1. TRABAJO Y ENERGÍA DE UNA PARTICULA
INTRODUCCIÓN
Se asume a menudo que la Segunda Ley de Newton es la expresión que gobierna los
problemas que involucran la Cinética. Realmente esto no es verdad. Problemas típicos
Estas dos integrales involucran el lado derecho de la ecuación gobernante para la
cinética de partículas. Una alternativa es examinar el lado izquierdo de esta ecuación
La integral de la fuerza en función del tiempo es reservado para discusiones de impulso-
momento.
Esta sección enfoca los efectos de integrar la fuerza sobre distancia.
TRABAJO
El trabajo puede definirse de acuerdo a tres fuentes: trabajo debido a una fuerza, trabajo
debido a la fuerza de gravedad, y trabajo debido a una fuerza elástica ( resorte )
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TRABAJO DEBIDO A UNA FUERZA
Una fuerza constante (F) actúa sobre una partícula de masa (m) puede producir el
movimiento rectilíneo de la partícula. El trabajo realizado sobre la partícula se entiende
fácilmente considerando el caso simple de una caja que descansa sobre una superficie
con fricción mínima, con una fuerza aplicada. Esta fuerza puede representarse por las
componentes horizontal y vertical.

2. La componente vertical de la fuerza (F sen φ ) no hace trabajo, no puede mover la caja.
La componente horizontal de la fuerza (F cos φ ) puede mover la caja, y existe trabajo.
Esto representa el producto punto del vector fuerza (F= Fxi + Fyj + Fzk) y el vector
En una descripción más general, el trabajo realizado por una fuerza (F) durante un
Considere el trabajo requerido para un vector de fuerza (F) para mover una partícula a
lo largo de un camino de la posición 1 (definida por S1) a la posición 2 (definida por S2).
El trabajo exigido para mover la partícula de la posición 1 a la posición 2 se expresa

3. Donde Ft es la componente tangencial del vector fuerza (la componente en la dirección
de la fuerza aplicada).
Ya que el trabajo se define como el producto punto, que usa las componentes de la
En esta expresión los límites de integración dependen de la trayectoria tomada por la
partícula. Si la fuerza es constante, esta integral se vuelve:
Esto implica que para una partícula que sigue una cierta trayectoria, bajo la acción de
una fuerza aplicada constante, sólo la posición inicial y final de la partícula, se requiere
Moviendo de la posición 1 a la posición 2, la partícula mostrada sufrirá los cambios de
posición de
De esto se ve fácilmente que el trabajo realizado por una fuerza moviendo una partícula
El término de trabajo puede ser positivo o negativo, de la dirección de la fuerza aplicada
depende la dirección resultante del movimiento de la partícula.
Para el Trabajo Positivo, la fuerza aplicada está en la misma dirección del movimiento.

4. Para el Trabajo Negativo, la fuerza aplicada está opuesta a la dirección de movimiento.
EL TRABAJO DEBIDO A LA FUERZA DE GRAVEDAD
El trabajo asociado con el peso de un objeto (Ej. la fuerza debido a la gravedad) puede
obtenerse previamente por la definición básica de trabajo definida a través del producto
punto . Ya que el proceso involucra el producto punto, el resultado es un escalar. Por
ejemplo, considere el problema de mover un peso de la posición 1 a la posición 2 como
Cuando el peso se mueve, uno debe considerar dos cosas: las componentes del peso y
las componentes de la trayectoria. Para el problema, las componentes del vector fuerza
son Fx = Fz = 0 y Fy = - W. Los componentes del vector posición son
El trabajo yendo de la posición 1 a 2 esta dado, en la integral como:

5. El trabajo realizado por el peso de un cuerpo movido de una posición a otra es el
producto del peso ( W = mg ) y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del
cuerpo(Δy).
El trabajo es negativo para Δy > 0 (cuando el cuerpo sube), y es positivo para Δy < 0
(cuando el cuerpo baja).
TRABAJO DEBIDO A LA FUERZA DE UN RESORTE
La fuerza ejercida por un resorte sobre un objeto puede expresarse en términos de la
constante del resorte y la cantidad de desplazamiento del resorte experimentada
(referencia de la longitud deformada). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza y
el desplazamiento es F = kx. Donde F es la fuerza, k es la constante del resorte, y x es el
desplazamiento. Para los propósitos de desarrollo, asuma que un bloque se ata a un
cordón como se muestra.
Al movimiento de la caja, el cordón se alarga y una fuerza desarrolla. El diagrama de
cuerpo libre muestra que la fuerza del cordón es opuesta a la dirección de movimiento.
Por consiguiente, el trabajo se expresará como:

6. Integrando entre el límite más bajo de x (x=0) y los resultados del límite superior en el
El trabajo negativo realizado por la fuerza del resorte esta opuesta a la dirección del
movimiento, y es consistente con nuestras definiciones previamente establecidas del
Si el bloque fuera soltado ahora, la dirección de la fuerza seria igual a la dirección del
Una expresión general del trabajo debido a la fuerza de un resorte (asumiendo resortes
lineales dónde F=kx) se define fácilmente integrando la fuerza como una función de
desplazamiento del resorte. Si el resorte esta inicialmente deformado, de esta
El signo del trabajo dependerá de la dirección del movimiento del objeto a que fue atado
(el trabajo es positivo si el resorte estaba comprimido, y el trabajo negativo si el resorte
estaba alargado).
Una expresión general para el trabajo debido a un resorte puede estar definida,
proporcionado por varias deformaciones están identificadas (X0, X1, y X2) junto con la
constante del resorte k.
X0 = la longitud del resorte deformado. Cuando el resorte esta deformado, no ejerce una
fuerza sobre el objeto movido, y por consiguiente no contribuye al trabajo.
X1 = la longitud del resorte en su posición inicial (la posición de la cual empieza el
movimiento). En la posición inicial del objeto no tiene que estar deformada la longitud
del resorte.
X2 = la longitud del resorte en su posición final (la posición a la que el movimiento se
detiene, o una posición intermedia usada para el análisis).

7. Una expresión más general para el trabajo realizado por la fuerza de un resorte mientras
Ya que no hay una fuerza en el resorte cuando está en su posición deformada, todas las
fuerzas que contribuyen al trabajo resulta de comprimir el resorte con respecto a su
longitud deformada. Es a menudo conveniente pensar en la longitud del resorte como la
diferencia entre la longitud del resorte en su posición inicial y final, y su longitud
Por consiguiente, el trabajo realizado por la fuerza del resorte cuando una partícula
El signo del trabajo (cualquiera + o -) depende de la dirección de la fuerza en el resorte
y en el movimiento del objeto a que se ata. El trabajo es positivo si la dirección de la
fuerza del resorte y del movimiento coincide, y es negativo si las direcciones de la
fuerza del resorte y movimiento son opuestas.
ENERGÍA CINÉTICA
Para una partícula de masa m que se mueve de la posición 1 a la posición 2 a lo largo de
una trayectoria, el trabajo realizado por el vector fuerza aplicado F se expresa en
términos de la componente tangencial de la fuerza tal que:

8. La componente tangencial de la fuerza Ft puede ser reemplazada con la aceleración de la
masa (desde Ft=mat). Asumiendo que la masa es constante, el trabajo puede expresarse
como se mostró anteriormente.
Reemplace atds con vdv (referencia las relaciones normales de la cinemática: v=ds/dt,
a=dv/dt y ads=vdv).
Donde v1 es la velocidad de la partícula en la posición 1, y v2 es la velocidad de la
El lado izquierdo de la ecuación define el trabajo realizado del movimiento de una
partícula de la posición 1 a la posición 2. El lado derecho define el cambio de energía
La energía cinética siempre es positiva (o cero). Sin embargo, el cambio en la energía
cinética puede ser positivo o negativo.
El signo de ΔT dependerá de la velocidad de la partícula en las posiciones 1 y 2. Por
ejemplo, si la velocidad final es cero, mientras que la velocidad inicial es mayor que
cero, entonces ΔT < 0. Recíprocamente, si la partícula empieza en la posición 1 y tiene
una velocidad cero en la posición 2, entonces ΔT > 0.

9. Entonces el trabajo realizado al mover de una posición a otra puede expresarse en varias
formas, cada uno de los cuales son idénticos.
APLICACIONES DE TRABAJO Y ENERGÍA
A menudo el trabajo y energía juegan un papel que establece la información que se
necesita para resolver problemas que involucran a la segunda Ley de Newton. Por
ejemplo, considere el péndulo simple mostrado. Asuma que el péndulo inicialmente esta
en reposo, y nosotros deseamos determinar la tensión en el cable después de que se
suelta y gira a través de 90 grados.
Para determinar la tensión en el cable nosotros necesitamos un diagrama de cuerpo libre
y un diagrama de masa aceleración para el péndulo en la posición de interés. La
trayectoria del péndulo describe un círculo, de modo normal - tangencial o coordenadas
transversal - radial son apropiadas. El modelo para este problema es como se muestra.
Resolviendo este problema requiere un conocimiento de la velocidad del péndulo en
esta posición. Hay dos métodos por los que podemos definir la velocidad. Uno es por la
integración, (ver examen 9 en la guía didáctica con respecto a la segunda ley de
Newton) y el otro es por el método de trabajo y energía.

10. Usando trabajo y energía que nosotros sabemos que la energía cinética en la posición 1,
más el trabajo necesario para ir de la posición 1 a la posición 2, debe ser igual a la
En la posición 1 T1 =0, pero en la posición 2
Puesto que W = mg, la solución es
Para este problema es probablemente más simple determinar la velocidad que por
trabajo y energía que es integrando la componente tangencial de la aceleración en la
ENERGÍA POTENCIAL
En la expresión general de trabajo y energía U1-2 = ΔT, el trabajo consiste de tres
componentes. Hay trabajo debido a las fuerzas externas (las fuerzas directamente
aplicadas y fricción), trabajo debido a la gravedad, y trabajo que es el resultado de las
fuerzas en los resortes elásticas. La componente tangencial de la fuerza debe integrarse
a lo largo de la trayectoria tomada por la partícula. Esto puede presentar problemas,
sobre todo cuando la trayectoria es complicada, por ejemplo, el problema siguiente,
dónde un resorte y una fuerza externa (F) están envueltos. Además el trabajo debido a la
gravedad, una fuerza de resorte F también está presente. Como los movimientos de la
partícula, la componente tangencial de la fuerza puede resultar difícil establecerla a
continuación la función es integrable.
Esto es relativamente fácil de visualizar los progresos del movimiento de partícula.

11. Es a menudo más conveniente tratar el trabajo debido a la gravedad y al resorte como
energías potenciales. La energía potencial debido al resorte se llama a menudo energía
potencial elástica. Cuando se aproxima de esta manera, la ecuación del trabajo energía
(U1-2 = ΔT) se expresa diferente.
La energía potencial es válida con tal que el trabajo de la fuerza considerado sea
independiente de la trayectoria seguida por su punto de aplicación, ya que este punto se
mueve de una posición a otra, en otros términos, las fuerzas deben ser fuerzas
conservadoras.
La energía potencial gravitacional de una partícula se define como el trabajo realizado
en contra de la gravedad para levantar una partícula de masa m una distancia h sobre
La energía potencial gravitacional en la posición 1 (a la altura h1 ) se expresa como
Vg1=mgh1
La energía potencial gravitacional en la posición 2 (a la altura h2 ) se expresa como
Vg2=mgh2
Cuando la partícula mueve de la posición 1 a 2, hay un cambio en la energía potencial

12. Subsecuentemente . El trabajo asociado con el movimiento ilustrado es positivo ya que
la fuerza (mg) está en la misma dirección del movimiento. De ahi:
U1-2 =-Δg
El trabajo en esta expresión sólo se refiere a la contribución del trabajo total que es
debido a la gravedad, y no incluye el trabajo debido al resorte elástico, fricción, o las
fuerzas directamente aplicadas. Una representación más descriptiva sería: Ug =-ΔVg
Cuando una partícula se mueve de un nivel más alto a un nivel más bajo experimenta
una pérdida en la energía potencial gravitacional. (-ΔVg)
Cuando la partícula mueve de un nivel más bajo a un nivel más alto experimenta un
aumento neto en la energía potencial gravitacional (+ΔVg)
Es una cuestión simple para recordar que si una partícula se mueve de un más alto a una
elevación más baja perdería energía potencial gravitacional (-ΔVg), mientras que si se
mueve de un más bajo a una elevación más alta aumentará su potencial gravitacional
(+ΔVg )
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
El trabajo realizado por un resorte para deformarlo se acumula en el resorte y es llamada
energía potencial elástica. Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza y el
desplazamiento del resorte es F = kx. En esta expresión F es la fuerza, x es la posición
del resorte con respecto a su longitud deformada (X0), y k es la constante del resorte.

13. Usando la deformación de la longitud como el más bajo límite (X0 = 0) el potencial
Cuando dos longitudes diferentes del resorte están envueltas en una situación diferente
se levanta. En la posición 1 el potencial elástico es , y en la posición 2 es
El cambio en el potencial elástico se relaciona con el trabajo realizado moviendo de la
posición 1 a 2. La relación entre los dos (qué es fácil de verificar considerando las
direcciones del movimiento y la fuerza del resorte) es:
ENERGÍA Y TRABAJO QUE USA LA ENERGIA POTENCIAL
Combinando las condiciones de energías potencial elástica y gravitacional, y denotando
el trabajo hecho solo por las fuerzas externas como U1-2 la expresión de trabajo y
Si las condiciones de energía potencial se agrupan en el mismo lado de la ecuación, la
expresión del trabajo y energía se vuelve: ()
Una alternativa de esta expresión también puede ser usada, energía individual en cada
posición es considerada
CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

14. El peso de una partícula y la fuerza ejercida por un resorte son fuerzas conservadoras, y
puede ser copiadas usando la energía potencial. Si todas las fuerzas que actúan en una
partícula son conservadoras, la expresión del trabajo y energía pueden simplificarse
escribiéndose así:
Donde T es la energía cinética y V es la suma de las energías potencial elástica y
gravitacional.
La suma de la energía cinética y potencial se llama energía mecánica total y se denota
E=T+V
Ya que todas las fuerzas actuantes sobre la partícula son conservadoras U1-2 = 0.
Esto es equivalente a notar que si ninguna fuerza externa aplicada (las otras fuerzas que
es debido al resorte y al peso de la partícula) está actuando en un sistema potencial,
puede usarse la energía para expresar el trabajo y energía como
Aunque el peso de una partícula y la fuerza ejercida por un resorte son fuerzas
conservadoras, las fuerzas de fricción no son conservadoras. El trabajo de una fuerza de
fricción no puede expresarse como un cambio en la energía potencial.
EJEMPLO:

15. Como un ejemplo de trabajo y energía, considere una carreta de 20 lb conectada a un
cable que se apoya a un peso de 40 lb mostrado. Asuma que el sistema se suelta desde
el reposo, y nosotros deseamos encontrar la velocidad de la carreta después de que se ha
movido 3ft. El cable que conecta el carrete y el peso es inextensible y la polea es de la
masa despreciable.
La relación cinemática entre cada peso debe establecerse. Ya que la longitud total del
cable no varia L = XA + 2XB = constante
La primera derivada de la longitud del cable con respecto al tiempo produce una
relación entre las velocidades de la carreta y el peso. El resultado es
VA = -2VB
Además, nosotros notamos que por cada pie que se mueve a la derecha la carreta A, el
peso B se mueve hacia abajo la mitad que la distancia ( XA =- 2XB )
Pueden usarse dos modelos para resolver este problema. Uno es el resultado de observar
todas las fuerzas que son conservadoras y el sistema puede ser tratado usando la
conservación de energía en conjunto puede tratarse. El segundo es tratar cada tensión
del cable como una fuerza y verificar que el sistema es conservador. Cualquiera es la
aplicación directa del trabajo y energía o energía potencial puede usarse para nuevos
modelos. Seleccione la opción que usted desea ver.

16. DEMOSTRAR QUE EL SISTEMA ES CONSERVADOR
Para mostrar que las fuerzas son conservadoras nosotros tratamos la carreta y el peso
separadamente.
La fuerza esta en la misma dirección del movimiento.
Las dos tensiones del cable son opuestas a la dirección del movimiento, por lo tanto el
trabajo es negativo.

17. Después que la velocidad final es conocida, trabajo y energía pueden ser usado para
encontrar la tensión en el cable. Cualquiera la carreta o el peso pueden ser usados para
este propósito. En este caso es mas fácil el trabajo con el carro.
USANDO LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
El sistema es conservador, y las masas parten del reposo, podemos escribir la ecuación
del sistema en términos de la energía potencial. La masa de la polea es despreciable.

18. Solo la energía potencial es debido a la gravedad, ya que no existen resortes. La carreta
permanece sobre la superficie horizontal y no contribuye a la potencial gravitacional. El
peso de 40 lb. disminuye el movimiento de la carreta, esta es la energía potencial en la
posición 2 seria negativo.