Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Existen tres posibles casos para los sistemas: 1) las ecuaciones intersectan en un punto, dando una solución; 2) describen la misma línea, dando infinitas soluciones; 3) son paralelas, dando ninguna solución. Los métodos para resolver incluyen sustitución, igualación y reducción.

1. Sistema de ecuaciones
2x2 y 3x3

3. SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE
ECUACIONES LINEALES
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, representado por:







2
2
2
1
1
1
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a determina dos líneas
rectas en un plano.
DEFINICION.

4. Encontrar la solución del sistema es encontrar el punto donde
ambas líneas se intersectan, y puede hacerse gráficamente, sin
embargo para encontrar los puntos EXACTOS, utilizaremos
procedimientos algebraicos
y = x - 1
y =-x +1
(1, 0)
x
y

5. SISTEMAS CONSISTENTES E
INCONSISTENTES.
Hay tres casos posibles para las gráficas de las rectas
representadas en un sistema simultáneo de ecuaciones
lineales:

6. i) Las rectas se intersectan en un solo punto
y = x - 1
y = -x + 1
(1, 0)
x
y
Esto es un sistema consistente y las ecuaciones son
independientes. Lo que implica que tiene exactamente
una solución. Esta solución es el punto de intersección de
ambas rectas.

7. ii) Las ecuaciones describen la misma recta.
x – y = 1
3x – 3y = 3
El sistema es consistente, pero las ecuaciones son
dependientes o equivalentes. Tiene infinitas soluciones,
esto es, todos los pares de números reales correspondientes a
los puntos de una recta.

8. iii) Las dos rectas son paralelas.
x - y = 1
x - y = 2
El sistema es inconsistente: NO HAY SOLUCIONES.

10. 𝑦 = − 1
2 𝑥 + 2

12. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se
pueden usar los siguientes métodos :
a) Sustitución
b) Reducción (Suma-resta)
c) Igualación
Resolución de Sistemas Simultáneos de
Ecuaciones Lineales

13. a) Método de sustitución.
Ejemplo.- Encontrar la solución del siguiente sistema:
Solución:
1) Se despeja una incógnita de alguna de las dos ecuaciones
dadas, (la que sea más sencilla de despejar).








4
2
5
4
3
y
x
y
x
y = 2x -4

14. 2) Se sustituye el valor obtenido en el paso anterior,
en la ecuación restante (no en la misma) :
3x + 4(2x - 4) = -5
3x +8x -16 = -5
11x =11
x =1
3) Sustituyendo x =1 en la ecuación obtenida en el paso
1, se tiene :
2
4
2
4
)
1
(
2






y
y
y








4
2
5
4
3
y
x
y
x
y = 2x -4

15. De esta manera , la única solución del sistema es el punto (1,-2).
Tenemos que el sistema es consistente y las ecuaciones son
independientes, como se muestra en la siguiente gráfica.
2x - y = 4
3x+4y = -5


17. b) Método de Igualación.
Ejemplo.- Encontrar la solución del sistema:
Solución:
1) Se despeja la misma incógnita de cada una de las ecuaciones
dadas.








4
2
5
4
3
y
x
y
x
y = 2x -4 y =
-3x -5
4

18. 2) Se igualan las ecuaciones recién encontradas
3) Se despeja la variable de la ecuación :
y = 2x -4
y =
-3x -5
4
2x - 4 =
-3x -5
4
4 2x-4
( )= -3x -5
8x-16 =-3x-5
8x +3x =16 - 5
11x =11
x =1

19. 4) Se sustituye x =1 en cualesquiera de las ecuaciones obtenidas
en el paso 1:
2
4
2
4
)
1
(
2






y
y
y

21. Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema:
Solución:
En este método se trata de igualar los coeficientes de alguna de
las dos variables para posteriormente eliminarla mediante una
suma. Es indiferente igualar los coeficientes de x o de y,
generalmente se igualan aquellos en que la operación sea más
sencilla.







1
2
3
6
4
y
x
y
x
c) Método de reducción (suma o resta).

22. Para igualar coeficientes y hacerlos de signo contrario:
1) Se multiplica la primera ecuación por –3, quedando el sistema
siguiente
1
2
3
18
12
3






y
x
y
x
-14 y = -17
2) Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la variable x,
obteniendo una tercera ecuación :
17
14 

 y
14
17

y







1
2
3
6
4
y
x
y
x

23. 3) Ya obtenido el valor de y se sustituye éste en cualquiera de las
dos ecuaciones originales. En este ejemplo sustituiremos en la
primera ecuación, obteniendo lo siguiente :
6
14
17
4 







x , por lo tanto
7
8
así
,
7
34
6 

 x
x
Así la solución queda indicada como   






14
17
,
7
8
, y
x

24. Ejemplo 2.- Resolver el siguiente sistema:











)
2
.(
..........
7
2
)
1
........(
11
2
3
y
x
y
x
Solución:
Primeramente eliminamos las fracciones, (eliminando los
denominadores), multiplicando cada una de las ecuaciones por el
MCD de cada uno de los denominadores, por lo tanto se tiene :

25. 1) Se suprimen denominadores multiplicando por 2 cada una de
las ecuaciones quedando un sistema equivalente:
2) Se multiplica la ecuación (2) por –2, posteriormente se suman
ambas ecuaciones, para poder eliminar la variable “y”:

26. 3) Ya obtenido el valor de x = 6, se sustituye en cualquiera de las
dos ecuaciones no fraccionarias, para encontrar el valor de “y”.
Por lo tanto la solución al sistema es (6,2)

28. 2𝑥 − 𝑦 = 3
−4𝑥 + 2𝑦 = −6

29. 2x + y = -10
6x + 3y =12