Este documento presenta una introducción al cálculo mental en tres oraciones o menos: 1) El cálculo mental es una actividad matemática que requiere movilizar conocimientos sobre números y operaciones. 2) Cuando los alumnos calculan mentalmente, usan procedimientos distintos al cálculo escrito y ponen en juego sus concepciones sobre números y operaciones. 3) La práctica del cálculo mental permite diagnosticar y enriquecer las concepciones de los alumnos sobre números y operaciones.

2. Marta Riveros 0 Grecia Galvez o Silvia Navarro o Pierina Zanocco
Programa de Mejoramiento de la Calidad en Escuelas Básicas de Sectores Pobres
Ministerio de Educación

3. cO MINISTERIO DE EDUCACIÓN
N2 I NSCRIPCIÓN 95.357
ELABORADO POR:
MARTA RIVEROS
GRECIA GÁLVEZ
SI LVIA NAVARRO
PIERINA ZANOCCO
COORDINACIÓN DE LA PUBLICACIÓN:
CARLOS ALVAREZ VIERA
DISEÑO
MIGUEL MARFÁN
I MPRESIÓN:
EDITORA E IMPRENTA MAYAL LTDA.
SANTIAGO, MARZO 1998
O/C 11243

4. INTR0DUCCION
Cálculo mental es cálculo real, decían los antiguos maestros para
significar que por este medio el alumno llega a tener la realeza del
espíritu. Más allá de la mecánica aparente que hay en el cálculo es
posible encontrar en éste una auténtica actividad matemática. Esta
especie de gimnasia intelectual obliga a movilizar los conocimientos
sobre la naturaleza de los números, sobre el sistema de numeración
decimal y sobre las operaciones y sus propiedades. Dado que la
capacidad de la memoria es limitada, el cálculo mental obliga a
acudir a conocimientos que permitan simplificar los cálculos, minimi-
zando la cantidad de datos que hay que relacionar.
Cuando los alumnos calculan en forma mental suelen utilizar procedi-
mientos distintos de los aprendidos para el cálculo escrito, y ponen
en juego sus concepciones sobre los números, la numeración deci-
mal y las propiedades de las operaciones.
La práctica del cálculo mental puede servir para diagnosticar qué
concepciones y representaciones tienen los alumnos de los números
y de las operaciones. Permite, además, actuar sobre esas concepcio-
nes y representaciones enriqueciéndolas, diversificándolas y am-
pliando su dominio de disponibilidad.
En el cálculo es necesario conjugar corrección y rapidez, y eso se
puede alcanzar de muchas maneras; por eso, en esta actividad, tanto
profesores como alumnos pueden buscar nuevas formas para resol-
ver ejercicios sin equivocarse y para hacerlos lo más rápido posible.

5. Podemos distinguir el cálculo exacto y el cálculo aproximado o redon-
deado. El cálculo exacto es la búsqueda del resultado de un ejercicio
operatorio empleando procedimientos matemáticamente válidos;
puede hacerse en forma escrita, oralmente o apoyado por una calcu-
l adora. El cálculo aproximado consiste en buscar un intervalo en el
cual se encuentra el resultado del ejercicio que se nos plantea o un
solo valor, aproximado. Con gran frecuencia en la vida diaria se usa
el cálculo mental aproximado, cuando no es necesario hacer uso del
calculo escrito, cuando no estamos en condiciones de efectuarlo o
para controlar los cálculos hechos mediante procedimientos escritos
o con calculadora.
El aprendizaje del cálculo tiene como propósito lograr que los alum-
nos dispongan de diferentes maneras de hacer cálculos confiables y
rápidos, cuenten con un repertorio de procedimientos de cálculo y
usen los que resulten apropiados a los números con que tienen que
operar, a la relación entre éstos y a la precisión del resultado que
demande la situación en la que surgió la necesidad de este cálculo.
Para determinados números y situaciones conviene usar cálculo
mental aproximado, ya sea redondeando o determinando un interva-
l o. Para otros números y situaciones, que requieren un resultado
exacto, es preferible usar cálculo escrito, o calculadora.
En el proceso de enseñanza del cálculo es conveniente que el profe-
sor o profesora:
• plantee un conjunto de ejercicios relacionados o una
situación con variaciones de los datos numéricos, variaciones gra-
duadas de acuerdo a su complejidad,

6. • dé tiempo a los alumnos para que piensen los ejercicios y
l uego respondan, a fin de permitir que vayan elaborando procedi-
mientos de cálculo, que luego utilizarán con mayor rapidez,
• solicite a los alumnos que compartan con sus compañeros
los procedimientos que usan para llegar a los resultados,
• analice con los alumnos los procedimientos utilizados,
para encauzarlos a que adopten aquéllos que les resulten más
prácticos. Esto no significa necesariamente que todos los niños
llegarán a utilizar los mismos procedimientos; cada niño adoptará
finalmente los que resulten más fáciles de comprender y de aplicar.
Es tan importante que los alumnos obtengan resultados correctos,
como que reflexionen sobre la manera cómo los han encontrado. El
conocimiento, por parte del profesor, de los procedimientos que
emplean los alumnos, le permitirá actuar de manera que favorezca la
evolución de los procedimientos usados, hacia otros cada vez más
potentes, o más sofisticados.
Cómo organizar actividades de cálculo mental
Es importante motivar a los alumnos para que sientan el desafío de
este aprendizaje como propio y acordar con ellos un plan de trabajo
para lograrlo. Es necesario enfatizar la situación de aprendizaje,
evitar que los niños sientan la actividad como un interrogatorio que
busca someterlos a prueba; más bien deben vivirla como una activi-
dad de búsqueda de formas de calcular con exactitud y rapidez,

7. donde los errores no son sancionados porque se considera intere-
sante analizarlos, para lograr aprender.
Conviene trabajar las actividades de cálculo mental con una frecuen-
cia establecida, acordada con los alumnos, para lograr establecer un
espacio más institucionalizado para el desarrollo de este tipo de
habilidad. Por ejemplo, durante los 10 minutos iniciales de la clase de
matemática, tres días a la semana.
Las actividades deben ser planificadas previamente; en general, no
es fácil plantear conjuntos de ejercicios de cálculo mental que resul-
ten interesantes para los alumnos y útiles para generar estrategias de
cálculo. Le sugerimos escoger algunas de las actividades propuestas
en esta Guía, analizarlas y hacer las adaptaciones que considere
pertinentes antes de plantearlas a sus alumnos. Independientemente
del curso en que se esté trabajando, conviene comenzar con activi-
dades del Nivel I; si éstas son realizadas con facilidad por los alum-
nos, seleccionar actividades más exigentes, de Nivel II.
En un primer momento, es importante darles tiempo a los alumnos
para que piensen tranquilos, prestar atención a las reacciones de los
niños para animarlos, para darles apoyo, si lo requieren. Es importan-
te que ellos descubran relaciones entre los ejercicios que se les
proponen, que visualicen alguna estrategia de cálculo, etc. Es nece-
sario permitirles que se equivoquen y hacer preguntas para que ellos
mismos se corrijan; además, las interacciones entre los alumnos les
permiten sacar provecho de sus equivocaciones. Al inicio de cada
actividad de cálculo mental, es recomendable indicar el turno en que

8. los niños deberán participar; así, ellos se podrán ir preparando para
responder. No hay que olvidar lo efectivo que resulta gratificar las
buenas respuestas de los alumnos, especialmente las de aquéllos
que tienen dificultad y lo valioso que es hacerles tomar conciencia de
lo mucho que se puede aprender, a partir de los errores.
En un segundo momento, es necesario practicar lo descubierto,
afianzar la estrategia para llegar a dominarla, de manera que los
alumnos puedan anotar abreviadamente lo descubierto en los ejerci-
cios, para recordarlo cuando sea necesario.
Conviene reiterar este ciclo de momentos, para cada tipo de activi-
dad. Sólo cuando el tipo de ejercicio que se ha estado trabajando se
considere comprendido y dominado por la mayoría de los alumnos
del curso, es adecuado plantear una nueva actividad.

9. ACTIVIDADES DE NIVEL 1

10. Nivel I
1. Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de uno
en uno para atrás.
Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno.
2. Tilín y Tilón cuentan de dos en dos.
Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos
3. Tilín tiene lo mismo que Tilón
Calcular el doble de los números del 1 al 9
4. Tilín y Tilán juntan fichas sin parar
Calcular el resultado de combinaciones aditivas básicas
5. Tilín se pone el sombrero sumador.
Manejar las combinaciones aditivas básicas.
6. Tilín y Tilón saltan de a diez.
Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez, a
partir de un múltiplo de diez
7. Tilín junta primero diez.
Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, las combina-
ciones de sumandos que dan diez.
8. Tilín y Tilón van de cinco en cinco.
Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco en cinco,
a partir de un número múltiplo de cinco
9. Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar.
Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales
se mantiene constante uno de los sumandos

11. 1 0. Tilín agrega uno y Tilón agrega uno.
Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales
se agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos.
11. Tilín va hacia adelante y Tilán hacia atrás.
Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustracción
donde se presentan como operaciones inversas.
12. Tilín y Tilán llegan a lo mismo.
Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en el cálculo
de resultados de ejercicios.
13. Tilín, campeón de la suma.
Calcular el resultado de ejercicios de adición, asociando
primero los números que completan decenas.

12. Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de uno en uno para atrás
Pida a los niños que acompañen a Tilín a contar de uno en
uno hacia adelante, a partir de un número acordado.
Lo harán por turno, en el orden que hayan establecido.
Posteriormente, pida a los niños que acompañen a Tilón a
contar de uno en uno hacia atrás, desde el número al que
ll egaron con Tilín.
Variante:
Parte un alumno diciendo un número cualquiera del ámbito que
estén trabajando y pide a sus compañeros ir nombrando el
número que sigue, hasta llegar, en la serie, al punto en el que
ya muy pocos niños del curso puedan seguir. En ese momento
se devuelven, contando de uno en uno para atrás.

13. Para aprender a:
Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno.
Esta actividad debe constituirse en un desafío para los niños;
para ello, invítelos a contar en el ámbito numérico en el que
aún no se sienten totalmente seguros o que, incluso, no han
trabajado anteriormente. Es conveniente fijar como punto de
partida de la sucesión un número cercano a los que no domi-
nan y motivarlos a seguir contando.
Si al hacer la actividad, observó que los niños cometían mu-
chos errores, puede hacerlos trabajar la sucesión con un con-
tador o con una calculadora. La observación del funcionamiento
de estos materiales les puede ayudar a tomar conciencia de
cómo está estructurado el sistema de numeración decimal y a
superar dificultades muy comunes, como las siguientes: pa-
sar del 39 al 40, del 50 al 49, etc.
También les puede ayudar tener una cinta numerada pegada
en una pared de la sala.

14. Tilín y Tilón cuentan de dos en dos
En esta actividad, los niños van a contar de dos en dos, a partir
de:
un número par, en forma creciente
un número par, en forma decreciente
un número impar, en forma creciente
un número impar, en forma decreciente.
Usted dice un número para empezar la serie y los niños la con-
tinúan, ya sea en coro o por turno.
Variante:
Después de haber hecho varias veces la actividad anterior, se
puede pedir a los niños que anticipen números que aparecerán
en la serie y luego comprobarlos. Partimos del 17, contando de
2 en 2, ¿ nos tocará decir el 50?, ¿ el 65?, ¿el 77?...

15. Para aprender a:
Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos.
Al contar de 2 en 2 es conveniente respetar la secuencia su-
gerida en la actividad : primero, a partir de un número par y
posteriormente de un impar, para graduar la dificultad. Se puede
escribir los números ordenados, a medida que los dicen, para
ayudarles a darse cuenta que, si se parte de un número par,
todos los números que aparecen en la serie son pares y, si se
parte de un número impar, todos los números de la serie son
i mpares.
En una colección de láminas si, al formar parejas, no nos so-
bra ninguna, tenemos un número par de láminas. Si nos sobra
una, el número de láminas que tenemos es impar. Este criterio
puede ayudar a los niños a distinguir entre números pares e
i mpares.

16. Tilín tiene lo mismo que Tilón
I nvite a los niños a resolver situaciones que demandan su-
mar una misma cantidad, como la siguientes:
Tilín tiene 2 láminas y Tilán tiene 2 láminas, ¿cuántas
tienen entre los dos?,
Tilín tiene 3 láminas y Tilán tiene 3 láminas, ¿cuántas
tienen entre los dos?...
Variante:
Los niños juegan en parejas, cada uno con un conjunto de tarje-
tas par- impar del 1 al 9. Un niño coloca sobre la mesa una tarjeta,
su compañero tiene que colocar otra del mismo tamaño y decir
cuántos puntos en total tienen ambas tarjetas. El primer jugador,
si lo necesita, cuenta el total de puntos para comprobar si la res-
puesta es correcta. Si el resultado es correcto, dejan esas tarje-
tas fuera de juego, de lo contrario, cada uno recoge la suya y la
agrega al montón por jugar. Se continúa jugando de igual forma.

17. Para aprender a:
Calcular el doble de los números del 1 al 9.
Es posible que las primeras veces que usted realice esta acti-
vidad con sus alumnos, ellos necesiten el apoyo de algún ma-
terial para calcular, por ejemplo: fichas, tapitas, etc. Proporció-
neselos, pero anímelos a ir probando si pueden hacerlo sin el
material.
Es conveniente escribir los ejercicios ordenados en el piza-
rrón, comentar y analizar los resultados con los alumnos, para
ayudarles a darse cuenta que, en todos los casos, la suma es
un número par:
1 +1=2
2+2=4
3+3=6
9+9=18

18. Tilín y Tilón juntan fichas sin parar
Proponga a los niños formar parejas para imitar el juego de
Tilín y Tilón.
Los niños reciben igual número de fichas (mínimo 5 y máximo
10) cada uno de un color.
Un niño coloca sobre la mesa un número de fichas y dice el
total que pone; el otro agrega el número de fichas que él quie-
ra, de las suyas, diciendo el total que pone.
El primer niño debe decir, sin contar una a una, el total de fi-
chas que hay en la mesa.
Cuando ha dicho el resultado correcto, ambos quitan sus fi-
chas.
Le toca iniciar el juego al segundo niño, de modo que él deberá
calcular luego el total de fichas.
Una vez que hayan practicado bastante este juego, usted les
puede proponer hacerlo sin fichas: "Manuel coloca 4 fichas ro-
j as, Pedro agrega 5 fichas azules, ¿cuántas fichas sobre la
mesa?"
Variante:
Se coloca en una caja papelitos en que se ha escrito números del
1 al 10. Los niños, por turno, sacan dos números; dicen el ejerci-
cio y el resultado en voz alta, por ejemplo: "tres más cuatro son
siete".

19. Para aprender a:
Calcular el resultado de combinaciones aditivas básicas.
Una vez que haya hecho una sesión con el juego, puede variar
l a situación que presentan Tilín y Tilón y reemplazarla por otra
situación aditiva, de algún tema familiar a sus alumnos.
Usted puede graduar la dificultad del ejercicio al determinar el
número de fichas por niño, dado que el total de fichas entrega-
das a la pareja será la suma máxima que podrán ejercitar.
Para reforzar el cálculo de las combinaciones aditivas los ni-
ños pueden escribir en sus cuadernos los ejercicios que les
dieron un mismo resultado, por ejemplo:

20. Tilín se pone el sombrero sumador
Presente a los niños los cálculos de Tilín con su sombrero
sumador: cuando se pone el sombrero con un número, por ejem-
plo el 6, busca ejercicios que den como resultado ese número.
Propóngales a los niños colocarse el sombrero del 6 y desafíe-
l os a buscar ejercicios que den como resultado 6.
Vaya anotándolos, a medida que los dicen, para evitar que los
niños los repitan. Cuando hayan concluido, reorganícelos con
ellos, para dejar en orden los ejercicios. Por ejemplo:
6=5+1
6=4+2
6=3+3
6=2+4
6=1+5
Si algún niño lo señala, también se puede anotar 6 = 0 + 6.
Un niño elige el número del sombrero sumador de Tilín y sus
compañeros dicen los ejercicios.
Variante:
Usted señala un número y los niños, en grupos, anotan en una
hoja ejercicios de adición que den ese resultado. Cuando creen
tenerlos todos, dicen: ¡alto! Los leen en voz alta; si ningún otro
grupo puede señalar otro ejercicio, tienen derecho a señalar un
número, en caso contrario podrá hacerlo el grupo que agregó uno
o más ejercicios .

21. Para aprender a:
Manejar las combinaciones aditivas básicas.
Puede apoyar a los niños dándoles algún material, como fi-
chas de colores. Ellos colocarán sobre la mesa tantas como el
número del sombrero de Tilín e irán explorando y representan-
do con las fichas las combinaciones aditivas.

22. Tilín y Tilón saltan de a diez
En esta actividad los niños van a contar de diez en diez, a partir
de un número múltiplo de diez, en forma creciente y decrecien-
te.
I nvite a los niños a acompañar a Tilín a contar de diez en diez,
empezando con diez.
Conviene realizar el ejercicio en el ámbito numérico que cono-
cen y tratar de ir más allá. Si ellos cometen errores se les pue-
de apoyar colocando en un lugar visible una cinta numerada
del 1 al 100, donde aparezcan diferenciadas las decenas, por
alternancia de colores.
Posteriormente pueden, con Tilón, contar en orden decrecien-
te de diez en diez, desde el número al que llegaron con Tilín.
A medida que los niños van adquiriendo seguridad en la activi-
dad desafíelos a seguir contando de diez en diez en sentido
creciente o decreciente, sin mirar la cinta numerada.
Variante:
Después de haber hecho varias veces esta actividad, se puede
pedir a los niños que anticipen números que aparecerán en esta
serie, nombrando algunos que con seguridad estarán, por ejem-
plo: 350, 500, etc.

23. Para aprender a:
Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez,
a partir de un número múltiplo de diez.
Al contar de 10 en 10, se puede ayudar a los niños escribiendo
en el pizarrón los números que ellos van diciendo, en forma
ordenada.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
210 I ...
Una vez que los niños se hayan percatado que todos los nú-
meros de la serie que están construyendo terminan en 0, pue-
den destacar con color el 0 que aparece en la posición de las
unidades, en todos números del cuadro.

24. Tilín junta primero diez
Pida a los niños calcular con rapidez sumas de tríos de núme-
ros, hasta que se den cuenta que conviene sumar primero los
números que dan diez y luego agregar el tercero.
Gradúe la dificultad presentando secuencialmente ejercicios
de estos tres tipos:
8+2+5 7+8+2 8+7+2
Presente en el pizarrón tríos de ejercicios del primer tipo:
8+2+5 9+1+4
6+4+7 5+5+3
3+7+6 7+3+5
y vaya solicitando a los niños que digan los resultados y la
forma cómo lo hicieron.
Presente a continuación ejercicios del segundo tipo y refuerce
l as respuestas de los niños que primero seleccionaron para
sumar los números que dan diez, y que luego agregaron el
primer sumando. Realice lo mismo con ejercicios del tercer
tipo.
Dicte ejercicios y pida a los niños que calculen mentalmente y
digan el resultado.
Variante:
Por turno, cada niño dicta un ejercicio de suma de tres números
en los que dos de ellos sumen 10; el compañero que sigue da el
resultado y dice su ejercicio. Si un niño dicta un ejercicio en el que
no se cumple la condición, debe calcular él mismo el resultado.

25. Para aprender a:
Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, las
combinaciones de sumandos que dan diez.
Para resolver con éxito este tipo de ejercicios, los niños pue-
den jugar previamente a buscar piezas de dominó que suman
10. Por ejemplo, la pieza M64, o pares de cartas de naipe que
suman 10, o bien trabajar con las tarjetas par-impar, juntando
dos tarjetas que equivalen a la tarjeta de valor 10, etc.
También es conveniente resolver ejercicios de adición cuyo
resultado es mayor que 10 y menor que 19, por ejemplo: 6 + 7,
para que los niños visualicen la conveniencia de juntar prime-
ro 10, descomponiendo el 7 en 4 + 3, de manera de sumar
primero 6 + 4 = 10 y luego agregar 3.
La importancia de esta actividad justifica emplear todo el tiem-
po que sea necesario para que la mayoría de los alumnos
l ogre resolver con rapidez este tipo de cálculos.

26. Tilín y Tilón van de cinco en cinco
Pida a los niños que cuenten de cinco en cinco, primero en
forma creciente y luego, en forma decreciente, a partir de:
• un número múltiplo de cinco, terminado en cinco
• un número múltiplo de cinco, terminado en cero.
Desafíe a los niños a avanzar lo más posible contando, y a
escuchar con atención la serie que van formando.
Escriba la serie en el pizarrón para ayudarles a darse cuenta
de la regularidad que presentan sus terminaciones.
Variante:
Después de haber hecho varias veces esta actividad, reparta a
l os niños papelitos en los que está escrito un número múltiplo de
cinco. Diga usted el primer número de la serie que repartió y pída-
l es continúen contando en voz alta, interviniendo cada vez el niño
que recibió el número correspondiente. Si los niños tienen dificul-
tad con los números mayores, pídales que se junten los que aún
no han dicho su número y se pongan de acuerdo para ordenarse
según la serie, y poder continuar.

27. Para aprender a:
Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco en
cinco, a partir de un número múltiplo de cinco.
Al contar de 5 en 5 a partir de un múltiplo de 5, los alumnos
deben llegar a darse cuenta que todos los números de la serie
terminan alternadamente en 5 y 0, para luego poder anticipar
si un número cualquiera pertenece o no a la serie. No se des-
anime si los alumnos tardan en descubrirlo; es preferible es-
perar hasta que ellos lo descubran, antes que decirlo. Puede
ayudarles a darse cuenta de esta regularidad , el anotar en
dos columnas los números de la serie, a medida que la van
diciendo. Por ejemplo:
35 40
45 50
55 60 ...

28. Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar
En esta actividad, pida a los niños resolver conjuntos de ejer-
cicios de adición, que tienen en común el primer sumando,
teniendo a la vista un cuadro de los 100 primeros números.
Haga colocar a los niños una ficha en un número, por ejem-
plo 23 y luego pida calcular 23 + 4, déles tiempo para calcu-
lar, luego 23 + 6 , 23 + 10, etc.
Variante:
Un niño elige un número de la tabla y coloca en esa casilla una
contraseña. Nombra un compañero, quien deberá decir un ejerci-
cio de adición que tenga como primer sumando el número elegido
y como segundo el que él quiera, siempre que sea mayor que 19
pasará a colocar una ficha en el lugar del resultado y nombrará a
otro niño para que diga otro ejercicio. El niño que haya colocado la
ficha en el número mayor ganará el derecho de dirigir el próximo
j uego.

29. Para aprender a:
Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales
se mantiene constante uno de los sumandos.
Ayude a los niños a darse cuenta que para sumar, deben avan-
zar, en general, hacia la derecha; que si suman diez les basta
bajar una fila, si suman 12, bajar una fila y luego avanzar dos
l ugares. Para esta toma de conciencia pregúnteles cómo lle-
garon al resultado, de qué otra manera podrían hacerlo. Há-
galos compartir sus descubrimientos.
A continuación Tilín da un ejemplo en el tablero de números:
Tilín está en 34, camina 1 paso hacia la derecha, llega al 35
Tilín está en 34, camina 5 pasos hacia la derecha, llega al 39
Tilín está en 34, camina 1 paso hacia abajo, llega al 44

30. Tilín agrega uno y Tilón agrega uno
Pida a los niños calcular individualmente ejercicios como los
siguientes:
1 +3
2+4
3+5
4+6
5+7
Cuando hayan calculado, pídales los resultados y luego aní-
melos a que se fijen en la relación de los primeros sumandos
con los segundos y de éstos con los terceros, ....
Repita este ejercicio hasta que la mayoría de los niños se ha-
yan dado cuenta que entre un ejercicio y el siguiente, se ha
agregado uno a cada sumando y que el resultado ha aumen-
tado en dos.
Variante:
Resolver conjuntos de ejercicios en los que se va agregando dos
a cada sumando y el resultado va aumentando en 4. Estudiar la
relación entre los ejercicios.

31. Para aprender a:
Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cua-
les se agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos.
Si los niños tienen dificultad para visualizar las relaciones en-
tre los términos de un ejercicio y los de otro, pídales hacer
representaciones de cada ejercicio, ya sea con un material
como las fichas de colores o mediante dibujos. O bien, hacer
variar sólo un sumando, después el otro y finalmente ambos.

32. Tilín va hacia adelante y Tilón hacia atrás
Proponga a los niños estudiar juntos cómo hacen Tilín y Tilón
en estos ejercicios:
Tilín dice: 3 + 4 = 7 Tilón contesta: 7 - 4 = 3
Tilón dice: 8 - 6 = 2 Tilín contesta: 2 + 6 = 8
Ayude a los niños a darse cuenta que siempre Tilín suma y
Tilón resta y que ambos usan los mismos números.
Traten de imitar el juego:
Un niño dice un ejercicio de adición y lo escribe en el pizarrón,
otro niño resta, a partir del resultado.
Un niño dice un ejercicio de sustracción y lo escribe en el piza-
rrón, otro niño suma, tomando en primer lugar el resultado del
ejercicio de su compañero.
Variante:
En parejas, los niños juegan a hacer ejercicios de adición y sus-
tracción "con los mismos números"; un niño se asigna el rol de
sumador y su compañero el de restador.

33. Para aprender a:
Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustracción
donde se presentan como operaciones inversas.
Para ayudar a los niños a ver la relaciones entre los ejercicios,
se puede trabajar con una cinta numerada, avanzando y retro-
cediendo, a partir del número al que se llega al avanzar. Es
i mportante que los niños se den cuenta que no necesitan cal-
cular el segundo ejercicio.

34. Tilín yTilón llegan a lo mismo
Proponga a los niños organizarse en parejas y luego pídales
que, por turno, cada pareja resuelva el par de ejercicios que se
l es entregará. Plantee a cada pareja de niños dos adiciones,
conmutando los sumandos. Por ejemplo: 2 + 6 = 6+2=
Es importante que les pida hacerlo rápido, para incentivarlos a
economizar el segundo cálculo.
Una vez que hayan hecho varios ejercicios y que usted crea
están convencidos que en todos los casos obtendrán el mismo
resultado, porque son los mismos sumandos en distinto orden,
desafíe a las parejas de niños a ocupar el lugar suyo y seguir
proponiendo ejercicios del mismo tipo.
La pareja de niños que lo logre, podrá ser reemplazada por otra
pareja de niños que quiera hacerlo.
Variante:
Un niño dice un ejercicio de adición y su resultado, el que sigue
debe decir el mismo ejercicio conmutando los sumandos y dando
el resultado inmediatamente; si lo hace bien, tiene derecho a de-
cir otro ejercicio y su resultado. El compañero que indique dice
este último ejercicio conmutando los sumandos y propone otro.
Usted puede ir escribiendo las parejas de ejercicios mientras los
niños los van diciendo, para ayudar a afianzar la propiedad con-
mutativa.

35. Para aprender a:
Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en el
cálculo de resultados de ejercicios.
Esta actividad debe realizarse cuando los alumnos tengan cierto
dominio de las combinaciones aditivas básicas, para que es-
tén menos centrados en el cálculo del ejercicio y puedan com-
parar los pares de ejercicios que se les van presentando, has-
ta darse cuenta de la propiedad conmutativa de la adición.
I nteresa que los niños se percaten, y utilicen la propiedad, no
siendo necesario que conozcan su nombre.
Para afianzar el conocimiento de la propiedad, pida a los niños
que la verifiquen con cantidades mayores, usando la calcula-
dora.
Algunos niños necesitarán visualizar los ejercicios en situacio-
nes como la que se presenta, donde Tilín y Tilón muestran que
6+3esigual a3+6.

36. Tilín, campeón de la suma
Organice a los niños en grupos y pida a cada grupo que resuelva, sin
error y lo más rápido posible, uno de estos conjunto de ejercicios,
que usted entregará escritos en tarjetas.
8+2 3+7 6+4 1 +9
18+2 13+7 16+4 11 +9
28+2 23+7 26+4 21 +9
38+2 33+7 36+4 31 +9
Cuando los grupos estén listos, por turno, un niño lee los ejercicios y
l os demás miembros de su grupo dan los resultados, sin mirar sus
tarjetas.
Cuando hayan dominado estos ejercicios, reparta tarjetas con gru-
pos de ejercicios como los siguientes, para que los estudien:
18+12 13+17 16+14 11+39
28+12 23+27 26+34 21 +39
38+22 33+37 36+24 31 +49
58+22 53+17 56+24 51 +29
Pida a los niños del grupo que, por turno, den respuesta a los ejerci-
cios, sin mirar la tarjeta.
Variante:
En parejas, los niños preparan tarjetas con cinco ejercicios que
ellos hayan creado y las intercambian con sus compañeros de cur-
so, para estudiarlas.

37. Para aprender a:
Calcular el resultado de ejercicios de adición, donde la suma
de las unidades es igual a una decena.
Conviene realizar esta actividad hasta que los niños puedan
resolver ejercicios con seguridad y rapidez. Para ello, entregar
conjuntos de ejercicios para que los niños preparen con tran-
quilidad el cálculo mental.

38. ACTIVIDADES DE NIVEL 11

39. NIVEL II
1. Tilín y Tilón cuentan de cinco y de a diez
Establecer equivalencias entre sumar 10 y sumar dos
veces cinco a un mismo número
2. Tilín y Tilón j uegan con nueves.
Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9, o
cualquier número con 9 en las unidades.
3. Tilón retrocede, a partir del mismo lugar
Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar
otros, por comparación, cuando el minuendo es
constante.
4. Tilón retrocede lo mismo.
Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar
otros, por comparación, cuando el sustraendo es
constante.
5. Tilón contesta siempre lo mismo
Reemplazar una sustracción por otra, más fácil de
calcular y que tenga el mismo resultado.
6. Sumando, sumando, Tilón a la resta va
ll egando.
Calcular resultados de sustracciones, mediante
adiciones partiendo del sustraendo.
7. Tilín juega a tener el doble
Calcular el doble de un número.

40. 8. Tilón busca la mitad
Calcular la mitad de un número par.
9. Tilín pide el doble y Tilón la mitad
Reconocer que cualquier número es igual a la mitad de
su doble.
1 0. Tilín decaplica y quintuplica
Calcular el producto de un número por 5 como la
mitad del producto de ese número por 10.
11. Tilín busca el doble del doble.
Calcular el cuadruple de un número como el doble del
doble.
12. Tilín duplica tres veces.
Calcular productos de un número por 8, duplicándolo
tres veces.
13. Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula la
décima parte.
Reconocer que dividir por 10 es lo inverso de
multiplicar por 10.

41. Tilín y Tilón cuentan de a cinco y de a diez
Pida a los niños contar, por turno, de cinco en cinco, a partir de
un número cualquiera, que no termine en 0 ni en 5. Hágalo
primero en sentido creciente y luego en sentido decreciente.
Anote en el pizarrón, ordenadamente, los números de la serie,
por ejemplo:
31 - 36
41 - 46
Cuando los sienta seguros en el cálculo, pídales contar de
cinco en cinco, a coro, marcando el ritmo de las terminaciones
que se repiten. Por ejemplo
72-77... 82-87... 92 - 97.... 102 -107... 112-117...
¿Por qué aparecen alternadamente las cifras 2 y 7 en las uni-
dades? Pida a los niños que expliquen esta regularidad.
Luego, pídales contar de 5 en 5, por ejemplo, a partir de 123 y
anotar en un papel el número que les tocó decir.
I nvítelos a contar de 10 en 10, a partir de 123. Deben partici-
par, leyendo su papel, sólo los niños que tengan escrito un
número de esta serie.
Ayude a los niños a verbalizar las relaciones entre ambas se-
ries. Repita esta actividad a partir de 128.
Variante:
Divida al curso en dos grupos, pídale a cada grupo hacer cuatro letreros: ° de
treinta en treinta hacia adelante", " de treinta en treinta hacia atrás", " de quin-
ce en quince hacia adelante" y " de quince en quince hacia atrás".
Usted elige un número de tres cifras, lo escribe en el pizarrón y uno de los
grupos muestra uno de sus letreros, el otro grupo deberá decir, por turno, la
serie pedida.
Luego los grupos alternan los roles, debiendo elegir un letrero distinto.

42. Para aprender a:
Establecer equivalencia entre sumar diez y sumar dos
veces cinco a un mismo número.
Para apoyar el proceso de cálculo, los niños pueden tener a la
vista una cinta numerada hasta el 100 o una tabla de núme-
ros hasta el 100.
Cuando hayan relacionado los números de las series de 5 en
5, con las de 10 en 10, a partir de un número determinado,
pueden hacer ejercicios similares con series de:
50 en 50 y de 100 en 100,
500 en 500 y de 1000 en 1000
También pueden trabajar con series de:
15en15yde30en30,
25 en 25 y de 50 en 50, etc.
Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora.

43. Tilín y Tilón juegan con nueves
Proponga a los alumnos buscar formas de resolver, con facili-
dad y rapidez, grupos de ejercicios donde uno de los sumandos
es 9 o termina en 9, y el otro en cualquier número, que no sea
0 ni 1. Por ejemplo, escriba en el pizarrón tríos de ejercicios
como los siguientes:
25+9 33+9 46+9 57+9
25+19 33+19 46+19 57+19
25+29 33+29 46+29 57+29
Pídales explicar sus procedimientos.
Variante:
Proponga a los alumnos grupos de ejercicios de sustracción en
l os cuales se resta 9 o un número con 9 en las unidades. Por
ejemplo:
57-9 65-9
57-19 65-19
57-29 65-29
Muestre cómo Tilón usa una estrategia similar a la que algunos
niños pueden haber descubierto para sumar 9 .
Tilón, en vez de restar nueve, resta diez, porque es más fácil, y
como restó uno demás, agrega uno al resultado. De la misma
manera, en vez de restar 19, resta 20 y agrega 1 al resultado.
Pídales ir resolviendo los ejercicios como Tilón e ir relatando lo
que hacen.

44. Para aprender a:
Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9 o
cualquier número con 9 en las unidades.
Es posible que los niños busquen estrategias Para que los niños distingan bien los ejerci-
distintas para resolver los ejercicios de sumar cios de adición y sustracción en los que se
o restar 9, o cualquier número con 9 en las aplica esta estrategia, es conveniente que se
unidades. apoyen en la representación de la recta nu-
mérica.
Frente a un ejercicio como 33 + 9, algunos
En el caso de la adición, en lugar de 45 + 19,
niños lo resolverán descomponiendo 9 para
decimos 45 más 20 y restamos 1, que había-
completar la decena. Pensarán: a 33 le falta 7
mos sumado demás.
para completar la decena, y como 9 es igual a
En el caso de la sustracción, en lugar de
7 más 2, sumo 7 a 33, que es 40, y luego sumo
45 - 19, decimos 45 menos 20 y sumamos 1,
2.
que habíamos restado demás.
Otros pueden pensar que, para sumar 9 a 33,
es más fácil sumarle 10 y restar 1 al resulta-
do.

45. Tilón retrocede, a partir del mismo lugar
Proponga a los alumnos resolver grupos de ejercicios como los
siguientes:
86-6 74-4 58-8 63-3
86-5 74-5 58-6 63-5
86-4 74-6 58-4 63-7
86-3 74-7 58-2 63-9
Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos y
a pensar como Tilón: "si tengo lo mismo, mientras menos quito,
más me queda y mientras más quito, menos me queda".
Entregue a los alumnos tarjetas para que practiquen este tipo
de ejercicios, y pídales empezar por el que les resulte más fácil
de resolver.
73-7 46-4
73-5 46-6
73-3 46-8
Variante:
Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tres
ejercicios en los que se ha ido variando el sustraendo en senti-
do creciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado el
minuendo del ejercicio. Los niños estudian las relaciones entre
l os ejercicios y agregan otros tres, siguiendo la secuencia de
l os sustraendos. Luego intercambian las tarjetas con sus com-
pañeros y resuelven los ejercicios.

46. Para aprender a:
Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros,
por comparación, cuando el minuendo es constante.
En este tipo de actividad es necesario plan- el más fácil de resolver es 127 menos 27, lo
tear secuencias de ejercicios en los que el que nos permite saber que el resultado del si-
sustraendo varíe en forma sistemática, lo que guiente es 102 y del anterior es 98, ya que los
se traducirá en las mismas variaciones en el sustraendos tienen una diferencia constante
resultado. Así, ante un conjunto de ejercicios, de 2.
l os niños podrán comenzar solucionando el Es posible esperar que, ante un ejercicio ais-
más fácil para luego dar el resultado de los l ado, como 117 - 19, los niños, apoyándose
otros, por comparación. en la práctica anterior, realicen la sustracción:
Por ejemplo, en estos ejercicios: 117 - 17, y al resultado le resten 2.
127-31
127-29
127-27
127-25

47. Tilón retrocede lo mismo
Proponga a los alumnos resolver ejercicios como los siguien-
tes:
86-6 74-4 58-8 67-7
87-6 73-4 60-8 65-7
88-6 72-4 62-8 63-7
89-6 71 -4 64-8 61 -7
Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos y
a pensar como Tilón: "si quito lo mismo, mientras más tengo,
más me queda y mientras menos tengo, menos me queda."
Entregue a los alumnos tarjetas con ejercicios para que practi-
quen, y pídales empezar con el ejercicio que les resulte más
fácil de resolver.
78-6 82-14
77-6 84-14
76-6 86-14
75-6 88-14
Variante:
Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tres
ejercicios en los que se ha ido variando el minuendo en sentido
creciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado el
sustraendo. Los niños estudian las relaciones entre los ejerci-
cios y agregan tres, siguiendo la secuencia de los minuendos.
Luego intercambian las tarjetas con sus compañeros y resuel-
ven los ejercicios.

48. Para aprender a:
Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros,
por comparación, cuando el sustraendo es constante.
En este tipo de actividad es importante plantear secuencias
de ejercicios en los que, manteniendo constante el sustraendo,
se haga variar el minuendo en forma sistemática, lo que se
traducirá en las mismas variaciones en el resultado. Así, ante
un conjunto de ejercicios, los niños podrán comenzar solucio-
nando el más fácil, para luego encontrar el resultado de los
otros, por comparación.
Por ejemplo, en estos ejercicios:
112-15
113-15
114-15
115-15
116-15
el más fácil de resolver es 115 menos 15, lo que nos permite
saber que el resultado del siguiente es 101 y el del anterior es
99, ya que los minuendos tienen una diferencia constante de 1.

49. Tilón contesta siempre lo mismo
Pida a los alumnos resolver grupos de ejercicios como los si-
guientes:
86-4 74-12 58-16 67-15
87-5 76-14 57-15 65-13
88-6 78-16 56-14 63-11
89-7 80-18 55-13 61 - 9
I nvite a los niños a averiguar por qué todos los ejercicios que
se encuentran en cada grupo tienen el mismo resultado y a
expresar con sus palabras las regularidades encontradas.
Variante:
Los alumnos se organizan en grupos y proponen seis ejercicios
de sustracción que den el mismo resultado. Los intercambian
para estudiar las regularidades que existen entre los ejercicios
propuestos.

50. Para aprender a:
Reemplazar una sustracción por otra, más fácil de calcular
y que tenga el mismo resultado.
Es muy importante lograr que los niños sean encontrar una respuesta fácil, rápidamente.
capaces de reconocer ejercicios de sustrac- Por ejemplo, puede reemplazar 51 - 19 por
ción que dan el mismo resultado y que sepan 50-20.
construirlos, ya que esto les permitirá resolver Estos ejercicios no dan el mismo resultado
cualquier ejercicio de sustracción reemplazán- porque al minuendo se le ha restado 1 y al
dolo por otro equivalente, más fácil de calcu- sustraendo se le ha sumado 1. Al resolver cada
l ar. ejercicio en forma independiente, los niños
Por ejemplo, si un niño tiene que calcular descubrirán el error.
53 - 17, él puede pensar que, ya que es más
Otra forma de favorecer la asimilación de esta
fácil restar 20, si agrega 3 unidades a ambos
estrategia consiste en proponer un número a
términos, le queda 56 menos 20 que es 36; l os niños y pedirles que busquen sustraccio-
53 menos 17 también será igual a 36.
nes que den ese número como resultado. Con-
Otros niños pueden pensar que la sustracción
viene anotar las sustracciones encontradas,
será más fácil de resolver si tienen decenas ordenarlas y analizarlas.
completas en el minuendo. En este caso re- Algunos niños llegarán a darse cuenta que, si
emplazarán 53 - 17 por 50 - 14, restando 3
eligen cualquier número como sustraendo y
unidades a cada término.
l e suman el número propuesto por el profe-
Es necesario que los niños concluyan que a sor, obtendrán el minuendo.
ambos términos de la sustracción debemos
sumar o restar la misma cantidad para que la
diferencia sea constante.
Es posible que algún niño plantee ejercicios
en los que esto no se cumpla, en su deseo de

51. Sumando, sumando,Tilón a la resta va llegando
Converse con los niños acerca del procedimiento que suelen
usar los cajeros para dar el vuelto y que seguramente ellos han
observado. Representen una situación con ayuda de los bille-
tes. Por ejemplo:
"Pago una mermelada que cuesta $ 288 con un billete de
$ 500 ¿cuánto recibo de vuelto? ".
Cuando el cajero entrega: $ 2, dice: 290
cuando entrega $ 10, dice: 300
cuando entrega $ 100, dice: 400
y cuando entrega $ 100, dice: y, 500
Recibo $ 212 de vuelto
Pida a los niños resolver ejercicios de sustracción utilizando el
procedimiento de los cajeros; parten del sustraendo, luego su-
man suman... hasta llegar al minuendo.
Por ejemplo: 119 - 64
Es posible resolver diciendo: 64 + 30 = 94
94 + 6 = 100
100 + 19 = 119
30+6+19 = 55
Por lo tanto : 119 - 64 = 55
No es necesario que los niños escriban los pasos, basta que
anoten los resultados parciales. Pueden ayudarse, como Tilón,
con dibujos de cintas numeradas.
Variante:
Pedir a los niños que, en grupos, inventen situaciones de com-
praventa y las dramaticen luego ante sus compañeros. Por tur-
no, los niños asumirán el papel de cajero y darán el vuelto su-
mando.

52. Para aprender a:
Calcular resultados de sustracciones, mediante la
resolución de adiciones, partiendo del sustraendo.
En esta actividad, los niños transforman sustracciones en adi-
ciones en las que sólo conocen un sumando y la suma. Es
decir, reconocen que la sustracción es inversa a la adición,
aunque no es necesario que lo verbalicen. Posteriormente po-
drán recurrir a esta estrategia para solucionar ejercicios de
sustracción, que sean engorrosos de resolver, por ejemplo,
aquéllos en que el minuendo es un número con varias cifras
cero ( 1000 - 768).
Podrán ir sumando unidades, decenas, centenas, en cualquier
orden. Permítales hacerlo como a ellos les resulte más fácil.

53. Tilín juega a tener el doble
Pida a los niños calcular el doble de un número.
Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad cre-
ciente, por ejemplo:
El doble de El doble de El doble de El doble de
4 20 22 18
5 100 34 29
7 25 33 46
9 45 51 37
Para que todos los niños tengan tiempo suficiente para comple-
tar sus cálculos, cada alumno escribe sus resultados sin decir-
los. Cuando la mayoría de los niños hayan terminado, pídales
que los lean en voz alta.
Si los niños dan resultados diferentes, permítales explicar cómo
los obtuvieron hasta que logren ponerse de acuerdo en cuál es
el resultado correcto.
111-
Variante:
Se juega en círculo. Un niño pasa al centro, dice un número e
i ndica a un compañero, quien deberá decir el doble del número
propuesto. Si da la respuesta correcta, pasa al centro a continuar
el juego. En caso contrario, el que propuso el ejercicio deberá
dar respuesta y si ésta es correcta, podrá continuar en el centro.
Un alumno controla los resultados, usando calculadora.

54. Para aprender a:
Calcular el doble de un número.
Para contextualizar esta actividad puede inventar, junto con
sus alumnos, situaciones como:
" Tilín saca dos veces una misma cantidad"
" Tilón toma lo mismo que Tilín y lo juntan"
" Un jugador gana el doble de lo que apuesta".
Para apoyar el proceso de cálculo, es posible utilizar materia-
l es, como las tarjetas par-impar o los billetes y comparar el
número inicial y el doble obtenido.
Para calcular el doble de un número, por ejemplo de 37, al-
guien puede observar que, ° 30 + 30 es 60 y 7 + 7 es 14"; otro
niño puede advertir que, " 35 + 35 es 70 y 2 + 2 es 4".
Para apoyar el proceso de establecer relaciones entre suma y
producto, pida a los niños que busquen diversas maneras de
calcular el doble de un número con la calculadora. Por ejem-
plo, para calcular el doble de 327:
327 + 327 = (adición)
327 x 2 = (multiplicación)
327 + = = (constante aditiva)
Luego, que compartan los procedimientos encontrados.

55. Tilón busca la mitad
Pida a los niños calcular la mitad de un número.
Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad creciente,
cuidando que sean números pares. Por ejemplo:
La mitad de La mitad de La mitad de La mitad de
4 60 22 34
6 80 64 56
8 50 86 78
10 70 48 92
Cada alumno escribe los resultados de sus cálculos.
Si los resultados son diferentes, pídales que revisen sus cálcu-
los y cuenten cómo lo hicieron, de manera de llegar a justificar
la respuesta correcta.
Variante:
Forme dos o más equipos en el curso. Los miembros de un
equipo proponen números y los de otro equipo calculan la mi-
tad. Un alumno arbitra el juego, controlando los resultados con
calculadora. Se asigna un punto por respuesta correcta.

56. Para aprender a:
Calcular la mitad de un número par.
Para contextualizar esta actividad puede in- Para apoyar el proceso de cálculo, es posible
ventar, junto con sus alumnos, situaciones utilizar material concreto, como tarjetas par-
como: i mpar o billetes. Es posible también trabajar
` Tlán regala la mitad de lo que tiene". con calculadora, ¿habrá distintas maneras de
" El mago Tilón reduce a la mitad lo que calcular la mitad de un número usando calcu-
toca". l adora?.
" Un jugador pierde la mitad de lo que Si los alumnos plantean ejercicios con núme-
apuesta". ros impares, conviene dejarlos que expresen
l os resultados en forma natural, por ejemplo:
Es conveniente que los niños expliquen a los
l a mitad de 27 es 13 y medio". Si exploran este
demás sus procedimientos. Por ejemplo, " para
ejercicio con la calculadora, se encontrarán
encontrar la mitad de 34, yo pensé: la mitad
con la expresión 13.5, lo que les puede permi-
de 30 es 15 y la mitad de 4 es 2; después
tir aprender la equivalencia entre un medio y
j unté las dos mitades y me dio 17," o bien, " yo
cinco décimos y también extender el sistema
pensé que 34 es 20 más 14, la mitad de 20 es
de numeración decimal hacia los décimos.
10 y la mitad de 14 es 7, entonces, la mitad de
34es10+7,osea17".

57. Tilín pide el doble y Tilón la mitad
I nvite a dos niños, para que uno asuma el rol de Tilín y el otro el
de Tilón. Tilín duplica cualquier número que se le diga, mientras
que Tilón, reduce a la mitad los números que se le dicen.
Usted dice, en voz alta, un número al niño que hace de Tilín. El,
en silencio, lo duplica y anota este resultado en un papel, que
se lo pasa al niño que hace de Tilón. El, de acuerdo a su rol,
calcula la mitad de ese número y lo anota.
Ahora, pida a los otros niños, que digan cuál es este último
número.
Una vez que logren establecer que el número que usted ha
dicho en voz alta y el que se obtiene después de duplicarlo y
reducir ese resultado a la mitad, es siempre el mismo, cambie
el orden de la secuencia; usted le dice el número a Tilón; él lo
reduce a la mitad y, a continuación, Tilín duplica el resultado
que obtiene Tilón.
Variante:
Cada alumno escribe en un papel un número, sin mostrarlo a sus compañeros, y lo
pone en una bolsa. En seguida, por turno, un niño saca un papel de la bolsa, lee en
silencio el número que sacó y escribe el doble de ese número en el pizarrón, conser-
vando el papel con el número escrito.
El niño del curso que primero dice el número que su compañero tiene escrito en el
papel, pasa adelante a sacar otro número de la bolsa, y así continúa el juego.
Cuando se hayan agotado los papeles, por turno, los alumnos pasan al pizarrón, eli-
gen uno de los números escritos, lo tarjan y escriben en el pizarrón la mitad del núme-
ro tarjado. Al término de este proceso, comparan los números que están ahora escri-
tos en el pizarrón con los que están escritos en el papel que cada niño guardó en su
poder. Si hay alguno diferente, buscarán cuál fue el error en que se incurrió.

58. Para aprender a:
Reconocer que cualquier número es igual a la mitad de su
doble.
Es importante que los alumnos se den cuenta que, en el juego
propuesto en la actividad, el resultado del segundo cálculo es
el primer número propuesto. La calculadora puede ayudarles
a visualizar esta relación:
827 x 2 = 1654
1654: 2 = ¿Hace falta calcularlo?
Una vez que los niños han descubierto la relación, anímelos a
j ugar con números grandes y a anticipar el resultado de la se-
gunda operación, a partir de la primera que dicen.

59. Tilín decaplica y quintuplica
Pida a los niños que multipliquen un mismo número por diez y
por cinco. Para encontrar los resultados de multiplicar por cinco,
podrán usar calculadora.
8 x 10 8 x 5
50x10 50x5
75x10 75x5
64x10 64x5
Una vez que tienen los resultados, llévelos a observar las rela-
ciones entre éstos. ¿Qué relación hay entre 80 y 40?, ¿entre
500 y 250?
Ayúdelos a expresar con sus palabras conclusiones como las
siguientes: al multiplicar un número por 10 resulta el doble de lo
que se obtiene si se multiplica ese número por 5; o bien, el re-
sultado de multiplicar un número por 5 es igual a la mitad del
que se obtiene si se multiplica ese número por 10.
Variante:
En parejas, pídales resolver multiplicaciones de un mismo nú-
mero por 10, por 5 y por 15. Analizar los resultados y establecer
relaciones entre éstos. Anímelos a usar calculadora en un pri-
mer momento y luego tratar de calcular los resultados y sólo
comprobarlos con la calculadora.

60. Para aprender a:
Calcular el producto de un número por 5 como la mitad
del producto de ese número por 10.
Si hay niños que aún no han comprendido que de un camino alternativo para multiplicar un
para encontrar el producto de cualquier nú- número por 5. Este camino consiste en multi-
mero por diez, basta agregar un cero a ese plicar el número por 10 y luego, calcular la
número, présteles especial atención; que ha- mitad del resultado obtenido.
gan ejercicios diversos con calculadora y los
Como aplicación de las habilidades para mul-
anoten. También, para facilitar la comprensión
tiplicar mentalmente por 10 y por 5, conviene
de esta regla, se puede trabajar con un table-
ejercitar las °tablas de multiplicar" del 10 y del
ro en el que estén marcadas las unidades,
5, de manera que los niños, a partir del cálcu-
decenas y centenas, y algún material estruc-
l o rápido de estos resultados, lleguen a
turado de acuerdo al sistema decimal, como
memorizarlos.
l os billetes. Se puede contextualizar los ejer-
cicios proponiendo: un dulce vale $ 25, ¿cuán- Cuando los niños sepan calcular rápidamente
to valen 10?, y luego variar el precio del dulce el producto de un número por 10 y por 5, po-
pidiendo, cada vez, que comparen la distribu- drán darse cuenta que para multiplicarlo por
ción de billetes en el tablero, antes y después 15 pueden, o triplicar el resultado de multipli-
de multiplicar. carlo por 5, o bien, sumar los resultados de
multiplicarlo por 10 y por 5.
Una vez que la mayoría de los niños
sepa multiplicar por 10 rápidamen-
te, es posible centrar la actividad
en su propósito principal, que es
l ograr que los niños dispongan

61. Tilín busca el doble del doble
Presente a los alumnos el sombrero duplicador de Tilín.
Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa polvos mágicos
y aparecen en el sombrero 6 monedas. Vuelve a echar polvos
mágicos y aparecen 12 monedas. Si en lugar de 3 monedas,
Tilín hubiera colocado 5 en el sombrero, ¿cuántas habrían apa-
recido al final?
Para ayudar a los alumnos a relacionar las acciones de doblar y
doblar con la acción de cuadruplicar, propóngales probar la ma-
gia de Tilín en la calculadora.
Escribir un número. Multiplicarlo por 2. Sin borrar, volver a
multiplicar por 2. Anotar el resultado.
Multiplicar el mismo número por 4
¿Coincide el resultado con el anterior ?
¿Pasará lo mismo con cualquier número?
Continuar haciendo ejercicios con números de varias cifras.
Variante:
Agrupe de a tres los niños del curso. Cada grupo debe contes-
tar, sin usar calculadora, ejercicios como los siguientes:
7x1 ; 7x2 ; 7x4.
Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con números
mayores, por ejemplo: 25 x 1 ; 25 x 2 ; 25 x 4.
J

62. Para aprender a:
Calcular el cuádruple de un número como el doble del
doble.
El propósito de esta ejercitación es que los niños se den cuen-
ta que:
3x2=6 3x2x2=12
3x4=12
Multiplicar un número por 4, equivale a multiplicarlo por 2 y
otra vez por 2.
Una manera de visualizar esta relación es elegir una tarjeta
par-impar, por ejemplo, la que tiene tres puntos. Duplicarla,
corresponde a tener dos tarjetas de tres puntos; duplicar otra
vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de tres puntos.
El doble del doble de tres, equivale a cuatro veces tres.
Una vez que los niños manejan esta equivalencia, pueden
usarla para calcular rápidamente cualquier producto, en el que
uno de los factores es cuatro:
16x4= ... El doble de 16 es 32 y el doble de 32 es 64.
16x4=64 , n__ 1

63. Tilín duplica tres veces
Proponga a los niños trabajar con el sombrero mágico de Tilín:
Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa tres veces pol-
vos mágicos y aparecen en el sombrero 24 monedas. Si en lu-
gar de 3 monedas, Tilín hubiera colocado 4 en el sombrero,
¿cuántas habría al final?
Para ayudar a los alumnos a que relacionen las acciones de
duplicar tres veces con la acción de multiplicar por 8, utilice cal-
culadora.
Variante:
Agrupe de a cuatro los niños del curso. Cada grupo debe resol-
ver ejercicios como los siguientes, sin usar calculadora:
8x1 ; 8x2 ; 8x4 ; 8x8.
Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con números
mayores, por ejemplo: 35 x 1 ; 35 x 2 ; 35 x 4 ; 35 x 8.
Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora.

64. Para aprender a:
Calcular productos de un número por 8, duplicándolo tres
veces.
El propósito de esta ejercitación es que los El doble, del doble del doble de siete, equivale
niños se den cuenta que: a ocho veces siete. Una vez que los niños ma-
3x2=6 nejan esta equivalencia, pueden llegar a la "ta-
3x2x2= 12 ....... 3x4= 12 bla del ocho" a partir de la del cuatro:
3x2x2x2= 24 ....... 3x8= 24
7x4=28
7 x 8 = ..... El doble de 28 es 56.
Multiplicar un número por 8, equivale a multi-
7x8=56
plicarlo por 2, otra vez por 2 y otra vez por 2.
También, pueden usarla para calcular cual-
Una manera de visualizar esta relación es ele-
quier producto correspondiente a la "tabla del
gir una tarjeta par-impar, por ejemplo, la que
ocho":
tiene siete puntos. Duplicarla, corresponde a
6 x 8 = .....
tener dos tarjetas de siete puntos; duplicar otra
El doble de 6 es 12, el doble de 12 es 24 y el
vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de
doble de 24 es 48.
siete puntos; duplicar una tercera vez corres-
6x8=48
ponde a tener ocho tarjetas de siete puntos.

65. Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula la décima parte
En esta actividad Tilín multiplica por 10 cualquier número y Ti-
lón, divide los números por 10.
I nvite a un niño para que asuma el rol de Tilín y otro que haga
de Tilón.
En voz alta, usted le dice un número al niño que hace de Tilín.
El hace el cálculo en silencio y anota el resultado en un papel.
Le pasa este papel a quien hace el rol de Tilán para que divida
ese número por 10 y anote el resultado que obtiene.
En seguida, pida a los demás que digan cuál es el número que
Tilán anotó en el papel.
Una vez que logran darse cuenta que el número que usted dice
i nicialmente en voz alta, es igual al que resulta después de
multiplicarlo por 10 y dividir ese producto por 10, invierta el or-
den de la operatoria: usted le dice el número a Tilón, cuidando
que la cifra de las unidades sea igual a 0, para que anote el
resultado que se obtiene al dividirlo por 10 y pase el papel a
Tilín, para que multiplique por 10 ese cuociente.
Variante:
Proponga secuencias similares, multiplicando y dividiendo su-
cesivamente por 5, cuidando, al invertir el orden de la operatoria,
que los números que usted proponga tengan 5 ó 0 en las unida-
des.

66. Para aprender a:
Reconocer que dividir por 10 es lo inverso de multiplicar
por 10.
El propósito de esta ejercitación es que los niños reconozcan
l a relación inversa entre multiplicar y dividir por 10 y cómo esa
relación se expresa también en lo inverso de las reglas para
multiplicar y para dividir por 10: en la primera se agrega un 0 y
en la segunda se quita un 0.
Para facilitar la comprensión de esta regla, conviene trabajar
con un tablero en el que estén marcadas las unidades, dece-
nas y centenas, y algún material decimalmente estructurado,
como los billetes. Se puede contextualizar los ejercicios pro-
poniendo: entre 10 personas tienen que pagar $ 1.520 ¿cuán-
to tiene que pagar cada una, si todas ponen lo mismo?, y lue-
go variar el precio, pidiendo, cada vez, que comparen la distri-
bución de billetes en el tablero, antes y después de dividir.
Además de proponer situaciones de reparto equitativo, tam-
bién pueden plantearse situaciones de medida, como: ¿cuán-
tos platos se puede servir, con 10 cerezas cada uno, si hay 90
cerezas en total?
Para afianzar el uso de esta regla es recomendable recurrir a
l a calculadora, comparando el número que dividen por 10, con
el cuociente obtenido. ¿Pueden anticipar el resultado, antes
de tipear la tecla "igual"?