Guia de poligonos 2018 octavos final

Departamentode Matemática
Guía de Geometría: Áreas y perímetros de figuras Planas
NOMBRE: _______________________________CURSO: 8° Básico ____ Fecha: __/__ /2018
Un polígono es una figura geométrica plana formada por la unión de un conjunto de
segmentos consecutivos, que se intersectan a lo más en un extremo común y donde
cualquier par de ellos con un extremo común no es colineal.
Todo polígono determina una región encerrada por sus lados que se llama interior del
polígono. Los polígonos se clasifican en convexos y no convexos (cóncavos).
Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a su interior, determina
un segmento totalmente contenido en él. De lo contrario es un polígono cóncavo.
Polígono convexo Polígono cóncavo
También se pueden definir como: un polígono se dice convexo si todos sus ángulos
interiores miden menos de 180º. Si alguno de los ángulos de un polígono mide más de
180º, entonces es cóncavo.
Los polígonos reciben distintos nombres de acuerdo al
número de lados:
Propiedades de los Polígonos Convexos
 Suma de ángulos interiores: Si = (n – 2) · 180º
 Suma de ángulos exteriores; Se = 360º
 Números de diagonales trazadas desde un vértice:
d = n – 3
 Número total de diagonales:
 
2
3· 

nn
D
Polígonos Regulares
Los polígonos son regulares si tienen todos sus ángulos congruentes y sus lados
congruentes entre sí, en caso contrario, se llaman irregulares. Un polígono regular es
siempre convexo.
Número de lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono

Propiedades de los polígonos regulares
- Medida del ángulo interior:
 
n
n
eriorángulo
º180·2
int


- Medida del ángulo exterior:
n
exteriorángulo
º360

Perímetros y áreas de polígonos regulares
Si consideramos un polígono regular de n lados, cada uno de longitud L. Para calcular su
perímetro Pn, basta con multiplicar el número de lados por la longitud de éstos:
Pn = n · L
De la figura se deduce que el polígono regular de n lados puede ser subdividido en n
triángulos congruentes (en el hexágono son triángulos equiláteros) con un vértice común,
que es el centro (O) del polígono.
AREAS DE FIGURAS PLANAS
Área de un polígono regular. Para determinar el área del polígono An basta calcular el
área de uno de estos triángulos congruentes y multiplicarla por el número de lados del
polígono.
El segmento OH es la altura del triángulo y recibe el nombre de APOTEMA , lo que se
simboliza por  (rho). Luego el área del polígono es el producto del área del triángulo
formado con los radios hasta vértices consecutivos por el número de lados.
 ·
2
1
2
1
···
2
1
· nn PLnOHABnA 
En palabras,el área de un polígono regular es la mitad de, el perímetro por el apotema
Área de un paralelogramo (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide) se obtiene
multiplicando la medida de su base por la medida de su altura.
Área de Paralelogramo = base por altura.
O
A BH
Á=

Características de algunos paralelogramos.
Diagonales de un cuadrado: son de igual medida, se dimidian y son
perpendiculares entre sí. Además, la mitad del cuadrado de las diagonales es igual
al área del cuadrado.
Diagonales de un rectángulo: son de igual longitud y se dimidian.
Diagonales de un rombo: son de distinta longitud, se dimidian y son
perpendiculares entre sí. Las diagonales de un rombo permiten calcular su área,
pues corresponde a la mitad de su producto.
Diagonales de un romboide: son de distinta longitud y se dimidian.
Área de un triángulo: Se obtiene multiplicando la medida de su base por la medida de su
altura y luego dividiendo eso en dos.
Área de un triángulo:
2
alturaporbase
Área de un trapecio:
Un trapecio es un cuadrilátero que posee dos lados paralelos llamados bases. Su área se
obtiene multiplicando el promedio de las bases por la altura del trapecio. (corresponde a la
semi suma de las bases, multiplicada por la altura)
Área de un trapecio=
B es el lado mayor; b es el lado menor; h es la altura del trapecio. La unión de los puntos
medios de los segmentos no basales, se denomina Mediana. Por lo tanto, la mediana es la
semisuma de las bases. Así, el área de un trapecio también se calcula mediante el producto
entre su mediana y la altura.
Tipos de trapecios:
h
bB


2
Á=

EJERCICIOS
I. Indicaciones. Resuelve los siguientes ejercicios en hojas aparte que se
corchetearán con la guía. Recuerda ser ordenado.
1. Calcula el perímetro de un hexágono regular (polígono de seis lados iguales) cuyo
lado mide 6 cm.
2. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6cm y 8cm.
3. Calcula el perímetro de un rectángulo que tiene un largo de 12 cm y un ancho de 5
cm
4. Calcula el área del siguiente trapecio isósceles:
5. Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.
6. Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm.
7. Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 169 centímetros cuadrados.

8. Halla el perímetro y área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5 m y 7,9 m
9. El área de un rectángulo es 1.116 centímetros cuadrados. Si la base mide 93 cm,
¿cuánto mide la altura? y ¿cuál es su perímetro?
10. El perímetro de un rectángulo es 826 cm. Si la base mide 125 cm, ¿cuánto mide la
altura?
11. La diagonal de un rectángulo mide 10 m y la base 8 m. Calcula la altura del
rectángulo y su área
12. Pintar una pared de 8 m de larga y 75 m de ancho ha costado $1.200.000 . ¿A qué
precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura?
13. Calcula el perímetro y área de los siguientes triángulos.
14. Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y
su lado mide 17 cm.
15. Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm
respectivamente.
16. El perímetro de un trapecio isósceles es 110 m, las bases miden 40 y 30
respectivamente. Calcula los lados no paralelos y el área.
17. Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular de 8 metros de lado y 6 de
apotema.
18. Calcula el perímetro y el área de un hexágono de 4 metros de lado y 3,46 m de
apotema.
19. Calcular la apotema de un pentágono regular de 5 metros de lado y 50 metros
cuadrados de superficie.
20. El perímetro de un pentágono regular es 45 cm, y su apotema mide 6,4 cm, ¿Cuál
es su área?
21. ¿Cuál es el valor del área sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono
regular inscrito en una circunferencia de centro O y AD = 4 cm?

22. ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyos lados miden 10 cm de longitud?
23. Si en un cuadrado la medida de su lado se duplica, ¿Cómo varía su perímetro? ¿Y
su área?
24. Si la diagonal de un cuadrado mide 3√2 cm, ¿Cuánto mide su perímetro?
25. Lucía está tejiendo una bufanda de rayas trasversales de muchos colores. La
bufanda deberá medir 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja deberá
medir 8 cm de ancho.
a) Cuántas rayas de colores tiene la bufanda?
b) Calcular el área de cada franja y el área total de la bufanda.
26. Se desea embaldosar una terraza cuadrada de 1,8 metros de lado ¿Cuántas
baldosas cuadradas de 0,3 metros de lado se necesitan para cubrir la terraza?
27. En un edificio se venden dos tipos de departamento con las dimensiones que se
muestran en los siguientes planos. ¿Qué departamento tiene mayor área?
28. Calcular el perímetro y área de las siguientes figuras.
29. Claudio y Fernanda están forrando sus libros. Cada uno tiene un rollo de plástico
de 1,5 m de largo y 1 m de ancho. Para cada libro necesitan un rectángulo de 49 cm
de largo y 34 cm de ancho. Observa en los dibujos cómo ha cortado cada uno los
rectángulos
a. Calcula en cada caso cuántos cm2 de plástico les han sobrado
b. ¿Quién ha aprovechado mejor el rollo de plástico de forrar?
30. Se necesita colocar baldosas de 50 𝑐𝑚 𝑥 50 𝑐𝑚 en
el patio de la casa de Andrés, quien hizo un
dibujo con las dimensiones. Sabiendo que cada
caja contiene 10 unidades de baldosas, y que el
valor de cada caja es de $9.000. ¿Cuántas cajas

de baldosas debe comprar? ¿Cuál será el valor de la compra?
31. Las canchas de básquetbol tienen dimensiones máximas de 29 m de largo y 15 de
ancho, y dimensiones mínimas de 22 m de largo y 13 m de ancho.
a. ¿Cuál es el máximo y mínimo perímetro que puede tener la cancha?
b. Si en la etapa de calentamiento un jugador debe dar 4 vueltas alrededor de la
cancha, ¿Qué distancia recorre si esta cancha tiene las dimensiones máximas?
c. Calcula el área máxima y el área mínima de la cancha.
d. ¿Cuántos metros cuadrados hay de diferencia entre el área máxima y mínima?
32. La superficie de un terreno es de 144 m2. Si cada baldosa tiene una medida de 30
cm por lado, ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el terreno?
33. Jaime compró 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado para el baño de su casa. Si el
baño mide 2 metros y 20 cm de largo, y 1 metro y 60 cm de ancho, ¿Son suficientes
las baldosas que compró Jaime?, ¿Cuántas faltan o sobran?
34. Se tiene un terreno cuadrado en el campo cuya superficie es de 2.209 m2. El dueño
decide cercar 3 veces dicho terreno con alambre de púas para proteger sus cultivos
y animales. Determine el costo de cerrar el terreno con las características antes
mencionadas y considere el que metro lineal de alambre de púas tiene un valor de
$130.
35. Se tiene una habitación cuadrada de superficie 20,25 m2. Se desea instalar en ella
guardapolvos a su alrededor. Determine el costo por dicha instalación si se venden
guardapolvos de 2,5 m lineales de largo a $2100 c/u. (NOTA: los guardapolvos no
pueden comprarse con otra medida, sólo de 2,5 m c/u)
36. El perímetro de un triángulo equilátero es (c – 6) cm. ¿Cuál es el perímetro de un
cuadrado cuyo lado es igual al lado del triángulo?
37. Calcular la base menor del trapecio, si la mayor mide 60 cm
Círculo y sus regiones.
Círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo
llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante llamada radio.
AREA Y PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Regiones de un círculo
a) Sector circular: región del círculo delimitada por dos radios y uno de los arcos
comprendidos entre ellos.
P = 2 π r A = π r2

C
b) Corona circular: región del plano delimitada por dos círculos concéntricos.
c) Trapecio circular: región del plano delimitada por una corona circular y dos radios.
d) Segmento circular: región del círculo delimitada por una cuerda y uno de los arcos
definidos por ella.
II. Ejercicios
1. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia que tiene 10 cm. de radio?
2. El perímetro de una circunferencia es 12,56 km. ¿Cuánto mide su diámetro?( 14,3 )
3. El perímetro de una circunferencia es 31,4 m. ¿Cuánto mide su radio? ( 14,3 )
4. Una alcantarilla de forma circularla están reparando y deben reforzarla con maya, si
su radio mide ½ m y necesitan rodearla tres veces con esta maya. ¿Cuántos metros de
malla necesitan?
5. ¿Cuál es el área de un círculo que tiene 3 m. de radio?
6. El diámetro de un círculo mide 4 m. ¿Cuál es su área?
7. Un disco antiguo (vinilo) tiene un radio de 15 cm. y la etiqueta un radio de 5 cm.
¿Cuánto mide la parte grabada? Considera que la etiqueta en un círculo concéntrico
al disco.
8. Calcula el área de la región sombreada:
AB es el diámetro de la circunferencia de centro O
OB es el diámetro de la circunferencia de centro C
CB = 4 cm.
A B
9. Las circunferencias de la figura que se muestran a continuación son tangentes
interiormente. El diámetro de la circunferencia mayor mide 64 cm, y la circunferencia
menor pasa por el centro de la circunferencia mayor. ¿Cuánto mide el radio de la
circunferencia menor?
10. Dibuja dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm respectivamente que sean tangentes
interiores. ¿A qué distancia se encuentran sus centros?
11. Dibuja las mismas circunferencias anteriores, pero esta vez en posición de tangentes
exteriores. ¿A qué distancia se encuentran ahora sus centros?
12. Dos circunferencias tienen radios 3 y 4 cm respectivamente, y sus centros se
encuentran a una distancia de 9 cm. ¿Cuál es su posición relativa?
13. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo, y los círculos P y Q tienen ambos un
radio de 5 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo que determinan en la figura?
O

Debes dejar evidencia del desarrollo del ejercicio.
III. Ejercicios Variados
1. Antonio nada en una piscina circular. Si este cruza la piscina por su parte más
ancha, nada 12 metros. ¿Cuál es entonces la longitud de la piscina?
(considera π =3)
2. Un acróbata del circo “Mundo Feliz” recorre con su bicicleta de una rueda, y
con tres giros de ella, una distancia de 720 cm., por lo tanto el radio de la rueda
es: (considera π =3)
3. He rodeado con una cuerda un balón. A continuación he medido la longitud
del trozo de cuerda que he utilizado para rodear el balón. ¿Cuál es el radio de
la circunferencia formada al rodear el balón, si el trozo de cuerda mide 94,20
cm de longitud?(considera 𝜋 = 3)
4. Calcule el área y el perímetro de una corona circular que está formada por
circunferencias de 20 mt de radio para la mayor y de 16 mt de radio para la
menor (interior)
5. Calcule el área y el perímetro de un trapecio circular cuyos radios que lo
forman, generan un ángulo de 45 ° en el centro de la circunferencia, y lo radios
respectivos miden 60 cm el mayor y 25 cm el menor.
6. Calcule el área y el perímetro de un hexágono regular que tiene su lado de 30
cm
7. Calcule el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia
que tiene como apotema 8 cm y su lado mide 16 cm
8. Calcule el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia
que tiene como apotema 20 cm
9. Calcule el área y el perímetro de una pentágono regular que tiene 40 cm de
apotema y 60 cm de lado
10. Calcule el área y el perímetro de un decágono regular inscrito en una
circunferencia de radio 50 cm que tiene lado 60 cm
11. En un pentágono regular de lado 50 cm y de apotema 30 cm se le inscribe una
circunferencia por el interior. Calcule la superficie que resulta de la diferencia
entre las áreas de ambas figuras.
IV. Figuras compuestas
1. Calcula el área de la región achurada. 𝑂𝐴̅̅̅̅ = radio = 2 cm. La parte no achurada
forma un ángulo de 90° en el centro. (considera 𝜋 = 3,14)

2. Hallar el perímetro de la figura dados: 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 18 cm. 𝐴0̅̅̅̅ =
1
3
𝑑𝑒 𝐴𝐵̅̅̅̅ , usando  = 3
9 cm.
1 8,26 cm. 0 B
56,5 cm A
3. En la siguiente figura, hallar el área de la región achurada.
a) 43,96 cm2.
b) 15,386 cm2.
c) 153,86 cm2.
d) 1538,6 cm2.
4. Dados AB = 22 cm., A0 = 0B  = 3,14 Calcular el área de la región sombreada:
94,985 cm2.
949,85 cm2.
9498,5 cm2.
34,54 cm2
5. Dada la siguiente figura, calcular perímetro y área. Radio OB = 1,5 cm
A 0 B
4cm.
6. Dada la siguiente figura, calcular el área de la región achurada. Radio OB = 4 cm (  =
3,14 ) C y D : puntos medios
a) 37,64 cm2. A B
b) 376,4 cm2
7. Un circo de superficie circular, cuyo diámetro mayor es de 24 cm., tiene una pista
circular para el espectáculo, cuyo diámetro es
1
3
del diámetro mayor. ¿Cuál será el
área destinada al público?
14 cm
O
C D
14 cm
A
O B

8. Dadas dos circunferencias, A y B. El diámetro de la circunferencia B es el radio de
la circunferencia A. En la circunferencia B el diámetro mide 5 cm. Calcular el área
achurada.
A
a) 18, 75 cm.
b) 25 cm.
c) 106,25 cm.
d) 125 cm.
9. Calcular el área achurada de la figura cuyo diámetro es de 50 cm.
10. En la figura𝐵𝐶̅̅̅̅ = 10 𝑐𝑚., 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 20 𝑐𝑚., E punto medio de 𝐴𝐵̅̅̅̅. Calcular área y
perímetro de la región achurada.
D C
A E B
11. En el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lado igual a 12 cm. se ha inscrito un cuarto de
circunferencia con centro en A y radio en 𝐴𝐵̅̅̅̅. Determinar perímetro y área de la
región achurada.
12. Según la figura, el área de la bandeja es 300 cm2.Si el radio del fondo de cada vaso
es 2 cm.
Calcular el espacio disponible que queda en la bandeja.
B

13. ¿Qué distancia recorre una bicicleta cuya rueda tiene un diámetro de 50 cm. si la
rueda da una vuelta completa? ¿Cuántas vueltas debe dar la rueda de esta bicicleta
para recorrer una distancia de 500 metros?
14. El diámetro de una rueda de los camiones que usan en la minería es 3579 mm.
Determina qué distancia recorre esa rueda en una vuelta completa. Expresa tu
resultado en metros.
15. En la figura se tienen 4 circunferencias tangentes, todas de igual radio 2,5 cm.
Calcular el perímetro del cuadrado circunscrito a ellas, y el perímetro del cuadrado
que se forma al unir los 4 centros de las circunferencias.
16. Calcule el área de la parte sombreada, si el cuadrado ABCD de la figura mide 3cm.
(π = 3,14)
17. Calcule el área de la figura sombreada si M, N, O son puntos medios del CD, AD,
AB, respectivamente, el lado del cuadrado mide 4cm y π = 3
18. Si el cuadrado de la figura tiene una superficie igual a 16cm, y AM = MB ¿Qué área
tiene la parte sombreada del cuadrado, sabiendo que se forma una
semicircunferencia que tiene como diámetro a BC

19. El área de un círculo es 16π. Si π = 3, ¿cuál es la superficie de la parte sombreada
del cuadrado ABCD de la figura?
20. Mario tiene una batería y desea pintar de dos colores la superficie circular del
bombo, exactamente una mitad roja y una mitad azul. Si sabemos que el radio del
bombo es de 20 pulgadas (Considere 14,3 y que una pulgada son 2,5 cm)
¿Cuál es el área que Mario pintará de color azul?
21. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una
fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de
paseo.
22. Si BC=3AB y AB= 5cm. Encuentra el área y el perímetro de la
figura sombreada ( 3 ).
23. Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes (r=2, en
el de la izquierda), están colocados en un rectángulo como lo ilustran las figuras.
¿Cuál es el área de la región sombreada en ambos casos?
( 3 )
24. En la figura, el diámetro de cada semicircunferencia pequeña es igual al radio de la
semicircunferencia grande. Si el radio de la semicircunferencia grande es 22cm,
¿cuál es el área de la región sombreada? Y ¿cuál es el
perímetro?
25. El diámetro de la semicircunferencia mayor es D=10; el diámetro de la
semicircunferencia menor es de d=4. Hallar el área sombreada.

26. El diámetro de la circunferencia grande mide AD=12 cm y BC=6 cm. Hallar el área
y el perímetro de la figura sombreada.
27. Calcula el área y perímetro de la figura sombreada
( 3 ).
28. Hallar el área sombreada de la figura adjunta. El lado del
cuadrado mide 12 cm.
29. Hallar el área sombreada, de la figura sabiendo que el lado del
cuadrado mide 6 cm.

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