Este documento describe varios métodos de integración como la integración directa, el método de integración por sustitución, el método de integración por partes y el método de integración por cambio de variables. Explica que estos métodos permiten calcular una integral indefinida o anti-derivada de una función mediante técnicas como realizar sustituciones de variables, dividir la integral en partes o expresarla en nuevas variables. Además, señala que no existe un algoritmo general para encontrar la primitiva de cualquier función.

1. ACTIVIDAD 1 FORO UNIDAD 3
Además de los estudiados hasta ahora, ¿qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para
calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado)
permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su
derivada:
.
Generalidades
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el
problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que
permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones
elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función
elemental F(x) que sea tal que:
Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales,
trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas
elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma
directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por
disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el
resultado de la anti derivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus
anti derivadas o funciones primitivas.

2. Ejemplo
Calcular la integral indefinida .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es . Por
tanto:
Ejemplo
Calcular la integral indefinida .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del
problema es .
No obstante, puesto que la función está definida en los números negativos también ha de estarlo su
integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
Funciones analíticas[editar · editar fuente]
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas
potencias de series formales ya que:
Método de integración por sustitución.
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de
variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con unaintegral o antiderivada
simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de
tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la
derivación.
Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:

3. En la integral se reemplaza con :
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación se despeja y se
agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario
empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En
este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de
integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se
hizo :
(límite inferior)
(límite superior)
Tras de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
Ejemplo #2
Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

4. Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas,
dígase: y la sustitución conveniente resulta ser :
,
Entonces (por Teorema de la suma y la resta)
por otra parte o
la integral queda después de dicha sustitución:
Método de integración por partes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca menos flaca(menos integral) Vestida De Uniforme".
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

5. .
Un buen orden para escoger la u según la función es este:
1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.
Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral
inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera.
Para integrales simples de una sola variable si es la variable original y es una función invertible,
se tiene: