Este documento resume conceptos fundamentales sobre límites y continuidad de funciones. Explica intervalos y entornos, tipos de intervalos, cálculo de límites finitos e infinitos, propiedades de límites, así como continuidad en puntos y en intervalos abiertos y cerrados. También define asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, y distingue entre discontinuidades evitables e inevitables.

1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
STEFANÍA MOROCHO
SANTIAGO NARANJO
ALEXANDRA NASIMBA
ANAHY ONTANEDA
ORTIZ KEVIN
PATRICIO PACHECO
STEVEN RIOFRIO

2. INTERVALOS Y ENTORNOS
Intervalos
• Se llama al conjunto de números reales comprendidos entre otros
dos números dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

3. TIPOS DE INTERVALOS
INTERVALO ABIERTO
El intervalo, es el conjunto de todos los
números reales mayores que a y menores
que b.
INTERVALO CERRADO
El intervalo [a ; b], es el conjunto de todos
los números reales mayores o iguales
que a y menores o iguales que b.

4. INTERVALO SEMI-ABIERTO
POR LA IZQUIERDA
El intervalo ]a ; b], es el conjunto de todos
los números reales mayores que a y
menores o iguales que b.
POR LA DERECHA
El intervalo [a ; b[ es el conjunto de todos
los números reales mayores o iguales
que a y menores que b.

5. INTERVALOS INFINITOS
x > a x ≥ a x<a
x ≤ a X ∈ R

6. ENTORNOS
Al conjunto de todos los X ∈ R ] x0 - δ; x0 +δ [ se lo denomina
entorno, proximidad o vecindad de x0, es decir, que en un entorno con
centro x0 es toda parte de x0 de la forma:
] 1,5: 2,5[

7. NOTACIÓN

8. IDEA INTUITIVA DE LÍMITES
El límite de una función consiste en analizar cuál es el
comportamiento de una función cuando la variable
independiente x se acerca tanto como quiera a un
determinado valor.
Analicemos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 1.
Dom: de la función es R-{1}, lo que significa que la
función no está definida en x=1

9. • Podemos usar la notación de límite: lim(x→1) f(x).
El valor de 3 es el límite de la f(x)
cuando x tiene a 1
1,0001: 3,0003
0,9999: 2,9997
0,999: 2,997

10. DEFINICIÓN RIGUROSA LÍMITE. LÍMITE DE CAUCHY
• Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a . El límite
de f(x) conforme x se aproxima hacia a es L, lo que se escribe como:

12. TEOREMAS DE LÍMITES

13. OTRAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES:
• 1.- Suma y diferencia de las funciones:
• 2.- Limite del producto de funciones:

14. OTRAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES:
• 3.- Limite de la enésima potencia de una función
• 4.- Limite del cociente de dos funciones:

15. OTRAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES:
• 5.- Limite de una constante por una función: sea c
una constante
• 4.- Limite de la raíz enésima de una función:
También se puede expresar esta propiedad como la
enésima potencia . Elevando a ½

16. Limites finitos:
• Cuando x tiende a un punto finito ”a”
• Cunado x tiende a infinito.
CALCULO DE LIMITES FINITOS, INDETERMINACIONES
Definición formal cuando x tiende a un
punto finito “A”
Para el calculo de los limites finitos, se
pueden usar las propiedades mencionadas
anteriormente.

18.  EJEMPLOS

19. LIMITES DE FUNCIONES INDETERMINADAS (0/0)
• Estos limites nos dan como resultado una indeterminación la cual debemos solventar con diversas tales
como:
 Factorización
 Racionalización
 Derivadas.
 Factorización

20.  Racionalización

21.  Derivadas (Ley de l´hopital)

22. LIMITES INFINITOS Y AL
INFINITO

23. LÍMITES AL INFINITO
• Los límites al infinito se caracterizan por tener asíntotas horizontales, las asíntotas son aquellas líneas
que encontramos en diversos ejercicios, en las que las funciones tienden a extenderse y acercarse pero
sin llegar a tocarlas.
• Es decir que cuando la variable “x” tiende al infinito, estamos hablando de un caso de límites al infinito.
• Si en una función encontramos “L”, siendo L una asíntota horizontal; Cuando el valor de x sea mucho
más grande cuando sea positivo o valores cada vez más pequeños en el caso de ser negativo, la función
estará más cerca de alcanzar a la asíntota, sin llegar a tocarla.

24. EJEMPLO
1. Analizamos el ejercicio
propuesto y dividimos a los
elementos del numerador y
denominador por la mayor
potencia.
2. Simplificamos las
fracciones obtenidas.
3. Mediante propiedades,
podemos ponerle limite a todos
los elementos del numerador y
del denominador.
4. En base a las 2 propiedades
presentadas con azul, se
desarrolla el ejercicio.
5. Una vez aplicadas las
propiedades antes mencionadas,
se suma y se anota el resultante
tanto del numerador como del
denominador
6. Finalmente obtenemos que la
respuesta del ejercicio será 0

25. • Los límites infinitos son las funciones que tienden al infinito, y se comportan como infinito positivo e
infinito negativo; y los límites infinitos son caracterizados porque al momento de graficar, las asíntotas
son verticales.
• Los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes, tomando valores de “x” suficientemente
cerca de “a”, pero sin llegar a ser “a”
• El signo del exponente de “a” indica si el número con el que se desarrollará el ejercicio, se encuentra a
la izquierda o a la derecha de a
LÍMITES INFINITOS
• Si encontramos un
denominador diferente a 0 y su
denominador es 0 o una
cantidad aproximada, da como
resultado infinito.

26. EJEMPLO:
3. Reemplazamos el valor
encontrado a x y
desarrollamos el ejercicio.
2. Si encontramos que el valor de “x”
se aproxima a 3 y el número 3 tiene
como exponente al signo “+”, quiere
decir que se tomará el valor que más
se aproxime a 3 que se encuentra a
su derecha, por lo que x tomaría el
valor de 3.0001
1. Analizamos el ejercicio
propuesto
6. Realizamos ley de
signos y finalmente
encontramos que la
respuesta es + infinito.
4. Aproximamos las cifras
a su valor más cercano
5. Resolvemos la división, tomando en
cuenta que cualquier numero diferente
a 0 es dividido entre 0, nos da como
resultado infinito.

27. CALCULO DE ASÍNTOTAS
HORIZONTALES, VERTICALES Y
OBLICUAS
STEFANÍA MOROCHO
Santiago NARANJO
ALEXANDRA NASIMBA
ANAHY ONTANEDA
ORTIZ KEVIN
PATRICIO PACHECO
STEVEN RIOFRIO

28. DEFINICIÓN:
Dada la función F y una recta L es una asíntota de esa
función, de forma que una coordenada tiene infinito, la
distancia entre el punto y la recta tienda a cero.
Ejemplo:
La función f(x)=1/x tiene asíntotas en las rectas y=0, x=0:

29. Para resolver esta asíntota primero calculamos el limite 𝑓 𝑥 cuando x tiende ser infinito positivo o infinito negativo.
Las asíntotas horizontales son rectas paralelas al eje OX.
La recta y=a es una asíntota horizontal por la izquierda si
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑎
La recta y=a es una asíntota horizontal por la derecha si
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝑎
ASÍNTOTA HORIZONTALES

30. Ejemplo:
La función exponencial f(x)=𝑒𝑥
tiene una asíntota horizontal en y=0, pero sólo por la izquierda (reales
negativos):
El lim en −∞ es 0:
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥
= 0
Y en +∞ es infinito :
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = + ∞

31. ASÍNTOTA VERTICAL
Son rectas verticales las cuales la función se va a acercando
indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.
La recta vertical x=a es una asíntota vertical de f si el límite
de f por la derecha o por la izquierda de a tiende a infinito.
La recta x=a es una asíntota vertical por la izquierda si
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = −∞
La recta x=a es una asíntota vertical por la derecha si
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = +∞
Los puntos a candidatos son aquéllos para los que f no está
definida. En las funciones racionales, los candidatos son los
puntos que anulan al denominador.

32. Ejemplo:
Calculamos los límites cuando x→5
Por tanto, x=5 es una asíntota por ambos lados.

33. ASÍNTOTA OBLICUA
La asíntota oblicua de una función es una recta inclinada a la cual su gráfica se va aproximando indefinidamente
sin llegar nunca a cruzarla. Por lo tanto, todas las asíntota oblicuas son rectas de ecuación y=mx+n.
La pendiente y la ordenada en el origen de una asíntota oblicua se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

34. Ejemplo:

36. • Una función trascendente es una función que no puede ser
representada por una ecuación polinómica; en comparación, una
función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. El logaritmo y la
función exponencial son ejemplos de funciones trascendentes. En
otras palabras, una función trascendente es una función que
trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en
términos de una secuencia infinita de operaciones algebraicas de
suma, resta y extracción de raíces.

37. • Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de
un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. La hipotenusa (h)es el lado opuesto al ángulo
recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. El cateto opuesto (a) es el lado
opuesto al ángulo. Las funciones trigonométricas básicas son seno, coseno, tangente; en base
a estas se obtiene sus inversas: cotangente, secante y cosecante.
Funciones trigonométricas básicas: Seno (color azul), Coseno (color rojo), Tangente (color verde)

38. • Los límites de funciones trigonométricas simples son
directos como se indica a continuación:

39. • Para resolver expresiones matemáticas más complejas de límites
trigonométricos se tiene formas fundamentales que permiten simplificar las
expresiones. Además se aplican también para eliminar indeterminaciones.
Estas formas son:

40. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN:
EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
ABIERTO, INTERVALO CERRADO.
TIPOS DE DISCONTINUIDAD.
STEFANIA MOROCHO

41. CONCEPTO DE CONTINUIDAD: SI ES CONTINUO EN TODOS LOS PUNTOS
Continua No continua

42. CONDICIONES A CUMPLIR PARA QUE SEA
CONTINUA UNA FUNCIÓN:

43. EJEMPLO:

44. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO

45. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

46. TIPOS DE DISCONTINUIDAD:
DISCONTINUIDAD EVITABLE

47. EJEMPLO DE DISCONTINUIDAD EVITABLE

48. EJEMPLO DE DISCONTINUIDAD INEVITABLE
SIGNIFICA QUE SUS LIMITES LATERALES SON DIFERENTES.