dinamica

1. 30/04/2020 1

2. Dinámica de la partícula. Introducción.
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Una vez que se ha estudiado el movimiento independientemente de las
causas que lo producen, el siguiente paso lógico consiste en estudiar cuales son las
causas de que se produzca el movimiento. Como adelantamos en temas anteriores, la
parte de la mecánica encargada de esto es la dinámica que va a ser la que vamos a
pasar a desarrollar en este tema.
ESQUEMA DE DESARROLLO
1.- Introducción.
2.- Leyes de Newton.
2.1.- Primera ley de Newton. Concepto de Fuerza.
2.2.- Segunda ley de Newton. Masa inercial.
2.3.- Tercera ley de Newton. Ley de acción-reacción.

3. Dinámica de la partícula. Introducción.
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ESQUEMA DE DESARROLLO
3.- Fuerzas en la naturaleza.
3.1.- Fuerzas fundamentales en la naturaleza.
3.2.- Fuerza gravitatoria. Peso.
3.4.- Fuerza de contacto y fuerza normal.
3.3.- Fuerzas de rozamiento.
3.4.- Fuerzas elásticas.
4.- Sistemas inerciales y no inerciales.

4. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Primera ley de Newton. Concepto de fuerza.
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Primera ley de Newton (ley de la inercia)
Todo cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta no altera su estado de movimiento,
permaneciendo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, según fuera su estado
inicial.
La primera conclusión que podemos extraer de esta ley es que las fuerzas son las
responsables del movimiento, y podríamos dar una definición de las mismas en el
siguiente sentido:
Fuerza: Causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo y
uniforme de un cuerpo o de deformarlo.
Necesariamente, las fuerzas tienen que ser magnitudes vectoriales puesto
que tienen que indicar la dirección y sentido de la variación del movimiento o
deformación.
Se pueden utilizar diferentes patrones de medida (o unidades) para la fuerza.
En el sistema internacional el patrón se denomina Newton (N).
Es interesante hacer un especial énfasis en el hecho de que en la primera ley
de Newton se habla de fuerza neta. En general sobre los cuerpos hay actuando una
gran cantidad de fuerzas y sólo en el caso de que la suma vectorial de todas ellas sea
cero dicho cuerpo no modifica su estado de reposo o de velocidad constante rectilínea.

5. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Primera ley de Newton. Concepto de fuerza.
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Atracción gravitacional del Sol sobre laTierra 3.5·1022 N
Empuje de motores de propulsión (Boeing747) 106 N
Fuerza de desaceleración de un automóvil durante elfrenado 104 N
Fuerza entre dos protones en un núcleo 104 N
Fuerza de aceleración de un automóvil 6·103 N
Atracción gravitatoria de la Tierra sobre unhombre 7.8·102 N
Atracción gravitatoria de la Tierra sobre unamanzana 2 N
Fuerza entre el electrón y el núcleo de un átomo(hidrógeno) 10-9 N
Valores aproximados de las fuerzas que se establecen en diferentes sistemas reales.
Como veremos en el apartado siguiente el peso de los objetos es
simplemente la fuerza con la que un planeta (en nuestro caso la tierra) atrae ese objeto.
Por lo tanto el peso de un determinado cuerpo depende del planeta que se encuentre o
incluso dentro de un mismo planeta de la posición en la que se encuentre. Esto lo
veremos con más detalle en el apartado 3 de este tema.

6. donde m es una magnitud característica del objeto, llamada masa inercial. La masa
inercial es la responsable de que un cuerpo sufra una aceleración mayor o menor
cuando sobre el actúa una fuerza. Así, un cuerpo con una gran masa inercial se
acelerará menos que un cuerpo de menor masa inercial cuando sobre ambos actúa una
misma fuerza.
La unidad (o patrón) de la masa inercial en el sistema internacional es el
Kilogramo (Kg). Puesto que la ecuación nos da la relación entre la fuerza, la masa, y
la aceleración de un cuerpo, tenemos que el Newton o unidad de fuerza en el Sistema
internacional tiene que ser igual al producto del kilogramo, en el que se mide la masa
inercial, por el metro partido por segundo al cuadrado, en el que se mide la
aceleración.
a 
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F
m
Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masainercial.
Segunda ley de Newton
Si sobre un cuerpo actúa una fuerza neta , F ,este sufre una aceleración dadapor:

7. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masainercial.
Notar que al contrario que lo que ocurría con el peso la masa de un objeto si
es constante en todo el universo y no depende de la posición en la que se encuentra el
objeto. En vista de la segunda ley de Newton la relación entre el peso y la masa de un
objeto es igual a la aceleración con la que la tierra atrae a dicho objeto. En situaciones
normales se suele considerar que el valor aproximado de esa aceleración es constante
e igual a 9.8 m/s2.
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Masa del sol 2·1030 kg
Masa de la tierra 6·1024 kg
Masa de un automóvil 1.5·103 Kg
Masa del hombre 80 Kg
Masa de una manzana 0.2 Kg
Masa de un protón 1.7·10-27 Kg
Masa de un electrón 9.1·10-31 Kg
Valores aproximados de las masas inerciales de diferentes cuerpos.

8. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masainercial.
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Ejercicio.- Un pescador quiere tirar con su caña de pescar de un gran tiburón muerto
que se enganchó en su anzuelo, en un hilo de pescar muy delgado. Si tira bruscamente
del hilo, éste se romperá; pero si se enrolla de forma gradual y uniforme, aguantará.
Explique por qué.
Ejercicio.- Si un cuerpo choca con la superficie del agua a una gran velocidad, el
impacto es casi tan duro como si choca contra una superficie sólida. Explique por
qué.
Ejercicio.- Cuando se estira una cuerda horizontalmente entre dos puntos fijos,
siempre se comba un poco, a pesar de lo grande que sea la tensión. ¿Por qué?
Ejercicio.- Para una velocidad inicial dada, la distancia de detención de un tren es
mucho mayor que la de un camión. ¿Por qué?
Ejercicio.- Un avión de combate tiene una masa de 16000 kg y sus motores
desarrollan un empuje de 2.7·105 N a plena potencia. ¿Cuál, es la aceleración
horizontal máxima que este avión puede lograr? Ignore la fricción.

9. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masainercial.
Ejercicio.- Una bola metálica de 3 kg gira en un plano vertical estando sujeta al
centro de la trayectoria por un alambre de 2 m de longitud. La velocidad de rotación
se incrementa paulatinamente y en un momento dado el alambre se rompe saliendo
lanzada la bolita que va a caer a 500 m de distancia. Calcular la resistencia del
alambre sabiendo que en el momento de la ruptura formaba con la vertical un ángulo
de 30°. Sol: v=75,21 m/s; T=8510,27N.
Ejercicio.- Un sistema tiene una ecuación de movimiento
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donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos. Si el sistema tiene una
masa de 1.7·10-27 kg (protón). ¿Cuáles son las componentes de la fuerza que actúa
sobre este sistema? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza?
4 4 5 2 5 2
x y z
r 510 t û 210 t 210 t û 410 t û

10. Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Tercera ley de Newton. Principio de acción reacción.
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Tercera ley de Newton. Principio de acción-reacción.
Si un cuerpo produce una fuerza determinada sobre otro, este ejerce sobre el primero
una fuerza igual, pero de sentido contrario a la original.
Una aplicación interesante del principio de acción y reacción es la
propulsión a chorro. Aparte de aplicaciones tecnológicas a las turbinas de aviación y
los cohetes propulsores de naves espaciales, este principio es utilizado, en la
naturaleza, por el calamar y el pulpo para realizar movimientos rápidos.
Ejercicio.- Cuando estamos parados sobre la Tierra, los pies ejercen una fuerza
(empuje) contra la superficie. ¿Por qué la Tierra no se acelera alejándose de
nosotros?
Ejercicio.- Sobre la superficie de un cono de revolución de 30º que gira alrededor de
eje vertical con una velocidad angular de 15 r.p.m., está situado un cuerpo de 2 kg de
masa sujeto al vértice del cono por un hilo inextensible y sin masa de 4 m de longitud.
Calcular: a) la velocidad lineal del cuerpo A tomando como sistema de referencia la
Tierra; b) la reacción de la superficie del cono sobre el cuerpo; c) la tensión del hilo;
d) la velocidad angular a que debe girar el cono para anular su fuerza de reacción
sobre el cuerpo. Sol.: a) π m/s; b) N=1,25 N; c) T=21,9 N; d) ω=1,68 s-1.

11. Dinámica de la partícula. Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.
Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.
Como hemos visto en el apartado anterior, las fuerzas son las responsables del movimiento
de los sistemas. La siguiente pregunta que nos deberíamos hacer sería ¿Cuales son los
orígenes de las fuerzas? o lo que es lo mismo ¿Cuáles son las causas de que en la naturaleza
aparezcan las fuerzas? En principio puede parecer complicado responder a esta pregunta
puesto que en el apartado anterior hemos comentado muchos tipos de interacciones o
fuerzas diferentes. Sin embargo, un análisis profundo de la naturaleza nos lleva a la
conclusión de que todas las fuerzas o interacciones que observamos pueden explicarse en
función únicamente de cuatro interacciones básicas:
1.- La fuerza gravitatoria.
2.- La fuerza electromagnética.
3.- La fuerza nuclear fuerte (fuerza hadrónica).
4.- La fuerza nuclear débil.
Las fuerzas cotidianas que observamos entre cuerpos macroscópicos son debidas
a la fuerza gravitatoria o a la fuerza electromagnética. Las fuerzas nucleares fuertes y
débiles son las que permiten la formación de los núcleos atómicos y las partículas
elementales. La fuerza gravitatoria la estudiaremos brevemente en el siguiente apartado, la
fuerza electromagnética se estudiará en Física General II, y las fuerzas nucleares fuertes y
débiles no las estudiaremos por escapar a los contenidos básicos de este curso de Física.
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12. Tipo de interacción Intensidad relativa Alcance
Interacción fuerte 1 1.4·10-15 m
Interacción electromagnética 10-2 prácticamente  (1/r2)
Interacción débil 10-13
10-16 m
Intensidad Gravitatoria 10-38
prácticamente  (1/r2)
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Comparación entre las diferentes fuerzas fundamentales.
Dinámica de la partícula. Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.

13. Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria.Peso.
La fuerza gravitatoria aparece como consecuencia de la masa inercial. Por
tanto no aparece sobre sistemas sin masa, como el caso de las ondas
electromagnéticas. La intensidad de la fuerza gravitatoria viene dada por la ley de la
Gravitación Universal de Newton publicada en 1687 en su libro “Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica”, donde se establece por primera vez una relación
cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen
dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos
de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y de la distancia que los
separa. También observó que dicha fuerza actúa como si toda la masa de cada uno de
los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos
objetos fuesen puntuales. De forma general la ley de la Gravitación Universal puede
enunciarse como sigue:
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14. Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria.Peso.
Ley de la Gravitación Universal:
Si consideramos dos cuerpos con masas inerciales m1 y m2 separados una
distancia r12, la fuerza con la que se atraen estos cuerpos es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre ambos cuerpos, es decir,
12
12
donde G es una constante de proporcionalidad conocida con el nombre de constante
de la gravitación Universal.
r2
 G
m1m2
rˆ
F12
kg2
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11 Nm2
G  6.6742810

15. Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria.Peso.
1.- La ley de la Gravitación Universal cumple la tercera ley de Newton.
2.- El Peso de un objeto, es la fuerza con la que un planeta atrae a una masa
Si consideramos en concreto la tierra el Peso de un objeto de masa m sería:
Usando la segunda ley de Newton, la aceleración que adquiere un objeto sometido a
un campo gravitatorio (o lo que es lo mismo sometido a su fuerza peso) será
que recibe el nombre de aceleración de la gravedad. Nótese que en general la
aceleración de la gravedad no es constante y depende de la distancia del punto al
centro de la tierra (si consideramos el campo gravitatorio terrestre). Si consideramos
un punto situado en la superficie de la tierra el valor de la aceleración de la gravedad
sería:
T
M m
r̂
r2
P  G
T T
r2
P M m M
a  g   G
m mr2
rˆ  G rˆ
g
2
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kg2
11
g  6.6742810
6376000 m2 r̂  9.8049 m/s r̂
Nm2
5,97221024
kg

16. Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria.Peso.
Si consideramos un punto muy cercano a la superficie de la tierra podemos escribir la
aceleración de la gravedad como un desarrollo en serie de Taylor alrededor del radio
terrestre en cuyo caso
donde
Si consideramos puntos situados, por ejemplo, a un kilómetro del radio terrestre la
modificación de la aceleración de la gravedad sería:
T
r2
 
g  G

1
2h 
1  rˆgR
R
 R 
 R 
T
 R 
M 2h
RT
2h r R
h  r  RT  2 T
RT
1
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6376
RT
2h
 2  3,137104
Ejercicio.- Un satélite de 100 kg de masa se encuentra en una órbita circular
alrededor de la tierra a una altura h=2RT. ¿Cuál es el periodo de este satélite
alrededor de la tierra?

17. Dinámica de la partícula. Fuerzas de contacto y fuerzas normales.
Fuerzas de contacto y fuerzas normales
En general se denominan las fuerzas de contacto a las interacciones que aparecen cuando
consideramos dos sistemas mecánicos muy cercanos. Su origen está en las fuerzas electrostáticas
de repulsión que los electrones de las capas exteriores de los átomos ejercen. Por tanto, el origen
de las fuerzas de contacto es fundamentalmente de tipo electromagnético.
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18. Dinámica de la partícula. Fuerza de contacto y fuerza normal.
De lo dicho anteriormente se deduce que, en general, que en promedio la fuerza
resultante al poner en contacto dos cuerpos será normal a la superficie de contacto
entre ambos.
Ejercicio.- Calcule la fuerza de contacto entre el cilindro y las dos rampas.
1 30º
2 60º
R=2 m
m=2 kg
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19. Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.
Fuerzas de rozamiento
Las fuerzas de rozamiento aparecen cuando dos sistemas se mueven relativamente uno
respecto a otro. Obviamente al igual que ocurría con las fuerzas de contacto son
fuerzas de origen fundamentalmente electromagnético que aparecen como
consecuencia de las nubes electrónicas de los átomos que forman los materiales. Estas
fuerzas son siempre tangentes a la superficie de separación entre los dos sistemas
mecánicos y se oponen al movimiento relativo de dichos sistemas. Para cuantificar la
importancia de estas fuerzas hay que distinguir entre fuerzas de rozamiento sólido-
sólido y fuerzas de rozamiento sólido-fluido.
Fuerza de rozamiento sólido-sólido
En este caso, la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal o de
contacto entre ambas superficies. La constante de proporcionalidad recibe el nombre de
coeficiente de rozamiento entre ambas superficies.
Fr N
En función de que los sistemas estén en movimiento relativo o no, hay que
distinguir coeficiente estático de rozamiento y coeficiente dinámico de rozamiento. En
general
estático dinámico
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20. Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.
Ejercicio- Dos masas de m1=1.5 kg y m2=3 kg están conectadas por una cuerda que
corre sobre una polea sin masa. La masa m2 cuelga de la cuerda; la otra se desliza en
una rampa de 35º con un coeficiente de fricción cinética igual a 0.4. ¿Cuál es la
aceleración de las masas?
Ejercicio- Calcular la aceleración que tiene que tener el carretón de la figura para
que el bloque de masa m no caiga.
Ejercicio- Calcular el valor mínimo del radio que puede tener una curva de la
carretera, de ángulo de peralte θ, para que un automóvil que la recorre a la velocidad
v no se deslice hacia el exterior, siendo μ el coeficiente de rozamiento dinámico.
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21. forma es
fviscosa bv
Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.
Fuerza de rozamiento sólido-fluido
En este caso, la fuerza de rozamiento depende de la velocidad relativa del sólido
respecto al fluido, es decir
Fr f v
haciendo un desarrollo en serie de Taylor tenemos:
F bv b v2
bv3
.....
r 1 2 3
Ejercicio.- Demuestre que la velocidad como función del tiempo de una partícula que
cae partiendo del re posobajo la influencia de la gravedad y una fuerza viscosa de la
b
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mg b t
v 1 exp
m

22. 22
11/10/2016
i
i
l 0
l g F
F f l l
i
f
l
i 0
l 0 l 0
f 2
f l2
...
f l 0
l
l
l2
2
F k l
Dinámica de la partícula. Fuerzas elásticas.
Fuerzas elásticas
Finalmente vamos a tratar de forma simple las fuerzas elásticas. En general
cuando hay una serie de fuerzas actuando sobre un sólido de tal manera que la fuerza neta
es cero, el sólido en virtud de la segunda ley de Newton no se mueve pero las fuerzas lo
deforman. Supongamos el caso más simple de dos fuerzas de igual magnitud, dirección, y
sentidos contarios actuando tal y como se muestra en la figura.
l0 l0
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23. 23
11/10/2016
Dinámica de la partícula. Fuerzas elásticas.
Ejercicio- Suponga que tiene un muelle de longitud L=0.25 m y que colgamos del mismo
una masa de 1.5 kg. Si la longitud final del muelle es 0.5 m calcule la constante de
elasticidad del mismo suponiendo que cumple la ley de Hooke
Ejercicio- Suponga que tiene un muelle de constante elástica k del que cuelga un
cuerpo de masa m y lo aleja de su posición de equilibrio una distancia l. Calcule el
movimiento del muelle y la masa m si lo suelta.
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