Este documento trata sobre los límites de funciones. Explica conceptos como límite intuitivo, notación de límite, límites básicos, propiedades de límites, cálculo de límites determinados e indeterminados, límites laterales e infinitos. Incluye ejemplos y problemas para calcular diferentes tipos de límites.

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICA I
Límites
de
Funciones
1

2. CONTENIDOS
2
Noción Intuitiva
Notación de Límite
Límites Básicos
Propiedades
Cálculo de Límites
Determinados
Indeterminados
Límites Laterales

3. NOCIÓN INTUITIVA
3
1
1
)(
3



x
x
xf
1
3
• Tabulemos y grafiquemos la función en cercanías de
x = 1
1
1
)(
3



x
x
xf
1x
1x
x
x
)(xf
)(xf
2.1 1.1 05.1 01.1
64.3 31.3 1525.3 0301.3
8.0 9.0 95.0 99.0
44.2 71.2 8525.2 9701.2

4. CONCEPTO DE LÍMITE
El límite de cuando tiende al
punto , es , cuya notación es:
Siempre que esté arbitrariamente
cerca a para todo lo
suficientemente cerca de
NOTA.-
Si no existe tal número , se dice que el límite no existe.
4
)(xf x
a L
LxfLim
ax


)(
)(xf
L
L
.a
x

5. ALGUNOS LÍMITES BASICOS
5
kkLim
ax


axLim
ax


nn
ax
axLim 

55
3

x
Lim
3
3


xLim
x
83
2


xLim
x
88
3

x
Lim
9
9


xLim
x
14
1


xLim
x

6. TEOREMAS DE LÍMITES
kLxfLimkxkfLim
axax


)()(
  MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax


)()()()(
MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax
.)().()().( 

0,
1
)(
1
)(
1



M
MxgLimxg
Lim
ax
ax
Sean dos funciones tales que
y k una constante, entonces
MxgLimyLxfLim
axax


)()(gyf
6

7.     nLxfLimxfLim nn
ax
n
ax
,)()( 

n
n
ax
n
ax
LxfLimxfLim 

)()(
LxfLimxfLim
axax


)()(
    )()(
)()(
xgLim
ax
xg
ax
axxfLimxfLim 


0,
)(
)(
)(
)(




M
M
L
xgLim
xfLim
xg
xf
Lim
ax
ax
ax
7
TEOREMAS DE LÍMITES

8. 8
CÁLCULO DE LÍMITES
El calcular se realiza de la siguiente manera:
1°.- Reemplazamos x=a en la función f(x).
2°.- Si obtenemos una forma indeterminada:
tratamos de salvar el límite, para lo cual factorizamos
o racionalizamos, luego simplificamos y volvemos a
aplicar el paso 1°.
3°.- Si a pesar de aplicar el paso 2°, seguimos obteniendo
una forma indeterminada, concluimos que dicho límite NO
EXISTE.
00
100
0
0


 
,,.,,,
)(xfLim
ax

9. Calcule los siguientes límites:



 13
42
1 x
x
Lim
x



 x
x
Lim
x 2
5
1

 x-x
4x-
24x
Lim
0
0



1)1(3
4)1(2



12
15

4-)4(
4-4
2



 12
4
24 xx
x
Lim
x

124-)4(
4-4
2
9
1
2
2


2
1
4

0
12
0


10. 10



 12
4
24 xx
x
Lim
x
  



 34
4
4 xx
x
Lim
x
  



 34
4
4 xx
x
Lim
x
  7
1
3
1
4

 x
Lim
x
7
1
12
4
24



 xx
x
Lim
x
Calcule:

11. 43
209
2
2
4 

 xx
xx
Lim
x
4
)1)(4(
)4)(5(
4 

 xx
xx
Lim
x
1
5
4 

 x
x
Lim
x 5
1

43
209
2
2
4 

 xx
xx
Lim
x 5
1

0
0

11
Calcule:

12. 6
xx
xxx
Límx
23
24
2
23
0



0
0

2
1

x2+x3
x+x2-x4
2
23
0x
Lim
2
1

12
Calcule:
 
 23
124 2
0



xx
xxx
Límx
 
 23
124 2
0



x
xx
Límx

13. 0
0

3
2

xxx
x
Lim
x 2
4
23
2
2 


  
 



 )1(2
22
2 xxx
xx
Lim
x
)1(
2
2 

 xx
x
Lim
x



 xxx
x
Lim
x 2
4
23
2
2 3
2
13
Calcule:

14. 9
0
0

2
22
2 

 x
x
Lim
x
2
22
2 

 x
x
Lim
x
)22)(2(
42
2 

 xx
x
Lim
x
)22)(2(
2
2 

 xx
x
Lim
x
)22(
1
2  x
Lim
x 4
1

)22(
)22(


x
x
2
22
2 

 x
x
Lim
x 4
1

14
Calcule:

15. 10
0
0

3
4

4-16x+
3-9x+
0x
Lim
4-16x+
3-9x+
0x
Lim
3)9x+(
3)9x+(


3)9x+)(16-16(
4)16x+)(9-9(
0 

 x
x
Lim
x
39x+
416x+
0 

x
Lim
4-16x+
3-9x+
0x
Lim
3
4

15
Calcule:
4)16x+(
4)16x+(


3)9x+4)(16x+4)(-16x+(
4)16x+3)(9x+3)(-9x+(
0 

x
Lim

16. LÍMITES LATERALES
2-3
-1
4
6
)(xf


)(
2
xfLim
x


)(
2
xfLim
x


)(
3
xfLim
x


)(
3
xfLim
x
4
4
1
6
No
existe
)(
3
xfLim
x 
4)(
2


xfLim
x
DERECHA +DERECHA +IZQUIERDA -
IZQUIERDA -
LxfLimxfLimLxfLim
axaxax
 

)()()(
16

17. Verificar si existen los siguientes límites






1,4
1,5
)(
2
xx
xx
xf













2,
2
333
2,
4
8
)(
2
3
xsi
x
x
xsi
x
x
xf
)())())()
111
xfLimcxfLimbxfLima
xxx  
)())())()
222
xfLimcxfLimbxfLima
xxx  













2,84
21,23
1,
1
)(
23
xaxbx
xaxbx
x
x
xx
xf
Determinar el valor de a y b, si se sabe
que existen
)()(
21
xfLimyxfLim
xx 
17

18. Dada la gráfica de la función
Calcular los siguientes límites
)(xf
1 3-2
-3
12
7
3

 
)())())() xfLimcxfLimbxfLima
xxx 222

 
)())())() xfLimfxfLimexfLimd
xxx 111
)())())()
333
xfLimixfLimhxfLimg
xxx 
 
3 7 NO EXISTE
12 -3 NO EXISTE
0 0 = 0
18

19. • Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la
función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa :
•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si
la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa:
Límites infinitos de una función en un punto: definición

x0+
lim
1
| x |
= 

x0–
lim
1
| x |
= 

x0
lim
1
| x |
= 
Ejemplo: observando la gráfica de la
función f(x) =
1
| x |
se ve que:


)(lim xf
ax


)(lim xf
ax

20. Límite infinito en un punto: definición formal
Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = (x+1) / x?
x+
lim
x + 1
x = +
x 1 0,1 0,01 0,01  0+
f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001  +
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada
número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d
es función del K elegido .
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para
cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde
d debe ser función de K.
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:
x–
lim
x + 1
x = –

21. Límites finitos en el infinito: Definición
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001  1
Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se
hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
Lxf
x


)(lim
x+
lim
x + 1
x
= 1
Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si
la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen
valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota
Lxf
x


)(lim

22. Límites infinitos en el infinito: Definición
x+ 
lim x2
= + 
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = x2
102
104
106
108
 + 
Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M
se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser
función de M.
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

23. Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite
Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas
funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.
Ambos límites no existen.

24. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
Cuando el
xa
lim
P(x)
Q(x) es indeterminado
0
0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-
mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)

x3
lim
–18+ 21x– 8x2
+ x3
x2
– 9
=
x3
lim
(x – 3)2
(x – 2)
(x– 3)(x+ 3)
=
x3
lim
(x – 3)(x– 2)
(x + 3)
=
0
6 = 0
Indet
0
0

x
3
2
lim
–18+ 33 x – 20 x2
+ 4 x3
9 – 12x + 4 x2 =
x
3
2
lim
(x – 2)(2x– 3)2
(2x– 3)2 =
x
3
2
lim (x– 2)=
–1
2
Indet
0
0

25. Cálculo de límites
Límites simples
Algunos límites típicos (trigonométricos y exponenciales)
x

x
lim








1 +
a
x = ea
, para todo a
Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x
por el de a hacia el que tiende.
)()(lim afxf
ax


sen x

x0
lim
x
= 1
x

x
lim
e
xp = , para todo p
ln x

x
lim
xp = 0, para todo p > 0

26. Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 . 
= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0
1/x = y
Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para
obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo
0
0 o


Recordando que
x
lim xp
e–x
= 0

x
lim (x3
+ 5x2
+ 7x)e–x
=
Indet 0.

Recordando que x
x
X
ln
lim
 = 0

x0
+
lim x .
ln x =
x0+
lim ln x
1
x
= 0
y
lim
– ln y
y =
5
x
lim x2
e–x
+
x
lim x3
e–x
+ 7
x
lim xe–x
=
Indet 0.


27. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x
lim
–2x3
+ 3x– 5
–x3
– 2x + 5 =
Indet


x
lim
–2 +
3
x2 –
5
x3
–1 –
2
x2 +
5
x3
=
–2
–1
= 2
x
lim
ln (ln x)
ln x =
y
lim
ln y
y = 0
Indet


Cuando el
x
lim
P(x)
Q(x)
es indeterminado

 siendo P(x) y Q(x) polinomios,
podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más
alta de x que aparezca en ambos.

28. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00
Indet   0
e0 = 1
ln
0
lim 1
x
x
x
e e

  
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y
expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x0+
lim xx
=
Indet 0 0
x0+
lim eln (x
x
)
=
x0
+
lim ex ln x
=
 
1
lim x
x
x
1
ln
lim
xx
x
e


29. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1
Indet 1
Indet 1
1
2x2
+ x4 = y
e8
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión
de e
a
como límite, combinada con un cambio de variable.
x
lim








1 +
1
x
2x
=
x
lim














1+
1
x
x 2
=








x
lim 





1+
1
x
x 2
= e2
x0
lim(1 + 2x2
+ x4
)
4
x2
=
x0
lim





1 +
1
1
2x2
+ x4
4
x2
=
x0
lim













1 +
1
1
2x2
+ x4
1
2x2
+ x4 (2x2
+ x4
)
4
x2
=
=
y
lim 











1 +
1
y
y x0
lim
4(2x2
+ x4
)
x2
=
y
lim 











1 +
1
y
y x0
lim (8 + 4x2
)
=