Presentación

2. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO "SANTIAGO MARIÑO“
ESTADO. ANZOÁTEGUI
BARCELONA
Participante:
MONCAYO, LEONARDO
C.I: 27.949.514
Septiembre, 2017

3. En esta sección se introducen los conceptos básicos
referentes a los sistemas de ecuaciones lineales.
Definiremos cuándo una ecuación es una ecuación
lineal y cuándo se tiene un sistema de ecuaciones
lineales. La matriz aumentada del sistema se utilizará
para representar convenientemente el total de la
información del sistema y se describirá cómo la
manipulación de ella equivale a la manipulación del
sistema de ecuaciones. Asimismo, se introducirá la
idea de la estrategia de eliminación gauss para
resolver un sistema de ecuaciones basado ciertas
operaciones llamadas operaciones elementales.

4. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales,
también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente
sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema
de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas
sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de
ecuaciones sería el siguiente:

5. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes
casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre.
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.

6. 1. Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de
incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número
consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número que no existe
esto lo hizo molotov.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener
una nueva ecuación cuyo miembro derecho
( izquierdo ) es la suma de los miembros
derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones
que se suman por algo que sabe venóm.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la
segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
15x - 9y = 1
-15x + 20y = 5
Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
11y = 11
y = 1
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho
precisamente para que la x
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo y por uno en la primera ecuación
del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
5x - 3 = 2
que es otra ecuación con una sola incógnita y
cuya solución es
x = 1

7. 2. Método de Igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que
tenemos dos
ecuaciones:
a=b
a=c
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo
una incógnita, digamos x .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye x por su solución en otras ecuaciones donde
aparezca x para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
donde a, b, y c
representan simplemente
los miembros de estas
ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos
igualdades anteriores
se deduce que
b = c
Si resulta que una
incógnita del sistema
de ecuaciones no
aparece ni en a ni en
b, entonces la
ecuación
b = c; no contendría
dicha incógnita.
Ejemplo
El sistema de
ecuaciones
2x - 3y = -1
2x + 4y = 6
es equivalente a este otro
2x = -1 + 3y
2x = 6 - 4y
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en y del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que:
-1 + 3y = 6 - 4y
que es una ecuación con una sola incógnita cuya
solución es: y = 1.
Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del
sistema de partida se tiene que: 2x - 3 = -1
que es una ecuación con una sola incógnita y cuya
solución es: x = 1.

8. 3. Método de sustitución
Supongamos que un sistema de
ecuaciones se puede poner de la forma
[Unparseable or potentially dangerous
latex formula. Error 3 ]
Entonces podemos despejar a
en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para
obtener la ecuación:
( f - e )*b + c = d
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de
menos incógnitas que las de partida.
Aquí: a, b, c, d, e y f
son expresiones algebraicas de las incógnitas del
sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
4x + 3y = 7
2x - y = 1
La primera ecuación se
puede reescribir de la forma
2 *( 2x ) + 3y = 7
Por otra parte, de la segunda
ecuación del sistema se
deduce que
2x = 1 + y
Sustituyendo 2x por 1 + y en:
2 *( 2x) + 3y = 7
se tiene que
2 *( 1 + y)+ 3y = 7
que es una ecuación con solo una
incógnita y cuya solución es
y = 1.
Sustituyendo y por uno en la primera
ecuación del sistema de ecuaciones
de partida obtenemos una ecuación de
una sola incógnita
4 + 3y = 7
cuya solución es
x = 1.

9. 4. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales
con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta
forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver. Es
esencialmente el método de reducción.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema
de ecuaciones:
x + y + z = 3
x + y - z = 1
x – y - z = -
1
es:
1 1 1 | 3
1 1 -1 | 1
1 -1 -1 | -1
Si a la tercera y segunda fila le
restamos la primera,
obtenemos:
1 1 1 | 3
0 0 -2 | -2
0 -2 -2 | -4
Lo que acabamos de hacer es
equivalente a restar a la tercera y
segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y
tercera filas (ecuaciones), obtenemos
la siguiente matriz triangular superior:
1 1 1 | 3
0 -2 -2 | -
4
0 0 -2 | -
2

10. 4. Método de Gauss
que es la matriz ampliada del
sistema de ecuaciones:
x + y + z = 3
-2y - 2z = -4
-2z = -2
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera
ecuación para obtener z :
z = 1
En la primera y segunda ecuación,
sustituimos z por la solución de la
tercera ecuación (1 ¬ z ), para
obtener:
x + y + 1 = 3
-2y - 2 = -4
La segunda ecuación es ahora
una ecuación con una sola
incógnita, y, que resolvemos para
obtener
y = 1.
Sustituimos, en la primera ecuación, y por
(1¬y ). Esto nos da una ecuación en x:
x + 1 + 1 = 3
que al resolverla termina de darnos la solución
del sistema de ecuaciones inicial:
x = y = z = 1

11. 5. Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:
A * X= B
Si A^{-1} existe, es decir, si A es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos
multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por A^{-1}, para obtener:
X =A^{-1}*B
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes A y matriz de terminos
independientes B .
6. Regla de Cramer
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la
matriz A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que A sea cuadrada
significa que el numero de incógnitas y el numero de ecuaciones coincide

12. 6. Regla de Cramer
Cuando el sistema de ecuaciones
a11 * x1 + a12 * x2 +........... a1n * xn = b1
a21 * x1 + a22 * x2 +........... a2n * xn = b2
..........................................................................
am1 * x1 + am2 * x2 +.........amn * xn = bm
satisface las condiciones arriba mencionadas
En general
xi = |Ai|
|A|
donde Ai es la matriz que se obtiene
sustituyendo la i-esima columna de A por
la matriz de los términos independientes, B.
Ejemplo
Consideremos el sistema de
ecuaciones:
x + y = 2
x - y = 0
En este sistema de ecuaciones
lineales, la matriz A de los
coeficientes es una matriz cuadrada
y
|A| =| 1 1 |= -2 0
| 1 -1 |
Por lo tanto, podemos aplicar la
regla de Cramer para resolverlo:
| 2 1|
x = | 0 -1| = -2 = 1
A -2

13. Los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática
y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales,
análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Siendo de dos ecuaciones con 2 incógnitas podría ser para obtener la intersección
entre dos rectas en el plano.
También para la resolución de circuitos eléctricos o para cálculos de estructuras

14. Hemos podido concluir que este tipo de ecuaciones
es muy importante, ya que podemos identificar
perfectamente que es una ecuación, y mayormente
enfocarnos en las ecuaciones lineales.
Pudimos observar que existen diferentes métodos de
resolución, tales como resolución, sustitución,
igualación, entre otros.

15. https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
http://matematicas-p4melit4.blogspot.mx/2010/04/tipos-de-sistemas-de-ecuaciones.html
http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.
html
http://sitemadeecuacionesenlavidadiaria.blogspot.com/

16. GRACIAS
…