Cap 10

1. Rotación de un cuerpo rígido
Física I

2. Contenido
• Velocidad angular y aceleración angular
• Cinemática rotacional
• Relaciones angulares y lineales
• Energía rotacional
• Cálculo de los momentos de inercia
• Teorema de los ejes paralelos
• Ejemplos de momento de inercia
• Momento de torsión
• Momento de torsión y aceleración angular
• Trabajo, potencia y energía

3. Velocidad angular y aceleración
angular
P
r
q
O
x
y
Rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de un
círculo de radio r. El arco que describe
esta dado por:
r
s
r
s


q
q
Donde q está medido en radianes.
La velocidad angular promedio se
define como:
t
t
t 





q
q
q

1
2
1
2

4. La velocidad angular
instantánea es:
dt
d
t
t
q
q
 




 0
lim
La aceleración angular
promedio se define como: t
t
t 









1
2
1
2
La aceleración angular
instantánea es:
dt
d
t
t


 




 0
lim
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un
cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma
aceleración angular.

5. Cinemática rotacional
Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento
rotacional sustituyendo x por q, v por , a por . De esta
forma si  = 0 y q = q0 en t0 = 0 se tiene:
 
0
2
0
2
2
2
1
0
0
0
2 q
q





q
q











t
t
t

6. Relaciones angulares y lineales
La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular
de la siguiente manera:

q
q
r
v
dt
d
r
dt
dr
dt
ds
v




Similarmente para la aceleración:



r
a
dt
d
r
dt
dr
dt
dv
a





7. Ejemplo
En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde
un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s.
Calcule la rapidez en las pistas interior y exterior. El tiempo de
reproducción es de 74 min y 38 s ¿Cuántas revoluciones de el
disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista
del disco? d) ¿Cuál es la aceleración angular durante todo el
intervalo?

8. P
r
q
O
x
y
v
P
r
q
O
x
y
at
ar
a
La velocidad v siempre es
tangente a la trayectoria
La aceleración lineal en un
punto es a = at +ar

9. Energía rotacional
Un objeto rígido gira alrededor del
eje z con velocidad angular . La
energía cinética de la partícula es:
2
2
1
i
i
i v
m
K 
La energía total del objeto es:
2
2
1

I
La energía total de rotación es la
suma de todos los Ki:
  2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1










i
i
R
i
i
i
i
i
R
r
m
K
r
m
v
m
K
K
Donde I es el momento de inercia
definido como:

 2
i
ir
m
I
mi
ri
q
O
x
y
vi

10. Ejemplo
Molécula de oxígeno
mO = 2.66 x 10-26 kg
d = 1.21 x 10-10 m
 = 4.60 x 1012 rad/s
Calcular I, KR
x
y
z
d

11. Ejemplo
a a
b
b
M M
m
m
Calcular Iy e Iz

12. Cálculo de los momentos de
inercia
El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante
la integral:

 




dm
r
m
r
I i
i
mi
2
2
0
lim
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la
densidad de volumen:
dV
dm
V
m
V





 0
lim

Entonces:

 dV
r
I 2


13. Teorema de los ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos establece que el
momento de inercia alrededor de cualquier eje que
es paralelo y que se encuentra a una distancia D del
eje que pasa por el centro de masa es
I = ICM + MD2

14. Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascarón
cilíndrico
Cilindro hueco
Cilindro sólido
o disco
Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
extremo.
Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
centro.
Placa rectangular
Esfera hueca
Esfera sólida
2
MR
ICM  2
2
1
MR
ICM 
 
2
2
2
1
2
1
R
R
M
ICM 

 
2
2
12
1
b
a
M
ICM 

2
12
1
ML
ICM 
2
3
1
ML
I 
2
5
2
MR
ICM  2
3
2
MR
ICM 

15. Momento de torsión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un
eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a
hacer girar se le llaman momento de torsión t. El momento de torsión
asociado con la fuerza F es:
t  rFsen f = Fd
Donde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F.
Línea de
acción
F cos f
F sen f
d
r
f
f
O
F
O
d1
d2
F1
F2
La fuerza F1 tiende a hacer girar contra
las manecillas del reloj y F2 a favor de
las manecillas del reloj. El momento de
torsión es:
tneto = t1 + t2 = F1d1  F2d2

16. Ejemplo
R1
R2
x
y
z
F1
F2
Calcular momento de torsión neto
F1 = 5 N, R1 = 1 m, F2 = 15 N, R2
= 0.5 m

17. Momento de torsión y
aceleración angular
m
Ft
Fr
r
Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r,
el momento de torsión alrededor del centro del círculo es:
t = Ftr = (mat)r = (mr)r = mr2
O bien:
t = I
El momento de torsión que actúa
sobre la partícula es proporcional
a su aceleración angular.

18. dm
r
O
x
y
dFt
Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración
angular at. Entonces
dFt = (dm)at
El momento de torsión será:
dt = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)
El momento de torsión total es la
integral de este diferencial:
 

t


t
I
dm
r
dm
r
neto
neto


 

2
2

19. ejemplo
L/2
Mg
pivote
El momento de torsión es:
t = Fd = Mg(L/2)
La aceleración angular es
L
g
ML
MgL
I 2
3
3
/
1
2
/
2



t

La aceleración lineal del extremo es
a = L = 3/2 g

20. Ejemplo
m
M
T
T
I
TR
I


t

R
La 2a ley de Newton
mR
I
R
g
R
a
mR
I
g
a
I
mR
mg
T
I
TR
R
m
T
mg
a
ma
T
mg
Fy
















2
2
2
1
1
M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg

21. Máquina de Atwood
m1 m2
T1
T2
T3
+
+
m1 m2
T1 T3
T2 T2
T1 T3
m1g m2g
mPg mPg
n1 n2
Segunda ley
m1g – T1 = m1a
T3 – m2g = m2a
Momento de torsión sobre las poleas
(T1 – T2) = I
(T2 – T3) = I
Resolviendo se obtiene para la
aceleración
 
2
2
1
2
1
2
R
I
m
m
g
m
m
a





22. Trabajo, potencia y energía
F
ds
P
r
dq
f
O
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es:
dW = F · ds = (F sen f) r dq = t dq
La tasa a la cual se hace
trabajo es:

t
q
t 


dt
d
dt
dW
P
Es fácil mostrar que:
2
0
2
1
2
2
1
0
0




q
t


q
q
I
I
d
I
d
W 


 

El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girar
un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual
al cambio en la energía rotacional del objeto.

23. Ejemplo
Ef = KR = I2/2
Ei = U = MgL/2
L
g
3



24. Ejemplo
m1
m2
h
h
K = Kf – Ki = (½m1vf
2 + ½m2vf
2 + ½If
2 ) – 0
K + U1 + U2 = 0
U1 = m1gh
U2 = m2gh
 
2
/
1
2
2
1
1
2
2






















R
I
m
m
gh
m
m
vf
R