2f 01 campo gravitatorio

Tema 2: CAMPO GRAVITATORIO
Modelos del universo
La Tierra en
el universo
Visión actual del universo

Fuerzas
Ley de la gravitación universal
gravitatorias

Campo
gravitatorio
Conceptode campo
Concepto de campo Campos de fuerzas
Campos de fuerzas

Descripción del campo gravitatorio

Estudio del Representación del campo gravitatorio
campo gravitatorio

Interacción gravitatoria Determinación del campo gravitatorio

01/14/13 1
IPEP Cádiz - Departamento de Física y Química - FIS2

1. La Tierra en el universo
Modelos del universo

Desde la más remota antigüedad ha existido en la Tierra la preocupación
por dar una explicación razonable al movimiento de los cuerpos celestes
que se ven en el cielo.

Históricamente, ha existido dos modelos : el modelo geocéntrico y el
modelo heliocéntrico.

Modelo geocéntrico Modelo heliocéntrico

Aristóteles (s.IV a.C.) N. Copérnico (1473 –
1542 )
C. Ptolomeo (s.II d.C.) Galileo Galilei (1564 – 1642)

J.Kepler (1571 – 1630 )

I. Newton (1642 – 1727 )

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Leyes de Kepler

Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona,
1630) al que se deben las tres leyes que describen el movimiento de los
planetas de nuestro sistema solar.
Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio
supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se
propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las
observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el
danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones.

Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener
parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de
que había de desecharse la idea de que fueran circulares.

En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento
planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que
se expone a continuación.

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Primera Ley:
Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria
elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.
Planeta

Eje menor

Eje mayor
afelio perihelio

semieje mayor Focos
Sol

Leyes de Kepler APPLET
A.Franco 1ªLey Fendt

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Segunda Ley:
El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de
cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

t t

Áreas iguales

APPLET 2ªLey APPLET
2ªLey Fendt
Tercera Ley:
Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas
alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores
de sus órbitas elípticas.
APPLET 3ªLey

01/14/13 5

Las leyes de Kepler suponen una descripción cinemática del movimiento de
los planetas alrededor del Sol o de los satélites alrededor de un planeta.
El mismo año de la muerte de Galileo nació Isaac Newton.
Newton supuso que el hecho de que la Luna gire alrededor de la Tierra en
lugar de salir despedida en línea recta se debe a la presencia de una fuerza
que la empuja hacia la Tierra y la hace describir una trayectoria cerrada
( circunferencia , elipse ). Llamó a este fuerza gravedad y supuso que
actuaba a distancia, pues no hay nada que conecte físicamente la Tierra y la
Luna.
Demostró que esta fuerza es la misma que hace caer sobre la Tierra un
objeto que se encuentre en sus proximidades.
Todo esto lo vislumbró Newton a partir del conocimiento de la leyes de Kepler
y de los trabajos de Galileo, Copérnico, Tycho Brahe, …..
"If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of
giants" - Sir Isaac Newton
Si he sido capaz de ver más lejos, era sólo porque estuve de pie sobre los hombros de gigantes.

El poeta inglés Alexander Pope escribió este epitafio para Newton:
"If Nature and Nature's laws lay hid in night;
God said, Let Newton be! and all was light."
"La Naturaleza y las leyes de la Naturaleza yacen ocultas en la
noche;
Applet Lanzamiento Newton
Dijo Dios ¡hágase Newton! y todo fue luz."
01/14/13 6

Visión actual del universo
La astronomía clásica se ha ocupado desde los tiempos de la antigua Grecia
de conocer como funciona el universo.
Gracias a Aristóteles, Ptolomeo, Copérnico, Galileo, Brahe, Kepler y Newton
conocemos el funcionamiento del universo a corto plazo ( unos 50 000 años
hacia el pasado o hacia el futuro).
(El astrónomo inglés E.Hillary pronosticó en 1705 que el año 1758 el cometa
Halley pasaría cerca de la Tierra).
Sin embargo las revolucionarias teorias de la mecánica cuántica y de la
relatividad han sugerido perspectivas más ambiciosas en lo que podríamos
llamar adivinación del pasado y del futuro.
La Física determinista: Si conocemos todas las causas queelinfluyen de este sistema. de un sistema es
posible determinar completamente futuro
en el movimiento

La teoría de la relatividad destruyó el principio determinista de la física
newtoniana. El postulado: Ningún fenómeno físico puede superar la
velocidad de la luz, imposibilita la predicción completa del futuro.
A pesar de estas limitaciones , hoy en día los científicos han establecido
afirmaciones difícilmente discutibles, como la teoría del big bang para
explicar el origen del universo o la existencia de los agujeros negros.

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Teoría del big bang ( La gran explosión) se inscribe en el marco de la
adivinación científica. Nos explica el origen del universo a partir de una gran
explosión, lo que nos llevaría a pensar que el universo está en expansión.
Hay datos experimentales, como el corrimiento hacia el rojo y la radiación
cósmica de fondo de micoondas , que avalan esta teoría.

En cosmología, la radiación de fondo de microondas (en inglés Cosmic Microwave
Background o CMB) es una forma de radiación electromagnética descubierta en 1964
que llena el Universo por completo. También se denomina radiación cósmica de
microondas o radiación del fondo cósmico. Tiene características de radiación de
cuerpo negro a una temperatura de 2,725 K y su frecuencia pertenece al rango de las
microondas con una frecuencia de 160,2 GHz, correspondiéndose con una longitud de
onda de 1,9 mm. Muchos cosmólogos consideran esta radiación como la prueba
principal del modelo cosmológico del Big Bang del Universo.

Arno Penzias junto con Robert Wilson, por su descubrimiento accidental en 1964 de la
radiación cósmica de fondo de microondas o CMB recibieron el Nóbel de Físca del año
1978. Mientras trabajaban en un nuevo tipo de antena en los Laboratorios Bell en
Holmdel, Nueva Jersey, encontraron una fuente de ruido en la atmósfera que no podían
explicar. Luego de afinar la recepción de la antena, el ruido fue finalmente identificado
como CMB, lo cual confirmaba supuestos planteados por la teoría del Big Bang.

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Esta radiación es una predicción del modelo del Big Bang, ya que según este modelo, el universo
primigenio era un plasma compuesto principalmente por electrones, fotones y bariones (protones y
neutrones). Los fotones estaban constantemente interactuando con el plasma. Los electrones no se
podían unir a los protones y otros núcleos atómicos para formar átomos porque la energía media de dicho
plasma era muy alta, por lo que los electrones interactuaban constantemente con los fotones mediante el
proceso conocido como dispersión Compton. A medida que el universo se fue expandiendo, el
enfriamiento adiabático (del que el corrimiento al rojo cosmológico es un síntoma actual) causado porque
el plasma se enfrie hasta que sea posible que los electrones se combinen con protones y formen átomos
de hidrógeno. Esto ocurrió cuando esta alcanzó los 3000 K, unos 380000 años después del Big Bang. A
partir de ese momento, los fotones pudieron viajar libremente a través del espacio sin colisionar con los
electrones dispersos. Este fenómeno es conocido como Era de la recombinación y descomposición, la
radiación de fondo de microondas es precisamente el resultado de ese periodo. Al irse expandiendo el
universo, esta radiación también fue disminuyendo su temperatura, lo cual explica por qué hoy en día es
sólo de unos 2,7 K. La radiación de fondo es el ruido que hace el universo. Se dice que es el eco que
proviene del fin del universo, o sea, el eco que quedó de la gran explosión que dio origen al universo.
De acuerdo con observaciones astronómicas existen zonas del universo en las
cuales no se detecta ópticamente ningún cuerpo celeste; sin embargo,
indirectamente se aprecia un efecto gravitatorio muy absorbente en las
estrellas que se aproximan a ella. Dichas zonas se conocen con el nombre de
agujeros negros , que representan todavía uno de los enigmas pendientes de
ser resueltos.
El futuro del universo: el proceso expansivo es indefinido o por el contrario se
detendrá y comenzará la implosión del universo.
Esta cuestión todavía no está resuelta.

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2. Fuerzas gravitatorias
En su célebre obra Philosophiae Naturalis Principia Mathmatica ( Principios
Matemáticos de la Filosofía Natural) expuso Newton su Ley de la gravitación universal
para explicar el modelo heliocéntrico del universo.
2.1. Ley de la gravitación universal
Cuando lanzamos un objeto hacia arriba vuelve a caer sobre la superficie de la Tierra
debido a que ésta lo atrae. De la misma manera, la Tierra atrae a la Luna o la propia
Tierra es atraída por el Sol. En general, dos cuerpos cualesquiera, por el hecho de
tener masa, se atraen con cierta fuerza gravitatoria
Fue el científico inglés Isaac Newton, quien en el siglo XVII, formuló matemáticamente,
mediante la LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, la interacción gravitatoria entre dos
cuerpos cualesquiera del universo.
Dos partículas materiales se atraen mutuamente con fuerzas dirigidas a lo largo de la
línea que las une y cuyo módulo es directamente proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
r r
m1 F2,1 F1,2
m2
r r
u2 r u1
r m ×m r r m1 ×m 2 r
F2,1 = − G 1 2 2 ×u 2 F1,2 = − G 2
×u1
r r
01/14/13 10

2.1. Ley de la gravitación universal (Cont.I)

r r
m1 F2,1 F1,2
m2
r r
u2 r u1
r m1 ×m 2 r r m1 ×m 2 r
F2,1 = − G 2
×u 2 F1,2 = − G 2
×u1
r r
r r
Estas fuerzas siempre se presentan a pares y son iguales y opuestas: F1,2 = − F2,1

r r m1 ×m 2
El módulo de ambas es: F1,2 = F2,1 = G
r2
¿Qué es G? ¿Cuánto vale?

Proporcionalidad directa

01/14/13 11

Ley de la gravitación universal (Cont.II)
La constante de proporcionalidad G recibe el nombre de constante de gravitación
universal
Su valor es independiente del medio que rodea a las masas y es el mismo para
cualquier pareja de masas del universo.
Un siglo después de que Newton enunciara su ley, el científico inglés Cavendish
midió su valor mediante una balanza de torsión:

N ×m 2
G = 6,67 × −11
10
kg 2
A finales del mes de abril de 2000, un grupo
de investigadores de la Universidad del
Estado de Washintong ha presentado en la
reunión de la Sociedad Americana de Física,
en California, un valor de con un error del
0,0015%.
−11 N ×m 2
G = 6,6739 ×10
kg 2

01/14/13 12

Ley de la gravitación universal (Cont.III)

La ley de la gravitación universal sólo es aplicable a masas puntuales.
Para aplicarla a cuerpos con cierto volumen, como la Tierra o la Luna, supondremos
que toda su masa está concentrada en su centro, de manera que r es la distancia
entre sus centros.

r r
FLuna ,Tierra FTierra , Luna

r

r r m Tierra ×m Luna
FTierra,Luna = FLuna ,Tierra = G
r2

01/14/13 13

Actividad : 8 de la página 57

Datos: m1 =250 g = 0,250 Kg; m2 = 0,250 kg; d = 10 cm = 0,10 m ;

N ×m 2
G=6,67·10–11
kg 2

Aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal obtendremos el valor
de la fuerza que nos piden:

;
m ×m 0, 25 ×0, 25
F = G × 1 2 2 = 6,67 × −11 ×
10 2
= 4, 2 × −10 N
10
r 0,10

01/14/13 14


Datos: m1 = m2 = 2 kg; F =10–7 N; G = 6,67·10-11
N ×m 2
kg 2
Aplicamos la ley de Newton de la Gravitación Universal:

m1 ×m 2
F= G× 2
r

despejando la distancia r :

G ×m1 ×m 2 6,67 × −11 ×2 ×2
10 = 5, 2 × −2 m
10
r= =
F 10−7

01/14/13 15

Datos: (–2,4) m1 = 3 kg ; ( 5, –1) m2 = 1,5 kg ; G = 6,67 × −11 N ×m 2 ×kg −2
10
y (m) a) Dibujamos un esquema de unos ejes coordenados con las masas y las fuerzas:
r r
6 F12 : Fuerza que 1 ejerce sobre 2 F21 : Fuerza que 2 ejerce sobre 1

m1 r Estas fuerzas, según la 3º Ley de Newton (Principio de interacción o de acción y reacción)
4
F21 r tienen que ser iguales en módulo y dirección y de sentido contrario
2 r F12
r
u1: vector unitario en la dirección que une las masas y sentido de 1 a 2
r1 r r
0 r r x (m)
u1 r1
r : vector de posición de la masa 1
r r r2 : vector de posición de la masa 2
r r r
-2 r2 m2
r1 = (−2 i + 4 j) m r2 = (5 i − j) m
-2 0 2 4 6
r
r r r
Mediante el algebra vectorial podemos calcular la distancia entre las masas. Llamaremos
al vector de posición de la masa 2
respecto de la masa 1: r r r r r r r
r = r − r = (5 i − j) − ( −2 i + 4 j) = (7 i − 5 j) m
2 1
r
El módulo de este vector nos da la distancia r entre las masas: r
rr r = r = 7 2 + ( −5) 2 = 8,6 m
r r r (7 i − 5 j) r r
Calculamos el vector unitario u1 : u1 = = = 0,81 i − 0,58 j
r 8,6
Ahora aplicando la ley de Newton de la Gravitación Universal (pág.56) podemos calcular la fuerza con que la masa 1 a trae
a la masa 2:
r m ×m r 3×1,5 r r r r
F12 = −G × 1 2 2 ×u1 = −6,67 × −11 × 2 ×(0,81i − 0,58 j) = (−0,33 i + 0,24 j) × −11 N
10 10
r
b) Como dijimos antes, las fuerzas
r y r son iguales y
8,6 r r r r
opuestas:
F F 12 21
F21 = −F12 = (0,33 i − 0,24 j) × −11 N
10

c) El módulo de estas fuerzas vale: F12 = F21 = ( −0,33) 2 + 0,242 × −11 = 0,40 × −11 N
10 10

Ya dimos la justificación por la que estas fuerzas tienen que ser iguales ( en módulo y dirección): el principio de
interacción o 3ª ley de Newton.

01/14/13 16

Actividades para el próximo día:
* 1 y 2 de la página 53
* 7 de la página 57
* 37, 46 ,47 y 48 de la página 72
* Ver Ejemplo1 resuelto en la página 57

01/14/13 17

3. Concepto de campo
Sabemos que el Sol ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre los planetas
que giran a su alrededor. Ésta es una fuerza a distancia, pues no hay contacto entre
el Sol y los planetas.

Para explicar estas fuerzas a distancia admitimos que el Sol perturba (modifica) de
algún modo el espacio que lo rodea, de manera que se produce una fuerza sobre los
cuerpos que están a su alrededor.

Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol
“tira” de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usando
para ello un concepto denominado “acción a distancia”, es decir, esta misteriosa
capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que “haya nada en medio”. No
obstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol
crea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planeta
se sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la que
se denomina campo.

01/14/13 18

3. Concepto de campo (Cont.I)
Para profundizar en el concepto de campo, veamos el símil siguiente:

Imaginemos una superficie horizontal elástica y tensa como la de la figura.

Si colocamos en un punto un cuerpo suficientemente ligero, la superficie no se
deformará y el cuerpo permanecerá en ese punto
Si antes de colocar el cuerpo ligero, colocamos en el centro de la superficie un
cuerpo suficientemente pesado, ésta se deformará

01/14/13 19

3. Concepto de campo (Cont.II)
Si ahora colocamos el cuerpo ligero en el mismo lugar que antes, comprobaríamos
que sobre él actúa una fuerza como si fuera atraído por el cuerpo pesado.

El cuerpo pesado produce una deformación (perturbación) en la
superficie, dotándola de cierta propiedad en cada uno de sus puntos
que antes no tenía : esto es, crea un campo.

01/14/13 20

3. Concepto de campo (Cont.III)
Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio determinada por la
asignación a cada punto del valor de una magnitud
Si la magnitud es escalar, se trata de un campo escalar : campo de temperatura,
campo de alturas, ….
Si la magnitud es vectorial, se trata de un campo vectorial : campo de velocidades,
campo de fuerzas, ….
Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar en él
un cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza.
Los campos de fuerzas pueden ser:
uniforme centrales
(en ellos los vectores (en ellos las
fuerza tienen el direcciones de todos
mismo módulo, la los vectores fuerza
misma dirección y el convergen en un
mismo sentido en mismo punto llamado
todos los puntos) centro del campo)
El campo gravitatorio de la Tierra es un ejemplo de campo de fuerzas centrales

01/14/13 21

Campos conservativos.
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del
campo para trasladar una partícula desde un punto A a otro punto B depende sólo
de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido.
El campo gravitatorio es conservativo.

El trabajo que tenemos que hacer para subir la caja desde el suelo a la plataforma,
venciendo las fuerzas del campo gravitatorio terrestre, es el mismo tanto si lo
subimos verticalmente (por la izquierda) como si nos ayudamos de una rampa (por
la derecha)
Con la rampa será más cómodo (necesitamos menos fuerza pero recorremos una
distancia mayor), pero el trabajo realizado es el mismo ya que, en ambos casos,
los puntos inicial y final coinciden.

01/14/13 22

Campos conservativos. Energía potencial
De la definición de campo conservativo se deducen dos propiedades:
►El trabajo que realiza el campo en una trayectoria cerrada (el punto
final e inicial coinciden) es cero.
Si tuvímos que hacer un trabajo de 300 J para
subir la caja venciendo la fuerza del campo
gravitatorio, el trabajo realizado por la fuerza
del campo en la subida es de – 300 J.
Para que la caja vuelva al suelo, no es
necesario aplicar ninguna fuerza externa, el
cuerpo cae por la acción del campo
gravitatorio, realizando un trabajo de 300 J.
El trabajo total realizado por la fuerza del campo gravitatorio será la suma del
realizado por él en la subida más el realizado en la bajada:
WTotal = Wsubida + Wbajada = −300 J +300 J = 0
(El campo gravitatorio es conservativo porque nos devuelve el trabajo que
tenemos que realizar para vencerle)
(Las fuerzas de rozamiento no son conservativas: no nos devuelven el trabajo
que tenemos que realizar para vencerlas)

01/14/13 23

Campos conservativos. Energía potencial (Cont.I)
►El trabajo que realiza el campo puede expresarse como la
variación de cierta magnitud entre los puntos inicial y final. Esta
magnitud recibe el nonbre de ENERGÍA POTENCIAL.
El trabajo que realiza el
Variación que experimenta la
campo sobre una partícula
energía potencial de la partícula
que se desplaza desde un = entre los puntos inicial A y final
punto inicial A a otro punto
B
final B

Matemáticamente: WA = Ep A − EpΔEp
B
B =−

El nombre de fuerzas conservativas obedece a que, si sobre un cuerpo únicamente
actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva constante.

Como la energía mecánica es la suma de la cinética más la potencial, si sobre un
cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, se cumple en toda momento que:
Ec A + Ep A = Ec B + Ep B
La energía mecánica (suma tiene que ser igual que a la
de la cinética y la potencial) energía mecánica en
en cualquier punto A cualquier otro punto B

01/14/13 24

Para el campo gravitatorio se define la energía potencial gravitatoria Ep de
una masa m situada en un punto de un campo creado por la masa M como el
trabajo que tiene que realizar el campo gravitatorio para trasladar la masa m
desde dicho punto hasta el infinito.
Infinito
M m
r
La masa M no
∞
interacciona
con la masa m
A partir de la expresión anterior: WA = Ep A − EpΔEp
B
B =−

se puede deducir que la energía potencial gravitatoria de la masa m cuando se
encuentra a una distancia r de la masa M nos viene dada por la expresión:
M ×m
Ep = −G
r
La energía potencial gravitatoria vemos que siempre será negativa, ya que
su máximo valor lo alcanza cuando la masa m está infinitamente alejada de
M, y en ese punto se le asigna un valor cero.
Como todas las energías, la potencial gravitatoria se mide en Julios en el S.I.

01/14/13 25

Actividad 1 : Calcula la energía potencial gravitatoria de un satélite artificial de 2400 kg de
masa, que orbita alrededor de la Tierra a una altura de 35900 km.

Datos: h = 35900 km = 3,59·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;
N ×m2 Para calcular la energía potencial gravitatoria del
G = 6,67·10 ─11
kg2 satélite aplicamos la expresión que hemos visto
en la diapositiva anterior:

M ×m
r Ep = −G
p h = 35900 km r
r = h + RT donde r = h +RT
Calculamos r:
RT = 6,37·106 m

r = h + R T = 3,59 ×107 + 6,37 ×106= 4,23 ×107 m
Finalmente calculamos la Ep:

−11 6 × 24 ×2400
10
Ep = −6,67 ×10 = −2, 27 × 10 J
10
4, 23 ×10 7

01/14/13 26

Actividad 2 : ¿Qué energía potencial gravitatoria tendría el satélite anterior si la altura a la
que orbita es de 20000 km ?
Datos: h = 20000 km = 2·107 m; m= 2400 kg ; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;
N ×m2
G = 6,67·10 ─11
kg2

Se trata del mismo ejercicio de la diapositiva anterior, sólo que varía la altura:

M ×m M ×m 6 × 24 ×2400
10
Ep = −G = −G = −6,67 ×10 −11
= − 3,64 ×1010 J
r (h + R T ) 2 × 7 + 6,37 × 6
10 10
Actividad 3 : ¿Qué energía necesitaría el satélite para subir desde los 20000 km hasta
los 35900 km?

Vimos que en un campo conservativo, como el gravitatorio, el trabajo (la energía) que realiza
la fuerza del campo está relacionado con la disminución que experimenta la energía potencial
gravitatoria: B
WA = Ep A − EpΔEp
B =−
Si llamamos A (situación inicial) cuando el satélite está a 20000 km y B a 35900 km (situación
final):
Ep A = −3,64 ×
10 10
J Ep B = −2, 27 ×
10
10 J
Aplicamos la ecuación anterior para calcular la energía necesaria:
WA = Ep A − Ep B = −3, 64 × 10 J − (−2, 27 × 10 J) = −1,37 × 10 J
B
10 10 10
El signo negativo nos indica que las fuerzas del campo se oponen a que el satélite suba desde los 20000 km
hasta los 35900 y por tanto necesitaremos de una fuerza externa para subir al satélite.
01/14/13 27

4.Estudio del campo gravitatorio
Llamamos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el
espacio que lo rodea por el hecho de tener masa

Cualquier otra masa situada en esta región del espacio, interacciona con el campo y
experimenta una fuerza gravitatoria.

El campo gravitatorio, es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto
conservativo

4.1 Descripción del campo gravitatorio
Los campos gravitatorio se describen mediante dos magnitudes:

r
• una vectorial, Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo, g

• otra escalar, Potencial gravitatorio en un punto del campo, Vg

01/14/13 28

r
• La Intensidad de campo gravitatorio, g , en un punto del campo es la
fuerza que actúa sobre la
unidad de masa situada en
ese punto.
Matemáticamente podemos escribir:
r Unidad en el S.I. El signo menos es
r F N debido a que los
r r
g= = N ×kg −1 vectores g y u
m kg tienen sentidos
contrarios
La masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio:

r Aplicando la ley de la gravitación:
g r
g
r r −G M ×m ×u
r
g r r F r2 M r
u r g= = = −G 2 ×u
M g m m r
r
g r r r El módulo de este vector es:
u g F M
r r m g= =G 2
g g m r
01/14/13 29

• Intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un punto
del campo
Cuando existen varias masas se cumple el principio de superposición:
La intensidad de campo resultante en un punto será la suma vectorial de las
intensidades de campo debidas a cada masa en ese punto.
r
u2 r
g2
M2 r2

r M r P
g1 = −G 21 × 1
u r
r1 r g1
g
r M r r1
g 2 = −G 22 × 2
u r
r2 u1
M1
El campo gravitatorio resultante en el punto P es la suma vectorial del campo
gravitatorio creado por las masas M1 y M2 :
r r r M1 r  M1 r 
g = g1 + g 2 = −G 2 × 1 +  −G 2 × 2 ÷
u u
r1  r2 
01/14/13 30

• El Potencial gravitatorio Vg , en un punto del campo es la energía potencial
gravitatoria que tiene la unidad de masa situada
en ese punto.
Unidad en el S.I.
Matemáticamente podemos escribir:
Ep J
Vg = = J ×kg −1
m kg
La masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio:

A partir de la expresión de la energía potencial :
M ×m
−G M
Ep r
Vg = = = −G
M m m r
r Hemos obtenido una expresión para el potencial
gravitatorio:
M
m Vg = −G
r
Al igual que la energía potencial, el potencial gravitatorio
siempre es negativo ( o cero).

01/14/13 31

También se puede definir el Potencial gravitatorio Vg en un punto del
campo como el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la
unidad de masa desde dicho punto al infinito.
• Potencial gravitatorio Vg en un punto del campo creado por varias masas
Cuando existen varias masas se cumple el principio de superposición y
el potencial en un punto es la suma algebraica del potencial que cada
masa crea en ese punto:
La masa M1 crea en el punto P un potencial
M1 P gravitatorio Vg 1: M
r1 Vg 1 = −G 1
r1
r2 La masa M2 crea en el punto P un potencial
M2 gravitatorio Vg 2: M
Vg 2 = −G 2
r2
El potencial gravitatorio Vg en el punto P será la suma algebraica de los
potenciales Vg 1 y Vg 2: M1 M2
Vg = Vg 1 + Vg 2 = −G −G
r1 r2

01/14/13 32

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo gravitatorio lo podemos
relacionar con el trabajo que realiza el campo para trasladar a la masa m desde el
primer punto al segundo:
Vimos que: W B = Ep − Ep
A A B
A partir de la definición de potencial de la diapositiva anterior, podemos escribir que:
Ep
Vg = Ep = m ×Vg
m
Sustituyendo en la expresión anterior:
WA = Ep A − Ep B = m ×VA − m ×VB
B

Y sacando factor común la masa nos queda: WA = m ×(VA − VB )
B
Región del espacio en
la que existe un
campo gravitatorio B
VB
El trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio en este desplazamiento
de la masa m es igual al producto de la masa por la diferencia de potencial entre
m los puntos inicial y final:

A
VA WA = m ×(VA − VB )
B

Esta expresión es válida sea cual sea el camino que haya seguido la masa m para ir desde el punto A al B.

01/14/13 33

Actividad 4 : Calcula el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea una masa
puntual de 200 kg en un punto P que dista de ella 40 cm.
N ×m2
Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10 ─11
kg2

M P Cuidamos de que todas las unidades estén
expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión
r que vimos en la diapositiva 29, que nos permite
calcular el módulo (valor) de la intensidad de
campo:

r M −11 200 −8 N
g = g = G 2 = 6,67 ×10 2
= 8,34 ×10
r 0, 40 kg
Actividad 5 : Expresa vectorialmente la intensidad del campo gravitatorio que hemos
calculado en la actividad anterior.
y Dibujamos unos ejes cartesianos con centro en la
r r r
M g masa que crea el campo y dibujamos el vector g
i P y el vector unitario en la dirección y sentido masa
r r
r X que crea el campo al punto u = i .
Finalmente aplicamos la ecuación de la intensidad de campo de la diapositiva 29:

r M r M r r N
g = −G 2 × = − G 2 ×i = − 8,34 ×
u −8
10 i
r r kg
01/14/13 34

Actividad 6 : En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra
de 80 kg. Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por
ambas masas en el origen de coordenadas.
Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 N ×m2
kg2
y
(0,4) m M2 = 80 kg Dibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las
masas.
A continuación dibujamos los vectores campo creado por cada
r r masa en el punto (0,0).
g2 g r r
Ahora calculamos el valor de los vectores g1y g 2 .
M1 = 40 kg
r M1 − 11 40 N
r
X g1 = g1 = G 2 = 6,67 ×10 2 = 2,96 ×10 − 10

g1 (3,0) m r1 3 kg
r M2 − 11 80 − 10 N
g 2 = g 2 = G 2 = 6,67 ×10 2
= 3,34 ×10
r2 4 kg
Según el principio de superposición, el campo resultante en el origen de coordenadas será la
suma vectorial del campo creado por cada masa.
r
Finalmente, podemos calcular el valor del vector g aplicando el teorema de Pitágoras.

− 10 − 10 N
g= g +g 2
1
2
2 = 2,96 + 3,34 ×10
2 2
= 4,46 ×10
kg

01/14/13 35

Actividad 7 : Calcula potencial gravitatorio que crea una masa puntual de 200 kg en un
punto P que dista de ella 40 cm.
N ×m2
Datos: m = 200 kg ; r = 40 cm = 0,40 m; G = 6,67·10 ─11
kg2

M P Cuidamos de que todas las unidades estén
expresadas en el S.I. y aplicamos la expresión
r que vimos en la diapositiva 31, que nos permite
calcular el potencial gravitatorio:

M −11 200 −8 J
V = −G = − 6,67 ×10 = − 3,34 ×10
r 0, 40 kg
Actividad 8 : ¿Cuánto dista el punto A de la figura de la masa M?
Nos dan la masa M que crea el
M = 350 kg A campo y el potencial creado por
r VA = − 5 × −8 J ×kg −1 ella en unr punto A que dista una
10 distancia de M.
Aplicamos la expresión anterior del potencial gravitatorio, despejando la distancia que nos
piden:
M M 350
V = −G r = − G = − 6,67 ×10 −11
−8
= 0, 47 m
r V −5 ×10

01/14/13 36

Actividad 9 : En el punto (3,0) m existe una masa puntual de 40 kg y en el punto (0,4) m otra
de 80 kg. Calcular el potencial gravitatorio creado por ambas masas en el origen
de coordenadas.
Datos: (3,0) m ; M1 = 40 kg ; (0,4) m ; M2 = 35 kg ; G = 6,67·10─11 N ×m2
kg2
y
(0,4) m M2 = 80 kg Dibujamos unos ejes de coordenadas con los puntos y las
masas.
A continuación calculamos el potencia gravitatorio que cada
masa crea en el punto (0,0).

M1 = 40 kg
M1 − 11 40 J
X V1 = − G = − 6,67 ×10 × = − 8,9 ×10 − 10

(3,0) m r1 3 kg
M2 − 11 80 −9 J
V2 = − G = − 6,67 ×10 × = − 1,3 ×10
r2 4 kg
Según el principio de superposición, el potencial gravitatorio resultante en el origen de
coordenadas será la suma algebraica del potencial creado por cada masa.

− 10 −9 J −9
V = V1 + V2 = − 8,9 ×10 + (− 1,3 ×10 ) = − 2,19 ×10
kg

01/14/13 37

Actividad 10 : Los puntos A, B y C pertenecen a una región del espacio en la que existe un campo
gravitatorio.
A B C
VA = − 3,6 × −5 J ×kg −1
10 VC = − 1,8 ×10 −4 J ×kg −1
a) ¿Qué trabajo realizarán las fuerzas del campo cuando un cuerpo de 20 kg de masa se desplace desde el
punto C al A?.
Como el campo gravitatorio es un campo conservativo, aplicamos la expresión de la diapositiva 33 que nos
relaciona el trabajo W con la diferencia de potencial:

final En este caso
A final
W = m ×(VA − VB )
B
A W = m ×(VC − VA )
C
inicial inicial

WC = 20 ×(− 1,8 ×10− 4 − (− 3,6 ×10 − 5 )) = − 2,9 ×10− 3 J
A

b) ¿Qué nos indica que el trabajo del apartado anterior sea negativo?
Que las fuerzas del campo gravitatorio se oponen a que la masa se desplace libremente desde C hasta A, y
en consecuencia para conseguir ese desplazamiento tendremos que aplicar una fuerza externa que venza a
la fuerza del campo.
c) ¿Es posible determinar, sin necesidad de hacer el cálculo numérico , que en el apartado a) obtendríamos
un trabajo negativo?.
Como el VC es menor que el VA, cuando un cuerpo pasa de un punto de menor potencial a otro de mayor
potencial, las fuerzas del campo SIEMPRE se oponen y harán un trabajo resistente (negativo).
d) Calcular el potencial en B si el trabajo del campo para desplazar la masa de 20 kg desde B hasta C vale
1,44·10–3 J.
Aplicamos la expresión: W B = m ×(VB − VC )
C
y despejamos VB :

W B + m ×VC
C
1, 44 × −3 + 20 ×(−1,8 × −4 )
10 10
VB = = = −1,08 × −4 J ×kg −1
10
m 20
01/14/13 38

4.2 Representación del campo gravitatorio
Un campo de fuerzas, como el campo gravitatorio puede representarse por sus
líneas de fuerzas o líneas de campo y por sus superficies equipotenciales
►Las líneas de fuerzas o líneas de campo son líneas imaginarias tangentes al
vector intensidad de campo en cada punto.
Se trazan de modo que la densidad de líneas de campo sea proporcional al
módulo del campo gravitatorio

M

Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M

Applet O.Casella

01/14/13 39

Lineas de fuerzas del campo gravitatorio creado por un sistema de dos masas
puntuales iguales

01/14/13 40

►Al unir los puntos en los cuales el potencial gravitatorio tiene el mismo valor se
obtienen las superficies equipotenciales.
•Las superficies equipotenciales son, en cada punto, perpendiculares a la línea
de campo que pasa por ese punto.
•El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar cualquier masa de un
punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.
Ya que como vimos: WA = m ×(VA − VB )
B

Y si VA = VB se cumple que el trabajo es nulo : WA = 0
B

•Para una masa puntual, las superficies equipotenciales son superficies esféricas
con centro en la masa.
Líneas de campo

Superficies
equipotenciales

01/14/13 41

Actividades para el próximo día:
* 15 y 16 de la página 61
* 18, 20 y 23 de la página 64
* 49, 52 , 53 y 54 de la página 72

01/14/13 42

01/14/13 43

Modelo geocéntrico

Sol

Planeta (Mercurio, Venus, ….)

Tierra

Modelo heliocéntrico

VOLVER
01/14/13 44

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