Este documento compara cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: gráfico, sustitución, igualación, determinantes y suma/resta. Explica detalladamente cada método a través de un ejemplo numérico y concluye que todos los métodos llevan a la misma solución del sistema dado, que es (1, 3).

1. CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Solución del sistema dado por los cinco métodos.
2x + y = 5
4x – y = 1
Método Gráfico Métodos analíticos
Suma o resta Sustitución Igualación Determinantes
Una de las formas más rápidas para graficaruna recta es
definir dos puntos por los que pasa.
1.- Para la ecuación 2x + y = 5,
si x=0, 2(0) + y = 5, el primer productoes cero, y
y = 5, entonces, el punto es (0, 5)
si x=2, 2(2) + y = 5
4 + y = 5
y = 5 – 4
y = 1, de donde el otro punto es (2, 1)
En este método lo que se
busca es eliminar una
variable, cuando tiene los
mismos coeficientes y de
signo contrario.
En el caso de las ecuaciones
ejemplo, lo más sencillo es
eliminar las y´s
directamente haciendo la
suma, puesto que tienen
coeficiente1 y -1,
respectivamente.
Pero vamos a eliminar la x,
para ver comose hace
cuando no son iguales.
Consiste en despejar una
incógnita de una de las
ecuaciones y sustituirla
en la otra.
Luego de encontrar el
valor de esa incógnita,
éste se sustituye en la
ecuación despejada y se
obtiene el valor de la
segunda incógnita.
1.- De la ecuación1, se
despeja y, entonces:
y = 5 – 2x (3)
Es un método similar al
de sustitución, sólo que en
lugar de despejar una de
las ecuaciones, se
despejan las dos.
1.- Se despeja una misma
incógnita en ambas
ecuaciones.
Ej. Despejar x.
De la primera ecuación:
𝑥 =
5−𝑦
2
(3)
Dela segunda ecuación:
𝑥 =
1+𝑦
4
(4)
Consiste en usar sólo los
coeficientesde las ecuaciones.
La única condiciónes que las
ecuaciones estén ordenadas tal
y comoestá el sistema –
ejemplo, los términos de x, los
de y,y los independientes en el
lado derecho.
Se deben encontrar primero los
coeficientes∆, ∆ 𝑥 𝑦 ∆ 𝑦.
2.- Para la ecuación4x – y = 1,
si x = 0, 4(0) – y = 1
-y = 1
y = -1 habiendo multiplicado por -1 toda la
expresión. Por tanto, el punto es (0, -1)
1.- Como el 4 es divisible
entre 2, si multiplicamos la
primera ecuación por -2, en
x nos quedaría un
coeficiente-4 que al sumar
con el coeficientepara x en
la segunda ecuación, se
Le llamamos ecuación 3.
2.- Ahora, se sustituye en
la ecuación 2.
4x - (5 – 2x) = 1
2.- Ahora, comovemos
que x tiene un valor en
cada despeje, entonces
podemos igualar los lados
derechos de las
ecuaciones (3) y (4).
Obtenciónde loscoeficientes.
1.- Parael coeficiente ∆,
se toman los coeficientesde x y
los de y.

2. Si x = 2, 4(2) – y = 1
8 – y = 1
-y = 1 – 8
-y = -7
y = 7, habiendo multiplicado por -1.
Entonces, el punto es (2, 7)
3.- Trazando los puntos y las rectas, la intersección de ellas
es el punto solucióndelsistema.
Gráfica.
eliminan.
Entonces, multiplicando
por
-2 la primera ecuación,
queda:
-2(2x + y = 5)
-4x - 2y = -10
2.- Ahora se suma con la
segunda ecuación.
-4x - 2y = -10
4x – y = 1
-----------------
-3y = -9
y = -9/-3
y = 3
3.- Finalmente, el valorde y
se sustituye en una de las
dos ecuaciones originales.
Sustituyendo en la primera
ecuación:
2x + (3)= 5
2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Es decir, en lugar de y,
pusimos el valorque le
asocia a y,la ecuación3.
3.- Despejamos x.
4x -5 + 2x = 1
6x – 5 = 1
6x = 1 + 5
6x = 6
x = 6/6
x = 1
4.- A continuación,este
valor se sustituye en la
ecuación 3.
y = 5 – 2(1)
y = 5 – 2
y = 3
5.- Por tanto, la solución
es:
(1, 3)
5 − 𝑦
2
=
1 + 𝑦
4
3.- Se resuelve para y.
4(5-y)= 2(1+y)
20 - 4y = 2 + 2y
20 – 2 = 4y + 2y
18 = 6y
18/6=y
y = 3
4.- Finalmente, el valorde
y se sustituye en
cualquiera de las dos
ecuaciones despejadas
para x.
Sustituyendo y=3 en la
ecuación (3),
𝑥 =
5 − (3)
2
𝑥 =
5 − 3
2
𝑥 =
2
2
x = 1
5.- La solucióndel sistema
es (1, 3)
(Compare conlas ecuaciones)
∆= |
2 1
4 −1
|
Solución.
∆= (2)(−1) − (4)(1)
∆= −2 − 4
∆= −6
2.- Coeficiente ∆ 𝑥,
Se toman los coeficientes
independientes (sustituyen a
los de x) y los de y.
∆ 𝑥= |
5 1
1 −1
|
∆ 𝑥= (5)(−1) − (1)(1)
∆ 𝑥= −5 − 1
∆ 𝑥= −6
3.- Coeficiente ∆ 𝑦,
Se toman los coeficientesde x, y
los independientes (sustituyen
a los de y).
∆ 𝑦= |
2 5
4 1
|
∆ 𝑦= (2)(1) − (4)(5)
PI (1, 3)

3. 4.- Así que la solución es:
(1, 3)
∆ 𝑦= 2 − 20
∆ 𝑦= −18
4.- Último paso.
Con los tres coeficientes
obtenidos, finalmente, se
calculan x y y.
𝑥 =
∆ 𝑥
∆
y
𝑦 =
∆ 𝑦
∆
,
5.- Por lo tanto, sustituyendo los
valores obtenidos:
𝑥 =
−6
−6
, x = 1
𝑦 =
−18
−6
, y = 3
La solución es: (1, 3)