6o-Bas-U-III-IV.pdf

Matemática
Cuaderno de trabajo
6° Básico
¡La aventura
de aprender!
UNIDADES
3 y 4
Módulo didáctico para la
enseñanza y aprendizaje en
escuelas rurales multigrado
Operación con números
decimales, razones y
porcentajes, patrones
y ecuaciones

Matemática
UNIDADES 3 y 4
decimales, razones y porcentajes,
patrones y ecuaciones
Cuaderno de trabajo
6° Básico
Módulo didáctico para la enseñanza y aprendizaje
en escuelas rurales multigrado
¡La aventura
de aprender!

Cuaderno de trabajo
Matemática
6o
básico
Unidad 3: Operación con números
decimales, razones y porcentajes
Unidad 4: Patrones y ecuaciones
Edición
Profesionales Mineduc:
Programa Educación Rural
Profesionales externos:
Marcela Torres
Alfredo Carrasco
Francisco Cerda
Gabriela Zúñiga
Diseño y Diagramación
Diseño Mineduc
Programa Educación Rural
División de Educación General
Ministerio de Educación
Av. Libertador Bernardo O’Higgins 1371,
Santiago de Chile
2021

¡Vamos con todo!
Te desafiamos a que,
de manera individual o
junto a tus compañeros,
enfrentes las actividades y
demuestres tus habilidades
para resolver problemas,
modelar, representar y
argumentar y comunicar.
En este cuaderno te
invitamos a descubrir y
demostrar tu interés y
curiosidad por la matemática.
En este trimestre aprenderás
sobre operación con
números decimales, razones,
porcentajes, patrones
y ecuaciones.
¡Bienvenidos a 6o
básico!
Mi nombre es:
El nombre de mi escuela es:

Índice
UNIDAD 3 - Operación con números decimales, razones
y porcentajes
Lección 1: Resolviendo problemas con fracciones,
números mixtos y decimales 6
Lección 2: Multiplicación con números
decimales 21
Lección 3: División con números decimales 40
Lección 4: Razones 59
Lección 5: Porcentajes 77
Síntesis 96
Evaluación 102
UNIDAD 4 - Patrones y ecuaciones
Lección 1: Patrones y secuencias 112
Lección 2: Ecuaciones de un paso 134
Lección 3: Ecuaciones 155
Lección 4: Resolución de problemas
algebraicos 171
Síntesis 183
Evaluación 186

UNIDAD 3
decimales, razones y porcentajes

Lección 1
Resolviendo problemas con fracciones,
números mixtos y decimales
En esta lección profundizarás en los pasos para la resolución de
problemas que involucren fracciones y decimales.
Actividad 1
Recordando los números decimales
1
María y sus 2 amigas prepararon una pizza para almorzar.
Dividieron la pizza como muestra la imagen. Responde las
siguientes preguntas.
a Cada parte corresponde a de la pizza.
6
Unidad 3 - Operación con números decimales, razones y porcentajes
Lección
1
Seis

b En palabras se escribe .
c Representa 1
10
en la barra.
d ¿Dónde ubicarías el 1
10
en la recta numérica?
0 1
e Transforma 1
10
en su expresión decimal y represéntalo
en la recta numérica.
0 1
2 Expresa cada fracción o número mixto en su forma decimal.
a 4
10
= b 8
10
=
c 2 3
4
= d 15
4
=
e 3
7
=
7
Matemática - 6º Básico
Lección
1
Siete

Actividad 2
Resolviendo problemas con los números decimales
1
María juntó la harina de 2 bolsas. En total obtuvo 7,32
kilogramos. Una de ellas contenía 4,47 kilogramos. ¿Qué
cantidad de harina había en el otro paquete?
Desarrollo y respuesta
Expresión aritmética
Datos del problema
2
Juan para su cumpleaños compró 7,5 litros de jugo. Si en la
fiesta tomaron 5,4 litros, ¿cuántos litros de jugo quedaron?
Datos del problema
8
Ocho
Lección
1

3
Una verdulería tiene un saco de papas que pesa 25 kg.
Vende 17,45 kg de papas. ¿Cuántas papas le quedan en el
saco para vender?
Datos del problema
4
Camilo mide 1,34 metros. Su hermana Leslie mide 0,2 metros
menos que él. ¿Cuál es la estatura de Leslie?
Datos del problema
9
Nueve
Lección
1

5 El profesor del 6° año presenta el siguiente problema:
“María juntó la harina que quedaba de 2 sacos.
En total obtuvo 6,32 kilogramos. Uno de ellos
contenía 4,35 kilogramos. ¿Qué cantidad de
harina había en el otro paquete?”.
Andrés realiza un modelo de barra para resolverlo. Completa los
datos en el modelo y luego escribe la expresión aritmética que
permite resolver el problema propuesto.
Expresión aritmética:
6
Inventa un problema que se pueda
resolver con la siguiente expresión
aritmética, y resuélvelo:
6,95 – 3,78 =
10
Lección
1
Diez

Actividad 3
Resolviendo problemas con fracciones y decimales
1
El profesor de matemática presenta el siguiente problema a
sus estudiantes:
“Juan dice que la altura
de su perro es 0,37
metros. Patricia dice que
su perro tiene una altura
de
1
2
metro. ¿Cuál de los
dos perros es más bajo?
¿Cuál es la diferencia
en metros entre las
alturas de ambos perros?
Isabel resuelve el problema
de la siguiente manera
1
2
– 0,37 =
0,5 – 0,37 =
0,50
– 0,37
0,13
4
La diferencia es
de 0,13 metros
11
Lección
1
Once

a ¿Es correcta la respuesta de Isabel? Explica lo que hizo
para resolver el problema.
b ¿Conoces otra forma de restar 1
2
– 0,37 ? Si es así,
resuélvelo, registrando el procedimiento que realizaste.
12
Lección
1
Doce

2 Marta compró 3
4
kilo de jamón y 0,25 kilo de queso.
¿Cuántos kilos pesó la compra de Marta?
Datos del problema
3
Un ciclista recorrió 18 kilómetros en un día. En la mañana
recorrió 7 3
4
de kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrió
durante la tarde?
Datos del problema
13
Lección
1
Trece

4
Camilo compró en el supermercado 2 1
4
kilogramos de
naranjas y algunas manzanas. El total de la compra pesó
3,35 kilogramos. ¿Cuántos kilogramos pesaron las manzanas?
Datos del problema
5
Luis mide 0,32 metros menos que Raquel. La altura de Luis
es de 1 1
2
metro. ¿Cuánto mide Raquel?
Datos del problema
14
Lección
1
Catorce

6
Observa la siguiente expresión
matemática:
3
4
5
– 1,35 =
Inventa un problema que se pueda resolver con la expresión
matemática anterior.
Responde a la pregunta de tu problema.
¡Muy bien!
15
Lección
1
Quince

Actividad 3
Resolviendo problemas de dos o más pasos con
fracciones y decimales
1 En el aeropuerto señalan que el equipaje de mano que puede
llevar un pasajero no puede ser superior a 5 kilogramos.
Esteban lleva un bolso que pesa 3,87 kilogramos y una
mochila que pesa 2,1 kilogramos. El peso que lleva Esteban,
¿está dentro de lo permitido en el aeropuerto?
Datos del problema
2
Un deportista obtuvo el primer lugar al lanzar la jabalina
a una distancia de 68,22 m superando en 1,13 m la distancia
lograda por quien obtuvo el segundo lugar y en 1,86 m al
competidor que salió tercero. ¿A cuántos metros lanzó la
jabalina el competidor que obtuvo el tercer lugar?
16
Dieciséis
Lección
1

Datos del problema
3
De un depósito con agua se sacan 184,5 l. y después 128 1
2
l.
Al final quedan en el depósito 160 l. ¿Qué cantidad de agua
había en el depósito?
Datos del problema
17
Diecisiete
Lección
1

4
En una competencia de 3 etapas un ciclista ha recorrido
140,8 km en la primera etapa, 136 3
4
km en la segunda
etapa. ¿Cuántos kilómetros recorrió en la tercera etapa si
la competencia tiene un recorrido total de 500 kilómetros?
“Se suma la
cantidad de kilómetros
que recorrió en la primera
y segunda etapa. Ese
resultado se le quita
a la cantidad total
de kilómetros”.
Juan dice que se resuelve
de la siguiente manera:
“A la cantidad
total de kilómetros
se le quita lo que
recorrió en la primera
etapa y luego se le quita
lo que recorrió en la
segunda etapa”.
Ana dice que se resuelve
de la siguiente manera:
a Analiza los procedimientos que utilizaron Juan y Ana y
comenta los procedimientos realizados por ambos. ¿Cuál
utilizarías tú? Justifica tu respuesta.
18
Dieciocho
Lección
1

¡Muy bien!
Actividad de Cierre
1 Analiza el siguiente problema.
El consumo de un camión durante el primer día de viaje es
de 21,35 litros de combustible, el segundo día de 15,06 litros
de combustible y el tercer día de 21,5 litros de combustible.
Sabiendo que el depósito tiene una capacidad de 80 litros
en total, ¿qué cantidad de combustible le quedó?
19
Diecinueve
Lección
1

2 Resuelve el problema siguiendo los pasos que nombraste.
3 ¿Qué procedimiento se debe hacer para resolver una
operación entre un número decimal y una fracción?
¡Felicitaciones!
20
Veinte
Lección
1

Lección 2
Multiplicación con números decimales.
En esta lección aprenderás a multiplicar y dividir con números
decimales
Actividad 1
Multiplicación de un número decimal hasta la
décima por un número de un dígito
1
Para construir un disfraz, tres amigos debían recortar
algunas cintas de color.
Diego
La cinta que
yo recorté mide
0,8 metros.
Pablo
La mía
quedó de 0,3
metros.
Paz
Mi cinta
mide 0,7
metros.
a Pablo recorta 4 cintas y las une por sus extremos sin
superponerlas, tal como se muestra en la imagen.
21
Veintiuno
Lección
2

¿Cuántos metros mide el largo de la nueva cinta?
b Para saber el nuevo largo de la cinta, Pablo utiliza la recta
numérica. Completa donde corresponda.
0 1 2 3
0,
4 • 0,3
0,3 =
3
10
4 •
3
10 =
3
10 +
3
10 +
3
10 +
3
10 =
Escrito en su forma decimal es
22
Veintidós
Lección
2

c Diego cortó 3 cintas y las unió por los extremos sin
superponerlas, de la misma manera que Pablo. ¿Cuál es el
largo en metros de la nueva cinta? Apóyate con el uso de la
recta numérica.
3 veces 0,8 = 3 • 0,8 = 0,8 • 3 = + + =
La nueva cinta mide metros.
0 1 2 3
d Paz cortó 5 cintas y las unió por los extremos sin
superponerlas. ¿Cuál es el largo en metros de la nueva
cinta? Apóyate con el uso de la recta numérica.
5 veces 0,7 = 5 • 0,7 = 0,7 • 5 = + + + + =
La nueva cinta mide metros.
0 1 2 3
23
Veintitrés
Lección
2

2 Resuelve las siguientes multiplicaciones, apoyándote con el
uso de la recta numérica.
a 0,9 • 4 =
0 1 2 3 4 5
Registra aquí los cálculos que realizaste.
b 0,6 • 6 =
0 1 2 3 4 5
24
Veinticuatro
Lección
2

c 1,3 • 4 =
0 1 2 3 4 5
25
Veinticinco
Lección
2

3 Escribe como fracción decimal cada multiplicación y
su resultado, según el diagrama. Observa el ejemplo y
completa según corresponda.
a 0,6 • 3 =
0,6 • 3 =
6
10 +
6
10 +
6
10 =
b • 4 =
26
Veintiséis
Lección
2

Escribe aquí tus cálculos.
c 0,8 • =
Escribe aquí tus cálculos.
27
Veintisiete
Lección
2

4
Expresa cada decimal como una fracción y luego multiplica.
Escribe el desarrollo en tu cuaderno.
a 1,2 • 3 = b 0,9 • 4 = c 2,5 • 5 =
5 Observa las siguientes imágenes que muestran los alimentos
para mascotas que tienen a la venta en un almacén y luego
responde las preguntas.
7,5 kilogramos 4,3 kilogramos 2,7 kilogramos
Alimento de perro Alimento de gato Alimento de hámster
a Gabriela compró 3 bolsas de alimento de perro. ¿Cuántos
kilogramos de alimento para perro compró en total? Escribe
aquí tus cálculos.
28
Veintiocho
Lección
2

b Rafael se lleva 2 bolsas de alimento de hámster. ¿Cuántos
kilogramos de alimento para hámster tiene en total? Escribe
c Lucía compra 4 bolsas de alimento de gato. ¿Cuántos
kilogramos de alimento para gato compró en total? Escribe
¡Muy bien!
29
Veintinueve
Lección
2

Actividad 2
Orden de números decimales
1 Para la clase de deporte, los niños y niñas tuvieron que dar
una vuelta al patio. En la tabla se muestran los tiempos
tomados por el profesor.
C D U d c m
11 1 1
11 • 10 1 1 0
1
1 • 10
0,1
0,1 • 10
0,11
0,11 • 10
a Comparte tus procedimientos con tus compañeros y
compañeras. ¿Qué procedimientos distintos utilizaron
para realizar las multiplicaciones?
30
Treinta
Lección
2

b ¿Qué procedimiento se puede utilizar para multiplicar 10 por
un número natural de forma rápida y sin realizar el cálculo?
c ¿Qué procedimiento se puede utilizar para multiplicar 10 por
un número decimal de forma rápida y sin realizar el cálculo?
2 Completa lo que dice Lucía.
Para multiplicar un número
por 10 de manera rápida, solo
hay que correr la decimal un
lugar hacia la derecha
31
Treinta y uno
Lección
2

3 Resuelve las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno.
a 34 • 10 = b 125 • 10 = c 456 • 100 =
d 0,1 • 10 = e 1,1 • 10 = f 3,2 • 10 =
Actividad 3
Multiplicación de un número decimal por un
múltiplo de 10
1 Saúl resolvió la multiplicación 45 • 20 de la
siguiente manera. Completa donde corresponda.
45 • 20 =
45 • 2 =
90 • 10 =
a ¿Qué es lo que hizo Saúl para resolver la multiplicación?
32
Treinta y dos
Lección
2

b Utiliza el procedimiento anterior para resolver la
multiplicación 0,4 • 30 . Explica a tu compañero o compañera
tu procedimiento.
2
Resuelve las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno,
utilizando el procedimiento anterior
a 1,2 • 20 = b 4,5 • 30 = c 0,8 • 50 =
d 0,6 • 40 = e 12,6 • 30 = f 35,7 • 20 =
3 Completa lo que dice Lucía.
Para multiplicar un número
por un múltiplo de 10, hay que
el múltiplo en 10 por el dígito correspondiente.
Luego el dígito por el número.
Ese resultado se por 10.
33
Treinta y tres
Lección
2

Actividad 4
Multiplicación de un número decimal por un
número decimal
1 Observa la manera en que Felipe resolvió la multiplicación
2,3 • 4. Completa donde corresponda.
Paso 1 • 4
Paso 2 + + +
Paso 3
23 + 23 + 23 + 23

10
Paso 4
23 • 4
10
Paso 5 = 9,2
a Luego de realizar
la multiplicación
Felipe llega a esta
conclusión:
Multiplicar 2,3 • 4 es lo
mismo que multiplicar 23 • 4.
Como solo hay una cifra decimal,
ubico la cifra decimal en el
resultado, por lo que sería 9,2.
34
Treinta y cuatro
Lección
2

¿Estás de acuerdo con la conclusión de Felipe?
2
Utiliza el procedimiento de Felipe para resolver las
siguientes multiplicaciones en tu cuaderno.
a 23,5 • 5 = b 2,8 • 9 = c 3,6 • 6 =
3
Carolina, que escucha la conclusión de Felipe, resuelve la
siguiente multiplicación.
Ubico la coma
separando 2 posiciones
decimales, por lo que el
resultado es 9,45.
La suma
de las posiciones
decimales es 2.
3, 5 • 2, 7 35 • 27
245
70
945
a ¿Estás de acuerdo con el planteamiento de Carolina?
Justifica tu respuesta.
35
Treinta y cinco
Lección
2

4 Completa lo que dice Carolina.
Para multiplicar dos números ,
se multiplican como si fuesen naturales. Se cuentan la
cantidad total de cifras que hay entre los
y se ubica la coma en el producto,
contando la misma cantidad de cifras decimales.
5
Resuelve las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno,
utilizando el método de Carolina.
a 6,2 • 5,3 = b 12,7 • 3,6 =
c 4,89 • 3,2 = d 5,012 • 4,7 =
6 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
a En una bandeja se guardan 0,25 kilogramos de jamón.
¿Cuántos kilogramos de jamón hay en 7 bandejas?
b El peso de una moneda de 500 pesos es de 7,58 gramos.
• ¿Cuántos gramos pesan 10 monedas de $500?
• ¿Cuántos gramos pesan 100 monedas de $500?
36
Treinta y seis
Lección
2

c El largo de un terreno rectangular es de 9,4 metros,
mientras que su ancho es de 4,12 metros. ¿Cuál es el área
del terreno?
d En la construcción de un edificio están instalando las
tuberías para el agua. Cada tubo para la tubería mide
13,75 m y han colocado 4,5 tubos. ¿Cuántos metros de
tubería han instalado?
e Juan camina 1,47 kilómetros en una hora. ¿Cuántos
kilómetros caminará en 3,2 horas?
Actividad de Cierre
1
En el almacén de doña Mercedes se venden los siguientes
productos.
Bolsa A
Bolsa chocolates
0,7 kilogramos
Bolsa B
Bolsa chocolates
0,4 kilogramos
Bolsa C
Bolsa chocolates
0,5 kilogramos
37
Treinta y siete
Lección
2

Gabriel va al almacén y compra 4 bolsas de chocolate de 0,5
kilogramos. ¿Cuántos kilos de chocolate compró en total?
Registra tu desarrollo.
2
Luisa va al almacén y compra 10 bolsas de 0,7 kilogramos.
¿Cuánto chocolate compra en total? Registra tu desarrollo.
38
Treinta y ocho
Lección
2

3
Felipe compra 30 bolsas de 0,4 kilogramos. ¿Cuántos
kilogramos compró en total? Registra tu desarrollo.
4 ¿Qué dificultades tuviste al momento de realizar las
multiplicaciones? ¿Las pudiste superar?
¡Muy bien!
39
Treinta y nueve
Lección
2

Lección 3
División con números decimales
En esta lección aprenderás a dividir con números decimales.
Actividad 1
División de un número decimal por un
número natural
1 La mamá de Pablo y Paz necesita llenar bolsas con harina
para venderlas en su almacén. Para ayudarla, toman las
siguientes cantidades de harina.
Yo tengo 2,8
kilogramos de
harina.
Yo 1,75
kilogramos de
harina.
Paz
Pablo
Pablo debe hacer 4 bolsas de tal manera
que todas tengan la misma cantidad
de harina. ¿Cuántos kilogramos tendrá
cada bolsa?
Para saber cuántos kilogramos de harina
quedan en cada bolsa, puedes usar una
representación gráfica de 2,8.
40
Cuarenta
Lección
3

a Reparte los 28 décimos en 4 partes iguales y luego cuenta
los que quedan en cada bolsa.
2,8 : 4 =
Quedan décimos en cada bolsa.
b ¿Cómo lo hiciste para saber cuántos décimos quedan en
cada bolsa?
c Paz tiene que hacer 5 bolsas con la misma cantidad de
harina cada una. ¿Cuántos kilogramos de harina quedan en
cada bolsa?
41
Cuarenta y uno
Lección
3

d Reparte los 175 centésimos en 5 partes iguales y luego
cuenta los que quedan en cada bolsa.
1,75 : 5 = Quedan centésimos en cada bolsa.
e ¿Cómo lo hiciste para saber cuántos centésimos quedan en
cada bolsa?
2 Representa gráficamente cada división y determina el
cociente.
a 5,4 : 6 = b 2,4 : 3 =
42
Cuarenta y dos
Lección
3

c 4,25 : 5 = d 1,92 : 6 =
3 Juan resuelve la división 1,8 : 6 utilizando la recta numérica.
Completa la siguiente representación según corresponda.
0 1 2
43
Cuarenta y tres
Lección
3

4 Resuelve las siguientes divisiones utilizando la recta
numérica:
0 1 2
a 1,2 : 3 =
b 3,3 : 3 =
5
4
3
2
1
0
c 5,4 : 9 =
5
4
3
2
1
0
44
Cuarenta y cuatro
Lección
3

d 4,8 : 8 =
5
4
3
2
1
0
e 5,6 : 7 =
5
4
3
2
1
0
5
Observa cómo resolvió Pablo la división 7,92 : 6. Completa
los recuadros según corresponda.
Como 7,92 son
792 centésimas
entonces hago
la divisón.
Como son 132
décimas entonces
7,92 : 6 = 1,32.
792 : 6 = 792 : 6 = 1 2
- 6
- 18
12
-
0
45
Cuarenta y cinco
Lección
3

a ¿Estás de acuerdo con el procedimiento de Pablo? Justifica
tu respuesta.
b Paz, observó lo que hizo Pablo y se dio cuenta de lo
siguiente.
Como tengo
que "bajar" la
primera cifra
decimal, coloco
la coma en el
cociente y sigo
dividiendo.
792 : 6 = 132
- 6
1
- 19
12
- 12
0
7,92 : 6 = 1
- 6
1
7,92 : 6 =
1,3
- 6
1
- 19
1
c ¿Estás de acuerdo con el procedimiento de Paz? ¿Sí? ¿No?
¿Por qué?
46
Cuarenta y seis
Lección
3

6
Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones,
utilizando el procedimiento de Paz.
a 19,14 : 3 = b 9,6 : 4 =
c 7,2 : 8 = d 8,568 : 4 =
Actividad 2
División de un número decimal por 10, 100 o 1000
1 Resuelve las siguientes divisiones utilizando la recta
numérica.
0 1 2
a 2 : 10 =
0 1 2
b 0,2 : 10 =
47
Cuarenta y siete
Lección
3

2 Completa la siguiente tabla de valor posicional con el
número decimal y el cociente de la división dada.
Número C D U d c m
2
2 : 10
0,2
0,2 : 10
0,22
0,22 : 10
a ¿Qué pasó con los dígitos de cada número al dividir por 10?
Fundamenta tu respuesta.
3 Completa lo que dice Paz.
Para dividir un número
por 10 existe una forma rápida de hacerlo sin calcular.
Basta con mover la decimal,
un lugar hacia la .
48
Cuarenta y ocho
Lección
3

4 Realiza las siguientes divisiones en tu cuaderno utilizando
el procedimiento que propone Paz en el punto anterior.
a 6,3 : 10 = b 25,36 : 10 =
c 35 : 10 = d 0,456 : 10 =
5 El profesor de un 6° Básico pide al curso resolver
la división 120:30. Diego sale a la pizarra y
realiza el siguiente procedimiento.
120 : 30 = 120 : 3 : 10 =
= 40 : 10
= 4
a Describe el procedimiento que utilizó Diego para resolver
la división.
49
Cuarenta y nueve
Lección
3

b Resuelve la división 50,6 : 40 utilizando el procedimiento
de Diego.
6 Resuelve las siguientes divisiones en tu cuaderno, utilizando
el método de Diego.
a 95,5 : 50 = b 39,56 : 10 = c 12,358 : 100 =
d 448,6 : 200 = e 5,3569 : 1000 =
Actividad 3
División de un número decimal por un decimal
1 Pablo tiene 4,5 kilogramos de harina. Debe hacer bolsas que
contengan 0,5 kilogramos de harina cada una.
a ¿Qué operación tiene que hacer Pablo para saber la
cantidad de bolsas que necesita?
50
Cincuenta
Lección
3

b Pablo utilizó una representación gráfica del dividendo
para saber cuántas bolsas necesitaba. Luego representó
el divisor en el dividendo todas las veces que pudo.
¿Cuántas veces pudo
representar 0,5 en 4,5?
.
4,5 : 0,5 =
2 Diego tiene 2,56 kilogramos de harina y los quiere distribuir
en bolsas de 0,32 kilogramos de harina.
a ¿Qué operación tiene que hacer Diego para saber la cantidad
de bolsas que necesita? Anota la expresión matemática que
lo permite.
51
Cincuenta y uno
Lección
3

3 Resuelve la división utilizando la representación gráfica.
Determina la cantidad de veces que está contenido 0,32
en 2,56.
2,56 : 0,32 =
4 Representa gráficamente cada división y determina el
cociente.
a 4,9 : 0,7 = b 1,56 : 0,26 =
52
Cincuenta y dos
Lección
3

5 El profesor de 6° Básico presenta la división 3,20 : 0,20.
Observa cómo determina el cociente Diego. Completa
donde corresponda.
20 centésimas se
pueden representar
veces en 320
centésimas, por lo que:
3,20 : 0,20 =
.
a ¿Cómo sabemos cuántas veces se puede representar 20
centésimas en 320 centésimas, sin representarlas?
53
Cincuenta y tres
Lección
3

b ¿Como podrías dividir 7,38 : 1,23 sin hacer la representación
gráfica? Escribe cómo lo harías tú.
c Observa el procedimiento que utilizó Paz.
738 : 123 = 6
- 738
0
7,38 : 1,23
7,38 tiene 2 cifras
decimales
1,23 tiene 2 cifras
decimales
7,38 · 100 =738
1,23 · 100 =123
d ¿Estás de acuerdo con el procedimiento de Paz? ¿Sí? ¿No?
¿Por qué?
54
Cincuenta y cuatro
Lección
3

6 Resuelve las siguientes divisiones en tu cuaderno
a 16,56 : 0,72 = b 29,04 : 2,42 =
c 20,88 : 2,4 = d 14,835 : 3,45 =
7 Completa lo que dice Paz.
Para dividir un número por
otro número decimal se cuentan las cifras decimales del
del dividendo y las cifras decimales del y
multiplico ambos números por 10, o 1000
según el que tenga mayor cantidad de
decimales. Luego se resuelve la división.
55
Cincuenta y cinco
Lección
3

8 Resuelve los siguientes problemas:
a El área de un rectángulo es de 5,538 cm2
. Un lado del
rectángulo mide 4,26 cm. Determina la medida del otro lado.
b Un mesero tiene que repartir 3,15 kilogramos de sal en
los 12 saleros de un restaurante. Cada salero tiene una
capacidad de 0,25 kilogramos. ¿Se pueden llenar todos los
saleros? Justifica tu respuesta.
56
Cincuenta y seis
Lección
3

Actividad de Cierre
1
En el almacén de doña Mercedes se venden los siguientes
frutos secos en bolsas, como se muestra en la imagen.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, explica
tu procedimiento y completa los carteles.
Maní
0,754
kilogramos
Almendra
kilogramos
Nuez
kilogramos
Pasa
kilogramos
a Doña Mercedes tiene 2,94 kg de nuez. Los reparte
equitativamente en 6 bolsas. ¿Cuántos kg de nuez
quedan en cada bolsa?
b Doña Mercedes reparte equitativamente 2,19 kg de
almendras en 10 bolsas. ¿Cuántos kg de almendras queda
en cada bolsa?
57
Cincuenta y siete
Lección
3

c Tenía 12,8 kg de pasas. Los repartió en bolsas de forma
equitativa. En cada bolsa quedaron 0,8 kg. ¿Cuántas
bolsas ocupó?
d Escribe en tu cuaderno el procedimiento para realizar las
siguientes divisiones:
• Un número decimal dividido por un número natural.
• Un número decimal dividido por 10, por 100 o por 1000.
• Un número decimal por un número decimal.
¡Muy bien!
58
Cincuenta y ocho
Lección
3

Lección 4
Razones
En esta lección interpretarás la información que entregan
las razones.
Actividad 1
Representación y significado de la razón
1
Todos los viernes Pablo sale a correr en la mañana y en la
tarde. Por cada 1 kilómetro que corre en la mañana, corre
2 kilómetros en la tarde. Si en la mañana de un viernes
corrió 3 kilómetros:
a ¿Cuántos kilómetros corrió en la tarde? Para resolver el
problema podemos representar la situación.
1 kilómetro tarde 1 kilómetro tarde
1 kilómetro mañana
Pinta la siguiente representación gráfica para responder a
la pregunta del problema.
Respuesta: En la tarde corrió kilómetros.
59
Cincuenta y nueve
Lección
4

Un viernes corrió 4 kilómetros en la tarde. ¿Cuántos
kilómetros recorrió en la mañana?
Pinta la siguiente representación gráfica para responder la
pregunta del problema.
2
Observa la imagen de la tienda de mascotas y completa
con una V de verdadero o F de falso las afirmaciones.
Justifica cada respuesta.
60
Sesenta
Lección
4

a Por cada 4 gatos hay 6 perros.
Justificación
b Por cada 4 gatos hay 2 aves.
Justificación
c Por cada 2 aves hay 6 gatos
Justificación
3
En una receta para preparar un queque dice: por cada 2
tazas de azúcar, ponemos 4 tazas de harina.
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de azucar
1 taza
de azucar
1 taza
de harina
1 taza
de harina
Si ponemos 4 tazas de azúcar, ¿cuántas tazas de harina
habría que poner? Fundamenta tu respuesta apoyándote en
la representación gráfica (cada celda equivale a 1 taza).
61
Sesenta y uno
Lección
4

Escribe aquí tu desarrollo.
4 Completa lo que dice Ramón.
Por cada 2 tazas de azúcar se agregan
de harina. Eso quiere decir que por
cada 2 partes de azúcar, se tienen 4 partes de harina.
5 Completa lo que dice Francia.
La razón entre dos cantidades es una comparación
mediante un cociente. La razón entre la cantidad de tazas de
azúcar y la cantidad de tazas de se puede
escribir como "2 es de 4" y se puede expresar 2: o
4
.
62
Sesenta y dos
Lección
4

6
En una librería venden lápices de pasta rojos y azules. Los
dueños saben que la razón entre ventas de lápices rojos y
azules por día es 3 : 5 respectivamente.
a Representa en el diagrama la razón 3 : 5.
b Explica qué significa que la razón sea 3 : 5
c La librería vendió 9 lápices rojos el domingo. ¿Cuántos
lápices azules vendió? ¿Cómo explicarías a tu compañero o
compañera cómo determinaste tu respuesta?
63
Sesenta y tres
Lección
4

7
Escribe la razón para cada situación dada y responde las
preguntas.
Contexto Información Razón
Sala de clases
En la sala de clases hay
5 niños por cada 2 niñas.
5 : 2
Preparación
receta
Por cada 5 tazas de agua,
poner 2 tazas de harina
Deporte favorito
Por cada 5 estudiantes que
juegan fútbol hay 2 que no
juegan ningún deporte.
a Si observas las razones de cada contexto, ¿en qué se
parecen entre sí?
b ¿Qué es lo que cambia en cada razón? Explica.
8
Representa en el diagrama la razón dada e inventa un
contexto para dar información.
a 4 : 5
64
Sesenta y cuatro
Lección
4

Contexto e información.
b 5
3
c 2 es a 6
65
Sesenta y cinco
Lección
4

Actividad 2
La razón como parte de un todo
1
Observa la siguiente imagen y escribe las razones
solicitadas.
a La razón entre niños y niñas es a .
b La razón entre las personas sentadas y de pie es .
c La razón entre personas con lentes y sin lentes es
: .
66
Sesenta y seis
Lección
4

d La razón entre las personas sin lentes y con lentes es:
: .
2 Al analizar los resultados de una prueba de matemática, la
profesora dice que por cada 7 respuestas correctas, hay 2
respuestas incorrectas. Completa donde corresponde.
a La razón entre la cantidad de respuestas correctas y
respuestas incorrectas .
b La razón 9 : 7 indica que por cada
respondidas hay 7 preguntas .
c La razón 9 : 3 indica que por cada 9 preguntas respondidas
hay .
3 En una escuela la razón entre niños y niñas es 3 : 2. Hay 100
estudiantes en total en la escuela. ¿Cuántos niñas hay?
67
Sesenta y siete
Lección
4

4 Laura le comenta a su amiga Francia que, en una prueba, la
cantidad de respuestas correctas e incorrectas que obtuvo
se encuentran en la razón 11 : 5 respectivamente. Observa
lo que dice Francia.
Si la razón entre la cantidad de
respuestas correctas e incorrectas
es 11 : 5, entonces la prueba tenía
16 preguntas en total.
¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Francia?
5 En una competencia de básquetbol, por cada 20 personas
que asistieron, 13 de ellas apoyan al equipo A y 7 apoyan al
equipo B. Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno.
a ¿Qué información entrega la razón 13 : 7?
b ¿Qué información entrega la razón 7 : 13?
c ¿Qué información entrega la razón 20 : 7?
d ¿Qué información entrega la razón 20 : 13?
68
Sesenta y ocho
Lección
4

Actividad 3
Razones equivalentes
1
Ramón y Ana cocinan un queque. Observa la cantidad de
harina y azúcar que ocupan cada uno y escribe la razón
entre esas cantidades.
Nombre Cantidades
Ramón Por cada 3 tazas de harina ocupa 2 tazas de azúcar.
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de azucar
1 taza
de azucar
La cantidad de harina y azúcar están en la razón
Ana Por cada 6 tazas de harina ocupa 4 tazas de azúcar.
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de azucar
1 taza
de azucar
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de harina
1 taza
de azucar
1 taza
de azucar
La cantidad de harina y azúcar están en la razón
69
Sesenta y nueve
Lección
4

a ¿Qué puedes decir acerca de la razón 3
2
y la razón 6 : 4?
b ¿Qué son las razones equivalentes? Investiga con tu
profesor o profesora la respuesta.
c Pinta los recuadros con las razones equivalentes en
cada caso.
• 1
2

2
4

3
5

4
8

10
12
• 5
2

7
4

15
6

20
17

25
10
70
Setenta
Lección
4

2 En un curso 18 estudiantes llevan teléfono celular a su
escuela y 24 estudiantes no llevan. Observa lo que dice
Ana y Ramón.
3 de cada 4
estudiantes lleva celular
a la escuela por lo que la
razón es 3 : 4 .
6 de cada 8
estudiantes llevan
celular a la escuela,
por lo que la razón
es 6 : 8 .
Ramón Ana
a ¿Quién está en lo correcto, Ana o Ramón? Justifica tu
respuesta.
b Se mantiene la misma razón anterior. Si son 700 alumnos,
¿cuántos llevan celular? Explica cómo obtuviste tu resultado.
71
Setenta y uno
Lección
4

3 Felipe dice que 2 de cada 5 estudiantes están de
cumpleaños en el mes de agosto. Gabriela dice que 6 de
cada 15 compañeros lo están. ¿Quién está en lo correcto?
Actividad 4
Resolviendo problemas
1
Un periódico señala que 5 de cada 7 estudiantes
universitarios desea continuar estudios en el extranjero.
a Escribe la razón entre los estudiantes que quieren estudiar
en el extranjero y los estudiantes que no quieren hacerlo.
72
Setenta y dos
Lección
4

b De 1 400 estudiantes universitarios, ¿cuántos de ellos
querrían estudiar en el extranjero?
2
En un concierto de música chilena, la razón entre
la cantidad de hombres y mujeres que asiste es 6
11
respectivamente. Si asistieron 385 mujeres, ¿cuántos
hombres asistieron?
3
Se aplica una encuesta a personas de una comuna acerca
de la dirección del alcalde. En ella se obtiene que la
cantidad de personas que aprueban su dirección y las que
no aprueban están en la razón 2 : 3. Las personas que
aprueban son 1 084. ¿A cuántas personas se les aplicó la
encuesta? Explica tu procedimiento.
73
Setenta y tres
Lección
4

4
La razón entre el lado más corto y el lado más largo de un
rectángulo es la razón 3 : 7. Si el lado más largo mide 28 cm,
¿cuántos centímetros mide el lado más corto?
5
La razón entre el área de un rectángulo y su lado más largo
es 5 : 2 . Si el lado más largo mide 8 cm, ¿cuánto mide el lado
más corto?
74
Setenta y cuatro
Lección
4

Actividad de Cierre
Francisca preparará algunas tartaletas y queques para vender
en la feria de la escuela. Fue al almacén a comprar algunos
ingredientes: 2,15 kilos de harina, 2,255 kilos de azúcar, 0,7 kilos
de frutilla, 1,25 kilos de frambuesa, 1,2 kilos de arándanos, 0,125
kilos de polvos de hornear.
1 Para hacer una tartaleta por cada 1 taza de azúcar ocupa 2
tazas de harina. ¿Cuál es la razón entre estas cantidades?
Represéntalas gráficamente.
75
Setenta y cinco
Lección
4

2
Para hacer un queque las tazas de harina y de azúcar que
utiliza están en la razón 3 : 2. ¿Cuántas tazas de harina y
de azúcar utilizará para hacer 3 queques? Explica cómo lo
resolviste.
3 La razón entre la cantidad de arándanos y frutillas que
utilizará para las tartaletas es 2 : 5. Si ocupa 30 g de
frutillas, ¿cuántos gramos de arándanos utilizará?
4 Explica con tus palabras qué significa que las frambuesas y
las frutillas estén en la razón 3:4.
76
Setenta y seis
Lección
4

Lección 5
Porcentajes
En esta lección aprenderás a calcular porcentajes y a resolver
problemas que lo involucran.
Actividad 1
Porcentajes
1 En una escuela se realizó una encuesta para conocer el
deporte favorito de los estudiantes de 5° a 8° básico. A
continuación, se presentan los resultados de la encuesta.
Deporte Cantidad Estudiantes
Natación
Fútbol
Básquetbol
Voleibol
77
Setenta y siete
Lección
5

a Representa gráficamente las cantidades de cada respuesta
dada por los alumnos y las alumnas del colegio respecto
de su deporte favorito. Utiliza diferentes colores para
cada deporte.
Natación
Fútbol
Básquetbol
Voleibol
b La razón entre personas que escogieron fútbol y el total de
personas que contestaron la encuesta.
c La razón entre personas que escogieron básquetbol y el
total de personas que contestaron la encuesta.
d La razón entre personas que escogieron natación y el
total de personas que contestaron la encuesta.
78
Setenta y ocho
Lección
5

e La razón entre personas que escogieron voleibol y el total
de personas que contestaron la encuesta.
2 Observa lo que dice Fanny y luego completa donde
corresponda.
Un porcentaje, es una forma de comparar
dos cantidades y corresponde a una razón cuyo consecuente
es 100. En el caso de los estudiantes que escogieron fútbol,
la razón es
50
100
y en porcentaje se escribe 50%. Es decir,
el 50% de los estudiantes prefiere el fútbol.
a El % de los estudiantes prefieren la natación.
b El % de los estudiantes prefieren el básquetbol.
c El % de los estudiantes prefieren el voleibol.
d La suma de los porcentajes de las diferentes preferencias de
cada deporte corresponde al % .
79
Setenta y nueve
Lección
5

3 La siguiente representación muestra la cantidad de libros
de una tienda.
Infantiles
Ciencia Ficción
Dramas
Recetas
a La razón entre los libros infantiles y libros totales es
lo que corresponde al % .
b La razón entre los libros de drama y los libros totales es
lo que corresponde al % .
¡Muy bien!
80
Ochenta
Lección
5

4 Expresar como razón y luego como porcentaje.
Información Razón Porcentaje
a
15 de cada 100 personas, practican
algún deporte. %
b
Luis acierta 38 lanzamiento de
100, en un juego de básquetbol. %
c
27 de cada 100 alumnos, leen
mensualmente un libro. %
5
Los resultados de una encuesta establecen que 20 de cada
50 personas realizan algún deporte.
Personas que
hace deporte
Por cada Razón entre la cantidad de personas
que hacen deporte y personas totales
20 50
20
50
40 100
60 150
80
200
81
Lección
5

a ¿Las razones son equivalentes entre sí? Justifica tu
respuesta.
b El profesor pregunta al curso: ¿Cuál es el porcentaje asociada
a la razón 20
50
? Observa la respuesta que dio José.
Por cada 50 personas, 20 hacen ejercicios.
La razón es
20
50
. Como esa razón es equivalente
a
40
100
entonces corresponde al 40%.
¿Estás de acuerdo con el razonamiento de José? Justifica.
c ¿Cómo es el porcentaje de cada una de las razones de la tabla?
82
Ochenta y dos
Lección
5

6
Los resultados de una encuesta establecen que 20 de cada
50 personas realizan algún deporte.
Deporte Cantidad
Estudiantes
Razón Porcentaje
Rojo 5
Azul 7
Verde 9
Amarillo 4
a Explica cómo obtuviste el porcentaje en cada caso.
b Completa lo que dice José.
Una forma de saber el porcentaje que representa una
fracción es o
la fracción para obtener una fracción equivalente de
denominador .
83
Ochenta y tres
Lección
5

6 Escribe a qué porcentaje corresponde cada razón.
a 1
5
= % b
1
4
= %
c
320
500
= % d
1
2
= %
e 3
5
= % f
60
200
= %
7 Escribe cada uno de los siguientes porcentajes como fracción.
a 25% = b 40% =
c 80% = d 15% =
e 60% = f 75% =
8 Escribe una forma para saber la fracción que representa
un porcentaje.
84
Ochenta y cuatro
Lección
5

9
Una máquina fabrica al día 400 piezas de las que 32
presentan algún defecto y se desechan.
a ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabrica la máquina?
b Representa el porcentaje.
Actividad 2
Porcentaje como número decimal
1 Escribe el siguiente porcentaje como fracción.
45%
85
Ochenta y cinco
Lección
5

a Escribe la fracción como número decimal.
b Escribe los siguientes porcentajes como número decimal.
• 36% = • 86% =
• 62% = • 24% =
• 51% =
2 Escribe el porcentaje que corresponde a cada una de las
siguientes representaciones y luego escríbelo como fracción
y número decimal.
Representación Porcentaje Fracción Decimal
86
Ochenta y seis
Lección
5

3 Escribe los siguientes números decimales como fracción.
a 0,35 = b 0,49 =
c 0,61 = d 0,96 =
4 Escribe como decimal y porcentaje cada una de las
fracciones representadas gráficamente.
a
1/10
0 1
b
0 1
4/10
c
0 1
8/10
87
Ochenta y siete
Lección
5

d
0 1
7/10
Actividad 3
Porcentaje como número decimal
1
Observa el artículo
que salió en un
diario de un pueblo
con 400 habitantes.
Diario
El Noticioso
El 17% de los y las
habitantes del pueblo
tiene un tatuaje.
a ¿Cómo se interpreta esa información?
88
Ochenta y ocho
Lección
5

b ¿Cuántas personas del pueblo tienen un tatuaje?
c Analiza junto a tus compañeros y compañeras lo que hizo
Fanny para encontrar el 17% de 400.
17% es lo mismo que 17
100
17
100
es lo mismo que 0,17. Para encontrar el
17% de 400 hay que realizar la siguiente
multiplicación: 0,17 • 400
2
Calcula los siguientes porcentajes utilizando el procedimiento
de Fanny. Escribe el desarrollo en tu cuaderno.
a 75% de 200 b 25% de 60
c 20% de 30 d 50% de 162
89
Ochenta y nueve
Lección
5

Resuelve los siguientes problemas.
3 Según un estudio realizado en el año 2018 en Chile, 16 de
cada 25 hogares tienen alguna mascota.
a ¿Qué porcentaje de hogares tienen mascota?
b En una población con 750 hogares, ¿cuántos hogares
tienen mascota?
90
Noventa
Lección
5

c Un concesionario tiene 420 automóviles, el 35% de ellos son
blancos y el 5% rojos. ¿Cuántos coches de cada color hay?
d En una tienda de artículos deportivos, el 40% de los balones
que tiene son de fútbol y el otro 60% son de básquetbol. Si
hay 600 balones de fútbol, ¿cuántos balones hay en total?
91
Noventa y uno
Lección
5

e Lara respondió correctamente el 80% de las preguntas de
una prueba de inglés y omitió el 5%. Si la prueba tenía un
total de 160 preguntas, ¿cuántas preguntas contestó de
manera incorrecta?
Actividad de Cierre
Para la competencia de ciclismo de niños y niñas exploradoras, se
organizó un largo recorrido por etapas diarias. En la etapa 1 debían
recorrer 50%, en la segunda etapa debían recorrer 15 kilómetros
y con la etapa 3 debían completar 20% kilómetros recorridos. El
recorrido total de la competencia es de 60 kilómetros.
1 ¿Cuántos kilómetros deben recorrer en la etapa 1? Registra
tu desarrollo.
92
Noventa y dos
Lección
5

2
¿Qué porcentaje del recorrido deben cubrir en la etapa 2?
Registra tu desarrollo.
93
Noventa y tres
Lección
5

3
¿Cuántos kilómetros recorren en la etapa 3? Registra tu
desarrollo.
4
Representa cada porcentaje de las etapas en el siguiente
diagrama. Utiliza distintos colores.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
94
Noventa y cuatro
Lección
5

5 Escribe cada porcentaje como fracción y decimal.
Fracción: .
Decimal: .
6 ¿Qué es un porcentaje? Defínelo con tus palabras.
¡Muy bien!
95
Noventa y cinco
Lección
5

Unidad 1 - Descubriendo nuestras raíces
Síntesis
Unidad 3
Responde las siguientes preguntas, de acuerdo a las indicaciones
de tu profesor o profesora.
1
¿Resuelve el siguiente problema y explica paso a paso cómo
lo hiciste. Carlos fue a la feria. El compró 2,2 kg de manzanas
rojas y algunas manzanas verdes. Si en total compró 5
3
5
kg
de manzanas, ¿cuántos kg de manzanas verdes compró?
96
Síntesis
Noventa y seis

2 Resuelve los siguientes problemas y explica cómo lo hiciste:
a Una empresa sacó una promoción de arroz de modo que
cada paquete venía con 1,25 kg. Si la mamá de Juan compró
3 paquetes, ¿cuántos kg de harina compró?
b Pamela fue a la feria y compró 7,2 kg de 6 distintas frutas.
Si de cada fruta compró la misma cantidad, ¿cuántos kg de
cada fruta compró?
97
Síntesis
Noventa y siete

3
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de
números decimales y explica cómo lo hiciste.
a 1,2 • 3 =
b 3,6 : 6 =
98
Síntesis
Noventa y ocho

c 4,75 • 2,1 =
d 7,25 : 5,3 =
e 5,318 • 100 =
99
Síntesis
Noventa y nueve

f 16,342 : 100 =
g 7,28 • 30 =
h 10,20 : 20 =
100
Síntesis
Cien

4
Resuelve el siguiente problema y explica cómo lo hiciste:
En una villa, la razón entre menores de edad y adultos
es 4 es a 7. Si en la villa viven 583 personas, ¿cuántos son
menores de edad y cuántos son adultos?
5
Carla fue al mall a comprar una blusa que estaba con un
35% de oferta. Si el precio inicial de la blusa era de $17 000:
a ¿A cuántos pesos corresponde la oferta?
b ¿Cuánto pagó Carla por la blusa?
101
Síntesis
Ciento uno

Evaluación
Unidad 3
Responde las siguientes preguntas, siguiendo las indicaciones de
tu profesor(a).
Selección múltiple
1 ¿Cuál es el resultado de la siguiente multiplicación?
3,7 • 5 =
a 15,35 b 18,5 c 153,5 d 185
2 ¿Cuál de las siguientes razones es equivalente con
5
24
?
a
8
27
b
15
72
c
2
21
d
8
21
3 ¿Cuánto es el 75% de 100?
a 7500 b 2500 c 75 d 25
102
Evaluación
Ciento dos

4 ¿Cuál es el resultado de la siguiente división?
15,15 : 5 =
a 33 b 30,3 c 3,3 d 3,03
5
¿En cuál de los
siguientes dibujos
la parte celeste
representa el 30%
del total?

a b
c d
6 Observa el dibujo
La representación corresponde a:
a 0,4 b 0,4 • 3 c 0,4 • 10 d 0,4 • 30
103
Evaluación
Ciento tres

7 ¿Cuál es el resultado de?
0,52 • 0,3 =
a 0,156 b 1,56 c 15,6
d 156
8 ¿Cuál es el resultado de?
0,55 : 0,11 =
a 55 b 5 c 0,55
d 0,5
9
Unos investigadores
fotografiaron a una
hormiga tejedora asiática
levantando 100 veces su
peso. Si la hormiga pesaba
4,75 mg, ¿cuánto pesaba
el objeto que levantó?
a 4750 mg b 475 mg c 47,5 mg d 0,475 mg
104
Evaluación
Ciento cuatro

10
¿En cuál de las siguientes letras ubicadas en la recta
numérica se representa el resultado de la división 1,2 : 4?
0 1,2 2
P R S Q
a P b Q c R d S
11
En un jardín infantil asisten 25 bebés, 9 son de sexo
masculino y los otros 16 de sexo femenino. ¿Cuál es la razón
entre las bebés de sexo femenino y el total de bebés?
a 9 : 25 b 9 : 16 c 16 : 25 d 16 : 9
12
La razón entre los lados de un rectángulo es
5
4
. Si el lado
más corto mide 20 cm, ¿cuánto mide el lado más largo?
a 25 b 16 c 5 d 4
105
Evaluación
Ciento cinco

13
Observa el dibujo. ¿Cuál es el
porcentaje que representa la
zona en color verde?
a 0,25% c 25%
b 0,75% d 75%
14
La razón entre la edad de un padre y la de un hijo es
28 : 12. Si la suma entre ambas edades corresponde a
60 años, ¿cuántos años tiene cada uno? Las edades del
padre y el hijo son:
a 45 años y 15 años. b 42 años y 18 años.
c 35 años y 15 años. d 28 años y 12 años.
15
En una pista de atletismo, el circuito de una vuelta completa
mide 6,75 km y para entrenar a diario los corredores
profesionales deben dar 6 vueltas. En cambio, los atletas
infantiles deben correr 1,5 km el lunes, el martes 0,75 km y
los miércoles 0,5 km. ¿Cuántos km corren a la semana los
niños y niñas atletas? La operación que debes resolver es:
a 6,75 – 15 b 1,5 + 0,75 + 0,5
c 6,75 + 1,5 + 0,75 + 0,5 d 6 + 6,75 + 1,5 + 0,75 + 0,5
106
Evaluación
Ciento seis

16
Rocío se pesa con zapatos y la balanza marca 58,25 kg.
Ella dice que es mucho y se saca los zapatos para pesarse
de nuevo. Esta vez la balanza marca 56,5 kg. ¿Cuál es la
operación que permite calcular el peso de los zapatos
de Rocío?
a 58,25 + 56,5 b 58,25 – 56,5
c 56,5 – 58,25 d 58,26 – 1,75
17
Los burros se convirtieron en importantes
animales de carga, ya que son capaces de
acarrear alrededor de 0,25 veces su propio
peso. ¿Qué porcentaje de su propio peso
puede levantar?
a 250% b 25% c 2,5% d 0,25%
18
Juan tuvo 20,4 puntos en su prueba. Si en todas las
preguntas sacó el mismo puntaje y eran 17 preguntas,
¿cuántos puntos obtuvo en cada pregunta?
a 102 b 12 c 1,2 d 1,02
107
Evaluación
Ciento siete

Preguntas de desarrollo
19 El cuadrado y el rectángulo dibujados tienen la misma área.
Si las medidas del lado del cuadrado miden 2,5 cm y el lado
más corto del rectángulo mide 1,25 cm, ¿cuánto mide el lado
más largo del rectángulo.
?
1,25 2,5
Escribe la operación y resuélvela.
108
Evaluación
Ciento ocho

20
La tienda Maxi Prices lanzó una gran oferta,
todos los teléfonos celulares con un 65%
de descuento, solo por una hora. Marcelo
aprovechó de comprarse un celular cuyo precio
es de $275 000. ¿Cuánto pagó Marcelo por el
celular? Escribe la operación y resuélvela.
21
La profesora les preguntó a sus estudiantes cómo podían
calcular una razón entre la cantidad de alumnos y alumnas
en los diferentes cursos del colegio. Dos niños contestan a
la profesora lo siguiente:
Para calcular
una razón, siempre hay
que contar las cantidades
de niños y niñas y dividir
la cantidad mayor por
la menor.
Para calcular una
razón, siempre hay que
contar las cantidades
de niños y niñas y dividir
la cantidad menor por
la mayor.
109
Evaluación
Ciento nueve

¿Tiene razón alguno de los niños? Justifica tu respuesta.
¡Muy bien!
110
Evaluación
Ciento diez

¡Muy bien!
UNIDAD 4
Patrones y Ecuaciones
1
1
1
1
1
10
10
10
6
6
6
6
6
6
6
6
6
x
1kg

Lección 1
Patrones y secuencias
Aprenderás a descubrir y describir patrones en secuencias y
completarlas a partir de ellos.
Actividad 1
Patrones en una secuencia de figuras
1 Marta está plantando flores en su patio. Comenzó
plantando una flor roja y hasta ahora lleva lo que se
muestra en la imagen.
a Ella quiere completar todo el borde de su patio siguiendo la
dirección que indica la flecha. ¿Flores de qué color son las
que plantará ahora? Justifica tu respuesta.
112
Unidad 4 - Patrones y ecuaciones
Ciento doce
Lección
1

b Dibuja el patrón que observas que se cumple.
c Marta no está segura de querer seguir con el mismo patrón
y planta una flor anaranjada. ¿Crees que se crea un nuevo
patrón? Discute con un compañero o compañera.
2 En cada una de las siguientes secuencias escribe el número
que continúa la secuencia. Luego describe la regla de
formación.
a 4 — 9 — 14 — 19 —
Regla de formación
113
Ciento trece
Lección
1

b 10 — 30 — 50 — 70 —
Regla de formación
c 111 — 222 — 333 — 444 —
Regla de formación
3 Observa el ejemplo y luego escribe el número que está
antes y después del número P en las otras secuencias.
Ejemplo
1 — 3 — 5 — 7 — 9 — P − 2 — P — P + 2
Regla de formación
a 100 — 96 — 92 — 88 — — 84 — — A —
Regla de formación
114
Ciento catorce
Lección
1

b 101 — 202 — 303 — 404 — — 605 — — B —
Regla de formación
Actividad 2
Patrones, secuencias numéricas y término general
1
En el salón de eventos “La fiesta” se realizará una cena en
que se necesita poner mesas cuadradas con cuatro sillas
cada una (una silla por lado).
1 Mesa 2 Mesas
115
Ciento quince
Lección
1

a Completa la tabla, indicando la cantidad de personas que
se sientan según la cantidad de mesas. Escribe la expresión
aritmética que te permite calcular la cantidad de personas.
Cantidad
de mesas
Personas que
se sientan
1 4 4
2 8 4 + 4
3 12 4 + 4 + 4
4
5
6
7
b Escribe la expresión aritmética para conocer la cantidad de
personas que se sientan en 145 mesas.
116
Ciento dieciséis
Lección
1

c Si se coloca una cierta cantidad de mesas, que llamamos
“n”, ¿cuál es la expresión algebraica que permite calcular la
cantidad de personas que se pueden sentar en ellas? Explica
cómo determinaste dicha expresión algebraica.

d Si entras en el salón y te dicen que hay 1 448 personas
sentadas, ¿cuántas mesas están utilizadas? Escribe tu
desarrollo.
2
En el salón de eventos “Donde Pancho” se realizará un
almuerzo en que se colocarán mesas triangulares con tres
sillas cada una (una silla por lado).
1 Mesa 3 Mesas
2 Mesas
117
Ciento diecisiete
Lección
1

a Completa la tabla, indicando la cantidad de personas que
aritmética que te permite encontrar la cantidad de personas.
Cantidad
de mesas
Personas que
se sientan
1 3 3
2 6 3 • 2 = 6
3 9 3 • 3 = 9
4
5
6
7
b Escribe la expresión aritmética para conocer la cantidad de
personas que se sientan en 150 mesas.
118
Ciento dieciocho
Lección
1

c Si se colocan una cierta cantidad de mesas, que llamamos
“n”, ¿cuál es la expresión algebraica que permite calcular la
cantidad de personas que se pueden sentar? Explica cómo
determinaste dicha expresión algebraica.
d Si entras en el salón y te dicen que hay 348 personas
sentadas, ¿cuántas mesas hay utilizadas? Registra tu
desarrollo.
3
En el salón de eventos “La Fiesta” han decidido juntar las
mesas tal como se muestra en la imagen, para tratar de
optimizar el espacio.
1 Mesa 3 Mesas
2 Mesas
119
Ciento diecinueve
Lección
1

a Dibuja la situación cuando hay 4 mesas. ¿Cuántas personas
se sientan?
b Completa la tabla, indicando la cantidad de personas que
aritmética que te permite encontrar la cantidad de personas.
Cantidad
de mesas
Personas que
se sientan
1 4 2 + 2 = 4
2 6 2 + 2 • 2 = 6
3 8 2 + 2 • 3 = 8
4
5
20
145
120
Ciento veinte
Lección
1

c Se colocan n mesas en el salón, ¿cuál es la expresión
algebraica que permite calcular la cantidad de personas
que se pueden sentar?
d Si entras en el salón y te dicen que hay 678 personas
sentadas, ¿cuántas mesas hay utilizadas? Registra tu
desarrollo.
4
En la siguiente secuencia de figuras, para pasar de una
figura a la siguiente, siempre se aumenta la misma cantidad
de cuadrados, manteniendo la forma.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
121
Ciento veintiuno
Lección
1

a Completa la tabla, indicando la cantidad de cuadrados que
se necesitan para cada figura y la expresión aritmética
correspondiente.
Figura
Personas que
se sientan
1 4 1 + 3
2 7 1 + 3 • 2
3 10 1 + 3 • 3
4 13 1 + 3 • 4
5
6
100
b Se colocan n mesas en el salón, ¿cuál es la expresión
algebraica que permite calcular la cantidad de personas
que se pueden sentar?
122
Ciento veintidós
Lección
1

c Si entras en el salón y te dicen que hay 678 personas
sentadas, ¿cuántas mesas hay utilizadas? Escribe tu
desarrollo.
5
Observa los siguientes patrones y completa la tabla de
valores que relaciona el número de la posición con la
cantidad de elementos (por ejemplo: cuadrados, triángulos,
hexágonos). Verifica tus resultados.
a Posición
1
Posición
2
Posición
3
Posición
4
Posición Cuadrados
1 1
2 3
3
4
5
n
123
Ciento veintitrés
Lección
1

b Posición
1
Posición
2
Posición
3
Posición
4
Posición Cantidad de
trazos
1 3
2 5
3
4
5
n
c Posición
1
Posición
2
Posición
3
Posición
4
Posición Cantidad de
trazos
1 6
2 11
3
4
5
n
¡Muy bien!
124
Ciento veinticuatro
Lección
1

Actividad 3
Patrones en tablas de valores
1
Determina los valores desconocidos en las siguientes tablas,
utilizando la regla dada.
a Regla de formación: 3 • n + 2
n 1 2 3 4 5 6
Salida
b Regla de formación: 2 • n
n 1 2 10 25 36
Salida 60
c Regla de formación: 2 • n + 1
n 1 2 10 25 30 40
Salida
125
Ciento veinticinco
Lección
1

2 Observa la siguiente tabla y descubre la cantidad de
cuadrados en la posición n. Completa donde corresponda.
Posición 1 2 3 4 ... n
Salida
...
Estrategia 1 + 2 2 + 3 3 + 4 + ... n +
Total de
cuadrados
3 5 7 9 ...
Para calcular la cantidad de cuadrados
de la posición 100, se le debe sumar 101.
3
Observa las siguientes tablas de valores, descubre la relación
que existe entre los números de la entrada y salida. Utiliza la
regla encontrada para completar la tabla según corresponda.
a
Entrada 1 2 3 4 9 10 30 40 200
Salida 3 6 9 12
Escribe la regla de formación
126
Ciento veintiséis
Lección
1

b
Entrada 1 2 3 4 9 10 30 40 200
Salida 1 3 5 7
c
Entrada 1 2 3 4 9 10 30 40 200
Salida 2 4 6 8
d
Entrada 1 2 3 4 9 10 30 40 200
Salida 5 9 13
e Explica cómo se puede encontrar la regla de formación de
una secuencia numérica.
127
Ciento veintisiete
Lección
1

Actividad 4
Perímetro y área
1 Observa los siguientes rectángulos.
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
Completa la tabla y escribe la expresión que permite encontrar el
perímetro de un cuadrado de ancho n.
Ancho Largo Expresión Perímetro
1 2
1 + 1 + 2 + 2
2 • 1 + 2 • 2
6
2 4
3
4
...
n
128
Ciento veintiocho
Lección
1

2 Observa el rectángulo.
a
b
a
Completa la tabla y escribe la expresión que permite
encontrar el perímetro de un rectángulo de ancho “a” y
largo “b” respectivamente.
Ancho (a) Largo (b) Expresión Perímetro
5 3
1 + 1 + 2 + 2
2 • 1 + 2 • 2
6
4 7
9 2
3 10
... ...
a b
b Escribe la fórmula para
calcular el perímetro de
cualquier rectángulo.
129
Ciento veintinueve
Lección
1

3
Determina el área de los siguientes rectángulos y luego
completa la tabla.
3 cm
6 cm
A
7 cm
4 cm
B
5 cm
4 cm
C
7 cm
8 cm
D
Ancho (a) Largo (b) Área
3 6 18
7 4
5 4
7 8
... ...
a b
2 cm
1 cm
2 cm
3 cm
2 cm
4 cm
Completa la tabla y escribe la expresión que permite encontrar
el área del rectángulo de ancho (a) y largo (b) respectivamente.
130
Ciento treinta
Lección
1

2 1 6
2 3
2 4
2 6
... ...
a b
4 cm
5 cm
3 cm
4 cm
2 cm
3 cm
1 cm
2 cm
Completa la tabla y escribe la expresión que permite encontrar
el área del rectángulo de ancho (a) y largo (b) respectivamente.
1 2 6
2 3
3 4
4 5
... ...
a b
131
Ciento treinta y uno
Lección
1

6 Escribe mediante una
expresión algebraica la
propiedad conmutativa
del producto.
Actividad de Cierre
1 Observa la siguiente secuencia:
Dibuja la figura 5
2
Completa la siguiente tabla que relaciona la figura con la
cantidad de palitos que tiene.
Figura 1 2 3 4 5 20 30 200 n
Palitos 5
132
Ciento treinta y dos
Lección
1

3 ¿Cuántos palitos tendrá la figura 27? ¿Cómo lo determinaste?
4 ¿Qué número de figura tiene 257 palitos? Escribe cómo la
determinaste.
5
Explica cómo determinaste la expresión algebraica que
modela la cantidad de palitos de la figura n.
133
Ciento treinta y tres
Lección
1

Lección 2
Ecuaciones de un paso
Aprenderás a resolver ecuaciones simples por medio de la
inspección y la manipulación de balanzas.
Actividad 1
Juegos con balanzas
1 Observa la balanza que tu profesor o profesora te muestra
y realiza las siguientes tareas.
a ¿Cuál es la característica principal de la balanza que estás
observando?
b Dibuja los elementos en la balanza de acuerdo a la
información entregada por tu profesor o profesora.
134
Ciento treinta y cuatro
Lección
2

c Escribe con tus palabras la información que se representa
en la balanza que te muestra tu profesor o profesora.

d ¿Podría contener 3 piezas la bolsa? ¿Por qué?

e ¿Podría contener 8 piezas la bolsa? ¿Por qué?

f A partir de las respuestas anteriores, Juan concluye lo
siguiente:
Entonces, la cantidad de piezas
en la bolsa es
que 3 y que 8.
135
Ciento treinta y cinco
Lección
2

g En parejas respondan la siguiente pregunta y justifiquen
su respuesta.
¿Cómo puedo descubrir cuántas piezas hay en la bolsa?

2 Observa la balanza que tu profesor o profesora te muestra.
a ¿Qué característica deben cumplir las bolsas? ¿Por qué?

b Dibuja los elementos en la balanza a partir de la
información entregada por tu profesor o profesora.
136
Ciento treinta y seis
Lección
2

c Escribe con tus palabras la información que se representa
en la balanza que te muestra tu profesor o profesora.

d ¿Podría contener 2 piezas cada bolsa? ¿Por qué?

e ¿Podría contener 5 piezas cada bolsa? ¿Por qué?

f A partir de las respuestas anteriores, escribe una conclusión:
Entonces,
.
137
Ciento treinta y siete
Lección
2

g En parejas, respondan la siguiente pregunta y justifiquen
su respuesta.
¿Cómo puedo descubrir cuántas piezas hay en cada bolsa?

3
A partir de las balanzas mostradas por tu profesor o
profesora realiza lo siguiente.
a Primera balanza.
• Dibuja los elementos en la balanza.
• Escribe con tus palabras la información que se representa
en la balanza.
138
Ciento treinta y ocho
Lección
2

• En parejas respondan la siguiente pregunta y justifiquen su
respuesta.

b Segunda balanza.
• Dibuja los elementos en la balanza.
139
Ciento treinta y nueve
Lección
2

• Escribe con tus palabras la información que se representa en
la balanza.

• En parejas respondan la siguiente pregunta y justifiquen
su respuesta.

4
Representa en cada balanza la información que se entrega
para cada caso.
a Una bolsa junto con 4 piezas pesa lo mismo que 7 piezas.
140
Ciento cuarenta
Lección
2

b 20 piezas pesan lo mismo que 4 bolsas.
c 6 piezas junto con 2 bolsas pesan lo mismo que 12 piezas.
d 4 piezas junto con una bolsa pesan igual que 11 piezas.
141
Ciento cuarenta y uno
Lección
2

e 17 piezas pesan lo mismo que tres bolsas y 5 piezas.
5
Determina la cantidad de piezas que hay en las bolsas de
cada caso anterior. Explica cómo lo determinaste.
a La bolsa tiene piezas.
b Cada bolsa tiene piezas.
142
Ciento cuarenta y dos
Lección
2

c Cada bolsa tiene piezas.
d La bolsa tiene piezas.
e Cada bolsa tiene piezas.
143
Ciento cuarenta y tres
Lección
2

6
Relaciona cada bolsa con la balanza que corresponde.
Únelas con una línea.
4
2
3
0
6
144
Ciento cuarenta y cuatro
Lección
2

Actividad 2
Comprendiendo las ecuaciones
1 Observa la balanza que tu profesor o profesora te muestra.
a Dibuja los elementos en la balanza.
b Interpreta usando símbolos, números y operaciones
matemáticas la información que entrega la balanza.
Cinco piezas junto a una bolsa pesan lo mismo que 8 piezas.
c Escribe la expresión
matemática que
se forma.
145
Ciento cuarenta y cinco
Lección
2

d Reordena el plato derecho de manera que se vea organizado
de forma similar al plato izquierdo.
e Nuevamente interpreta la información que entrega la
balanza. Escríbela con tus palabras.

f Representa con símbolos, números y operaciones la nueva
organización de los elementos.
146
Ciento cuarenta y seis
Lección
2

g Compara las expresiones matemáticas obtenidas en C y F.
Escribe una conclusión.

2
Considera las balanzas en equilibrio en cada caso, escribe
la ecuación que representa. Luego, reorganiza el plato que
no contiene la bolsa y escribe la ecuación correspondiente.
Guíate por el ejemplo.
a
3 + x = 8 3 + x = 3 +
b
147
Ciento cuarenta y siete
Lección
2

c
• ¿Cómo se interpreta la reorganización de un plato de la
balanza en la ecuación?
• ¿En qué ecuación te sería más fácil encontrar el valor de
x, en la inicial o en la reorganizada? ¿Por qué? Justifica tu
respuesta.

¡Muy bien!
148
Ciento cuarenta y ocho
Lección
2

3
Reescribe el lado derecho de la ecuación (sin incógnita) y
encuentra el valor de x en cada caso. Explica cómo lo hiciste.
a 2 + x = 9
2 + x = 2 + Entonces, x =

b x + 1 = 6
x + 1 = + 1 Entonces, x =

c 8 + x = 10
8 + x = + Entonces, x =

149
Ciento cuarenta y nueve
Lección
2

4
Vicente y María quieren resolver la ecuación que su
profesora escribió en la pizarra para desafiarlos. Ambos
usan la estrategia término a término.
x + 25 = 44
Para usar la
estrategia hay que
reescribir el 44 como
“algo” más 25 y para
encontrarlo debo restar
25 a 44.
Sí, hay que
reescribir el 44 como
“algo” más 25, pero para
encontrarlo hay que
sumar 25 y 44.
a ¿Quién está en lo correcto? ¿Por qué?

c Utiliza el procedimiento correcto y encuentra el valor de x.
x + 25 = 44
x + 25 = + 25
Entonces, x =
150
Ciento cincuenta
Lección
2

5
Escribe la ecuación representada en la balanza y luego
resuélvela usando la estrategia término a término.
47 x 18
a Escribe la ecuación
representada.
b ¿Cuál es el valor de x? Registra tu procedimiento.
151
Ciento cincuenta y uno
Lección
2

6
Resuelve las siguientes ecuaciones usando la estrategia
trabajada. Registra tu procedimiento en cada caso.
a 33 + x = 56
b x + 76 = 105
c 70 = x + 45
152
Ciento cincuenta y dos
Lección
2

d 93 = 89 + x
Actividad de Cierre
En parejas observen las balanzas en equilibrio y luego
respondan.
1
Las siguientes tres balanzas muestran cómo se relacionan
los círculos, los cuadrados, los triángulos y los rectángulos.
153
Ciento cincuenta y tres
Lección
2

a ¿Cuántos triángulos se deben poner en el plato derecho
para mantener el equilibrio?
b Describe los pasos que seguiste para conseguir la respuesta.
Luego, comenta con tus compañeros y compañeras.

¡Felicitaciones!
154
Ciento cincuenta y cuatro
Lección
2

Lección 3
Ecuaciones
En esta lección aprenderás a resolver ecuaciones de un paso
mediante el procedimiento formal.
Actividad 1
Lenguaje Algebraico
1 Gabi y Rosa vendieron cajas de galletas para juntar dinero
para su equipo de fútbol. Gabi vendió 35 cajas y juntas en
total vendieron 69. ¿Cuántas cajas vendió Rosa?
Paso 1: Reconoce los datos y la pregunta del problema.
Gabi vendió cajas de galletas.
Entre ambas vendieron cajas de galletas.
Se quiere saber cuántas cajas de galletas vendió .
155
Ciento cincuenta y cinco
Lección
3

Paso 2: Determina la ecuación que modela el problema.
69
Venta
Gabi
35 ¿?
Venta
Rosa
Ecuación
Paso 3: Resuelve la ecuación y registra tus pasos.
• ¿Qué representa el valor que encontraste para x?

Paso 4: Determina la respuesta al problema.
Rosa vendió cajas de galletas.
156
Ciento cincuenta y seis
Lección
3

2
Representa con lenguaje algebraico los siguientes
enunciados.
a
La mitad de un número más siete
b La diferencia entre
un número y 20.
c El producto entre la
mitad de un número
y doce.
d El triple de la resta
entre un número y
su sucesor.
157
Ciento cincuenta y siete
Lección
3

3 Escribe en palabras cada una de las siguientes expresiones.
a 63 + 2x
b n
4
+ 5
c 3z − 15
d 3(a + 25)
¡Felicitaciones!
158
Ciento cincuenta y ocho
Lección
3

Actividad 2
Resolviendo ecuaciones en una balanza
1 Plantea la ecuación que se representa en cada balanza.
Ecuación
x
x
3
3
10
10
3
3
a
Ecuación
x
x
x
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
b
Ecuación
x
x
x
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg 1kg
c
159
Ciento cincuenta y nueve
Lección
3

2 Encuentra el peso de los cubos marcados con x que permiten
que las balanzas estén equilibradas. Además, completa los
pasos para encontrar el peso.
Balanza Ecuación
x
x x
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
2x + 3 = x + 5
x
x x
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
2x + 3 – = x + 5 –
x
x x
1kg
1kg
= x + 2
x x
1kg
1kg
x
2x – = x + 2 –
x 1kg
1kg
x =
160
Ciento sesenta
Lección
3

3 Encuentra el peso de los cubos marcados con x que permiten
que las balanzas estén equilibradas. Completa la columna
de ecuación, con todos los pasos que se van realizando.
Balanza Ecuación
x
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
x
1kg
1kg
1kg 1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
x
x
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
1kg
x
1kg
1kg
1kg 1kg x
x
x
1kg
1kg
x
1kg
1kg
1kg 1kg x
x
x
1kg
1kg 1kg
1kg
1kg 1kg x
x
x
x
161
Ciento sesenta y uno
Lección
3

Balanza Ecuación
1kg
1kg 1kg
1kg
1kg 1kg x
x
1kg
1kg 1kg x
1kg
1kg 1kg x
1kg
1kg 1kg x
4 Marca los cubos que tienes que sacar de los platos de la
balanza para encontrar el valor de x, como en los ejercicios
anteriores.
x =
x 4 4 4
a
162
Ciento sesenta y dos
Lección
3

x
x
1
1
1
1 1
1
1
1
1
10
10
10
1
1
b
x =
x 1
1
1
1 1
1
1
1
1
10
10
1
c
x =
5
Completa la conclusión a la cual llegó Gabriela. Comenta
con tu profesor o profesora.
En una ecuación, al quitar en
ambos lados la misma cantidad, se mantiene
el . En el caso de la ecuación,
al la misma cantidad en ambos
lados de la igualdad, las cantidades resultantes
siguen siendo .
163
Ciento sesenta y tres
Lección
3

6 Comenta con tu profesor o profesora si ocurre lo mismo
cuando se suma, resta, multiplica o divide en ambos lados
de la igualdad. Anota tus conclusiones en el recuadro.
7 Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método
anterior. Registra el desarrollo de forma completa.
a 2 x + 13 = 15
164
Ciento sesenta y cuatro
Lección
3

b 4x + 24 = x + 57
c 5x + 10 = 28 - x
165
Ciento sesenta y cinco
Lección
3

8 La profesora de 6° básico pide a los estudiantes que
encuentren el valor de x en la siguiente ecuación.
5x + 7 = 32
Miguel y Amanda resuelven de la siguiente manera la ecuación.
Amanda Miguel
5x + 7 = 32
5x + 7 = 25 + 7
5x = 25
5 • x = 5 • 5
x = 5
5x + 7 = 32
5x + 7 - 7 = 32 - 7
5x = 25
5
5
x = 25
5
x = 5
a Explica el procedimiento utilizado por Amanda y Miguel.
Amanda
166
Ciento sesenta y seis
Lección
3

Miguel
b ¿Cuál de los dos procedimientos utilizarías tú? Comenta con
tu compañero o compañera.

9 Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno,
utilizando el método que te parezca mejor.
a 3x + 12 = 18 b x + 12 = 31
c 4x = 56 d 2x + 5 = 45
e 3x + 1 = 28 f x - 17 = 39
g 5x - 3 = 17
167
Ciento sesenta y siete
Lección
3

10 Resuelve los siguientes problemas. Escribe la ecuación para
resolverlo.
a Patricio y su hermano tienen en total 54 bolitas. Si Patricio
contó las suyas y se dio cuenta de que tenía 21 bolitas,
¿cuántas bolitas tiene el hermano de Patricio?
b Pedro compró dos barras de chocolate y un jugo de $100.
Si gastó $ 240 en total, ¿cuánto le costó cada barra de
chocolate?
168
Ciento sesenta y ocho
Lección
3

Actividad de Cierre
Resuelve el siguiente problema. Para esto, responde cada
pregunta.
1
En el negocio de la esquina, Pedro compró 5 chocolates de
$350 y un jugo. En total gastó $2 500. ¿Cuánto pagó Pedro
por el jugo?
a ¿Cuánto gastó en chocolates? .
b ¿Cuál es la ecuación
que resuelve el
problema?
c Resuelve la ecuación utilizando el método más adecuado.
169
Ciento sesenta y nueve
Lección
3

d Explica los métodos que has utilizado para resolver
ecuaciones.

¡Muy bien!
170
Ciento setenta
Lección
3

Lección 4
Ecuaciones
En esta lección aprenderás a resolver problemas que involucran
ecuaciones.
Actividad 1
Resolviendo problemas con ecuaciones.
1
Florencia quiere invitar algunas amigas a casa para
almorzar y le pide permiso a su mamá.
Puedes
invitar a x amigas,
recuerda que
estaremos tú, papá
y yo almorzando.
Somos 8
personas las que
estamos almorzando.
¿A cuántas amigas
invité?
a ¿A cuántas amigas puede invitar Florencia?
171
Ciento setenta y uno
Lección
4

b Escribe la ecuación que permite resolver el problema y
determina el resultado utilizando alguno de los métodos
estudiados en la lección anterior.
c Escribe la respuesta
del problema.
2
Plantea la ecuación y determina el valor de los lingotes,
según corresponda.
Ecuación y su solución
6 kg 9 kg
a
172
Ciento setenta y dos
Lección
4

3 kg
13 kg
b
3 kg
51 kg
c
3
Resuelve los siguientes problemas completando la
información que falta en el modelo de barra y estableciendo
la ecuación que lo permite resolver.
a Pedro fue a la librería y compró 3 tijeras iguales al mismo
precio cada una. Pagó con $5.000 y recibió de vuelto $890.
¿Cuál era el valor de una tijera?
Ecuación
x x x
173
Ciento setenta y tres
Lección
4

b Pedro tenía ahorrado una cantidad de dinero que era el
doble del dinero que tenía ahorrado su hermano Carlos.
Después que Carlos recibió $13.000 de una tía y Pedro recibió
$4.000 de su madre, ambos tienen ahora la misma cantidad
de dinero. ¿Cuánto dinero tenía cada uno de los hermanos?
Ecuación
x 4000
x
4
Para cada uno de los siguientes problemas escribe la
ecuación que lo modela, resuélvela y responde el problema.
En caso de que sea necesario, apóyate en la representación
de modelo de barra.
a Juan compró 4 libros del mismo precio, que pagó con
$10.000. Si el vuelto que recibió fue de $4.800, ¿cuál era el
valor de cada libro?
174
Ciento setenta y cuatro
Lección
4

b Pedro compró dos barras de chocolate y un jugo de $330.
Si gastó $ 2000 en total, ¿cuánto le costó cada barra de
chocolate?
5
Escribe una ecuación asociada a cada modelo de barra y
luego determina su solución.
x x 12
64
a
175
Ciento setenta y cinco
Lección
4

x x
78
12
x
b
6 Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno.
a 2x + 30 = 64
b 37 = 7 + 2 + 4x
c 4x + 4 = 99 - 2x
176
Ciento setenta y seis
Lección
4

7
Formula un problema para cada modelo de barra. Plantea y
resuelve la ecuación que permita resolver tu problema.
a Problema
Ecuación
x x x 30
87
Modelo de barras
Solución
177
Ciento setenta y siete
Lección
4

b Problema
Ecuación
x 16 30
45
Modelo de barras
Solución
8
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. Para
cada uno de ellos escribe la ecuación que modela el
problema.
a Juan tenía tres veces la cantidad de bolitas que tenía su
amigo Patricio. Luego de una tarde de juego, Patricio ganó
40 bolitas igualando la cantidad de bolitas que tenía Juan.
¿Cuántas bolitas tenían en un comienzo Juan y Patricio?
178
Ciento setenta y ocho
Lección
4

Ecuación
b Pedro tiene el triple de libros que Miguel. Si a Miguel le
dieran 24 libros, tendría la misma cantidad que Pedro.
¿Cuántos libros tiene Miguel?
Ecuación
c Busca un número sabiendo que si se le multiplica por 4 y al
resultado se le resta 10 se obtiene 14.
Ecuación
d El perímetro de un rectángulo es 12 metros. Si uno de sus
lados mide 4 metros, ¿cuánto mide la altura?
Ecuación
179
Ciento setenta y nueve
Lección
4

e El largo de un cordel mide 254 cm. Si se colocan 5 varillas
de la misma longitud, una tras otra, faltarían 24 cm para
igualar el largo de la mesa. ¿Cuál es el largo de cada varilla?
Ecuación
f En el minimarket “Don Francis”, la oferta del día es: tres
jugos individuales y un jugo grande a $1900. Si el jugo
grande cuesta $990, ¿cuánto valdrá cada jugo individual?
Ecuación
g Karen piensa en un número, lo multiplica por 3 y le agrega
5 unidades y resulta el número 26. ¿Cuál es el número que
pensó Karen?
Ecuación
h Cuatro bidones idénticos tienen la misma capacidad. Si
sabemos que llenando los cuatro bidones y una botella de
3 litros se juntan 19 litros en total, ¿cuál es la capacidad de
cada bidón?
180
Ciento ochenta
Lección
4

Ecuación
Actividad de Cierre
Pedro tiene el triple de libros que Miguel. Si a Miguel le dieran
64 libros, tendría la misma cantidad que Pedro. ¿Cuántos libros
tiene Miguel?
que modela el
problema.
b ¿Qué método es el más apropiado para resolver el
problema? Justifica tu respuesta y resuélvelo utilizando
ese método.
181
Ciento ochenta y uno
Lección
4

c Responde la pregunta del problema.

d ¿Cuál es la estrategia que utilizas para resolver un
problema? Explícala con tus palabras.

¡Muy bien!
182
Ciento ochenta y dos
Lección
4

Síntesis
Unidad 4
Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno, de acuerdo a
las indicaciones de tu profesor o profesora.
1
Observa la secuencia y completa la tabla que relaciona
la figura con el número de cuadrados que la componen.
Figura 1 2 3 4 5 6 15 30 n
Cuadrados 1 4 9 16

183
Síntesis
Ciento ochenta y tres

2 ¿Cuántos cubos hay en la bolsa? Explica cómo lo hiciste.
x

3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a 3x + 25 = 79
b 105 = 4x – 15
184
Síntesis
Ciento ochenta y cuatro

c 98 – 7x = 13 – 2x
4
Resuelve el siguiente problema. Escribe la ecuación
para resolverlo:
La señora María compró 2 kilogramos de manzanas
verdes y 1 kilogramo de manzanas rojas. Si gastó 750
en las manzanas rojas y en total gastó $2470, ¿cuánto
costaba el kilogramo de manzanas verdes?
Ecuación
185
Síntesis
Ciento ochenta y cinco

Evaluación
Unidad 4
Responde las siguientes preguntas, siguiendo las indicaciones de
tu profesor(a).
Selección múltiple
1 José juega con Alejandra a aplicar una regla de formación
y anotan los resultados en la siguiente tabla.
José dijo Alejandra responde
3 6
5 8
7 10
8 11
9 12
10 13
2 5
¿Qué responderá Alejandra si José dice 15?
a 9 b 13
c 18 d 21
186
Evaluación
Ciento ochenta y seis

2 En la siguiente balanza se han pesado 5 lingotes de metal,
de peso desconocido, con otros dos pesos conocidos, de 500
gramos y 800 gramos cada uno.
¿Cuánto pesa cada lingote
de metal?
a 1 300 g b 300 g
c 260 g d 60 g
800
gramos
500
gramos
3 Marta tiene 13 años, ¿cuántos años tendrá en n años más?
a 13 + n años b 13 • n años
c n
13
años d n – 13 años
4 ¿Cuál es el perímetro del
siguiente triángulo?
a 5b + 73 b 3b + b + 73
c b + 5 + 73 d b + 5 + 73
3b
b + 58
b + 15
187
Evaluación
Ciento ochenta y siete

5 En la siguiente tabla se registra el resultado de un número
de “inicio”, que es ingresado y procesado en la máquina
obteniéndose un valor “resultado”.
Inicio 4 7 10 13 n
Resultado 28 49 70 91
¿Cuál es el resultado para el valor de inicio n?
a 7 + n b 7 • n c n : 7 d n – 7
6 Fernanda leyó 19 palabras más que David. Si Fernanda leyó
143 palabras, ¿cuál es la ecuación que permite determinar
cuántas palabras leyó David?
a x + 19 = 143 b x + 143 = 19
c 143 – x = 19 d 162 = 19x + 143
188
Evaluación
Ciento ochenta y ocho

7 ¿Cuál es la ecuación representada en la balanza?
a x + 10 = x + 7
b x + 2 + 10 + 1 = 7 + 3 + x
c 4x = 20 + 28
d 3x + 20 = x + 28
10
x
7
x
8 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a:
3x + 7 = 10 – 2x
a 5x = 17 b x = 17 c 5x = 3 d x = 3
9 ¿Cuál es el valor de 5a – 3b + 18, para a = 6 y b = 4?
a 36 b 37 c 78 d 330
189
Evaluación
Ciento ochenta y nueve

10
¿En cuál de las siguientes balanzas se representa la
ecuación 2x + 12 = 24?
x
x
4 4
4
4
3
3
3
3
4
4
a
x 4
3
3
3
3
b
x
4 4
4
4
3
3
3
3
4
4
x
c
4 4
4
x
3
3
3
3
3
3
3
3
d
11 Una libreta cuesta $900. ¿Cuánto cuestan m libretas?
a 900 • m b
m
900
c 900
m
d 900 + m
190
Evaluación
Ciento noventa

12
Para las plantaciones realizadas en una determinada
siembra, se necesitan 3 litros de abono por cada metro
cuadrado de siembra. ¿En cuál de las siguientes tablas se
representa la relación entre los litros de abono por metro
cuadrado?
a
Metros cuadrados 1 2 3 4 5 6
Abonos (litros) 3 4 5 6 7 8
b
Abonos (litros) 3 6 12 18 24 30
c
Abonos (litros) 1 2 3 4 5 6
d
Abonos (litros) 6 15 21 24 30 45
13
¿Cuál es el área del siguiente
rectángulo?
a 5 + a + 7 b 5a + 7
c 5 • (a + 7) d a + 5 • 7
(a + 7)
5
191
Evaluación
Ciento noventa y uno

14
¿Cuál de los siguientes problemas se resuelve con la
ecuación 8 + x = 17?
a Diego tiene 17 años y su hermano 8 años más que él
¿Cuántos años tiene el hermano de Diego?
b Diego tiene 17 años y su hermano 8 años más que él
¿Cuántos años tiene el hermano de Diego?
c Las edades de Diego y su hermano suman 17. Si Diego tiene
8 años, ¿cuántos años tiene su hermano?
d Diego tiene 8 años más que su hermano. Si Diego tiene 11
años, ¿cuántos años tiene el hermano de Diego?
15
Para la kermés del colegio la alianza Roja ganó con un
total de 527 puntos. Si el último día comenzó con 439
puntos, y se quiere saber los puntos ganados el último día,
¿cuál de los siguientes esquemas representa la situación?
527
439 x
a
x
527 439
b
439
527 x
c
527
527 – 439 x
d
192
Evaluación

16 Traduce a lenguaje matemático el siguiente enunciado:
La suma entre un cuarto de un número y
mil quinientos cuarenta y seis es igual al
triple de ese número más seis
a 4n + 1546 = 3n + 6 b 4 : n + 1546 = 3 : n + 6
c n : 4 + 1546 = 3n + 6 d (n – 4) + 1546 = (n + 3) + 6
17 Observa la siguiente secuencia de figuras geométricas.
Figura 1 2 3 4 ...
Nº de cubos 3 5 7 9 95
Si Juan formó una figura de la secuencia con 95 cuadraditos, ¿en
qué posición va la figura que formó?
a 91 b 93 c 95 d 97
193
Evaluación

Preguntas de desarrollo
18 Diego necesita plantear una ecuación para determinar un
número en un juego “Adivina mi número”.
• Pensé en un número.
• Multipliqué el número por 6.
• Luego le resté 60 al resultado.
• Finalmente le sumé 35.
• De este modo obtuve el mismo
número que pensé al comienzo.
que permite conocer
el número de Diego.
b ¿Cuál es el número de Diego?
194
Evaluación
Ciento noventa y cuatro

19 En la casa de la señora Viviana hay una gotera. Ella no
le ha dado importancia, porque son gotas muy pequeñas,
“casi no se nota” dice ella. Pero en realidad está perdiendo
6 litros diarios de agua; su hijo hizo la siguiente tabla para
mostrarle el total de agua perdida día tras día:
Días transcurridos 1 2 3 4 5 6 7 ... 30
Agua perdida (liros) 6 12 18 24 30 36 42 ...
a ¿Cuánto perdería en un mes (30 días)?
a ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad
de litros perdidos en n días?
195
Evaluación
Ciento noventa y cinco

20 Escribe el desarrollo que permite resolver la siguiente
ecuación, paso a paso:
9 + 5x = 17 + 3x
¡Muy bien!
196
Evaluación
Ciento noventa y seis

¡Felicitaciones!
Fin
197
Evaluación
Ciento noventa y siete

Recursos
Unidad 4
Lección 2. Balanza.
198
Recursos
Ciento noventa y ocho

199
Recursos
Ciento noventa y nueve

200
Recursos
Doscientos

Unidad 4
Lección 2. Elementos para la balanza.
201
Recursos
Doscientos uno

202
Recursos
Doscientos dos

Unidad 4
203
Recursos
Doscientos tres

204
Recursos
Doscientos cuatro

Unidad 4
205
Recursos
Doscientos cinco

206
Recursos
Doscientos seis

Cuaderno de trabajo
6° Básico
Matemática
Módulo didáctico para la
enseñanza y aprendizaje en
escuelas rurales multigrado
¡La aventura
de aprender!

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