Este documento presenta 10 casos diferentes para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo factorar polinomios cuando tienen un factor común, cuando pueden agruparse términos con factores comunes, cuando son trinomios cuadrados perfectos, o cuando son la suma o diferencia de cuadrados perfectos. También cubre cómo factorar trinomios de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c, cubos perfectos de binomios, y la suma o diferencia de cubos perfectos o potencias iguales.

1. ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL ANEXA A LA
NORMAL DE CUAUTITLAN IZCALLI
MAESTRA: ROCIO RIVERAARNAIZ
MATERIA: INFORMATICA Y COMPUTACION II
ALUMNA: PAULA ANDREA CORTES LEON
GRADO: 1° GRUPO: 2
TURNO: MATUTINO

2. DESCOMPISICION
FACTORIAL

3. DESCOMPONER EN
FACTORES O FACTORAR
• Es convertir una expresion algebraica en el producto
indicado de sus factores

4. FACTOAR UN POLINOMIO
• No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas
factores distintos de 1, pues del mismo modo que en
aritmetica, hay numeros primos que solo son divisibles
por ellos mismos y por 1.

5. Caso 1
Cuando todos los terminos de un polinomio
tienen un factor comun

6. • Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica")
que está multiplicando en todos los términos. Tiene que
estar en todos los términos, por eso es "común" (común a
todos).
• Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2";
porque en todos los términos está multiplicando el
número 2.

7. • Divido a todos los términos por ese factor. La división
entre números ya la conocemos. La división entre letras
iguales (potencias de igual base) se hace restando los
exponentes. "Los números se dividen con los números",
"las letras con las letras iguales". Por ejemplo:
4a - 8b + 6c =
Allí el factor común es 2, entonces divido todos los
términos por 2.
El resultado de esa división es:
2a - 4b + 3c

8. Caso 2
Factor comun por agrupacion de terminos

9. • Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tien
en factor común,separados los grupos por el signo del pri
mer término de cada grupo.
• La agrupación puede hacerse generalmente de más de un
modo con tal que
los dos términos que se agrupen tengan algún factor comú
n, y siempre que las cantidades que quedan dentro del pa
réntesis después de sacar el factor común
en cada grupo, sean exactamente iguales.
• Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del cas
o I, Factor Común

10. • Ejemplos:
• a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)
• Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) +
(ay+by)
• Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)
• Formando factores: uno con los términos con factor
común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y),
que es la solución.

11. Caso 3
Trinomio cuadrado perfecto

12. Regla para conocer si un trinomio
es cuadrado perfecto
• Un trinomio ordenado con relación a una letra es
cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos
tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo
término es el doble del producto de sus raíces cuadradas.
• Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 es cuadrado perfecto porque:
• Raíz cuadrada de a^2 = a
• Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
• y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab

13. Regla para factorar un trinomio
cuadrado perfecto
• Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos
del trinomio y se separan estas raíces por el signo del
segundo término del trinomio.
• El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del
trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al
cuadrado.

14. • Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2
• Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de 4b^2
= 2b
• –> se forma el binomio (a -2b) y este se multiplica por sí
mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que
sería (a -2b)^2 , que es la Solución.
• Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el
segundo término del trinomio.

15. Caso 4
Diferencia de cuadrados perfectos

16. • Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado
y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de
dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-
b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
• O en una forma más general para exponentes pares
• Y utilizando una productoria podemos definir una
factorización para cualquier exponente, el resultado nos
da r+1 factores.

17. • Ejemplo:

18. Caso 5
Trinomio cuadrado perfecto por adicion y
sustraccion

19. • Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son
cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo
mediante la suma para que sea el doble producto de sus
raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para
que el ejercicio original no cambie.
• Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio
cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el
segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del primer y último término. A este proceso se
le denomina completar cuadrados.

20. • Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
• Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado
perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por
esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 ,
pues 6m2 + 4m2 = 10m2

21. Caso 6
Trinomio de la forma x2+bx+c

22. • Los trinomios de esta forma tienen las siguientes
características:
• 1. El coeficiente del primer término es 1.
• 2. La variable del segundo término es la misma que la
del primer término pero con exponente a la mitad.
• 3. El tercer término es independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

23. • Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se
buscan dos números m y n, tales que,
x2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c
• Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos
números sea igual al coeficiente del segundo término y su
producto sea el tercer término; los signos de los factores
es: en el primer factor se escribe el signo del segundo
término del trinomio y para el segundo factor se
multiplican el signo del segundo término con el signo del
tercer término.

24. Caso 7
Trinomio de la forma ax2+bx+c

25. Condiciones que debe cumplir un
trinomio de la forma ax^2 +bx +c
• El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y
tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero
pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad
cualquiera positiva o negativa.
• El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o
negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2°
términos.

26. • Antes de descomponer el trinomio en dos factores
binomios, se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3
• 1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ”
por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término
indicado:
6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18
• 2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 =
(6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente
manera: (6x)^2 -7(6x) -18
• 3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como
un problema del Caso VI. con una variante que se explica
en el Inciso 6°

27. • 4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada
del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )
• 5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo
producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9
+2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)
• 6°) Aquí está la variante: Como al principio
multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los
factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”

28. • (6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es
divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en
dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un
factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) /
3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-
3)(3x+1). que sería la Solución.

29. Caso 8
Cubo perfecto de binomios

30. Una expresión algebraica ordenada con respecto a una
letra es un cubo perfecto,
si cumple las siguientes condiciones
• Tener cuatro términos
• El primer y último término sean cubos perfectos (tienen
raíz cúbica exacta).
• El segundo término es tres veces el producto del cuadrado
de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del
último término.
• El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz
del primer término por el cuadrado de la raíz del último
término.

31. • El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el
cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o
negativo). Si todos los términos son positivos, el
polinomio dado es el cubo de la suma de las raíces
cúbicas del primer y último términos. Y si los términos
son alternadamente positivos y negativos el polinomio
dado es el cubo de la diferencia de las raíces.

32. • La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo
la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente
de cada letra entre 3.
• Ejemplo: La raíz cúbica de 8a3b6 es 2ab2. Por qué:
(2ab2) = (2ab2)(2ab2)(2ab2) = 8a3b6

33. Caso 9
Suma o diferencia de cubos perfectos

34. CARACTERÍSTICAS DE LA
EXPRESIÓN A FACTORIZAR
• El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser
raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta
entre los monomios.

35. procedimiento
• Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de
las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la
expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la
primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación
de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al
cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere
desarrollar.

36. • EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a 2

37. Caso 10
Suma o diferencia de dos potencias iguales