Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.

1. INTERSECCIÓN DE FUNCIONESAraceli Arjona Muñoz

2. INTERSECCIÓN DE FUNCIONESINTERSECCIÓN DE DOS RECTASy= m1x+n1y= m2x+n2INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLASy= a1x+b1+c1y= a2x+b2+c2INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLAy= mx+ny= ax2+bx+c

3. INTERSECCIÓN DE DOS RECTASLa intersección de dos rectas la podemos calcular gráfica y analíticamente:GRÁFICAMENTE:Representamos la recta correspondiente a la 1ª ecuaciónRepresentamos la recta correspondiente a la 2ª ecuaciónLa solución es el punto de corte de ambas rectas (que puede tener o no)ANALÍTICAMENTE:Resolvemos el sistema de ecuaciones por uno de los siguientes métodos:Sustitución

4. Igualación

5. Reducciónb) La solución es el par de valores (x,y) que verifica las dos ecuaciones del sistema

6. GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3 casos:Rectas que se cortan en un puntoRectas coincidentesRectas paralelasLa solución es el punto (4,2)Tiene infinitas solucionesNo tiene solución

7. ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos:MÉTODO DE SUSTITUCIÓNEn la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejarSe sustituye su valor en la otra ecuaciónSe resuelve la ecuación resultanteEl valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnitaEJEMPLOy=8-2x5x-4(8-2x)=7 5x-32+8x=7c) 13x=39 x=3d) x=3 en y=8-2x y=8-2·3 y=8-6 y=2 2x+y=8 5x-4y=7Solución:x=3, y=2

8. ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos:MÉTODO DE IGUALACIÓNSe despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuacionesSe igualan los valores obtenidosSe resuelve la ecuación resultanteEl valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnitaEJEMPLOy=5-3x y=4x-95-3x=4x-9 -7x=-14c) 7x=14 x=2d) x=2 en y=5-3x y=5-3·2 y=5-6 y=-13x+y=5 -4x+y=-9Solución:x=2, y=-1

9. ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos:MÉTODO DE REDUCCIÓNMediante multiplicaciones apropiadas se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestosSe suman las dos ecuacionesSe resuelve la ecuación resultanteEl valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnitaEJEMPLO7x-6y=-11 ·(-1) 10x+6y=28 ·(2)17x=17c) x=1d) x=1 en 5x+3y=14 5·1+3y=14 5+3y=14 3y=9 y=3-7x+6y=115x+3y=14Solución:x=1, y=3

10. EJEMPLOSIntersección de dos rectas que se cortan en un puntoSolución:Se cortan en el punto (1/2,0) y=2x-1 -2x-2y=-1Resolvemos por el método de sustitución:a) y=2x-1b)-2x-2(2x-1)=-1 -2x-4x+2=-1c)-6x=-3 x=1/2d) x=1/2 en y=2x-1 y=2·(1/2)-1 y=1-1 y=0

11. EJEMPLOSIntersección de dos rectas coincidentesSolución:Se cortan en infinitos puntos y=x+2 2y=2x+4Resolvemos por el método de igualación:y=x+2 y=2x/2+4/2 y=x+2x+2=x+2 0=0Esto se verifica para todo valor de x, luego tiene infinitas soluciones

12. EJEMPLOSIntersección de dos rectas paralelasSolución:No se cortan en ningún punto y=x+2 y=x+1Resolvemos por el método de reducción:y=x+2 ·(-1) y=x+1 -y=-x-2 y=x+1Sumamos y nos queda: 0=0-1 0=-1Lo que es imposible, luego este sistema no tiene solución

13. INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLASLa intersección de dos parábolas la podemos calcular gráfica y analíticamente:GRÁFICAMENTE:Representamos la parábola correspondiente a la 1ª ecuaciónRepresentamos la parábolacorrespondiente a la 2ª ecuaciónLa solución son los puntos de corte de ambas parábolas, que pueden ser 2, 1 o ningunoANALÍTICAMENTE:Resolvemos el sistema de ecuaciones b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

14. GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3 casos:Parábolas que se cortan en dos puntosParábolas que se cortan en un puntoParábolas que no se cortanTiene dos soluciones:(1,3) y (-1,3)Tiene una solución (0,0)No tiene solución

15. ANALÍTICAMENTEPara resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos:Despejar la variable y en ambas ecuacionesAplicar el método de reducción (multiplicas la primera ecuación por (-1) y le sumas la segunda), de esta manera se te van las “y” y te queda una ecuación de 2º grado.Hallas las soluciones x1 y x2 de la ecuación de 2º grado.Sustituyes los valores de x1 y x2 en la ecuación inicial que sea más fácil y obtienes dos valores de “y”, y1 e y2.EJEMPLO a) y=x2-3x+2 y=2x2-3x+1b) –y=-x2+3x-2 y=2x2-3x+1 Las sumamos y tenemos: 0=x2-1c) x2=1 x1=1, x2=-1d) x1=1 en y=x2-3x+2 Luego y1=12-3·1+2=0 x2=-1 en y=x2-3x+2 Luego y2= (-1)2-3·(-1)+2=6Tenemos las soluciones (1,0) y (-1,6)

16. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PARÁBOLALa intersección de recta y parábola la podemos calcular gráfica y analíticamente:GRÁFICAMENTE:Representamos la parábolacorrespondiente a la 1ª ecuaciónRepresentamos la recta correspondiente a la 2ª ecuaciónLa solución son los puntos de corte de ambas funciones, que pueden ser 2, 1 o ningunoANALÍTICAMENTE:Resolvemos el sistema de ecuaciones b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

17. GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3 casos:Se cortan en dos puntos: SECANTESSe cortan en un punto: TANGENTESNo se cortan: EXTERIORESTiene dos solucionesTiene una soluciónNo tiene solución