Libro mat 2

matemáticas 2
Doris Cetina / Engracia Vázquez
<2>
Guía para docentes / Segundo grado / Secundaria
Cuaderno de
©
Ek
Editores
S.
A.
de
C.
V.
Versión
electrónica.

Cuaderno de matemáticas 2. Guía para docentes
Autoras:
Doris Guadalupe del Carmen Cetina Vadillo
Engracia Vázquez Castro
Editores:
Miguel Quintero
María Teresa Peralta Ferriz
Revisión técnica:
René Antonio Núñez Mejía
José Luis Núñez Mejía
Isabel Lorena Vega Gordillo
Diseño de interiores y formación:
Avant Graph Diseña y Comunica
Diseño de portada:
Claudia Novelo Chavira
Mauro Machuca
Ilustraciones:
Elvia Cortazar
Primera edición: junio de 2014
D. R. © 2014, Ek Editores, S. A. de C. V.
Avenida Pío X No. 1210 Col. Pío X
Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710
Tel: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04
Lada sin costo: 01800 841 7005
www.ekeditores.com
México, D. F.
Calle Ote. 233-B No. 19 Col. Agrícola Oriental
Delegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500
Tel.: (55) 51 15 15 40
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana
Reg. Num. 3728
ISBN: 978-607-8248-38-4
Prohibida la reproducción y transmisión
parcial o total de esta obra en cualquier forma
electrónica o mecánica, incluso fotocopia o en
cualquier sistema para recuperar información,
sin permiso escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
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Versión
electrónica.

3
2 4
-4 -2
2
4
-4
-2
x
y
Bloque 1 7
Práctica 1.
Multiplicación de números
con signo 8
Práctica 2.
Potencias 10
Práctica 3.
Ángulos 12
Práctica 4.
Construcción de triángulos 16
Práctica 5.
Áreas de figuras compuestas 22
Práctica 6.
Porcentajes 26
Práctica 7.
Porcentajes y tasas 30
Práctica 8.
Probabilidad 32
Práctica 9.
Media, mediana y moda 34
Mide tu aprendizaje 38
Retos 40
Bloque 2 41
Práctica 10.
Sumas y restas de monomios 42
Práctica 11.
Sumas y restas de polinomios.
Expresiones algebraicas 44
Práctica 12.
Volumen 48
Práctica 13.
Problemas de volumen 50
Práctica 14.
Proporcionalidad inversa 52
Práctica 15.
Probabilidad 56
Retos 60
Bloque 3 61
Práctica 16.
Jerarquía de operaciones 62
Práctica 17.
Multiplicación de expresiones
algebraicas 64
Práctica 18.
Ángulos interiores
de los polígonos 66
Práctica 19.
Figuras para cubrir el plano 68
Práctica 20.
Unidades de capacidad y de
volumen 72
Práctica 21.
Relaciones de proporcionalidad 74
Práctica 22.
Histogramas y gráficas
poligonales 76
Práctica 23.
Propiedades de la media
y mediana 80
Retos 84
Bloque 4 85
Práctica 24.
Sucesiones 86
Práctica 25.
Ecuaciones de primer grado 90
Práctica 26.
Ángulos de un círculo 94
Práctica 27.
Gráficas de porporcionalidad 96
Práctica 28.
Problemas de variación lineal 100
Práctica 29.
Media ponderada 102
Retos 106
Bloque 5 107
Práctica 30.
Sistemas de ecuaciones 108
Práctica 31.
Representación gráfica
de un sistema de ecuaciones 114
Práctica 32.
Figuras simétricas 118
Práctica 33.
Ángulos centrales e inscritos 122
Práctica 34.
Funciones lineales y gráficas 126
Práctica 35.
Problemas de funciones
de la forma y  mx  b 130
Práctica 36.
Probabilidad frecuencial
y teórica 132
Retos 140
Índice
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42
Eje: Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Tema: Problemas aditivos
Sumas y restas
de monomios
Práctica 10
Resolución de problemas que impliquen adición
y sustracción de monomios
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 7
5
6
– 5
9
12
.
2. Encuentra 43
.
3. Pepe gastó
3
4
de los
300 pesos que llevaba.
¿Cuánto dinero le sobró?
4. ¿Cuál es el mínimo
común múltiplo de 30
y 12?
5. ¿Cuál es el máximo
común divisor de 30 y 12?
A
B
C
D
E
F
G
m
m
m
m
y
y
y
y
y
y
a
a
a
a
a
b
b
b
4n
3x + 4
5n - 4
4 + 3n
2x + 1
x
x
x
x
x
c
Para sumar y restar monomios, basta con realizar las
operaciones indicadas con los coeficientes de los términos
semejantes.
Ejemplos
4x  6x  10x
6y  2y  4y
3m  5m  2m
4s  5r  2s  6s  5r
Actividades
1. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
B
LO
Q
U
E
3
BL
OQ
UE
2
BLOQUE
1
BL
OQ
UE
4
BLO
QUE
5
B2
Problema
En 1899, el matemático austriaco Georg Pick encontró una manera de calcular áreas
de polígonos mediante un arreglo de puntos alineados en renglones y columnas.
Observa el siguiente ejemplo.
Los vértices de los polígonos coinciden con puntos del arreglo, de manera que
siempre se encontrarán puntos sobre el contorno de las figuras. Si B es el número
de puntos que se encuentran sobre el perímetro de la figura e I el número de puntos
dentro de ésta, la llamada ecuación de Pick indica que el área A es: A  I 
B
2
– 1.
1. Completa la siguiente tabla para encontrar el área de las figuras.
Polígono Puntos sobre el perímetro (B) Puntos interiores (I)
Área
A = I +
B
2
– 1
A
B
C
D
E
Al final de este bloque, se espera que:
Resuelvas problemas aditivos con monomios
y polinomios.
Resuelvas problemas en los que sea necesario calcular
cualquiera de las variables de las fórmulas para
obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides
rectos, y que establezcas relaciones de variación entre
dichos términos.
Competencias que se favorecen
Resolver problemas de manera
autónoma
Comunicar información
matemática
Validar procedimientos y
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
A
B
A
B C
G
H
D
I
F
E
4
Sugerencias para trabajar
en tu cuaderno
Este libro está escrito y diseñado para acompañarte a lo largo de todo tu curso
de matemáticas de segundo secundaria. Quienes lo hicimos hemos procurado
darte, con él, un material que te permita acercarte al mundo de las Matemá-
ticas. A continuación encontrarás las claves sobre cómo esta estructurado tu
cuaderno de Matemáticas 2.
Problema inicial
Para empezar cada bloque, te proponemos que resuelvas un problema
matemático que te permitirá utilizar varias de las habilidades y
conocimientos que vas a necesitar durante las páginas siguientes.
Contenidos
En cada práctica se señalan el eje y
el tema, así como el contenido que se
trabaja.
Matemáticas rápidas
Las preguntas de esta sección están relacionadas con aspectos básicos que debes ya conocer. Están pensadas
para que las respondas rápidamente, de preferencia al inicio de una sesión de clase, como preludio al trabajo
en tu cuaderno.
Aprendizajes del bloque
Al principio de cada bloque encontrarás una lista
de las competencias y contenidos que forman los
aprendizajes que lograrás en esta etapa del curso.
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43
B2
Mis dudas y preguntas
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno. Si al pagar le
descontaron el precio de tres cuadernos, ¿cuánto pagó Mariana en total?
b) Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta: las peras
a m pesos el kilo y las manzanas a n pesos el kilo. Juan Pablo compró
3 kg de pera y 2 kg de manzana y Renata compró 5 kg de pera y 1 kg
de manzana.
• ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?
• ¿Cuál fue el costo de 8 kg de pera?
• ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?
• ¿Cuánto deben pagar por las manzanas?
• Si pagaron con un billete de 200 pesos, ¿cuánto les dieron de
cambio?
c) Helena y Renata ahorraron para comprar un tren eléctrico. Si su
ahorro fue de m pesos y al pagar les descontaron 100 pesos, ¿cuánto
costó el tren?
d) En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y
las diagonales debe ser la que se indica en cada uno. Completa los
cuadrados para que sea así.
La suma debe ser 3a
La suma debe ser 1.5m
5a
0
3a
1.5m 0.5m
2a
4a
2m
La suma debe ser 0
La suma debe ser 4.5m
3
4
p
6m
1
2
p 7.5m 1.5m
p 
3
4
p
3m
¿Cuál de las siguientes
igualdades es falsa?
3x  8y  y 
9y  3x
t  3t  2t  2t
6a  2b  8ab
7u  v  5u  v 
2u  2v
Pregunta
de reflexión
5
Mide tu aprendizaje
Al final de cada bloque encontrarás una evaluación,
modelada según la prueba ENLACE, que te permitirá
conocer qué tanto has aprendido y qué puntos de tu
aprendizaje debes reforzar.
Retos
Para cerrar cada bloque vas a encontrar una serie
de problemas con mayor grado de dificultad, más
interesantes, que buscan plantearte un desafío.
Resolverlos te permitirá avanzar aún más en tu
dominio de las matemáticas.
B
L
O
Q
U
E
3
B
L
O
Q
U
E
2
B
L
O
Q
U
E
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
106
B4Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos el siguiente desafío.
I
Mientras Benito caminaba por la calle pensaba en que necesitaba hacer algo para
conseguir más dinero. En ese momento se tropezó con una mujer muy extraña
que parecía que le había leído la mente. La mujer le dijo que ella tenía poderes
y que podía hacer que su dinero se duplicara cada vez que cruzara a la acera de
enfrente. Benito pensó que había encontrado la solución a sus problemas y le
dijo a la mujer que estaba dispuesto a hacer lo que ella le decía. En ese momento
fue que la mujer le impuso una cuota de 24 pesos cada vez que cruzara la calle.
Benito accedió a pagar la cuota y empezó a cruzar la calle. Al llegar a la otra
acera contó su dinero y sí era el doble del que tenía antes de cruzar. De acuerdo
al trato, le entregó 24 pesos a la mujer.
Benito volvió a cruzar la calle y el dinero que traía en su bolsillo se duplicó. Otra
vez, de acuerdo al trato, le pagó los 24 pesos a la mujer.
Benito cruzó la calle por tercera vez y el dinero que tenía en su bolsillo se dupli-
có, pero el total era de 24 pesos, y tuvo que entregárselos a la mujer, perdiendo
todo lo que traía.
¿Cuánto dinero tenía Benito cuando hizo el trato con la mujer misteriosa?
136
aprendizaje
Mide tu
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en
tu hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. El sistema de ecuaciones
x 1 2y 5 24
2x 1 y 5 25 tiene por solución:
a) x 5 22 , y 5 21
b) x 5 2, y 5 21
c) x 5 22, x 5 1
d) x 5 2, y 5 1
2. Selecciona el sistema de ecuaciones que describa el siguiente problema:
La diferencia de dos números es 40 y 1
8
de su suma es 11.
a)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
b)
x 2 y 5 40
1
8
x 1 y 5 11
c)
x 2 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
d)
x 1 y 5 40
1
8
(x 1 y) 5 11
x
-2
4
-1
-4 -3
1 2 3
y
-3
-4
-2
-1
2
4
3
1
A
D
M
C
3. Si un sistema de ecuaciones está
representado como se muestra a
continuación, su solución es:
a) A ( 0,3)
b) M (2, 21)
c) D (4, 0)
d) C (0, 22)
Usa este espacio para tomar nota de lo que te parezca importante, de las
dudas que consideres necesario aclarar con tu profesor o de los puntos que
surjan a lo largo de tu trabajo que no quieras olvidar.
Práctica
Tu cuaderno de Matemáticas 2 está formado
esencialmente por prácticas que son, cada una,
una oportunidad para utilizar lo que aprendes en
clase, perfeccionarlo y llevarlo más allá.
En algunas prácticas hay una pregunta de reflexión
que te permitirá pensar en el tema que se estudia
con un poco más de profundidad.
Texto explicativo
Al inicio de cada práctica encontrarás un resumen sencillo y
práctico de lo que has aprendido en clase, y que te resultará
útil para despejar dudas y como fuente de consulta. Las
palabras claves están resaltadas.
Actividades
Aquí encontrarás la parte fundamental de tu cuaderno de
Matemáticas 2. Tu maestro te indicará si trabajas cada ejercicio
de manera individual o en equipo, en clase o de tarea.
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6
Antes de iniciar
Tienes en tus manos un cuaderno de Matemáticas 2 que ha sido escrito,
editado y publicado pensando en ti.
Su propósito básico es funcionar como un complemento al trabajo de tu maes-
tro, y acompañarte en cada una de las clases del año escolar que inicia, para
ofrecerte:
• Oportunidades de aprendizaje, a través de las muchas actividades que lo inte-
gran, y que están diseñadas para que, mediante la ejercitación, fortalezcas
las habilidades, actitudes y destrezas.
• Una herramienta de consulta, pues en los textos expositivos que acompañan
a las prácticas podrás reforzar los conocimientos con los que tu maestro
trabajará a profundidad durante las sesiones de clase.
• Un espacio de trabajo. En un recorrido rápido por sus páginas, fácilmente
constatarás que tu cuaderno de Matemáticas 2 te proporciona amplias sec-
ciones para que anotes, dibujes, bosquejes, grafiques y traces esquemas,
entre otras tareas relacionadas con tu trabajo cotidiano en la clase de ma-
temáticas.
A semejanza de lo que pasa en un salón de clases, donde alumnos y profesor
cooperan de diversas maneras para que todos aprendan y se enriquezcan con
los puntos de vista y la experiencia de los demás, hacer un libro como éste es
también una trabajo de equipo. Todos quienes participamos en su preparación
deseamos contribuir, con él, a tu formación académica y te deseamos que este
curso de Matemáticas 2 sea una experiencia de aprendizaje inolvidable.
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L
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2
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B
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4
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5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2
11 12 13
22
79
88 89 90
99
27
36 37 38
47
Nota que:
• El número del centro es el promedio de los 5 números.
• La suma de los números es múltiplo de 5.
• El producto del número de arriba y el número de abajo es igual al cuadrado del
número del centro menos 100.
• El producto del número de la izquierda y el de la derecha es igual al cuadrado
del número del centro menos uno.
Considera distintos arreglos en cruz dentro del tablero y para cada uno contesta
lo siguiente.
1. ¿Cuáles son los números que incluye el arreglo?
2. ¿Hay alguna relación entre el número de arriba y el de abajo?
3. ¿Existe alguna relación entre el número de la izquierda y el de la derecha?
¿Cuál?
4. Si se conoce el número que está arriba ¿se puede saber cuáles son los demás?
5. ¿La suma de los cinco números es par o impar?
6. ¿Qué relación tiene el número de arriba con el número del centro?
7. ¿Qué relación tienen los tres números de la fila del centro?
8. ¿Qué relación tienen los tres números de la columna del centro?
Problema basado en la actividad de Andrew Derer
de Math Science Innovation Center and Art Stoner of A+Compass
Problema
Observa con cuidado el siguiente
tablero.
Analiza la relación que existe
entre los números del tablero que
forman una cruz, como en los
siguientes ejemplos.
B1
autónoma
matemática
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
• Calcula el área total del terreno que se compró.
• Si el salón de usos múltiples se construye en 300 m2
del terreno y mide 20 m de
profundidad, ¿cuánto debe medir de frente?
• ¿Qué porcentaje del terreno que se compró ocupará el salón de usos múltiples y la
cancha de basquetbol?
• Si se va a destinar un 16% del terreno comprado para sembrar hortalizas, ¿cuántos
metros cuadrados tiene esta área?
• Los alumnos de segundo van a colaborar con la limpieza del terreno. En 2° A hay 34
alumnos y en 2° B hay 41. Si cada día colaboran con la misma cantidad de trabajo, en
determinado momento, ¿será más probable que un alumno sea del 2° A o del 2° B?
Problema
La escuela compró el terreno que se encuentra en la esquina. En el plano se muestran
las dimensiones del terreno y el área que se piensa destinar para el salón de usos
múltiples, la hortaliza y la cancha de basquetbol.
Resuelvas problemas que implican el uso de las leyes
de los exponentes y de la notación científica.
Resuelvas problemas que implican calcular el área y el
perímetro del círculo.
Resuelvas problemas que implican el cálculo de
porcentajes o de cualquier término de la relación:
Porcentaje = cantidad base × tasa, incluyendo
problemas que requieren de procedimientos recursivos.
Compares cualitativamente la probabilidad de eventos
simples.
autónoma
matemática
Validar procedimientos
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
Calle Moras
33 m
31 m
20 m
11 m
12 m
31 m
Cancha de
basquetbol
Salón de usos
múltiples
Hortaliza
Ca
lle
Fre
sas
Escuela
10 m
A = 1151 m2
184.16 m2
Es más probable que sea de 2° B
15 m
53.87 %
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Tema: Problemas
multiplicativos
Multiplicación
de números con signo
Práctica 1
Para multiplicar y dividir números con signo se siguen las
reglas siguientes.
Para multiplicar
Regla Ejemplo
(positivo)(positivo)  (positivo) (4)(3)  (12)
(negativo)(negativo)  (positivo) (9)(6)  (54)
(positivo)(negativo)  (negativo) (5)(3)  (15)
(negativo)(positivo)  (negativo) (7)(4)  (28)
Para dividir
Regla Ejemplo
(positivo)
(positivo)
 (positivo)
28
4
 7
(negativo)
(negativo)
 (positivo)
15
3
 5
(positivo)
(negativo)
 (negativo)
32
4
 8
(negativo)
(positivo)
 (negativo)
56
8
 7
Actividades
Multiplicación y división de números enteros
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) (5)(7)
b) (9)(4)
c) (3)(4)
d) (8)(4)
e) (1)(1)(1)
f) (4)(
1
2
)
g) (3)(4)(1)(2)
h) (6)(0.3)(10)
i) (
2
5
)(
1
2
)
Matemáticas
rápidas
1. Suma
102.348
0.987
 3.071
2 710.043
2. Calcula el 40% de 20.
3. Encuentra 4.35  12.
4. Encuentra los
5
8
de 16.
5. Gabriela, la capitana
del equipo de natación,
está vendiendo donas
para reunir fondos para
comprar uniformes.
Si hacer cada dona
le cuesta 20 pesos y
las vende a 35 pesos,
¿cuántas donas debe
vender para juntar 6 000
pesos?
2 816.449
10
Deben vender 400 donas
8
52.2
= + 35
= – 36
= – 12
= + 32
= – 1
= + 2
= – 24
= – 18
= + 1
5
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B
1
j) (4)(
1
2
)(
3
5
)
k) (9)(5)(2)(
1
3
)
l)
72
8
m)
45
9
n)
24
3
o)
121
11
p) (6)(5)(
2
5
)
q) (4)(
3
2
)
r) (5)(7)(
2
10
)
s) (8)(
6
24
)
t) (7)(10)(
1
1
)
2. Encuentra los números que faltan en las siguiente operaciones.
a) (5)( )  35
b) (8)( )  56
c) ( )(5)  15
d) (9)( )  54
e) (1)( )  1
f) (5)( )  .5
g) (3)( )  12
h) ( )(0.3)  1.8
i) (
2
5
)( )  
1
5

j) (4)( )  2
k) ( )(
1
2
)  3
l)
(7)
  1
m)

(8)
 2
n)
(18)
 9
o)
(5)
 
5
2

p)
(8)
 40
q)
(9)
 3
r)
(
1
2
)
 
2
5
s)
(3)
 1
t)
(10)
 20
= + 6
5
= + 30
= + 9
= – 5
= – 8
= – 11
= + 12
= – 6
= – 7
= + 2
= 70
– 7
3
– 7
– 1
21
– 1
50
– 5
4
+ 3
– 1
2
– 1
2
– 1
2
– 18
103
– 2
+ 4
+ 2
+ 2
+ 320
– 3
– 6
3
5
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10
Potencias
Práctica 2
Tema: Problemas
multiplicativos La expresión an
es una potencia. El número a se llama base y
n se llama exponente.
an
significa que a se multiplica por sí misma n veces:
an
 a  a  a... a
Ejemplos
23
 2  2  2  8 (
2
3
)4

2
3

2
3

2
3

2
3

16
81

52
 5  5  25 (0.5)2
 0.5  0.5  .25
Leyes de los exponentes
• Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los
exponentes.
Regla Ejemplo
am
 an
 am+n
33
 32
 (3  3  3)  (3  3)  33+2
 35
 243
• Para dividir dos potencias de la misma base, se restan los
exponentes.
Regla
am
an
Ejemplo
45
42 
4  4  4  4  4
4  4
 4  4  4  45-2
 43
 64
• Para elevar una potencia a otra potencia de la misma base
se multiplican los exponentes.
Regla Ejemplo
(am
)n
 am  n
(23
)2
 (2  2  2)  (2  2  2)  26
 64
• Un número elevado a un exponente negativo es igual a una
fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la
misma potencia pero positiva.
Regla Ejemplo
a-n

1
an 2-3

1
23 
1
8

• Un número (diferente de cero) elevado al exponente cero es
igual a 1.
a0
 1 230
 1
• Un número elevado al exponente 1 es igual sí mismo.
a1
 a (0.7)1
 0.7
Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias
de una potencia
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 6  2
7
12
.
2. ¿Qué valor de n hace
cierta la igualdad
25
100

n
4
?
común divisor de 10
y 12?
4. Maricarmen jugó
basquetbol durante 2
horas y 30 minutos.
Si cada partido dura
25 minutos, ¿cuántos
partidos jugó?
5. ¿Cuántos cuartos hay en
tres enteros?
n veces
n = 1
7
2
6 partidos
12 cuartos
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11
B
1
1. Encuentra el valor de cada expresión.
a) (25
)(22
)
b) 42
c)
35
32
d) (42
)3
e) 31

f) (
2
3
)5

g)
53
50
h) (42
)2

i) (62
)(62
)
j)
75
73
k) 52
l) 25
m) 1250
n)
67
64
o) (23
)(24
)(2)
p) (32
)4
q) 72
r)
3(33
)
32
s) (
1
2
)1

t) (52
)2
Actividades
¿Cuál de los siguientes
números es diferente
a la unidad?

33
27

a 4
(a 2
)2
y 0

x
x 1
Pregunta
de reflexión
= 27
= 128
= 1
16
= 33
= 27
= 46
= 4 096
= 1
3
= 32
243
= 53
= 125
= 44
= 256
= 64
= 1 296
= 72
= 49
= 1
25
= 1
32
= 1
= 63
= 216
= 28
= 256
= 38
= 6 561
= 1
49
= 3 2
= 9
= 2
= 54
= 625
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12
Ángulos
Práctica 3
Eje: Forma, espacio y
medida
Tema: Figuras y cuerpos
Relaciones entre los ángulos que se forman entre
dos rectas paralelas cortadas por una secante
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Los ángulos internos de cualquier cuadrilátero suman 360º.
a  b  c  d  360º
Cuando una recta corta a dos paralelas, se forman 8 ángulos
que se clasifican de la siguiente manera. Nota que, por pa-
rejas, algunos son iguales y algunos son suplementarios (es
decir, suman 180º).
Ángulos correspondientes
a  e b  f
c  g d  h
Ángulos alternos
Internos
c  f d  e
Externos
a  h b  g
Ángulos colaterales
Internos
c  e  180º d  f  180º
Externos
a  g  180º b  h  180º
Los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180º.
a  b  c  180º
a
d
b
c
a  d
c  b
a
d
f
g
e
h
b
c
a
d
b
c
a
b
c
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 8  54.03.
2. Viviana ganó 7 350
pesos dando clases
particulares de griego.
Si cobra 350 pesos por
hora, ¿cuántas clases
impartió?
3. ¿Cuántas monedas de
5 centavos se necesitan
para reunir 43 pesos?
4. Escribe ,  o  según
corresponda.
• 15  25
5 docenas
• 25  4  4
50  2  4
• 200  12
6 800  4 400
5. Realiza las siguientes
conversiones.
• ¿Cuántos kilos son
12.5 g? kg
• ¿Cuántos litros son
500 ml? l
• ¿Cuántos gramos son
0.02 kg? g
21
432.24
860 monedas

=
=
0.012
0.5
20
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13
B
1
1. Encuentra en cada caso el valor del ángulo x.
a)
c)
e)
28º
x
84º
x
145º
x
15º
x
95º
x
10º x
b)
d)
f)
Actividades
≮x = 28°
≮x = 145°
≮x = 85°
≮x = 84°
≮x = 165°
≮x = 170°
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14
Práctica 3
2. Encuentra el valor de los ángulos que se indican.
Pregunta
de reflexión
Supón que los ángulos A y
C, y B y D, son opuestos por
el vértice, y que A y B son
ángulos contiguos. Si A 
B, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es falsa?
Los ocho ángulos son
iguales.
Los cuatro ángulos son
rectos.
∠B  ∠D.
Dos ángulos son
agudos y dos son
obtusos.
a
50º
e b
c
f
g d
c =
e =
d =
f =
x
5x
4
3
2
1
1 =
3 =
2 =
4 =
a) b)
x
a
c
b
e
f
d
3x
c =
e =
d =
f =
x a
c
b
e f
d
x + 20
a =
c =
b =
e =
c) d)
a
c
b
e
f
d
x + 50
3x - 6
a =
c =
b =
d =
e)
a
c
b
e
f
d
3x + 93
2x + 32 b =
e =
c =
f =
f)
130°
50°
130°
50°
100°
80°
100°
100°
84°
96°
96°
84°
126°
54°
126°
54°
150°
150°
30°
30°
45°
45°
45°
135°
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15
B
1
x
110º
30º
x =
x
x
x
b =
a =
c =
a
b c
a
c
b
4x
3x
2x
b =
a =
c =
a
c
b
l1
l3 l4
l2
d
98º
b =
a =
c =
l3
l4
d=
l1
l2
x
4x
4x
b =
a =
c =
a
b
c
c
b
x
x -155º
5º
b =
a =
a
c =
a
c
b
e f
l1
l2
d
65º
47º
b =
a =
c =
l1
l2
e =
d=
f =
b =
a =
a
b
x
2x + 75
g)
i)
k)
m)
h)
j)
l)
n)
40°
80°
80°
20°
60°
60°
60°
10°
165°
5°
40°
60°
80°
98°
82°
82°
98°
35°
145°
47°
47°
68°
68°
65°
112°
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16
Eje: Forma, espacio y
medida
Construcción
de triángulos
Práctica 4
Matemáticas
rápidas
1. Alicia obtuvo las
siguientes puntuaciones
jugando boliche: 230,
197, 176, 195 y 206.
¿Cuál fue su promedio en
estos cinco juegos?
2. Calcula 3
1
15
 2
1
2
.
3. Ordena de menor a
mayor los números 0.7,
0.07, 7.00007, 0.007.
4. 5 
3
5
5. 0.50 45.75
Construcción de triángulos con base
en ciertos datos. Análisis de posibilidad
y unicidad en las construcciones
Es posible construir un triángulo único cuando se cumplen
cualesquiera de las siguientes condiciones:
• Dados tres segmentos de recta AB, BC y CA, tales que AB 
BC  CA.
• Dados dos segmentos de recta AB y BC, y el ángulo ∡b
comprendido entre ellos.
• Dados dos ángulos ∡a y ∡b y el segmento entre ellos.
A B
B C
C A
B C
A
A B
B C
b = 70º A B
b
C
A B
a = 43º A B
b
a
b = 21º
200.8
0.0070.070.77.00007
= 91.5
= 22
5
– 4
5
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17
B
1
1. Construye los triángulos con la información que se da para cada caso.
a)
b)
c)
Actividades
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18
d)
e)
f)
Práctica 4
b = 20º
20°
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19
g)
h)
i)
B
1
Si los siguientes números
son longitudes de
segmentos, ¿con cuáles
no se pueden construir
triángulos?
3, 4, 5
1.5, 2, 2.5
11, 15, 26
8, 9, 4
Pregunta
de reflexión
b = 135º
b = 45º
b = 84º
84°
45°
135°
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20
j)
k)
l)
Práctica 4
b = 105º
a = 74º
b = 65º
a = 35º
b = 100º
105°
74° 65°
100°
35 °
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21
m)
n)
o)
B
1
a = 12º
b = 18º
a = 30º
b = 60º
a = 60º
b = 60º
60°
60° 30°
12° 18°
60°
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22
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Áreas de figuras
compuestas
Práctica 5
Cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo
áreas laterales y totales de prismas y pirámides
Matemáticas
rápidas
1. Alejandro durmió 9.5
horas. Si se despertó a
las 7:45 am, ¿a qué hora
se durmió?
2. Calcula 72
.
3. ¿Cuánto es el cociente
0.09
1.305
?
4. ¿Cuánto es el cociente
15
392.55
?
5. Encuentra 2 234.65 
3 211.27.
El área es la medida de la superficie encerrada en un contorno
determinado. Una estrategia para calcular el área de figuras
compuestas consiste en dividirlas en figuras conocidas y sumar
las respectivas áreas.
Las siguientes fórmulas permiten calcular el área de algunas
de las figuras más comunes.
Triángulo
Rectángulo
Círculo
Ejemplo
Para encontrar el área de la siguiente figura, se puede considerar
que el área total es la suma de las áreas del rectángulo y del
triángulo en que se dividió la figura.
Por lo tanto:
Atotal
 Atriángulo
 Arectángulo
bh
2
 ab 
(1.5) (3)
2
 (3.5)(3)  12.75 cm2
b
h A = bh
2
A = ba
b
a
A = πr2
r
5 cm
3.5 cm
3 cm
10:15 pm
49
0.069
0.573
5445.92
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23
B
1
1. Calcula el área de cada una de las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
Actividades
2.5
cm
3 cm
3 cm
2.5 cm
3 cm
2.5 cm
4 cm
2.5 cm
4 cm
2.5
cm
1.5 cm
Imagina que tienes un
cuadrado de lado 2 y
un círculo de radio 1.
¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son ciertas?
El círculo puede
trazarse dentro del
cuadrado.
El cuadrado puede
trazarse dentro del
círculo
El diámetro del círculo
y el lado del cuadrado
son iguales.
El círculo tiene menor
área que el cuadrado.
Pregunta
de reflexión
A = 3.75 cm2
A = 3.75 cm2
A = 3.75 cm2
A = 10.0 cm2
A total
= 10.0 cm2
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24
Práctica 5
f)
g)
h)
2. Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.
a)
b)
5 cm
3
cm
3.5 cm
1 cm
6.4 cm
2
cm
1.3
cm
12 m
5
m
4.5
cm
2
.
2
c
m A = 12.75 cm2
A = 10.56 cm2
A = 86.55 m2
A = 9.03 cm2
A = 7.6 cm2
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25
B
1
c)
d)
3. Calcula el área de una de las bases triangulares del siguiente prisma.
4. Calcula el área lateral y el área total de la siguiente pirámide.
4 m
1.5 m
1.25 m
3
m
1
m
1.25
m
3 m
2.75
m
4 cm
4 cm
5 cm
10 cm
4
cm
4 cm
7
.
5
c
m
Área de una cara lateral = 15 cm2
Área lateral = 60 cm2
Área de la base = 16 cm2
Área total = 16 cm2
+ 60 cm2
= 76 cm2
Área rectángulo = 12 m2
Área de la ventana = 1.5 m2
Área de la puerta = 3.4375 m2
Área sombreada = 12 m2
– 1.5 m2
– 3.4375 m2
= 7.0625 m2
Área del cuadrado = 16 cm2
Área del triángulo = 8 cm2
Área sombreada= 16 cm2
– 8 cm2
= 8 cm2
Área = 10 cm2
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26
Porcentajes
Eje: Manejo de la
información
Tema: Proporcionalidad
y funciones
Práctica 6
Resolución de problemas diversos relacionados
con porcentajes
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuántos milímetros son
43.5 cm?
2. Un 75% de la altura de
un edificio equivale a
10.8 metros. ¿Cuánto
mide el edificio
completo?
3. Memo trabaja de medio
tiempo en una escuela
y gana $280 por hora.
¿Cuánto gana en
12 días si trabaja
5 horas diarias?
4. Calcula 657.05  9.
5. Cada uno de los cuatro
miembros de la familia de
Juan come una toronja en
el desayuno diariamente.
¿Cuántas docenas de
toronja consumen en una
semana?
Un porcentaje es una fracción con denominador 100.
Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se puede
dividir el porcentaje entre 100 y multiplicar el producto por la
cantidad.
Ejemplo
Para calcular 16% de 336:
16
100
 0.16
0.16  336  53.73
El 16% de 336 es 53.73.
Para saber qué porcentaje representa una cantidad respecto de
otra, se puede dividir la primera entre la segunda y multiplicar
el resultado por 100.
Ejemplo
Para calcular qué tanto por ciento es 4 de 24, dividimos
4
24
 0.1667
y luego 0.1667  100  16.67%
4 es el 16.67% de 24.
Para averiguar una cantidad (total) a partir de una parte de
ella y el porcentaje que representa, se puede dividir la parte
conocida entre el porcentaje y multiplicar este resultado por
100.
Ejemplo
Para encontrar la cantidad de la cual 43 es 15%, dividimos:
43
15
 2.867
y luego 2.867  100  286.7
43 es el 15% de 286.7
435 mm
14.4 m
$ 16 800
5 913.45
Dos docenas y 4
toronjas
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27
B
1
1. Calcula los porcentajes que se indican.

a) 15% de 60

b) 8% de 200

c) 33% de 9

d) 14% de 560

e) 56% de 320
f) 67% de 386

g) 46% de 2 783

h) 18% de 0.37
i) 38% de 34.6
j) 70% de 0.436

k) 0.2% de 930
l) 0.63% de 852

m) 256% de 3

n) 25% de 27

o) 75% de 4.655

p) 34% de 15

q) 40% de 2 000
r) 1 000% de 36

s) 0.05% de 6 325
t) 20% de 930
Actividades
= 9
= 16
= 2.97
= 78.4
= 179.2
= 258.62
= 1280.18
= 0.0666
= 13.148
= 0.3052
= 1.86
= 5.3676
= 7.68
= 6.75
= 3.49125
= 5.1
= 800
= 360
= 3.16
= 186
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28
Práctica 6
2. Calcula qué tanto por ciento es la primera cantidad de la segunda.

a) 7 es el % de 35

b) 46 es el % de 35

c) 249 es el % de 300

d) 17.82 es el % de 27

e) 78.4 es el % de 56
f) 9.92 es el % de 16

g) 10 es el % de 400

h) 9 es el % de 900
i) 3.015 es el % de 18
j) 460 es el % de 1472

k) 4.179 es el % de 27.86
l) 58.24 es el % de 56

m)
23.1 es el % de 165

n) 157.8 es el % de 374

o) 42.38 es el % de 978

p) 93.65 es el % de 187.3

q) 716 es el % de 99
r) 0.58 es el % de 8.15

s) 29 es el % de 290
t) 1 458 es el % de 2 430
20
131.42
83
66
140
62
2.5
1
16.75
31.25
15
104
14
42.19
4.33
50
723
7.11
10
60
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29
B
1
3. Completa correctamente las afirmaciones.

a) 11 es el 9% de:

b) 740 es el 25% de:
c) 45 es el 0.05% de:

d) 0.904 es el 10% de:

e) 5.16 es el 73% de:
f) 1314 es el 210% de:

g) 612 es el 19% de:

h) 253.7 es el 36% de:
i) 0.005 es el 1.05% de:
j) 8 390 es el 150% de:

k) 125 es el 20% de:
l) 1.5 es el 0.34% de:

m)
144.3 es el 57% de:

n) 82 es el 66% de:

o) 40 es el 25% de:

p) 63.07 es el 95% de:

q) 720 es el 45% de:
r) 9 es el 13.02% de:

s) 2 037 es el 73.8% de:
t) 25 es el 80% de:
¿De qué número 5 400 es el
300%?
16 200
162
1 800
3 600
Pregunta
de reflexión
122.2
2 960
90 000
9.04
7.07
625.71
3 221
704.7
0.476
5 593.3
625
441.2
253.2
124.2
160
66.4
1600
69.1
2 760.2
31.25
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30
Porcentajes y tasas
Eje: Manejo de
la información
y funciones
Práctica 7
Resolución de problemas que impliquen el cálculo
de interés compuesto, crecimiento poblacional u
otros que requieran procedimientos recursivos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 86  30  100.
2. ¿Cuáles son los primeros
cuatro múltiplos de 17?
3. Abril toca la guitarra
cinco horas y media a la
semana. ¿Cuántas horas
practica en un año?
4. ¿Qué porcentaje de la
figura está sombreada?
5. Ordena de mayor a menor
los siguientes números:
7.3, 7.33, 7.033, 3.7.
Cuando una cantidad de dinero se invierte o se pide prestada,
genera una ganancia (en el primer caso) o da lugar a un costo,
que en los dos casos se llama interés.
El interés de un préstamo es compuesto cuando el costo o la
ganancia que se obtiene al final de cada período se reinvierte
o se añade al capital inicial.
Ejemplo
¿Cuál es el interés compuesto que producen 60 pesos invertidos
al 5% anual por tres años?
Interés del primer año: 5% de 60  3 pesos. Saldo: 63 pesos
Interés del segundo año: 5% de 63  3.15 pesos. Saldo: 66.15
pesos.
Interés del tercer año: 5% de 66.15  3.31 pesos. Saldo: 69.46
pesos
Un modelo matemático que sirve para calcular el interés
compuesto es el siguiente:
St
 S0
(1  i)t
S0
representa el capital o saldo inicial
i es la tasa de interés expresada en decimales
t es el número de años o periodos
St
es el saldo después del tiempo t
Para hallar el interés compuesto del ejemplo anterior con el
modelo que hemos mencionado, hacemos:
St
 60(1  .05)3
 60(1.05)3
 60(1.157625)  69.4575 ≈ 69.46
El crecimiento de una población puede modelarse como el del
interés compuesto si se considera una cantidad llamada tasa
de crecimiento anual, que indica el porcentaje de individuos
nuevos que se incorporan anualmente a la población total.
A partir de esto, podemos aplicar la fórmula:
Pt
 P0
(1  r)t
en la que:
P0
representa la población inicial;
r es la tasa de crecimiento anual;
t es el número de años después del año inicial y
Pt
es la población total después de t años.
258 000
17, 34, 51, 68
286 horas
40 %
7.33 7.3 7.033 3.7
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31
B
1
a) Calcula el interés compuesto que generan 200 pesos al 3% anual en
dos años.
b) ¿En cuánto se convierten 500 pesos al 3% anual de interés
compuesto en 2 años? Calcula la ganancia en cada año.
c) ¿En cuánto se convierten 13 456 pesos al 8% en 3 años? Calcula la
ganancia en cada año.
d) La señora Domínguez invirtió 75 000 pesos a tres años con un interés
del 16% anual. ¿Cuanto recibe al vencimiento de su inversión? ¿Cuál
es el saldo al cabo de cada año?
e) En el año 2 000 una universidad pública tenía 65 000 estudiantes
en sus diferentes facultades. Si la tasa de crecimiento que tiene la
universidad es de 7% anual y se conserva, ¿cuál será su población
estudiantil en el 2015?
f) En el año 1995 la población del estado de Nuevo León era de
3 550 114 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual es de 1.7%,
¿cuál será la población en el año 2015?
g) Muchos países del mundo tienen una tasa de crecimiento
demográfico del 3% o más al año. Con dicha tasa, ¿cuál será
la población mundial dentro de 23 años, si actualmente es de
7 000 000 000 de personas?
Actividades
En 23 años la población mundial casi se duplicará, ya que habrá
13 815 105 580 habitantes.
Interés 1er
año = 3% de 200 = 6 Importe $ 206
Interés 2do
año = 3% de 206 = 6.18 Importe $ 212.18
Interés por 1er
año = 3% de 500 = 15 Importe $ 515
Interés por 2do
año = 3% de 515 = 15.45 Importe $ 530.45
Interés por el 1er
año = 8% de 13 456 = 1 076.48 Importe $ 14 532.48
Interés por el 2do
año = 8% de 14 532.48 = 1 162.60 Importe $ 15 695.10
Interés por el3er
año = 8% de 15 695.10 = 1 255.608 Importe $ 16 950.70
St = 7 500 (1 + 0.16)3
= 7 500 (10.16)3
= 7 500 (1.560 896) = 11 706.20
En el año 2015 la universidad tendrá 179 337 alumnos.
En el año 2015 el Estado de Nuevo León tendrá a 4 973 491 habitantes.
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32
Eje: Manejo de
la información
Tema: Nociones
de probabilidad
Probabilidad
Práctica 8
Comparación de dos o más eventos a partir de sus
resultados posibles, usando relaciones como: “es
más probable que…”, “es menos probable que…”
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 2  5  3 
3  2  5  3.
2. Calcula 92
.
3. Calcula 34
.
4. ¿Qué porcentaje de la
figura está sombreada?
5. Calcula mentalmente 63
entre 7 por 6 menos 8
más 4 entre 10.
La probabilidad es una medida de qué tan posible es que
suceda un evento.
Es importante mencionar que:
• La probabilidad de cualquier evento es siempre un número
entre 0 y 1:
0  P  1
• Si un evento A no ocurre bajo ninguna circunstancia decimos
que se trata de un evento imposible y su probabilidad es cero:
P(A) = 0
• Si un evento A siempre ocurre, se dice que se trata de un
evento seguro y su probabilidad es 1:
P(A) = 1
Si A representa un evento, la probabilidad de que A suceda se
calcula de la siguiente manera:
P(A) =
veces en que puede presentarse el evento
total de resultados posibles
Al total de resultados posibles de un evento se le llama espacio
muestral.
Ejemplos
• Al tirar una moneda, el total de posibilidades son dos: águila
o sol. Cada una de ellas es un evento. La probabilidad de que
ocurra cualquiera de los dos es:
veces que se presenta el evento
casos posibles
=
1
2
• Si se saca un boleto de una urna para ganar un premio, el
número de posibilidades es igual al total de boletos y el
evento de ganar sólo uno. Por lo tanto, la probabilidad de
ganar el premio es:
P(Premio) =
1
número de boletos
• Si se escoge una carta de una baraja común de 52 cartas,
como cuatro de ellas son ases, resulta que la probabilidad
de sacar un as es:
P(As) =
4
52
2700
= 81
= 81
10%
5
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33
B
1
1. En un salón hay siete niñas y dos niños.
a) Si se selecciona un alumno al azar, ¿qué es más probable, que sea
una niña o un niño?
b) Si se elige una pareja al azar, ¿qué es menos probable que salga: dos
niñas, dos niños o una niña y un niño?
c) En un closet hay tres camisas blancas, dos camisas azules, dos
pantalones negros y cuatro pantalones cafés. Si se saca un atuendo al
azar, ¿qué es más probable que salga: una camisa azul con pantalón
negro o una camisa blanca con pantalón café?
d) En una baraja normal, si se toman cuatro cartas al azar, ¿qué es lo
más probable que salga: cuatro cartas del mismo número o cuatro
cartas de la misma figura?
e) Al tirar dos dados iguales, ¿qué tiene la menor probabilidad de salir
en las caras superiores: dos números iguales o dos cuya suma sea
11?
f) De un conjunto de tarjetas numeradas del 1 al 100 se sacan tres.
¿Qué es menos probable: que salgan tres números pares, que los tres
terminen en 5 o que dos sean pares y uno impar?
g) Si en una ciudad llueve 150 días al año, ¿qué es más probable: un
día lluvioso o un día sin lluvia?
Federico participa en una
rifa en la que gana uno
de cada 100 boletos. Para
asegurarse de ganar el
premio, ¿qué necesita
hacer?
Participar 100 veces en
la misma rifa.
Es imposible tener la
seguridad de ganar.
Comprar todos los
boletos.
Pregunta
de reflexión
Actividades
Un día sin lluvia
Una niña
Dos niños
Camisa blanca y pantalón café
4 cartas de la misma figura
Que la suma sea 11 puntos
Que los tres números terminen en 5
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34
Eje: Manejo de
la información
Tema: Análisis
y representación
de datos
Media, mediana
y moda
Práctica 9
Análisis de casos en los que la media
aritmética o mediana son útiles para
comparar dos conjuntos de datos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula
864
10
y
864
100
.
2. Calcula 0.3256  1 000
y 0.3256  100.
3. ¿Cuánto es el 30% de
150?
4. ¿Cuánto es el 150% de
70 y el 200% de 5?
5. Rodolfo tiene tres
monedas de 10 pesos,
quince de 50 centavos,
treinta y cuatro de 20
centavos, trece monedas
de 10 centavos y ocho
monedas de 5 centavos.
¿Cuánto dinero tiene?
La media, la mediana y la moda son medidas que ayudan a
analizar conjuntos de datos. Se conocen como medidas de
tendencia central.
La media (X) de un conjunto de datos {X1
, X2
, X3
, …, XN
} se calcula
sumando todos los datos y dividiendo la suma entre el número
de datos:
X 5
X1
 X2
 X3
 …  XN
N
Ejemplo
La media del conjunto de datos:
5, 2, 6, 4, 2, 6, 5.
Se calcula así:
5  2  6  4  2  6  5
7

30
7
 4.29
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de la lista
de datos una vez que éstos se ordenan en forma creciente o
decreciente. Si el número de datos es impar, este valor es el del
centro; si es par, la mediana se encuentra promediando los dos
valores que están a la mitad de la lista.
La moda es el valor que más se repite en la lista de datos. Por
ejemplo, si se consideran los datos 4, 6, 2, 7, 4, 3, 4, 5 y 3, la
moda es 4.
Actividades
1. Tres alumnos de la clase de matemáticas obtuvieron las siguientes
calificaciones.
Alumno A: 10, 10, 5, 10, 10, 10, 3, 10, 9.
Alumno B: 9, 8, 7, 10, 8, 8, 9, 8, 10.
Alumno C: 10, 10, 9, 9, 8, 8, 7, 7, 9.
86.4 y 8.64
325.6 y 32.56
45
105 y 10
$ 46
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A.
de
C.
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35
B
1
a) Utiliza los datos para llenar la siguiente tabla.
Alumno Media Mediana Moda
A
B
C
b) ¿Consideras, a partir de sus calificaciones, que los tres alumnos
tienen el mismo nivel de conocimiento de la materia? ¿Por qué?
c) ¿En cuál de estos casos la media refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
d) ¿En cuál de estos casos la mediana refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
e) ¿Cuál de estos alumnos consideras que necesita reforzar sus
conocimientos? ¿Por qué?
8.5 10 10
8.5 8 8
8.5 9 9
Respuesta libre (R. L.)
R. L.
R. L.
R. L.
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A.
de
C.
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36
Práctica 9
2. La maestra ha decidido eliminar las calificaciones extremas, es decir, la
mayor y la menor, y calcular nuevamente la media para tratar de encontrar
mejores medidas del rendimiento de cada alumno. Completa la siguiente
tabla con los nuevos valores.
A
B
C
a) Estos valores de la media, ¿reflejan mejor el aprovechamiento de los
alumnos? ¿Por qué?
b) Explica los nuevos resultados para la mediana y la moda.
3. Para averiguar cuál es el progreso de los alumnos, la maestra decidió pedir
una tarea adicional. ¿Cuál sería tu predicción sobre las calificaciones que
cada alumno obtendrá de la nueva tarea? ¿Por qué?
9.1 10 10
8.6 8 8
8.6 9 9
R. L.
R. L.
R. L.
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S.
A.
de
C.
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37
B
1
4. Después de la tarea adicional, los alumnos obtuvieron el mismo promedio
que antes.
a) ¿Cuál fue la calificación que obtuvo cada uno?
b) Supón que en la tarea adicional todos obtuvieron 8 de calificación.
Calcula los nuevos valores para la mediana y la moda y completa la
siguiente tabla.
A 9
B 8.5
C 8.5
c) ¿En cuál de estos casos la media refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
d) ¿En cuál de estos casos la mediana refleja mejor el desempeño del
alumno? ¿Por qué?
e) Establece cuál de las medidas de tendencia central describe mejor el
aprovechamiento de cada alumno y por qué.
10 10
8 8
8.5 8 y 9
R. L.
R. L.
R. L.
Alumno A = 9.1
Alumno B = 8.6
Alumno C = 8.6
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A.
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38
aprendizaje
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en tu
hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. Al resolver la operación
(8)(5)(2)
10
se obtiene:
a) 8
b) 8
c) 200
10
d)
200
10
2. 5-2
es igual a:
a) 10
b) 10
c) 25
d)
1
25
3. En la figura de la izquierda l y m son rectas paralelas. Si la medida del
ángulo 2 es de 73o
, ¿cuánto mide el ángulo 7?
a) 73º
b) 107º
c) 180º
d) No se puede saber.
4. Los ángulos alternos internos de la figura del problema anterior son:
a) 1 y 3
b) 2 y 7
c) 4 y 6
d) 1 y 5
5. El resultado de
4  103
 1.5  101
2  108 es:
a) 3  1010
b) 3  1010
c) 3  1012
d) 3  1012
6. Para construir un triángulo es suficiente conocer los siguientes datos:
a) Dos de sus ángulos.
b) Uno de sus lados y un ángulo.
c) Uno de sus ángulos y un lado.
d) Los tres lados.
Mide tu
1 2
3
4
5 6
7
8
l
m
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A.
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39
7. ¿Cuánto mide el ángulo que falta del siguiente triángulo?
a) 30º
b) 45º
c) 150º
d) No puede saberse
8. A Joaquín le aumentaron su sueldo un 20% y actualmente gana 6 000
pesos. ¿Cuánto ganaba antes del aumento?
a) 7 200 pesos
b) 4 800 pesos
c) 1 200 pesos
d) 5 000 pesos
9. El área total del siguiente prisma es:
a) 200 u2
b) 220 u2
c) 240 u2
d) 260 u2
10. Calcula el área de la parte sombreada de la siguiente figura.
a) 6 u2
b) 2 u2
c) 8 u2
d) 12 u2
11. En un salón de 35 alumnos hay 17 mujeres y 18 hombres. Si se
selecciona un alumno al azar:
a) Es más probable que sea mujer.
b) Es más probable que sea hombre.
c) Es igual de probable que sea hombre o mujer.
d) No se puede saber la probabilidad de que sea hombre o mujer.
12. ¿Qué intereses producirán 300 pesos invertidos durante cuatro años al
7% de interés compuesto anual?
a) 393.24 pesos
b) 93.24 pesos
c) 380.75 pesos
d) 80.75 pesos
B
1
60º
90º
x
5 u
10 u
4 u
4 u
2 u
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3
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2
B
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1
B
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U
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4
B
L
O
Q
U
E
5
40
B1Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
I. Seguramente has resuelto cuadrados mágicos. El primero y más básico
de ellos es el que usa los números del 1 al 9. Colócalos, sin repetición,
en las casillas, de manera de que todos los renglones, las columnas y las
diagonales sumen 15.
II. En el siguiente cuadrado mágico deben colocarse los primeros 16 núme-
ros naturales, y la suma debe ser 34.
III. En esta rueda mágica tienes que colocar los números del 1 al 11, de ma-
nera de que la suma de cada línea sea la misma.
4
2
8
6
7
5 16 9
14 11 7
1 13 12
15 10 3
10
4
9
11
5
8
2
3
1
6
8
3
4
1
5
9
6
7
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2
BLOQ
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4
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Q
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E
5
B2
Problema
En 1899, el matemático austriaco Georg Pick encontró una manera de calcular áreas
de polígonos mediante un arreglo de puntos alineados en renglones y columnas.
Observa el siguiente ejemplo.
Los vértices de los polígonos coinciden con puntos del arreglo, de manera que
siempre se encontrarán puntos sobre el contorno de las figuras. Si B es el número
de puntos que se encuentran sobre el perímetro de la figura e I el número de puntos
dentro de ésta, la llamada ecuación de Pick indica que el área A es: A  I 
B
2
– 1.
1. Completa la siguiente tabla para encontrar el área de las figuras.
Polígono Puntos sobre el perímetro (B) Puntos interiores (I)
Área
A = I +
B
2
– 1
A
B
C
D
E
Resuelvas problemas aditivos con monomios
y polinomios.
Resuelvas problemas en los que sea necesario calcular
cualquiera de las variables de las fórmulas para
obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides
rectos, y que establezcas relaciones de variación entre
dichos términos.
autónoma
matemática
resultados
Manejar técnicas
eficientemente
A
B
A
B C
G
H
D
I
F
E
4
0
1
10
2
6
14
4
10
20
0
9
9
1
4.5
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42
Tema: Problemas aditivos
Sumas y restas
de monomios
Práctica 10
y sustracción de monomios
Matemáticas
rápidas
1. Calcula 7
5
6
– 5
9
12
.
2. Encuentra 43
.
3. Pepe gastó
3
4
de los
300 pesos que llevaba.
¿Cuánto dinero le sobró?
4. ¿Cuál es el mínimo
común múltiplo de 30
y 12?
común divisor de 30 y 12?
A
B C
D E
F G
m
m
m
m
y
y
y
y
y
y
a
a a
a
a
b b
b
4n
3x + 4
5n - 4
4 + 3n
2x + 1
x
x
x
x
x
c
Para sumar y restar monomios, basta con realizar las
operaciones indicadas con los coeficientes de los términos
semejantes.
Ejemplos
4x  6x  10x
6y  2y  4y
3m  5m  2m
4s  5r  2s  6s  5r
Actividades
1. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
2 1
12
64 4m 5y 3a + 2b
12n 10x + 10
5x + y 2a + b + c
$ 75
60
6
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electrónica.

43
B
2
a) Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno. Si al pagar le
descontaron el precio de tres cuadernos, ¿cuánto pagó Mariana en total?
b) Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta: las peras
a m pesos el kilo y las manzanas a n pesos el kilo. Juan Pablo compró
3 kg de pera y 2 kg de manzana y Renata compró 5 kg de pera y 1 kg
de manzana.
• ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?
• ¿Cuál fue el costo de 8 kg de pera?
• ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?
• ¿Cuánto deben pagar por las manzanas?
• Si pagaron con un billete de 200 pesos, ¿cuánto les dieron de
cambio?
c) Helena y Renata ahorraron para comprar un tren eléctrico. Si su
ahorro fue de m pesos y al pagar les descontaron 100 pesos, ¿cuánto
costó el tren?
d) En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y
las diagonales debe ser la que se indica en cada uno. Completa los
cuadrados para que sea así.
La suma debe ser 3a La suma debe ser 1.5m
5a 0
3a 1.5m 0.5m
2a 4a 2m
La suma debe ser 0 La suma debe ser 4.5m
3
4
p 6m
1
2
p 7.5m 1.5m
p

3
4
p 3m
¿Cuál de las siguientes
igualdades es falsa?
3x  8y  y 
9y  3x
t  3t  2t  2t
6a  2b  8ab
7u  v  5u  v 
2u  2v
Pregunta
de reflexión
$ 9 n
3 kg
$ 3 n
Les devolvieron de cambio 200 – (8m + 3n)
$ m – 100
8 kg
$8 m
2a 0
–a a
3a
m –2.5m
0.5m
–m 1.5m
–p 1
4
p
– 1
2
p 0
– 1
4
p
0 1.5m
4.5m
3m –4.5m
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44
Tema: Problemas aditivos.
Problemas multiplicativos
Sumas y restas de
polinomios. Expresiones
algebraicas
Práctica 11
y sustracción de polinomios. Identificación y
búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes
a partir de modelos geométricos
Matemáticas
rápidas
1.
7
16
  1
2. Calcula el perímetro del
círculo. Considera pi
como 3.14.
3.
1
8
  5120
4. 5.2 √250.64
5. La fábrica de galletas
La chispa de chocolate,
hornea 5975 galletas de
avena al día. ¿Cuántas
galletas fabricará en el
mes de junio?
6.5 cm
Para resolver sumas y restas de polinomios, se agrupan los
términos semejantes y se realiza la operación correspondiente
entre los coeficientes.
Ejemplo
(3x  2y)  (5x  3y)  (3x  5x)  (2y  3y)  8x  y
Actividades
1. En los siguientes cuadrados la suma de las filas, las columnas y las
diagonales debe ser la que se indica en cada caso. Complétalos para que
sea así.
a) La suma debe ser 12a 18b b) La suma debe ser 3n  12
2a  3b 10a  15b n  8 n  2
12a 18b 4a  6b n 1 4 n  4
6a  9b n  2
c) La suma debe ser 6x 1 9y d) La suma debe ser 6n  12
0.5x 1 4.5y 1.5x  3.5y 2n  8 2n 1 2
3x 1 2y 2x 1 3y 2n 1 4 2n  4
3.5x 1 1.5y 2n  2
16
7
40.82
40 960
82.3
179 250
0
–4a + 6b
–2a + 3b 8a – 12b
–4x+ y
–x + 4y
–2.5x + 2.5y 5y
n – 6
n – 12
n – 10 n
2n – 6
2n – 12
2n – 10 2n
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45
B
2
2. Une con una línea cada expresión del lado izquierdo con su correspondiente
del lado derecho:
( ) 2a  5b  (7a b) a)
3
4
m
( )
3
4
m 
1
2
m  m b)
1
2
m
( ) 7a  3b  (2b  a) c) 5a  4b
( ) 2m 
3
2
m d)
5a  4b
( )
1
4
m 1 m 
1
2
m e)
5
4
m
( ) 5a  b (10a  5b) f) 6a  5b
En muchos casos es posible utilizar más de una expresión
algebraica para expresar lo mismo. A estas se les llama
equivalentes.
Ejemplo
Para expresar el área de las siguiente figura, podemos
considerarla como:
• El área de un rectángulo de altura a y base a  2
A  a (a  2)
• El área de un cuadrado de lado a más el área de dos
rectángulos de base 1 y altura a.
A  a2
 2a
1 1
a
a
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46
Práctica 11
3. Escribe el área de cada figura.
1
1
1 a
a
a
4. Escribe dos expresiones distintas que representen el área de cada una de
las siguientes figuras.
1 a
a
1
5
a
3
1
a
1
1 a
a
a) b)
c) d)
A = 1 A = a A = a2
Exp. 1: A = a(1 + a)
Exp. 2: A = a + a2
Exp. 1: A = 5(a + 1)
Exp. 2: A = 5a + 5
Exp. 1: A = 3(1 + a)
Exp. 2: A = 3a + 3
Exp. 1 = A = a (a + 2)
Exp. 2 = A = a2
+ 2a
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47
B
2
1
1
1
a
a
c
b
b
b
c
c
c b
b
c
b
b
b
c
c
c c
b
b
c
c
c
c
c
b
b
e)
i)
g)
f)
j)
h)
A = b(2b + c)
A = 2b2
+ bc A = (a + 1) (a + 2)
A = a2
+ 3a + 2
A = b (3c + b)
A = 3bc + b2
A = c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ c2
+ b2
A = 6c2
+ b2
A = b2
+ b2
+ c2
+ c2
+ bc
A = 2b2
+ 2c2
+ bc
A = c2
+ c2
+ b2
+ b2
+ c2
+ c2
A = 4c2
+ 2b2
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48
Volumen
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Práctica 12
Justificación de las fórmulas para calcular el
volumen de cubos, prismas y pirámides rectos
El volumen de un cubo se calcula multiplicando la medida de
su lado tres veces.
V  l  l  l  l3
El volumen de un prisma es el producto del área de su base
por su altura:
V  Abase
 altura  A  h
El volumen de una pirámide es la tercera parte del prisma
construido sobre la misma base y con la misma altura:
V  Ab

h
3
Los prismas y las pirámides se clasifican de acuerdo con la
forma de su base. Cuando la base es un polígono regular, se
calcula su área con la fórmula:
A  lado 
apotema
2
Matemáticas
rápidas
1. Encuentra el área y
el perímetro de un
cuadrado de lado 5.6 cm.
2.
75
100
 16

18
3.
2 4.85
3.9763
4. El periódico El diario del
Este tuvo un tiraje de
4 439 200 durante el mes
de mayo. ¿Cuál fue su
promedio de circulación
por día?
5. Calcula 5  1.82.
1. En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 cubos a lo ancho y 5 cubos de
profundidad.
l
l
l
Actividades
10 cm
5 cm
6 cm
12
24
P= 22.4cm A= 31.36 cm2
–0.8737
143 200
3.18
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49
B
2
a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?
b) ¿Cuántos cubos caben en total en la caja?
c) Si los cubos miden un centímetro de lado cada uno, ¿cuál es el
volumen de la caja?
2. Se quiere calcular el volumen de un prisma de base cuadrada. En la base
caben, de cada lado del cuadrado, 3 cubos de 1 cm3
y hacia arriba del
prisma caben 7 cubos de 1 cm3
.
a) ¿Cuál es el área de la base?
b) ¿Cuál es el volumen del prisma?
3. ¿Cuál es el volumen de una pirámide con base cuadrada de 3 cm de lado y
altura de 7 cm?
4. Calcula el volumen de un prisma cuyas bases son triángulos rectángulos
isósceles. Los lados que forman el ángulo recto miden 5 cm cada uno y la
altura del prisma mide 12.5 cm.
5. Calcula el volumen de la pirámide que tiene la misma base y la misma altura
que el prisma anterior.
6. Calcula el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos.
a) Un prisma de 3.4 cm de altura, con base pentagonal de 2 cm de lado
y de apotema 1.37 cm.
b) Una pirámide de 5.4 cm de altura, con base hexagonal de 4 cm de
lado y una apotema de 3.46 cm.
12.5
cm
5 cm
5
c
m
60
300
300 cm3
9 cm2
63 cm3
156.25 cm3
52.08 cm3
23.29 cm3
74.74 cm3
V = Ab x h
3
= 21cm3
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50
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Problemas
de volumen
Práctica 13
Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas
y pirámides rectos o de cualquier término implicado
en las fórmulas. Análisis de las relaciones de
variación entre diferentes medidas de prismas
y pirámides
Matemáticas
rápidas
1. El grupo de Elena está
recolectando tapas de
envases de PET para un
experimento. Necesitan
15 037 y han juntado
9 584. ¿Cuántas tapas
les faltan por juntar?
2. Calcula
1
2
de 35.
3.
3
7
 10.
4. 145 √437.9
5. Encuentra 25
 32
.
Para calcular alguna de las cantidades que aparecen en las
fórmulas de volumen, se despeja la variable adecuada a esa
cantidad.
Ejemplo
A partir del volumen de un cubo se puede conocer cuánto mide
su lado. Si el volumen del cubo es 125, entonces:
V  l3
 125
l  3
√125
Actividades
a) Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3
de agua en una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de
2 m de largo por 1.3 m de ancho. ¿Cuál debe ser la profundidad
de la cisterna?
b) Un litro de leche está empacado en una caja en forma de prisma
cuadrangular. Si la altura del empaque es de 20.5 cm, ¿cuánto mide
de lado la base del empaque? Recuerda que un litro es igual a
1000 cm3
.
5 453
17.5
3 034.3
288
h = 1.5 m
7 cm
30
7
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51
B
2
c) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son
prismas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas
debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa?
d) La Gran pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de
aproximadamente 7.6 millones de metros cúbicos y su base cuadrada
mide 230.3 m por lado. Se piensa que estaba coronada por una
pequeña pirámide de oro sólido que desapareció. Si la altura
actual de la Gran pirámide es de 137 m, ¿cuál habría sido la altura
máxima de la pequeña pirámide de oro?
e) Se tienen dos recipientes en forma de prisma rectangular y se sabe
que las dimensiones del recipiente más pequeño miden la mitad
de las dimensiones del recipiente más grande. ¿Qué fracción del
volumen del recipiente grande representa el pequeño?
Supón que tienes varios
primas y pirámides con la
misma base. ¿Cuáles tienen
el mismo volumen?
Pirámide de altura 2x
y prisma de altura x
Pirámide de altura a
y prisma de altura
1
3
a
Prisma de altura 2m
y pirámide de altura 6m
Prisma de altura 3s
y pirámide de altura s
Pregunta
de reflexión
25 cm
6.3 m
La octava parte
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52
Eje: Manejo de
la información
y funciones
Proporcionalidad
inversa
Práctica 14
Identificación y resolución de situaciones
de proporcionalidad inversa mediante
diversos procedimientos
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el promedio de
430, 106, 52 y 132.
2. Encuentra el máximo
común divisor de 16, 24
y 72.
3. Encuentra el mínimo
común múltiplo de 16,
24 y 72.
4. Calcula 43.078  19.199.
5. Escribe los múltiplos de
8 que son mayores que
20 y menores que 60.
Se dice que dos cantidades son inversamente proporcionales
o que guardan una relación de proporcionalidad inversa si
su producto es constante. Esto es, si a y b son inversamente
proporcionales,
ab  k, con k una constante
La gráfica de una relación de proporcionalidad inversa es una
curva que no cruza por ninguno de los dos ejes.
Ejemplo
A: xy  1 y 
1
x
B: xy  2 y 
2
x
C: xy 
1
2
y 
1
2x
A
y
x
C
B
0 1
1
2
2
3
3
4
4
180
8
144
23.879
24, 32, 40, 48, 56
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53
B
2
1. En cada uno de los siguientes casos traza una gráfica con los valores que se proporcionan y responde a
las preguntas.
a) El producto de dos números naturales siempre es 24.
x y
1
2 12
3 8
4
6 4
8
12
24
• Escribe la expresión matemática que representa
esta situación.
Actividades
b) Los alumnos de 2° C van a pintar la barda del patio. El conserje dice que él solo tarda 45 días
para pintarla. Si los alumnos pueden pintar con la misma eficiencia, completa la tabla y dibuja
la gráfica correspondiente:
Número de alumnos Días
3
5
9
15
• Si hay veinte alumnos en el salón ¿cuántos días,
aproximadamente, tardarán en pintar toda la pared?
• ¿Cuál es el valor de k constante de proporcionalidad
inversa?
24
6
3
2
1
15
9
5
3
xy = 24
Dos días y un cuarto
45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12 13
14
15
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Alumnos
Días
x
y
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54
Práctica 14
c) En el mismo salón de secundaria están planeando comprar un proyector. El precio del proyector
es de 3 200 pesos. Completa la tabla para calcular cuánto pagaría cada alumno.
Número de alumnos Cuota (pesos)
4
5
8
10
16
20
• Usa la gráfica para calcular de cuánto sería la cuota
con la cooperación de doce alumnos.
• Determina el valor de k constante de proporcionalidad.
d) Cuando el grupo anterior planeó una salida de campamento, los alumnos se dieron cuenta que
no podían llevar más de 10 garrafones de agua. Para calcular cuántos días podrían acampar
realizaron una tabla y dibujaron la gráfica correspondiente. Usa el mismo procedimiento para
mostrar los resultados que obtuvieron. (Considera que cada garrafón contiene 20 litros de agua).
Días Litros de agua
2 100
4
5
8
10
• Si sólo diez compañeros van al campamento, cada
uno bebe dos litros de agua al día y 5 litros se usarán
para preparar los alimentos, ¿cuál es el número
máximo de días que podrán acampar?
• Si d representa el número de días del campamento
y l los litros de agua, escribe la expresión matemática
que describe este problema.
800
640
400
320
200
160
50
40
25
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
800
760
720
680
640
600
560
520
480
440
400
360
320
280
240
200
160
120
80
40
Número de alumnos
Cuotas
(pesos)
$ 267.00
3 200
8 días
ld = 200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Días
Litros
de
agua
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55
B
2
a) Una alberca tarda 12 horas en llenarse cuando están abiertas las cuatro llaves que tiene. Si una
llave está averiada y no surte agua, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse la alberca?
b) Cinco jardineros tardan 3 horas en podar el pasto de un parque. ¿Cuánto tardarán si contratan
otros tres jardineros y todos trabajan al mismo ritmo?
c) Con el contenido de una jarra se llenan seis vasos de 200 ml cada uno. Si a cada vaso se le
ponen 300 ml, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
d) Ocho amigos cooperaron con 460 pesos para rentar un bote. Si en las siguientes vacaciones
sólo llegaron cinco amigos, ¿cuánto tendrá que pagar cada uno para rentar el bote?
e) Una casa se puede pintar con ocho cubetas grandes de pintura, pero como no había cubetas
grandes se compraron botes que contienen dos terceras partes de una cubeta. ¿Cuántos botes
se compraron?
f) En un elevador se indica que el límite de su capacidad es de ocho personas de 80 kg cada una.
Si hay un grupo de niños que pesan en promedio 28 kg, ¿cuántos podrán subir al elevador?
g) Se requieren dos bombas para vaciar un tanque en 72 horas. ¿Cuántas bombas se necesitan si
se quiere vaciar el mismo tanque en 12 horas?
16 horas
1.9 horas
4 vasos
736 pesos
12 botes
22 niños
12 bombas
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56
Eje: Manejo de la
información
Tema: Nociones de
probabilidad
Probabilidad
Práctica 15
Realización de experimentos aleatorios y registro
de resultados para un acercamiento
a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta
con la probabilidad teórica.
Matemáticas
rápidas
1. Calcula:
•
3
5
de 60
•
7
12
de 60
•
3
10
de 60
2. Encuentra el promedio de
14.8, 17.3 y 19.5
3.
37.89
1 84.75
12.23
4. Calcula el perímetro y
el área de la siguiente
figura si se sabe
que cada lado de los
cuadritos mide 0.7 cm.
5. En el campamento
de verano, cada niño
desayuna tres hotcakes.
Si la cocinera preparó
324, ¿cuántos niños
comieron hotcakes?
Un diagrama de árbol es una herramienta muy útil para calcular
el total de casos posibles de un experimento aleatorio, lo que
permite calcular la probabilidad asociada a cada evento.
Ejemplo
¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un
dado y una moneda?
Observa que las ramas finales muestran cada una de las
combinaciones posibles, de modo que si las contamos
sabremos el total de casos posibles. De este modo si, por
ejemplo, se quiere calcular la probabilidad de sacar un sol en
la moneda y un número par en el dado, solo hay 3 ramas que
tienen esa combinación de un total de 12 posibles, por lo
que la probabilidad de obtener sol y par es:
P (sol, par) 
3
12

1
4
Otra forma de contar la totalidad de casos posibles de un evento
aleatorio es hacer una tabla. En el ejemplo anterior, la tabla
sería la siguiente.
1 2 3 4 5 6
Sol (s,1) (s,2) (s,3) (s,4) (s,5) (s,6)
Águila (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) (a,5) (a,6)
Resultados
Águila
Sol
1 5
4
3 6
2 1 5
4
3 6
2
36
35
18
17.2
134.87
P = 8.4 cm
A = 2.45 cm2
108 niños
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57
B
2
1. Al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un par de números
iguales?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10?
b) ¿Y la probabilidad de que la suma sea 7?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos números sean pares?
2. Al tirar 3 monedas sucesivamente, ¿de cuántas formas pueden caer?
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos águilas y un sol (en cualquier
orden)?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de que salga al menos un sol?
3. En una urna hay 5 bolas numeradas del uno al cinco. ¿Cuál es la probabilidad
de que al sacar dos bolas, los números sean sucesivos?
a) En el mismo experimento, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
sea 7 o menor?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea par?
Actividades
1
12
1
6
1
6
1
4
De 8 formas
3
8
7
8
1
4
4
5
2
5
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58
aprendizaje
Mide tu
Escoge la opción que complete correctamente cada pregunta. Márcala en tu
hoja de respuestas (recórtala del final de tu cuaderno).
1. El perímetro de la siguiente figura es:
a) 10a
b) 10a  8b
c) 12a
d) 12a  8b
2. La expresión algebraica que representa el área de la región no
sombreada de la siguiente figura es:
a) 26(3m  2)
b) 26(58)
c) 26(56  3m)
d) 26(58  3m)
3. En la figura anterior, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo
sombreado si m  10?
a) Base: 59, Altura 26
b) Base: 32, Altura 26
c) Base: 26, Altura 26
d) Base: 26, Altura 32
4. El área de la siguiente figura se representa con la expresión:
a) 2b2
 c
b) 2b2
 bc
c) 2bc  b
d) 3b2
 c
5. El volumen de una pirámide cuya base tiene un área de 81 m2
y 10 m de
altura es:
a) 4 860 cm3
b) 810 cm3
c) 270 cm3
d) Faltan datos para poder calcularlo
6. ¿Cuál es la medida de la altura de un prisma hexagonal cuya base tiene
un área de 30 cm2
y cuyo volumen es de 150 cm3
?
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 10 cm
d) No hay datos suficientes para calcularla
2a - b
4a + 2b
4a - 3b
2b
58
26
3m + 2
b
b
b c
©
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59
B
2
7. El volumen de la siguiente pirámide es:
a) 4 860 cm3
b) 810 cm3
c) 270 cm3
d) Faltan datos para saberse
8. El volumen de la siguiente pirámide es:
a) 576 cm3
b) 288 cm3
c) 192 cm3
d) Ninguna de las anteriores
9. Rosaura fue a una copiadora a reducir una fotografía. Al recoger la foto
se dio cuenta que la copia medía 5 cm de ancho. ¿Cuál fue el factor de
reducción que aplicó el encargado de las copias?
a)
3
4
b)
5
8
c) 8
5
d) 4
3
10. ¿Cuánto mide el largo de la foto original si en la reducción el largo
mide 15 cm?
a)
20
3
b) 24
c)
3
20
d) 12
11. La probabilidad de que al lanzar dos dados y sumar los puntos que
caigan se obtenga un número mayor que 7 es:
a)
20
3
b)
5
12
c) 7
12
12. La probabilidad de que al lanzar dos dados y sumar los puntos que
caigan se obtenga un múltiplo de 3 es:
a)
1
3
b) 1
5
c) 3
4
10
m
81 m2
8 cm
8 cm
9
cm
8 cm
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3
B
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2
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1
B
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O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
60
B2Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
I. A una posada asistieron 42 personas.
Calcula cuántas mujeres estaban en el baile si se sabe que la señora Leticia
bailó con 7 hombres, la señora Beatriz bailó con 8, la anfitriona bailó con
9, y así sucesivamente hasta la tía de Pablo, que bailó con todos.
1
2
1 4
II. Completa el siguiente cuadrado con los números del 1 al 4 de manera
que, en cada columna y en cada renglón, no se repita ningún número.
18 mujeres
2 4 3
4 1 3

3 1 4 2
3 2
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Q
U
E
3
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Q
U
E
2
BLOQ
UE
1
B
L
O
Q
U
E
4
B
L
O
Q
U
E
5
B3
Problema
La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es:
V 
1
3
AB
h
En ella, AB
es el área de la base y h es la altura perpendicular a la base desde el vértice.
Las pirámides reciben su nombre por la forma de su base. La siguiente es una
pirámide rectangular, en la que O es el centro del rectángulo.
1. Escribe la fórmula para el área de la base en términos de la variable x.
2. Sustituye esta expresión en la fórmula para el volumen de la pirámide.
3. Escribe una fórmula para calcular el perímetro PB
de la base.
4. Comprueba que si x  6 cm, entonces AB
 PB
.
5. Usa este valor de x y calcula el valor de h que hace que el valor numérico del
volumen de la pirámide sea igual a los del perímetro y del área de la base.
Resuelvas problemas que implican efectuar
multiplicaciones o divisiones con expresiones
algebraicas.
Justifiques la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo o polígono y utilices esta propiedad en la
resolución de problemas.
Resuelvas problemas que implican usar la relación
entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.
Leas y comuniques información mediante histogramas
y gráficas poligonales.
autónoma
matemática
Validar procedimientos
y resultados
Manejar técnicas
eficientemente
12
cm
R (x 3) cm
S
T
Q
O
P
x cm
AB
= x (x – 3)
PB
= 2x + 2(x – 3) = 4x – 6
AB
= 6 (6 – 3) = 6 (3) = 18
PB
= 4 (6) – 6 = 24 – 6 = 18
V =
x (x – 3)
3
× h
El volumen de la pirámide vale 18 cuando h = 6 cm
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62
Tema: Problemas
multiplicativos
Jerarquía
de operaciones
Práctica 16
Resolución de cálculos numéricos que implican
usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis,
si fuera necesario, en problemas y cálculos con
números enteros, decimales y fraccionarios
Matemáticas
rápidas
1. ¿Cuánto vale
6x  15 cuando x 
1
3
?
2. ¿Cuánto vale 24y  10
cuando y  3?
3. ¿Cuánto vale 5a 
1
4
cuando a 
1
4
?
4. El costo de inscripción a
un periódico es de 24.50
pesos a la semana.
¿Cuánto cuesta la
inscripción anual?
5. Resuelve las siguientes
operaciones:
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
•
2
3

3
5
Cuandoenunaexpresiónaparecenvariasoperaciones,algunas
de las cuales están entre paréntesis,se buscan los resultados de
cada una de ellas, yendo de los paréntesis internos hacia los
externos. Los paréntesis indican, por lo tanto, el orden en que
deben hacerse las operaciones.
Ejemplo
4  [3  (10  2)]  4  [3  (5)]  4  [8]  32
[(4  3)  10]  2  [(12)  10]  2  [22]  2  11
(4  3)  (10  2)  (12)  (5)  17
Observa cómo los resultados varían según como se coloquen
los paréntesis.
Si en una expresión con varias operaciones, hay paréntesis,
existe una serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de
manera única. Estas reglas se conocen como jerarquía de
operaciones y son las siguientes:
• Se resuelven potencias y raíces (si las hay).
• Multiplicaciones y divisiones (si las hay).
• Las sumas y restas (si las hay).
Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo,
para resolver
8  4 2 5  2
11

32 2 10
11

22
11
 2
la división entre 11 es la última que se hace. Y en:
√5  20  23  3  √100 1 69 5 √169  13
la raíz cuadrada se extrae hasta el final.
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) 20  5  3 b) 8  5  25  5
Actividades
–13
–82
= 2
5
= 35 = 35
= 10
9
= 19
15
= 1
15
3
2
$ 1274
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63
B
3
c)
50
10
 √25  6  3  2 d) 4  32
 √81
e) (8  2)2
 23
 40 f) 8  4 2 5  3
g) 12 4 3 2 5 1 4 4 2 1 33
h)
√49  6 2 40 4 5 1 62
4 18 1 18
i) 5  20 1 23  3 j) 2(43
2 4 4 2)
k) 2(43
2 4 4 2) l) 72  2 1 18  3 2 53
1 18 4 9
m)
1
2
1 5 
3
2
n) 8.4  5  2.5 4 5
o)
5
3
 √25 2
1
3
3 3 
20
3
p)
42
 32
5
2 √81
q) (8  2)2
2 23
 40
10
r) √3.1  2  2.45  4
s)
2
5

1
7

2
5
 2 
7
5
t) √49  1.6  40.5  5  62
 1.8 
1
10
u) √15  20  6.1  10 v)
2(43
2 4 4 2)
124
w)
3
4

1
2
1
1
2

2
5
2
5
4
1
1
3

3
2
x) 1.8  0.9  1.7  0.2
2. En las siguientes operaciones, coloca paréntesis de tal forma que obtengas el resultado que se indica.
a) 42
 32
 √81  65
b) 6  5  25  4  30
c) 20  4  3  8
d) 42
 4  2  5 6
= 5
= –220
= 28
= 169
= 24
= 8
=
2
3
= –22
= 5
= 19
=
23
18
= 4
= 17
= 54
= 124
= –85
= 41.5
= –4
= 4
= 23
= 1
= 2.34
= 42
– (32
× √81) = 16 – 81 = –65
= [6 × (5 – 25)] ÷ 4 = –120 ÷ 4 = –30
= –(20 + 4)÷ 3 = –8
= [(–4)2
– 4] ÷ 2 = (16 – 4) ÷ 2 = 6
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64
Tema: Problemas
multiplicativos
Multiplicación
de expresiones
algebraicas
Práctica 17
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el perímetro y el
área de un rectángulo de
32 m de largo por 18 m
de ancho.
2. Calcula el perímetro
y el área del trapecio
rectángulo cuya base
mayor mide 35 cm, y con
base menor de 24 cm,
altura de 20 cm y lado
oblicuo de 25 cm.
3. Calcula el área de un
triángulo cuya base mide
62 cm y su altura es de
22 cm.
4. Calcula el volumen de
una pirámide cuya base
cuadrada mide 8 cm de
lado y cuya altura es de
9 cm.
5. Un estudiante obtuvo
en el primer bimestre
de 8.7 de calificación
en matemáticas. ¿Qué
calificación debe obtener
en el segundo bimestre
para elevar su promedio
a 9?
Resolución de problemas multiplicativos que
impliquen el uso de expresiones algebraicas,
a excepción de la división entre polinomios
1. Calcula el área de las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
x
5x
m
m
4a
6a
m + 5
m
2x
2x + 1
A = 5 x2
A = m2
A =24 a2
A = 2 x (2 x + 1) = 4x2
+ 2x
P = 100 m
A = 576 m2
A = m (m + 5) = m2
+ 5 m
P = 104 cm A = 590 cm2
A = 682 cm2
9.3
V = 192 cm3
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65
B
3
2. Escribe la expresión algebraica que expresa lo que se pide en cada caso.
a) El largo del rectángulo.
b) El ancho del rectángulo.
c) El perímetro y el área del rectángulo rojo.
d) El perímetro y el área del rectángulo verde.
3x
A = 12x2
- 15x
2y + 3
A = 8y2
+ 12y
6b + 4
A = 3b + 15
b + 5
m + 2
8m + 7
A = 4m + 8
4x – 5
4y
P = 14b + 12
A = 6b2
+ 31b + 5
P = 18m + 10
A = 8m2
+ 19m + 6
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66
Eje: Forma, espacio
y medida
Ángulos interiores
de los polígonos
Práctica 18
1. En las siguientes figuras traza las diagonales desde un solo vértice y
completa la tabla.
Figura
Número de
lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de ángulos
interiores
Formulación de una regla que permita
calcular la suma de los ángulos interiores
de cualquier polígono
Matemáticas
rápidas
1. Si cada cubito equivale
a una unidad de medida,
¿cuál es el volumen del
siguiente cuerpo?
2. ¿Cuántas aristas tiene
un prisma pentagonal?
3. Calcula 6
4
5
 2
1
2
.
4. Encuentra el valor de N
si N  4  3  6  8
 5  6  40
5. ¿Cuántos minutos hay en
5
6
de hora?
Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos
si trazas una diagonal desde cualquiera de sus vértices.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a 180o
, la suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero es 2  180o
 360o
.
A
D
C
B
Actividades
3 Ninguno 180°
4 Dos 360°
20 u3
15 aristas
N = 24
50 minutos
4 3
10
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67
B
3
Figura
Número de
lados
Número de triángulos que se
forman al trazar diagonales
desde un solo vértice
Suma de ángulos
interiores
Polígono de n lados
2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos.
a) Eneágono (nueve lados)
b) Decágono (diez lados)
c) Endecágono (once lados)
d) Dodecágono (doce lados)
Indica cuáles de las
siguientes afirmaciones son
falsas.
Hay polígonos cuyos
ángulos interiores
miden 2168º.
Los ángulos interiores
de un polígono de 10
lados miden 1800º.
Hay polígonos cuyos
lados interiores miden
4500º.
Los ángulos internos
de un polígono de 20
lados miden 3240º.
Pregunta
de reflexión
5 3 180° × 3 = 540°
6 4 180° × 4 = 720°
7 5 180° × 5 = 900°
8 6 180° × 6 = 1080°
n n – 2 180° × (n–2)
1260°
1440°
1620°
1800°
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68
Eje: Forma, espacio
y medida
Figuras para cubrir
el plano
Práctica 19
1. Completa la siguiente tabla.
Polígono regular Número de ángulos Suma de ángulos interiores Medida de cada ángulo
Triángulo 3 180o
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono ≈129o
Octágono 135o
Eneágono 9
Decágono
Endecágono 11 1 620o
≈147o
Dodecágono 12
Análisis y explicitación de las características
de los polígonos que permiten cubrir un plano
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué números son
divisibles entre 2 y 5 a
la vez?
2. Escribe tres números
mayores de 500 y
menores de 600 que
sean divisibles entre 3.
3. Escribe tres fracciones
equivalentes a
3
7
.
4. Simplifica las siguientes
fracciones:
210
1000
180
68
5.
23
3
  
8
15
Actividades
Respuesta modelo (R.M.):
145, 250, 3 462, 4 520
513, 582, 591
– 8
115
6
14
, 9
21
, 12
28
21
100
45
17
60°
4 360° 90°
5 540° 108°
6 720° 120°
7 900°
8 1080°
1260° 140°
10 1440° 144°
1800° 150°
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69
B
3
2. Apoyate en la tabla anterior, observa las figuras y responde.
a)
1
3
2
1 2
• ¿ Cuánto mide cada uno de los ángulos 1, 2 y 3?
• ¿Cuánto mide la suma de los ángulos 1, 2 y 3?
• ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrir el hueco que queda?
• ¿Cabría otro pentágono en ese hueco?
b)
• ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del octágono regular?
• ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
• ¿Cabría otro octágono en ese hueco?
Mide 108° cada uno
324°
36°
No
135° cada uno
270°
90°
No
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70
Práctica 19
c)
1
2
3
4
5
1
2
• ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del hexágono regular?
• ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?
• ¿Cabría otro hexágono regular en ese hueco?
d)
• ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, y 5 de los triángulos
equiláteros?
• ¿Cuánto suman los cinco ángulos?
• ¿Cabría otro triángulo en ese hueco?
120° cada uno
240°
120°
Si
60° cada uno
300°
60°
Si
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71
B
3
3. Escribe si se puede o no cubrir el plano sin dejar huecos con las siguientes
figuras. Explica tu respuesta en cada caso.
a) Triángulo
b) Cuadrado
c) Pentágono
d) Hexágono
e) Heptágono
f) Octágono
g) Eneágono
h) Decágono
i) Endecágono
j) Dodecágono
4. Explica por qué sólo algunas figuras pueden cubrir el plano sin huecos ni
superposiciones. ¿Qué figuras tienen esa característica?
Sí
Sí
No
Sí
No
No
No
No
No
No
Sólo las figuras que suman 360º en los ángulos interiores del vértice por el
cual coinciden.
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72
Eje: Forma, espacio
y medida
Tema: Medida
Unidades de capacidad
y de volumen
Práctica 20
Relación entre el decímetro cúbico y el litro.
Deducción de otras equivalencias entre unidades
de volumen y capacidad para líquidos y otros
materiales. Equivalencias entre unidades del
Sistema Internacional de Medidas y algunas
medidas socialmente conocidas
Matemáticas
rápidas
1. 
5
3
  1
2. Escribe los siguientes
números mixtos como
fracciones impropias.
• 3
3
4
• 5
1
2
• 2
3
5
• 4
1
7
3. Escribe las siguientes
fracciones impropias con
números mixtos.
•
32
5
•
17
4
•
123
11
•
201
190
4. 63
 60.
5. Encuentra el máximo
común divisor de 6, 12
y 18.
Algunas medidas de capacidad son las siguientes.
Símbolo Unidad de capacidad Equivalencia en litros
kl kilolitro 1000 l
hl hectolitro 100 l
dal decalitro 10 l
l litro 1 l
dl decilitro 0.1 l
cl centilitro 0.01 l
ml mililitro 0.001 l
Para expresar alguna de las unidades de capacidad anteriores
en términos de otra de ellas, se multiplica o divide por 10,
según sean las unidades involucradas.
algunas medidas de volumen en el Sistema Internacional de
unidades son las siguientes.
Símbolo Unidad Equivalencia (metros cúbicos)
km3
kilometro cúbico 1000000000 m3
hm3
hectómetro cúbico 1000000 m3
dam3
decámetro cúbico 1000 m3
m3
metro cúbico 1 m3
dm3
decímetro cúbico 0.001 m3
cm3
centímetro cúbico 0.000001 m3
mm3
milimetro cúbico 0.000000001 m3
La relación entre las medidas de capacidad y de volumen es
la siguiente:
• Un litro es la capacidad de una caja cúbica de un decímetro de
arista, es decir, que tiene un volumen de un decímetro cúbico.
• Un kilogramo es el peso de un litro de agua.
3
–
5
= 15
4
= 11
2
= 13
5
= 29
7
= 6 2
5
= 4 1
4
= 11 2
11
= 1 11
190
= 156
6
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73
B
3
1. Escribe las siguientes unidades en litros.
a) 4 kl
b) 2.5 dal
c) 3.49 hl
d) 3 ml
e) 28 cl
f) 9.5 dl
g) 84 cl
h) 0.5 ml
i) 745 ml
j) 0.9 dal
2. Escribe las siguientes cantidades en metros cúbicos.
a) 8 km3
b) 5.2 dam3
c) 3.49 hm3
d) 3 mm3
e) 28 cm3
f) 5.5 dm3
g) 86 cm3
h) 0.5 km3
i) 545 mm3
j) 0.9 dam3
3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso (F).
a) En un metro cúbico caben 1 000 000 centímetros cúbicos.
b) Un metro cúbico es equivalente a 100 000 centímetros cúbicos.
c) El peso de medio litro es medio kilo.
d) En un decímetro cúbico caben 1 000 centímetros cúbicos.
e) 5 gramos es el peso de 50 centímetros cúbicos de agua.
Actividades
Un cubo de 20 cm de lado
tiene un volumen de:
2 dm3
800 cm3
8 dm3
el doble que uno de
10 cm de lado
Pregunta
de reflexión
= 4 000 l
= 25 l
= 349 l
= 0.003 I
= 0.28 l
= 0.95 l
= 0.84 l
= 0.000 5 l
= 0.745 l
= 90 l
= 8 000 000 000 m3
= 5 200 m3
= 3 490 000 m3
= 0.000 000 003 m3
= 0.000 028 m3
= 0.005 5 m3
= 0.000 086 m3
= 500 000 000 m3
= 0.000 000 545 m3
= 900 m3
V
F
V
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74
Eje: Manejo de la
información
y funciones
Relaciones de
proporcionalidad
Práctica 21
Representación algebraica y análisis de una
relación de proporcionalidad y = kx, asociando
los significados de las variables con las cantidades
que intervienen
a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2
se gastaron
2 800 pesos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación
de 53 m2
con los mismos materiales?
• Escribe una expresión algebraica que representa esta situación.
• ¿Cuál es el valor de k?
b) Se necesitan 14 m de tela para hacer los vestidos para los ocho
alumnos del grupo de baile, ¿cuánta tela se necesitaría si bailaran
12 alumnos?
c) Para acelerar un auto a 2
m
s2 se requiere de una fuerza de 2700 N.
¿Qué fuerza se necesita para acelerar el mismo auto a 3.4
m
s2 ?
d) Un estudiante escribe, en promedio, 215 palabras en 3 horas. Si
tiene que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo
tardará en escribirlo?
Matemáticas
rápidas
La siguiente gráfica
muestra los resultados
de una encuesta sobre la
preferencia en colores.
1. ¿Cuántas personas
respondieron la
encuesta?
2. ¿Qué porcentaje de
personas encuestadas
prefieren el rojo?
no escogieron el color
blanco?
4. ¿Qué fracción del total
prefiere el color azul?
encuestadas prefieren el
color azul?
2
0
4
6
8
Rojo Blanco Azul
Número
de
personas
en
miles
Una relación de la forma y  kx describe una variación
directamente proporcional, en la que x es la variable
independiente, y la variable dependiente y k es la constante
de proporcionalidad.
Actividades
12 000
50%
7 000
1 000
1
12
$ 6 183.33
116.66
C = 116.66 A
21 m
1.75
1 350
4 590 N
19.5 horas
71.66
P = 71.66t
F = 1 350a
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75
B
3
2. Completa cada una de las siguientes tablas y escribe la expresión
algebraica que relaciona a las variables que aparecen en ella.
a)
x 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4
y 25.3 89.1 103.4
b)
d 4 6 8 10 12
c 18.85 25.13
c)
y 300 423 501 732 810
z 150.3 219.6
d)
v 9 12 15 18 21
p 1 440 1 680
90 126.9 243
11
y = 11x
c = 3.14d
3.14
z = 0.3y
0.3
P = 80 v
80
46.2
12.56
720 960 1 200
31.41 37.68
62.7
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76
Eje: Manejo de la
información
Tema: Análisis y
representación de datos.
Histogramas y gráficas
poligonales
Práctica 22
Búsqueda, organización y presentación de
información en histogramas o en gráficas
poligonales (de series de tiempo o de frecuencia),
según el caso y análisis de la información
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve mentalmente
100 entre 5 menos 8 por
5 menos 4.
2. Un avión con capacidad
para 100 personas
transporta a 35. ¿Qué
porcentaje del avión está
vacío?
3. Si en la compra de
un libro pagas con un
billete de 100 pesos y te
devuelven 33.75 pesos
de cambio, ¿cuánto costó
el libro?
4. Si una película dura 100
minutos y empezó a las
7:40 pm, ¿a qué hora
terminó?
5.
873.09
 0.7__
Un histograma es una representación gráfica de la frecuencia
con la que se presenta una variable dentro de un conjunto
de datos. El eje horizontal se separa en intervalos de longitud
uniforme, que corresponde a alguna clase o agrupación de los
datos. En el eje vertical se señala cuántas veces se repite cada
clase. Sobre cada intervalo se construye un rectángulo con la
altura de la frecuencia correspondiente.
Ejemplo
Se registró la edad de los alumnos de segundo de secundaria
en la escuela y se obtuvieron los siguientes datos:
Edad (años) Alumnos
12 2
13 6
14 9
15 1
Total 18
Es importante señalar que:
• Las clases en el eje horizontal deben ser contiguas, de
manera de que las barras no están separadas.
• La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia
con la que se presenta cada clase.
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
65%
56
9:20 pm
873.79
$ 66.25 ©
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77
B
3
Un polígono de frecuencia se forma al unir con segmentos
de recta los puntos medios del extremo superior de cada
rectángulo de un histograma.
Ejemplo
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
2
0
4
6
8
12 13 14 15
Edad (años)
Número
de
alumnos
10
Es importante mencionar que:
• Los polígonos de frecuencias son más útiles cuando se trata
de datos que varían con el tiempo.
• Se puede hacer un polígono de frecuencias sin trazar
el histograma si se toma solamente el punto medio de
cada clase, conocido como marca de clase, y la altura
correspondiente.
Ejemplo
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78
Práctica 22
1. En cada uno de los siguientes problemas elabora la tabla correspondiente al conjunto de datos que se
proporcionan y construye un histograma o un polígono de frecuencias, según se requiera.
a) En un restaurante se registró mediante la tabla siguiente el número de comensales que entraron
cada hora.
9 am 10 am 11 am 12 am 1 pm 2 pm 3 pm 4 pm 5 pm 6 pm
12 34 21 9 45 26 19 21 8 6
• ¿En qué horario entraron más comensales?
b) En la sala de urgencias de un hospital se registró la edad de los pacientes en grupos de diez,
a los que se atendió durante un día entero. El registro tiene los siguientes datos:
25 20 3 1 12 28 14 33 70 40 70 7 10 14 35 18
14 5 68 9 76 68 15 29 47 12 32 73 50 25 52 40
37 51 88 38 12 4 60 19 14 76 42 31 38 22 58 42
37 42 18 30 16 2 55 12 60 16 28 49 35 12 14 8
62 20 9 14 63 40 15 6 32 30 38 12 41 10 49 12
• ¿Qué grupo de edad padece más accidentes o enfermedades que deban atenderse de inmediato?
• ¿Cuántos pacientes, entre niños y jóvenes, se atendieron?
• ¿Cuántos pacientes de la tercera edad acudieron a urgencias?
• ¿Cuántos adultos de entre 21 y 60 años de edad fueron atendidos?
A la 1 pm
Horas Número

9 – 10 46
11 – 12 30
1 – 2 71
3 – 4 40
5 – 6 14
Total 201
Grupos
de edad
(años)
1 – 10
11 – 20

21 – 30

31 – 40
41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80
81 – 90
Total
Número
12
22
8
14
8
6
6
3
1
80
11 – 20 Años
34
10
36
1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Grupos de edad
Número
9-10 11-12 1-2 3-4 5-6
80
70
60
50
40
30
20
10
Horas
Número
de
comensales
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79
B
3
c) En la tabla se muestra la tasa de inflación en México entre los años 2000 y 2010. La inflación
es el promedio del aumento de los precios al consumidor, expresado como porcentaje.
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
9 6.5 6.4 4.5 5.4 4 3.4 4 5.1 3.6 4.1
Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?v=71c=mxl=es
• Dibuja el polígono de frecuencias para los datos.
• ¿En qué año se reportó la tasa más baja de inflación?
• Entre los años 2000 y 2006, ¿cuál era la tendencia de la tasa de inflación?
• ¿Entre qué años la tasa de inflación registró una tendencia a crecer?
• A partir de 2003, ¿existe alguna tendencia de la tasa de inflación? Explica tu respuesta.
d) Realiza una breve encuesta sobre las calificaciones de todos los alumnos en tu salón. Procesa
esos datos, elabora una tabla y dibuja el histograma correspondiente. Analiza los resultados.
Escribe una conclusión y una predicción sobre cómo serán los resultados finales del grupo.
2006
A bajar
2006 y 2008
No R. L.
R. L.
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80
Eje: Manejo de la
información
Tema: Análisis y
representación de datos.
Propiedades
de la media y mediana
Práctica 23
Análisis de las propiedades de la media
y la mediana
Matemáticas
rápidas
1. Ordena los siguientes
número de menor a
mayor:
4
12
,
8
16
,
5
6
, 0.25.
2. Calcula 80% de 200.
3. 17 86.19
4. 55 66
5. ¿Cuántos vértices tiene
una pirámide hexagonal?
Para todo conjunto de datos x1
, x2
, x3
,… xn
, con una media
aritmética (o promedio) x, sucede que:
• La suma de las desviaciones de cada dato respecto de la
media es cero. Es decir:
(x 2 x1
)  (x 2 x2
)  ...  (x 2 xn
) 5 0
• Si todos los datos tienen un mismo valor, la media es igual
a esa misma constante. Es decir:
x1
5 x2
5 ... 5 xn
5 x
• Si todos los datos se multiplican por una constante k,
entonces la media de los nuevos datos es igual a la constante
por la media de la muestra original. Es decir:
kx es la media de kx1
, kx2
, ..., kxn
• Si a todos los datos se les suma o resta una cantidad
constante k, entonces la media de los nuevos datos es igual
a la media de la muestra original más (o menos) la misma
constante. Es decir:
x  k es la media de (x1
 k), (x2
 k), ..., (xn
 k),
, x2
, x3
,… xn
, con una mediana Md
:
• La mediana del conjunto es única.
• La mediana no cambia en presencia de valores extremos.
• La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra
mitad de los datos son mayores.
, x2
, x3
,… xn
, con una media
aritmética x y mediana Md
:
• Se dice que el conjunto de datos es simétrico si la media
aritmética es igual a la mediana.
• Si la media aritmética es mayor que la mediana, se dice que
el conjunto de datos tiene una asimetría positiva.
• Si la media aritmética es menor que la mediana, se dice que
el conjunto de datos tiene una asimetría negativa.
o.25
4
12
8
16
5
6
160
5.07
1.2
7 vértices
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81
B
3
1. Considera las propiedades de la media y la mediana para contestar las
siguientes preguntas.
a) La media del salario en una empresa es de 6 983 pesos. Si en marzo
todos recibieron una compensación de 1450 pesos extras, ¿cuál es la
media del salario en el mes de marzo?
b) Se reportó que la media de las edades de los niños de un equipo
de futbol es de 14 años. De los catorce niños inscritos en el equipo
tres tienen 12 años, cinco tienen 13 años, cuatro tienen 14 años
y dos tienen 17 años. Utiliza la propiedad de que la suma de las
desviaciones respecto de la media es cero para verificar si el reporte
es correcto.
c) La media de los precios de las bebidas en la cafetería de la escuela
es de 3.50 pesos. Si el día de la kermés triplicaron el precio de cada
bebida, ¿cuál fue la media del precio de las bebidas el día de la
kermés?
2. En los siguientes conjuntos de números, calcula la media y la mediana y
determina si son simétricos o si presentan asimetría positiva o negativa.
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8
b) 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10,
15, 10, 15, 13, 8, 17
c) 3, 5, 2,7, 5, 9, 5, 2, 8, 6
d) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4
Actividades
Medida del salario en marzo es $ 8 433.00
Como la suma de desviaciones respecto de la medida no es cero, la
medida que se reportó es incorrecta.
La medida del precio de las bebidas en la kermés fue de $10.50.
Media = 5 El conjunto es simétrico
Mediana = 5
Media = 9.5 El conjunto presenta una asimetría negativa
Mediana = 10
Media = 5.2 El conjunto presenta una asimetría positiva
Mediana = 5
Media = 4.8 El conjunto presenta una asimetría negativa
Mediana = 5
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