Segunda ley de cinemática

1. 4. Segunda ley de
newton
(movimiento
curvilíneo)

2. La segunda ley de Newton es
෍ ത
𝐹 = 𝑚ത
𝑎
Recordando que la aceleración tiene
una componente tangencial y una
componente normal, y nada impide
que el vector fuerza también tenga una
componente en la dirección tangencial
y una en la dirección normal
ത
𝐹 = 𝐹𝑡 Ƹ
𝑡 + 𝐹𝑛 ො
𝑛 + 𝐹𝑧
෠
𝑘
ത
𝑎 = 𝑎𝑡 Ƹ
𝑡 + 𝑎𝑛 ො
𝑛 + 𝑎𝑧
෠
𝑘
Sustituyendo estos dos vectores en la
ecuación de la segunda ley de Newton
෍( 𝐹𝑡 Ƹ
𝑡 + 𝐹𝑛 ො
𝑛 + 𝐹𝑧
෠
𝑘) = 𝑚(𝑎𝑡 Ƹ
𝑡 + 𝑎𝑛 ො
𝑛 + 𝑎𝑧
෠
𝑘)
Sumando componente a componente, las
ecuaciones de la segunda ley de Newton
en forma escalar, para un movimiento
curvilíneo son
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
෍ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

3. - La aceleración tangencial at puede ser
igual a cero si el cuerpo no se mueve en la
dirección tangencial o si la velocidad tiene
una magnitud constante
- La aceleración en el eje z, az puede ser
igual a cero si el cuerpo no se mueve en
esa dirección o si la velocidad tiene una
magnitud constante
- Si el movimiento es curvilíneo, la
aceleración normal an nunca es igual a cero
aunque el cuerpo no se mueva en la
dirección normal y aunque la velocidad
tenga una magnitud constante, la
aceleración normal tendrá una magnitud
igual a
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
Donde
v es la velocidad
ρ es el radio de curvatura de la
trayectoria del cuerpo
Es importante recordar que la dirección
normal positiva siempre apunta hacia el
centro de curvatura de la trayectoria.

4. Ejemplo 8

5. Paso 1. Identificar la dirección normal y la
dirección tangencial. Cualquier problema
de movimiento curvilíneo se inicia
identificando la dirección normal y la
dirección tangencial. La dirección normal
positiva "n" siempre apunta hacia el centro
de curvatura de la trayectoria, la dirección
tangencial "t" siempre forma 90° con la
dirección normal y es tangente a la
trayectoria y el eje z, debe ser
perpendicular tanto a la dirección normal
como a la dirección tangencial. Esto se
ejemplifica en las siguientes figuras

6. Paso 2. Dibujar el diagrama de cuerpo
libre del cuerpo.
El diagrama de cuerpo libre de la cabeza
del martillo es. Recordando que, de los
datos del problema, m=7.1 kg, θ=60°y
ρ=0.93 m
Como se muestra en la figura anterior, las
fuerzas W y TBC están sobre el plano (n-z)
por lo tanto no existe ninguna componente
en la dirección tangencial y la tensión del
cable TBC tiene componentes tanto en el
eje z como en el eje n.
60°
(𝑇𝐵𝐶)𝑛= 𝑇𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠60
(𝑇𝐵𝐶)𝑧= 𝑇𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛60

7. Paso 3. Aplicar la segunda ley de Newton
para el movimiento curvilíneo.
60°
(𝑇𝐵𝐶)𝑛= 𝑇𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠60
(𝑇𝐵𝐶)𝑧= 𝑇𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛60
m=7.1 kg
θ=60°
ρ=0.93 m
En la dirección z. El cuerpo nunca se
mueve hacia arriba o hacia abajo del eje z,
por lo tanto la aceleración en z es igual
acero
෍ 𝐹𝑍 = 0
൯
(𝑇𝐵𝐶 𝑧
− 𝑊 = 0
𝑇𝐵𝐶 𝑧
𝑇𝐵𝐶 𝑛
𝑇𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛60 − 7.1(9.81) = 0
𝑇𝐵𝐶 =
)
7.1(9.81
𝑠𝑒𝑛60
= 80.43 𝑁

8. En la dirección normal la aceleración
nunca es igual a cero en un movimiento
curvilíneo, por lo tanto
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
Pero
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
Entonces
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚
𝑣2
𝜌
60°
𝑇𝐵𝐶 𝑧
𝑇𝐵𝐶 𝑛
(𝑇𝐵𝐶)𝑛 = 𝑚
𝑣2
𝜌
𝑇𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚
𝑣2
𝜌
𝑇𝐵𝐶 = 80.43 𝑁
80.43𝑐𝑜𝑠60 = 7.1
𝑣2
0.93
𝑣 = ቇ
0.93
7.1
(80.43𝑐𝑜𝑠60 = 2.295 Τ
𝑚 𝑠

9. Ejemplo 9

10. Paso 1. Identificar la dirección normal y la
dirección tangencial. Cualquier problema
de movimiento curvilíneo se inicia
identificando la dirección normal y la
dirección tangencial. La dirección normal
positiva "n" siempre apunta hacia el centro
de curvatura de la trayectoria, la dirección
tangencial "t" siempre forma 90° con la
dirección normal y es tangente a la
trayectoria y el eje z, debe ser
perpendicular tanto a la dirección normal
como a la dirección tangencial. Esto se
ejemplifica en las siguientes figuras

11. Paso 2. Dibujar el diagrama de cuerpo
libre del cuerpo.
Primer caso. Que el bloque no suba.
El diagrama de cuerpo libre de la caja
considerando el caso que ésta trata de
subir sobre el contenedor, se muestra a
continuación, en él la fuerza de fricción f
se opone a que la caja suba, por lo tanto
la f debe apuntar hacia abajo
Como se muestra en la figura anterior, las
fuerzas W, N y f están sobre el plano (n-z)
por lo tanto no existe ninguna
componente en la dirección tangencial
(no hay fuerzas apuntando hacia afuera o
hacia adentro de la hoja) y la fricción f y la
fuerza normal N tienen componentes
tanto en el eje z como en el eje n.
Nz
Nn
fn
fz

12. Nz
Nn
fn
fz
Un diagrama de las fuerzas y sus
componentes en las direcciones normal y
z se muestra a continuación. Recordar
que el eje normal positivo apunta hacia la
izquierda en este ejercicio. El ángulo de
25° se forma entre la pendiente y el eje
normal, este mismo ángulo se vuelve a
repetir entre los ejes que se muestran en
la figura
)
𝑓𝑛 = 𝑓𝑐𝑜𝑠25 = 𝜇𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.3𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.271𝑁 … … . . (1
)
𝑓𝑧 = 𝑓𝑠𝑒𝑛25 = 𝜇𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.3𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.126𝑁 … … . (2
𝑁𝑛 = 𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.422𝑁 … . . 3
𝑁𝑧 = 𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.906𝑁 … … (4)

13. )
𝑓𝑛 = 𝑓𝑐𝑜𝑠25 = 𝜇𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.3𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.271𝑁 … … . . (1
)
𝑓𝑧 = 𝑓𝑠𝑒𝑛25 = 𝜇𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.3𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.126𝑁 … … . (2
𝑁𝑛 = 𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.422𝑁 … . . 3
𝑁𝑧 = 𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.906𝑁 … … (4)
Paso 3. Aplicar la segunda ley de Newton
para el movimiento curvilíneo.
En la dirección z. El cuerpo nunca se mueve
hacia arriba o hacia abajo del eje z, por lo
tanto la aceleración en z es igual acero
෍ 𝐹𝑍 = 0
𝑁𝑧 − 𝑓𝑧 − 𝑊 = 0
W=50 lb
ρ= 5 ft
0.906𝑁 − 0.126𝑁 − 50 = 0
0.78𝑁 − 50 = 0
𝑁 = 64.102 𝑙𝑏

14. )
𝑓𝑛 = 𝑓𝑐𝑜𝑠25 = 𝜇𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.3𝑁𝑐𝑜𝑠25 = 0.271𝑁 … … . . (1
𝑁𝑛 = 𝑁𝑠𝑒𝑛25 = 0.422𝑁 … . . 3
W=50 lb;
m=50/32.2 (slug)
ρ= 5 ft
𝑁 = 64.102 𝑙𝑏
En la dirección normal la aceleración nunca
es igual a cero en un movimiento curvilíneo,
por lo tanto
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
Pero
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
Entonces
෍ 𝐹𝑛 = 𝑚
𝑣2
𝜌
𝑓𝑛 + 𝑁𝑛 = 𝑚
𝑣2
𝜌
0.271𝑁 + 0.422𝑁 = 𝑚
𝑣2
𝜌

15. 0.271𝑁 + 0.422𝑁 = 𝑚
𝑣2
𝜌
0.693𝑁 = 𝑚
𝑣2
𝜌
W=50 lb;
m=50/32.2 (slug)
ρ= 5 ft
𝑁 = 64.102 𝑙𝑏
0.693 64.102 =
50
32.2
𝑣2
5
44.422 =
50
32.2
𝑣2
5
𝑣 =
32.2
10
(44.422) = 11.96 𝑓 Τ
𝑡 𝑠
Para valores de mayores de 11.96 ft/s, la
caja se deslizará hacia arriba sobre el
contenedor

16. Paso 2. Dibujar el diagrama de cuerpo
libre del cuerpo.
Segundo caso. Que el bloque no baje.
El diagrama de cuerpo libre de la caja
considerando el caso que ésta trata de
bajar sobre el contenedor, se muestra a
continuación, en él la fuerza de fricción f
se opone a que la caja baje, por lo tanto
la f debe apuntar hacia arriba
f
fn
fz