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![Funciones: verdadero y falso [4]
Quiz de entrada](https://image.slidesharecdn.com/2025-2cal1sem1-251026232048-6fe93a8c/85/2025-2-Cal1-Sem1-pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff-12-320.jpg)
![Límite: punto de acumulación
• Definición Si D ⊂ ℝ, el elemento 𝑧 ∈ ℝ es un punto de acumulación de D, si cada
intervalo abierto 𝐼 =]𝑧 − 𝑟, 𝑧 + 𝑟[ , la intersección
𝐷 ∩ (𝐼 − 𝑧) ≠ ∅
• Notación. D′: los puntos de acumulación de D
• z ∈ 𝐷′ es equivalente a decir que cada 𝐼 =]𝑧 − 𝑟, 𝑧 + 𝑟[ satisface
𝐷 ∩ 𝐼 − 𝑧 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜.
• z ∈ 𝐷′ es equivalente a decir que por cada 𝑛 ∈ ℕ, existe un punto 𝑧𝑛 ∈ 𝐷 tal que
0 < 𝑧𝑛 − 𝑧 <
1
𝑛
.
• El complemento de D′ es siempre un conjunto abierto.](https://image.slidesharecdn.com/2025-2cal1sem1-251026232048-6fe93a8c/85/2025-2-Cal1-Sem1-pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff-51-320.jpg)
![Límites laterales
• Ejemplo Estudiar los límites laterales
de
𝑓 𝑥 =
𝑥
|𝑥|
cuando 𝑥 → 0
Solución
• 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 = −1
• lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = −1
• 𝑥 > 0, 𝑓 𝑥 = 1
• lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 1
• Los limites laterales no son iguales, por
eso no existe lim
𝑥→0
𝑓 𝑥
• Teorema Sea una función tal que el
intervalo abierto ]𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟[⊂ 𝐷. Se
cumple:
• lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿
• si y solo si
• lim
𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑦 lim
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿](https://image.slidesharecdn.com/2025-2cal1sem1-251026232048-6fe93a8c/85/2025-2-Cal1-Sem1-pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff-54-320.jpg)
![Límite: Propiedades
Propiedades. Las siguientes reglas se cumplen si 𝐿, 𝑀, 𝑘 son números
reales y
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝑀,
• Suma : lim
𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀.
• Resta : lim
𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀.
• Producto : lim
𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)] = 𝐿 · 𝑀.
• Cociente : lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
, 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0.
• Potencia : lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑞 = 𝐿𝑞, 𝑠𝑖 𝑞 ∈ ℚ 𝑦 𝐿𝑞 ∈ ℝ.](https://image.slidesharecdn.com/2025-2cal1sem1-251026232048-6fe93a8c/85/2025-2-Cal1-Sem1-pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff-60-320.jpg)
2025-2 Cal1 Sem1.pdfffffffffffffffffffffffffffffffffff
- 1. Cálculo Diferencial • Introducción. • Límitesde funciones reales de variable real. • Teoremas sobre límites. Cálculo de límites • 2025-2
- 2. Descripción general 1. Funciones realesde variable real. • Límite a un número, límite al infinito y asíntotas. • Continuidad • Teorema del valor intermedio y aplicaciones 2. La derivada • Recta tangente. Razones de cambio relacionadas. Aproximaciones lineales • Reglas de derivación. Regla de la cadena y consecuencias. • Teorema de Rolle. Teorema del valor medio • Optimización 3. Introducción a las integrales y aplicaciones • Integral indefinida • Problema de valor inicial con ecuaciones de primer orden • Aplicaciones
- 3.
- 4. Propiedades algebraicas de los números ℕ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Se definen las operaciones usuales de suma + y multiplicación ∙. • “Se podrá restar − y dividir ÷ ”. • Se puede “ ordenar ≤ ” con los “números positivos 𝑃” (cerrado con la suma y el producto) y obtener tricotomía: ℝ = 𝑃 ∪ 𝑐𝑒𝑟𝑜 ∪ {−𝑎: 𝑎 ∈ 𝑃}. Valor absoluto
- 5. La función Definición. Unafunción es una regla que asigna a cada número de un subconjunto 𝐷 ⊂ ℝ un único número real 𝑓(𝑥). • El conjunto 𝐷 es llamado el domino de la función • El rango viene dado por {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}. • El gráfico es el conjunto de pares ordenados { 𝑥, 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}
- 6. La función: representación Palabras Acada número real se le asigna el cuadrado de dicho número Gráfica Formula 𝑓 𝑥 = 𝑥2 Tabla
- 7. Ejemplo de funciones Ejemplo1 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 con |𝑥| ≤ 2. El dominio es 𝑥: −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 y el rango es el intervalo y: 0 ≤ y ≤ 2 = 0,2 . Ejemplo 2 La función de Dirichlet 𝑓 𝑥 = ቊ 0 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 1 𝑥 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 en ℝ. Está definido en todos los reales y su rango es el conjunto de dos elementos {0,1} Ejemplo 3 La función signo 𝑓 𝑥 = ቐ −1 𝑥 < 0 0 𝑥 = 0 1 𝑥 > 0 en ℝ. Está definido ℝ y su rango es el conjunto {−1,0,1} Ejemplo 4 Función polinomial 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛, 𝑎0 ≠ 0 𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 .
- 8. Gráficas • Intervalos delongitud finita: cerrado, abierto y semi-abiertos • Intervalos ilimitados • Intervalos y valor absoluto
- 9. Gráficas • Plano cartesiano •Distancia • Gráfico de una función
- 10. Gráficas • Monóntonas • Simetríacon los ejes • Traslaciones
- 11. Las funcione: familias •Operaciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔, 𝑓 𝑔 • Composición (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) • Polinomiales, potencias y racionales 𝑃0 𝑥 𝑦𝑛 + 𝑃1 𝑥 𝑦𝑛−1 + ⋯ + 𝑃𝑛 𝑥 = 0 𝑃𝑖(𝑥) son polinomios (algebraicas) • Funciones trigonométricas y sus inversas • Funciones exponenciales y logarítmicas • El número 𝑒 y las funciones hiperbólicas
- 12. Funciones: verdadero yfalso [4] Quiz de entrada
- 13.
- 14. Límites al infinito EjemploConsidere 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2 ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 crece indefinidamente? Los valores de 𝑓(𝑥) tienden a cero, cuando 𝑥 crece
- 15. Límites al infinito •Los valores de 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2 tienden a cero, cuando 𝑥 crece indefinidamente. 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥) • Los valores de 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2 también tienden a cero, cuando 𝑥 decrece indefinidamente.
- 16. Limite al infinito EjemploConsidere 𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥2+1 ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 crece indefinidamente? Los valores de 𝑓(𝑥) tienden a uno, cuando 𝑥 se aleja indefinidamente de cero.
- 17. Límites al infinito: definición Sea 𝑓:(𝑎, +∞) → ℝ, una función y 𝐿 ∈ ℝ • Se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → +∞ y se escribe: 𝐿 = lim 𝑥→ +∞ 𝑓(𝑥) para indicar que los valores 𝑓(𝑥) están arbitrariamente cercanos de 𝐿 cuando x es suficientemente grande. • Dado 𝜀 > 0, ∃𝑁 > 0 tal que Si 𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀.
- 18. Límites al infinito EjemploMostrar que 𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥2+1 , definida en (1, +∞) satisface lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 1 . Solución. | |𝑓 𝑥 − 1 = ቤ ቤ −2 𝑥2 + 1 • Dado 𝜀 > 0, ∃𝑁 > 0 tal que 𝑁 > 2 𝜀 . • Como 𝑥 < 𝑥2 + 1 se cumple Si 𝑥 > 𝑁 ⇒ ቚ ቚ −2 𝑥2+1 < 2 𝑥 < 2 𝑁 < 𝜀.
- 19. lim 𝑥→ +∞ 𝑓(𝑥) ∉ℝ 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) • la función oscila frecuentemente cuando la variable se aleja indefinidamente de cero.
- 20. lim 𝑥→ +∞ 𝑓(𝑥) ∉ℝ 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) • la función oscila frecuentemente cuando la variable se aleja indefinidamente de cero. 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 • la función crece indefinidamente, cuando la variable crece.
- 21. Límites al infinito:lim 𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) = 𝐾 Resultado de imagen para imagenes del limite al menos infinito Sea 𝑔: (−∞, 𝑎) → ℝ, una función y K ∈ ℝ. • Se dice que 𝐾 es el límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 → −∞ y se escribe: K = lim 𝑥→ −∞ 𝑔(𝑥) para indicar que los valores 𝑔(𝑥) están arbitrariamente cercanos de 𝐿 cuando 𝑥 = −𝑥 es suficientemente grande. • Dado 𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 tal que Si 𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝑔 𝑥 − 𝐾 < 𝜀.
- 22. Límite al infinito EjemploMostrar que 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 , definida en (−∞, −1) satisface lim 𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) = 0 . Solución. 1 > 𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 tal que 𝑒−𝑀 = 𝜀 Si 𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝑔 𝑥 − 0 = 𝑒𝑥 < 𝑒−𝑀 = 𝜀.
- 23. Límite al infinito EjemploMostrar que 𝑔 𝑥 = 𝑥 +𝑥 𝑒𝑥 , definida en (−∞, +∞) satisface lim 𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) = 0 . Solución. Para 𝑥 < 0 𝑔 𝑥 = 0
- 24. Límite al infinito EjemploMostrar que 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥+1 satisface lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 1. Solución 𝑓 𝑥 − 1 = ቚ ቚ −1 𝑥+1 < 1 𝑥 Dado 1 > 𝜀 > 0, ∃𝑁 > 1 𝜀2 tal que 𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑥 > 1 𝜀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 1 < 1 𝑥 < 𝜀. Observación 𝜀 = 1 2 existe ෩ 𝑁 > 0 tal que 𝑥 > ෩ 𝑁 ⇒ 1 − 1 2 = 1 2 < 𝑥 𝑥 + 1 < 3 2 = 1 + 1 2
- 25. Límite al infinito:propiedades 1. Si 𝑛 es un entero positivo cualquiera, entonces i) lim 𝑥→ +∞ 1 𝑥𝑛 = 0 ii) lim 𝑥→ −∞ 1 𝑥𝑛 = 0
- 26. Límite al infinito EjemploCalcular lim 𝑥→ +∞ 2𝑥2 − 𝑥 + 5 𝑥3 + 1 = 0
- 27.
- 28. Límite al infinito EjemploCalcular lim 𝑥→ +∞ 3𝑥 + 4 𝑥2 − 5
- 29. Límite al infinito Una formade calcular los límites cuando 𝑥 → +∞ ó 𝑥 → −∞ es dividiendo tanto el numerador como el denominador, entre la mayor potencia de x que aparece en la expresión y luego aplicar las propiedades dadas en las proposiciones anteriores.
- 30. Límite al infinito:propiedades Sean f y g definidas en (a, +∞) y (b, +∞), respectivamente. Si lim x→ +∞ f x = L y lim x→ +∞ g x = M, a) lim 𝑥→ +∞ 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐𝐿, 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. b) lim 𝑥→ +∞ 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀 c) lim 𝑥→ +∞ 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐿𝑀 d) lim 𝑥→ +∞ 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑀 , 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0. Nota: Cuando 𝒙 → −∞ se obtienen propiedades similares
- 31. Límite al infinito Ejemplos.Calcule lim 𝑥→+∞ 5𝑥3−4𝑥2+6 8𝑥3+3𝑥−2
- 32. Límite al infinito Ejemplos.Halle lim 𝑥→−∞ 10𝑥4+3𝑥2+7 9𝑥6−5𝑥+1
- 33.
- 34. Límite al infinito: asíntota horizontal Definición.Sea 𝑓 una función definida en un intervalo de longitud infinita. La recta 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal para 𝑦 = 𝑓(𝑥) si 𝐿 = lim 𝑥→ +∞ 𝑓(𝑥) o bien 𝐿 = lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥)
- 35. Límite al infinito: asíntota horizontal Ejemplo Como lim 𝑥→−∞ 𝑒𝑥 =0, la recta 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal de 𝑦 = 𝑒𝑥 .
- 36. Límite al infinito: asíntota horizontal Ejemplo Como lim 𝑥→∞ tan−1 𝑥= 𝜋 2 𝑦 lim 𝑥→−∞ tan−1 𝑥 = −𝜋 2 , la función 𝑦 = tan−1 𝑥 tiene dos asíntotas horizontales.
- 37. Límite al infinito: asíntota horizontal EjemploComo lim 𝑥→∞ 𝑥2 − 1 − 𝑥 = lim 𝑥→∞ −1 𝑥2 − 1 + 𝑥 = 0 el eje 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal
- 38. Limite infinito: lim 𝑥→ ∓∞ ℎ𝑥 = +∞ • Sea 𝑓: (𝑎, +∞) → ℝ, lim 𝑥→ +∞ 𝑓 𝑥 = +∞ : dado A > 0, ∃𝑁 > 0 tal que Si 𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑓 𝑥 > 𝐴. • Sea g: (−∞, 𝑏) → ℝ, lim 𝑥→−∞ 𝑔 𝑥 = +∞ : dado A > 0, ∃𝑀 > 0 tal que Si 𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 > 𝐴.
- 39. Limite infinito: lim 𝑥→∓∞ ℎ 𝑥 = +∞
- 40. Limite infinito: lim 𝑥→∓∞ ℎ 𝑥 = −∞ Existe un significado análogo para los símbolos • lim 𝑥→ +∞ 𝑓 𝑥 = −∞ ∀B > 0, ∃𝑁 > 0 : Si 𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑓 𝑥 < −𝐵. • lim 𝑥→−∞ 𝑔 𝑥 = −∞ ∀B > 0, ∃𝑀 > 0 : Si 𝑥 < −𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 < −𝐵.
- 41.
- 42. Límites: descripción numérica y gráfica Ejemplo Comportamientode la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 cerca de 𝑐 = 2. ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 se aproxima de 𝐜 = 𝟐? Los valores de 𝑓(𝑥) cuando x → 2 se aproximan de 4.
- 43. Límites: descripción numérica ygráfica Ejemplo Comportamiento de la función 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) 𝑥 cerca de 𝑐 = 0. ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 se aproxima de 𝐜 = 𝟎? Los valores de 𝑓(𝑥) cuando x → 0 se aproximan de 1 (laterales).
- 44. Límites: descripción numéricay gráfica Ejemplo Comportamiento de la función 𝑓 𝑥 = sin 𝜋 𝑥 cerca de 𝑐 = 0. ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 se aproxima de 𝐜 = 𝟎? Los valores de 𝑓(𝑥) cuando x → 0 no se aproximan de un determinado valor. Observación 𝑓 1 10𝑛 = sin 10𝑛 𝜋 = 0
- 45. Límites: descripción numérica ygráfica Ejemplo Comportamiento de la función 𝑓 ℎ = 𝑒ℎ − 1 ℎ cerca de 𝑐 = 0. ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝒉) cuando 𝐡 se aproxima de 𝐜 = 𝟎? Los valores de 𝑓(h) cuando x → 0 se aproximan de 1.
- 46. Límites: descripción numérica ygráfica Ejemplo Comportamiento de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2 − 1 cerca de 𝑐 = 1. ¿Qué sucede con los valores de 𝒇(𝐱) cuando 𝒙 se aproxima de 𝐜 = 𝟏? Los valores de 𝑓(𝑥) cuando x → 1 se aproximan de 0.5.
- 47. Límites: descripción numérica y gráfica Definición intuitivaSean 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ y 𝑎 ∈ ℝ un punto de acumulación para 𝐷. Escribimos lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se acerquen arbitrariamente a 𝐿 ∈ ℝ , tanto como queramos, tomando valores de x ∈ 𝐷 suficientemente cerca de c, pero no iguales a 𝑐.
- 48. Límites: descripción numéricay gráfica Ejemplo lim 𝑥→2 3 = 3 , Ejemplo Muestre que lim x→5 9 − 3x = −6 Solución Sea 𝑓 x = 9 − 3x . Se debe probar que 𝑓 𝑥 + 6 es pequeño cuando 𝑥 está cerca de 5, es decir la distancia 𝑥 − 5 > 0 es pequeña 𝑓 𝑥 + 6 = 9 − 3𝑥 − −6 = −3𝑥 + 15 = −3 𝑥 − 5 = 3|𝑥 − 5|. De este modo, si 𝑥 − 5 > 0 es muy pequeño, valor 𝑓 𝑥 + 6 también lo será. Es decir, si 0< 𝑥 − 5 < 𝜀 3 = 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 + 6 = 3|𝑥 − 5| < 𝜀.
- 49. Límites: descripción gráfica Ejemplos Calcule lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) usandoel siguiente gráfico de la función
- 50. Límite: observaciones • Nopodemos calcular lim 𝑥→−2 𝑥 porque el dominio es el intervalo [0, ∞); por tanto, no puede tomar valores que se acerquen a −2. • Sin embargo, si podemos calcular lim 𝑥→3 𝑥2−9 𝑥2−5𝑥+6 , aunque 3 ∉ 𝐷 = ℝ − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
- 51. Límite: punto deacumulación • Definición Si D ⊂ ℝ, el elemento 𝑧 ∈ ℝ es un punto de acumulación de D, si cada intervalo abierto 𝐼 =]𝑧 − 𝑟, 𝑧 + 𝑟[ , la intersección 𝐷 ∩ (𝐼 − 𝑧) ≠ ∅ • Notación. D′: los puntos de acumulación de D • z ∈ 𝐷′ es equivalente a decir que cada 𝐼 =]𝑧 − 𝑟, 𝑧 + 𝑟[ satisface 𝐷 ∩ 𝐼 − 𝑧 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜. • z ∈ 𝐷′ es equivalente a decir que por cada 𝑛 ∈ ℕ, existe un punto 𝑧𝑛 ∈ 𝐷 tal que 0 < 𝑧𝑛 − 𝑧 < 1 𝑛 . • El complemento de D′ es siempre un conjunto abierto.
- 52. Límites laterales: 𝑓: 𝐷⊂ ℝ → ℝ y 𝑎 ∈ ℝ un punto de acumulación de 𝐷. • lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝐿 • Si los valores de 𝑓(𝑥) se acercan arbitrariamente a 𝐿 ∈ ℝ, tanto como queramos, tomando valores de x ∈ 𝐷 suficientemente cerca de a, pero menores que 𝑎.
- 53. Límites laterales: 𝑓: 𝐷⊂ ℝ → ℝ y 𝑎 ∈ ℝ un punto de acumulación de 𝐷. • lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 • Si los valores de 𝑓(𝑥) se acercan arbitrariamente a 𝐿 ∈ ℝ, tanto como queramos, tomando valores de x ∈ 𝐷 suficientemente cerca de 𝑎, pero mayores que 𝑎.
- 54. Límites laterales • EjemploEstudiar los límites laterales de 𝑓 𝑥 = 𝑥 |𝑥| cuando 𝑥 → 0 Solución • 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 = −1 • lim 𝑥→0− 𝑓 𝑥 = −1 • 𝑥 > 0, 𝑓 𝑥 = 1 • lim 𝑥→0+ 𝑓 𝑥 = 1 • Los limites laterales no son iguales, por eso no existe lim 𝑥→0 𝑓 𝑥 • Teorema Sea una función tal que el intervalo abierto ]𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟[⊂ 𝐷. Se cumple: • lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 • si y solo si • lim 𝑥→𝑐+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑦 lim 𝑥→𝑐− 𝑓 𝑥 = 𝐿
- 55. Límites Ejemplo. Estudiar loslímites y los limites laterales en c=0,2,4 de la función dada por la figura
- 56. Límites Ejemplo. Estudiar loslímites y los limites laterales en c=0,2,4 de la función dada por la figura
- 57. Limites Ejemplo Muestre que lim 𝑥→2+ 𝑥2− 4 𝑥 − 2 ∉ ℝ Solución Para valores mayores que 2 se tiene 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)2
- 58.
- 59. Límite: unicidad Teorema. Considerec ∈ ℝ un punto de acumulación del dominio de 𝑓. Si lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑀, entonces 𝐿 = 𝑀
- 60. Límite: Propiedades Propiedades. Lassiguientes reglas se cumplen si 𝐿, 𝑀, 𝑘 son números reales y lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) = 𝑀, • Suma : lim 𝑥→𝑐 [𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀. • Resta : lim 𝑥→𝑐 [𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀. • Producto : lim 𝑥→𝑐 [𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)] = 𝐿 · 𝑀. • Cociente : lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑀 , 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0. • Potencia : lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 𝑞 = 𝐿𝑞, 𝑠𝑖 𝑞 ∈ ℚ 𝑦 𝐿𝑞 ∈ ℝ.
- 61.
- 62. Límite Ejemplo Para lasconstantes 𝑛 ∈ ℕ y 𝑎 ∈ ℝ se cumple lim 𝑥→𝑐 𝑥𝑛 = 𝑎𝑐𝑛, Ejemplo Para cada función polinomial 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛, 𝑎0 ≠ 0 𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 Se cumple lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑐𝑛 + 𝑎1𝑐𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑐) Ejemplo Calcular lim 𝑥→2 𝑥3 + 5𝑥 + 7 62
- 63.
- 64. Límite Ejemplo Calcular lim 𝑥→1 𝑥2 −1 𝑥 − 1 Solución
- 65. Límites Para calcular límites(caso 0 0 ) se utiliza algunas propiedades algebraicas elementales así como la racionalización Observación. En general, para racionalizar debemos tener en cuenta lo siguiente: 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝑎 − 𝑏 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1 . 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏2 − ⋯ − 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1 , si 𝑛 es impar. Ejemplos: • lim 𝑥→3 𝑥2+𝑥−12 𝑥−3 • lim 𝑥→4 3 2𝑥−2 3𝑥+4−4
- 66. Límite Ejemplo Calcular lim 𝑥→1 𝑥2 −4𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 12 Solución
- 67.
- 68.
- 69. Límite Ejemplo Calcular lim ℎ→5 ℎ −5 ℎ + 4 − 3 Solución
- 70. Límite Ejemplo Calcular lim 𝑥→1 1 𝑥 −1 − 2 𝑥2 − 1 Solución
- 71. Límite Ejemplo Calcular lim ℎ→0 (ℎ+𝑎)2−𝑎2 ℎ donde 𝑎∈ ℝ es una constante Solución
- 72.
- 73. Límite: propiedad • Teorema.Sean 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones tales que • lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 • ∃𝑀 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑥 < 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 − {𝑎} • Entonces • lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 0. • Ejemplo. Muestre que • lim 𝑥→1 1 − 𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0. • lim 𝑥→0+ 𝑥 𝑒sin(𝜋/𝑥) = 0
- 74. Referencias El Cálculo. Sétimaedición Cálculo. Una variable Cálculo de una Variable: trascendentes tempranas 1.- Apostol T. Calculus. Barcelona Ed. 1973 Reverte 2.- LEITHOLD, Louis. 1998 El Cálculo. Sétima edición. México D.F.: Oxford University Press. 3.- ROGAWSKI, Jon. 2012 Cálculo. Una variable. Segunda Edición. Barcelona: Editorial Reverté. 4.- STEWART, JAMES 2012 Cálculo de una Variable: trascendentes tempranas. Sétima edición. México: Cengage Learning 5.- MICHAEL SPIVAK. Calculus. Editorial Reverté, Barcelona, 3ra. edición, 2012. Disponible en biblioteca, ID: 10325