Este documento describe dos métodos de integración: la regla de sustitución y la integración por partes. La regla de sustitución permite reemplazar una integral complicada por una más sencilla mediante un cambio de variable. La integración por partes se deriva de la regla del producto de la derivación y permite calcular ciertas integrales al dividirlas en partes. El documento explica estas reglas y proporciona ejemplos de su aplicación.

1. UNIDAD II METODOS DE INTEGRACION
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral
relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando
de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto
principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución
apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya
diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoja u como alguna
parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo
de arte. No es raro que la primera conjetura sea errónea, si la suposición no
funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que
tenemos una integral de la forma .
Si F' = f entonces = F[g(x)] + c porque la regla de la cadena de
la derivación
F[g(x)] = F' [g(x)] . g' (x)
Si hacemos el "cambio de variable" o "la sustitución" u = g(x), entonces,
tenemos
= F[g(x)] + c = F(u) + c = a bien si se escribe F' = f se
obtiene
=
Se probó la siguiente regla:
REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo
conjunto de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces
= .
REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos
métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda
parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar
los límites de integración cuando se cambia la variable.
Regla de sustitución para integrales definidas:

2. Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u = g(x)
entonces
Demostración:
Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g' (x) con
lo que
F[g(b)] - F[g(a)].
Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema
= = F[g(b)] - F[g(a)].
En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral
definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no sólo x y
dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración
son los valores de u que corresponden a x = a y x = b.
Volver
INTEGRACIÓN POR PARTES
Toda regla de derivación tiene una correspondiente de integración. La regla de
sustitución de la integración corresponde a la regla de la cadena en la
derivación. La regla que corresponde a la regla del producto de la derivación se
llama regla de la integración por partes. La regla del producto expresa que si f y
g son funciones diferenciables entonces
= f(x)g' (x) + f' (x)g(x)
Si hallamos la integral indefinida
= +
f(x) . g(x) = +
= f(x) . g(x) - .
Esta es la fórmula de integración por partes.

3. Para que resulte más fácil de recordar se puede utilizar la siguiente notación:
sea u = f(x) y v = g(x). Entonces du = f' (x)dx y dv = g' (x)dx. Por la regla de
sustitución resulta: .
El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más
sencilla que la inicial. Al decidir una selección par u y dv se trata que u = f(x)
sea una función que se simplifique cuando se derive (o al menos no se
complique) mientras que dv = g' (x)dx se pueda integrar fácilmente para
encontrar v.
Para integrales definidas, si f' y g' son continuas
La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada
de un producto de funciones. Veamos:
Ejercicios resueltos
En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
1. Solución:

4. 2. Solución:
3. Solución:

5. 4. Solución:
5. Solución:

6. 6. Solución:
7. Solución:

7. 8. Solución:

9.  si entonces
si dv = dx entonces
v =
para x
Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse
cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.
En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se
muestra en el siguiente ejemplo:
 En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se
muestra en el siguiente ejemplo:

si entonces
si entonces
Luego:

10. ahora
y
Por tanto:
 si entonces
si entonces v = x
Luego:
 si entonces
si entonces
Luego:

11.  si entonces
si entonces
Luego:
nuevamente:
ACTIVIDAD 10 INTEGRACION POR PARTES
Nos permitimos recordar la fórmula de integración por partes:

12. 1.- 7.-
2.- 8.-
3.- 9.-
4.- 10.-
5.- 11.-
6.- 12.-
Respuestas:
1.-
2.-

13. 3.-
4.-
5.-
6.-
7.-

14. 8.-
9.-
10.-
11.-

15. 12.-
Integrales trigonométricas
Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas
Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las
fórmulas siguientes:
a.
b.
c.

16. d.
e.
f.
Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:
1.
con n un entero positivo par.
Ejemplos:
a.
(se utiliza la fórmula dada en e.)
b.
Ejercicio para el estudiante
c.
(en la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en
(e), solo que en este caso es igual a 2x)

17. En forma similar se procede con y en general con las integrales de las
potencias pares de las funciones seno y coseno.
2.
con n un entero positivo par.
Ejemplos:
a.
(Note que
b.
Similarmente, utilizando la identidad c puede determinarse
c.
d.
Ejercicio para el estudiante
Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las
integrales de las potencias pares de las funciones secante y
cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el
método de la integración por partes que se estudiará más
adelante.
3.
con n un entero positivo par.
Ejemplos:
a.
Utilizando la fórmula dada en b.

18. b.
Utilizando la fórmula dada en c, calcule
c.
d.
Determine
4.
con m
un entero positivo impar.
Ejemplos:
a.
(Recuerde que )
b.
Determine
c.

19. d.
Calcule
e.
f.
g.
Determine
5.
con n y r ambos enteros positivos pares.
Ejemplos:
a.
Utilizando las fórmulas e y f.

20. b.
Determine
c.
Determine
d.
e.
Ejercicio para el estudiante
6.
con n y r ambos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los
exponentes impar.
Ejemplos:

21. a.
b.
Ejercicio para el estudiante
c.
d.
e.
Ejercicio para el estudiante
ACTIVIDAD 11
a.
b.
c.
d.

22. e.
f.
g.