grado. Explica que las fracciones surgen de dividir una unidad en partes iguales y que los estudiantes deben comprender conceptos como parte, todo, equivalencia y relaciones. Propone actividades prácticas como cubrir círculos con sectores de diferentes tamaños para que los estudiantes exploren las fracciones de manera concreta y desarrollen su comprensión intuitiva antes de representarlas simbólicamente.
Sesion de Aprendizaje N° 04 / IV Unidad, del Area de Historia , Geografia y Economia para el 5to grado titulo "Hechos y acontecimientos de la historia reciente"
Datos Informativos, Logros de Aprendizaje, Secuencia de Aprendizaje, Evaluacion, Bibliografia.
Este documento presenta el Mapa de Progreso de Números y Operaciones desarrollado por el Instituto Peruano de Evaluación, Acreditación y Certificación de la Calidad de la Educación Básica. Describe los aprendizajes esperados en números y operaciones para 7 niveles, desde el inicio de primaria hasta más allá de secundaria. Además, incluye ejemplos de desempeño y trabajos de estudiantes para ilustrar cada nivel. El objetivo es guiar a docentes en la evaluación del progreso numérico de sus alumn
Esta unidad de aprendizaje se centra en el tema "El hombre de la prehistoria" y tiene como objetivo que los estudiantes comprendan el origen y desarrollo del ser humano desde la prehistoria. La unidad se llevará a cabo durante 4 semanas y abordará competencias como la construcción de interpretaciones históricas y la gestión responsable del espacio y el ambiente. Los estudiantes producirán un portafolio sobre la historia del hombre y su propia historia.
El documento resume las principales tendencias y desafíos de la educación superior, incluyendo el crecimiento masivo de la matrícula a nivel mundial, la internacionalización de los sistemas de educación, y el desafío de asegurar la calidad en el contexto de estos cambios. También discute temas como la producción de conocimiento, la complejidad creciente de los sistemas de educación superior públicos y privados, y las demandas crecientes por parte de la sociedad.
Este documento presenta un plan de estudios para la unidad de geometría plana. Contiene objetivos de aprendizaje, competencias e indicadores, temas conceptuales como ángulos, triángulos y congruencia, y una secuencia didáctica detallada con actividades. El propósito es que los estudiantes adquieran conocimientos y habilidades en geometría para resolver problemas de manera lógica.
La secuencia didáctica presenta un plan para enseñar las características de los conjuntos en una unidad de matemáticas discretas. El objetivo es que los estudiantes sean capaces de resolver problemas utilizando operaciones y propiedades de conjuntos. Las actividades de enseñanza incluyen explicar conceptos básicos de conjuntos y sus características. Las actividades de aprendizaje consisten en que los estudiantes elaboren mapas conceptuales, síntesis e investiguen aplicaciones de conjuntos. Se evaluará el aprendizaje mediante mapas conceptuales,
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Esta unidad de aprendizaje se centra en el tema "El hombre de la prehistoria" y tiene como objetivo que los estudiantes comprendan el origen y desarrollo del ser humano desde la prehistoria. La unidad se llevará a cabo durante 4 semanas y abordará competencias como la construcción de interpretaciones históricas y la gestión responsable del espacio y el ambiente. Los estudiantes producirán un portafolio sobre la historia del hombre y su propia historia.
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La teoria de situaciones didacticas sadovskyMandyYarenny
El documento resume las ideas principales de Brousseau sobre la relación entre conocimiento y saber. Brousseau plantea que para todo conocimiento existe una situación fundamental que permite su emergencia. Clasifica estas situaciones de tres maneras y considera que la noción de estrategia óptima depende del sistema de conocimientos. Asimismo, Brousseau establece una relación pero también una distinción entre conocimiento y saber. Analizar las condiciones sobre situaciones que dan lugar a conocimientos referidos a un saber particular y cómo se transforman estos conocimientos en saberes son
Este documento presenta las reflexiones de cinco especialistas sobre la función de asesoría a las escuelas. Se describe el proceso de trabajo de una comisión formada por autoridades educativas federales y estatales de México para estudiar y proponer lineamientos sobre el apoyo técnico-pedagógico a las escuelas. El resultado fue un documento que propone la creación de un Servicio de Asesoría Académica a la Escuela para mejorar los procesos educativos.
El documento describe tres modelos de asesoramiento a organizaciones educativas: 1) Modelo de Intervención centrado en el asesor experto, 2) Modelo de Facilitación centrado en los profesores, y 3) Modelo de Colaboración basado en la interdependencia e igualdad entre el asesor y los profesores. El modelo más idóneo es el de Colaboración, donde las decisiones son tomadas conjuntamente mediante comunicación y distribución del poder.
El documento describe el desarrollo del conocimiento matemático informal en los niños preescolares. Explica que los niños llegan a la escuela con conocimientos matemáticos básicos adquiridos a través de experiencias concretas como contar y manipular objetos. Además, señala que estas habilidades informales sirven de base para comprender conceptos matemáticos formales enseñados en la escuela. Por último, realiza un breve recorrido por la evolución histórica de la matemática, desde métodos concret
La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. lecturas.Magicmini
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial y las vidas de millones de personas. Muchos países han impuesto medidas de confinamiento que han cerrado negocios y escuelas. Aunque estas medidas han ayudado a reducir la propagación del virus, también han causado un aumento en el desempleo y problemas económicos. Se espera que la recuperación económica lleve tiempo a medida que los países reabran gradualmente y las personas vuelvan a trabajar y gastar.
Cuadernillo 1 enfoque formativo de la evaluaciónorion-28
El documento trata sobre la evaluación desde el enfoque formativo en la educación básica. Explica que la evaluación formativa es un proceso continuo que busca mejorar el aprendizaje de los estudiantes a través de la recolección sistemática de información y la retroalimentación. También describe los diferentes tipos de evaluación (diagnóstica, formativa y sumativa), los momentos en que se evalúa, los criterios de evaluación y las funciones de la evaluación. Finalmente, explica que los resultados de la evaluación deben usarse para identificar áreas
Este documento describe un estudio sobre cómo los estudiantes aprenden matemáticas trabajando en grupos. Examina cómo los estudiantes abordan un problema de álgebra involucrando variables por primera vez y cómo interactuar con sus compañeros les ayuda a desarrollar un entendimiento más profundo. Describe un ejercicio donde los estudiantes deben encontrar todas las soluciones a un problema de monedas y explica cómo comparar sus enfoques les permite establecer criterios para determinar la cantidad total de soluciones.
Este documento discute la relación entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde las perspectivas de Piaget y otros teóricos constructivistas. Propone que el aprendizaje ocurre a través de la construcción sucesiva de estructuras a medida que los estudiantes resuelven problemas y experimentan desequilibrios y reequilibrios cognitivos. También enfatiza la importancia de las situaciones didácticas y la resolución colectiva de problemas para facilitar el aprendizaje. El objetivo es desarrollar
La teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau se centra en el estudio de las condiciones bajo las cuales se construye el conocimiento en situaciones escolares. Define una situación didáctica como la interacción entre un alumno, un medio y un profesor con el fin de que el alumno aprenda reconstruyendo un conocimiento. Incluye conceptos como la situación a-didáctica, donde el alumno asume responsabilidad por el problema sin ayuda del profesor, y la institucionalización, donde el profesor da
Este documento presenta una situación de aprendizaje para una clase de matemáticas en secundaria sobre proporcionalidad y funciones. La lección contextualiza a los estudiantes sobre el perfil de un cerro y les plantea preguntas para analizar la inclinación de las rutas y calcular pendientes. Luego, los estudiantes analizan un gráfico sobre el precio de los limones para identificar la razón de cambio y expresarla algebraicamente. El objetivo es que los estudiantes construyan conocimiento a través de la interacción con su entorno.
Este documento describe una ponencia sobre líneas de investigación inspiradas en un enfoque constructivista de la enseñanza de la matemática. Presenta varias líneas de investigación constructivistas como la investigación de actitudes hacia la matemática, la resolución de problemas, el análisis de conductas de expertos y el análisis de modelos cognitivos. Explica cómo cada una de estas líneas se basa en la idea constructivista de que los estudiantes construyen activamente su propio conocimiento a través de la interacción con su entorno.
El aprendizaje por resolución del conflicto cognitivoleocasdan
Este documento describe el proceso de aprendizaje por resolución de conflictos cognitivos. Explica que cuando los estudiantes enfrentan una situación problemática, experimentan un conflicto cognitivo que los lleva a cuestionar sus creencias iniciales. Al resolver el problema con la guía del docente, los estudiantes construyen nuevo conocimiento que reemplaza a sus concepciones previas. La situación problemática es el centro organizador del aprendizaje y requiere que los estudiantes recopilen y analicen información de manera activa para encontrar una soluc
Este documento describe una situación de aprendizaje sobre los cambios en el cuerpo durante la pubertad desde una perspectiva de didáctica crítica. Se utilizará la plataforma Edmodo para que los estudiantes investiguen el tema, desarrollen un mapa conceptual y un mural, y debatan las ventajas y desventajas de la pubertad. La evaluación incluirá una autoevaluación y retroalimentación del maestro en Edmodo.
Este documento describe una situación de aprendizaje sobre los cambios en el cuerpo durante la pubertad desde una perspectiva de didáctica crítica. Se utilizará la plataforma Edmodo para que los estudiantes investiguen el tema, desarrollen un mapa conceptual y un mural, y debatan las ventajas y desventajas de la pubertad. La evaluación incluirá una autoevaluación y retroalimentación del maestro en Edmodo.
Este documento presenta una serie de materiales sobre fracciones y números decimales para el sexto grado. Explica que el enfoque propuesto modifica el orden tradicional de los contenidos para enfocarlos en torno a problemas como el reparto y la medición. Además, propone abordar varios conceptos de manera simultánea en el contexto de los problemas en lugar de de manera aislada. Finalmente, destaca que los materiales buscan desarrollar habilidades como formular leyes y analizar procedimientos.
Este documento presenta la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau. Se define la situación didáctica como un conjunto de relaciones entre el estudiante, un medio y el sistema educativo con el fin de que el estudiante adquiera un saber. Se describen cuatro tipos de situaciones didácticas (acción, formulación, validación e institucionalización) y se explican conceptos como variable didáctica y efectos como el efecto Topaze. El objetivo es que los estudiantes construyan conocimientos a través de la interacción con
Este documento presenta los principios de la didáctica crítica y describe una situación de aprendizaje sobre la elaboración de artículos informativos. Explica que la didáctica crítica reconoce a la escuela como una institución social y que el aprendizaje es un proceso de construcción, no un producto final. Luego, detalla las tres fases de la situación de aprendizaje - inicio, desarrollo y final - en la cual los estudiantes investigan temas, escriben y comparten sus propios artículos, y los evalú
Este ensayo describe una secuencia didáctica de matemáticas aplicada para estudiantes de séptimo grado. La secuencia se centra en el tema de polinomios aritméticos y se basa en dos pilares: una situación problema orientadora y el contenido matemático desarrollado a lo largo de ocho semanas. La secuencia promueve el aprendizaje autónomo a través de proyectos que permiten a los estudiantes construir conceptos matemáticos mediante preguntas, diálogos y deducciones.
El documento describe cómo la actividad matemática en la ciencia y la escuela involucra la resolución de problemas y un modo particular de razonar y comunicar resultados. Argumenta que en la escuela se debe priorizar un tipo de trabajo matemático que involucre a los estudiantes en la resolución de problemas y la reflexión sobre estos para promover un mejor aprendizaje de la matemática. También discute la importancia de seleccionar problemas representativos para construir el sentido de los conceptos matemáticos.
La didáctica crítica es una corriente que busca que los estudiantes construyan su propio conocimiento cuestionando la realidad. Reconoce que la escuela es una institución social y que el aprendizaje es un proceso, no un producto. Propone que los estudiantes analicen problemas sociales a través de la reflexión colectiva. El documento presenta un ejemplo de situación de aprendizaje sobre la elaboración de artículos informativos para desarrollar la capacidad crítica de los estudiantes.
La teoria de situaciones didacticas sadovskyMandyYarenny
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Este documento discute la relación entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde las perspectivas de Piaget y otros teóricos constructivistas. Propone que el aprendizaje ocurre a través de la construcción sucesiva de estructuras a medida que los estudiantes resuelven problemas y experimentan desequilibrios y reequilibrios cognitivos. También enfatiza la importancia de las situaciones didácticas y la resolución colectiva de problemas para facilitar el aprendizaje. El objetivo es desarrollar
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Teoría de las situaciones didácticas de Guy BrousseauMARITO426
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1. Interacciones en la clase de matemática: interferencias no
previstas para situaciones previstas.
Patricia Sadovsky - Carmen Sessa
Introducción
¿Cómo evolucionan los conocimientos de los alumnos? ¿Cuáles son las
transformaciones que se producen como producto de su interacción con las
situaciones didácticas? ¿Qué rechazos, qué reorganizaciones, qué economías, qué
nuevos objetos, suponen los aprendizajes que realizan? ¿Cuáles son los elementos
de las situaciones propuestas que constituirán para el alumno un factor de
desequilibrio a partir del cual producirán nuevos conocimientos? ¿Cuáles son los
conocimientos ya disponibles, que podrán utilizar para enfrentar las situaciones
propuestas? ¿Qué límites encontrarán? ¿A partir de qué elementos reconocerán los
estudiantes la insuficiencia de los conocimientos antiguos para tomar decisiones que
les permitan resolver las nuevas situaciones propuestas? ¿Cómo podrán validar las
elecciones que realicen para abordar los problemas que se van presentando? ¿A
partir de qué relaciones establecidas por los estudiantes el docente podrá identificar
un nuevo objeto de aprendizaje? ¿Qué tipo de intervenciones del profesor resultarán
fértiles para sostener el vínculo del alumno con la situación? ¿Cómo hará el
estudiante para tolerar la incertidumbre que le provoca el hecho de verse
confrontado a una situación abierta que le exige tomar decisiones? ¿Cómo
contribuirá el docente a sostener dicha incertidumbre, controlando a su vez la propia
inseguridad que le genera el no saber si el alumno podrá o no avanzar en la
resolución de la situación?
Son estas preguntas fundamentales que orientan nuestro trabajo de investigación en
las aulas, trabajo que enmarcamos en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de
Guy Brousseau (1986). Se trata de preguntas cuya respuesta obliga a poner en
relación muy estrecha, conocimientos antiguos del alumno, situaciones didácticas y
nuevos conocimientos a construir. Es claro que estas preguntas generales, adquieren
una especificidad en función del objeto de enseñanza al cual estemos apuntando.
Pero podríamos decir que las mismas resultan productivas tanto para el diseño de las
situaciones didácticas como para el análisis que realizamos al estudiar su
implementación real en la clase.
Sin embargo, - y reconociendo claramente la fertilidad que tiene para nosotros el
análisis que, muy esquemáticamente, acabamos de describir a través de las
preguntas - sabemos que la realidad es siempre mucho más compleja que cualquier
modelización que de ella podamos hacer. En el aula están los alumnos reales y los
docentes que se enfrentan diariamente al desafío de enseñar. Ellos, todos, tienen
una historia escolar particular, gracias a la cual han construido una cierta cultura
matemática, una cierta racionalidad. O incluso varias sub-culturas que se enfrentan
entre sí. Los elementos que constituyen esta racionalidad están vinculados al
conjunto de prácticas que alumnos y docentes han desplegado a lo largo de muchos
años. Entran allí no solo los aspectos más reconocibles del trabajo matemático
(problemas, conceptos, propiedades, leyes, formas de representación) sino también
aquellos más sutiles e inconscientes que están dados por la reconstrucción personal
que cada sujeto hace del trabajo común. R. Wilder (1981) ha tratado de concebir la
matemática como un sistema cultural que evoluciona. Por sistema cultural él designa
1
2. un sistema unido por lazos de comunicación entre seres humanos y compuesto por
- una estructura de convicciones, creencias, actitudes, valores, normas, ritos;
- reglas y esquemas inconscientes de pensamiento y de comportamiento, de
maneras de comunicarse con los otros;
- conocimientos explícitos, lógicamente justificados, necesarios en las diferentes
profesiones, que son dominados por un grupo de personas asociadas por algún
elemento en común.
Si bien Wilder desarrolla esta idea para la cultura matemática de una cierta época,
inmersa a su vez en un sistema cultural más amplio, nos resulta interesante
repensarla para la cultura matemática escolar. En definitiva, alumnos y profesores
constituyen, con relación a la matemática, una comunidad que produce un cierto
conocimiento que evoluciona y en el que - nuestro trabajo didáctico lo confirma- el
nivel de las convicciones, creencias, valores, formas de comunicarse con el otro,
jerarquías entre los integrantes, juega un rol importante en las producciones de la
clase.
Es la influencia de algunos elementos que ubicamos en este nivel, difícilmente
atrapable por el análisis a priori de las situaciones didácticas, el que nos interesa
analizar en este artículo.
Discutiremos en particular, un ejemplo a través del cual se pueden identificar
quiebres que se producen entre los conocimientos personales invertidos por un
alumno - o un grupo de alumnos- y la producción colectiva de conocimientos.
Analizaremos también una situación de fractura en la interacción docente- clase, que
se produce cuando los modelos matemáticos del docente lo llevan a identificar como
iguales problemas o procedimientos que para los alumnos son esencialmente
diferentes.
Acerca de las interacciones entre los alumnos
El análisis de las clases observadas en nuestro trabajo de investigación nos ha
permitido identificar un problema que nos interesa comunicar en este artículo pero
que merece - indudablemente - un estudio específico más profundo: las
intervenciones de un alumno particular en las clases son reguladas a través de un
cierto “control” que ejerce el grupo total de alumnos, que no está dispuesto, en
general, a aceptar desarrollos que se alejan demasiado de algo que podría llamarse
“el marco legal implícito aceptado por la comunidad clase”. Este “marco legal” es
producto de las diferentes relaciones con el saber que conviven en el aula y funciona
como una retroacción a las producciones personales de los alumnos. En el mismo,
no sólo participan aquellas reglas que se han institucionalizado, sino también todo
aquello que los alumnos piensan que es posible, que está justificado, que es
razonablemente económico, etc. Es así como intervenciones - correctas o no - que se
alejan de ese marco normativo implícito son rechazadas produciendo una fractura
entre los conocimientos personales invertidos por un alumno - o por un grupo de
alumnos -, en una cierta situación y la producción colectiva de conocimiento.
Analizaremos esta fractura a través de un ejemplo donde mostraremos las
dificultades que surgen en la interacción entre los alumnos cuando trabajan en una
situación que promueve un cambio fundamental respecto del tipo de práctica que
venían desarrollando y que supone, por lo tanto, una ruptura con respecto a aquello
que estaba estabilizado en la clase.
Se trata de una clase de geometría en la que habíamos propuesto una situación
didáctica que apunta a que los alumnos reconozcan los límites de la medición como
manera de leer información sobre una figura, y comiencen a aceptar la deducción
2
3. como forma de validación de una propiedad. Haremos un breve relato de la situación
para que pueda comprenderse la tensión que se produce entre las producciones de
un grupo de alumnos y el marco normativo de la clase al que acabamos de hacer
referencia.
(Hemos tomado la situación del libro "Initiation au raisonnement déductif au collège"
de G. Arsac et al (1992) y la hemos implementado en un segundo año de una
escuela secundaria pública de Buenos Aires, que corresponde a la formación con
orientación técnica.)
El problema planteado fue el siguiente:
Dado el rectángulo ABCD con AB=10 cm y BC = 6 cm
Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A.
Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en que corta a AB y
J al punto en que corta a CD. También por P trazar una paralela al lado AB, llamar K
al punto en que corta a AD y L al punto en que corta a BC.
¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?
Organización de la clase
Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual
Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor
propone que se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una
solución en conjunto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y
defender ante los otros grupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación
del resultado al que han arribado.
Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados
y se organiza un debate sobre los mismos.
Cuarta etapa: bajo la conducción del docente se realiza un balance final.
Esperábamos que la mayoría de los alumnos resolviera el problema a través de la
medición de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, y es por eso que
las medidas propuestas en el enunciado se eligieron de manera tal de garantizar
errores en la medición sobre los dibujos. Esto provocaría que los resultados de la
medición de cada alumno no fueran coincidentes, haciendo aflorar contradicciones
dentro de cada uno de los grupos y luego entre los diferentes grupos que conforman
la clase.
Hasta la tercera etapa del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a
favor ni en contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que el
docente está activo y participa de todas las cuestiones que no comprometan el
desarrollo del debate posterior. Es decir, si algún grupo llegara a la instancia del
debate con la confirmación del docente de que su resultado es correcto, tal debate no
cumpliría la función para el cual fue previsto.
Habíamos previsto que a partir del trabajo de los grupos y de la discusión en el
debate, se concluiría acerca de la “insuficiencia” de la medición para tomar una
decisión y el docente invitaría entonces a los alumnos a proponer otro tipo de
argumentos para poder arribar a una conclusión satisfactoria para todos. Si en la
segunda etapa algún grupo hubiera arribado a la igualdad de las áreas de los
3
4. rectángulos a partir de una argumentación deductiva, la discusión en el debate se
centraría en una confrontación de las diferentes prácticas desplegadas, apuntando a
una elaboración colectiva de las diferentes calidades de respuesta que se obtienen a
partir de las diferentes prácticas.
Es importante señalar que esta situación permite generar condiciones para plantear
el límite de ciertos recursos habituales en geometría pero de no podemos asegurar
que “conduce” a la elaboración de pruebas. Aunque el alumno no llegue a producir
por sí mismo una prueba del resultado correcto y sea el docente quien deba
plantearla, se han generado condiciones para que el discurso del profesor no se
monte en el vacío y adquiera entonces alguna significación.
Hasta aquí el análisis que habíamos hecho de la situación antes de su
implementación. ¿Qué sucedió en la clase que observamos? Como estaba previsto,
casi todos los grupos arribaron a una desigualdad entre las dos áreas a partir de
haber medido sobre un dibujo los lados de los rectángulos. Como estaba previsto
también, hubo muchas discusiones respecto de cuál era la medida "verdadera", dado
que en cada ensayo aparecían nuevos resultados. Un grupo sin embargo, a partir de
medidas desiguales - pero necesariamente próximas- concluyó que las áreas debían
ser iguales "porque siempre hay error de medición". Primera marca de una diferencia
entre la racionalidad de este grupo y el resto de la clase. Efectivamente vemos aquí
una utilización de la medición más próxima al uso científico y distante del marco
normativo de la clase, ubicado éste en un plano pragmático y sin capacidad de inferir
un no observable (la igualdad de las áreas) a partir de datos observables (la
proximidad de las mediciones).
En este momento un miembro de nuestro equipo intervino planteándole a este grupo
la necesidad de encontrar una argumentación más sólida para defender su resultado
de igualdad de las áreas en el debate colectivo. Frente a esta intervención el grupo
elabora una argumentación deductiva basada en la igualdad de los triángulos en que
queda dividido el rectángulo a partir de su diagonal. En el momento del debate, este
grupo fundamenta que las áreas son iguales apoyándose sucesivamente en los dos
argumentos que ellos habían encontrado. Esto provoca un rechazo generalizado,
sobre todo por parte de los alumnos más fuertes en matemática, que si bien aceptan
la declaración acerca de los errores en la medición, no consideran que la
argumentación deductiva sea suficiente para arribar a una respuesta:
- "Ustedes lo pensaron con la cabeza, pero analíticamente (refiriéndose a las
cuentas), matemáticamente, no da" - dijo un alumno asumiendo la representación
de la mayoría. La clase acepta que las áreas sean iguales pero exige al grupo
que llegue a esto midiendo sobre el dibujo!!!!!!! Para estos alumnos de escuela
técnica, con hábitos muy arraigados en mediciones y cálculos, la incertidumbre
provocada por resultados diferentes se resuelve afinando la medición y no lleva a
un cuestionamiento de ésta en tanto práctica para decidir sobre la validez de una
relación.
La racionalidad matemática de la mayoría de la clase trabajó aquí en contra de la
incorporación de una práctica nueva, la de la deducción, con una fuerza y una
contundencia que no había sido prevista en absoluto en nuestro análisis didáctico
de la situación. El tiempo invertido por el resto de los grupos en lograr una respuesta
unificada a partir de las mediciones, influyó en parte en la falta de aceptación del
nuevo recurso, que invalidaba el trabajo realizado previamente.
¿Hubiera sido tan fuerte la oposición si ningún grupo hubiera desplegado el recurso
de la deducción en el momento del debate y hubiera quedado a cargo del docente
la invitación a buscar un recurso mas satisfactorio que la medida ? ¿Cómo juegan
4
5. las jerarquías entre los alumnos de la clase? ¿Cómo son los mecanismos por los
cuales el marco normativo de una clase se modifica a partir de la propuesta de un
alumno o un grupo muy pequeño?
El ejemplo que acabamos de relatar apunta a señalar la necesidad de incorporar en
la interpretación de los hechos de la clase una dimensión que no se puede captar
muy fácilmente a través de los modos usuales de recolección de información: el papel
que juegan en las interacciones del aula las creencias, valores, actitudes y normas
de los alumnos, elaborados como producto de una práctica escolar de muy larga data
y que intentan resistir con fuerza la incorporación de nuevos modos de conocer.
Interferencias en la clase a propósito de los modelos matemáticos del docente
La diversidad en el aula hace muy compleja la gestión del docente, sobre todo en los
momentos colectivos de la clase. Hemos observado, como producto de nuestro
trabajo de investigación dos cuestiones sobre las que es necesario avanzar:
1) El docente tiende a tomar en cuenta casi exclusivamente las producciones de
aquellos alumnos cuya relación con la matemática esta más próxima al saber oficial,
omitiendo introducir en el espacio de la clase las elaboraciones de muchos alumnos
para quienes habría una ruptura entre lo que ellos han hecho y lo que se
institucionaliza (Perrin-Glorian, M.J, 1993). Esta modalidad del docente alimenta la
actitud de los alumnos flojos de hablar sólo en función de lo que ellos piensan que el
docente espera.
2) Los modelos matemáticos que tiene el docente lo llevan a concebir como iguales
producciones que, desde el punto de vista de los alumnos, son esencialmente
diferentes. Este fenómeno se potenciaría cuando se trata de contenidos algebraicos
dado que, relaciones de muy diversa naturaleza establecidas por los alumnos pueden
converger en una única expresión algebraica. (Vergnaud, G; 1981).
Veamos un ejemplo de esta última cuestión. Los alumnos de un séptimo grado - en el
marco de una secuencia de varias clases que no desarrollaremos aquí- debían
obtener tres números que multiplicados dieran por resultado el número 42.
Con mucho trabajo, una alumna, Estefanía, logró reconstruir el siguiente
procedimiento: toma el número 42, lo divide por 1000, aclarando que podría haber
dividido por cualquier otro número; a ese resultado, que es 0.042 lo divide por 2 y
obtiene 0.021. Luego reconstruye que la operación que busca es 1000 x 2 x 0.021.
(No relatamos aquí la gran cantidad de idas y vueltas realizadas por esta alumna
hasta llegar a establecer el procedimiento descripto). En el momento de realizar la
puesta en común, la profesora le da la palabra a Estafanía quien comienza a relatar
su producción:
Estefanía: Yo partí de 42, lo dividí por un número cualquiera, lo dividí por 1000.
Profesora: Vos me lo vas a dar con un ejemplo, yo voy poniendo el procedimiento.
Vos me decís con un número cualquiera. Puede ser cualquiera?
E: Sí
P: Puede ser 80? Puede ser 200? ¿Cualquiera puede ser?
E: Sí. El resultado de ese lo dividí por otro número cualquiera y el último resultado
con los dos números por los que dividí, multiplicados dan 42.
En ese momento la profesora anota en el pizarrón:
5
6. (42 : número cualquiera) : número cualquiera
P: a ver, cómo sería si los números por los que se divide fueran, por ejemplo, 60 y
25? y anota:
(42 : número cualquiera) : número cualquiera
↓ ↓
60 25
Estefanía queda perpleja ante esta pregunta sin poder responder. Ella no había
atribuido de entrada los dos valores que funcionan como variables independientes,
sino que había elegido un valor, realizado la cuenta y, recién una vez obtenido ese
resultado intermedio, atribuido el otro valor. Desde una concepción procedural y con
una cierta temporalidad como parte del proceso, no puede reconocer su
procedimiento cuando es transformado por la profesora quien, elige simultáneamente
los dos valores por los cuales dividir.
Por su parte, desde su representación matemática, la profesora no puede percibir la
distancia entre el trabajo de la alumna y la "síntesis" que ella realiza en el pizarrón.
Estamos ante una ruptura en la comunicación que - de maneras diferentes- bloquea
tanto a Estefanía como a la docente. Por un lado la alumna no puede recuperar
aquello que tan laboriosamente había elaborado, pierde el sentido matemático de la
situación y tiende a desechar su propia estrategia tratando de apropiarse de la
propuesta de la profesora sin poder establecer una relación entre ambos
procedimientos. Por otro lado la profesora no comprende las razones por las cuales
Estefanía, quien acaba de explicar su procedimiento, no lo puede "aplicar" a otro
caso, incomprensión que atenta contra las posibilidades de intervención de la
docente.
En tanto ruptura en la comunicación, es difícil que este problema pueda ser
identificado como tal por los actores de la situación. Fue en este caso la presencia de
un observador externo la que permitió "atrapar" lo sucedido y tratar de encontrar, en
un trabajo posterior en conjunto con la profesora, una explicación. Se trata sin
embargo de rupturas inevitables y para las cuales, en el mejor de los casos, el trabajo
de investigación ayudará a encontrar maneras de controlarlas.
Conclusiones
¿Por qué es difícil acceder a la "cultura" de un curso antes de la implementación
de las situaciones didácticas? Poner en práctica una secuencia de enseñanza
requiere recoger información respecto del curso particular en el que la misma se
desarrollará. Normalmente para ello, se tienen varios encuentros con el docente, en
los cuales, además de discutir las situaciones que se van implementar, se le pregunta
sobre características del curso, modos de trabajo, sobre los temas dados en ese año
y en años anteriores, etc. Observar las clases antes de la implementación de las
secuencias, revisar las carpetas de los alumnos y el libro de texto que utilizan, son
también maneras habituales de "acceder" a la historia de la clase, historia que va a
resultar esencial para el análisis que podamos hacer acerca de la implementación de
las secuencias didácticas diseñadas.
6
7. Sin embargo toda esta información recogida previamente, no resulta suficiente para
prever cuestiones como las que hemos analizado en este trabajo, cuestiones que,
como hemos visto, tienen una influencia decisiva en el desarrollo de las clases. ¿Se
trataría entonces de afinar los modos de recolección de información previa? ¿Habría
que incorporar otro tipo de datos que permitieran anticipar más este tipo de
fenómenos? ¿ O más bien habría que aceptar que los mismos se ubican en el nivel
de las creencias, valores y ritos, y son, por lo tanto, inaccesibles a través de los
relatos explícitos de los actores y de las trazas escritas del trabajo en el aula ?
Si bien es necesario avanzar en un trabajo de investigación que se proponga
esclarecer las cuestiones planteadas, los elementos que ya surgen del análisis
parecen indicar que, junto con la incertidumbre que acompaña al alumno en algunos
momentos de su proceso de aprender y junto con la incertidumbre que debe tolerar
el docente como parte de su trabajo de enseñar, un cierto grado de incertidumbre
deberá ser aceptado por los investigadores que aspiran a comprender mejor los
fenómenos relativos al aprender y enseñar matemática.
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CHEVALLARD,Yves, (1985,1991) La transposition didactique. Du savoir savante au
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apporteés par une aproche anthropologique, en Recherches en didactique des
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WILDER, R, L, Mathematics as a cultural system. Toronto, Pergamon Press, 1981.
Articulo enviado a la Revista Projeto- Porto Alegre, a comienzos de 2000 y
aceptado par su publicación.
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