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Angulos y triangulos
- 1. PLANIFICACIONTECNICOPEDAGOGICO 1. DATOS REFERENCIALES. dis UnidadEducativa : 2. COMPETENCIAS E INDICADORES COMPETENCIAS INDICADORES Maneja adecuadamente los 1. Denota y clasifica adecuadamente a los términos propios de la ángulos y por su relación con un par. geometría plana mediante el 2. Identifica y aplica correctamente las uso de guías de trabajopara la propiedades de los ángulos formados por resolución de problemas dos paralelas y una secante. aplicados en triángulos y 3. Denota y clasifica correctamente y de temas posteriores. diferentes maneras a los triángulos 4. Expresa adecuadamente la hipótesis y la tesis de los problemas geométricos. 5. Resuelve los problemas de manera lógica y ordenada. 6. PROPÓSITO Que el estudiante adquiera conocimientos y procedimientos relacionados con la geometría plana, mediante el desarrollo de guías en trabajo individual y/o en parejas para la valoración de la geometría y de los procesos de demostración, en su desarrollo intelectual. 7. CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMIENTOS ACTITUDINALES Ángulo Determinación Participación activa en Clasificación geométrica del Baricentro, clase y valoración de las Triángulo. circuncentro, incentro y opiniones de sus Elementos de un ortocentro. compañeros.
- 2. triángulo. Aplicación de los Valoración de la Formas de clasificar criterios de congruencia: aplicación de la matemática los triángulos según sus LLL, LAL, ALA. en la vida real. ángulos y lados. Demostración de Hábito de orden en la Baricentro teoremas relativos a ángulos resolución de problemas. Circuncentro y triángulos. Resolución de Ortocentro problemas de manera lógica Incentro y justificada. Congruencia. Criterios de congruencia: LLL, LAL, ALA. 8. TRANSVERSAL: EQUIDAD DE GÉNERO CONTEXTO DE COMPETENCIA INDICADORES RELEVANCIA SOCIAL Propone alternativas para 6. Reflexiona sobre el Influencia del patriarcado superar la discriminación impacto de la participación de en la vida de hombres y de género que se las mujeres en los ámbitos mujeres. presenta en los ámbitos social, político, científico y Análisis de sus escolar y comunal. social. consecuencias en el hogar: subordinación de la mujer, 7. Toma decisiones con distribución desigual de autonomía y seguridad sin las tareas y guiarse por estereotipos responsabilidades. sexistas. 9. SECUENCIA DIDÁCTICA MOMENTOS SITUACIÓN DIDÁCTICA RECURSOS TIEMPO EVALUACIÓN Inicio Lectura de la poesía Lectura 4’ “Geometría” (Anexo 1). Tiza Recuperación de Pizarra 7’ Lista de cotejo conocimientos previos a través de (Anexo 14) lluvia de ideas (Anexo 2) Presentación del tema.
- 3. Desarrollo Exposición del docente sobre Papelografos 30’ Lista de cotejo la definición de ángulo, de su Preguntas clasificación y de su relación con elaboradas un par, en la que presentará algunas preguntas a los estudiantes (Anexo 3). Se repartirá una hoja de Actividad 4’ trabajo con la actividad “Buscando elaborada. ángulos” (Anexo 4). Los estudiantes trabajaran la 35’ Lista de cotejo actividad de manera individual Luego los trabajos se intercambiaran con un compañero Trabajos 20’ Actividad y se realizará la revisión del realizados completada mismo (coevaluación). Se hará énfasis en que se debe ser justo en la evaluación, sin importar que sea de un hombre o de una mujer, un compañero/a que me simpatice o no. Exposición del docente sobre Papelografos 30’ Lista de cotejo los ángulos formados entre dos rectas paralelas y una secante, además de sus características. Durante la explicación se hará algunas preguntas a los estudiantes para confirmar si interpretan correctamente las definiciones. Se darán igualdad de oportunidades a hombres y mujeres de participar en las preguntas realizadas y se velara que las participaciones se den en un ambiente de respeto por el otro (Anexo 5). Se repartirá una hoja de Hoja de 3’ trabajo, “Rectas paralelas y rectas trabajo secantes”. 27’’ Lista de cotejo La actividad se la realizará de manera individual y el docente realizará las aclaraciones necesarias y de manera oportuna. 25’’ Actividad Para la evaluación de la Hoja de realizada
- 4. actividad se pediráque formen trabajo grupos de cinco personas, deberán realizada designar un coordinador y uno a uno comparar y analizar los resultados. Los grupos no podrán ser exclusivamente de hombres o de mujeres y se debe tomar en cuenta que todos tenemos los mismo derechos de equivocarnos y de ser respetados.El objetivo de esta coevaluación no es la calificación sino la de complementar y contrastar las respuestas dadas. 20 min. Lista de cotejo Exposición del docente de la Papelografos definición, los elementos primarios y secundarios de un triángulo, de la clasificación por los lados y los ángulos (Anexo 7). Se repartirá la guía de trabajo 3’’ “Triángulos” (Anexo 8). Guía de Los estudiantes podrán trabajo 25’’ Guía trabajada trabajar la guía en parejas o tríos. La guía será resuelta con el 7’’ Lista de cotejo docente y la participación de los estudiantes. Cabe aclarar que se deberá recoger la guía trabajada con los nombres de los integrantes de cada grupo. 40’’ Lista de cotejo En la pizarra el docente con Regla y las técnicas descritas en el Anexo compás 9, determinara la altura, medianas, bisectrices y mediatrices en un triángulo acutángulo para determinar los puntos notables. Se recomendará una clase antes que para esta actividad deben traer material geométrico. Posteriormente los 40’’ Dibujos estudiantes deberán determinar los Regla y geométricos mismos elementos en un triángulo compás realizados rectángulo y en un obtusángulo. 50’ Guía trabajada Se repartirá la guía de trabajo Guía Lista de cotejo “construyendo triángulos”, la elaborada
- 5. cuallos estudiantes podrán trabajarla en parejas por falta de material geométrico (Anexo 10). Se recordará que debemos ser solidarios con todos nuestros compañeros, hombres y mujeres. 30’ Lista de cotejo El docente expondrá la Papelografos definición y los criterios de congruencia (Anexo 11). 40’ Guía trabajada Se repartirá una guía de Guía de trabajo sobre congruencia, que trabajo deberán trabajarla de manera individual. El docente realizará las aclaraciones y sugerencias necesarias para la resolución de la guía (Anexo 12). 40’ Lista de cotejo Para la revisión de la guía, Participación uno a uno saldrán los estudiantes a Guía resolverlos en la pizarra hasta resuelta finalizar la clase mediante una demostración directa y con justificaciones. Se buscarán diferentes maneras para demostrar cada uno de los teoremas. La guía se la deberá entregar antes de la revisión. 55’ Se realizará la actividad Papeles de Trabajos “DETERMINACIÓN DE LA colores acabados RECTA DE EULER CON Tijeras PAPIROFLEXIA”, de manera Colores individual y se dará como trabajo Regla las actividades mencionadas al final (Anexo 13) 25’ Se repartirá una práctica de congruencias con un conjunto de ejercicios que el estudiante podrá trabajar en su casa. Y en caso de surgir dudas o ambigüedades, se resolverán algunas de los problemas en la clase conjuntamente con el docente. Se dirá a los estudiantes que la siguiente clase rendirán una prueba escrita 70’ En la prueba se
- 6. Se realizará las Prueba evaluará los recomendaciones, observaciones y elaborada indicadores sugerencias necesarias para que (1,2,3,4,5) puedan rendir sin dificultades la además será evaluación individual de esta heterogénea. sesión (Anexo 15) Finalización Metacognición. Participación 10’ Lista de cotejo ¿Qué he es lo que mejor he de los aprendido del tema? ¿Qué fue lo estudiantes. que más me gusto del tema avanzado? ¿Qué fue en lo que presente más dificultades? 10. ANEXOS Anexo 1 GEOMETRÍA Punto, recta y plano no definimos y teoremas se definen Con todos ellos construimos Necesitamos hoy que se dinamicen
- 7. Punto con puntosegmento se forma Aunque infinitos puntos tiene Y con exactitud le toma La infinita recta que se obtiene La recta distancia a pocas horas La geometría no descuides En el triángulo de Pitágoras Y en las paralelas con Euclídes. Aprender geometría todo un reto Con ella aprendo construcciones Aplico a Thales de Mileto Me quedan muchas satisfacciones Por su tamaño no lo puedo medir Parece que se trata del punto Aunque lo puede decidir A otros les dejo ese asunto Por dos puntos solo una recta Desde un punto solo una perpendicular Los pitagóricos formaran del mundo un mundo ideal. CONCEPTOS. Punto. Es un elemento no definido. Un punto determina una posición en el espacio. A Punto A Rayo. Es cada una de las partes en que queda dividida una recta mediante un punto, el cual viene a ser el origen del rayo. Punto A l A Recta l
- 8. Semirrecta. Es elrayo considerado con su origen. C Rayo D Segmento. Porción de recta limitada por dos puntos. A B Segmento AXIOMAS BÁSICOS DE LA GEOMETRIA Axioma de identidad Axioma de la adición Axioma de la sustracción Axioma de la multiplicación Axioma de la división Axioma de transitividad Axioma de sustitución Axioma del todo es la suma de sus partes Actividades para los estudiantes ¿Para qué se utilizan los axiomas?¿En algebra como los llamamos a estos axiomas? Anexo 3 ÁNGULOS Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas o rayos que parten del B mismo punto. Las semirrectas son llamadas lados y el punto que tienen en común es el vértice. Los ángulos α pueden representarse de tres modos: A C una letra mayúscula en el vértice, una letra griega o número en el interior; o tres letras mayúsculas.
- 9. Ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso 0º< α < 90º α = 90º 90º < α < 180º A A A α α α B C B B C C La medida de un ángulo se considera positiva si la abertura se recorre en sentido contrario a las manecillas del reloj, y se considera negativa si la abertura se recorre en el mismo sentido a las manecillas del reloj. Por su relación con un par: Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°. α β Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90° Actividades para los estudiantes Calcular el complemento de: 60º, 70º, 15º y 34º. ¿Cuál será el complemento de un ángulo recto?¿Tendrá complemento? Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°. Suplemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180° α β Actividades para los estudiantes Calcular el suplemento de: 40º, 110º, 170º y 55º.
- 10. ¿Cuál será elsuplemento de un ángulo llano?¿Tendrá suplemento? Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común. α β Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios y consecutivos. α β Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando comparten el mismo origen y los lados de uno de ellos son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. β α Anexo 4 BUSCANDO A LOS ÁNGULOS Figura tras figura ve identificando a todos los ángulos que encuentres y anotando en la columna de la derecha el número de ángulos que hallaste. Luego denota a cada uno de ellos a través de tres puntos o escribe una letra griega en el interior o un número (ejm. θ, )y escríbelo a continuación del número de ángulos encontrados. # Total de ángulos Ángulos encontrados Figura 1 B …………………………… ……... …………………………… A C …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… ……………………………
- 11. …………………………… Figura 2 …………………………… D G ……... …………………………… F …………………………… …………………………… H I …………………………… …………………………… …………………………… J Figura 3 ……... …………………………… K …………………………… M J …………………………… N …………………………… L …………………………… …………………………… P …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… Uno a uno identifica en las figuras a los ángulos suplementarios …………………………… y opuestos por en vértice: …………………………… Figura 2 Figura 3 …………………………… Suplementarios………… Suplementarios………… …………………………… ………………………… ………………………… …………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… Anexo 5 ………………………… POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE ÁNGULOS FORMADOS ………………………… ………………………… ………………………… Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman los siguientes ángulos: ………………………… ………………………… ………………………… Son dos ángulos internos no adyacentes y situados a distintos lados Ángulos alternos internos: ………………………… ………………………… alternos internos son iguales. de la secante.Los ángulos ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… Son dos ángulos externos no adyacentes y situados a distinto lado de Ángulos alternos externos: ………………………… ……………………… alternos externos……………………… la secante.Los ángulos son iguales. Ángulos conjugados internos: Son dos ángulos internos situados a un mismo lado de la secante.Los ángulos conjugados internos son suplementarios.
- 12. Ángulos conjugados externos:Son dos ángulos externos situados a un mismo lado de la secante.Los ángulos conjugados externos son suplementarios. Ángulos correspondientes: Son dos ángulos no adyacentes, uno interno y el otro externo y situados a un mismo lado de la secante.Los ángulos correspondientes son iguales. Cuadro que se presentará a los estudiantes l3 1 2 l1 3 4 5 6 l2 7 8 Los ángulos: 3 y 6, 4 y 5 son alternos internos 1 y 8, 2 y 7 son alternos externos 3 y 5, 4 y 6 son conjugados internos 1 y 7, 2 y 8 son conjugados externos 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 son correspondientes. Anexo 6 RECTAS PARALELAS Y RECTAS SECANTES En las siguientes figuras identifica y nombra a las rectas paralelas y a las rectas secantes. También debes identificar a los ángulos alternos internos, alternos externos, conjugados internos, conjugados externos y correspondientes que las rectas paralelas determinan. Escribe los ángulos en los cuadros a la derecha de cada figura. ……………………………………… Figura 1 ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………
- 13. Figura 2 ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ¿En que casos no es conveniente nombrar al ángulo solo por………………………………………… la letra del vértice?¿Porque? .. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 7 Anexo ……………………………………………………………………………………………………… TRIÁNGULOS ……………………………………………………………………………………………………… Definición de Triángulo: Porción cerrada del plano limitada por tres segmentos. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….. Elementos:Papelografo γ A A, B, C : Vértices α a, b, c : lados c b α, β, θ : ángulos internos λ β θ µ B a C
- 14. γ,µ,λ : ánguloexterior Elementos secundarios: Altura: Segmento que parte de un vértice hasta el lado opuesto perpendicularmente. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Bisectriz: Segmento que biseca un ángulo interior y une su vértice con el lado opuesto. Mediatriz:Recta perpendicular de un ladoy quepasa por su punto medio. Clasificación Según sus ángulos: Acutángulo, que tiene todos los ángulos interiores agudos. Rectángulo, que tiene un ángulo recto (α = 90º) Obtusángulo, que tiene un ángulo obtuso (α > 90º) Según sus lados: Equilátero, que tiene los tres lados iguales. Isósceles, que tiene dos lados iguales. Escaleno, que tiene los tres lados diferentes. Papelografo Anexo 8 TRIÁNGULOS ACTIVIDAD I I. Responde a cada una de las siguientes preguntas. 1. Cuantos planos se forman con un punto, dos puntos y tres puntos. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 2. ¿Por qué una silla de cuatro patas cojea y una de tres patas nunca? ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………….
- 15. 3. Que diferenciasencuentras entre un triángulo y las demás figuras geométricas estudiadas hasta el momento. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ACTIVIDAD II ……………………………………………. I. Con al ayuda de una regla y un transportador dibuja con diferentes colores en cada una de los espacios correspondientes los triángulos que se mencionan, si alguno fuese imposible de dibujar, entonces debes justificar el porque no se puede trazar un triángulo condichas características en el mismo espacio del dibujo. Triángulo isósceles rectángulo Triángulo equilátero acutángulo Será verdad que no existe un triángulo que pueda ser clasificado de una sola forma? Triángulo escaleno obtusángulo Triángulo isósceles obtusángulo Triángulo escaleno acutángulo Triángulo equilátero rectángulo
- 16. Triángulo equilátero obtusángulo Triángulo isósceles acutángulo ACTIVIDAD III Encierra en un circulo y responde con F (falso) o V (verdadero) las siguientes afirmaciones: 1. Todos los triángulos equiláteros son acutángulos F V 2. Algunos triángulos rectángulos son escalenos F V 3. Todos los triángulos isósceles son obtusángulos F V 4. Algunos triángulos obtusángulos son isósceles F V 5. Algunos triángulos equiláteros son rectángulos F V Anexo 9 SOLO CON REGLA Y COMPÁS Determinación de rectasy puntos notables. 1. Para determinar cada uno de ellos será necesario saber determinar a cada una de las rectas notables en un segmento y punto exterior dados. Se utilizara las siguientes técnicas para la determinación de: Mediatriz y punto medio de un segmento dado un punto exterior: Luego de trazar un segmento se pondrá punto fijo del compas en un de los extremos del segmento y se le dará una amplitud tal que el extremo con lápiz este más halla de la mitad y se trazaran con arcos, uno arriba del segmento (parte media y el otro por debajo) desde ambos extremos del segmento, tal
- 17. Altura a unsegmento de un punto exterior dado Para la altura se hace una modificación a la técnica anterior. Con el compas se abrirá una amplitud igual a la distancia de los extremos del segmento al punto dado y con esa medida se realizaran trazos por el punto dado y por debajo del segmento. Al unir estas dos intersecciones obtendremos una recta perpendicular al segmento por el punto dado. Para la determinación de la bisectriz de un ángulo dado: Desde el vértice del ángulo se trazarán dos arcos en ambos lados del ángulo con la misma amplitud del compas. Luego se trasladará al punto de intersección creado con los arcos trazados y los lados del ángulo, desde ahí se realizarán dos nuevos arcos en el interior del ángulo, de manera que la intersección de estos con el vértice del ángulo determinaran la recta que biseca al ángulo.
- 18. Actividades para losestudiantes Luego de indicar los procedimientos a los estudiantes se dará como trabajo práctico la determinación del baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro de un triángulo rectángulo y otro obtusángulo. También los estudiantes deberán investigar que propiedades o características tienen estos puntos en cada uno de los triángulos mencionados. Anexo 10 CONSTRUYENDO TRIÁNGULOS Para está actividad necesitarás de material geométrico compuesto mínimamente por escuadras trasportador y compás. Con los siguientes datos construye triángulos con los elementos establecidos en el mismo orden. En las instrucciones cuando es en “cm” hace referencia a la longitud del lado del triángulo. Y cuando esta “grados º ”, esta se refiere a la amplitud del ángulo.
- 19. Un triángulo delados 3,4 y 5 cm. Un triángulo de lados 2, 4 y 6 cm. Un triángulo de lados 3, 5 y 8 cm. Un triángulo de 3cm, 60º y 5cm. Un triángulo de 4cm, 35º y 2cm. Un triángulo de 1cm, 120º y 5cm. Un triángulo de 45º, 3cm y 45º. Cada triángulo debe tener sus elementos en el mismo Un triángulo de 70º, 4cm y 15º. orden que cada instrucción Un triángulo de 25º, 5cm y 60º. Arbitrariamente con el mismo orden de los elementos variando su magnitud, forma tus propias órdenes de manera que puedas crear con los mismos datos al menos dos triángulos diferentes. Con cada una ordenes, ¿Cuántos triángulos formaste? ¿será posible construir dos triángulos diferentes con una misma orden? Con una misma orden cualquiera, dibuja dos triángulos con diferente rotación. Mide los demás elementos del triángulo. ¿Cómo son estos elementos? Anexo 11 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición de Congruencia: Un triángulo es congruente con otro si y solo si tienen la misma forma y sus elementos las mismas dimensiones. Criterios de Congruencia: Papelografo LLL: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tienen sus tres lados respectivamente iguales. LAL: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. ALA: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tiene un lado y los dos ángulos adyacentes a él respectivamente iguales.
- 20. Dos triángulos soncongruentes si tienen todos sus elementos homólogos respectivos de igual medida, es decir: Papelografo B B’ β β ’ α γ A α γ’ A C C’ ’ ’ V ABC A’B’C’ α = α’ y β = β’ γ = γ’ Anexo 11 GUIA DE TRABAJO ACTIVIDAD 1 Demostrar los siguientes teoremas 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. 3. Un ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes a él. 4. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera es 360º. 5. En un triángulo isósceles sus ángulos de las base son iguales.
- 21. 6. La sumade los ángulos internos de cualquier cuadrilátero es 360º. ACTIVIDAD 2 No olvides que los teoremas que demostraste anteriormente te pueden ayudar ahora a resolver los siguientes problemas Resuelve los siguientes problemas, 1. El triángulo ABC es equilátero, los ángulos 1, 2 y 3 son iguales. Demostrar que los triángulos I, II y III son congruentes. B II 3 2 III A C 1 I 2. Los segmentos AB y AC son iguales, F es el punto medio de BC y los ángulos 1, 2 son iguales. Demostrar que los segmentos FD y EF son iguales. A D E 1 2 B F C Anexo 12 DETERMINACIÓN DE LA RECTA DE EULER CON PAPIROFLEXIA Materiales: Papeles de colores Tijeras Colores Regla
- 22. Procedimiento: Primero sedeberá recortar un triángulo específico, luego uno a uno determinar los puntos notables a través de las intersecciones de las rectas notables y finalmente unir los puntos obtenidos para obtener la recta de Euler. Paso 1: Hallar el circuncentro. Para ello unimos los vértices A y B, doblando y demarcando una recta que resulta ser la mediatriz del segmento . De la misma manera se obtiene la mediatriz de los tres lados del triángulo y la intersección es el circuncentro. A B Paso 2: Hallar el ortocentro. De manera similar al anterior paso se une el vértice A, con otro punto D del segmento , tal que la recta formada por el dobles contenga al vértice C, la recta obtenida es la altura trazada desde el vértice C. De la misma manera se obtienen las otras alturas y la intersección es el ortocentro. C A D B Paso 3:Hallar el baricentro. Del paso uno, ya obtuvimos los puntos medios de los lados del triángulo; por lo que para determinar las medianas solo es necesario realizar un dobles tal que una con una recta el punto medio de la mediatriz del paso uno con el vértice opuesto. De la misma manera se obtienen las otras medianas y la intersección es el baricentro. A B
- 23. Actividades para losestudiantes En cada uno de los pasos los estudiantes deberán marcar con trazos suaves y colores para diferenciar las alturas, mediatrices y medianas. Y marcar con trazos fuertes y un color diferente el segmento (recta de Euler), que se forma al unir los puntos notables obtenidos. Los estudiantes deben comprobar que efectivamente estos puntos notables son colineales. También deben verificar que la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro. Deberán realizar está misma actividad en un triángulo equilátero y rectángulo. Y también justificarán porque no se puede aplicar este procedimiento en un triángulo obtusángulo. Anexo 13 PRÁCTICA DE CONGRUENCIA Interpreta cada uno de los problemas y plantéalo en un grafico antes de iniciar la resolución de cada uno. Durante la resolución puedes utilizar todos los teoremas que ya demostraste. 1.- Si en un triángulo ABC, BM es la mediana del lado AC, demostrar que los vértices A y C, equidistan de la mediana BM. 2.- En el triángulo ABC, M y N son puntos medios de AC y BC respectivamente. Si en la prolongación de MN se toma NP = MN y se une con P con B, demostrar que:
- 24. 3.- Las rectasa y b son paralelas; AB es un segmento comprendido entre a y b; si los segmentos marcados del mismo modo son iguales. Calcular el ángulos α. A a α b B 4.- El triángulo ABC es equilátero. Si AM = BN = CP, demostrar que el triángulo MNP es también equilátero. C P N A B M 5.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en A se traza la altura AD. La bisectriz del ángulo interior B, corta a la altura en E, a CA en F, corta a la paralela trazada por A, a BC, en G. Hallar FG si BE = 2m. 6.- Demostrar que en todo triángulo isósceles, si desde un punto situado sobre su base se trazan perpendiculares a los lados iguales, se cumple que la suma de estas es igual a cualquiera de las alturas relativas a los lados iguales. 7.- Demostrar que en todo triángulo equilátero, si desde un punto interior se trazan perpendiculares a sus tres lados, se cumple que la suma que la suma de esas perpendiculares es igual a la altura del triángulo. Anexo 13 LISTA DE COTEJO S: satisfactorio NS: No satisfactorio Orden lógico en Nombraelementos opinión de sus correctamente Interpretación forma adecuada hipótesis y la Participación la resolución geométricos de compañeros Identifica la Respeta la Nombres y Expresión coherente Justifica tesis Apellidos S NS S NS S NS S NS S NS S NS S NS S NS
- 25. Anexo 14 EVALUACIÓN INDIVIDUAL Nombre y apellidos:……………………………………… Curso:………………….. 1. Anota la letra del enunciadoen el espacio entre paréntesis de la palabra de la izquierda con la que tenga mayor relación (10 pts). a) Tiene dos lados iguales ( ) Ángulo exterior b) Son iguales ( ) Incentro c) Es un elemento no definido ( ) Triángulo d) Tiene tres vértices ( ) Rectas paralelas e) Es el centro de gravedad ( ) Triángulo isósceles
- 26. f) Equidista de los lados ( ) Ángulos correspondientes g) Equidista de los extremos ( ) Punto h) Se mide en grados sexagesimales ( ) Baricentro i) No se intersecan ( ) Punto medio j) Es suplemento del ángulo interior ( ) Ángulo 2. Demuestra que en todo triángulo isósceles las medianas correspondientes a los lados iguales son iguales (10pts). Primero debes denotar los elementos que necesites y luego expresar la hipótesis y la tesis. 3. De los teoremas vistos en clase, elige dos, enúncialos correctamente y demuéstralos (30 pts). 4. Realiza un esquema de los contenidos vistos en la unidad (10pts). No olvides escribir tu nombre en todas las hojas que vayas a utilizar